Натуральні числа
Числа, що застосовуються для рахунку, називаються натуральними числамиЦифра нульне відноситься до натуральних чисел.
Однозначнічисла: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двозначні: 24,56, і т.д. Тризначні: 348,569 і т.д. Багатозначні: 23,562,456789 і т.д.
Розбиття числа на групи по 3 цифри, починаючи праворуч, називається класами: перші три цифри – клас одиниць, наступні три цифри – клас тисяч, далі мільйони тощо.
Відрізкомназивають лінію, проведену з точки А до точки В. Називають АВ або ВА А В Довжину відрізка АВ називають відстаннюміж точками А та В.
Одиниці виміру довжини:
1) 10 см = 1 дм
2) 100 см = 1 м
3) 1 см = 10 мм
4) 1 км = 1000 м
Площина- Це поверхня, яка не має країв, що безмежно простягається у всіх напрямках. Прямане має початку та кінця. Дві прямі, що мають одну загальну точку – перетинаються. Промінь- Це частина прямої, яка має початок і не має кінця (ОА та ВВ). Промені, на які точка розбиває пряму, називають додатковимиодин одному.
Координатний промінь:
0 1 2 3 4 5 6 О Е А В Х О (0), Е (1), А (2), В (3) – координати точок. З двох натуральних чиселменше те, що за рахунку називають раніше, і більше те, що за рахунку називають пізніше. Одиниця - найменше натуральне число. Результат порівняння двох чисел записують у вигляді нерівності: 5< 8, 5670 >368. Число 8 менше, ніж 28 і більше, ніж 5, можна записати у вигляді подвійної нерівності: 5< 8 < 28
Додавання та віднімання натуральних чисел
Додавання
Числа, які складають, називають доданками. Результат додавання називають сумою.
Властивості додавання:
1. Переміщувальна властивість:Сума чисел не змінюється при перестановці доданків: a + b = b + a(a і b – будь-які натуральні числа та 0) 2. Сполучна властивість:Щоб додати суму двох чисел, можна спочатку додати перший доданок, а потім до отриманої суми – другий доданок: a + (b + с) = (a + b) + с = a + b + с(a, b і с – будь-які натуральні числа та 0).
3. Додавання з нулем:Від додавання нуля число не змінюється:
а + 0 = 0 + а = a(a – будь-яке натуральне число).
Суму довжин сторін багатокутника називають периметром цього багатокутника.
Віднімання
Дія, за яким за сумою та одним із доданків знаходять інше доданок, називають відніманням.
Число, з якого віднімають, називають зменшуваним, число, яке віднімають, називають віднімається, результат віднімання називають різницею.Різниця двох чисел показує, на скільки першечисло більшедругого або на скільки другечисло меншепершого.
Властивості віднімання:
1. Властивість віднімання суми з числа: Для того, щоб відняти суму з числа, можна спочатку відняти від цього числа перший доданок, а потім від отриманої різниці відняти другий доданок:
a - (b + c) = (a - b) -з= a – b –з(b + с> a або b + с = a).
2. Властивість віднімання числа із суми: Щоб відняти число із суми, можна відняти його з одного доданку, а до отриманої різниці додати інший доданок
(a + b) - с = a + (b - с), якщо з< b или с = b
(a + b) - с = (a - c) + b, якщо з< a или с = a.
3. Властивість віднімання нуля: Якщо відняти нуль, то воно не зміниться:
a – 0 = a(a – будь-яке натуральне число)
4. Властивість віднімання з цього ж числа: Якщо відрахувати це число, вийде нуль:
a – a = 0(a – будь-яке натуральне число).
Числові та буквені вирази
Записи дій називають числовими виразами. Число, одержуване результаті виконання всіх зазначених дій, називають значенням висловлювання.
Множення та розподіл натуральних чисел
Примноження натуральних чисел та його властивості
Помножити число m на натуральне число n означає знайти суму n доданків, кожне з яких дорівнює m.
Вираз m · n та значення цього виразу називають добутком чисел m та n. Числа m і n називають множниками.
Властивості множення:
1. Переміщувальна властивість множення: Добуток двох чисел не змінюється при перестановці множників:
a · b = b · а
2. Сполучна властивість множення: Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник:
a · (b · с) = (а · b) · c.
