або використовуючи формулу різниці квадратів так:
- (x 2 -4) * (x 2 +4) = 0.
Добуток двох співмножників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю.
Вираз x 2 +4 неспроможна дорівнювати нулю, отже, залишається лише (x 2 -4)=0.
Вирішуємо його, отримуємо дві відповіді.
Відповідь: x=-2 та x=2.
Отримали, що рівняння x 4 =16 має лише 2 дійсних кореня. Це коріння четвертого ступеня з числа 16. Причому позитивний корінь називають арифметичним коренем 4 ступеня з числа 16. І позначають 4√16. Тобто 4√16=2.
Визначення
- Арифметичним коренем натурального ступеня n>=2 з невід'ємного числа а називається деяке невід'ємне число, при зведенні якого в ступінь n виходить число а.
Можна довести, що з будь-якого неотрицательного а і натурального n рівняння x n =a матиме єдиний неотрицательный корінь. Саме цей корінь і називають арифметичним коренем n-ого ступеня з числа а.
Арифметичний корінь n-ого ступеня з числа а позначається так n√a.
Число а в даному випадку називається підкореним виразом.
Якщо n=2, двійку не пишуть, а записують просто -.
Арифметичні коріння другого та третього ступеня мають свої спеціальні назви.
Арифметичний корінь другого ступеня називається квадратним коренем, а арифметичний корінь третього ступеня – кубічним коренем.
Використовуючи лише бач визначення арифметичного кореня, можна довести, що n√a дорівнює b. Для цього потрібно показати, що:
- 1. b більше чи одно нулю.
- 2. b n =a.
Наприклад, 3√(64) = 4, оскільки 1. 4>0, 2. 4 3 =64.
Наслідок визначення арифметичного кореня.
- (n√a) n = a.
- n√(a n) = a.
Наприклад, (5√2) 5 = 2.
Вилучення кореня n-ого ступеня
Вилученням кореня n-ого ступеня називається дія, за допомогою якого знаходиться корінь n-ого ступеня. Вилучення кореня n-ого ступеня є зворотною дією до зведення в n-ий ступінь.
Розглянемо приклад.
Розв'язати рівняння x 3 = -27.
Перепишемо це рівняння як (-x) 3 =27.
Покладемо у = -х, тоді y 3 = 27. Це рівняння має один позитивний корінь y=3√27=3.
Негативного коріння цього рівняння немає, оскільки y 3
Отримуємо, що рівняння 3 = 27 має тільки один корінь.
Повертаючись до вихідного рівняння, отримуємо, що воно має лише один корінь x=-y=-3.
У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.
Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь
Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.
Почнемо з визначення квадратного кореня.
Визначення
Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.
Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.
Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.
Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обґрунтуванням цього факту можна вважати конструктивний спосіб, що використовується для знаходження значення квадратного кореня.
Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.
Почнемо з нагоди a = 0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.
Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якого відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.
Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.
Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.
Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.
Визначення
Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.
Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.
Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.
При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.
У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .
Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .
На основі визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратного корінняякі часто застосовуються на практиці.
На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .
Кубічний корінь із числа
Визначення кубічного кореняз числа a дається аналогічно до визначення квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.
Визначення
Кубічним коренем із числа aназивається число, куб якого дорівнює a.
Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , 
. Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .
Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.
Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.
Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.
Тепер припустимо, що окрім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.
При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .
Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.
Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.
Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.
Визначення
Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.
Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.
Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, 
.
Про властивості кубічного коріння ми поговоримо у загальній статті властивості коренів.
Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, ця дія розібрана у статті вилучення коренів: способи, приклади, рішення.
На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .
Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n
Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.
Визначення
Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .
З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .
Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.
Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.
Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.
Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.
Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a і b обидва позитивні чи обидва негативні їх добуток є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що у дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо лише тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .
Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.
Визначення
Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n-я ступінь якого дорівнює a.
Корінням ступеня nз дійсного числа a, де n- натуральне число, називається таке дійсне число x, n-а ступінь якого дорівнює a.
Корінь ступеня nз числа aпозначається символом. Відповідно до цього визначення.
Знаходження кореня n-ого ступеня з числа aназивається вилученням кореня. Число аназивається підкореним числом (виразом), n- Показником кореня. При непарному nіснує корінь n-ого ступеня для будь-якого дійсного числа a. При парному nіснує корінь n-ой міри тільки для невід'ємного числа a. Щоб усунути двозначність кореня n-ого ступеня з числа a, вводиться поняття арифметичного кореня n-ого ступеня з числа a.
Поняття арифметичного кореня ступеня N
Якщо і n- натуральне число, більше 1 , то існує, і лише одне, невід'ємне число х, Таке, що виконується рівність . Це число хназивається арифметичним коренем n-й ступеня з невід'ємного числа аі позначається. Число аназивається підкореним числом, n- Показником кореня.
Отже, відповідно до визначення запис , де , означає, по-перше, як і, по-друге, що , тобто. .
Поняття ступеня з раціональним показником
Ступінь із натуральним показником: нехай а- дійсне число, а n- натуральне число, більше одиниці, n-й ступенем числа аназивають твір nмножників, кожен з яких дорівнює а, тобто. . Число а- основа ступеня, n- показник ступеня. Ступінь з нульовим показником: вважають за визначенням, якщо , то . Нульовий ступінь числа 0 не має сенсу. Ступінь з негативним цілим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, то . Ступінь із дробовим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, m- ціле число, то .
Операції з корінням.
У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь (підкорене вираз позитивно).
1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коріння з цих співмножників:
2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коренів ділимого та дільника:
3. При зведенні кореня в ступінь достатньо звести в цей ступінь підкорене число: 
4. Якщо збільшити ступінь кореня в n разів і одночасно звести в n-ий ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться: 
5. Якщо зменшити ступінь кореня в n разів і одночасно отримати корінь n-ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:
Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником; але дії зі ступенями і корінням можуть призводити також до негативних, нульових та дробових показників. Усі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.
Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника: 
Тепер формула a m: a n = a m - n може бути використана не тільки при m, більшому, ніж n, але і при m меншому, ніж n.
П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Якщо ми хочемо, щоб формула a m: a n = a m - n була справедлива за m = n , нам необхідне визначення нульового ступеня.
Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.
Приміри. 2 0 = 1, (-5) 0 = 1, (-3/5) 0 = 1.
Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-ого ступеня цього числа а:
Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.
Випадок 1.
Де a ≠ 0 не існує.
Справді, якщо припустити, що x - деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0 x, тобто. a = 0, що суперечить умові: a ≠ 0
Випадок 2
Будь-яке число.
Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце за будь-якого числа x, що й потрібно було довести.
Справді,
Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:
1) x = 0 - це значення не задовольняє даному рівнянню
2) за x > 0 отримуємо: x / x = 1, тобто. 1 = 1, звідки випливає, що x – будь-яке число; але з огляду на, що у разі x > 0 , відповіддю є x > 0 ;
3) при x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
у разі немає рішення. Отже, x > 0.