Інструкція. Введіть вираз F(x) , натисніть Далі. Отримане рішення зберігається у файлі Word. Також створюється шаблон рішення в Excel. Нижче наведено відеоінструкцію.
Правила введення функції
Приклади≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Розглянемо швидший спосіб знаходження кореня на інтервалі , припущення, що f(a)f(b)<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0 
Рис.1а Мал. 1б
Розглянемо рис.1а. Проведемо через точки А та В хорду. Рівняння хорди 
.
У точці x=x 1 , y=0, в результаті отримаємо перше наближення кореня 
. (3.8)
Перевіряємо умови
(а) f(x 1)f(b)<0,
(б) f(x 1)f(a)<0.
Якщо виконується умова (а), то у формулі (3.8) точку a замінюємо на x 1 отримаємо
.
Продовжуючи цей процес, отримаємо для n-го наближення 
. (3.9)
Тут рухається кінець a, тобто f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Розглянемо випадок, коли нерухомий кінець a .
f’’(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Рис.2а Рис.2б
На рис 1б,2б виконується f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
Продовжуючи процес, прийдемо до формули 
. (3.10)
Зупинення процесу
| x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Мал. 3
На рис.3 f''(x) змінює знак, тому рухливими будуть обидва кінці.
Перш ніж перейти до питання збіжності ітераційного процесу методу хорд введемо поняття опуклої функції.
Визначення.Безперервна на функція називається опуклою (увігнутою), якщо для будь-яких двох точок x 1 x 2 задовольняють a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - увігнута
Для опуклої функції f''(x)≥0.
Для увігнутої функції f’’(x)≤0
Теорема 3.Якщо функція f(x) опукла (увігнута) на відрізку , то будь-якому відрізку 
графік функції f(x) лежить не вище (не нижче) хорди, що проходить через точки графіка з абсцис x 1 і x 2 .
Доведення:
Розглянемо опуклу функцію. Рівняння хорди: проходить через х 1 і х 2 має вигляд: 
.
Розглянемо точку c= αx 1 + (1-α)x 2 , де aÎ
З іншого боку, за визначенням опуклої функції маємо f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; тому f(c) ≤ g(c) ч.т.д. 
Для увігнутої функції доказ аналогічний.
Доказ збіжності ітераційного процесу розглянемо для випадку опуклої (увігнутої) функції.
Теорема 4.Нехай задана безперервна: двічі диференційована функція f(x) і нехай f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доведення:Розглянемо для прикладу випадок f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 оскільки (b-x n -1)>0, а f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Маємо
(3.12)
(тобто значення функції y(x) у точці x n на хорді збігається з f(ξ)).
Оскільки , то з (3.12) випливає
або
. (3.13)
Для рис. 1а , отже
або
означає і т.д. (Див. (3.11)).
Для рис 2а. Отже, з (3.12) отримаємо
значить
так як 
ч.т.д.
Аналогічний доказ для рис.1б та рис.2б. Таким чином, ми довели, що послідовність чисел є схожою.
a≤x 0
Збіжність методу хорд лінійна з коефіцієнтом 
.
, (3.14)
де m1=min|f'(x)|, M1=max|f'(x)|.
Це випливає із таких формул. Розглянемо випадок нерухомого кінця b і f(b)>0.
Маємо з (3.9) 
. Звідси 
. Враховуючи, що ми можемо записати 
або 
.
Замінюючи у знаменнику правої частини (ξ-x n -1) на (b-x n -1) та враховуючи, що (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, що потрібно було довести (див. нерівність (3.14)).
Доказ збіжності для випадку рис.3 (f''(x) змінює знак; у випадку як f', і f'' можуть змінювати знаки) складніше і тут не наводиться.
У задачах визначити кількість дійсних коренів рівняння f(x) = 0, відокремити це коріння і, застосовуючи метод хорд і дотичних, знайти їх наближені значення з точністю до 0.001.
Нехай на відрізку функція безперервна, на кінцях приймає відрізка значення різних знаків, а похідна f "(x)зберігає знак. Залежно від знака другої похідної можливі такі випадки розташування кривих (рис. 1).