3. Властивість множення на одиницю: Сума n доданків, кожна з яких дорівнює 1, дорівнює n:
1 · n = n
4. Властивість множення на нуль: Сума n доданків, кожна з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю:
0 · n = 0
Знак множення можна опускати: 8 · х = 8х,
або а · b = ab,
або a · (b + с) = a (b + с)
Поділ
Дію, за яким за твором і одним із множників знаходять інший множник, називають поділом.
Число, яке ділять, називають ділимим; число, на яке ділять, називають дільником, результат поділу називають приватним.
Приватне показує, скільки разів ділене більше, ніж дільник.
На нуль ділити не можна!
Властивості поділу:
1. При розподілі будь-якого числа на 1 виходить це число:
а: 1 = а.
2. При розподілі числа на це число, виходить одиниця:
а: а = 1.
3. При розподілі нуля на число виходить нуль:
0: а = 0.
Щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на інший множник. 5х = 45х = 45: 5х = 9
Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник. х: 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45
Щоб знайти невідомий дільник, Треба ділити розділити на приватне. 48: х = 4 х = 48: 4 х = 12
Поділ із залишком
Залишок завжди менший за дільник.
Якщо залишок дорівнює нулю, то кажуть, що ділене ділиться на дільник без залишку або, інакше, націло. Щоб знайти ділене a при розподілі із залишком, треба помножити неповне приватне з дільник b і до отриманого твору додати залишок d.
а = с · b + d
Спрощення виразів
Властивості множення:
1. Розподільча властивістьмноження щодо складання: Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожне доданок і скласти твори, що вийшли:
(а + b) с = ас + bc.
2. Розподільча властивість множення щодо віднімання: Щоб помножити різницю на число, можна помножити на це число зменшуване і віднімається і з першого твору відняти друге:
(а - b) с = ас - bc.
3а + 7а = (3 + 7) а = 10а
Порядок виконання дій
Додавання та віднімання чисел називають діями першого ступеня, а множення та розподіл чисел – діями другого ступеня.
Правила порядку виконання дій:
1. Якщо у виразі немає дужок і воно містить дії тільки одного ступеня, їх виконують по порядку зліва направо.
2. Якщо вираз містить дії першого та другого ступеня і в ньому немає дужок, то спочатку виконують дії другого ступеня, потім – дії першого ступеня.
3. Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконують дії у дужках (з огляду на це правила 1 і 2)
Кожен вираз задає програму свого обчислення. Вона складається із команд.
Ступінь числа. Квадрат та куб числа
Твір, у якому всі множники рівні один одному, записують коротше: а · а · а · а · а · а = а6 Читають: а шостою мірою. Число а називають основою ступеня, число 6 - показником ступеня, а вираз а6 - називають ступенем.
Добуток n і n називають квадратом числа n і позначають n2 (ен у квадраті):
n2 = n · n
Добуток n · n · n називають кубом числа n і позначають n3 (ен у кубі): n3 = n · n · n
Перший ступінь числа дорівнює самому числу. Якщо числове вираження входять ступеня чисел, їх значення обчислюють до виконання інших дій.
Площі та обсяги
Запис якогось правила за допомогою букв називають формулою. Формула шляху:
s = vt,де s – шлях, v – швидкість, t – час.
v = s: t
t = s: v
Площа. Формула площі прямокутника.
Щоб знайти площу прямокутника, треба його довжину помножити на ширину. S = ab,де S – це площа, a – довжина, b – ширина
Дві фігури називають рівними, якщо одну з них можна накласти на другу так, що ці фігури збігаються. Площі рівних фігур рівні. Периметри рівних постатей рівні.
Площа всієї фігури дорівнює сумі площ її частин. Площа кожного трикутника дорівнює половині площі всього прямокутника
Квадрат- Це прямокутник з рівними сторонами.
Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони:
Одиниці виміру площ
Квадратний міліметр – мм2
Квадратний сантиметр – см2
Квадратний дециметр – дм2
Квадратний метр -м2
Квадратний кілометр – км2
Площі полів вимірюють у гектарах (га). Гектар – площа квадрата зі стороною 100 м.
Площі невеликих ділянок землі вимірюють в арах(а).
Ар (сотка) - площа квадрата зі стороною 10 м-коду.
