Похідна первісної цієї функції дорівнює. Достатня умова екстремуму

Файл для заняття 29.

Похідна. Застосування похідної. Первісна.

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у точці з абсцисою х 0 дорівнює похідної функції у точці х 0. .

Тобто. похідна функції в точці х 0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в точці (х 0; f (x 0)).

Завдання 1. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x x 0 .

Відповідь: 0,25

Завдання 2. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 . Відповідь: 0,6

Завдання 3. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 . Відповідь: -0,25

Завдання 4. На малюнку зображено графік функції y=f(x) та дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 . Відповідь: -0,2.

Механічний сенс похідний.

v ( t 0 ) = x’ ( t 0 )

швидкість – це похідна координати по часу. Аналогічно, прискорення - це похідна швидкості за часом :

a = v’ ( t ).

Завдання 5 . Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=12 t 2 +4 t+27, де x - відстань від точки відліку в метрах, t - час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах на секунду) у час t=2 з. Відповідь: 52

Завдання 6. Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із закономx (t) = 16   t 3 + t 2 − 8   t + 180, де x- відстань від точки відліку в метрах,t- час у секундах, виміряне з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 42 м/с? Відповідь: 1

Достатня ознака зростання (зменшення) функції

1. Якщо f `(x) у кожній точці інтервалу (, то функція зростає на (.).

2. Якщо f `(x) у кожній точці інтервалу (, то функція зменшується на (.).

Необхідна умоваекстремуму

Якщо точка х 0 є точкою екстремуму функції і в цій точці існує похідна, то f `( x 0 )=0

Достатня умоваекстремуму

Якщо f `( x 0 x 0 значення похідної змінює знак з "+" на "-", то x 0 є точкою максимуму функції.

Якщо f `( x 0 ) = 0 і при переході через точку x 0 значення похідної змінює знак з «-» на «+», то x 0 є точкою мінімуму функції.

Завдання 7.На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-7; 10) Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(x)на відрізку [-3; 8].

Рішення.Точки мінімуму відповідають точкам зміни похідної знака з мінуса на плюс. На відрізку [-3; 8] функція має одну точку мінімуму x= 4. Отже, така точка 1. Відповідь: 1.

Завдання 8. На малюнку зображено графік диференційованої функції y=f(x) і відзначено сім точок на осі абсцис: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. У скільки з цих точок похідна функції f(x) негативна? Відповідь: 3

Завдання 9. На малюнку зображено графік диференційованої функції y=f(x), визначеної на інтервалі (− 11 ; − 1). Знайдіть точку з відрізка [− 7 ; 

− 2], в якій похідна функції f(x) дорівнює 0. Відповідь: -4Завдання 10

. На малюнку зображено графік функції y=f′(x) - похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (2 ; 13). Знайдіть точку максимуму функції f(x). Відповідь: 9Завдання 11 . На малюнку зображено графік y=f′(x) похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (− 3; 8). У якій точці відрізка [−2;  3] функція f(x) приймає

найменше значення? Відповідь: -2

Завдання 12.На малюнку зображено графік y=f "(x) - похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (− 2 ; 11). Знайдіть абсцис точки, в якій дотична до графіка функції y=f(x) паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Завдання 13.На малюнку зображено графік y=f "(x) - похідну функцію f(x), визначену на інтервалі (− 4 ; 6). або збігається з нею.

Завдання 14. На малюнку зображено графік y=f "(x) - похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (− 4 ; 13). Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції y=f(x) паралельна до прямої y=− 2x−10 або збігається з нею. Завдання 15.Пряма y=5x-8 є дотичною до графіка функції 4x2-15x+c. Знайдіть

c

. O твет: 17. Первісна Первоподібною функцією f(x) F(x) для функції називається функція, похідна " ( x )= якою дорівнює вихідній функції. ( x ).

F f Завдання 16. (xНа малюнку зображено графік якою дорівнює вихідній функції.(x y=F ) однією з первісних деякої функції (x), Визначеної на інтервалі (1; 13). Використовуючи малюнок, визначте кількість розв'язків рівняння

f) = 0 на відрізку. Відповідь: 4

Завдання 18. На малюнку зображено графік y=F(x) однієї з першорядних деякої функції f(x) і відзначено вісім точок на осі абсцис: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. У скільки з цих точок функція f(x) негативна? Відповідь: 3

Завдання 19.На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x). Функція F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 - одна з первісних функцій f(x). Знайдіть площу зафарбованої фігури. Відповідь: 592

Алгоритм знаходження точок екстремуму

Знайти область визначення функції.