Мал. 1.
Алгоритм наближеного обчислення кореня методом хорд.
Вихідні дані: f(x) -функція ; е- Необхідна точність; x 0 - Початкове наближення.
Результат: xпр- наближений корінь рівняння f(x)= 0.
Метод вирішення:
Мал. 2. f "(x) f ""(x)>0.
Розглянемо випадок, коли f "(x)і f ""(x)мають однакові знаки (рис. 2).
Графік функції проходить через точки A 0 (a, f(a))і B 0 (b, f(b)). Шуканий корінь рівняння (точка x*) нам невідомий, замість нього візьме крапку х 1 перетину хорди А 0 У 0 з віссю абсцис. Це буде наближене значення кореня.
В аналітичній геометрії виводиться формула, що задає рівняння прямої, що проходить через дві точки з координатами (х1; у1)і (х2; у2): .
Тоді рівняння хорди А 0 У 0 запишеться як: .
Знайдемо значення х = х 1 , для котрого у = 0: . Тепер корінь знаходиться на відрізку . Застосуємо метод хорд до цього відрізку. Проведемо хорду, що з'єднує крапки A 1 (x 1 , f (x 1 )) і B 0 (b, f(b)), і знайдемо х 2 - точку перетину хорди А 1 У 0 з віссю Ох: x 2 =x 1 .
Продовжуючи цей процес, знаходимо
x 3 =x 2 .
Отримуємо рекурентну формулу обчислення наближень до кореня
x n+1 =x n .
У цьому випадку кінець bвідрізка залишається нерухомим, а кінець aпереміщується.
Таким чином, отримуємо розрахункові формули методу хорд:
x n+1 =x n ; x 0 =a. (4)
Обчислення чергових наближень до точного кореня рівняння триває до того часу, доки досягнемо заданої точності, тобто. має виконуватися умова: |х n+1 -x n |< де - задана точність.
Тепер розглянемо випадок, коли перша та друга похідні мають різні знаки, тобто. f "(x) f ""(x)<0 . (Рис. 3).
Мал. 3. Геометрична інтерпретація методу хорд для випадку f "(x) f ""(x)<0 .
З'єднаємо точки A 0 (a, f(a))і B 0 (b, f(b))хордий А 0 У 0 . Точку перетину хорди з віссю Охвважатимемо першим наближення кореня. У цьому випадку нерухомим кінцем відрізка буде кінець а.
Рівняння хорди А 0 У 0 :. Звідси знайдемо x 1 , вважаючи y = 0: x 1 =b. Тепер корінь рівняння x. Застосовуючи метод хорд до цього відрізку, отримаємо x 2 =x 1 . Продовжуючи і т.д., отримаємо x n+1 =x n .
Розрахункові формули методу:
x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)
Умови закінчення обчислень: |х n+1 -x n |< . Тоді хпр = xn+1з точністю Отже, якщо f "(x) f ""(x)>0наближене значення кореня знаходять за формулою (4), якщо f "(x) f ""(x)<0 , то за формулою (5).
Практичний вибір тієї чи іншої формули здійснюється, користуючись наступним правилом: нерухомим кінцем відрізка є той, для якого знак функції збігається зі знаком другої похідної.
приклад. Проілюструвати дію цього правила на рівнянні
(x-1)ln(x)-1=0, якщо відрізок ізоляції кореня .
Рішення. Тут f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f"(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
Друга похідна у цьому прикладі позитивна на відрізку ізоляції кореня : f ""(x)>0, f(3)>0, тобто. f(b) f""(x)>0. Таким чином, при розв'язанні даного рівняння методом хорд для уточнення кореня вибираємо формули (4).
