Функція двох змінних. Геометричний зміст похідної

Нехай дані дві функції корисності
U(x) та U*(х) = h + y U(x) з д > 0.
Особа, яка приймає рішення, приходить на основі другої функції корисності щодо двох альтернатив до результату А і h А2. Що зміниться, якщо воно натомість орієнтуватиметься на першу функцію корисності?
Як би виглядала ваша відповідь, якщо друга функція корисності мала б форму U*(x) = h - у та (і) з у > 0?
Як упорядковуються альтернативи за U*(x) = h?
* *
"до
1. Дві функції корисності призводять до прийняття однакових рішеньтоді, коли їх можна взаємно «перевести» один в одного у вигляді позитивного лінійного перетворення (див. із цього приводу також с. 74). Якщо нам вдасться показати, що U(x) є позитивним лінійним перетворенням функції U*(x), тоді вибір функції корисності не вплине на впорядкування альтернатив. Ми шукаємо два числа а та b при b > 0, так щоб було правильно
a + bU * (x) = U (x).
Якщо підставити другу функцію корисності, то матиме місце
а + b (h + gU (x)) = U (x).
На першому етапі ми визначаємо 6 таким чином, що фактор, на який множиться U(x), набуває значення одиниці. Очевидно, що ми маємо позначити b = 1/д. Таким чином, виходить
а + - + U(х) = U(.г). 9
Після цього ми повинні вибрати так, щоб в обох частинах рівняння залишилося лише U(x). Це вийде за а = -h/g.
Тепер ми шукаємо перетворення форми
a + b(h-gU(x)) = U(x).
Щоб отримати бажаний результат, ми маємо позначити Ь = - - l/h. Це було б негативним лінійним перетворенням і змінило ранговий порядок з точністю до навпаки.
Особа, яка приймає рішення і має цю функцію корисності, оцінює всі альтернативи з тим самим значенням. Тому воно має прийти і при здійсненні вибору між альтернативами А і А.2 до результату А і ~

Ще на тему 2.1.5. Однозначність функції корисності:

1. Споживчі переваги та гранична корисність. функція корисності.
2.3.2. Квадратична функція корисності та очікувана корисність
Корисність та раціональний споживач. Загальна та гранична корисність. Закон спадної граничної корисності. Принцип максимізації корисності
Кількісна теорія корисності. Поняття корисності, споживчого вибору, загальної та граничної корисності.

Якщо зазначено правило, згідно з яким з кожною точкою M площини (або якоїсь частини площини) зіставляється деяке число u, то кажуть, що на площині (або на частині площини, «задана функція точки»; завдання функції символічно виражають рівністю виду u - Число u, що зіставляється з точкою M, називається значенням даної функції в точці M. Наприклад, якщо А - фіксована точка площини, M - довільна точка, то відстань від А до M є функція точки M. даному випадку f(M) = AM.

Нехай дано деяку функцію u = f(М) і водночас введено систему координат. Тоді довільна точка M визначається координатами х, у. Відповідно до цього і значення цієї функції в точці M визначається координатами х, у, або, як ще кажуть, u = f(M) є функція двох змінних х і у. Функція двох змінних х, у позначається символом f(x, у); якщо f(M) = f(x, y) то формула u = f(x, у) називається виразом цієї функції у вибраній системі координат. Так, у попередньому прикладі f(M)=AM; якщо ввести декартову прямокутну системукоординат з початком у точці А, то отримаємо вираз цієї функції:

u = √(x 2 + y 2)

146. Дано дві точки Р і Q, відстань між якими дорівнює а, і функція f(M) = d 2 1 - d 2 2 де d 1 - МР і d 2 - MQ. Визначити вираз цієї функції, якщо як початок координат прийнято точку Р, а вісь Ох спрямована по відрізку PQ .

147. За умов задачі 146 визначити вираз функції f(M) (безпосередньо і за допомогою перетворення координат, використовуючи результат задачі 146), якщо:

1) початок координат вибрано в середині відрізка PQ, вісь Ох спрямована по відрізку PQ.

2) початок координат вибрано в точці Р, а вісь Ох спрямована по відрізку QP.

148. Дані: квадрат ABCD зі стороною а та функція f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4 , де d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC та d 4 = MD. Визначити вираз цієї функції, якщо за осі координат прийнято діагоналі квадрата (причому вісь Ох спрямована по відрізку AC , вісь Оу - по відрізку BD ).

149. За умов задачі 148 визначити вираз для f(M) (безпосередньо і за допомогою перетворення координат, використовуючи результат задачі 148), якщо початок координат вибрано в точці А, а осі координат направлені по його сторонах (вісь Ох - по відрізку AB , вісь Оу - за відрізком AD).

150. Дана функція f(х, у) = х 2 + у 2 - 6х + 8у. Визначити вираз цієї функції нової координатної системі, якщо початок координат перенесено (без зміни напряму осей) у точку O"(3; -4).

151. Дана функція f(x, у) = х 2 - у 2 - 16. Визначити вираз цієї функції в новій координатній системі, якщо осі координат повернені на кут -45 °.

152. Дано функцію f(x, у) = x 2 + y 2 . Визначити вираз цієї функції у новій координатній системі, якщо осі координат повернені на деякий кут α.

