І т.п., логічно познайомитися з рівняннями та іншими видами. Наступними по черзі йдуть лінійні рівняння , цілеспрямоване вивчення яких починається під час уроків алгебри у 7 класі.

Зрозуміло, спочатку треба пояснити, що таке лінійне рівняння, дати визначення лінійного рівняння, його коефіцієнтів, показати його загальний вигляд. Далі можна розбиратися, скільки розв'язків має лінійне рівняння в залежності від значень коефіцієнтів, і як знаходиться коріння. Це дозволить перейти до вирішення прикладів і тим самим закріпити вивчену теорію. У цій статті ми це зробимо: детально зупинимося на всіх теоретичних та практичних моментах, що стосуються лінійних рівнянь та їх вирішення.

Відразу скажемо, що тут ми розглядатимемо лише лінійні рівняння з однією змінною, а вже в окремій статті вивчатимемо принципи вирішення лінійних рівнянь із двома змінними.

Навігація на сторінці.

Що таке лінійне рівняння?

Визначення лінійного рівняння дається у вигляді його записи. Причому в різних підручникахматематики та алгебри формулювання визначень лінійних рівнянь мають деякі відмінності, що не впливають на суть питання.

Наприклад, у підручнику алгебри для 7 класу Ю. Н. Макарічева та ін. Лінійне рівняння визначається наступним чином:

Визначення.

Рівняння виду a x = bде x – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо приклади лінійних рівнянь, які відповідають озвученому визначенню. Наприклад, 5 x = 10 - це лінійне рівняння з однією змінною x тут коефіцієнт a дорівнює 5 а число b є 10 . Інший приклад: −2,3·y=0 – це також лінійне рівняння, але із змінною y , у якому a=−2,3 та b=0 . А в лінійних рівняннях x=−2 та −x=3,33 a не присутні у явному вигляді та дорівнюють 1 та −1 відповідно, при цьому у першому рівнянні b=−2 , а у другому - b=3,33 .

А роком раніше в підручнику математики Віленкіна Н. Я. лінійними рівняннями з одним невідомим крім рівнянь виду a x = b вважали і рівняння, які можна привести до такого виду за допомогою перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої протилежним знаком, а також за допомогою приведення подібних доданків. Відповідно до цього визначення, рівняння виду 5 x = 2 x 6 і т.п. також лінійні.

У свою чергу у підручнику алгебри для 7 класів А. Г. Мордковича дається таке визначення:

Визначення.

Лінійне рівняння з однією змінною x- Це рівняння виду a x + b = 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Наприклад, лінійними рівняннями такого виду є 2·x−12=0 , тут коефіцієнт a дорівнює 2 , а b – дорівнює −12 і 0,2·y+4,6=0 з коефіцієнтами a=0,2 і b =4,6. Але в той же час там наводяться приклади лінійних рівнянь, що мають вигляд не x + b = 0, а x = b, наприклад, 3 x = 12 .

Давайте, щоб у нас надалі не було різночитань, під лінійним рівняннями з однією змінною x і коефіцієнтами a і b розумітимемо рівняння виду a x + b = 0 . Такий вид лінійного рівняння є найбільш виправданим, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівняння першого ступеня. А всі інші вказані вище рівняння, а також рівняння, які за допомогою рівносильних перетвореньнаводяться до вигляду a x + b = 0, будемо називати рівняннями, що зводяться до лінійних рівнянь. При такому підході рівняння 2 · x + 6 = 0 - це лінійне рівняння, а 2 · x = -6 , 4 +25 · y = 6 + 24 · y, 4 · (x +5) = 12 і т.п. - Це рівняння, що зводяться до лінійних.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Тепер настав час розібратися, як вирішуються лінійні рівняння a x + b = 0 . Іншими словами, час дізнатися, чи має лінійне рівняння коріння, і якщо має, то скільки їх і як їх знайти.

Наявність коренів лінійного рівняння залежить від значень коефіцієнтів a і b. При цьому лінійне рівняння a x + b = 0 має

• єдиний корінь при a≠0 ,
• не має коріння при a=0 і b≠0 ,
• має нескінченно багато коренів при a = 0 і b = 0, у цьому випадку будь-яке число є коренем лінійного рівняння.

