Матричний метод рішення СЛАУзастосовують до розв'язання систем рівнянь, які мають кількість рівнянь відповідає кількості невідомих. Метод найкраще застосовувати для вирішення систем низького порядку. Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь ґрунтується на застосуванні властивостей множення матриць.
Цей спосіб, іншими словами метод зворотної матриці,називають так, тому що рішення зводиться до звичайного матричного рівняння, для вирішення якого потрібно знайти зворотну матрицю.
Матричний метод вирішенняСЛАУ з визначником, який більший або менший за нуль полягає в наступному:
Припустимо, є СЛУ (система лінійних рівнянь) з nневідомими (над довільним полем):
Значить, її легко перевести в матричну форму:
AX=B, де A- Основна матриця системи, Bі X- Стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:
Помножимо це матричне рівняння зліва на A −1- Зворотну матрицю до матриці A: A −1 (AX)=A −1 B.
Т.к. A −1 A=Eотже, X=A −1 B. Права частина рівняння дає стовпець рішень початкової системи. Умовою застосування матричного методу є невиродженість матриці A. Необхідною та достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A:
detA≠0.
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто. якщо вектор B=0, Виконується зворотне правило: у системи AX=0є нетривіальне (тобто не рівне нулю) рішення лише коли detA=0. Цей зв'язок між рішеннями однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь називається альтернатива Фредґольму.
Т.ч., рішення СЛАУ матричним методом проводиться за формулою 
. Або рішення СЛАУ знаходять за допомогою зворотної матриці A −1.
Відомо, що у квадратної матриці Апорядку nна nє зворотна матриця A −1лише у тому випадку, якщо її визначник ненульовий. Таким чином, систему nлінійних алгебраїчних рівнянь з nневідомими вирішуємо матричним методом лише у випадку, якщо визначник основної матриці системи не дорівнює нулю.
Незважаючи на те, що є обмеження можливості застосування такого методу та існують складності обчислень при великих значеннях коефіцієнтів та систем високого порядку, метод можна легко реалізувати на ЕОМ.
Приклад розв'язання неоднорідної СЛАУ.
Спочатку перевіримо, чи не дорівнює нулю визначник матриці коефіцієнтів у невідомих СЛАУ.
Тепер знаходимо союзну матрицю, транспонуємо її та підставляємо у формулу для визначення зворотної матриці.
Підставляємо змінні у формулу:
Тепер знаходимо невідомі, перемножуючи зворотну матрицю та стовпчик вільних членів.
Отже, x=2; y=1; z=4.
При переході від звичайного виду СЛАУ до матричної форми будьте уважними з порядком невідомих змінних рівнянь системи. Наприклад:
НЕ МОЖНА записати як:
Необхідно, для початку, упорядкувати невідомі змінні в кадом рівнянні системи і лише після цього переходити до матричного запису:
Крім того, потрібно бути уважними з позначенням невідомих змінних, x 1 , x 2 , …, x nможуть виявитися інші літери. Наприклад:
у матричній формі записуємо так:
Матричним способом краще вирішувати системи лінійних рівнянь, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих змінних і визначник основної матриці системи не дорівнює нулю. Коли в системі більше 3-х рівнянь, на знаходження зворотної матриці потрібно більше обчислювальних зусиль, тому в цьому випадку доцільно використовувати для вирішення метод Гаусса.
Тема 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.
Основні поняття.
Визначення 1. Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система виду:
де і – числа.
Визначення 2. Рішенням системи (I) називається такий набір невідомих , у якому кожне рівняння цієї системи перетворюється на тотожність.
Визначення 3. Система (I) називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення і несуміснийякщо вона не має рішень. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеноюінакше.
Визначення 4. Рівняння виду
називається нульовим, а рівняння виду
називається несумісним. Очевидно, що система рівнянь, що містить несумісне рівняння, є несумісною.
