За допомогою лінійки. Переважно, щоб вона була виготовлена з якомога тоншого листового матеріалу. У випадку, якщо поверхня, на якій розстелена, не є плоскою, допоможе портнівський метр. А за відсутності тонкої лінійки, і якщо карту не шкода проколювати, зручно використовувати для вимірювання циркуль, бажано з двома голками. Потім його можна перенести на міліметровий папір та виміряти довжину відрізка по ньому.
Дороги між двома точками рідко прямими. Виміряти довжину лінії допоможе зручний прилад – курвіметр. Щоб ним скористатися, спочатку обертанням ролика поєднайте стрілку з нулем. Якщо електронний курвіметр, встановлювати його на нуль вручну необов'язково - достатньо натиснути кнопку скидання. Притримуючи ролик, притисніть його до початкової точки відрізка так, щоб ризик на корпусі (вона розташована над роликом) вказував прямо на цю точку. Потім ведіть ролик по лінії, поки ризику не виявиться суміщена з кінцевою точкою. Прочитайте свідчення. Врахуйте, що деякі курвіметри мають дві шкали, одна з яких має градуювання в сантиметрах, а інша - в дюймах.
Знайдіть на карті вказівник масштабу – зазвичай він розташований у правому нижньому кутку. Іноді цей покажчик є відрізок каліброваної довжини, поряд з яким зазначено, якій відстані він відповідає. Виміряйте довжину цього відрізка лінійкою. Якщо виявиться, наприклад, що він має довжину в 4 сантиметри, а поруч із ним вказано, що відповідає 200 метрам, поділіть друге число на перше, і ви дізнаєтеся, що кожному на карті відповідає 50 метрів на місцевості. На деяких замість відрізка є готова фраза, яка може виглядати, наприклад, таким чином: «В одному сантиметрі 150 метрів». Також масштаб може бути зазначений у вигляді співвідношення такого виду: 1:100000. І тут можна підрахувати, що сантиметру на карті відповідає 1000 метрів біля, оскільки 100000/100(сантиметрів у метрі)=1000 м.
Виміряну лінійкою або курвіметром відстань, виражену в сантиметрах, помножте на вказану на карті або розраховану кількість метрів або в одному сантиметрі. В результаті вийде реальна відстань, виражена, відповідно, або кілометрів.
Будь-яка карта є зменшеним зображенням якоїсь території. Коефіцієнт, який показує, наскільки зображення зменшено по відношенню до реального об'єкта, називається масштабом. Знаючи його, можна визначити відстаньпо . Для реально існуючих карток на паперовій основі масштаб – величина фіксована. Для віртуальних, електронних карт ця величина змінюється разом із зміною збільшення зображення на екрані монітора.
Інструкція
Відстань по картіможна виміряти за допомогою інструмента «Лінійка» геоінформаційних пакетів Google Earth та Yandex Maps, підосновою для карт у яких є космічні супутникові . Просто увімкніть цей інструмент і клацніть мишкою по точці, що позначає початок вашого маршруту та тієї, де його плануєте завершити. Значення відстані можна буде дізнатись у будь-яких заданих одиницях вимірювання.
Кожна точка площини А характеризується своїми координатами (х, у). Вони збігаються з координатами вектора 0А, що виходить із точки 0 - початку координат.
Нехай А і В - довільні точки площини з координатами (х 1 y 1) та (х 2, у 2) відповідно.
Тоді вектор AB має, очевидно, координати (х 2 - х 1, у 2 - у 1). Відомо, що квадрат довжини вектора дорівнює сумі квадратів координат. Тому відстань d між точками А і В, або, що те саме, довжина вектора АВ, визначається з умови
d 2 = (х 2 – х 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 .
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Отримана формула дозволяє знаходити відстань між будь-якими двома точками площини, якщо відомі координати цих точок
Щоразу, говорячи про координати тієї чи іншої точки площини, ми маємо на увазі цілком певну систему координат х0у. А взагалі систему координат на площині можна вибирати по-різному. Так, замість системи координат х0у можна розглянути систему координат хִу, яка виходить в результаті повороту старих осей координат навколо початкової точки 0 проти вартовийстрілки на кут α .
Якщо деяка точка площини в системі координат х0у мала координати (х, у), то в новій системі координат хִу вона матиме вже інші координати (х, у).
Як приклад розглянемо точку М, розташовану на осі 0х і віддалену від точки 0 на відстані, що дорівнює 1.
Очевидно, що в системі координат x0у ця точка має координати (cos α , sin α ), а системі координат хִу координати (1,0).
Координати будь-яких двох точок площини А та В залежать від того, як у цій площині задана система координат. А ось відстань між цими точками залежить від способу завдання системи координат .
