Продовжуємо заглиблюватися у тему «вирішення нерівностей з однією змінною». Нам уже знайомі лінійні нерівності та квадратні нерівності. Вони є окремими випадками раціональних нерівностей, Вивченням яких ми зараз і займемося. Почнемо з того, що з'ясуємо, нерівності якогось виду називаються раціональними. Далі розберемося з їхнім підрозділом на цілі раціональні та дробові раціональні нерівності. А вже після цього вивчатимемо, як проводиться розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною, запишемо відповідні алгоритми та розглянемо розв'язання характерних прикладів із детальними поясненнями.
Навігація на сторінці.
Що таке раціональні нерівності?
У школі під час уроків алгебри, щойно заходить розмова про розв'язання нерівностей, відразу і відбувається зустріч із раціональними нерівностями. Однак спочатку їх не називають своїм ім'ям, тому що на цьому етапі види нерівностей становлять мало інтересу, а основна мета полягає у отриманні початкових навичок роботи з нерівностями. Сам термін «раціональна нерівність» запроваджується пізніше у 9 класі, коли починається детальне вивчення нерівностей саме цього виду.
Давайте дізнаємось, що таке раціональні нерівності. Ось визначення:
В озвученому визначенні нічого не сказано про кількість змінних, отже, допускається будь-яка їхня кількість. Залежно від цього розрізняють раціональні нерівності з одним, двома тощо. змінними. До речі, у підручнику дається таке визначення, але для раціональних нерівностей із однією змінною. Це і зрозуміло, тому що в школі основна увага приділяється вирішенню нерівностей з однією змінною (нижче ми теж говоритимемо лише про розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною). Нерівності з двома зміннимирозглядають мало, а нерівності з трьома і більшою кількістю змінних практично взагалі не приділяють уваги.
Отже, раціональне нерівність можна розпізнати з його записи, при цьому досить поглянути висловлювання у його лівої і правої частини і переконатися, що є раціональними висловлюваннями. Ці міркування дозволяють навести приклади раціональних нерівностей. Наприклад, x>4 , x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1), - Це раціональні нерівності. А нерівність 
не є раціональним, тому що його ліва частина містить змінну під знаком кореня, а отже, не є раціональним виразом. Нерівність теж раціональне, оскільки обидві його частини є раціональними висловлюваннями.
Для зручності подальшого опису введемо підрозділ раціональних нерівностей на цілі та дробові.
Визначення.
Раціональну нерівність називатимемо цілим, якщо обидві його частини – цілі раціональні висловлювання.
Визначення.
Дробно раціональна нерівність– це раціональна нерівність, хоча одна частина якої – дробовий вираз.
Так 0,5·x≤3·(2−5·y) , 
- цілі нерівності, а 1:x+3>0 і 
- Дробово раціональні.
Тепер ми маємо чітке розуміння, що є раціональними нерівностями, і можна сміливо починати розбиратися з принципами вирішення цілих і дробово раціональних нерівностей з однією змінною.
Розв'язання цілих нерівностей
Поставимо перед собою завдання: нехай нам треба вирішити цілу раціональну нерівність з однією змінною x виду r(x)
Перенесемо вираз із правої частини до лівої, що нас призведе до рівносильної нерівності виду r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) з нулем праворуч. Очевидно, що вираз r(x)−s(x) , що утворився в лівій частині, теж цілий, а відомо, що можна будь-яке . Перетворивши вираз r(x)−s(x) на тотожно рівний йому багаточлен h(x) (тут зауважимо, що вирази r(x)−s(x) і h(x) мають однакову змінну x ), ми перейдемо до рівносильного нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥).
У найпростіших випадках виконаних перетворень буде достатньо, щоб отримати потрібне рішення, оскільки вони приведуть нас від вихідної цілої раціональної нерівності до нерівності, яку ми вміємо вирішувати, наприклад, до лінійної або квадратної. Розглянемо приклади.
приклад.
Знайдіть розв'язання цілої раціональної нерівності x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Рішення.
Спочатку переносимо вираз із правої частини до лівої: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Виконавши все в лівій частині, приходимо до лінійної нерівності 3·x−2≤0 , яка дорівнює вихідній цілій нерівності. Його рішення не становить складності:
3·x≤2 ,
x≤2/3.
Відповідь:
x≤2/3.
приклад.
Розв'яжіть нерівність (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x).
Рішення.
