Рівняння з дробами власними силами не складні і дуже цікаві. Розглянемо види дробових рівнянь та способи їх розв'язання.
Як вирішувати рівняння з дробами – ікс у чисельнику
У випадку, якщо дано дробове рівняння, де невідоме знаходиться в чисельнику, рішення не вимагає додаткових умов і вирішується без зайвого клопоту. Загальний вигляд такого рівняння – x/a + b = c, де x – невідоме, a, b та с – звичайні числа.
Знайти х: x/5 + 10 = 70.
Для того, щоб вирішити рівняння, потрібно позбутися дробів. Помножуємо кожен член рівняння на 5: 5x/5 + 5×10 = 70×5. 5x та 5 скорочується, 10 та 70 множаться на 5 і ми отримуємо: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Знайти x: x/5+x/10=90.
Цей приклад – трохи ускладнена версія першого. Тут є два варіанти вирішення.
- Варіант 1: Позбавляємося дробів, множивши всі члени рівняння на більший знаменник, тобто на 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
- Варіант 2: Складаємо ліву частину рівняння. x/5 + x/10 = 90. Загальний знаменник - 10. 10 ділимо на 5, множимо на x, отримуємо 2x. 10 ділимо на 10, множимо на x, отримуємо x: 2x+x/10 = 90. Звідси 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Нерідко зустрічаються дробові рівняння, у яких ікси перебувають у різні боки знака одно. У таких ситуаціях необхідно перенести всі дроби з іксами в один бік, а числа в інший.
- Знайти x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- Переносимо 2x/5 праворуч із протилежним знаком: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Скорочуємо 5x/5 та отримуємо: x = 130.
Як вирішити рівняння з дробами - ікс у знаменнику
Даний вид дробових рівнянь потребує запису додаткових умов. Вказівка цих умов є обов'язковою та невід'ємною частиною правильного рішення. Не приписавши їх, ви ризикуєте, тому що відповідь (навіть якщо вона правильна) можуть просто не зарахувати.
Загальний вид дробових рівнянь, де x знаходиться у знаменнику, має вигляд: a/x + b = c де x – невідоме, a, b, c – звичайні числа. Зверніть увагу, що x-ом може бути не будь-яке число. Наприклад x неспроможна дорівнювати нулю, оскільки ділити на 0 не можна. Саме це і є додатковою умовою, яку ми маємо вказати. Це називається областю допустимих значень, скорочено – ОДЗ.
Знайти х: 15/х + 18 = 21.
Відразу пишемо ОДЗ для x: x ≠ 0. Тепер, коли ОДЗ вказана, вирішуємо рівняння за стандартною схемою, позбавляючись дробів. Помножуємо всі члени рівняння на x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Часто зустрічаються рівняння, де в знаменнику стоїть не тільки x, але ще якась дія з ним, наприклад додавання або віднімання.
Знайти x: 15 / (x-3) + 18 = 21.
Ми знаємо, що знаменник неспроможна дорівнювати нулю, отже x-3 ≠ 0. Переносимо -3 праву частину, змінюючи у своїй знак “-” на ”+” і отримуємо, що x ≠ 3. ОДЗ вказана.
Вирішуємо рівняння, множимо все на x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Переносимо ікси праворуч, числа ліворуч: 24 = 3x => x = 8.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Інструкція
Мабуть, найочевидніший момент тут – це, звичайно, . Числові дроби не становлять жодної небезпеки (дрібні рівняння, де у всіх знаменниках стоять лише числа, взагалі будуть лінійними), а от якщо у знаменнику стоїть змінна, то це обов'язково потрібно враховувати та прописувати. По-перше, це те, що х, що звертає в 0 знаменник, бути не може, і взагалі потрібно окремо прописати той факт, що ікс не може дорівнювати цьому числу. Навіть якщо у вас вийде, що при підстановці у чисельник все чудово сходиться та задовольняє умовам. По-друге, ми не можемо множити або обидві частини рівняння на , що дорівнює нулю.
Після цього такого рівняння зводиться до перенесення всіх його членів у ліву частину так, щоб у правій залишився 0.
Потрібно привести всі члени до спільного знаменника, домноживши, де потрібно, чисельники на вирази, що бракують.
Далі вирішуємо нормальне рівняння, написане в чисельнику. Можемо виносити загальні множники за дужки, застосовувати скорочене множення, наводити подібні, обчислювати коріння квадратного рівняння через дискримінант і т.д.
У результаті має вийти розкладання на множники у вигляді добутку дужок (х-(і-ий корінь)). Також сюди можуть входити багаточлени, що не мають коріння, наприклад, квадратний тричлен з дискримінантом, меншим за нуль (якщо, звичайно, в завданні тільки дійсне коріння, як найчастіше і буває).
Обов'язково потрібно розкласти на множники і знаменник із знаходження там дужок, що вже містяться в чисельнику. Якщо в знаменнику стоять вирази типу (х-(число)), то краще при приведенні до спільного знаменника дужки, що стоять у ньому, не перемножувати "в лоб", а залишити у вигляді твору вихідних простих виразів.