Знайти похідну функції якою дорівнює вихідній функції. "( x)

Знайти точки, в яких якою дорівнює вихідній функції. "( x) = 0.

Позначити на числовій прямій область визначення функції і всі похідні нулі.

Визначити знак похіднийдля кожного проміжку. (Для цього підставляємо "зручне" значення x з цього проміжку в якою дорівнює вихідній функції. "( x)).

Визначити за знаками похідної ділянки зростання та спадання функції та зробити висновки про наявність чи відсутність екстремуму та його характер ( max абоmin ) у кожній з цих точок.

Завдання 20.Знайдіть точку максимуму функції y=(2x−1)cosx−2sinx+5, що належить проміжку (0 ; π/2). Відповідь: 0,5

Завдання 21.Знайдіть точку максимуму функціїy =.Відповідь: 6

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку

Завдання 22.Знайдіть найменше значення функції y = x −6x +1 на відрізку. Відповідь: -31

Завдання 23.Знайдіть найменше значення функції y=8cosx+30x/π+19 на відрізку [− 2π/3; 

0]. Відповідь: -5Додатково. 1.

Знайдіть точку максимуму функції y=(x−11) 2 ⋅e x − 7 . 2. Знайдітьнайбільше значення

функції y = х 5 -5х 3 -20х на відрізку [− 9 ;  1]. Відповідь:48Графік

показової функції є кривою плавною лінією без зламів, до якої в кожній точці, через яку вона проходить, можна провести дотичну. Логічно припустити, що якщо можна провести дотичну, то функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення.Відобразимо в одних

координатних осях

кілька графіків функції y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4. У точці з координатами (0; 1). Кути нахилу цих дотичних дорівнюють приблизно 35, 40, 48 і 51 градусів відповідно. Логічно припустити, що на інтервалі від 2 до 3 існує число, при якому кут нахилу дотичної дорівнюватиме 45 градусів.

Дамо точне формулювання цього твердження: існує таке число більше 2 і менше 3, що позначається буквою е, що показова функція y = e x у точці 0 має похідну рівну 1. Тобто: (e ∆x -1) / ∆x прагне 1 при прагненні ∆х до нуля.є ірраціональним і записується у вигляді нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

e = 2,7182818284…

Так як число е позитивно і від нуля, то існує логарифм на підставі e. Цей логарифм називається натуральним логарифмом . Позначається ln(x) = log e(x).

Похідна показової функції

Теорема: Функція e x диференційована в кожній точці своєї області визначення, і (e x) = e x .

Показова функція a x диференційована в кожній точці своєї області визначення, причому (a x)' = (a x)*ln(a).
Наслідком з цієї теореми є той факт, що показова функція безперервна у будь-якій точці своєї області визначення.

Приклад: Визначити похідну функції y = 2 x .

За формулою похідної показової функції отримуємо:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Відповідь: (2 x) * ln (2).

Первинна показова функція

Для показової функції a x заданої на множині дійсних чисел первісної буде функція (a x)/(ln(a)).
ln(a) - деяка постійна, тоді (a x / ln(a))'= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для будь-якого х. Ми довели цю теорему.

Розглянемо приклад перебування первісної показової функції.

Приклад: знайти первісну до функції f(x) = 5 x . Скористаємося формулою наведеною вище та правилами знаходження первісних. Отримаємо: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Пряма y=3x+2 є дотичною до графіка функції y=-12x^2+bx-10.

Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

Рішення

Нехай x_0 - абсцис точки на графіку функції y = -12x ^ 2 + bx-10, через яку проходить дотична до цього графіка. Значення похідної в точці x_0 дорівнюєкутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=-24x_0+b=3. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Отримуємо систему рівнянь

\begin(cases) -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1.

Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Відповідь

Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

Умова На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(9)-F(5), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).функції y=f(x), прямими y=0, x=9 та x=5. За графіком визначаємо, що зазначенакриволінійна трапеція

є трапецією з основами, рівними 4 і 3 та висотою 3 . Її площа дорівнює

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5. Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017.Профільний рівень

Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

На малюнку зображено графік y=f"(x) — похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-4; 10). Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Як відомо, функція f(x) зменшується на тих проміжках, у кожній точці яких похідна f"(x) менша за нуль. Враховуючи, що треба знаходити довжину найбільшого з них природно по малюнку виділяються три такі проміжки: (-4; -2) ;(0; 3);

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1.

Довжина найбільшого з них (5; 9) дорівнює 4.

Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова. На малюнку зображено графік y=f"(x) — похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-8; 7). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), [-6; -2].

Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

належать проміжку

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1.

Довжина найбільшого з них (5; 9) дорівнює 4.

Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

З графіка видно, що похідна f"(x) функції f(x) змінює знак з плюсу на мінус (саме в таких точках буде максимум) рівно в одній точці (між -5 і -4) з проміжку [-6; -2 ]. Тому на проміжку [-6; -2] рівно одна точка максимуму.

Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі (-2; 8). Визначте кількість точок, у яких похідна функції f(x) дорівнює 0 .Рівність похідної нулю в точці означає, що дотична до графіка функції, проведена в цій точці, паралельна осі Ox.

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1.

Довжина найбільшого з них (5; 9) дорівнює 4.

Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Тому знаходимо такі точки, у яких дотична до графіка функції паралельна осі Ox.

Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

на даному графікутакими точками є точки екстремуму (точки максимуму чи мінімуму). Як бачимо, точок екстремуму 5 .

Пряма y=-3x+4 паралельна до графіки функції y=-x^2+5x-7.

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1.

Довжина найбільшого з них (5; 9) дорівнює 4.

Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Знайдіть абсцис точки торкання.

Цей урок – перший із серії відео, присвячених інтегруванню. У ньому ми розберемо, що таке первісна функція, і навіть вивчимо елементарні прийоми обчислення цих самих первообразных.

Насправді тут немає нічого складного: по суті, все зводиться до поняття похідної, з яким ви вже повинні знайомі.

Відразу зазначу, що, оскільки це найперший урок у нашій новій темі, сьогодні не буде жодних складних обчисленьі формул, але те, що ми вивчимо сьогодні, ляже в основу набагато складніших викладок та конструкцій при обчисленні складних інтегралівта площ.

Крім того, приступаючи до вивчення інтегрування та інтегралів зокрема, ми неявно припускаємо, що учень уже, як мінімум, знайомий до понять похідної та має хоча б елементарні навички їх обчислення. Без чіткого розуміння цього робити в інтегруванні зовсім нічого.

Однак тут криється одна з найчастіших і підступних проблем. Справа в тому, що, починаючи обчислювати свої перші первообразні, багато учнів плутають їх із похідними. В результаті на іспитах та самостійних роботахдопускаються дурні та образливі помилки.

Тому зараз я не даватиму чіткого визначення первісної. А натомість пропоную вам подивитися, як вона вважається на простому конкретному прикладі.

Що таке первісна і як вона вважається

Ми знаємо таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Вважається ця похідна елементарно:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Подивимося уважно на отриманий вираз і виразимо $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Але ми можемо записати і так, згідно з визначенням похідної:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

А тепер увага: те, що ми тільки-но записали і є визначенням первісної. Але щоб записати її правильно, потрібно написати таке:

Аналогічно запишемо і такий вираз:

Якщо ми узагальним це правило, то зможемо вивести таку формулу:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Наразі ми можемо сформулювати чітке визначення.

Первоподібною функцією називається така функція, похідна якої дорівнює вихідній функції.

Питання про первинну функцію

Здавалося б, досить просте та зрозуміле визначення. Однак, почувши його, у уважного учня одразу виникне кілька запитань:

1. Допустимо, добре, ця формула вірна. Однак у цьому випадку при $n=1$ у нас виникають проблеми: у знаменнику з'являється нуль, а на нуль ділити не можна.
2. Формула обмежується лише ступенями. Як вважати первісну, наприклад, синуса, косинуса та будь-якої іншої тригонометрії, а також констант.
3. Екзистенційне питання: а чи завжди взагалі можна знайти первісну? Якщо так, то як бути з первісною сумою, різницею, творами і т.д.?

на останнє запитанняя відповім одразу. На жаль, первісна, на відміну похідної, вважається який завжди. Нема такої універсальної формули, за якою з будь-якої вихідної конструкції ми отримаємо функцію, яка дорівнюватиме цій подібній конструкції. А щодо ступенів і констант — зараз ми про це поговоримо.

Розв'язання задач зі статечними функціями

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Як бачимо, дана формуладля $((x)^(-1))$ не працює. Постає питання: а що тоді працює? Невже ми можемо порахувати $((x)^(-1))$? Звичайно можемо. Тільки давайте спершу згадаємо таке:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Тепер подумаємо: похідна якої функції дорівнює $ frac (1) (x) $. Очевидно, що будь-який учень, який хоч трохи займався цією темою, згадає, що до цього виразу дорівнює похідна натурального логарифму:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Тому ми впевнено можемо записати наступне:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Цю формулу потрібно знати, так само, як і похідну статечної функції.