Пояснимо, як було отримано ці результати.

Ми знаємо, що для вирішення рівнянь можна переходити від вихідного рівняння до рівносильних рівнянь , тобто до рівнянь з тими ж коренями або також як і вихідне, що не має коріння. Для цього можна використовувати наступні рівносильні перетворення:

• перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком,
• а також множення або розподіл обидві частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.

Отже, у лінійному рівнянні з однією змінної виду a·x+b=0 ми можемо перенести доданок b з лівої частини праву частину з протилежним знаком. При цьому рівняння набуде вигляду a x = − b .

А далі напрошується поділ обох частин рівняння на число a. Але є одне але: число a може дорівнювати нулю, в цьому випадку такий поділ неможливий. Щоб впоратися з цією проблемою, спочатку вважатимемо, що число a відмінне від нуля, а випадок рівного нулю a розглянемо окремо трохи згодом.

Отже, коли a не дорівнює нулю, ми можемо обидві частини рівняння a·x=−b розділити на a , після цього воно перетворюється на вигляд x=(−b):a , цей результат можна записати з використанням дробової риси як .

Таким чином, при a≠0 лінійне рівняння a x + b = 0 рівносильне рівнянню , звідки видно його корінь .

Нескладно показати, що це коріння єдине, тобто, лінійне рівняння не має іншого коріння. Це дозволяє зробити метод протилежного.

Позначимо корінь як х 1 . Припустимо, існує ще один корінь лінійного рівняння, який позначимо x 2 , причому x 2 ≠x 1 , що в силу визначення рівних чиселчерез різницюеквівалентно умові x 1 −x 2 ≠0. Оскільки x 1 і x 2 коріння лінійного рівняння a x + b = 0, то мають місце числові рівності a x 1 + b = 0 і a x 2 + b = 0 . Ми можемо виконати віднімання відповідних частин цих рівностей, що нам дозволяють зробити властивості числових рівностей , маємо a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , звідки a x 1 x 2)+( b−b)=0 і далі a·(x 1 −x 2)=0 . А ця рівність неможлива, тому що і a≠0 і x 1 −x 2 ≠0 . Так ми дійшли суперечності, що доводить єдиність кореня лінійного рівняння a x + b = 0 при a≠0 .

Так ми вирішили лінійне рівняння a x + b = 0 при a≠0. Перший результат, наведений на початку цього пункту, є обґрунтованим. Залишилися ще два, які відповідають умові a = 0.

При a = 0 лінійне рівняння a x + b = 0 набуває вигляду 0 x + b = 0 . З цього рівняння і властивості множення чисел на нуль випливає, що яке б число ми не взяли як x, при його підстановці рівняння 0 x + b = 0 вийде числова рівність b = 0 . Це рівність правильне, коли b=0 , а інших випадках при b≠0 це рівність неправильне.

Отже, при a = 0 і b = 0 будь-яке число є коренем лінійного рівняння a x + b = 0 , так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа дає правильну числову рівність 0 = 0 . А при a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a x + b = 0 не має коренів, так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа призводить до невірного числовій рівності b=0.

Наведені обґрунтування дозволяють сформувати послідовність дій, що дозволяє вирішити будь-яке лінійне рівняння. Отже, алгоритм вирішення лінійного рівняннятакий:

• Спочатку по запису лінійного рівняння знаходимо значення коефіцієнтів a і b.
• Якщо a=0 і b=0 , це рівняння має нескінченно багато коренів, саме, будь-яке число є коренем цього лінійного рівняння.
• Якщо ж відмінно від нуля, то
• коефіцієнт b переноситься в праву частину з протилежним знаком, при цьому лінійне рівняння перетворюється на вигляд a x = − b ,
• після чого обидві частини отриманого рівняння діляться на відмінне від нуля число a, що дає шуканий корінь вихідного лінійного рівняння.

Записаний алгоритм є вичерпною відповіддю питанням, як вирішувати лінійні рівняння.

На закінчення цього пункту варто сказати, що схожий алгоритм застосовується для вирішення рівнянь виду a x = b. Його відмінність у тому, що з a≠0 відразу виконується розподіл обох частин рівняння цього числа, тут b вже у потрібної частини рівняння і потрібно здійснювати його перенесення.