Однакові дужки в чисельнику і знаменнику можна скоротити, прописавши попередньо, як говорилося вище, умови на х.
Відповідь записується у фігурних дужках, як безліч значень х, чи просто перерахуванням: x1=..., х2=... тощо.
Джерела:
- Дробові раціональні рівняння
Те, без чого не можна уникнути фізики, математики, хімії. Як мінімум. Вчимося основ їх вирішення.
Інструкція
У найзагальнішій і простій класифікації можна розділити за кількістю змінних, які у них містяться, і за ступенями, у яких ці змінні стоять.
Вирішити рівняння всі його коріння або довести, що їх немає.
Будь-яке рівняння не більше P коренів, де P - максимальна даного рівняння.
Але частина цього коріння може і збігатися. Приміром, рівняння х^2+2*x+1=0, де ^ - значок зведення ступінь, згортається квадрат вирази (х+1), тобто у добуток двох однакових дужок, кожна з яких дає х=- 1 як рішення.
Якщо в рівнянні лише одна невідома, це означає, що вам вдасться в явному вигляді знайти його коріння (дійсне або комплексне).
Для цього швидше за все знадобляться, різні перетворення: скороченого множення, обчислення дискримінанта і коренів квадратного рівняння, перенесення доданків з однієї частини до іншої, приведення до спільного знаменника, множення обох частин рівняння на один і той же вираз, квадрат і інше.
Перетворення, які впливають коріння рівняння, тотожними. Вони використовуються для спрощення процесу розв'язування рівняння.
Також ви можете замість традиційного аналітичного скористатися графічним методом та записати дане рівняння у вигляді , провівши потім її дослідження.
Якщо в рівнянні невідомих більше однієї, то вам вдасться лише виразити одну з них через іншу, показавши цим набір рішень. Такі, наприклад, рівняння з параметрами, в яких є невідома x і параметр а. Вирішити параметричне рівняння - значить для всіх виразити х через а, тобто розглянути всі можливі випадки.
Якщо в рівнянні стоять похідні чи диференціали невідомих (дивись картинку), вітаю, це диференціальне рівняння, і тут вам не обійтися без вищої математики.
Джерела:
- Тотожні перетворення
Щоб вирішити задачу з дробамипотрібно навчитися робити з ними арифметичні дії. Вони можуть бути десяткові, але найчастіше використовуються натуральні дроби з чисельником та знаменником. Тільки після цього можна переходити на розв'язання математичних завдань із дробовими величинами.
Вам знадобиться
- - Калькулятор;
- - знання властивостей дробів;
- - Вміння робити дії з дробами.
Інструкція
Дробом називають запис розподілу одного числа на інше. Найчастіше це зробити націло не можна, тому й залишають цю дію незакінченою. Число, яке є поділеним (воно стоїть над або перед знаком дробу), називаються чисельником, а друге число (під знаком дробу або після нього) – знаменником. Якщо чисельник більший за знаменник, дріб називається неправильним, і з нього можна виділити цілу частину. Якщо чисельник менший за знаменник, то такий дріб називається правильним, і його ціла частина дорівнює 0.
Завданняділяться кілька видів. Визначте, до якого завдання. Найпростіший варіант - знаходження частки числа, вираженим дробом. Для вирішення цього завдання достатньо помножити це число на дріб. Наприклад, на завезли 8 т картоплі. Першого тижня було продано 3/4 від її загальної кількості. Скільки картоплі лишилося? Щоб розв'язати це завдання, число 8 помножте на 3/4. Вийде 8∙3/4=6 т.
Якщо потрібно знайти число по його частині, помножте відому частину числа на дріб, зворотний до тієї, яка показує яка частка цієї частини в числі. Наприклад, 8 із становлять 1/3 від загальної кількості учнів. Скільки в? Оскільки 8 осіб це частина, яка становить 1/3 від усієї кількості, то знайдіть зворотний дріб, який дорівнює 3/1 або просто 3. Потім для отримання кількості учнів у класі 8∙3=24 учня.
Коли потрібно знайти якусь частину числа становить одне число від іншого, поділіть число, яке є частиною того, яке є цілим. Наприклад, якщо відстань 300 км, а автомобіль проїхав 200 км, яку частину цей складе від усього шляху? Розділіть частину шляху 200 на повний шлях 300, після скорочення дробу отримайте результат. 200/300 = 2/3.
Щоб знайти частину невідому частку від числа, коли є відома, візьміть ціле число за умовну одиницю і відніміть від неї відому частку. Наприклад, якщо вже пройшло 4/7 частини уроку, ще лишилося? Візьміть весь урок як умовну одиницю та відніміть від неї 4/7. Отримайте 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Рівняння, що містять змінну в знаменнику, можна вирішувати двома способами:
Привівши дроби до спільного знаменника
Використовуючи основну властивість пропорції
Незалежно від обраного способу необхідно після знаходження коренів рівняння вибрати зі знайдених допустимі значення, тобто ті, які не звертають знаменника $0$.
1 спосіб. Приведення дробів до спільного знаменника.