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;
begin e:=0.0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
if (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
then begin x1:=a; while abs(x2 - x) > e do
x2:=x1 - (yn * (b-x1)) / (yb - yn);
writeln("корен уравнення xn = ", x2)
end elsebegin x1:=b;
while abs(x2 - x) > e do
begin x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn * (x1 - a)) / (yn - ya);
writeln("корен уравнення xn = ", x2);
Метод простих ітерацій
Розглянемо рівняння f(x)=0(1) з відокремленим коренем X. Для вирішення рівняння (1) методом простої ітерації наведемо його до рівносильного вигляду: x=ц(x). (2)
Це завжди можна зробити, причому багатьма способами. Наприклад:
x = g (x) · f (x) + x? ц(x), де g(x) - довільна безперервна функція, що не має коріння на відрізку .
Нехай x (0) - отримане якимось способом наближення до кореня x(у найпростішому випадку x (0) =(a+b)/2).Метод простої ітерації полягає у послідовному обчисленні членів ітераційної послідовності:
x (k+1) =ц(x (k) ), k = 0, 1, 2, ... (3)
починаючи з наближення x (0) .
ТВЕРДЖЕННЯ: 1 Якщо послідовність (x (k) ) методу простої ітерації сходиться і функція ц безперервна, то межа послідовності є коренем рівняння x=ц(x)
ДОВІДКА: Нехай. (4)
Перейдемо до межі рівності x (k+1) =ц(x (k) ) Отримаємо з одного боку по (4), що з іншого боку з безперервності функції цта (4) .
В результаті отримуємо x * =ц(x * ). Отже, x * - Корінь рівняння (2), тобто. X=x * .
Щоб скористатися цим твердженням потрібна збіжність послідовності (x (k) }. Достатня умова збіжності дає:
ТЕОРЕМА 1: (про збіжність) Нехай рівняння x=ц(x)має єдиний корінь на відрізку та виконані умови:
- 1) ц(x) C 1 ;
- 2) ц(x) x;
- 3) існує константа q > 0: | ц "(x) | ?q . Тоді ітераційна послідовність (x (k) }, задана формулою x (k+1) = ц(x (k) ), k=0, 1, ...сходиться за будь-якого початкового наближення x (0) .
ДОВІДКА: Розглянемо два сусідні члени послідовності (x (k) ): x (k) = ц(x (k-1) ) і x (k+1) = ц(x (k) ) Так як за умовою 2) x (k)і x (k+1)лежать усередині відрізка , то використовуючи теорему Лагранжа про середні значення отримуємо:
x (k+1) - x (k) = ц(x (k) ) - ц(x (k-1) ) = ц "(c k )(x (k) - x (k-1) ), де c k (x (k-1) , x (k) ).
Звідси отримуємо:
| x (k+1) - x (k) | = | ц "(c k ) | · | x (k) - x (k-1) | ? q | x (k) - x (k-1) | ?
? q (q | x (k-1) - x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) | ? ...? q k | x (1) - x (0) |. (5)
Розглянемо ряд
S ? = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k+1) - x (k) ) + ... . (6)
Якщо ми доведемо, що цей ряд сходиться, то сходиться і послідовність його часткових сум
S k = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k) - x (k-1) ).
Але неважко визначити, що
S k = x (k)) . (7)
Отже, ми цим доведемо і збіжність ітераційної послідовності (x (k) }.
Для доказу збіжності ряду (6) порівняємо його почленно (без першого доданку x (0) ) з рядом
q 0 | x (1) - x (0) | + q 1 |х (1) - x (0) | + ... + | x (1) - x (0) | + ..., (8)
який сходиться як нескінченно спадна геометрична прогресія (бо за умовою q< 1 ). В силу нерівності (5) абсолютні величини ряду (6) не перевищують відповідних членів ряду, що сходить (8) (тобто ряд (8) мажорує ряд (6). Отже ряд (6) також сходиться. (x (0) }.
Отримаємо формулу, яка дає спосіб оцінки похибки | X - x (k+1) |
методу простої ітерації.
X - x (k+1) = X - S k+1 = S ? - S k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) - x (k+2) ) + ... .
Отже
| X - x (k+1) | ? |х (k+2) - (k+1) | + | x (k+3) - x (k+2) | + ...? q k+1 |х (1) - x (0) | + q k+2 |х (1) - x (0) | + ... = q k+1 |х (1) - x (0) | /(1-q).