Інші матеріалиВідстань між двома точками площини.
Системи координат
Кожна точка площини А характеризується своїми координатами (х, у). Вони збігаються з координатами вектора 0А, що виходить із точки 0 - початку координат.
Нехай А і В - довільні точки площини з координатами (х 1 y 1) та (х 2, у 2) відповідно.
Тоді вектор AB має, очевидно, координати (х 2 - х 1, у 2 - у 1). Відомо, що квадрат довжини вектора дорівнює сумі квадратів координат. Тому відстань d між точками А і В, або, що те саме, довжина вектора АВ, визначається з умови
d 2 = (х 2 – х 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 .
d = \/ (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
Отримана формула дозволяє знаходити відстань між будь-якими двома точками площини, якщо відомі координати цих точок
Щоразу, говорячи про координати тієї чи іншої точки плоскосі, ми маємо на увазі цілком певну систему координат х0у. А взагалі систему координат на площині можна вибирати по-різному. Так, замість системи координат х0у можна розглянути систему координат х"0у", яка виходить в результаті повороту старих осей координат навколо початкової точки 0 проти вартовийстрілки на кут α .
Якщо деяка точка площини в системі координат х0у мала координати (х, у), то в новій системі координат х "0у" вона матиме вже інші координати (х", у").
Як приклад розглянемо точку М, розташовану на осі 0х" і віддалену від точки 0 на відстані, що дорівнює 1.
Очевидно, що в системі координат x0у ця точка має координати (cos α , sin α ), а в системі координат х "0у" координати (1,0).
Координати будь-яких двох точок площини А та В залежать від того, як у цій площині задана система координат. А ось відстань між цими точками залежить від способу завдання системи координат. Ця важлива обставина буде суттєво використана нами у наступному параграфі.
Вправи
I. Знайти відстані між точками площини з координатами:
1) (3,5) та (3,4); 3) (0,5) та (5, 0); 5) (-3,4) та (9, -17);
2) (2, 1) та (- 5, 1); 4) (0, 7) та (3,3); 6) (8, 21) та (1, -3).
ІІ. Знайти периметр трикутника, сторони якого задані рівняннями:
x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 та у = 1.
ІІІ. У системі координат х0у точки М і N мають координати (1, 0) та (0,1) відповідно. Знайти координати цих точок у новій системі координат, яка виходить і в результаті повороту старих осей навколо початкової точки на кут 30° проти годинникової стрілки.
IV. У системі координат х0у точки М і N мають координати (2, 0) і (\ / 3/2, - 1/2) відповідно. Знайти координати цих точок у новій системі координат, яка виходить в результаті повороту старих осей навколо початкової точки на кут 30° за годинниковою стрілкою.
§ 1 Ціле та дробове раціональні рівняння
У цьому уроці розберемо такі поняття, як раціональне рівняння, раціональне вираження, вираз, дробовий вираз. Розглянемо розв'язання раціональних рівнянь.
Раціональним рівнянням називають рівняння, у якому ліва та права частини є раціональними виразами.
Раціональні вирази бувають:
дрібні.
Цілий вираз складено з чисел, змінних, цілих ступенів за допомогою дій додавання, віднімання, множення, а також поділу на число, відмінне від нуля.
Наприклад:
У дробових виразах є розподіл на змінну або вираз зі змінною. Наприклад:
Дробове вираження не при всіх значеннях змінних, що входять до нього, має сенс. Наприклад, вираз
при х = -9 немає сенсу, оскільки за х = -9 знаменник перетворюється на нуль.
Значить, раціональне рівняння може бути цілим та дробовим.
Ціле раціональне рівняння – це раціональне рівняння, в якому ліва та права частини – цілі вирази.
Наприклад:
Дробове раціональне рівняння - це раціональне рівняння, у якому або ліва, або права частини - дробові вирази.
Наприклад:
§ 2 Розв'язання цілого раціонального рівняння
Розглянемо розв'язання цілого раціонального рівняння.
Наприклад:
Помножимо обидві частини рівняння на найменший загальний знаменник знаменників дробів, що входять до нього.
Для цього:
1. знайдемо спільний знаменник для знаменників 2, 3, 6. Він дорівнює 6;
2. знайдемо додатковий множник для кожного дробу. Для цього спільний знаменник 6 ділимо на кожен знаменник
додатковий множник для дробу
додатковий множник для дробу
3. помножимо чисельники дробів на відповідні їм додаткові множники. Таким чином, отримаємо рівняння
яке рівносильне даному рівнянню
Зліва розкриємо дужки, праву частину перенесемо наліво, змінивши знак доданку при перенесенні на протилежний.
Наведемо подібні члени багаточлена та отримаємо
Бачимо, що рівняння лінійне.