1 га = 10 000 м2
1 дм2 = 100 см2
1 м2 = 100 дм2 = 10000 см2
Якщо довжина і ширина прямокутника виміряні в різних одиницях, їх треба висловити у одних одиницях для обчислення площі.
Прямокутний паралелепіпед
Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з 6 прямокутників, кожен із яких називають гранню.
Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні.
Сторони граней називають ребрами паралелепіпеда, а вершини граней – вершинами паралелепіпеда.
У прямокутного паралелепіпеда 12 ребер та 8 вершин.
Прямокутний паралелепіпед має три виміри довжину, ширину та висоту
Куб– це прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри однакові. Поверхня куба складається із 6 рівних квадратів.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда Щоб знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда, треба його довжину помножити на ширину і на висоту.
V = abc, V – об'єм, a довжина, b – ширина, c – висота
Об'єм куба:
Одиниці виміру обсягів:
Кубічний міліметр – мм3
Кубічний сантиметр – см3
Кубічний дециметр – дм3
Кубічний метр – мм3
Кубічний кілометр – км3
1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л
1 л = 1 дм3 = 1000 см3
1 см3 = 1000 мм3 1 км3 = 1 000 000 000 м3
Коло та коло
Замкнута лінія, що знаходиться на однаковій відстані від цієї точки, називається колом.
Частина площини, що лежить усередині кола, називають колом.
Ця точка – називається центром і кола, і кола.
Відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою, що лежить на колі, називають радіусом кола.
Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називають діаметром кола.
Діаметр дорівнює двом радіусам.
Ми визначили складання, множення, віднімання та розподіл цілих чисел. Ці дії (операції) мають ряд характерних результатів, які називаються властивостями. У цій статті ми розглянемо основні властивості додавання та множення цілих чисел, з яких випливають всі інші властивості цих дій, а також властивості віднімання та поділу цілих чисел.
Навігація на сторінці.
Для складання цілих чисел характерні ще кілька важливих властивостей.
Одне пов'язані з існуванням нуля. Ця властивість складання цілих чисел стверджує, що додаток до будь-якого цілого числа нуля не змінює це число. Запишемо дана властивістьдодавання за допомогою літер: a+0=a і 0+a=a (ця рівність справедлива в силу переміщувальної властивості додавання), a – будь-яке ціле число. Можна почути, що ціле число нуль називають нейтральним елементом додавання. Наведемо кілька прикладів. Сума цілого числа -78 і нуля дорівнює -78; якщо до нуля додати ціле позитивне число 999 , то в результаті отримаємо число 999 .
Тепер ми дамо формулювання ще однієї якості складання цілих чисел, що з існуванням протилежного числа для будь-якого цілого числа. Сума будь-якого цілого числа з протилежним йому числом дорівнює нулю. Наведемо літерну форму запису цієї властивості: a+(−a)=0 , де a та −a – протилежні цілі числа. Наприклад, сума 901+(−901) дорівнює нулю; аналогічно сума протилежних цілих чисел -97 і 97 дорівнює нулю.
Основні властивості множення цілих чисел
Примноження цілих чисел притаманні всі властивості множення натуральних чисел. Перелічимо основні з цих властивостей.
Також як нуль є нейтральним цілим числом щодо додавання, одиниця є нейтральним цілим числом щодо множення цілих чисел. Тобто, множення будь-якого цілого числа на одиницю не змінює число, що множиться. Так 1·a=a , де a – будь-яке ціле число. Остання рівність можна переписати у вигляді a 1 = a це нам дозволяє зробити переміщувальну властивість множення. Наведемо два приклади. Добуток цілого числа 556 на 1 дорівнює 556; добуток одиниці та цілого негативного числа−78 і −78 .
Наступна властивість множення цілих чисел пов'язана з множенням на нуль. Результат множення будь-якого цілого числа a на нуль дорівнює нулю, Тобто, a · 0 = 0 . Також справедлива рівність 0·a=0 в силу переміщувальної властивості множення цілих чисел. У окремому випадку при a=0 добуток нуля на нуль дорівнює нулю.
Для множення цілих чисел також справедлива властивість, зворотна до попереднього. Воно стверджує, що добуток двох цілих чисел дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. У буквеному вигляді цю властивість можна записати так: a b = 0 , якщо a = 0 , або b = 0 , або і a і b рівні нулю одночасно.