В результаті отримуємо формулу
| X - x (k+1) | ? q k+1 |х (1) - x (0) | /(1-q).(9)
Взявши за x (0) значення x (k) , за x (1) - значення x (k+1)(оскільки при виконанні умов теореми такий вибір можливий) і враховуючи, що при цьому має місце нерівність q k+1 ? qвиводимо:
| X - x (k+1) | ? q k+1 |х (k+1) - x (k) | / (1-q)? q|x (k+1) - x (k) | /(1-q).
Отже, остаточно отримуємо:
| X - x (k+1) | ? q|x (k+1) - x (k) | /(1-q). (10)
Використовуємо цю формулу висновку критерію закінчення ітераційної послідовності. Нехай рівняння x=ц(x)вирішується методом простої ітерації, причому відповідь має бути знайдена з точністю е,тобто
| X - x (k+1) | ? е.
З урахуванням (10) отримуємо, що точність ебуде досягнуто, якщо виконано нерівність
|х (k+1) -x (k) | ? (1-q)/q.(11)
Таким чином, для знаходження коріння рівняння x=ц(x)методом простої ітерації з точністю потрібно продовжувати ітерації до того часу, поки модуль різниці між останніми сусідніми наближеннями залишається більше числа е(1-q)/q.
ПРИМІТКА 1: Як константа q зазвичай беруть оцінку зверху для величини
Геометрична інтерпретація
Розглянемо графік функції. Це означає, що рішення рівняння і це точка перетину з прямою:
Малюнок 1.
І наступна ітерація – це координата x перетину горизонтальної прямої точки з прямою.
Малюнок 2.
З малюнка видно видно вимогу збіжності. Що ближче похідна до 0, то швидше сходиться алгоритм. Залежно від знака похідної поблизу рішення наближення можуть будуватися по-різному. Якщо, то кожне наступне наближення будується з іншого боку від кореня:
Малюнок 3.
Висновок
Проблема підвищення якості обчислень як невідповідність між бажаним і дійсним існує і буде існувати надалі. Її рішенню сприятиме розвиток інформаційних технологій, який полягає як у вдосконаленні методів організації інформаційних процесів, так і їх реалізації за допомогою конкретних інструментів – середовищ та мов програмування.
Підсумком роботи вважатимуться створену функціональну модель знаходження коренів рівняння методами простої ітерації, Ньютона, хорд і половинного поділу. Ця модель застосовна до детермінованих завдань, тобто. похибкою експериментального обчислення яких можна знехтувати. Створена функціональна модель та її програмна реалізація можуть бути органічною частиною вирішення складніших завдань.
Провівши дослідження з теми курсової роботи "Кількісні методи. Розв'язання нелінійних рівнянь", я досягла поставлених у введенні цілей. Докладно було розглянуто методи уточнення коренів. До кожного визначення та теореми було наведено кілька прикладів. Усі теореми доведено.
Використання різноманітних джерел дало можливість повністю розкрити тему.
Метод хорд (метод також відомий як Метод січучих ) один із методів вирішення нелінійних рівнянь і заснований на послідовному звуженні інтервалу, що містить єдиний корінь рівняння. Ітераційний процес виконується до того моменту, поки не буде досягнуто заданої точності.
На відміну від методу половинного поділу, метод хорд пропонує, що поділ інтервалу, що розглядається, буде виконуватися не в його середині, а в точці перетину хорди з віссю абсцис (вісь - Х). Слід зазначити, що під хордою розуміється відрізок, який проведений через точки розглянутої функції по кінцях інтервалу, що розглядається. Розглянутий метод забезпечує більш швидке знаходження кореня, ніж метод половинного поділу, за умови завдання однакового інтервалу.
Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривою хордою, що проходить через крапки та (див. рис.1.).
Рис.1. Побудова відрізка (хорд) до функції .
Рівняння прямої (хорди), яка проходить через точки А та В має такий вигляд:
Дане рівняння є типовим рівнянням для опису прямої видекартової системи координат. Нахил кривої задається по ординаті та абсцисі за допомогою значень у знаменнику і відповідно.
