Момент інерції
  Для обчислення моменту інерції ми повинні подумки розчленувати тіло на досить малі елементи, точки яких можна вважати лежать на однаковій відстані від осі обертання, потім знайти добуток маси кожного елемента на квадрат його відстані від осі і нарешті підсумувати всі отримані твори. Очевидно, це дуже трудомістка задача. Для підрахунку
моментів інерції тіл правильної геометричної форми можна скористатися часом прийомами інтегрального обчислення.
  Знаходження кінцевої суми моментів інерції елементів тіла замінимо підсумовуванням нескінченно великої кількості моментів інерції, обчислених для нескінченно малих елементів:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (при Δm → 0).
  Обчислимо момент інерції однорідного диска або суцільного циліндра заввишки hщодо його осі симетрії

Розчленуємо диск на елементи у вигляді тонких концентричних кілець із центрами на осі його симетрії. Отримані кільця мають внутрішній діаметр rта зовнішній r + dr, а висоту h. Так як dr<< r , то можемо вважати, що відстань усіх точок кільця від осі дорівнює r.
  Для кожного окремого кільця момент інерції
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
де ΣΔm− маса всього кільця.
Об'єм кільця 2πrhdr. Якщо щільність матеріалу диска ρ , то маса кільця
ρ2πrhdr.
Момент інерції кільця
i = 2πρhr 3 dr.
  Щоб підрахувати момент інерції всього диска, треба підсумувати моменти інерції кілець від центру диска ( r = 0) до краю його ( r = R), тобто обчислити інтеграл:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
або
I = (1/2)πρhR 4.
Але маса диска m = ρπhR 2, отже,
I = (1/2) mR 2.
  Наведемо (без обчислення) моменти інерції для деяких тіл правильної геометричної форми, виконаних з однорідних матеріалів


 1. Момент інерції тонкого кільця щодо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини (або тонкостінного порожнистого циліндра щодо його осі симетрії):
I = mR 2.
 2. Момент інерції товстостінного циліндра щодо осі симетрії:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
де R 1− внутрішній та R 2− зовнішній радіуси.
 3. Момент інерції диска щодо осі, що збігається з одним з його діаметрів:
I = (1/4) mR 2.
 4. Момент інерції суцільного циліндра щодо осі, перпендикулярної до утворює і проходить через її середину:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
де R− радіус основи циліндра, h− висота циліндра.
 5. Момент інерції тонкого стрижня щодо осі, що проходить через його середину:
I = (1/12)ml 2,
де l− Довжина стрижня.
 6. Момент інерції тонкого стрижня щодо осі, що проходить через один із його кінців:
I = (1/3)ml 2
  7. Момент інерції кулі щодо осі, що збігається з одним з його діаметрів:
I = (2/5) mR 2.

Якщо відомий момент інерції будь-якого тіла щодо осі, що проходить через його центр мас, то момент інерції щодо будь-якої іншої осі, паралельної першої, може бути знайдений на підставі так званої теореми Гюйгенса-Штейнера.
  Момент інерції тіла Iщодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції тіла I зщодо осі, паралельної даної та проходить через центр мас тіла, плюс маса тіла mпомножена на квадрат відстані lміж осями:
I = I c + ml 2.
  Як приклад підрахуємо момент інерції кулі радіусу Rта масою m, підвішеного на нитки довжиною l щодо осі, що проходить через точку підвісу Про. Маса нитки мала порівняно з масою кулі. Оскільки момент інерції кулі щодо осі, що проходить через центр мас I c = (2/5) mR 2, а відстань
між осями ( l + R), то момент інерції щодо осі, що проходить через точку підвісу:
I = (2/5) mR 2 + m(l + R) 2.
Розмірність моменту інерції:
[I] = [m] × = ML 2.

Додаток. Момент інерції та її обчислення.