Визначення 5. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильнимиякщо кожне рішення однієї системи служить рішенням іншої і, навпаки, всяке рішення другої системи є рішенням першої.
Матричний запис системи лінійних рівнянь.
Розглянемо систему (I) (див. §1).
Позначимо:
Матриця коефіцієнтів при невідомих
Матриця – стовпець вільних членів
Матриця – стовпець невідомих
.
Визначення 1.Матриця називається основною матрицею системи(I), а матриця – розширеною матрицею системи (I).
За визначенням рівності матриць системі (I) відповідає матрична рівність:
.
Праву частину цієї рівності з визначення твору матриць ( див. визначення 3 § 5 глави 1) можна розкласти на множники:
, тобто.
Рівність (2) називається матричним записом системи (I).
Вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.
Нехай у системі (I) (див. §1) m=n, тобто. кількість рівнянь дорівнює числу невідомих, і основна матриця системи невироджена, тобто. . Тоді система (I) §1 має єдине рішення
де Δ = det Aназивається головним визначником системи(I), Δ iвиходить із визначника Δ заміною i-го стовпця на стовпець із вільних членів системи (I)
Приклад. Вирішити систему методом Крамера:
.
За формулами (3)
.
Обчислюємо визначники системи:
,
,
.
Щоб отримати визначник, ми замінили у визначнику перший стовпець на стовпець із вільних членів; замінюючи в визначнику другий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо; аналогічно, замінюючи в визначнику третій стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо . Рішення системи:
Вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.
Нехай у системі(I) (див. §1) m=nі основна матриця системи невироджена. Запишемо систему (I) у матричному вигляді ( див. §2):
т.к. матриця Aневироджена, вона має зворотну матрицю ( див. теорему 1 §6 глави 1). Помножимо обидві частини рівності (2) на матрицю , тоді
За визначенням зворотної матриці. З рівності (3) маємо
Вирішити систему за допомогою зворотної матриці
.
Позначимо
У прикладі (§ 3) ми обчислили визначник , отже, матриця Aмає зворотну матрицю. Тоді в силу (4) , тобто.
. (5)
Знайдемо матрицю ( див. §6 глави 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Метод Гауса.
Нехай задана система лінійних рівнянь:
. (I)
Потрібно знайти всі рішення системи (I) або переконатися, що система несовместна.
Визначення 1.Назвемо елементарним перетворенням системи(I) будь-яка з трьох дій:
1) креслення нульового рівняння;
2) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число l;
3) зміна місцями доданків у рівняннях системи те щоб невідомі з однаковими номерами переважають у всіх рівняннях займали однакові місця, тобто. якщо, наприклад, у 1-му рівнянні ми змінили 2-е і 3-є доданки, тоді те саме потрібно зробити у всіх рівняннях системи.
Метод Гаусса полягає в тому, що система (I) за допомогою елементарних перетворень приводиться до рівносильної системи, розв'язання якої безпосередньо або встановлюється її нерозв'язність.
Як було описано в §2 система (I) однозначно визначається своєю розширеною матрицею і будь-яке елементарне перетворення системи (I) відповідає елементарному перетворенню розширеної матриці:
.
Перетворення 1) відповідає викресленню нульового рядка в матриці, перетворення 2) рівносильне доданню до відповідного рядка матриці іншого її рядка, помноженого на число l, перетворення 3) еквівалентно перестановці стовпців у матриці.
Легко бачити, що, навпаки, кожному елементарне перетворення матриці відповідає елементарне перетворення системи (I). В силу сказаного, замість операцій із системою (I) ми працюватимемо з розширеною матрицею цієї системи.
У матриці перший стовпець складається з коефіцієнтів при х 1, Другий стовпець - з коефіцієнтів при х 2і т.д. У разі перестановки стовпців слід враховувати, що ця умова порушується. Наприклад, якщо ми поміняємо перший і другий стовпці місцями, то тепер в першому стовпці будуть коефіцієнти при х 2, а у 2-му стовпці - коефіцієнти при х 1.