Для точки припинення прямої з віссю абсцис записане вище рівняння перепишеться у такому вигляді:
Як новий інтервал для проходження ітераційного процесу вибираємо один з двох або , на кінцях якого функція набуває значень різних знаків. Протилежність знаків значень функції кінцях відрізка можна визначити безліччю способів. Один із безлічі цих способів - множення значень функції на кінцях відрізка та визначення знака твору шляхом порівняння результату множення з нулем:
або 
.
Ітераційний процес уточнення кореня закінчується, коли умова близькості двох послідовних наближень стане менше заданої точності, тобто.
Рис.2. Пояснення до визначення похибки розрахунку.
Слід зазначити, що збіжність методу хорд лінійна, проте швидша, ніж збіжність методу половинного поділу.
Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння за методом хорд
1. Знайти початковий інтервал невизначеності однією з методів відділення коренів. Здати похибка розрахунку (мала позитивна кількість) та початковий крок ітерації () .
2. Знайти точку перетину хорди з віссю абсцис:
3. Необхідно знайти значення функції у точках , та . Далі необхідно перевірити дві умови:
Якщо виконується умова 
, То шуканий корінь знаходиться всередині лівого відрізка покласти, ;
Якщо виконується умова 
, то корінь знаходиться всередині правого відрізка прийняти , .
В результаті знаходиться новий інтервал невизначеності, на якому знаходиться шуканий корінь рівняння:
4. Перевіряємо наближене значення кореня рівняння щодо заданої точності, у разі:
Якщо різницю двох послідовних наближень стане менше заданої точності , то ітераційний процес закінчується. Наближене значення кореня визначається за такою формулою:
Якщо різниця двох послідовних наближень не досягає необхідної точності , необхідно продовжити ітераційний процес і перейти до п.2 аналізованого алгоритму.
Приклад розв'язання рівнянь методом хорд
Як приклад, розглянемо рішення нелінійного рівняння методом хорд. Корінь необхідно знайти в діапазоні з точністю .
Варіант розв'язання нелінійного рівняння у програмному комплексіMathCAD.
Результати розрахунків, саме динаміка зміни наближеного значення кореня, і навіть похибки розрахунку кроку ітерації представлені у графічній формі (див. рис.1).
Рис.1. Результати розрахунку за методом хорд
Для забезпечення заданої точності під час пошуку рівняння в діапазоні необхідно виконати 6 ітерацій. На останньому етапі ітерації наближене значення кореня нелінійного рівняння визначатиметься значенням: .
Примітка:
Модифікацією цього методу є метод хибного становища(False Position Method), який відрізняється від методу січених тільки тим, що щоразу беруться не останні 2 точки, а ті точки, які знаходяться навколо кореня.
Слід зазначити, що якщо від нелінійної функції можна взяти другу похідну алгоритм пошуку може бути спрощений. Припустимо, що друга похідна зберігає постійний знак, і розглянемо два випадки:
Випадок №1:
З першої умови виходить, що нерухомою стороною відрізка є сторона a.
Випадок №2:
Чисельні методи 1
Розв'язання нелінійних рівнянь 1
Постановка задачі 1
Локалізація коріння 2
Уточнення коренів 4
Методи уточнення коренів 4
Метод половинного поділу 4
Метод хорд 5
Метод Ньютона (метод дотичних) 6
Чисельне інтегрування 7
Постановка задачі 7
Метод прямокутників 8
Метод трапецій 9
Метод парабол (формула Сімпсона) 10
Чисельні методи
На практиці в більшості випадків знайти точне рішення математичної задачі не вдається. Це тому, що шукане рішення зазвичай виявляється у елементарних чи інших відомих функціях. Тому велике значення набули чисельних методів.
Під чисельними методами маються на увазі методи вирішення завдань, що зводяться до арифметичних та деяких логічних дій над числами. Залежно від складності завдання, заданої точності, методу, що застосовується, може знадобитися величезна кількість дій, і тут без швидкодіючого комп'ютера не обійтися.
Рішення, отримане чисельним методом, зазвичай є наближеним, тобто містить певну похибку. Джерелами похибки наближеного розв'язання задачі є:
похибка методу розв'язання;
похибки округлень у діях над числами.