Нехай тверде тіло обертається навколо осі Z (рисунок 6). Його можна як незмінну з часом систему різних матеріальних точок m i , кожна з яких рухається по колу радіусом r i, що лежить у площині перпендикулярної осі Z. Кутові швидкості всіх матеріальних точок однакові. Моментом інерції тіла щодо осі Z називається величина:

де – момент інерції окремої матеріальної точки щодо осі ОZ. З визначення випливає, що момент інерції - адитивна величина, Т. е. момент інерції тіла, що складається з окремих частин, дорівнює сумі моментів інерції частин.

Малюнок 6

Очевидно, [ I] = кг×м 2. Важливість поняття моменту інерції виявляється у трьох формулах:

; ; .

Перша їх висловлює момент імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої осі Z (корисно цю формулу порівняти з виразом для імпульсу тіла P = mV c, де V c- Швидкість центру мас). Друга формула зветься основного рівняння динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі, тобто, інакше кажучи, другого закону Ньютона для обертального руху (порівняємо із законом руху центру мас: ). Третя формула виражає кінетичну енергію тіла, що обертається навколо нерухомої осі (порівняємо з виразом для кінетичної енергії частки ). Порівняння формул дозволяє зробити висновок про те, що момент інерції у обертальному русі грає роль, аналогічну масі в тому сенсі, що чим більше момент інерції тіла, тим менше кутове прискорення за інших рівних умов воно набуває (тіло, образно кажучи, важче розкрутити). Реально обчислення моментів інерції зводиться до обчислення потрійного інтеграла і може бути зроблено лише обмеженого числа симетричних тіл і лише осей симетрії. Кількість осей, навколо яких може обертатися тіло, дуже велика. Серед усіх осей виділяється та, яка проходить через чудову точку тіла. центр мас (Точку, для опису руху якої достатньо уявити, що вся маса системи зосереджена в центрі мас і до цієї точки прикладена сила, що дорівнює сумі всіх сил). Але осей, що проходять через центр мас, також дуже багато. Виявляється, що для будь-якого твердого тіла довільної форми існують три взаємно перпендикулярні осі. З х, З у, З z, звані осями вільного обертання , Що мають чудову властивість: якщо тіло закрутити навколо будь-якої з цих осей і підкинути вгору, то при наступному русі тіла вісь залишиться паралельною самій собі, тобто. не буде перекидатися. Закручування навколо будь-якої іншої осі цією властивістю не має. Значення моментів інерції типових тіл щодо зазначених осей наведено нижче. Якщо вісь проходить через центр мас, але становить кути a, b, g з осями З х, З у, З zвідповідно, то момент інерції щодо такої осі дорівнює

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Розглянемо коротко обчислення моменту інерції для найпростіших тіл.

1.Момент інерції довгого тонкого однорідного стрижня щодо осі, що проходить через центр стрижня мас і йому перпендикулярної.

Нехай т –маса стрижня, l –його довжина.

,

Індекс « з» у моменту інерції I cозначає, що це момент інерції щодо осі, що проходить через точку центру мас (центр симетрії тіла), C(0,0,0).

2. Момент інерції тонкої прямокутної платівки.

; ;

3. Момент інерції прямокутного паралелепіпеда.

, Т. З (0,0,0)

4. Момент інерції тонкого кільця.

;

, Т. З (0,0,0)

5. Момент інерції тонкого диска.

У силу симетрії

; ;

6. Момент інерції суцільного циліндра.

;

В силу симетрії:

7. Момент інерції суцільної кулі.

, Т. З (0,0,0)

8. Момент інерції суцільного конуса.

, т. С(0,0,0)

де R– радіус основи, h- Висота конуса.

Нагадаємо, що cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Нарешті, якщо вісь не проходить через центр мас, то момент інерції тіла може бути обчислений за допомогою теореми Гюйгенса Штейнера

I про = I з + md 2, (**)

де I про- момент інерції тіла щодо довільної осі, I з- момент інерції щодо паралельної їй осі, що проходить через центр мас,
m- маса тіла, d- Відстань між осями.

Процедура обчислення моментів інерції тіл стандартної форми щодо довільної осі зводиться до наступного.