Починаємо як звичайно з перенесення виразу з правої частини, а далі виконуємо перетворення в лівій частині, використовуючи :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Так, виконуючи рівносильні перетворення, ми дійшли нерівності 1>0 , яка вірна за будь-яких значень змінної x . І це означає, що рішенням вихідної цілої нерівності є будь-яке дійсне число.
Відповідь:
x – будь-яке.
приклад.
Виконайте розв'язання нерівності x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0.
Рішення.
У правій частині нуль, тож із неї нічого переносити не потрібно. Перетворимо цілий вираз, що знаходиться в лівій частині, в багаточлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0,
−2·x 2 +11·x+6>0 .
Отримали квадратну нерівність, яка дорівнює вихідній нерівності. Вирішуємо його будь-яким відомим нам методом. Проведемо розв'язання квадратної нерівності графічним способом.
Знаходимо коріння квадратного тричлена −2·x 2 +11·x+6 : 
Робимо схематичне креслення, на якому відзначаємо знайдені нулі, та враховуємо, що гілки параболи спрямовані вниз, оскільки старший коефіцієнт негативний: 
Так як ми вирішуємо нерівність зі знаком, то нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис. Це має місце на інтервалі (−0,5, 6) , і є шуканим рішенням.
Відповідь:
(−0,5, 6) .
У більш складних випадках у лівій частині отриманої нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥) буде багаточлен третього або вищого ступеня. Для вирішення таких нерівностей підходить спосіб інтервалів , першому етапі якого необхідно знайти все коріння многочлена h(x) , що часто робиться через .
приклад.
Знайдіть розв'язання цілої раціональної нерівності (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Рішення.
Перенесемо все в ліву частину, після чого там і :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4 · x 2 +2 · x +8-14 +9 · x<0
,
x 3 +4 · x 2 +11 · x-6<0
.
Зроблені маніпуляції призводять нас до нерівності, яка рівнозначна вихідному. У його лівій частині багаточлен третього ступеня. Вирішити його можна шляхом інтервалів. Для цього в першу чергу треба знайти коріння багаточлена, що впирається в x 3 +4 x 2 +11 x 6 = 0 . З'ясуємо, чи має воно раціональне коріння, яке може бути лише серед дільників вільного члена, тобто, серед чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Підставляючи по черзі ці числа замість змінної x рівняння x 3 +4 x 2 +11 x 6 = 0 , з'ясовуємо, що корінням рівняння є числа 1 , 2 і 3 . Це дозволяє уявити многочлен x 3 +4 x 2 +11 x 6 у вигляді твору (x−1)·(x−2)·(x−3) , а нерівність x 3 +4·x 2 +11· x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
А далі залишається виконати стандартні кроки методу інтервалів: відзначити на числовій прямій точці з координатами 1 , 2 і 3 , які розбивають цю пряму на чотири проміжки, визначити та розставити знаки, зобразити штрихування над проміжками зі знаком мінус (оскільки ми вирішуємо нерівність зі знаком<) и записать ответ.
Звідки маємо (−∞, 1)∪(2, 3) .
Відповідь:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Слід зазначити, що іноді недоцільно від нерівності r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходити до нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥), де h(x) – багаточлен ступеня вище за другий. Це стосується тих випадків, коли складніше розкласти многочлен h(x) на множники, ніж уявити вираз r(x)−s(x) у вигляді добутку лінійних двочленів і квадратних тричленів, наприклад, шляхом винесення за дужки загального множника. Пояснимо це з прикладу.
приклад.
Розв'яжіть нерівність (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Рішення.
Це ціла нерівність. Якщо перенести вираз з його правої частини в ліву, після чого розкрити дужки і навести подібні доданки, то вийде нерівність x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0. Вирішити його дуже непросто, оскільки це передбачає пошук коренів багаточлена четвертого ступеня. Нескладно перевірити, що раціонального коріння він не має (ними могли б бути числа 1, -1, 19 або -19), а інші його коріння шукати проблематично. Тому цей шлях тупиковий.
Давайте пошукаємо інші можливості рішення. Неважко помітити, що після перенесення виразу з правої частини вихідної цілої нерівності в ліву, можна винести за дужки загальний множник x 2 −2·x−1 :
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.
Зроблене перетворення є рівносильним, тому рішення отриманої нерівності буде рішенням та вихідної нерівності.