Похибка методу викликанатим, що чисельним методом зазвичай вирішується інше, просте завдання, що апроксимує (наближає) вихідне завдання. У ряді випадків чисельний метод є нескінченний процес, Котрий у межіприводить до шуканого рішення. Процес, перерваний на певному етапі, дає наближене рішення.
Похибка округленнязалежить від кількості арифметичних дій, що виконуються у процесі розв'язання задачі. Аби вирішити однієї й тієї завдання можуть застосовуватися різні чисельні методи. Чутливість до похибок округлення суттєво залежить від вибраного методу.
Розв'язання нелінійних рівнянь Постановка задачі
Вирішення нелінійних рівнянь з одним невідомим є одним з важливих математичних завдань, що виникають у різних розділах фізики, хімії, біології та інших галузях науки та техніки.
Загалом нелінійне рівняння з одним невідомим можна записати:
f(x) = 0 ,
де f(x) – деяка безперервна функція аргументу x.
Будь-яке число x 0 , за якого f(x 0 ) ≡ 0, називається коренем рівняння f(x) = 0.
Методи розв'язання нелінійних рівнянь поділяються на прямі(аналітичні, точні) та ітераційні. Прямі методи дозволяють записати рішення у вигляді деякого співвідношення (формули). При цьому значення коренів можуть бути обчислені за формулою за кінцеве число арифметичних операцій. Подібні методи розвинені для вирішення тригонометричних, логарифмічних, показових, а також найпростіших рівнянь алгебри.
Проте переважна більшість нелінійних рівнянь, які на практиці, не вдається вирішити прямими методами. Навіть для рівняння алгебри вище четвертого ступеня не вдається отримати аналітичного рішення у вигляді формули з кінцевим числом арифметичних дій. У всіх таких випадках доводиться звертатися до чисельних методів, що дозволяють отримати наближені значення коренів із заданою точністю.
При чисельному підході завдання розв'язання нелінійних рівнянь розбивається на два етапи: локалізація(відділення) коріння, тобто. знаходження таких відрізків на осі x, в межах яких міститься один єдиний корінь, та уточнення коренів, тобто. обчислення наближених значень коренів із заданою точністю.
Локалізація коренів
Для відокремлення коренів рівняння f(x) = 0 необхідно мати критерій, що дозволяє переконатися, що, по-перше, на аналізованому відрізку [ a,b] є корінь, а, по-друге, що це корінь єдиний на зазначеному відрізку.
Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a,b], але в кінцях відрізка її значення мають різні знаки, тобто.
f(a) f(b) < 0 ,
то на цьому відрізку розташований принаймні один корінь.
Рис 1. Відділення коріння. Функція f(x) не монотонна на відрізку [ a,b].
Ця умова, як видно з малюнка (1), не забезпечує єдиності кореня. Достатньою додатковою умовою, що забезпечує єдиність кореня на відрізку [ a,b] є вимога монотонності функції цьому відрізку. Як ознака монотонності функції можна скористатися умовою сталості знака першої похідної f′( x) .
Таким чином, якщо на відрізку [ a,b] функція безперервна і монотонна, а її значення на кінцях відрізка мають різні знаки, то на відрізку, що розглядається, існує один і тільки один корінь.
Скориставшись цим критерієм, можна відокремити коріння аналітичнимспособом, знаходячи інтервали монотонності функції.
Відділення коренів можна виконати графічно, якщо вдається побудувати графік функції y=f(x). Наприклад, графік функції малюнку (1) показує, що ця функція на інтервалі може бути розбита на три інтервали монотонності і на цьому інтервалі у неї існують три корені.
Відділення коренів можна також виконати табличнимспособом. Припустимо, що всі коріння рівняння (2.1), що нас цікавить, знаходяться на відрізку [ A, B]. Вибір цього відрізка (інтервалу пошуку коренів) може бути зроблений, наприклад, на основі аналізу конкретної фізичної чи іншої задачі.
Мал. 2. Табличний метод локалізації коренів.