Отже, що нам відомо на даний момент:

• Для статечної функції - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Для константи - $ = const \ to \ cdot x $
• Частковий випадок статечної функції - $\frac(1)(x)\to \ln x$

А якщо найпростіші функції ми почнемо множити і ділити, як тоді порахувати первісну твори чи приватного. На жаль, аналогії із похідною твору чи приватного тут не працюють. Якийсь стандартної формулине існує. Для деяких випадків існують хитрі спеціальні формули – з ними ми познайомимося на майбутніх відеоуроках.

Однак запам'ятайте: загальної формули, аналогічною формулою для обчислення похідної частки та твору, не існує.

Вирішення реальних завдань

Завдання №1

Давайте кожну з статечних функційпорахуємо окремо:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Повертаючись до нашого висловлювання, ми запишемо загальну конструкцію:

Завдання №2

Як я вже казав, первісні твориі приватного «напролом» не вважаються. Однак тут можна вчинити так:

Ми розтрощили дріб на суму двох дробів.

Порахуємо:

Хороша новина полягає в тому, що знаючи формули обчислення первісних, ви вже здатні вважати більше складні конструкції. Однак давайте підемо далі і розширимо наші знання ще трохи. Справа в тому, що багато конструкцій і виразів, які, на перший погляд, не мають жодного відношення до $((x)^(n))$, можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Всі ці прийоми можна комбінувати. Ступінні виразиможна, можливо

• множити (ступеня складаються);
• ділити (ступеня віднімаються);
• множити на константу;
• і т.д.

Рішення виразів зі ступенем із раціональним показником

Приклад №1

Порахуємо кожен корінь окремо:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Всього всю нашу конструкцію можна записати так:

Приклад №2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Отже, ми отримаємо:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Отже, збираючи все в один вираз, можна записати:

Приклад №3

Для початку зауважимо, що $sqrt(x)$ ми вже вважали:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Перепишемо:

Сподіваюся, я нікого не здивую, якщо скажу, що те, що ми щойно вивчали, — це самі. прості обчисленняпервісні, найпростіші конструкції. Давайте зараз розглянемо трохи більше складні приклади, в яких крім табличних первісних ще потрібно згадати шкільну програму, А саме, формули скороченого множення.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

Згадаймо формулу квадрата різниці:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Давайте перепишемо нашу функцію:

Першорядну таку функцію нам зараз належить знайти:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Збираємо все у загальну конструкцію:

Завдання №2

В цьому випадку нам потрібно розкрити куб різниці. Згадаймо:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

З огляду на цей факт можна записати так:

Давайте трохи перетворимо нашу функцію:

Вважаємо як завжди - по кожному доданку окремо:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Запишемо отриману конструкцію:

Завдання №3

Зверху у нас коштує квадрат суми, давайте його розкриємо:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Давайте напишемо підсумкове рішення:

А тепер увага! Дуже важлива річ, з якою пов'язана левова часткапомилок та непорозуміння. Справа в тому, що досі вважаючи першорядні за допомогою похідних, наводячи перетворення, ми не замислювалися про те, чому дорівнює похідна константи. Адже похідна константи дорівнює «нулю». А це означає, що можна записати такі варіанти:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ось це дуже важливо розуміти: якщо похідна функції завжди одна й та сама, то першорядних в одній і тій же функції нескінченно багато. Просто до наших первісних ми можемо дописувати будь-які числа-константи та отримувати нові.

Невипадково, у поясненні до завдань, які ми щойно вирішували, було написано «Запишіть загальний виглядпервісних». Тобто. вже заздалегідь передбачається, що їх не одна, а безліч. Але, насправді, вони відрізняються лише константою $C$ наприкінці. Тому в наших завданнях ми виправимо те, чого ми не дописали.

Ще раз переписуємо наші конструкції:

У разі слід дописувати, що $C$ — константа — $C=const$.

У другій нашій функції ми отримаємо таку конструкцію:

І остання:

І ось тепер ми справді отримали те, що від нас вимагалося у вихідній умові завдання.

Розв'язання задач на знаходження первісних із заданою точкою

Зараз, коли ми знаємо про константів і особливості запису першоподібних, цілком логічно виникає наступний типзадач, коли з безлічі всіх первісних потрібно знайти одну-єдину таку, яка проходила б через задану точку. У чому полягає це завдання?

Справа в тому, що всі первісні цієї функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатної площиними не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і, до того ж, тільки одна.

Отже, завдання, які зараз ми вирішуватимемо, сформульовані наступним чином: не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані за умови завдання.