Для вирішення рівнянь виду a x = b застосовується такий алгоритм:

• Якщо a=0 і b=0 , то рівняння має безліч коренів, якими є будь-які числа.
• Якщо a=0 і b≠0 то вихідне рівняння не має коренів.
• Якщо ж a від нуля, то обидві частини рівняння діляться на відмінне від нуля число a , звідки перебуває єдиний корінь рівняння, рівний b/a .

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Переходимо до практики. Розберемо, як застосовується алгоритм розв'язання лінійних рівнянь. Наведемо рішення характерних прикладів, відповідних різним значеннямкоефіцієнтів лінійних рівнянь

приклад.

Розв'яжіть лінійне рівняння 0·x−0=0 .

Рішення.

У цьому лінійному рівнянні a=0 і b=−0 , що саме, b=0 . Отже, це рівняння має безліч коренів, будь-яке число є коренем цього рівняння.

Відповідь:

x – будь-яке число.

приклад.

Чи має рішення лінійне рівняння 0 x + 2,7 = 0?

Рішення.

У даному випадкукоефіцієнт a дорівнює нулю, а коефіцієнт цього лінійного рівняння дорівнює 2,7 , тобто, відмінний від нуля. Тому лінійне рівняння не має коріння.

На цьому уроці ми розглянемо способи розв'язання системи лінійних рівнянь. У курсі вищої математики системи лінійних рівнянь потрібно вирішувати як у вигляді окремих завдань, наприклад, «Вирішити систему за формулами Крамера», і під час вирішення інших завдань. З системами лінійних рівнянь доводиться мати справу майже переважають у всіх розділах вищої математики.

Спочатку трохи теорії. Що в даному випадку означає математичне слово"лінійних"? Це означає, що у рівняння системи всезмінні входять у першому ступені: без усяких химерних речей начебто і т.п., яких у захваті бувають лише учасники математичних олімпіад.

У вищої математикидля позначення змінних використовуються як знайомі з дитинства букви .
Досить популярний варіант – змінні з індексами: .
Або початкові літери латинського алфавіту, маленькі та великі:
Не так рідко можна зустріти грецькі літери: – відомі багатьом «альфа, бета, гама» А також набір з індексами, скажімо, з буквою мю:

Використання тієї чи іншої набору букв залежить від розділу вищої математики, у якому стикаємося з системою лінійних рівнянь. Так, наприклад, у системах лінійних рівнянь, що зустрічаються при вирішенні інтегралів, диференціальних рівняньтрадиційно прийнято використовувати позначення

Але як би не позначалися змінні, принципи, методи та способи розв'язання системи лінійних рівнянь від цього не змінюються. Таким чином, якщо Вам зустрінеться щось страшне типу, не поспішайте в страху закривати задачник, зрештою, замість можна намалювати сонце, замість – пташку, а замість – пику (викладача). І, як не смішно, систему лінійних рівнянь із цими позначеннями також можна вирішити.

Щось у мене є таке передчуття, що стаття вийде досить довгою, тому невеликий зміст. Отже, послідовний «розбір польотів» буде таким:

– Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки (« шкільний метод») ;
– Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи;
– Рішення системи за формулами Крамера;
– Рішення системи за допомогою зворотної матриці;
– Рішення системи методом Гауса.

З системами лінійних рівнянь усі знайомі з шкільного курсуматематики. По суті, починаємо з повторення.

Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки

Цей методтакож можна назвати "шкільним методом" або методом виключення невідомих. Образно кажучи, його можна назвати «недоробленим методом Гаусса».

Приклад 1

Тут у нас дана система із двох рівнянь із двома невідомими. Зверніть увагу, що вільні члени (числа 5 та 7) розташовані у лівій частині рівняння. Взагалі кажучи, все одно, де вони знаходяться, ліворуч або праворуч, просто в завданнях з вищої математики нерідко вони розташовані саме так. І такий запис не повинен бентежити, при необхідності систему завжди можна записати «як зазвичай»: . Не забуваймо, що при перенесенні доданку з частини в частину у нього необхідно змінити символ.