Розглянемо тепер проблему визначення моменту інерціїрізних тіл. Загальна формула для знаходження моменту інерціїоб'єкта щодо осі z має вигляд

Іншими словами, потрібно скласти всі маси, помноживши кожну з них на квадрат її відстані до осі (x 2 i + y 2 i). Зауважте, що це правильно навіть для тривимірного тіла, незважаючи на те, що відстань має такий «двовимірний вигляд». Втім, у більшості випадків ми обмежуватимемося двовимірними тілами.

Як простий приклад розглянемо стрижень, що обертається щодо осі, що проходить через його кінець і перпендикулярна до нього (фіг. 19.3). Нам потрібно підсумувати тепер усі маси, помножені на квадрати відстані х (у цьому випадку всі у — нульові). Під сумою, зрозуміло, я маю на увазі інтеграл від х2, помножений на «елементики» маси. Якщо ми розділимо стрижень на шматочки довжиною dx, то відповідний елемент маси буде пропорційний dx, а якби dx становило довжину всього стрижня, його маса була б дорівнює М. Тому

Розмірність моменту інерції завжди дорівнює масі, помноженій на квадрат довжини, тому єдина істотна величина, яку ми вирахували, це множник 1/3.

А чому дорівнює момент інерції I, якщо вісь обертання проходить через середину стрижня? Щоб знайти його, нам знову потрібно взяти інтеграл, але вже в межах -1/2L до +1/2L. Зауважимо, однак, одну особливість цього випадку. Такий стрижень з віссю, що проходить через центр, можна уявляти собі як два стрижні з віссю, що проходить через кінець, причому маса кожного з них дорівнює М/2, а довжина дорівнює L/2. Моменти інерції двох таких стрижнів дорівнюють один одному і обчислюються за формулою (19.5). Тому момент інерції всього стрижня дорівнює

Таким чином, стрижень набагато легше крутити за середину, аніж за кінець.

Можна, звичайно, продовжити обчислення моментів інерції інших тіл, які нас цікавлять. Але оскільки такі розрахунки вимагають великого досвіду у обчисленні інтегралів (що дуже важливо саме собою), вони як такі не становлять нам великого інтересу. Втім, тут є деякі дуже цікаві та корисні теореми. Нехай є якесь тіло і ми хочемо впізнати його момент інерції щодо якоїсь осі. Це означає, що хочемо знайти його інертність при обертанні навколо цієї осі. Якщо ми рухатимемо тіло за стрижень, що підпирає його центр мас так, щоб воно не поверталося при обертанні навколо осі (у цьому випадку на нього не діють жодні моменти сил інерції, тому тіло не повертатиметься, коли ми почнемо рухати його), то для того, щоб повернути його, знадобиться така ж сила, якби вся маса була зосереджена в центрі мас і момент інерції був би просто дорівнює I 1 = MR 2 ц.м. де R ц.м - відстань від центру мас до осі обертання. Проте ця формула, зрозуміло, неправильна. Вона не дає правильного моменту інерції тіла. Адже насправді при повороті тіло обертається. Крутиться як центр мас (що давало б величину I 1), саме тіло теж має повертатися щодо центру мас. Таким чином, на момент інерції I 1 потрібно додати I ц - момент інерції щодо центру мас. Правильна відповідь полягає в тому, що момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює

Ця теорема називається теоремою про паралельне перенесення осі. Доводиться вона дуже легко. Момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює сумі мас, помножених на суму квадратів х і у, тобто I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Ми зараз зосередимо нашу увагу на х, проте все точно можна повторити і для у. Нехай координата є відстань даної приватної точки від початку координат; подивимося, проте, як усе зміниться, якщо ми вимірюватимемо відстань х` від центру мас замість х від початку координат. Щоб це з'ясувати, ми маємо написати
x i = x `i + X ц.м.
Зводячи цей вираз у квадрат, знаходимо
x 2 i = x `2 i + 2X ц.м. x`i+X 2 ц.м.