Розв'язуватимемо систему (I) методом Гауса.
1. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо такі є (тобто викреслимо в системі (I) усі нульові рівняння).
2. Перевіримо, чи є серед рядків матриці рядок, у якому всі елементи, крім останнього, дорівнюють нулю (назвемо такий рядок несумісним). Очевидно, що такому рядку відповідає несумісне рівняння в системі (I), отже система (I) рішень не має і на цьому процес закінчується.
3. Нехай матриця не містить несумісних рядків (система (I) не містить несумісних рівнянь). Якщо a 11 = 0, то знаходимо в 1-му рядку якийсь елемент (крім останнього) відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб у 1-му рядку на 1-му місці не було нуля. Тепер вважатимемо, що (тобто. поміняємо місцями відповідні доданки у рівняннях системи (I)).
4. Помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 2-м рядком, потім помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 3-м рядком і т.д. Очевидно, що цей процес еквівалентний виключенню невідомого x 1із усіх рівнянь системи (I), крім одного. У новій матриці отримуємо нулі в 1-му стовпці під елементом a 11:
.
5. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо вони є, перевіримо, чи немає несумісного рядка (якщо вона є, то система несумісна і на цьому рішення закінчується). Перевіримо, чи буде a 22 / = 0Якщо так, то знаходимо у другому рядку елемент, відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб . Далі множимо елементи 2-го рядка на 
і складаємо з відповідними елементами 3-го рядка, потім - елементи 2-го рядка і складаємо з відповідними елементами 4-го рядка і т.д., поки не отримаємо нулі під a 22 /
.
Зроблені дії еквівалентні виключенню невідомого х 2з усіх рівнянь системи (I), крім 1-го та 2-го. Так як число рядків звичайно, тому через кінцеве число кроків ми отримаємо, що система несумісна, або ми прийдемо до ступінчастої матриці ( див. визначення 2 §7 глави 1) :
,
Випишемо систему рівнянь, що відповідає матриці . Ця система рівносильна системі (I)
.
З останнього рівняння виражаємо; підставляємо в попереднє рівняння, знаходимо і т.д., доки не отримаємо .
Зауваження 1.Таким чином, при вирішенні системи (I) методом Гауса ми приходимо до одного з таких випадків.
1. Система (I) несумісна.
2. Система (I) має єдине рішення, якщо в матриці число рядків дорівнює числу невідомих ().
3. Система (I) має безліч рішень, якщо число рядків у матриці менше числа невідомих ().
Звідси має місце така теорема.
Теорема.Система лінійних рівнянь або несумісна, або має єдине рішення, або - безліч рішень.
приклади. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса або довести її несумісність:
б) 
;
а) Перепишемо задану систему у вигляді:
.
Ми поміняли місцями перше і друге рівняння вихідної системи, щоб спростити обчислення (замість дробів ми за допомогою такої перестановки будемо оперувати тільки цілими числами).
Складаємо розширену матрицю:
.
Нульових рядків немає; несумісних рядків немає; виключимо перше невідоме з усіх рівнянь системи, крім одного. Для цього помножимо елементи 1-го рядка матриці на «-2» і складемо з відповідними елементами 2-го рядка, що рівнозначно множення 1-го рівняння на «-2» і додавання з 2-м рівнянням. Потім помножимо елементи 1-го рядка «-3» і складемо з відповідними елементами третього рядка, тобто. помножимо 2-е рівняння заданої системи на «-3» і складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо
.
Матриці відповідає система рівнянь). - (Див. визначення 3§7 глави 1).
Цей онлайн калькулятор вирішує систему лінійних рівнянь матричним способом. Надається дуже докладне рішення. Щоб вирішити систему лінійних рівнянь, виберіть кількість змінних. Вибирайте спосіб обчислення зворотної матриці. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити".
×
Попередження
Очистити всі комірки?
Закрити Очистити
Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.
Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь
Розглянемо таку систему лінійних рівнянь:
Враховуючи визначення зворотної матриці, маємо A −1 A=E, де E- Поодинока матриця. Отже (4) можна записати так:
Таким чином, для вирішення системи лінійних рівнянь (1) (або (2)), достатньо помножити зворотну до Aматрицю на вектор обмежень b.
Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь матричним методом
Приклад 1. Розв'язати таку систему лінійних рівнянь матричним методом:
Знайдемо зворотний до матриці A методом Жордана-Гаусса. З правого боку матриці Aзапишемо поодиноку матрицю:
Виключимо елементи одного стовпця матриці нижче головної діагоналі. Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -1/3,-1/3 відповідно:
Виключимо елементи 2-го стовпця матриці нижче за головну діагональ. Для цього складемо рядок 3 з рядком 2, помноженим на -24/51:
Виключимо елементи 2-го стовпця матриці вище за головну діагональ. Для цього складемо рядок 1 з рядком 2, помноженим на -3/17:
Відокремлюємо праву частину матриці. Отримана матриця є зворотною матрицею до A :
Матричний вид запису системи лінійних рівнянь: Ax=b, де
Обчислимо всі алгебраїчні доповнення матриці A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Зворотна матриця обчислюється з наступного виразу.
Рівняння взагалі, лінійні рівняння алгебри та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце.
Це з тим обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завдань може бути описані і вирішені з допомогою різноманітних рівнянь та його систем. Останнім часом особливу популярність серед дослідників, науковців та практиків набуло математичне моделювання практично у всіх предметних галузях, що пояснюється очевидними його перевагами перед іншими відомими та апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих складних систем. Існує велике різноманіття різних визначень математичної моделі, даних вченими у різні часи, але з погляду, найвдаліше, це таке твердження. Математична модель – ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати та вирішувати рівняння та їх системи – невід'ємна характеристика сучасного фахівця.
Для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри найчастіше використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса і матричний метод.
Матричний метод рішення - метод рішення за допомогою зворотної матриці систем лінійних рівнянь алгебри з ненульовим визначником.
Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати у вектор стовпець X, а вільні члени у вектор стовпець B, то систему лінійних рівнянь алгебри можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A не дорівнюватиме нулю. При цьому розв'язання системи рівнянь можна знайти наступним способом X = A-1 · B, де A-1 – зворотна матриця.
Матричний метод рішення полягає в наступному.
Нехай дана система лінійних рівнянь з nневідомими:
Її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:
Помножимо це матричне рівняння зліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B
Бо A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування цього методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, рівним числу невідомих) є невиродженість матриці A. Необхідною та достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0.
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0 , дійсно протилежне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Така зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма.
приклад розв'язання неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри.
Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системах лінійних рівнянь алгебри не дорівнює нулю.
Наступним кроком буде обчислення додатків алгебри для елементів матриці, що складається з коефіцієнтів при невідомих. Вони знадобляться для знаходження зворотної матриці.
- обчислюється визначник матриці A;
- через додатки алгебри знаходиться зворотна матриця A -1 ;
- здійснюється створення шаблону рішення в Excel;
Інструкція. Для отримання рішення шляхом зворотної матриці необхідно задати розмірність матриці. Далі у новому діалоговому вікні заповнити матрицю A та вектор результатів B .
також Розв'язання матричних рівнянь.Алгоритм рішення
- Обчислюється визначник матриці A. Якщо визначник дорівнює нулю, кінець рішення. Система має безліч рішень.
- При визначнику відмінному від нуля, через додатки алгебри знаходиться зворотна матриця A -1 .
- Вектор рішення X = (x 1, x 2, ..., x n) виходить множенням зворотної матриці на вектор результату B.
Алгебраїчні доповнення.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21/-21 = 1
x 2 = 0/-21 = 0
x 3 = -21/-21 = 1
Перевірка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1