Добуток позитивних приватного ділимого та дільника. На нуль ділити не можна

Дуже великі та дуже малі числа прийнято записувати у стандартному вигляді: a∙10 n, де 1≤а<10 і n(Натуральне або ціле) – є порядок числа, записаного в стандартному вигляді.

Наприклад, 345,7=3,457∙10 2 ; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4 .

приклади.

Записати у стандартному вигляді число: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Рішення.

1) 40503 = 4,0503 · 10 4;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Ще приклади на стандартний вид числа.

5) Число молекул газу в 1 см 3 при 0°С і тиску 760 мм.

27 000 000 000 000 000 000.

Рішення.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 парсек(одиниця довжини в астрономії) дорівнює 30800000000000 км.Записати це число у стандартному вигляді.

Рішення.

1 парсек=30 800 000 000 000=3,08∙10 13 км.

У тему:

Кіловат-година- Це позасистемна одиниця енергії або роботи, застосовується в електротехніці, позначається кВт · год.

1 кВт·год=3,6∙10 6 Дж(Джоулі).

Часто потрібно знайти суму квадратів (x 1 2 +x 2 2) або суму кубів (x 1 3 +x 2 3) коренів квадратного рівняння, рідше — суму обернених значень квадратів коренів або суму арифметичних квадратних коренів із коренів квадратного рівняння:

Допомогти в цьому може теорема Вієта:

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Висловимо через pі q:

1) суму квадратів коренів рівняння x 2 +px+q=0;

2) суму кубів коренів рівняння x 2+px+q=0.

Рішення.

1) Вираз x 1 2 +x 2 2вийде, якщо звести у квадрат обидві частини рівності x1+x2=-p;

(x 1 +x 2) 2 = (-p) 2; розкриваємо дужки: x 1 2 +2 x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; виражаємо потрібну суму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Ми здобули корисну рівність: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

2) Вираз x 1 3 +x 2 3представимо за формулою суми кубів у вигляді:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Ще одна корисна рівність: x 1 3 +x 2 3 = -p · (p 2 -3q).

приклади.

3) x 2 -3x-4 = 0.Не розв'язуючи рівняння, обчисліть значення виразу x 1 2 +x 2 2.

Рішення.

x 1 +x 2 =-p=3,а твір x 1 ∙x 2 =q=у прикладі 1) рівність:

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.У нас -p= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. Тоді x 1 2 +x 2 2 = 9-2 · (-4) = 9 +8 = 17.

Відповідь: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4 = 0.Обчислити: x 13 + x 23.

Рішення.

За теоремою Вієта сума коренів цього наведеного квадратного рівняння x 1 +x 2 =-p=2,а твір x 1 ∙x 2 =q=-4. Застосуємо отримане нами ( у прикладі 2) рівність: x 1 3 +x 2 3 =-p · (p 2 -3q) = 2 · (2 ​​2 -3 · (-4)) = 2 · (4 +12) = 2 · 16 = 32.

Відповідь: x 13 + x 23 =32.

Запитання: а якщо нам дано не наведене квадратне рівняння? Відповідь: його завжди можна «навести», розділивши почленно на перший коефіцієнт.

5) 2x2-5x-7=0.Не вирішуючи, обчислити: x 1 2 +x 2 2.

Рішення.Нам дано повне квадратне рівняння. Розділимо обидві частини рівності на 2 (перший коефіцієнт) та отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 -2,5 x-3,5 = 0.

За теоремою Вієта сума коренів дорівнює 2,5 ; добуток коріння дорівнює -3,5 .

Вирішуємо так само, як приклад 3) , використовуючи рівність: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Відповідь: x 1 2 +x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2 = 0.Знайти:

Перетворимо цю рівність і, замінивши за теоремою Вієта суму коренів через -p, а добуток коренів через q, отримаємо ще одну корисну формулу При виведенні формули використовували рівність 1): x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

У нашому прикладі x 1 +x 2 = p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Підставляємо ці значення отриману формулу:

7) x 2 -13x +36 = 0.Знайти:

Перетворимо цю суму та отримаємо формулу, за якою можна буде знаходити суму арифметичних квадратних коренів із коренів квадратного рівняння.

У нас x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Підставляємо ці значення у виведену формулу:

Порада : завжди перевіряйте можливість знаходження коренів квадратного рівняння за відповідним способом, адже 4 розглянуті корисні формулидозволяють швидко виконати завдання, насамперед, у випадках, коли дискримінант — «незручне» число. У всіх простих випадках знаходите коріння та оперуйте ними. Наприклад, в останньому прикладі підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів повинна дорівнювати 13 , а добуток коріння 36 . Що це за числа? Звісно, 4 та 9.А тепер рахуйте суму квадратного коріння з цих чисел: 2+3=5. Ось так!

Поділ визначається як дія, зворотна до множення.

Розділити одне число на інше - значить знайти таке третє число, яке, будучи помноженим на дільник, дасть у творі ділене:

Ґрунтуючись на цьому визначенні, виведемо правило поділу для раціональних чисел.

Насамперед зазначимо раз назавжди, що дільник не може бути нулем. Поділ на нуль виключається з тієї ж причини, через яку він був виключений в арифметиці.

Абсолютна величина дорівнює твору абсолютних величин і с. Значить, абсолютна величина дорівнює абсолютній величині а, поділеної на абсолютну величину

Визначимо знак приватного с.

Якщо поділення і дільник мають однакові знаки, то приватне - позитивне число. Дійсно, якщо і позитивні, то приватне теж буде позитивним числом.

приклад. так як

Якщо а і негативні, то приватне з і в цьому випадку має бути позитивним, так як, помноживши на нього негативне число ми повинні отримати негативне число а.

приклад. так як

Якщо поділення і дільник мають різні знаки, то приватне - негативне число. Дійсно, якщо а позитивно, а негативно, то має бути негативним, оскільки, помноживши на нього негативне число ми повинні отримати позитивне число а.

приклад. так як

Якщо а негативно, а позитивно, те й у разі має бути негативним числом, оскільки, помноживши нею позитивне число ми повинні отримати негативне число а.

приклад. так як

Отже, ми дійшли наступного правила поділу:

Щоб розділити одне наїло на інше, треба абсолютну величину поділеного розділити на абсолютну величину дільника і перед приватним поставити знак плюс, якщо ділене і дільник мають однакові знаки, і знак мінус,

якщо ділене та дільник мають протилежні знаки.

Як ми вже говорили, поділ на нуль неможливий, пояснимо це докладніше. Нехай потрібно розділити якесь не рівне нулю число, наприклад -3, на 0.

Якщо число а є приватне, що шукається, то, помноживши його на дільник, тобто на 0, ми повинні отримати ділене, тобто - 3. Але добуток дорівнює 0, і ділене - 3 не може вийти. Звідси ми укладаємо, що число

3 на нуль розділити не можна.

Нехай потрібно число 0 розділити на 0. Нехай а - приватне, що шукається; помноживши а на дільник 0, отримаємо у творі 0 за будь-якого значення а:

Отже, ми отримали ніякого певного числа: помноживши на 0 будь-яке число, ми отримаємо 0. Тому розподіл нуля на нуль також вважається неможливим.

Для раціональних чисел залишається в силі наступне основне властивість частки:

Частка двох чисел не зміниться, якщо ділене і дільник помножити на те саме число (не дорівнює нулю).

Пояснимо це такими прикладами.

1. Розглянемо приватне помножимо ділене і дільник на - 4; тоді отримаємо нове приватне

Отже, у новому приватному ми отримали те саме число 2.

2. Розглянемо приватне помножимо ділене і дільник на - тоді отримаємо таке приватне:

Приватне не змінилося, тому що вийшло те саме число

Числа в розподілі розташовуються так: на першому місці ділене, на другому дільник, після знака і приватне.

Ділимо: дільник = приватна.

Позначимо всі невідомі числа літерами

Нехай ділене буде дорівнює а, дільник дорівнює, а приватне с.

За умовою, твір (тобто множення) поділеного, дільника та приватного дорівнює 3136. Складемо рівняння.

• а * в * с = 3136.
• Оскільки з дорівнює а/в, замінимо букву з дріб а/в.
• а * в * а / в = 3136.
• Змінна скорочується, залишається а * а = 3136 або а 2 = 3136.
• За таблицею квадратів знайдемо значення а, а 56.

Ділимо дорівнює 56. Виходить наступне рівняння: 56: в = с

Висловимо відоме ділене через невідомі змінні

Щоб знайти ділене, потрібно перемножити дільник і приватне, тобто 56 = * с.

За умовою, всі натуральні числа, що беруть участь, тобто цілі позитивні числа. Як ми знаємо, 56 дорівнює добутку лише двох цілих чисел - 7 та 8.

Виходить два вирази:

Значить, приватна (число після знака дорівнює) може дорівнювати тільки або 7, або 8.

Відповідь: Частка може бути 7 або 8.

Позначимо ділене через х, а дільник через у.

Тоді частка від поділу двох даних чисел дорівнюватиме х/у.

Відповідно до умови завдання, добуток діленого, дільника і частки дорівнює 3136, отже, можемо записати наступне співвідношення:

х * у * (х/в) = 3136.

Спрощуючи отримане співвідношення, отримуємо:

За умовою задачі, ділене, дільник та приватне - натуральні числа, отже, значення х = -56 не підходить.

Розкладемо число 56 на добуток простих співмножників:

56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.

Перелічимо всі можливі дільники числа 56, у яких приватне є натуральним числом.

Дільник 1, приватне 56;

дільник 2, приватна 28;

дільник 4, приватна 14;

дільник 8, приватна 7;

дільник 7, приватна 8;

дільник 14, приватна 4;

дільник 28, приватна 2.

дільник 56, приватне 1.

Відповідь: приватне може набувати значень 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28, 56.