Вирішивши його, знайдемо, що х = 0,5.
§ 3 Розв'язання дробового раціонального рівняння
Розглянемо рішення дробового раціонального рівняння.
Наприклад:
1. Помножимо обидві частини рівняння на найменший загальний знаменник знаменників вхідних до нього раціональних дробів.
Знайдемо спільний знаменник для знаменників х+7 та х – 1.
Він дорівнює їхньому твору (х + 7) (х - 1).
2.Знайдемо додатковий множник для кожного раціонального дробу.
І тому загальний знаменник (х + 7)(х - 1) ділимо за кожен знаменник. Додатковий множник для дробу
дорівнює х - 1,
додатковий множник для дробу
дорівнює х +7.
3. Помножимо чисельники дробів на відповідні їм додаткові множники.
Отримаємо рівняння (2х - 1)(х - 1) = (3х + 4)(х + 7), яке рівносильне даному рівнянню
4.Зліва і праворуч помножимо двочлен на двочлен і отримаємо наступне рівняння
5.Праву частину перенесемо наліво, змінивши знак кожного доданка при перенесенні на протилежний:
6.Наведемо подібні члени многочлена:
7. Можна обидві частини розділити на -1. Отримаємо квадратне рівняння:
8. Вирішивши його, знайдемо коріння
Тому що в рівнянні
ліва і права частини - дробові вирази, а в дробових виразах при деяких значеннях змінних знаменник може звернутися в нуль, необхідно перевірити, чи не звертається в нуль при знайдених х1 і х2 загальний знаменник.
При х = -27 загальний знаменник (х + 7) (х - 1) не звертається в нуль, при х = -1 загальний знаменник також не дорівнює нулю.
Отже, обидва корені -27 і -1 є корінням рівняння.
При вирішенні дробового раціонального рівняння краще відразу вказати область допустимих значень. Виключити ті значення, у яких загальний знаменник перетворюється на нуль.
Розглянемо ще один приклад розв'язання дробового раціонального рівняння.
Наприклад, вирішимо рівняння
Знаменник дробу правої частини рівняння розкладемо на множники
Отримаємо рівняння
Знайдемо спільний знаменник для знаменників (х – 5), х, х(х – 5).
Їм буде вираз х(х – 5).
тепер знайдемо область допустимих значень рівняння
І тому загальний знаменник прирівняємо до нуля х(х - 5) = 0.
Отримаємо рівняння, вирішивши яке, знайдемо, що за х = 0 або за х = 5 загальний знаменник перетворюється на нуль.
Отже, х = 0 чи х = 5 неможливо знайти корінням нашого рівняння.
Тепер можна знайти додаткові множники.
Додатковим множником для раціонального дробу
додатковим множником для дробу
буде (х - 5),
а додатковий множник дробу
Числювачі помножимо на відповідні додаткові множники.
Отримаємо рівняння х(х – 3) + 1(х – 5) = 1(х + 5).
Розкриємо дужки зліва і справа, х2 – 3х + х – 5 = х + 5.
Перенесемо доданки праворуч наліво, змінивши знак доданків, що переносяться:
Х2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0
І після приведення подібних членів отримаємо квадратне рівняння х2 – 3х – 10 = 0. Вирішивши його, знайдемо коріння х1 = –2; х2 = 5.
Але ми вже з'ясували, що за х = 5 загальний знаменник х(х - 5) перетворюється на нуль. Отже, корінням нашого рівняння
буде х = -2.
§ 4 Короткі підсумки уроку
Важливо запам'ятати:
При розв'язанні дробових раціональних рівнянь треба вчинити так:
1.Знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння. При цьому якщо знаменники дробів можна розкласти на множники, розкласти їх на множники і потім знайти спільний знаменник.
2. Помножити обидві частини рівняння на загальний знаменник: знайти додаткові множники, помножити чисельники на додаткові множники.
3. Вирішити ціле рівняння, що вийшло.
4.Виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.
Список використаної литературы:
- Макарічев Ю.М., Н. Г. Міндюк, Нєшков К.І., Суворова С.Б. / За редакцією Теляковського С.А. Алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ. - М: Просвітництво, 2013.
- Мордковіч А.Г. Алгебра. 8 кл.: У двох частинах. Ч.1: Навч. для загальноосвіт. установ. - М: Мнемозіна.
- Рурукін О.М. Поурочні розробки з алгебри: 8 клас. - М.: ВАКО, 2010.
- Алгебра 8 клас: поурочні плани за підручником Ю.М. Макарічева, Н.Г. Міндюк, К.І. Нешкова, С.Б. Суворової / Авт.-упоряд. Т.л. Афанасьєва, Л.А. Тапіліна. -Волгоград: Вчитель, 2005.