Обчислюватимемо значення f(x) , починаючи з точки x=A, рухаючись праворуч з деяким кроком h(Рис. 2). Як тільки виявляється пара сусідніх значень f(x) , що мають різні знаки, так відповідні значення аргументу xможна вважати межами відрізка, що містить корінь.
Надійність табличного способу відокремлення коренів рівнянь залежить як від характеру функції f(x) , і від обраної величини кроку h. Дійсно, якщо за досить малого значення h(h<<|B−A|) на межах поточного відрізка [ x, x+h] функція f(x) приймає значення одного знака, то природно очікувати, що рівняння f(x) = 0 коренів на цьому відрізку не має. Однак це не завжди так: при недотриманні умови монотонності функції f(x) на відрізку [ x, x+h] може виявитися коріння рівняння (рис. 3а).
Рис 3а Рис 3б
Також кілька коренів на відрізку [ x, x+h] можуть виявитися і під час виконання умови f(x) f(x+ h) < 0 (Рис. 3б). Передбачаючи подібні ситуації, слід вибирати досить малі значення h.
Відокремлюючи таким чином коріння, ми, по суті, отримуємо їх наближені значення з точністю до вибраного кроку. Так, наприклад, якщо як наближене значення кореня взяти середину відрізка локалізації, то абсолютна похибка цього значення не перевищуватиме половини кроку пошуку ( h/2). Зменшуючи крок в околиці кожного кореня, можна, в принципі, підвищити точність відокремлення коренів до будь-якого заданого значення. Однак такий спосіб потребує великого обсягу обчислень. Тому під час проведення чисельних експериментів з варіюванням параметрів завдання, коли доводиться багаторазово здійснювати пошук коренів, подібний метод годиться уточнення коренів і використовується лише відділення (локалізації) коренів, тобто. визначення початкових наближень до них. Уточнення коріння проводиться за допомогою інших, більш економічних методів.
Метод ітерацій
Метод простих ітерацій для рівняння f(x) = 0 полягає в наступному:
1) Вихідне рівняння перетворять до вигляду, зручному для ітерацій:
x = φ (х). (2.2)
2) Вибирають початкове наближення х 0 і обчислюють наступні наближення за ітераційною формулою
x k = φ
(х k -1), k =1,2, ... (2.3)
Якщо існує межа ітераційної послідовності, вона є коренем рівняння f(x) = 0, тобто. f(ξ ) =0.
y = φ (х)
a x 0 x 1 x 2 ξ b
Мал. 2. Схожий процес ітерацій
На рис. 2 показаний процес отримання чергового наближення методом ітерацій. Послідовність наближень сходиться до кореня ξ .
Теоретичні основи застосування методу ітерацій дає наступна теорема.
Теорема 2.3. Нехай виконуються умови:
1) корінь рівняння х= φ(х)належить відрізку [ а, b];
2) всі значення функції φ (х) належать відрізку [ а, b],т. е. а ≤ φ (х)≤b;
3) існує таке позитивне число q< 1, що похідна φ "(x) у всіх точках відрізка [ а, b] задовольняє нерівності | φ "(x) | ≤ q.
1) ітераційна послідовність х п= φ (х п- 1)(п = 1, 2, 3, ...) сходиться за будь-якого x 0 Î [ а, b];
2) межа ітераційної послідовності є коренем рівняння
х = φ(x), тобто якщо x k= ξ, то ξ = φ (ξ);
3) справедлива нерівність, що характеризує швидкість збіжності ітераційної послідовності
| ξ -x k | ≤ (b-a)×q k .(2.4)
Очевидно, що ця теорема ставить досить жорсткі умови, які необхідно перевірити перед застосуванням методу ітерацій. Якщо похідна функції φ (x) за модулем більше одиниці, то процес ітерацій розходиться (рис. 3).
y = φ
(x) y = x
 |
Мал. 3. Розбіжний процес ітерацій
Як умова збіжності ітераційних методів чисто використовується нерівність
| x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Метод хордполягає у заміні кривої у = f(x) відрізком прямий, що проходить через точки ( а, f(a)) та ( b, f(b)) Мал. 4). Абсцис точки перетину прямої з віссю ОХприймається чергове наближення.