Розподільча властивість множення цілих чисел щодо складання
Спільно додавання та множення цілих чисел нам дозволяє розглядати розподільну властивість множення щодо додавання, яке пов'язує дві зазначені дії. Використання додавання та множення спільно відкриває додаткові можливості, яких ми були б позбавлені, розглядаючи додавання окремо від множення.
Отже, розподільна властивість множення щодо додавання говорить, що добуток цілого числа a на суму двох цілих чисел a і b дорівнює сумі творів a b і a c , тобто, a·(b+c)=a·b+a·c. Цю ж властивість можна записати в іншому вигляді: (a+b)·c=a·c+b·c .
Розподільча властивість множення цілих чисел щодо додавання разом з сполучною властивістюдодавання дозволяють визначити множення цілого числа на суму трьох і більшої кількостіцілих чисел, а далі – і множення суми цілих чисел у сумі.
Також зауважимо, що всі інші властивості додавання та множення цілих чисел можуть бути отримані із зазначених нами властивостей, тобто є наслідками зазначених вище властивостей.
Властивості віднімання цілих чисел
З отриманої рівності, а також з властивостей додавання і множення цілих чисел випливають наступні властивості віднімання цілих чисел (a, b і c – довільні цілі числа):
- Віднімання цілих чисел у загальному випадкуНЕ має переміщувальну властивість: a−b≠b−a .
- Різниця рівних цілих чисел дорівнює нулю: a−a=0 .
- Властивість віднімання суми двох цілих чисел з даного цілого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Властивість віднімання цілого числа із суми двох цілих чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Розподільча властивість множення щодо віднімання: a·(b−c)=a·b−a·c та (a−b)·c=a·c−b·c.
- І всі інші властивості віднімання цілих чисел.
Властивості поділу цілих чисел
Розмірковуючи про сенс розподілу цілих чисел, ми з'ясували, що розподіл цілих чисел - це дія, зворотне множення. Ми дали таке визначення: розподіл цілих чисел – це знаходження невідомого множникапо відомому творута відомому множнику. Тобто, ціле число c ми називаємо приватним від розподілу цілого числа a на ціле число b коли добуток c b дорівнює a .
Дане визначення, а також усі розглянуті вище властивості операцій над цілими числами дозволяють встановити справедливість таких властивостей поділу цілих чисел:
- Жодне ціле число не можна ділити на нуль.
- Властивість розподілу нуля на довільне ціле число a відмінне від нуля: 0: a = 0 .
- Властивість поділу рівних цілих чисел: a:a=1 , де a – будь-яке ціле число, відмінне від нуля.
- Властивість поділу довільного цілого числа a на одиницю: a: 1 = a.
- У випадку ділення цілих чисел НЕ має переміщувальним властивістю: a:b≠b:a .
- Властивості поділу суми та різниці двох цілих чисел на ціле число: (a+b):c=a:c+b:c та (a−b):c=a:c−b:c , де a , b , і c такі цілі числа, що і a і b ділиться на c і c відмінно від нуля.
- Властивість поділу добутку двох цілих чисел a і b на ціле число c, відмінне від нуля: (a b): c = (a: c) b, якщо a ділиться на c; (a·b):c=a·(b:c) , якщо b ділиться на c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , якщо і a і b діляться на c.
- Властивість поділу цілого числа a на добуток двох цілих чисел b і c (числа a, b і c такі, що поділ a на b·c можливий): a:(b·c)=(a:b)·c=(a :c) · b .
- Будь-які інші властивості поділу цілих чисел.
Отже, в загальному випадку віднімання натуральних чисел НЕ має переміщувальну властивість. Запишемо це твердження за допомогою літер. Якщо a та b нерівні натуральні числа, то a−b≠b−a. Наприклад, 45−21≠21−45 .
Властивість віднімання суми двох чисел з натурального числа.
Наступна властивість пов'язана з відніманням з натурального числа суми двох чисел. Давайте розглянемо приклад, який дасть нам розуміння цієї якості.
Припустимо, що в нас в руках знаходиться 7 монет. Ми спочатку вирішуємо зберегти дві монети, але, подумавши, що цього буде мало, вирішуємо зберегти ще одну монету. На підставі змісту складання натуральних чисел можна стверджувати, що в цьому випадку ми вирішили зберегти кількість монет, що визначається сумою 2+1. Отже, беремо дві монети, додаємо до них ще одну монету та поміщаємо їх у скарбничку. При цьому кількість монет, що залишилися в руках, визначається різницею 7−(2+1) .