Що вийде, якщо помножити його на m i і підсумувати за всіма r? Виносячи постійні величини за знак підсумовування, знаходимо

I x = Σm i x` 2 i + 2X ц.м. Σm i x` i + X2 ц.м. Σm i

Третю суму підрахувати легко; це просто МХ 2 ц. . Другий член складається з двох співмножників, один з яких Σm i x`i; він дорівнює x`-координаті центру мас. Але це має дорівнювати нулю, адже х` відраховується від центру мас, а в цій системі координат середнє положення всіх частинок, зважене їх масами, дорівнює нулю. Перший член, очевидно, є частиною х від I ц. Таким чином, ми приходимо до формули (19.7).

Давайте перевіримо формулу (19.7) одному прикладі. Просто перевіримо, чи буде вона застосовна для стрижня. Ми вже знайшли, що момент інерції стрижня щодо його кінця повинен дорівнювати ML 2 /3. А центр мас стрижня, очевидно, перебуває в відстані L/2. Таким чином, ми маємо отримати, що ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Оскільки одна четверта + одна дванадцята = однієї третьої, ми не зробили ніякої грубої помилки.

До речі, щоб знайти момент інерції (19.5) зовсім не обов'язково обчислювати інтеграл. Можна просто припустити, що він дорівнює величині ML 2 помноженої на деякий невідомий коефіцієнт γ. Після цього можна використовувати міркування про дві половинки та для моменту інерції (19.6) отримати коефіцієнт 1/4γ. Використовуючи тепер теорему про паралельне перенесення осі, доведемо, що γ=1/4γ + 1/4, звідки γ=1/3. Завжди можна знайти якийсь манівець!

При застосуванні теореми про паралельні осі важливо пам'ятати, що вісь I ц повинна бути паралельна осі, щодо якої ми хочемо обчислювати момент інерції.

Варто, мабуть, згадати про ще одну властивість, яка часто буває дуже корисною при знаходженні моменту інерції деяких типів тіл. Воно полягає в наступному: якщо у нас є плоска фігура та трійка координатних осей з початком координат, розташованим у цій площині, і віссю z, спрямованої перпендикулярно до неї, то момент інерції цієї фігури щодо осі z дорівнює сумі моментів інерції щодо осей х і у . Доводиться це дуже просто. Зауважимо, що

Момент інерції однорідної прямокутної пластинки, наприклад з масою М, шириною ω і довжиною L щодо осі, перпендикулярної до неї і проходить через її центр, дорівнює просто

оскільки момент інерції щодо осі, що лежить у площині пластинки і паралельної її довжині, дорівнює Mω 2 /12, тобто такий самий, як і для стрижня довжиною ω, а момент інерції щодо іншої осі в тій же площині дорівнює ML 2 / 12 такий же, як і для стрижня довжиною L.

Отже, перерахуємо властивості моменту інерції щодо цієї осі, яку ми назвемо віссю z:

1. Момент інерції дорівнює

2. Якщо предмет складається з кількох частин, причому момент інерції кожної їх відомий, то повний момент інерції дорівнює сумі моментів інерції цих частин.
3. Момент інерції щодо будь-якої даної осі дорівнює моменту інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток повної маси на квадрат відстані даної осі від центру мас.
4. Момент інерції плоскої фігури щодо осі, перпендикулярної до її площини, дорівнює сумі моментів інерції щодо будь-яких двох інших взаємно перпендикулярних осей, що лежать у площині фігури та перетинаються з перпендикулярною віссю.

У табл. 19.1 наведено моменти інерції деяких елементарних фігур, що мають однорідну щільність мас, а табл. 19.2 - моменти інерції деяких фігур, які можуть бути одержані з табл. 19.1 з використанням перерахованих вище властивостей.

Тіла щодо будь-якої осі можна знайти обчисленням. Якщо речовина в тілі розподілена безперервно, то обчислення моменту інерції його зводиться до обчислення інтегралу

в котрому r- Відстань від елемента маси dmдо осі обертання.