Щоб отримати розрахункову формулу методу хорд, запишемо рівняння прямої, що проходить через точки ( a, f(a)) та ( b, f(b)) і, прирівнюючи удо нуля, знайдемо х:
Þ 
Алгоритм методу хорд :
1) нехай k = 0;
2) обчислимо наступний номер ітерації: k = k + 1.
Знайдемо чергове k-e наближення за такою формулою:
x k= a- f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)).
Обчислимо f(x k);
3) якщо f(x k)= 0 (корінь знайдений), переходимо до п. 5.
Якщо f(x k) × f(b)>0, то b= x kінакше a = x k;
4) якщо | x k – x k -1 | > ε , Переходимо до п. 2;
5) виводимо значення кореня x k;
Зауваження. Дії третього пункту аналогічні діям методу половинного поділу. Однак у методі хорд на кожному кроці може зрушуватися один і той же кінець відрізка (правий або лівий), якщо графік функції навколо кореня опуклий вгору (рис. 4, а) або увігнутий вниз (рис. 4, б).Тому в критерії збіжності використовується різницю сусідніх наближень.
Мал. 4. Метод хорд
4. Метод Ньютона(дотичних)
Нехай знайдено наближене значення кореня рівняння f(x)= 0, і позначимо його х п.Розрахункова формула методу Ньютонадля визначення чергового наближення x n+1 може бути одержана двома способами.
Перший спосіб виражає геометричний зміст методу Ньютонаі полягає в тому, що замість точки перетину графіка функції у= f(x)з віссю Оxшукаємо точку перетину з віссю Оxдотичної, проведеної до графіка функції у точці ( x n,f(x n)), як показано на рис. 5. рівняння дотичної має вигляд у - f(x n)= f "(x n)(x- x n).
Мал. 5. Метод Ньютона (дотичних)
У точці перетину дотичної з віссю Оxзмінна у= 0. Прирівнюючи удо нуля, висловимо хта отримаємо формулу методу дотичних :
(2.6)
Другий спосіб: розкладемо функцію f(x)в ряд Тейлора в околиці точки х = х n:
Обмежимося лінійними доданками щодо ( х- х п),прирівняємо до нуля f(x) і, висловивши з отриманого рівняння невідоме х,позначивши його через х n+1 отримаємо формулу (2.6).
Наведемо достатні умови збіжності методу Ньютона.
Теорема 2.4. Нехай на відрізку [ а, b]виконуються умови:
1) функція f(x)і її похідні f "(х)і f ""(x) безперервні;
2) похідні f "(x)і f""(x)відмінні від нуля і зберігають певні постійні знаки;
3) f(a)× f(b) <
0 (функція f(x) Змінює знак на відрізку).
Тоді існує відрізок [ α
, β
], що містить шуканий корінь рівняння f(x) =
0, у якому ітераційна послідовність (2.6) сходиться. Якщо як нульове наближення х 0 вибрати ту граничну точку [ α
, β
], в якій знак функції збігається зі знаком другої похідної,
тобто. f(x 0)× f"(x 0)>0, то ітераційна послідовність сходиться монотонно
Зауваження. Зазначимо, що метод хорд якраз йде з протилежного боку, і обидва ці методи можуть одне одного доповнювати. Можливий та комбінований метод хорд-дотичних.
5. Метод січучих
Метод січучих може бути отриманий з методу Ньютона при заміні похідної наближеним виразом - різницевою формулою:
, 
,
. (2.7)
У формулі (2.7) використовуються два попередні наближення х пі x n - 1 .Тому при заданому початковому наближенні х 0 необхідно обчислити наступне наближення x 1 , наприклад, методом Ньютона з наближеною заміною похідної за формулою
, 
Алгоритм методу січучих:
1) задані початкове значення х 0 та похибка ε . Обчислимо
;
2) для п = 1, 2, ... доки виконується умова | x n – x n -1 | > ε , обчислюємо х п+ 1 за формулою (2.7).