Приклад 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Рішення:
1.Перенесемо дріб із правої частини рівняння в лівий
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
Для того, щоб правильно це зробити, пригадаємо, що при перенесенні елементів в іншу частину рівняння змінюється знак перед виразами на протилежний. Значить, якщо у правій частині перед дробом був знак «+», то в лівій перед нею буде знак «-». Тоді в лівій частині отримаємо різницю дробів.
2.Тепер відзначимо що у дробів різні знаменники, отже у тому, щоб скласти різницю необхідно привести дроби до спільного знаменника. Спільним знаменником буде добуток багаточленів, що стоять у знаменниках вихідних дробів: $(2x-1)(x+3)$
Щоб отримати тотожне вираз, чисельник і знаменник першого дробу необхідно помножити на многочлен $(x+3)$, а другий на многочлен $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(х+3))((2x-1)(х+3))-\frac((x-5)(2х-1))((x+3)( 2х-1)) = 0 \]
Виконаємо перетворення в чисельнику першого дробу-зробимо множення многочленів. Згадаймо, що для цього необхідно помножити перший доданок першого багаточленапомножити на кожен доданок другого багаточлена, потім другий доданок першого багаточлена помножити на кожен доданок другого багаточлена і результати скласти
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=(2х)^2+6х+3х +9\]
Наведемо подібні доданки в отриманому виразі
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=(2х)^2+6х+3х +9=\] \[(=2х)^2+9х+9\]
Виконаємо аналогічно перетворення в чисельнику другого дробу-зробимо множення многочленів
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5 = (2х) ^ 2-11х + 5 $
Тоді рівняння набуде вигляду:
\[\frac((2х)^2+9х+9)((2x-1)(х+3))-\frac((2х)^2-11х+5)((x+3)(2х- 1)) = 0 \]
Тепер дроби з однаковим знаменником, отже можна робити віднімання. Згадаймо, що при відніманні дробів з однаковим знаменником з чисельника першого дробу необхідно відняти чисельник другого дробу, знаменник залишити колишнім
\[\frac((2х)^2+9х+9-((2х)^2-11х+5))((2x-1)(х+3))=0\]
Перетворимо вираз у чисельнику. Для того, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «-», треба змінити всі знаки перед доданками, що стоять у дужках на протилежні.
\[(2х)^2+9х+9-\left((2х)^2-11х+5\right)=(2х)^2+9х+9-(2х)^2+11х-5\]
Наведемо подібні доданки
$(2х)^2+9х+9-\left((2х)^2-11х+5\right)=(2х)^2+9х+9-(2х)^2+11х-5=20х+4 $
Тоді дріб набуде вигляду
\[\frac((\rm 20х+4))((2x-1)(х+3))=0\]
3.Дроб дорівнює $0$, якщо його чисельник дорівнює 0. Тому ми прирівнюємо чисельник дробу до $0$.
\[(\rm 20х+4=0)\]
Вирішимо лінійне рівняння:
4. Проведемо вибірку коріння. Це означає, що необхідно перевірити, чи не звертаються знаменники вихідних дробів $0$ при знайденому корінні.
Поставимо умову, що знаменники не дорівнюють $0$
х$\ne 0,5$ х$\ne -3$
Отже, допустимі всі значення змінних, крім $-3$ і $0,5$.
Знайдений нами корінь є допустимим значенням, отже, його сміливо можна вважати коренем рівняння. Якби знайдений корінь був би не допустимим значенням, то такий корінь був би стороннім і, звичайно, не був увімкнений у відповідь.
Відповідь:$-0,2.$
Тепер можемо скласти алгоритм розв'язання рівняння, яке містить змінну у знаменнику
Алгоритм розв'язання рівняння, що містить змінну у знаменнику
Перенести всі елементи з правої частини рівняння до лівої. Для отримання тотожного рівняння необхідно змінити всі знаки, що стоять перед виразами у правій частині протилежні
Якщо в лівій частині ми отримаємо вираз із різними знаменниками, то наводимо їх до загального, використовуючи основну властивість дробу. Виконати перетворення, використовуючи тотожні перетворення і отримати підсумковий дріб, що дорівнює $0$.
Прирівняти чисельник до $0$ і знайти коріння рівняння, що вийшло.
Проведемо вибірку коренів, тобто. знайти допустимі значення змінних, які не звертають знаменник $0$.
2 спосіб. Використовуємо основну властивість пропорції
Основною властивістю пропорції і те, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів.
Приклад 2
Використовуємо цю властивість для вирішення цього завдання
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1.Знайдемо і прирівняємо добуток крайніх та середніх членів пропорції.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[(2х)^2+3х+6х+9=(2х)^2-10х-х+5\]
Розв'язавши отримане рівняння, ми знайдемо коріння вихідного
2.Знайдемо допустимі значення змінної.
З попереднього рішення (1 спосіб) ми вже виявили, що допустимі будь-які значення, крім $-3$ і $0,5$.
Тоді, встановивши, що знайдений корінь є допустимим значенням, ми з'ясували, що $-0,2$ буде коренем.