А тепер ми можемо знайти нулі виразу, що знаходиться в лівій частині отриманої нерівності, для цього треба x 2 −2 x 1 = 0 і x 2 2 x 19 = 0 . Їх корінням є числа 
. Це дозволяє перейти до рівносильної нерівності , яке ми можемо вирішити методом інтервалів: 
За кресленням записуємо відповідь.
Відповідь:
На закінчення цього пункту хочеться лише додати, що не завжди є можливість знайти все коріння многочлена h(x) , як наслідок розкласти їх у твір лінійних двочленів і квадратних тричленів. У цих випадках немає можливості розв'язати нерівність h(x)<0 (≤, >, ≥), отже, немає можливості знайти рішення вихідного цілого раціонального рівняння.
Вирішення дробово раціональних нерівностей
Тепер займемося вирішенням такого завдання: нехай потрібно розв'язати дробову раціональну нерівність з однією змінною x виду r(x)
Алгоритм розв'язання дрібно раціональної нерівностіз однією змінною r(x)
- Спочатку треба знайти область допустимих значень (ОДЗ) змінної x для вихідної нерівності.
- Далі потрібно перенести вираз з правої частини нерівності в ліву, і вираз r(x)−s(x), що там утворився, перетворити до виду дробу p(x)/q(x) , де p(x) і q(x) – цілі вирази, що є творами лінійних двочленів, нерозкладних квадратних тричленів та їх ступенів з натуральним показником.
- Далі треба вирішити одержану нерівність методом інтервалів.
- Нарешті, з отриманого на попередньому кроці рішення потрібно виключити точки, що не входять до ОДЗ змінної x для вихідної нерівності, яка була знайдена на першому кроці.
Так буде отримано розв'язання дробово раціональної нерівності.
Пояснень потребує другий крок алгоритму. Перенесення виразу з правої частини нерівності до лівої дає нерівність r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), яке дорівнює вихідному. Тут усе зрозуміло. А ось питання викликає подальше його перетворення на вигляд p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Перше питання: «Чи завжди його можна провести»? Теоретично, так. Ми знаємо, що можна будь-яке . У чисельнику та знаменнику раціонального дробу знаходяться багаточлени. А з основної теореми алгебри та теореми Безу випливає, що будь-який багаточлен ступеня n з однією змінною можна подати у вигляді твору лінійних двочленів. Це пояснює можливість проведення зазначеного перетворення.
На практиці ж досить складно розкладати багаточлени на множники, а якщо їх ступінь вищий за четвертий, то і не завжди можливо. Якщо розкладання на множники неможливо, то й можливості знайти рішення вихідної нерівності, але у школі такі випадки зазвичай не трапляються.
Друге питання: «Чи буде нерівність p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) рівнозначно нерівності r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), а отже, і вихідного»? Воно може бути як рівносильним, так і нерівносильним. Воно рівнозначне тоді, коли ОДЗ для виразу p(x)/q(x) збігається з ОДЗ для виразу r(x)-s(x). В цьому випадку останній крок алгоритму буде зайвим. Але ОДЗ для вираження p(x)/q(x) може виявитися ширшим, ніж ОДЗ для вираження r(x)-s(x). Розширення ОДЗ може відбуватися при скороченні дробів, наприклад, при переході від 
до. Також розширенню ОДЗ може сприяти приведення подібних доданків, як, наприклад, при переході від 
до. Для цього випадку і призначено останній крок алгоритму, на якому виключаються сторонні рішення, що виникають через розширення ОДЗ. Давайте стежимо за цим, коли розбиратимемо нижче рішення прикладів.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Приклади:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)
\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .
При розв'язанні дрібних раціональних нерівностей використовується метод інтервалів. Тому якщо алгоритм, наведений нижче, викличе у вас труднощі, перегляньте статтю по .
Як вирішувати дробові раціональні нерівності:
Алгоритм розв'язання дробово-раціональних нерівностей.
Приклади:
Розставте знаки на інтервалах числової осі. Нагадаю правила розміщення знаків:
Визначаємо знак у крайньому правому інтервалі - беремо число з цього інтервалу і підставляємо його в нерівність замість ікса. Після цього визначаємо знаки у дужках та результат перемноження цих знаків;
Приклади:
Виділіть потрібні проміжки. Якщо є корінь, що окремо стоїть, то позначте його прапорцем, щоб не забути внести його у відповідь (див. приклад нижче).
Приклади:
Запишіть у відповідь виділені проміжки та коріння, позначені прапорцем (якщо вони є).
Приклади:
Відповідь: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)