Що означає розв'язати систему лінійних рівнянь? Вирішити систему рівнянь – це знайти безліч її рішень. Рішення системи є набір значень всіх змінних, що входять до неї, який звертає КОЖНЕ рівняння системи в правильна рівність. Крім того, система може бути несумісний (не мати рішень).Не тушуйтесь, це загальне визначення=) А в нас буде лише одне значення «ікс» і одне значення «гравець», які задовольняють кожному рівнянню с-ми.

Існує графічний методрішення системи, з яким можна ознайомитись на уроці Найпростіші завдання з прямою. Там же я розповів про геометричному сенсі системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Але зараз на подвір'ї ера алгебри, і числа-числа, дії-дії.

Вирішуємо: з першого рівняння виразимо:
Отримане вираз підставляємо на друге рівняння:

Розкриваємо дужки, наводимо подібні доданкиі знаходимо значення:

Далі згадуємо про те, від чого танцювали:
Значення нам уже відоме, залишилося знайти:

Відповідь:

Після того, як вирішена будь-яка система рівнянь будь-яким способом, настійно рекомендую виконати перевірку (Усно, на чернетці або калькуляторі). Добре, що робиться це легко і швидко.

1) Підставляємо знайдену відповідь у перше рівняння:

- Отримано правильну рівність.

2) Підставляємо знайдену відповідь у друге рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Або, якщо говорити простіше, «все зійшлося»

Розглянутий спосіб рішення є єдиним, з першого рівняння можна було висловити , а чи не .
Можна навпаки – щось висловити з другого рівняння та підставити перше рівняння. До речі, зауважте, найневигідніший із чотирьох способів – висловити з другого рівняння:

Виходять дроби, а воно навіщо? Є раціональне рішення.

Тим не менш, у ряді випадків без дробів все-таки не обійтися. У зв'язку з цим звертаю Вашу увагу на те, ЯК я записав вираз. Не так: , і в жодному разі не так: .

Якщо у вищій математиці Ви маєте справу з дробовими числами, всі обчислення намагайтеся проводити у звичайних неправильних дробах .

Саме, а не чи!

Кому можна використовувати лише іноді, зокрема, якщо – це остаточна відповідь якогось завдання, і з цим числом більше не потрібно виконувати жодних дій.

Багато читачів напевно подумали «та навіщо таке докладне поясненняяк для класу корекції, і так все зрозуміло». Нічого подібного, начебто такий простий шкільний приклад, а скільки ДУЖЕ важливих висновків! Ось ще один:

Будь-яке завдання слід прагнути виконати самим раціональним способом . Хоча б тому, що це економить час і нерви, а також знижує ймовірність припуститися помилки.

Якщо в задачі з вищої математики Вам зустрілася система двох лінійних рівнянь із двома невідомими, то завжди можна використовувати метод підстановки (якщо не вказано, що систему потрібно вирішити іншим методом) Жоден викладач не подумає, що ти лох знизить оцінку за використання «шкільного методу ».
Більше того, у ряді випадків метод підстановки доцільно використовувати і при більшій кількостізмінних.

Приклад 2

Вирішити систему лінійних рівнянь із трьома невідомими

Подібна система рівнянь часто виникає при використанні так званого методу невизначених коефіцієнтівколи ми знаходимо інтеграл від дробово-раціональної функції . Ця система взята мною якраз звідти.

При знаходженні інтегралу – ціль швидкознайти значення коефіцієнтів , а чи не вишукуватися формулами Крамера, методом зворотної матриціі т.д. Тому в даному випадку доречний саме метод підстановки.

Коли дана будь-яка система рівнянь, насамперед бажано з'ясувати, а чи не можна її якось ВІДРАЗУ спростити? Аналізуючи рівняння системи, зауважуємо, що друге рівняння системи можна розділити на 2, що ми робимо:

Довідка: математичний знакпозначає «з цього випливає це», він часто використовується під час вирішення завдань.

Тепер аналізуємо рівняння, нам потрібно висловити якусь змінну через решту. Яке рівняння вибрати? Напевно, Ви вже здогадалися, що найпростіше для цієї мети взяти перше рівняння системи:

Тут все одно, яку змінну висловлювати, можна було з таким самим успіхом висловити або .