А тепер уявімо, що у нас є 7 монет, і ми поміщаємо у скарбничку 2 монети, а після цього – ще одну монету. Математично цей процес описується наступним числовим виразом: (7−2)−1 .
Якщо перерахувати монети, які залишаються в руках, то й у першому та у другому випадках ми маємо 4 монети. Тобто, 7−(2+1)=4 та (7−2)−1=4 , отже, 7−(2+1)=(7−2)−1 .
Розглянутий приклад дозволяє нам сформулювати властивість віднімання суми двох чисел з цього натурального числа. Відняти з цього натурального числа цю сумудвох натуральних чисел - це все одно, що з даного натурального числа відняти перше доданок цієї суми, після чого від отриманої різниці відняти друге доданок .
Нагадаємо, що ми надали сенс віднімання натуральних чисел лише для випадку, коли зменшуване більше, ніж віднімається, або йому. Тому ми можемо відняти з даного натурального числа цю суму лише тоді, коли ця сума не більше, ніж натуральне число, що зменшується. Зауважимо, що з виконанні цієї умови, кожен із доданків вбирається у натурального числа, з якого віднімається сума.
За допомогою букв властивість віднімання суми двох чисел з даного натурального числа записується у вигляді рівності a−(b+c)=(a−b)−c, де a, b і c – деякі натуральні числа, причому виконуються умови a> b + c або a = b + c.
Розглянута властивість, а також сполучна властивість складання натуральних чисел дозволяють виконувати віднімання суми трьох і більшої кількості чисел з даного натурального числа.
Властивість віднімання натурального числа із суми двох чисел.
Переходимо до наступного властивості, що з відніманням даного натурального числа з цієї суми двох натуральних чисел. Розглянемо приклади, які допоможуть нам «побачити» цю властивість віднімання натурального числа із суми двох чисел.
Нехай у нас у першій кишені знаходяться 3 цукерки, а у другій – 5 цукерок, і нехай нам потрібно віддати 2 цукерки. Ми це можемо зробити різними способами. Розберемо їх по черзі.
По-перше, ми можемо скласти всі цукерки в одну кишеню, після чого звідти дістати дві цукерки і віддати їх. Опишемо ці дії математично. Після того, як ми складемо цукерки в одну кишеню, їх кількість визначатиметься сумою 3+5. Тепер із загальної кількості цукерок ми віддамо 2 цукерки, при цьому кількість цукерок, що залишилася у нас, визначатиметься наступною різницею (3+5)−2 .
По-друге, ми можемо віддати 2 цукерки, діставши їх з першої кишені. У цьому випадку різниця 3-2 визначає кількість цукерок, що залишилася в першій кишені, а загальна кількість цукерок, що залишилися у нас, визначатиметься сумою (3-2)+5 .
По-третє, ми можемо віддати 2 цукерки з другої кишені. Тоді різниця 5-2 буде відповідати кількості цукерок, що залишилися в другій кишені, а загальна кількість цукерок, що залишилася, визначить сума 3+(5-2) .
Зрозуміло, що у всіх випадках у нас залишиться однакова кількість цукерок. Отже, справедливі рівність (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .
Якби нам довелося віддати не 2 , а 4 цукерки, ми могли б це зробити двома способами. По-перше, віддати 4 цукерки, попередньо склавши їх у одну кишеню. У цьому випадку кількість цукерок, що залишилася, визначається виразом виду (3+5)−4 . По-друге, ми могли віддати 4 цукерки з другої кишені. І тут загальна кількість цукерок дає така сума 3+(5−4) . Зрозуміло, що і в першому і в другому випадку у нас залишиться однакова кількість цукерок, отже, справедлива рівність (3+5)-4=3+(5-4).
Проаналізувавши результати, отримані під час вирішення попередніх прикладів, ми можемо сформулювати властивість віднімання даного натурального числа з цієї суми двох чисел. Відняти з цієї суми двох чисел це натуральне число - це все одно, що відняти це числоз одного із доданків, після чого скласти отриману різницю та інше доданок . Слід зазначити, що число, що віднімається, НЕ повинно бути більше, ніж доданок, з якого це число віднімається.