Приклад №1

Для початку просто порахуємо кожне доданок:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Тепер підставляємо ці висловлювання до нашої конструкції:

Ця функція повинна проходити через точку $M\left(-1;4\right)$. Що означає, що вона проходить через точку? Це означає, що якщо замість $x$ поставити скрізь $-1$, а замість $F\left(x \right)$ - $-4$, то ми повинні отримати правильне числова рівність. Давайте так і зробимо:

Ми бачимо, що у нас вийшло рівняння щодо $C$, тому давайте спробуємо його вирішити:

Давайте запишемо те саме рішення, яке ми шукали:

Приклад №2

Насамперед необхідно розкрити квадрат різниці за формулою скороченого множення:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Вихідна конструкція запишеться так:

Тепер давайте знайдемо $C$: підставимо координати точки $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Висловлюємо $C$:

Залишилося відобразити підсумковий вираз:

Розв'язання тригонометричних завдань

В якості фінального акордудо того, що ми щойно розібрали, пропоную розглянути дві більш складні завдання, В яких міститься тригонометрія. У них точно так само потрібно знайти першорядні для всіх функцій, потім вибрати з цієї множини одну-єдину, яка проходить через точку $M$ на координатній площині.

Забігаючи наперед, хотів би зазначити, що той прийом, який ми зараз будемо використовувати для знаходження первісних від тригонометричних функцій, насправді є універсальним прийомом для самоперевірки.

Завдання №1

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Виходячи з цього, ми можемо записати:

Давайте підставимо координати точки $M$ у наш вираз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Перепишемо вираз з урахуванням цього факту:

Завдання №2

Тут буде трохи складніше. Зараз побачите чому.

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Щоб позбутися «мінусу», необхідно зробити таке:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ось наша конструкція

Підставимо координати точки $M$:

Разом запишемо остаточну конструкцію:

Ось і все, про що я сьогодні хотів вам розповісти. Ми вивчили сам термін первісних, як рахувати їх від елементарних функцій, А також як знаходити первісну, що проходить через конкретну точку на координатній площині.

Сподіваюся, цей урок хоч трохи допоможе вам розібратися у цій складній темі. У будь-якому випадку, саме на первісних будуються невизначені та невизначені інтегралитому вважати їх абсолютно необхідно. На цьому маю все. До нових зустрічей!

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Зміст

Елементи змісту

Похідна, дотична, первісна, графіки функцій та похідних.

ПохіднаНехай функція \(f(x)\) визначена в околицях точки \(x_0\).

Похідної функції \(f\) у точці \(x_0\)називається межа

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

якщо ця межа існує.

Похідна функції у точці характеризує швидкість зміни цієї функції у цій точці.

Таблиця похідних

Функція	Похідна
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Правила диференціювання\(f\) та \(g\) - функції, що залежать від змінної \(x\); (c) - число.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)" = f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - похідна складної функції

Геометричний зміст похідної Рівняння прямої- ні паралельної осі\(Oy\) можна записати у вигляді \(y=kx+b\). Коефіцієнт \(k\) у цьому рівнянні називають кутовим коефіцієнтом прямої. Він дорівнює тангенсу кута нахилуцієї прямої.

Кут нахилу прямий- кут між позитивним напрямом осі \(Ox\) і даною прямий, що відраховується у напрямку позитивних кутів (тобто, у напрямку найменшого повороту від осі \(Ox\) до осі \(Oy\)).

Похідна функції \(f(x)\) у точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в даній точці: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Якщо \(f"(x_0)=0\), то щодо графіка функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) паралельна осі \(Ox\).

Рівняння дотичної

Рівняння щодо графіку функції \(f(x)\) у точці \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Монотонність функціїЯкщо похідна функції позитивна у всіх точках проміжку, то функція зростає цьому проміжку.

Якщо похідна функції негативна у всіх точках проміжку, то функція зменшується у цьому проміжку.

Точки мінімуму, максимуму та перегину позитивногона негативнеу цій точці, то (x_0) - точка максимуму функції (f).

Якщо функція \(f\) безперервна в точці \(x_0\), а значення похідної цієї функції \(f"\) змінюється з негативногона позитивнеу цій точці, то (x_0) - точка мінімуму функції (f).

Точки, у яких похідна \(f"\) дорівнює нулю або немає називаються критичними точками функції (f).

Внутрішні точки області визначення функції \(f(x)\), у яких \(f"(x)=0\) можуть бути точками мінімуму, максимуму або перегину.

Фізичний зміст похідноїЯкщо матеріальна точка рухається прямолінійно та її координата змінюється залежно від часу за законом \(x=x(t)\), то швидкість цієї точки дорівнює похідній координати за часом:

Прискорення матеріальної точкиоднаково похідної швидкості цієї точки за часом:

\(a(t)=v"(t).\)