Момент інерції тонкого однорідного стрижня щодо перпендикулярної осі.Нехай вісь проходить через кінець стрижня А(Рис. 4.4).

Для моменту інерції можна написати I A = kml 2 , де l- Довжина стрижня, k- Коефіцієнт пропорційності. Центр стрижня Зє його центром мас. За теоремою Штейнера I A = I C + m(l/2) 2 . Величину I Cможна уявити як суму моментів інерції двох стрижнів, САі СВ, довжина кожного з яких дорівнює l/2, маса m/2, отже, момент інерції дорівнює Таким чином, I C = km(l/ 2) 2 . Підставляючи ці висловлювання у формулу для теореми Штейнера, отримаємо

,

звідки k = 1/3. В результаті знаходимо

(4.16)

Момент інерції нескінченно тонкого круглого кільця(Колі). Момент інерції щодо осі Z(Рис. 4.5) дорівнює

I Z = mR 2 , (4.17)

де R- Радіус кільця. Через симетрію I X = I У.

Формула (4.17) очевидно, дає також момент інерції порожнистого однорідного циліндра з нескінченно тонкими стінками щодо геометричної осі.

Мал. 4.5 Мал. 4.6

Момент інерції нескінченно тонкого диска та суцільного циліндра.Передбачається, що диск та циліндр однорідні, тобто речовина розподілена в них з постійною щільністю. Нехай вісь Zпроходить через центр диска Зперпендикулярно його площині (рис. 4.6). Розглянемо нескінченно тонке кільце із внутрішнім радіусом rта зовнішнім радіусом r + dr. Площа такого кільця dS = 2 p rdr. Його момент інерції знайдеться за формулою (4.17), він дорівнює dI z = r 2 dm.Момент інерції всього диска визначається інтегралом Через однорідність диска dm = , де S = p R 2 – площа всього диска. Вводячи цей вираз під знак інтеграла, отримаємо

(4.18)

Формула (4.18) дає також момент інерції однорідного суцільного циліндра щодо його поздовжньої геометричної осі.

Обчислення моменту інерції тіла щодо осі часто можна спростити, попередньо обчисливши момент інерціїйого щодо точки. Сам собою момент інерції тіла щодо точки не відіграє жодної ролі в динаміці. Він є суто допоміжним поняттям, що служить спрощення обчислень. Моментом інерції тіла щодо точкиназивається сума творів мас матеріальних точок, з яких тіло складається, на квадрати їх відстаней R до точки: q = Σ mR 2. У разі безперервного розподілу мас ця сума зводиться до інтегралу q = ∫R 2 dm. Зрозуміло, що момент θ не слід змішувати з моментом інерції Iщодо осі. У разі моменту Iмаси dmмножаться на квадрати відстаней цієї осі, а разі моменту θ - до нерухомої точки.

Розглянемо спочатку одну матеріальну точку з масою mта з координатами x, у,zщодо прямокутної системи координат (рис. 4.7). Квадрати відстаней до координатних осей Х,Y,Zрівні відповідно у 2 + z 2,z 2 + x 2,x 2 + у 2, а моменти інерції щодо тих самих осей

I X= m(y 2 + z 2), I У = m(z 2 + x 2),

I Z = m(x 2 + y 2).

Складемо ці три рівністі, отримаємо I X + I У + I Z = 2m(x 2 + у 2 + z 2).

Але х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , де R- Відстань точки m від початку координат О.Тому

I X + I У + I Z = 2θ . (4.19)

Це співвідношення справедливе як однієї матеріальної точки, але й довільного тіла, оскільки тіло можна як сукупність матеріальних точок. Таким чином, сума моментів інерції тіла щодо трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює подвоєному моменту інерції того ж тіла щодо цієї точки.

Момент інерції порожньої кулі з нескінченно тонкими стінками.

