Тепер давайте розберемося з множенням та поділом.
Припустимо, що нам потрібно помножити +3 на -4. Як це зробити?
Давайте розглянемо такий випадок. Три людини залізли у борги, і у кожного по 4 долари боргу. Чому дорівнює загальний обов'язок? Для того, щоб його знайти, треба скласти всі три борги: 4 долари + 4 долари + 4 долари = 12 доларів. Ми з вами вирішили, що додавання трьох чисел 4 позначається як 3×4. Оскільки в даному випадкуми говоримо про обов'язок, перед 4 стоїть знак «-». Ми знаємо, що загальний борг дорівнює 12 доларам, тому тепер наше завдання має вигляд 3х(-4)=-12.
Ми отримаємо той самий результат, якщо за умовою завдання кожна з чотирьох осіб має борг по 3 долари. Інакше кажучи, (+4)х(-3)=-12. А оскільки порядок співмножників значення не має, отримуємо (-4)х(+3)=-12 та (+4)х(-3)=-12.
Давайте узагальнюємо результати. При перемноженні одного позитивного та одного негативного числа результат завжди буде негативним числом. Чисельна величина відповіді буде такою самою, як і у разі позитивних чисел. Твір (+4) х (+3) = +12. Присутність знака "-" впливає лише на знак, але не впливає на чисельну величину.
А як перемножити два негативні числа?
На жаль, на цю тему дуже важко придумати відповідний приклад із життя. Легко собі уявити борг у сумі 3 або 4 долари, але неможливо уявити -4 або -3 людини, які залізли в борги.
Мабуть, ми підемо іншим шляхом. У множенні за зміни знака одного з множників змінюється знак твору. Якщо ми змінюємо знаки в обох множників, ми маємо двічі змінити знак твору, Спершу з позитивного на негативний, а потім навпаки, з негативного на позитивний, тобто у твору буде початковий знак.
Отже, цілком логічно, хоча трохи дивно, що (-3) х (-4) = +12.
Положення знакапри множенні змінюється таким чином:
- позитивне числох позитивне число = позитивне число;
- від'ємне число х позитивне число = від'ємне число;
- позитивне число х від'ємне число = від'ємне число;
- від'ємне число х від'ємне число = позитивне число.
Інакше кажучи, перемножуючи два числа з однаковими знаками, ми отримуємо позитивне число. Перемножуючи два числа з різними знаками, ми отримуємо негативне число.
Таке саме правило справедливе й у дії протилежного множенню – для .
Ви легко можете в цьому переконатись, провівши зворотні операції множення. Якщо в кожному з прикладів, наведених вище, ви помножите приватне на дільник, то отримаєте ділене, і переконайтеся, що воно має той самий знак, наприклад (-3) х (-4) = (+12).
Оскільки незабаром зима, то пора вже подумати про те, у що перевзути свого залізного коня, щоб не ковзати по льоду і почуватися впевнено на зимових дорогах. Можна, наприклад, взяти шини йокогама на сайті: mvo.ru або якісь інші, головне, щоб якісний, більше інформації і ціни ви можете дізнатися на сайті Mvo.ru.
У цій статті ми розберемося з множенням чисел із різними знаками. Тут ми спочатку сформулюємо правило множення позитивного та негативного числа, обґрунтуємо його, а після цього розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.
Навігація на сторінці.
Правило множення чисел із різними знаками
Примноження позитивного числа на негативне, а також негативного на позитивне проводиться за наступним правилу множення чисел із різними знаками: щоб помножити числа з різними знаками, треба помножити і перед отриманим твором поставити знак мінус.
Запишемо це правило у буквеному вигляді. Для будь-якого позитивного дійсного числа a і дійсного негативного числа −b справедлива рівність a·(−b)=−(|a|·|b|) , а також для негативного числа −a та позитивного числа b справедлива рівність (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Правило множення чисел з різними знаками повністю узгоджується з властивостями дій із дійсними числами. Справді, з їхньої основі нескладно показати, що з дійсних і позитивних чисел a і b справедлива ланцюжок рівностей виду a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, яка доводить, що a · (- b) і a · b - протилежні числа, звідки випливає рівність a·(−b)=−(a·b) . А з нього випливає справедливість розглянутого правила множення.
Слід зазначити, що озвучене правило множення чисел з різними знаками є справедливим як для дійсних чисел, так раціональних чисел і цілих чисел . Це випливає з того, що дії з раціональними і цілими числами мають ті самі властивості, які використовувалися за доказом вище.