Далі, вираз для підставляємо у друге та третє рівняння системи:

Розкриваємо дужки та наводимо подібні доданки:

Третє рівняння ділимо на 2:

З другого рівняння виразимо і підставимо у третій рівняння:

Практично все готово, з третього рівняння знаходимо:
З другого рівняння:
З першого рівняння:

Перевірка: Підставимо знайдені значення змінних у ліву частинукожного рівняння системи:

1)
2)
3)

Отримано відповідні праві частини рівнянь, таким чином, рішення знайдено правильно.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь із 4 невідомими

Це приклад для самостійного рішення(Відповідь наприкінці уроку).

Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи

У результаті рішення систем лінійних рівнянь потрібно намагатися використовувати не «шкільний метод», а метод почленного складання (віднімання) рівнянь системи. Чому? Це заощаджує час і спрощує обчислення, проте зараз стане все зрозуміліше.

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Я взяв ту саму систему, що й на першому прикладі.
Аналізуючи систему рівнянь, зауважуємо, що коефіцієнти при змінній однакові за модулем і протилежні за знаком (–1 та 1). У такій ситуації рівняння можна скласти почленно:

Дії, обведені червоним кольором, виконуються ДУМКОВО.
Як бачите, в результаті почленного додавання у нас зникла змінна . У цьому, власне, і полягає суть методу – позбутися однієї зі змінних.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливо - рівняння звелося до конструкції $ 0 \ cdot x = 0 $. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або при розкритті дужок, або при підрахунку плюсів і мінусів.

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тож пропускаємо даний етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдетьсялише про окремих доданків. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертому кроці: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть «мінус», то ми його прибираємо, проте у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетвореньвиникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що у даного рівняннярішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що розв'язання рівнянь — це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко та грамотно виконувати прості діїпризводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж доданок, то виконується це по наступному правилу: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі хотів би нагадати учням, що таке алгебраїчна сума. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завданьДо нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми отримали остаточне рішення, Переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Рівняння. Якщо сказати інакше, розв'язання всіх рівнянь починається з цих перетворень. При розв'язанні лінійних рівнянь, воно (рішення) на тотожних перетворенняхі закінчується остаточною відповіддю.

Випадок ненульового коефіцієнта за невідомої змінної.

ax+b=0, a ≠ 0

Переносимо в один бік члени з іксом, а в інший бік - числа. Обов'язково пам'ятайте, що переносячи доданки на протилежний бікрівняння, потрібно змінити знак:

ax:(a)=-b:(a)

Скорочуємо апри хі отримуємо:

x=-b:(a)

Це відповідь. Якщо потрібно перевірити, чи є число -b:(a)корінням нашого рівняння, то потрібно підставити в початкове рівняннязамість хце саме число:

a(-b:(a))+b=0 (тобто. 0=0)

Т.к. це рівність вірна, то -b:(a)і справді є корінь рівняння.

Відповідь: x=-b:(a), a ≠ 0.

Перший приклад:

5x+2=7x-6

Переносимо в один бік члени з х, А в інший бік числа:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

При невідомій коефіцієнт скоротили та отримали відповідь:

Це відповідь. Якщо потрібно перевірити, чи справді число 4 коренем нашого рівняння, підставляємо у вихідне рівняння замість ікса це число:

5*4+2=7*4-6 (тобто. 22=22)

Т.к. це рівність вірна, то 4 - це корінь рівняння.

Другий приклад:

Розв'язати рівняння:

5x+14=x-49

Перенісши невідомі та числа до різні сторони, отримали:

Ділимо частини рівняння на коефіцієнт при x(на 4) та отримуємо:

Третій приклад:

Розв'язати рівняння:

Спочатку позбавляємося ірраціональності в коефіцієнті при невідомому, домноживши всі доданки на :

Цю форму вважають спрощеною, т.к. у числі є корінь числа у знаменнику. Потрібно спростити відповідь, помноживши чисельник і знаменник однакове число, у нас це :

Випадок відсутності рішень.

Розв'язати рівняння:

2x+3=2x+7

При всіх xнаше рівняння не стане правильною рівністю. Тобто у нашого рівняння немає коріння.