Спочатку знайдемо момент інерції θ щодо центру кулі. Очевидно, він дорівнює θ = mR 2 . Потім застосовуємо формулу (4.19). Вважаючи в ній через симетрію I X = I Y = I Z = I.В результаті знаходимо момент інерції порожньої кулі щодо його діаметра

Момент інерції тіла щодо осі та щодо точки. Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки до осі. Щоб знайти момент інерції тіла (з безперервним розподілом речовини) щодо осі, треба подумки розбити його на такі малі елементи, щоб кожен із них можна було вважати матеріальною точкою нескінченно малої маси dm =  dV. Тоді момент інерції тіла щодо осі дорівнює інтегралу за обсягом тіла:

де r- Відстань елемента dmдо осі.

Обчислення моменту інерції тіла щодо осі часто спрощується, якщо попередньо обчислити його момент інерції щодо точки . Він обчислюється за формулою, аналогічною (1):

(2)

де r- Відстань елемента dmдо обраної точки (щодо якої обчислюється  ). Нехай ця точка є початком системи координат, X, Z Y dm(Рис. 1). Квадрати відстаней елемента Нехай ця точка є початком системи координат, X, Z до координатних осей y 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 і до початку координат рівні відповідно Нехай ця точка є початком системи координат, X, Z.

Моменти інерції тіла щодо осей

і щодо початку координат З цих співвідношень випливає, що

Таким чином, сума моментів інерції тіла щодо трьох будь-яких взаємно перпендикулярних осей, що проходять через одну точку, дорівнює подвоєному моменту інерції тіла щодо цієї точки. dmМомент інерції тонкого кільця. R, Усі елементи кільця

(4)

(рис. 2) знаходяться на однаковій відстані, що дорівнює радіусу кільця від його осі симетрії (вісь Y) та від його центру. Момент інерції кільця щодо осіY mМомент інерції тонкого диска. R 1 Нехай тонкий однорідний диск маси R 2 з концентричним отвором (рис. 3) має внутрішній та зовнішній радіуси rі . Подумки розіб'ємо диск на тонкі кільця радіусу, товщини X dr

.

(6)

Момент інерції такого кільця щодо осі R 1 = 0, R 2 = R, (рис. 3, вона перпендикулярна малюнку і не показана), відповідно до (4):

Момент інерції диска:Зокрема, вважаючи (6)

отримаємо формулу для обчислення моменту інерції тонкого суцільного однорідного диска щодо його осі:  = Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска y , . Тому за формулами (6) та (7) можна обчислювати моменти інерції відповідних циліндрів щодо їх осей симетрії. Нехай ця точка є початком системи координатМомент інерції тонкого диска щодо його центру також обчислюється за формулою (6), Z J Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска x = Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска zа моменти інерції щодо осей 2 Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска x + Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска y = 2 Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска y , Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска x = Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска y /2, і

(8)

рівні між собою, . mТому, відповідно до (3): hабо R 1 Момент інерції циліндра. R 2 Нехай є порожнистий симетричний циліндр маси Z, проведеної через центр мас перпендикулярно до осі циліндра (рис. 4). Для цього подумки розіб'ємо його на диски нескінченно малої товщини. dy. Один з таких дисків, масою dm = mdy/ h, розташований на відстані yвід початку координат, показано на рис. 4. Його момент інерції щодо осі Z, відповідно до (8) та теореми Гюйгенса – Штейнера

Момент інерції всього циліндра

Момент інерції циліндра щодо осі Z (осі обертання маятника) знайдемо за теоремою Гюйгенса – Штейнера

де d- Відстань від центру мас циліндра до осі Z . Момент інерції диска щодо осі симетрії не залежить від товщини диска У роботі 16 цей момент інерції позначений як

(11)

ц

МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ Нанесення експериментальних точок та проведення за ними графіка «на око», а також визначення за графіком абсцис та ординат точок не відрізняються високою точністю. Її можна підвищити, якщо використати аналітичний метод. Математичне правило побудови графіка полягає у підборі таких значень параметрів «а» та «в» у лінійній залежності виду у = ах +  у b , щоб сума квадратів відхилень i(рис. 5) всіх експериментальних точок від лінії графіка була найменшою (

(1)