153. Знайти таку точку, щоб при перенесенні до неї початку координат вираз функції f(x,y) = x 2 - 4у 2 - 6х + 8у + 3 після перетворення не містило членів першого ступеня щодо нових змінних.

154. Знайти таку точку, щоб при перенесенні до неї початку координат вираз функції f(х, у) = х 2 - 4ху + 4у 2 + 2х + у - 7 не містило членів першого ступеня щодо нових змінних.

155. На який кут потрібно повернути осі координат, щоб вираз функції f(x, у) = х 2 - 2ху + у 2 - 6х + З після перетворення не містив члена з твором нових змінних?

156. На який кут потрібно повернути осі координат, щоб вираз функції f(x, у) = Зх 2 + 2√3ху + у 2 після перетворення не містив члена з твором нових змінних?

2. Функції. Найпростіші властивості функцій 21 2.11. Доведіть, що якщо f (x) періодична функція з періодом T , то функція f (ax) також періодична з періодом T /a. Рішення. Справді, f = f(ax + T) = f(ax), тобто. T/a один із періодів функції f(ax). 2.12. Знайдіть період функції f(x) = cos2 x. 1+cos 2x Рішення. Можемо записати: cos2 x = . Бачимо, що 2 періодфункції cos 2 x збігається із періодом функції cos 2x. Оскільки період функції cos x дорівнює 2π, то відповідно до завдання 2.11 період функції cos 2x дорівнює π. f1 (x) = 5x + 4 і f2 (x) = 3x − 1. Доведіть, що функція f (x) = f2 також лінійна, тобто має вигляд f (x) = Ax + B. Знайдіть значення кон- стант A та B. 3x + 7 5x + 4 2.19. Дано дві функції f1(x) = і f2(x) = , 5x + 6 2x − 8 звані дробово-лінійними. Доведіть, що функція f(x) = f1 також дробово-лінійна, тобто має вигляд Ax + Bf(x) = . Вкажіть значення констант A, B, C, D. Cx + D 22 Введення математичний аналіз 2.20. Для деякої функції f: X ⊂ R → Y ⊂ R відомо, що f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Доведіть, що функція f(x) може бути представлена у вигляді f(x) = Ax2 + Bx + C. Знайдіть значення констант A, B, C. 2.21. Знайдіть область визначення наступних функцій: √ 2+x а) f(x) = x + 1; б) f(x) = lg; √ 2−x в) f(x) = 2 + x − x2; г) f(x) = arcsin(log2 x);наступних функцій: а) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; б) f2(x) = 5 sin x + 12 cos x.< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по 2.33. Охарактеризуйте вид графіка наступних функцій: а) z = 1 − x2 − y 2 ; б) z = x2 + y 2;в) z = x2 + y2; г) z = x2 − y2. 2.34. Накресліть лінії рівня даних функцій, надаючи значення z від −3 до +3 через 1: а) z = xy; б) z = y (x2 + 1). 2.35. Побудуйте графік функції y = 2 −3(x + 1) − 0,5 за допомогою перетворення графіка функції y = x. 2.36. Побудуйте графік функції y = 3 sin(2x − 4) за допомогою перетворення графіка функції y = sin x. 2.37. Застосовуючи елементарне дослідження функцій (без використання похідної) побудуйте графіки наступних функцій: 1 x а) y = 2 ; б) y = 2; x +1 x +1 1 в) y = x4 − 2x2 + 5; г) y = 2;одного числового аргументу.< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >3.1. З визначення межі, довести: 1 1 а) lim x = x0 ; б) lim =;< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 x→x0 x→2 x 2 1 1 1 в) lim = lim = lim = 0;< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Введення в математичний аналіз 1 1 г) lim = +∞; д) lim = −∞;< ε или x >е) lim = 2; ж) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Рішення: а) затвердження lim x = x0 безпосередньо x→x0 випливає з визначення межі. Якщо околиця Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 0 існує околиця V (2) така, що якщо 2 1 1 1 1 x ∈ V (2), то − 2, 1 + 2ε 1 − 2ε отже, множе- Рис. 3.1 2 2 ство, 1 + 2ε 1 − 2ε є околицею точки x0 = 2 (несиметричною). Існування необхідної околиці V (2) доведено (рис. 3.1). 3. Межа функції 27 Можна для наочності цю околицю записати у вигляді 4ε 4ε 2− ,2 + і вважати 1 + 2ε 1 − 2ε ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), де δ1 = , δ2 = .< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 1 + 2? елемента +∞ така, що якщо x ∈ V (+∞), 1 то − 0< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, Мал. 3.2 тому знак модуля можна опустити 1 1 і записати< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m = M. Безліч x > M є x ε VM (+∞) згідно з визначенням околиці елемента +∞.Існування околиці V (+∞), яка задовольняє відповідні умови, доведено. Тим самим було доведено, що 1 lim = 0 (рис. 3.2). x→+∞ x 1 1 Доказ рівностей lim = 0 і lim = 0 передаємо x→−∞ x x→∞ x ставимо читачеві. 28 Введення в математичний аналіз 1 Підкреслимо, що рівність lim = 0 дорівнює двом x→∞ x 1 1 рівностям: lim = 0 і lim = 0; x→−∞ x x→+∞ x г) доведемо рівність 1 lim = +∞.наприклад, lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Тому б) випливає з тео- 0 n→∞ x→x0 x→x0 реми про межу суми;