Запишемо властивість віднімання натурального числа із суми за допомогою букв. Нехай a, b та c – деякі натуральні числа. Тоді за умови, що a більше або дорівнює c , справедлива рівність (a+b)-c=(a-c)+b, а при виконанні умови, що b більше або дорівнює c справедлива рівність (a+b)−c=a+(b−c). Якщо і a і b більше або дорівнює c , то справедливі обидві останні рівністі, і їх можна записати в такий спосіб: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
За аналогією можна сформулювати властивість віднімання натурального числа із суми трьох і більшої кількості чисел. У цьому випадку дане натуральне число можна відняти від будь-якого доданку (звичайно, якщо воно більше або одно віднімається числу), і до отриманої різниці додати складові, що залишилися.
Щоб наочно уявити озвучену властивість, можна уявити, що у нас багато кишень, і в них є цукерки. Нехай нам потрібно віддати 1 цукерку. Зрозуміло, що ми можемо віддати 1 цукерку з будь-якої кишені. При цьому не важливо, з якої саме кишені ми її віддамо, тому що це не впливає на ту кількість цукерок, яка в нас залишиться.
Наведемо приклад. Нехай a, b, c та d – деякі натуральні числа. Якщо a>d або a=d , то різниця (a+b+c)−d дорівнює сумі (a−d)+b+c . Якщо b>d або b=d, то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Якщо ж c>d або c=d, то справедлива рівність (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .
Слід зазначити, що властивість віднімання натурального числа із суми трьох і більшої кількості чисел не є новою властивістю, оскільки воно випливає з властивостей додавання натуральних чисел і властивості віднімання числа із суми двох чисел.
Список литературы.
- Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
- Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.
Тема, якій присвячений цей урок, - «Властивості додавання». конкретні приклади. Дізнаєтеся, в яких випадках можна ними користуватися, щоб зробити процес обчислення більш простим. Приклади перевірки допоможуть визначити, наскільки добре ви засвоїли вивчений матеріал.
Урок: Властивості додавання
Уважно подивіться на вираз:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Нам потрібно знайти його значення. Давайте це зробимо.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Результат виразу 9+6+8+7+2+4+1+3=40.
Скажіть, чи зручно було вираховувати? Обчислювати було зовсім зручно. Подивіться ще раз на цифри цього виразу. Чи не можна їх поміняти місцями так, щоб обчислення були зручнішими?
Якщо ми перегрупуємо числа по-іншому:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Остаточний результат виразу 9+1+8+2+7+3+6+4=40.
Ми бачимо, що результати виразів вийшли однакові.
Доданки можна змінювати місцями, якщо це зручно для обчислень, і значення суми від цього зміниться.
У математиці існує закон: Переміщувальний закон складання. Він говорить, що від перестановки доданків сума не змінюється.
Дядько Федір та Шарик посперечалися. Кулька знаходив значення виразу так, як воно записано, а дядько Федір сказав, що знає інший, більш зручний спосіб обчислення. Чи бачите ви зручніший спосіб обчислення?
Кулька вирішував вираз так, як воно записано. А дядько Федір сказав, що знає закон, який дозволяє міняти доданки місцями, і поміняв місцями числа 25 і 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Ми бачимо, що результат залишився таким самим, але вважати стало набагато простіше.
Подивіться на такі вирази та прочитайте їх.
6 + (24 + 51) = 81 (до 6 додати суму 24 та 51)
Чи немає зручного способу обчислення?
Ми бачимо, що якщо додати 6 і 24, ми отримаємо кругле число. До круглого числа завжди легше щось додавати. Візьмемо у дужки суму чисел 6 та 24.
(6 + 24) + 51 = …
(До суми чисел 6 і 24 додати 51)
Обчислимо значення виразу та подивимося, чи змінилося значення виразу?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Ми бачимо, що значення виразу залишилося тим самим.
Потренуємося ще на одному прикладі.
(27 + 19) + 1 = 47 (до суми чисел 27 та 19 додати 1)
Які числа зручно згрупувати так, щоб вийшов зручний спосіб?
Ви здогадалися, що це числа 19 та 1. Суму чисел 19 та 1 візьмемо у дужки.