Відповідь: рішень немає.

Окремий випадок — нескінченна кількість рішень.

Розв'язати рівняння:

2x+3=2x+3

Перенісши ікси та числа в різні боки та навівши подібні доданки, отримуємо рівняння:

Тут також неможливо розділити обидві частини на 0, т.к. це заборонено. Однак, підставивши на місце хвсяке число, ми отримуємо правильну рівність. Тобто будь-яке число є рішення такого рівняння. Т.ч., тут нескінченне числорішень.

Відповідь: нескінченна кількість рішень.

Випадок рівності двох повних форм.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x = (d-b): (a-c)

Відповідь: x = (d-b): (a-c), якщо d≠b та a≠c, інакше нескінченно багато рішень, але якщо a=c, а d≠b, то рішень немає.

За допомогою даної математичної програмиви можете вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома змінними методомпідстановки та шляхом складання.

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й наводить докладне рішенняз поясненнями кроків рішення двома способами: методом підстановки та методом складання.

Ця програмаможе бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Правила введення рівнянь

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

При введенні рівнянь можна використовувати дужки. У цьому рівняння спочатку спрощуються. Рівняння після спрощень мають бути лінійними, тобто. виду ax+by+c=0 з точністю порядку прямування елементів.
Наприклад: 6x+1 = 5(x+y)+2

У рівняннях можна використовувати не тільки цілі, а й дробові числау вигляді десяткових та звичайних дробів.

Правила введення десяткових дробів.
Ціла і дробова частина в десяткових дробахможе розділятися як точкою, так і комою.
Наприклад: 2.1n + 3,5m = 55

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і ціла частина дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробучисельник відокремлюється від знаменника знаком поділу: /
Ціла частинавідокремлюється від дробу знаком амперсанд: &

приклади.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Розв'язати систему рівнянь

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлений у чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Зачекайте, будь ласка сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у формі зворотного зв'язку .
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Вирішення систем лінійних рівнянь. Спосіб підстановки

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом підстановки:
1) виражають із якогось рівняння системи одну змінну через іншу;
2) підставляють в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Виразимо з першого рівняння через x: y = 7-3x. Підставивши у друге рівняння замість y вираз 7-Зx, отримаємо систему:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Неважко показати, що перша і друга системи мають одні й самі рішення. У другій системі друге рівняння містить лише одну змінну. Розв'яжемо це рівняння:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Підставивши рівності y=7-3x замість x число 1, знайдемо відповідне значення y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1; 4) - рішення системи

Системи рівнянь із двома змінними, що мають одні й ті самі рішення, називаються рівносильними. Системи, які мають рішень, також вважають рівносильними.

Розв'язання систем лінійних рівнянь способом складання

Розглянемо ще один спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь – спосіб складання. При розв'язанні систем цим способом, як і при вирішенні способом підстановки, ми переходимо від даної системи до іншої рівносильної їй системі, в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом складання:
1) помножують почленно рівняння системи, підбираючи множники так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;
2) складають почленно ліві та праві частини рівнянь системи;
3) вирішують рівняння, що вийшло, з однією змінною;
4) знаходять відповідне значення другої змінної.

приклад. Розв'яжемо систему рівнянь:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

У рівняннях цієї системи коефіцієнти за y є протилежними числами. Склавши почленно ліві та праві частини рівнянь, отримаємо рівняння з однією змінною 3x=33. Замінимо одне з рівнянь системи, наприклад, перше, рівнянням 3x=33. Отримаємо систему
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

З рівняння 3x=33 знаходимо, що x=11. Підставивши це значення x до рівняння (x-3y = 38) отримаємо рівняння зі змінною y: (11-3y = 38). Вирішимо це рівняння:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким чином ми знайшли рішення системи рівнянь способом додавання: \(x=11; y=-9 \) або \((11; -9) \)

Скориставшись тим, що в рівняннях системи коефіцієнти за y є протилежними числами, ми звели її рішення до вирішення рівносильної системи(Підсумувавши обидві частини кожного з рівнянь вихідної симтеми), в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.

Книги (підручники) Реферати ЄДІ та ОДЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу