Початковий рівень

Показові рівняння. Вичерпне керівництво (2019)

Привіт! Сьогодні ми обговоримо з тобою, як вирішувати рівняння, які можуть бути як елементарними (а я сподіваюся, що після прочитання цієї статті майже всі вони і будуть для тебе такими), так і такими, які зазвичай дають на засипку. Мабуть, щоби засипати остаточно. Але я постараюся зробити все можливе, щоб тепер ти не потрапив в халепу, зіткнувшись з таким типом рівнянь. Я не буду більше ходити навколо та навколо, а відразу відкрию маленький секрет: сьогодні ми займатимемося показовими рівняннями.

Перш ніж переходити до розбору способів їх вирішення, я одразу змалюю перед тобою коло питань (досить невелике), яке тобі варто повторити, перш ніж кидатися на штурм цієї теми. Отже, для отримання найкращого результату, будь ласка, повтори:

1. Властивості та
2. Рішення та рівнянь

Повторив? Чудово! Тоді тобі не важко помітити, що коренем рівняння є число. Ти зрозумів, як я це зробив? Правда? Тоді продовжуємо. Тепер дай відповідь мені на запитання, чому дорівнює в третьому ступені? Ти маєш рацію: . А вісімка – це якийсь ступінь двійки? Правильно – третя! Тому що. Ну ось, тепер давай спробуємо вирішити таке завдання: Нехай я раз множу саме на себе число і отримую в результаті. Питається, скільки разів я помножив сам на себе? Ти, звичайно, можеш перевірити це безпосередньо:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( align)

Тоді ти можеш зробити висновок, що я сам на себе множив рази. Як це ще можна перевірити? А ось як: безпосередньо за визначенням ступеня: . Але, погодься, якби я питав, скільки разів два треба помножити саме на себе, щоб отримати, скажімо, ти сказав би мені: я не морочитиму собі голову і множитиму сам на себе до посиніння. І був би абсолютно правий. Бо ти можеш записати всі дії коротко(а стислість - сестра таланту)

де - це і є ті самі «рази»коли ти множиш сам на себе.

Я думаю, що ти знаєш (а якщо не знаєш, терміново, дуже терміново повторюй ступеня!), що, тоді моє завдання запишеться у вигляді:

Звідки ти можеш зробити цілком виправданий висновок, що:

Ось так непомітно я записав найпростіше показове рівняння:

І навіть знайшов його корінь. Тобі не здається, що все зовсім очевидно? Ось і я думаю саме так само. Ось тобі ще один приклад:

Але що робити? Адже не можна записати у вигляді ступеня (розумного) числа. Давай не будемо впадати у відчай і зауважимо, що обидва ці числа чудово виражаються через ступінь одного і того ж числа. Якого? Правильно: . Тоді вихідне рівняння перетворюється на вид:

Звідки, як ти зрозумів, . Давай більше не тягтимемо і запишемо визначення:

У нашому випадку: .

Вирішуються ці рівняння зведенням їх до вигляду:

з наступним рішенням рівняння

Ми власне в попередньому прикладі це й робили: у нас вийшло, що. І ми вирішували з тобою найпростіше рівняння.

Начебто нічого складного, правда? Давай спочатку потренуємося на найпростіших приклади:

Ми знову бачимо, що праву та ліву частину рівняння потрібно подати у вигляді ступеня одного числа. Правда ліворуч це вже зроблено, а ось справа стоїть число. Але, нічого страшного, адже, і моє рівняння чудовим чином перетвориться на таке:

Чим мені довелося скористатися тут? Яким правилом? Правило «ступеня ступеня», Що говорить:

А якщо:

Перш ніж відповісти на це питання, давай ми з тобою заповнимо таку табличку:

Нам не важко помітити, що чим менше, тим менше значення, але тим не менше, всі ці значення більше нуля. І ТАК БУДЕ ЗАВЖДИ! Це ж властивість справедливо ДЛЯ БУДЬ-ЯКОГО ПІДСТАВИ З БУДЬ-ЯКИМ ПОКАЗНИКОМ!! (для будь-яких та). Тоді який ми можемо зробити висновок про рівняння? А ось який: воно коріння не має! Як не має коріння і будь-яке рівняння. Тепер давай потренуємось і вирішуємо прості приклади:

Давай звірятися:

1. Тут від тебе нічого не потрібно, крім знання властивостей ступенів (які, до речі, я просив тебе повторити!) Як правило, всі призводять до найменшої основи: , . Тоді вихідне рівняння буде рівносильним наступному: Все, що мені потрібно - це скористатися властивостями ступенів: при множенні чисел з однаковими основами ступеня складаються, а при розподілі - віднімаються.Тоді я отримаю: Ну, а тепер зі спокійною совістю перейду від показового рівняння до лінійного: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x = 0. \\
\end(align)

2. У другому прикладі треба бути уважнішими: біда вся в тому, що в лівій частині у нас ну ніяк не вийде уявити і у вигляді ступеня одного й того ж числа. У такому разі іноді корисно представляти числа у вигляді добутку ступенів з різними підставами, але однаковими показниками:

Ліва частина рівняння набуде вигляду: Що ж нам це дало? А ось що: Числа з різними основами, але однаковими показниками можна перемножувати.При цьому основи перемножуються, а показник не змінюється:

Щодо моєї ситуації це дасть:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\end(align)

Непогано, правда?

3. Я не люблю, коли у мене без особливої ​​потреби з одного боку рівняння стоять два доданки, а з іншого - жодного (іноді, звичайно, це виправдано, але зараз не такий випадок). Перенесу доданок з мінусом праворуч:

Тепер, як і раніше, запишу все через ступені трійки:

Складу ступеня зліва та отримаю рівносильне рівняння

Ти легко знайдеш його корінь:

4. Як і в прикладі три, складові з мінусом - місце у правій частині!

Зліва у мене майже все добре, крім чого? Так, мені заважає «неправильний ступінь» у двійки. Але я можу легко це виправити, записавши: . Еврика - зліва всі підстави різні, але всі ступені - однакові! Терміново перемножуємо!

Тут знову-таки все ясно: (якщо ти не зрозумів, яким чарівним чином я отримав останню рівність, відірвись на хвилину, перепочни і прочитай властивості ступеня ще раз дуже уважно. Хто казав, що можна пропускати ступінь з негативним показником? Ну от і я про те, що ніхто). Тепер я отримаю:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Ось тобі завдання для тренування, до яких я лише наведу відповіді (але у «перемішаному» вигляді). Виріш їх, звірись, і ми з тобою продовжимо наші пошуки!

Готовий? Відповідіось такі:

1. будь-яке число

Ну гаразд, гаразд, я пожартував! Ось вам нариси рішень (деякі - дуже короткі!)

Тобі не здається невипадковим, що один дріб зліва - це «перевернутий» інший? Гріх цим не скористатиметься:

Це правило дуже часто використовується при вирішенні показових рівнянь, запам'ятай його добре!

Тоді вихідне рівняння стане таким:

Вирішивши це квадратне рівняння, ти отримаєш ось таке коріння:

2. Ще один прийом рішення: розподіл обох частин рівняння на вираз, що стоїть ліворуч (або праворуч). Розділю на те, що праворуч, тоді отримаю:

Звідки (чому?!)

3. навіть не хочу повторятися, настільки все вже «розжовано».

4. рівносильно квадратному рівнянню, коріння

5. Потрібно скористатися формулою, наведеною в першому завданні, тоді отримаєш, що:

Рівняння перетворилося на тривіальну тотожність, яка вірна за будь-якого. Тоді відповідь – це будь-яке дійсне число.

Ну що ж, ось ти й потренувався вирішувати найпростіші показові рівняння.Тепер я хочу тобі навести кілька прикладів життя, які допоможуть тобі зрозуміти, а для чого вони потрібні в принципі. Тут я наведу два приклади. Один з них цілком повсякденний, ну а інший - радше має науковий, ніж практичний інтерес.

Приклад 1 (меркантильний)Нехай у тебе є карбованців, а тобі хочеться перетворити його на карбованців. Банк пропонує тобі взяти у тебе ці гроші під річних із щомісячною капіталізацією відсотків (щомісячним нарахуванням). Постає питання, на скільки місяців потрібно відкрити вклад, щоб набрати потрібну кінцеву суму? Цілком приземлене завдання, чи не так? Проте її рішення пов'язане із побудовою відповідного показового рівняння: Нехай – початкова сума, – кінцева сума, – процентна ставка за період, – кількість періодів. Тоді:

У разі (якщо ставка річних, то протягом місяця нараховують). А чому ділиться на? Якщо не знаєш відповіді на це запитання, згадуй тему «»! Тоді ми отримаємо таке рівняння:

Дане показове рівняння вже можна вирішити лише за допомогою калькулятора (його зовнішній вигляд на це натякає, причому для цього потрібно знання логарифмів, з якими ми познайомимося трохи пізніше), що я й зроблю: … Таким чином, для отримання млн. нам потрібно зробити внесок на місяць (не дуже швидко, чи не так?).

Приклад 2 (скоріше науковий).Незважаючи на його, деяку «відірваність», рекомендую тобі звернути на нього увагу: він регулярно «прослизає в ЄДІ!! (Завдання взято з «реального» варіанта) У ході розпаду радіоактивного ізотопу його маса зменшується за законом, де (мг) - початкова маса ізотопу, (мін.) - Час, що пройшов від початкового моменту, (мін.) - період напіврозпаду. У початковий час маса ізотопу мг. Період його напіврозпаду мін. Через скільки хвилин маса ізотопу дорівнюватиме мг? Нічого страшного: просто беремо і підставляємо всі дані у запропоновану нам формулу:

Розділимо обидві частини на, «в надії», що зліва ми отримаємо що-небудь зручне:

Ну що ж, нам дуже пощастило! Ліворуч стоїть, тоді перейдемо до рівносильного рівняння:

Звідки хв.

Як бачиш, показові рівняння мають цілком реальний додаток на практиці. Тепер я хочу розібрати з тобою ще один (нехитрий) спосіб розв'язання показових рівнянь, який ґрунтується на винесенні загального множника за дужки з наступним угрупованням доданків. Не лякайся моїх слів, ти вже стикався з цим методом у 7 класі, коли вивчав багаточлени. Наприклад, якщо тобі потрібно було розкласти на множники вираз:

Давай згрупуємо: перший і третій доданок, а також другий і четвертий. Зрозуміло, що перше і третє - це різниця квадратів:

а друге та четверте мають загальний множник трійку:

Тоді вихідний вираз рівносильний такому:

Звідки винести загальний множник вже не важко:

Отже,

Ось приблизно таким чином ми й чинитимемо при вирішенні показових рівнянь: шукати «спільність» серед доданків і виносити її за дужки, ну а потім - будь що буде, я вірю, що нам везти =)) Наприклад:

Праворуч стоїть далеко не ступінь сімки (я перевіряв!) Та й ліворуч – трохи краще, можна, звичайно, «відтяпати» від першого доданку множник а від другого, а потім уже розбиратися з отриманим, але давай з тобою вчинимо розумніше. Я не хочу мати справу з дробами, які неминуче утворюються при «виділенні», то чи не краще мені винести? Тоді дробів у мене не буде: як то кажуть, і вовки ситі, і вівці цілі:

Порахуй вираз у дужках. Чарівним, магічним чином виходить, що (дивно, хоч чого нам ще чекати?).

Тоді скоротимо обидві частини рівняння цей множник. Отримаємо: , звідки.

Ось приклад складніший (зовсім небагато, щоправда):

Ось біда! У нас тут немає однієї спільної підстави! Не зовсім ясно, що тепер робити. А давай зробимо, що зможемо: по-перше, перенесемо «четвірки» в один бік, а «п'ятірки» в інший:

Тепер давай винесемо «загальне» ліворуч і праворуч:

Ну, і що тепер? У чому вигода від такого безглуздого угруповання? На перший погляд вона зовсім не видно, проте давай глянемо глибше:

Ну а тепер зробимо так, щоб ліворуч у нас був тільки вираз с, а праворуч – все інше. Як це зробити? А ось як: Розділити обидві частини рівняння спочатку на (так ми позбудемося ступеня праворуч), а потім розділимо обидві частини на (так ми позбудемося числового множника зліва). Остаточно отримаємо:

Неймовірно! Зліва у нас стоїть вираз, а праворуч – просто. Тоді відразу робимо висновок, що

Ось тобі ще один приклад на закріплення:

Я наведу його коротке рішення (не особливо обтяжуючи себе поясненнями), постарайся сам розібратися у всіх тонкощах рішення.

Тепер підсумкове закріплення пройденого матеріалу. Постарайся самостійно вирішити такі завдання. Я лише наведу короткі рекомендації та поради до їх вирішення:

1. Винесемо загальний множник за дужки:
2. Перше вираз представимо у вигляді: , Розділимо обидві частини на і отримаємо, що
3. , Тоді вихідне рівняння перетворюється на вигляд: Ну а тепер підказка - шукай, де ми з тобою вже вирішували це рівняння!
4. Уяви як, як, а, ну а потім поділи обидві частини на, так ти отримаєш найпростіше показове рівняння.
5. Винеси за дужки.
6. Винеси за дужки.

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНИЙ РІВЕНЬ

Я припускаю, що після ознайомлення з першою статтею, в якій розповідалося що таке показові рівняння та як їх вирішуватити опанував необхідним мінімумом знань, необхідних для вирішення найпростіших прикладів.

Тепер я розберу ще один метод розв'язання показових рівнянь, це

метод введення нової змінної (або заміни).Їм вирішується більшість «важких» завдань, на тему показові рівняння (і не лише рівняння). Цей метод - одне із найчастіше вживаних практично. Спочатку рекомендую ознайомитися з темою.

Як ти вже зрозумів з назви, суть цього методу – запровадити таку заміну змінної, що твоє показове рівняння чудовим чином перетвориться на таке, яке ти вже легко можеш вирішити. Все що тобі залишиться після вирішення цього «спрощеного рівняння» - це зробити «зворотну заміну»: тобто повернутися від заміненого до замінного. Давай проілюструємо щойно сказане дуже простому прикладі:

Приклад 1:

Це рівняння вирішується за допомогою «простої заміни», як її зневажливо називають математикою. Справді, заміна тут – найочевидніша. Варто лише побачити, що

Тоді вихідне рівняння перетвориться на таке:

Якщо ж додатково уявити як, то цілком ясно, що треба замінювати: звичайно ж, . На що тоді перетвориться вихідне рівняння? А ось у що:

Ти без проблем самостійно знайдеш його коріння: . Що нам робити тепер? Настав час повертатися до вихідної змінної. А що я забув вказати? Саме: при заміні деякою мірою на нову змінну (тобто при заміні виду) мене цікавитимуть тільки позитивне коріння!Ти й сам легко відповиш, чому. Таким чином, нас з тобою не цікавить, а ось друге коріння нам цілком підходить:

Тоді звідки.

Відповідь:

Як бачиш, у попередньому прикладі заміна так і просилася до нас у руки. На жаль, так буває далеко не завжди. Однак, давай не переходитимемо відразу до сумного, а потренуємося ще на одному прикладі з досить простою заміною

приклад 2.

Ясно, що швидше за все замінювати доведеться (це найменша зі ступенів, що входить до нашого рівняння), проте перш ніж вводити заміну, наше рівняння потрібно до неї «підготувати», а саме: , . Тоді можна замінювати, в результаті я отримаю наступний вираз:

Про страх: кубічне рівняння з абсолютно страшними формулами його вирішення (якщо говорити в загальному вигляді). Але давай не будемо відразу зневірятися, а подумаємо, що нам робити. Я запропоную шахрайство: ми знаємо, що для отримання «красивої» відповіді, нам потрібно отримати у вигляді певної міри трійки (з чого б це, а?). А давай спробуємо вгадати хоча б один корінь нашого рівняння (я почну гадати зі ступенів трійки).

Перше припущення. Не є коренем. На жаль і ах...

.
Ліва частина дорівнює.
Права частина: !
Є! Вгадали перший корінь. Тепер справа піде легше!

Ти знаєш про схему поділу «куточком»? Звичайно, знаєш, ти застосовуєш її, коли ділиш одне число на інше. Але мало хто знає, що те саме можна робити і з багаточленами. Є одна чудова теорема:

Стосовно моєї ситуації це говорить мені про те, що ділиться без залишку на. Як же здійснюється поділ? А ось як:

Я дивлюся, на який одночлен я повинен примножити, щоб отримати Ясно, що на, тоді:

Віднімаю отриманий вираз, отримаю:

Тепер на що мені потрібно примножити, щоб отримати? Ясно, що на, тоді отримаю:

і знову відніму отриманий вираз із того, що залишилося:

Ну і останній крок, домножу на, і відніму з виразу, що залишився:

Ура, розподіл закінчено! Що ми накопичили у приватному? Само собою: .

Тоді отримали таке розкладання вихідного многочлена:

Розв'яжемо друге рівняння:

Воно має коріння:

Тоді вихідне рівняння:

має три корені:

Останній корінь ми, звичайно, відкинемо, оскільки він менший за нуль. А перші два після зворотної заміни дадуть нам два корені:

Відповідь: ..

Цим прикладом я аж ніяк не хотів налякати тебе, скоріше я ставив за мету показати, що хоч у нас була досить проста заміна, проте вона призвела до досить складного рівняння, рішення якого зажадало від нас деяких особливих навичок. Що ж, від цього ніхто не застрахований. Проте заміна в даному випадку була досить очевидною.

Ось приклад із дещо менш очевидною заміною:

Цілком не зрозуміло, що нам робити: проблема в тому, що в нашому рівнянні дві різні підстави і одна підстава не виходить з іншого зведенням у будь-який (розумний, природно) ступінь. Однак що ми бачимо? Обидва підстави - відрізняються лише знаком, які твір - є різниця квадратів, рівна одиниці:

Визначення:

Таким чином, числа, що є підставами в нашому прикладі, - пов'язані.

У такому разі розумним кроком буде домножити обидві частини рівняння на сполучене число.

Наприклад, тоді ліва частина рівняння стане рівна, а права. Якщо зробити заміну, то наше з тобою вихідне рівняння стане таким:

його коріння, тоді, а пам'ятаючи, що отримаємо, що.

Відповідь: , .

Як правило, методу заміни виявляється достатньо для вирішення більшості «шкільних» показових рівнянь. Наступні завдання взято з ЄДІ С1 (підвищений рівень складності). Ти вже досить грамотний для того, щоб самостійно вирішувати ці приклади. Я лише наведу необхідну заміну.

1. Розв'яжіть рівняння:
2. Знайдіть коріння рівняння:
3. Розв'яжіть рівняння: . Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку:

А тепер короткі пояснення та відповіді:

1. Тут нам достатньо помітити, що в. Тоді вихідне рівняння буде еквівалентне ось такому: Дане рівняння вирішується заміною Подальші викладки зроби самостійно. Наприкінці твоє завдання зведеться до вирішення найпростіших тригонометричних (залежних від синуса чи косинуса). Вирішення подібних прикладів ми розберемо в інших розділах.
2. Тут навіть можна обійтися без заміни: достатньо перенести віднімається вправо і уявити обидва підстави через ступені двійки: , а потім відразу перейти до квадратного рівняння.
3. Третє рівняння теж вирішується досить стандартно: уявімо як. Тоді замінивши отримаємо квадратне рівняння: тоді,

   Адже ти вже знаєш, що таке логарифм? Ні? Тоді терміново читай тему!

   Перший корінь, очевидно, не належить відрізку, а другий - незрозуміло! Але ми це дуже скоро дізнаємось! Так, то (це властивість логарифму!) Порівняємо:

   Віднімемо з обох частин, тоді отримаємо:

   Ліву частину можна представити у вигляді:

   домножимо обидві частини на:

   можна примножити на, тоді

   Тоді порівняємо:

   оскільки, то:

   Тоді друге коріння належить шуканому проміжку

   Відповідь:

Як бачиш, відбір коренів показових рівнянь потребує досить глибокого знання властивостей логарифмівтак що я раджу тобі бути якомога уважніше, коли вирішуєш показові рівняння. Як ти розумієш, у математиці все взаємопов'язане! Як казала моя вчителька з математики: «математику, як історію, за ніч не прочитаєш».

Як правило, всю складність під час вирішення завдань С1 становить саме відбір коренів рівняння.Давай потренуємося ще на одному прикладі:

Зрозуміло, що саме рівняння вирішується досить легко. Зробивши заміну ми зведемо наше вихідне рівняння до наступного:

Спочатку давай розглянемо перший корінь. Порівняємо і: оскільки, то. (Властивість логарифмічної функції, за умови). Тоді ясно, що перший корінь не належить нашому проміжку. Тепер другий корінь: . Зрозуміло, що (оскільки функція при - зростаюча). Залишилося порівняти в.

тому що, то, в той же час. Таким чином, я можу «вбити кілочок» між і. Цим кілочком є ​​число. Перше вираз менше, а друге – більше. Тоді друге вираз більше першого і корінь належить проміжку.

Відповідь: .

На завершення давай розглянемо ще один приклад рівняння, де заміна досить нестандартна:

Давай одразу почнемо з того, що робити можна, а що – в принципі можна, але краще не робити. Можна - уявити все через ступені трійки, двійки та шістки. До чого це спричинить? Та ні до чого і не приведе: мішанина ступенів, причому деяких буде досить складно позбутися. А що ж тоді потрібне? І що нам це дасть? А те, що ми можемо звести рішення цього прикладу до вирішення досить простого показового рівняння! Спочатку давай перепишемо наше рівняння у вигляді:

Тепер розділимо обидві частини рівняння на:

Евріка! Тепер можна замінювати, отримаємо:

Ну що тепер твоя черга вирішувати завдання на показові, а я приведу до них лише короткі коментарі, щоб ти не збився з вірного шляху! Успіхів!

1. Найважча! Заміну тут побачити ох як негелко! Проте цей приклад цілком вирішуємо за допомогою виділення повного квадрата. Для його вирішення достатньо зауважити, що:

Тоді ось тобі і заміна:

(Зверни увагу, що тут за нашої заміни ми не можемо відкидати негативний корінь!!! А чому, як ти думаєш?)

Тепер для вирішення прикладу тобі залишилося вирішити два рівняння:

Обидва вони вирішуються "стандартною заміною" (натомість другий в одному прикладі!)

2. Зауваж, що й зроби заміну.

3. Розклади число на взаємно-прості співмножники і спрости отриманий вираз.

4. Поділи чисельник і знаменник дробу на (або, якщо тобі так більше до душі) і зроби заміну або.

5. Зауваж, що числа і - сполучені.

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. ПРОДВИНУТИЙ РІВЕНЬ

На додаток давай розглянемо ще один спосіб - розв'язання показових рівнянь методом логарифмування. Не можу сказати, що вирішення показових рівнянь цим методом дуже популярне, проте в деяких випадках тільки він здатний привести нас до правильного вирішення нашого рівняння. Особливо часто він використовується для вирішення так званих « змішаних рівнянь»: тобто таких, де трапляються функції різного виду.

Наприклад, рівняння виду:

у загальному випадку можна вирішити лише логарифмуванням обох частин (наприклад на підставі), при якому вихідне рівняння перетвориться на наступне:

Давай розглянемо наступний приклад:

Ясно, що за ОДЗ логарифмічної функції нас цікавлять тільки. Проте, це випливає не лише з ОДЗ логарифму, а ще з однієї причини. Я думаю, що тобі не буде важко вгадати, за якою саме.

Давай прологарифмуємо обидві частини нашого рівняння на підставі:

Як бачиш, логарифмування нашого вихідного рівняння досить швидко призвело до правильної (і красивої!) відповіді. Давай потренуємося ще на одному прикладі:

Тут теж немає нічого страшного: прологарифмуємо обидві сторони рівняння на підставі, тоді отримаємо:

Зробимо заміну:

Однак, ми дещо пропустили! Ти помітив, де я промахнувся? Адже тоді:

що не задовольняє вимогу (подумай, звідки вона взялася!)

Відповідь:

Спробуй самостійно записати рішення показових рівнянь наведених нижче:

А тепер звір своє рішення з цим:

1. Логарифмуємо обидві частини на підставі, враховуючи, що:

(другий корінь нам не підходить через заміну)

2. Логарифмуємо на підставі:

Перетворимо отриманий вираз до такого виду:

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКИЙ ОПИС І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Показове рівняння

Рівняння виду:

називається найпростішим показовим рівнянням.

Властивості ступенів

Підходи до вирішення

• Приведення до однакової основи
• Приведення до однакового показника ступеня
• Заміна змінної
• Спрощення виразу та застосування одного з вищеназваних.

Розв'язання показових рівнянь. приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться в показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади показових рівнянь:

3 х · 2 х = 8 х +3

Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньу чистому вигляді.

Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.

Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:

Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:

Що ми зробили? Ми фактично викинули однакові підстави (трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!

Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)

Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:

2 х +2 х+1 = 2 3 або

двійки прибирати не можна!

Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.

"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"

Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.

Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.

Вирішення простих показових рівнянь. приклади.

При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знання цих дій нічого не вийде.

До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.

Подивимося, як це робиться на практиці?

Нехай нам дано приклад:

2 2х - 8 х +1 = 0

Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але засмучуватися - рано. Саме час згадати, що

Двійка і вісімка - родички за ступенем.) Цілком можна записати:

8 х+1 = (2 3) х+1

Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:

(а n) m = a nm ,

то взагалі добре виходить:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Вихідний приклад став виглядати так:

2 2х - 2 3(х +1) = 0

Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:

2 2х = 2 3(х+1)

Ось практично і все. Прибираємо підстави:

Вирішуємо цього монстра та отримуємо

Це правильна відповідь.

У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Потрібно вміти дізнаватися в числі інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.

Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й годі. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... яке число якою міроюховається за числом 243, або, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.

Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Відповіді (безладно, природно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.

Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі з молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)

Наприклад, при вирішенні показових рівнянь часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:

3 2х +4 -11 · 9 х = 210

І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоби були – однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:

9 х = (3 2) х = 3 2х

За тими ж правилами дій зі ступенями:

3 2х +4 = 3 2х · 3 4

Ось і добре, можна записати:

3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210

Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі! Трійки не можна викидати... Тупик?

Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і найпотужніше правило рішення всіхматематичних завдань:

Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!

Дивишся, все й утворюється.

Що в цьому показовому рівнянні можназробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3-х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Приклад стає все краще та краще!

Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:

Оп-па! Все налагодилося!

Це остаточна відповідь.

Трапляється, однак, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.

Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.

Розв'яжемо рівняння:

4 х - 3 · 2 х +2 = 0

Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Отримуємо рівняння:

2 2х - 3 · 2 х +2 = 0

А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.

Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає зрозумілим!

Отже, нехай

Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Замінюємо в нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:

Ну що, осяює?) Квадратні рівняння не забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:

Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібний ікс, а не t. Повертаємося до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:

Отже,

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:

Гм... Зліва 2 х, праворуч 1... Проблема? Та зовсім ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульовому ступені. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:

Ось тепер все. Отримали 2 корені:

Це відповідь.

При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:

З сімки двійка через простий ступінь не виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може, й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , тільки скупо усміхнеться і запише твердою рукою цілком вірну відповідь:

Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. Там конкретне число потрібне. А ось у завданнях "С" – запросто.

У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.

Практичні поради:

1. Насамперед дивимося на підставиступенів. Розуміємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!

2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.

3. Якщо друга рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може вийти рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше – квадратне. Або дробове, що теж зводиться до квадратного.

4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".

Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішити.) Самостійно. Від простого – до складного.

Розв'язати показові рівняння:

Складніше:

2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48

9 х - 8 · 3 х = 9

2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0

Знайти твір коріння:

2 3-х + 2 х = 9

Вийшло?

Ну, тоді найскладніший приклад (вирішується, щоправда, в умі...):

7 0.13х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3

Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Приклад простіше, для відпочинку):

9 · 2 х - 4 · 3 х = 0

І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Так-так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І хай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).

Відповіді (безладно, через точку з комою):

1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.

Все вдало? Чудово.

Чи є проблеми? Чи не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються з докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з усілякими показовими рівняннями. Не лише з цими.)

Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Показовими називаються рівняння, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Найпростіше показове рівняння має вигляд: а х = а b де а> 0, а 1, х - невідоме.

Основні властивості ступенів, з яких перетворюються показові рівняння: а>0, b>0.

При розв'язанні показових рівнянь користуються також такими властивостями показової функції: y = a x , a > 0, a1:

Для представлення числа у вигляді ступеня використовують основну логарифмічну тотожність: b = , a > 0, a1, b > 0.

Завдання та тести на тему "Показові рівняння"

• Показові рівняння

  Уроків: 4 Задань: 21 Тестів: 1

• Показові рівняння - Важливі теми для повторення ЄДІ з математики

  Завдань: 14

• Системи показових та логарифмічних рівнянь - Показова та логарифмічна функції 11 клас

  Уроків: 1 Задань: 15 Тестів: 1

• §2.1. Розв'язання показових рівнянь

  Уроків: 1 Задань: 27

• §7 Показові та логарифмічні рівняння та нерівності - Розділ 5. Показова та логарифмічна функції 10 клас

  Уроків: 1 Задань: 17

Для успішного розв'язання показових рівнянь Ви повинні знати основні властивості ступенів, властивості показової функції, основну логарифмічну тотожність.

При розв'язанні показових рівнянь використовують два основні методи:

1. перехід від рівняння a f(x) = a g(x) до рівняння f(x) = g(x);
2. запровадження нових прямих.

приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших. Вирішуються приведенням обох частин рівняння до ступеня з однаковою основою.

3 x = 9 x - 2.

Рішення:

3 x = (3 2) x - 2;
3 x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x = 4.

Відповідь: 4.

2. Рівняння, які вирішуються за допомогою винесення за дужки загального множника.

Рішення:

3 x - 3 x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x = 3.

Відповідь: 3.

3. Рівняння, які вирішуються за допомогою заміни змінної.

Рішення:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Позначаємо 2 х = у.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4.Рівняння немає рішень, т.к. 2 х > 0.
б) 2 х = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Відповідь: log 2 3.

4. Рівняння, що містять ступеня з двома різними (що не зводяться один до одного) підставами.

3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х - 2 = 5 х + 2 х - 2.

3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х - 2 × 23 = 5 х - 2
×23
2 х - 2 = 5 х - 2
(5/2) х-2 = 1
х - 2 = 0
х = 2.

Відповідь: 2.

5. Рівняння, однорідні щодо a x та b x .

Загальний вигляд: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Рішення:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Позначимо (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 =?

Відповідь: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Що таке показове рівняння? приклади.

Отже, показове рівняння… Новий унікальний експонат на нашій спільній виставці найрізноманітніших рівнянь!) Як це майже завжди буває, ключовим словом будь-якого нового математичного терміна є відповідне прикметник, яке його характеризує. Так і тут. Ключовим словом у терміні «показове рівняння» є слово «показове». Що воно означає? Це слово означає, що невідоме (ікс) знаходиться у показниках будь-яких ступенів.І лише там! Це дуже важливо.

Наприклад, такі прості рівняння:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 · 2 2 x -17 · 2 x +4 = 0

Або навіть такі монстри:

2 sin x = 0,5

Прошу відразу звернути увагу на одну важливу річ: підставахступенів (знизу) – тільки числа. А ось у показникахступенів (згори) – найрізноманітніші вирази з іксом. Цілком будь-які.) Все від конкретного рівняння залежить. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс де ще, крім показника (скажімо, 3 x = 18+x 2), то таке рівняння буде вже рівнянням змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Тому в даному уроці ми їх не розглядатимемо. На радість учням.) Тут ми розглядатимемо лише показові рівняння у «чистому» вигляді.

Загалом кажучи, навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не всі і не завжди. Але серед усього багатого різноманіття показових рівнянь є певні типи, які можна вирішувати і потрібно. Ось саме ці типи рівнянь ми з вами розглянемо. І приклади обов'язково вирішуємо.) Так що влаштовуємося зручніше і в дорогу! Як і в комп'ютерних «стрілялках», наша подорож проходитиме за рівнями.) Від елементарної до простої, від простої – до середньої та від середньої – до складної. По дорозі на вас також чекатиме секретний рівень – прийоми та методи вирішення нестандартних прикладів. Ті, про які ви не прочитаєте у більшості шкільних підручників… Ну, а наприкінці вас, зрозуміло, чекає фінальний бос у вигляді хати.

Що таке найпростіше показове рівняння? Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Для початку розглянемо якусь відверту елементарщину. З чого ж треба починати, вірно? Наприклад, таке рівняння:

2 х = 2 2

Навіть без будь-яких теорій, за простою логікою та здоровим глуздом ясно, що х = 2. Інакше ж ніяк, вірно? Ніяке інше значення ікса не годиться ... А тепер звернемо наш погляд на запис рішенняцього крутого показового рівняння:

2 х = 2 2

Х = 2

Що ж у нас сталося? А сталося таке. Ми фактично взяли і… просто викинули однакові підстави (двійки)! Зовсім викинули. І що радує, потрапили в яблучко!

Так, дійсно, якщо в показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в будь-яких ступенях, то ці числа можна відкинути і просто прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє.) І далі можна працювати вже окремо з показниками і вирішувати куди простіше рівняння. Здорово, правда?

Ось і ключова ідея вирішення будь-якого (так-так, саме будь-якого!) показового рівняння: за допомогою тотожних перетворень необхідно домогтися того, щоб ліворуч і праворуч у рівнянні стояли однакові числа-підстави в різних ступенях. А далі можна сміливо прибрати однакові підстави та прирівняти показники ступенів. І працювати з більш простим рівнянням.

А тепер запам'ятовуємо залізне правило: прибирати однакові підстави можна тоді і тільки тоді, коли в рівнянні зліва та праворуч числа-основи стоять в гордій самоті.

Що означає, у гордій самоті? Це означає, без усіляких сусідів та коефіцієнтів. Пояснюю.

Наприклад, у рівнянні

3·3 x-5 = 3 2 x +1

Трійки прибирати не можна! Чому? Тому що ліворуч у нас стоїть не просто одинока трійка, а твір 3·3 x-5. Зайва трійка заважає: коефіцієнт, розумієш.

Те саме можна сказати і про рівняння

5 3 x = 5 2 x +5 x

Тут також всі підстави однакові – п'ятірка. Але праворуч у нас не одинокий ступінь п'ятірки: там – сума ступенів!

Коротше кажучи, прибирати однакові підстави маємо право лише тоді, коли наше показове рівняння виглядає так і тільки так:

af (x) = a g (x)

Такий вид показового рівняння називають найпростішим. Або, по-науковому, канонічним . І яке б навкручене рівняння перед нами не було, ми його, так чи інакше, зводитимемо саме до такого найпростішого (канонічного) вигляду. Або, в деяких випадках, до сукупностірівнянь такого виду. Тоді наше найпростіше рівняння можна загалом переписати ось так:

F(x) = g(x)

І все. Це буде еквівалентне перетворення. При цьому як f(x) і g(x) можуть стояти абсолютно будь-які вирази з іксом. Які завгодно.

Можливо, особливо допитливий учень поцікавиться: а з якої такої статі ми ось так легко і просто відкидаємо однакові підстави зліва і праворуч і прирівнюємо показники ступенів? Інтуїція інтуїцією, але раптом у якомусь рівнянні і для якоїсь підстави цей підхід виявиться невірним? Чи завжди законно викидати однакові підстави?На жаль, для суворої математичної відповіді на це цікаве питання потрібно досить глибоко і серйозно занурюватися в загальну теорію устрою та поведінки функцій. А трохи конкретніше – явище Суворої монотонності.Зокрема, суворої монотонності показової функціїy= a x. Оскільки саме показова функція та її властивості лежать в основі розв'язання показових рівнянь, так.) Розгорнуту відповідь на це питання буде дано в окремому спецуроці, присвяченому розв'язанню складних нестандартних рівнянь з використанням монотонності різних функцій.

Пояснювати докладно цей момент зараз - це лише виносити мозок середньостатистичного школяра і відлякувати його раніше сухою і важкою теорією. Я цього робити не буду.) Бо наше основне завдання – навчитися розв'язувати показові рівняння!Найпростіші! Тому – поки не паримось і сміливо викидаємо однакові підстави. Це можна, повірте мені слово!) А далі вже вирішуємо еквівалентне рівняння f(x) = g(x). Як правило, простіше, ніж вихідне показове.

Передбачається, звичайно ж, що вирішувати хоча б, і рівняння, вже без іксів у показниках, народ на даний момент уже вміє. Інакше несолодко вам доведеться, так...

Я мовчу про ірраціональні, тригонометричні та інші звірячі рівняння, які також можуть спливти в процесі ліквідації підстав. Але не лякайтеся, відверту бляху в показниках ступенів ми з вами поки що розглядати не будемо: рано ще. Тренуватимемося лише на найпростіших рівняннях.)

Тепер розглянемо рівняння, які потребують деяких додаткових зусиль, щоб звести їх до найпростіших. Для відмінності назвемо їх простими показовими рівняннями. Отже, рухаємось на наступний рівень!

Рівень 1. Прості показові рівняння. Розпізнаємо ступені! Натуральні показники.

Ключовими правилами у вирішенні будь-яких показових рівнянь є правила дій зі ступенями. Без цих знань та вмінь нічого не вийде. На жаль. Так що якщо зі ступенями проблеми, то для початку милості прошу. Крім того, ще нам знадобляться. Ці перетворення (цілі два!) – основа розв'язання всіх рівнянь математики взагалі. І не лише показових. Так що, хто забув, теж прогуляйтеся посиланням: я їх не просто так ставлю.

Але одних лише дій зі ступенями та тотожних перетворень замало. Необхідна ще особиста спостережливість і кмітливість. Адже нам потрібні однакові підстави, чи не так? Ось і оглядаємо приклад і шукаємо їх у явному чи замаскованому вигляді!

Наприклад, таке рівняння:

3 2 x - 27 x +2 = 0

Перший погляд на підстави. Вони... різні! Трійка та двадцять сім. Але панікувати і впадати у відчай рано. Саме час згадати, що

27 = 3 3

Числа 3 і 27 – родички за рівнем! Причому близькі.) Отже, маємо повне право записати:

27 x +2 = (3 3) x+2

А ось тепер підключаємо наші знання про діях зі ступенями(А я попереджав!). Є там така дуже корисна формулка:

(a m) n = a mn

Якщо тепер запустити її в хід, то взагалі добре виходить:

27 x +2 = (3 3) x +2 = 3 3 (x +2)

Вихідний приклад тепер виглядає так:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Добре, підстави ступенів вирівнялися. Чого ми й домагалися. Полдела сделано.) А ось тепер запускаємо в хід базове тотожне перетворення - переносимо 3 3 (x +2) праворуч. Елементарних дій математики ніхто не скасовував, так.) Отримуємо:

3 2 x = 3 3(x +2)

Що нам дає такий вид рівняння? А те, що тепер наше рівняння зведене до канонічного вигляду: ліворуч і праворуч стоять однакові числа (трійки) у ступенях. Причому обидві трійки - у гордій самоті. Сміливо прибираємо трійки та отримуємо:

2х = 3(х+2)

Вирішуємо це і отримуємо:

X = -6

Ось і всі справи. Це правильна відповідь.)

А тепер осмислюємо перебіг рішення. Що нас урятувало у цьому прикладі? Нас врятувало знання ступенів трійки. Як саме? Ми упізналисеред 27 зашифровану трійку! Цей приймач (шифрування однієї й тієї ж підстави під різними числами) – один із найпопулярніших у показових рівняннях! Якщо тільки не найпопулярніший. Та й теж, до речі. Саме тому в показових рівняннях така важлива спостережливість і вміння розпізнавати в числах ступеня інших чисел!

Практична порада:

Ступені популярних чисел треба знати. В обличчя!

Звичайно, звести двійку на сьому ступінь або трійку на п'яту може кожен. Не в умі, то хоча б на чернетці. Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки - дізнаватися, яке число і в якій мірі ховається за числом, скажімо, 128 або 243. А це вже складніше, ніж просте зведення, погодьтеся. Відчуйте різницю, що називається!

Оскільки вміння розпізнавати ступені в обличчя стане в нагоді не тільки на цьому рівні, а й на наступних, ось вам невелике завдання:

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Відповіді (вразки, звичайно):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Так-так! Не дивуйтеся, що відповідей більше, ніж завдань. Наприклад, 2 8 , 4 4 та 16 2 – це все 256.

Рівень 2. Прості показові рівняння. Розпізнаємо ступені! Негативні та дробові показники.

На цьому рівні ми вже використовуємо наші знання про ступені на повну котушку. А саме – залучаємо до цього захоплюючого процесу негативні та дробові показники! Так-так! Нам же треба нарощувати міць, правда?

Наприклад, таке страшне рівняння:

Знову перший погляд – на підставі. Підстави – різні! Причому цього разу навіть далеко не схожі один на одного! 5 та 0,04… А для ліквідації підстав потрібні однакові… Що ж робити?

Нічого страшного! Насправді все те саме, просто зв'язок між п'ятіркою і 0,04 візуально проглядається погано. Як викрутимося? А перейдемо в числі 0,04 до звичайного дробу! А там, дивишся, все й утворюється.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ух ти! Виявляється, 0,04 – це 1/25! Ну хто б міг подумати!

Ну як? Тепер зв'язок між числами 5 та 1/25 легше побачити? Ось те й воно…

А тепер уже за правилами дій зі ступенями з негативним показникомможна твердою рукою записати:

От і добре. Ось ми й дісталися однакової підстави – п'ятірки. Замінюємо тепер у рівнянні незручне нам число 0,04 на 5 -2 і одержуємо:

Знову ж таки, за правилами дій зі ступенями, тепер можна записати:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Про всяк випадок, нагадую (раптом, хто не в курсі), що базові правила дій зі ступенями справедливі для будь-якихпоказників! У тому числі й для негативних.) Тож сміливо беремо і перемножуємо показники (-2) та (х-1) за відповідним правилом. Наше рівняння стає все кращим і кращим:

Все! Крім одиноких п'ятірок у ступенях ліворуч і праворуч більше нічого немає. Рівняння зведено до канонічного вигляду. А далі – по накатаній колії. Забираємо п'ятірки та прирівнюємо показники:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Приклад практично вирішено. Залишилася елементарна математика середніх класів – розкриваємо (правильно!) дужки та збираємо все зліва:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Вирішуємо це і отримуємо два корені:

x 1 = 1; x 2 = 3

Ось і все.

А тепер знову поміркуємо. У цьому прикладі нам знову довелося розпізнати одне й те саме число різною мірою! А саме - побачити серед 0,04 зашифровану п'ятірку. Причому цього разу – у негативного ступеня!Як нам це вдалося? З ходу – ніяк. А ось після переходу від десяткового дробу 0,04 до звичайного дробу 1/25 все й висвітлилося! І далі все рішення пішло як по маслу.)

Тому чергова зелена практична порада.

Якщо в показовому рівнянні є десяткові дроби, то переходимо від десяткових дробів до звичайних. У звичайних дробах набагато простіше розпізнати ступені багатьох популярних чисел! Після розпізнавання переходимо від дробів до ступенів із негативними показниками.

Майте на увазі, що такий фінт у показових рівняннях зустрічається дуже часто! А людина не в темі. Дивиться він, наприклад, числа 32 і 0,125 і засмучується. Невідомо йому, що це одна і та ж двійка, тільки в різних ступенях... Але ж ви вже в темі!)

Розв'язати рівняння:

О! Зовнішність оманлива. Це найпростіше показове рівняння, незважаючи на його жахливий зовнішній вигляд. І зараз я вам це покажу.)

По-перше, розуміємося з усіма чиселами, що сидять в підставах та в коефіцієнтах. Вони, певна річ, різні, так. Але ми все ж таки ризикнемо і спробуємо зробити їх однаковими! Спробуємо дістатися до одного і того ж числа у різних ступенях. Причому, бажано, числа найменшого. Отже, починаємо розшифровку!

Ну, з четвіркою відразу все ясно – це 2 2 . Так, уже дещо.)

З дробом 0,25 – поки що незрозуміло. Перевіряти треба. Використовуємо практичну пораду – переходимо від десяткового дробу до звичайного:

0,25 = 25/100 = 1/4

Вже набагато краще. Бо тепер виразно видно, що 1/4 – це 2 -2 . Відмінно, і число 0,25 теж споріднено з двійкою.)

Поки що все йде добре. Але залишилося найгірше з усіх – корінь квадратний із двох!А із цим перцем що робити? Чи можна його також подати як ступінь двійки? А хто ж його знає?

Що ж, знову ліземо до нашої скарбниці знань про ступені! На цей раз додатково підключаємо наші знання про коріння. З курсу 9-го класу ми з вами мали винести, що будь-який корінь, за бажання, завжди можна перетворити на ступінь з дрібним показником.

Ось так:

У нашому випадку:

Ось як! Виявляється, корінь квадратний із двох – це 2 1/2 . Ось воно що!

От і чудово! Усі наші незручні числа насправді виявилися зашифрованою двійкою.) Не сперечаюся, десь витончено зашифрованою. Але й ми теж підвищуємо свій професіоналізм у розгадці подібних шифрів! А далі вже все очевидно. Замінюємо в нашому рівнянні числа 4, 0,25 і корінь із двох на ступені двійки:

Все! Підстави всіх ступенів у прикладі стали однаковими – двійка. А тепер у хід йдуть стандартні дії зі ступенями:

a m ·a n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Для лівої частини вийде:

2 -2 · (2 ​​2) 5 x -16 = 2 -2 +2 (5 x -16)

Для правої частини буде:

І тепер наше зле рівняння стало виглядати так:

Хто не втрутився, як саме вийшло це рівняння, то тут питання не до показових рівнянь. Питання – до дій зі ступенями. Я просив терміново повторити тим, у кого проблеми!