27 + (19 + 1) = …
(До 27 додати суму чисел 19 і 1)
Знайдемо значення цього виразу. Ми пам'ятаємо, що спочатку виконується дія у дужках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Значення нашого вислову залишилося таким самим.
Сполучний закон складання: два сусідніх доданків можна замінити їх сумою.
Тепер потренуємось користуватися обома законами. Нам потрібно обчислити значення виразу:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Спочатку скористаємося переміщувальним властивістю додавання, яке дозволяє міняти доданки місцями. Поміняємо місцями доданки 14 та 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Тепер скористаємося комбінаційною властивістю, яка дозволяє нам два сусідніх доданків замінювати їх сумою.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Спочатку дізнаємося значення суми 38 та 2.
Тепер суму 14 та 6.
3. Фестиваль педагогічних ідей « Відкритий урок» ().
Зроби вдома
1. Обчисліть суму доданків по-різному:
а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16
2. Обчисліть результати виразів:
а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1
3. Обчисліть суму зручним способом:
а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13
Поняття віднімання найкраще розглянути з прикладу. Ви вирішили попити чай із цукерками. У вазі лежало 10 цукерок. Ви з'їли 3 цукерки. Скільки цукерок залишилось у вазі? Якщо ми від 10 віднімемо 3 то, у вазі залишиться 7 цукерок. Запишемо завдання математично:
Докладно розберемо запис:
10 – це число від якого ми забираємо або яке зменшуємо, тому його називають зменшуваним.
3 – це число, яке ми віднімаємо. Тому його називають віднімається.
7 – це число результат віднімання або ще його називають різницею. Різниця показує на скільки перше число (10) більше за друге число (3) або наскільки друге число (3) менше першого числа (10).
Якщо ви сумніваєтеся, чи правильно знайшли різницю, потрібно зробити перевірку. До різниці додати друге число: 7+3=10
При відніманні л зменшуване не може бути менше віднімається.
Робимо висновок із сказаного. Віднімання– це дія, за допомогою якого за сумою та одним із доданків знаходиться другий доданок.
У буквеному вигляді цей вираз виглядатиме так:
a -b =c
a – зменшуване,
b - віднімається,
c – різниця.
Властивості віднімання суми з числа.
13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6
Приклад можна вирішити двома способами. Перший спосіб, знайти суму чисел (3+4), а потім відняти від загальної кількості(13). Другий спосіб, від загального числа (13) відняти перше доданок(3), а потім з отриманої різниці відібрати друге доданок(4).
У літерному вигляді властивість віднімання суми з числа виглядатиме так:
a - (b + c) = a - b - c
Властивість віднімання числа із суми.
(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
Щоб відняти від суми число, можна це число відняти від одного доданку, а потім до отриманого результату різниці додати друге доданок. За умови доданок буде більше віднімається.
У буквеному вигляді властивість віднімання числа із суми виглядатиме так:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a +b) -c=a + (b - с), за умови b > c
(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c = (a - c) + b, за умови a > c
Властивість віднімання з нулем.
10 — 0 = 10
a - 0 = a
Якщо віднімати нульте, буде те саме число.
10 — 10 = 0
a -a = 0
Якщо від числа відняти те саме числото буде нуль.
Питання на тему:
У прикладі 35 - 22 = 13 назвіть зменшуване, віднімається і різницю.
Відповідь: 35 – зменшення, 22 – віднімання, 13 – різниця.
Якщо числа однакові, чому дорівнює їхня різниця?
Відповідь: нуль.
Зробіть перевірку віднімання 24 - 16 = 8?
Відповідь: 16 + 8 = 24
Таблиця віднімання натуральних чисел від 1 до 10.
Приклади на задачі на тему «Віднімання натуральних чисел».
Приклад №1:
Вставте пропущене число: а) 20 - ... = 20 б) 14 - ... + 5 = 14
Відповідь: а) 0 б) 5
Приклад №2:
Чи можна виконати віднімання: а) 0 - 3 б) 56 - 12 в) 3 - 0 г) 576 - 576 д) 8732 - 8734
Відповідь: а) ні б) 56 - 12 = 44 в) 3 - 0 = 3 г) 576 - 576 = 0 д) ні
Приклад №3:
Прочитайте вираз: 20 - 8
Відповідь: "Від двадцяти відібрати вісім" або "з двадцяти відняти вісім". Правильно вимовляти слова