Зрозуміло, що множення чисел із різними знаками за отриманим правилом зводиться до множення позитивних чисел.
Залишилося розглянути приклади застосування розібраного правила множення при множенні чисел з різними знаками.
Приклади множення чисел із різними знаками
Розберемо рішення кількох прикладів множення чисел із різними знаками. Почнемо з простого випадку, щоб зосередитись на кроках правила, а не на обчислювальних складностях.
приклад.
Виконайте множення від'ємного числа −4 на позитивне число 5 .
Рішення.
За правилом множення чисел з різними знаками спочатку потрібно перемножити модулі вихідних множників. Модуль −4 дорівнює 4 , а модуль 5 дорівнює 5 , а множення натуральних чисел 4 та 5 дає 20 . Нарешті залишилося поставити знак мінус перед отриманим числом, маємо −20 . У цьому множення завершено.
Коротко рішення можна записати так: (-4) · 5 = - (4 · 5) = -20 .
Відповідь:
(−4)·5=−20 .
При множенні дробових чисел з різними знаками потрібно вміти виконувати множення звичайних дробів, множення десяткових дробів та їх комбінацій із натуральними і змішаними числами.
приклад.
Проведіть множення чисел із різними знаками 0,(2) та .
Рішення.
Виконавши переведення періодичного десяткового дробу у звичайний дріб, а також виконавши перехід від змішаного числа до неправильного дробу, від вихідного твору 
ми прийдемо до твору звичайних дробів із різними знаками виду. Цей твір за правилом множення чисел з різними знаками дорівнює. Залишилося лише перемножити прості дроби в дужках, маємо 
.
Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини чи частки будь-якого заходу. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.
Дробові вирази тривалий часвважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, за появи першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.
Сучасному виглядупростих дробових залишків, частини яких розділені саме горизонтальною рисою, вперше посприяв Фібоначчі - Леонардо Пізанський Його праці датовані 1202 року. Але мета цієї статті - просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів з різними знаменниками.
Розмноження дробів з різними знаменниками
Спочатку варто визначити різновиди дробів:
- правильні;
- неправильні;
- змішані.
Далі потрібно згадати, як відбувається множення дробових чисел з однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробівз однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добуток чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменникє квадрат одного з існуючих спочатку.
При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Єдина відмінність у тому, що освічена кількістьпід дробовою рисою буде добутком різних чисел і, звичайно, квадратом одного числового виразуйого назвати неможливо.
Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати тільки числа чисельників з числами знаменника, поруч множники, що стоятьнад дробовою рисою чи під нею скорочувати не можна.
Поряд із простими дробовими числамиіснує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Як відбувається перемноження
Пропонується кілька прикладів до розгляду.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину , Записати правило для цієї дії можна формулою:
a * b/c = a*b /c.
По суті, такий твір є сума однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує на це натуральне число. Окремий випадок:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:
d * e/f = e/f: d.
Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.
Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
У цьому прикладі бере участь спосіб подання змішаного дробу в неправильний, його також можна подати у вигляді загальної формули:
a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробуутворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.
Цей процес працює і в зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на його знаменник «куточком».
множення неправильних дробів виробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.
В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завданняу різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числамиу знаменниках - звані онлайн-калькулятори до розрахунку дробів. Вони здатні не лише помножити, а й зробити всі інші найпростіші арифметичні операціїзі звичайними дробами та змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної діїі натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.
Тема арифметичних дійз дрібними числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази , але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знаннядають повну впевненість у вдалому рішеннінайбільш складних завдань.
На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».
) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).
Формула множення дробів:
Наприклад:
Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше буде далі робити розрахунки.
Розподіл звичайного дробу на дріб.
Розподіл дробів за участю натурального числа.
Це не таке страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:
Розмноження змішаних дробів.
Правила множення дробів (змішаних):
- перетворюємо змішані дроби на неправильні;
- перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
- скорочуємо дріб;
- якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.
Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дрібна інший змішаний дріб, потрібно, спочатку, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.
Другий спосіб множення дробу на натуральне число.
Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробуна число.
Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.
З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.
Багатоповерхові дроби.
У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:
Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:
Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.
Зверніть увагу, наприклад:
При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:
Практичні поради при множенні та розподілі дробів:
1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.
2. У завданнях з різними видамидробів – переходьте до виду звичайних дробів.
3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.
4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.