Ось і фінальна пряма! Отримано канонічний вигляд показового рівняння! Ну як? Переконав я вас, що не так страшно? ;) Забираємо двійки та прирівнюємо показники:

Залишилося лише вирішити це лінійне рівняння. Як? За допомогою тотожних перетворень, звісно.) Дорішайте, чого вже там! Помножуйте обидві частини на двійку (щоб прибрати дріб 3/2), переносіть доданки з іксами вліво, без іксів вправо, наводьте подібні, рахуйте – і буде вам щастя!

Повинно все вийти красиво:

X = 4

А тепер знову осмислюємо перебіг рішення. У цьому прикладі нас врятував перехід від квадратного коренядо ступеня з показником 1/2. Причому тільки таке хитре перетворення нам допомогло скрізь вийти на однакову основу (двійку), яка й урятувала становище! І, якби не воно, то ми мали всі шанси назавжди зависнути і так і не впоратися з цим прикладом, так…

Тому не нехтуємо черговою практичною порадою:

Якщо в показовому рівнянні є коріння, то переходимо від коренів до ступенів з дробовими показниками. Дуже часто тільки таке перетворення прояснює подальшу ситуацію.

Звичайно ж, негативні та дробові ступені вже набагато складніше натуральних ступенів. Хоча б з погляду візуального сприйняття і, особливо, розпізнавання справа наліво!

Зрозуміло, що безпосередньо звести, наприклад, двійку в ступінь -3 або четвірку в ступінь -3/2 не така вже й велика проблема. Для знаючих.)

А ось іди, наприклад, з ходу зрозумій, що

0,125 = 2 -3

Або

Тут тільки практика та багатий досвід керують, так. І, звичайно ж, чітке уявлення, що таке негативний та дробовий ступінь.А також – практичні поради! Так-так, ті самі зелені.) Сподіваюся, що вони все-таки допоможуть вам краще орієнтуватися у всьому різношерстому різноманітті ступенів і значно збільшать ваші шанси на успіх! Тож не нехтуємо ними. Я не даремно зеленим кольором пишу іноді.)

Зате, якщо ви станете на «ти» навіть з такими екзотичними ступенями, як негативні та дробові, то ваші можливості у вирішенні показових рівнянь колосально розширяться, і вам вже буде під силу практично будь-який тип показових рівнянь. Ну, якщо не будь-який, то відсотків 80 усіх показових рівнянь – точно! Так-так, я не жартую!

Отже, наша перша частина знайомства із показовими рівняннями підійшла до свого логічного завершення. І, як проміжне тренування, я традиційно пропоную трохи вирішити самостійно.)

Завдання 1.

Щоб мої слова про розшифрування негативних і дробових ступенів не пропали даремно, пропоную зіграти у невелику гру!

Подайте у вигляді ступеня двійки числа:

Відповіді (безладно):

Вийшло? Чудово! Тоді робимо бойове завдання – вирішуємо найпростіші та найпростіші показові рівняння!

Завдання 2.

Вирішити рівняння (всі відповіді – безладно!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Відповіді:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Вийшло? Справді, куди простіше!

Тоді вирішуємо наступну партію:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x ·4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Відповіді:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

І ці приклади однієї лівої? Чудово! Ви ростете! Тоді ось вам на закуску ще приклади:

Відповіді:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

І це вирішено? Що ж, респект! Знімаю капелюх.) Отже, урок пройшов недаремно, і початковий рівень розв'язання показових рівнянь можна вважати успішно освоєним. Попереду – наступні рівні та складніші рівняння! І нові прийоми та підходи. І нестандартні приклади. І нові сюрпризи.) Все це – у наступному уроці!

Щось не вийшло? Значить, швидше за все, проблеми у . Або в. Або в тому й іншому одразу. Тут я вже безсилий. Можу вкотре запропонувати лише одне – не лінуватися і прогулятися посиланнями.)

Далі буде.)

Показові рівняння. Як відомо, до складу ЄДІ входять прості рівняння. Деякі ми вже розглянули – це логарифмічні, тригонометричні, раціональні. Тут представлені показові рівняння.

У нещодавній статті ми попрацювали із показовими виразами, буде корисно. Самі рівняння вирішуються просто та швидко. Потрібно лише знати властивості показників ступеня і...далі.

Перерахуємо властивості показників ступеня:

Нульовий ступінь будь-якого числа дорівнює одиниці.

Наслідок з цієї властивості:

Ще трохи теорії.

Показовим рівнянням називається рівняння, що містить змінну в показнику, тобто це рівняння виду:

f(x) вираз, що містить змінну

Методи розв'язання показових рівнянь

1. В результаті перетворення рівняння можна привести до вигляду:

Тоді застосовуємо властивість:

2. При отриманні рівняння виду a f (x) = bвикористовується визначення логарифму, отримаємо:

3. Внаслідок перетворень можна отримати рівняння виду:

Застосовується логарифмування:

Висловлюємо та знаходимо х.

У завданнях варіантів ЄДІ буде достатньо використовувати перший спосіб.

Тобто необхідно представити ліву та праву частини у вигляді ступенів з однаковою основою, а далі прирівнюємо показники та вирішуємо звичайне лінійне рівняння.

Розглянемо рівняння:

Знайдіть корінь рівняння 4 1–2х = 64.

Необхідно зробити так, щоб у лівій та правій частинах були показові вирази з однією основою. 64 ми можемо уявити як 4 у ступеню 3. Отримаємо:

4 1-2х = 4 3

1 - 2х = 3

- 2х = 2

х = - 1

Перевірка:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Відповідь: -1

Знайдіть корінь рівняння 3х-18 = 1/9.

Відомо, що

Значить 3 х-18 = 3-2

Підстави рівні, можемо прирівняти показники:

х - 18 = - 2

х = 16

Перевірка:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Відповідь: 16

Знайдіть корінь рівняння:

Представимо дріб 1/64 як один четвертий третього ступеня:

2х - 19 = 3

2х = 22

х = 11

Перевірка:

Відповідь: 11

Знайдіть корінь рівняння:

Представимо 1/3 як 3 -1, а 9 як 3 у квадраті, отримаємо:

(3 –1) 8–2х = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2х = 3 2

Тепер можемо зрівняти показники:

- 8+2х = 2

2х = 10

х = 5

Перевірка:

Відповідь: 5

26654. Знайдіть корінь рівняння:

Рішення:

Відповідь: 8,75

Дійсно, в який би ступінь ми не звели позитивне число a ми не можемо отримати число негативне.

Будь-яке показове рівняння після відповідних перетворень зводиться до вирішення одного або кількох найпростіших.У цій рубриці ми ще розглянемо рішення деяких рівнянь, не пропустіть!На цьому все. Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.