Рівняння дотичної та нормалі до поверхні. Як знайти рівняння дотичної площини та нормалік поверхні у заданій точці

«Площина» Ця вправа є ефективною для вирівнювання артеріального тиску. Головне - дотримуватись міри. Були прецеденти, коли людина за півгодини знизила тиск зі 190 до 90. Така стрімка зміна може спровокувати негативні реакції, тому потрібно

У певній точці і має в ній безперервні похідні приватні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то в околиці цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

Крім зазначеного вище неявного способу завданняповерхня може бути визначена явноякщо одну зі змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

Також існує параметричнийМетод завдання. У цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

Поняття про просту поверхню

Точніше, простою поверхнею називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного і взаємно безперервного відображення) начинки одиничного квадрата. Цьому визначенню можна надати аналітичний вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат , координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівності 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

прикладом простий поверхніє півсфера. Вся ж сфера не є простою поверхнею. Це викликає необхідність узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є околиця, що є простою поверхнею, називається правильною поверхнею .

Поверхня у диференціальній геометрії

Гелікоїд

Катеноїд

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрика гелікоїда і катеноїда, параметризованих відповідним чином, збігається, тобто між їх областями існує відповідність, що зберігає всі довжини (ізометрію). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньою геометрієюповерхні. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні у просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування та стиснення (наприклад, при згинанні циліндра в конус).

Метричні коефіцієнти визначають як довжини всіх кривих, а й взагалі результати всіх вимірів всередині поверхні (кути, площі, кривизна та інших.). Тому все, що залежить лише від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.

Нормаль та нормальний переріз

Вектори нормали у точках поверхні

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль- одиничний вектор, перпендикулярний дотичній площині заданої точки:

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль (у даній точці), утворює деяку криву на поверхні, що називається нормальним перетиномповерхні. Головна нормаль для нормального перерізу збігається з нормаллю поверхні (з точністю до знака).

Якщо ж крива лежить на поверхні перестав бути нормальним перетином, її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні деякий кут θ . Тоді кривизна kкривою пов'язана з кривизною k nнормального перерізу (з тією ж дотичною) формулою Меньє:

Координати орта нормалі для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

	Координати нормалі у точці поверхні
неявне завдання
явне завдання
параметричне завдання

Кривизна

Для різних напрямків у заданій точці поверхні виходить різна кривизна нормального перерізу, яка називається нормальною кривизною; їй приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде у тому напрямі, як і нормаль до поверхні, чи мінус, якщо напрями нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, у кожній точці поверхні існують два перпендикулярні напрямки e 1 та e 2 , у яких нормальна кривизна набуває мінімального та максимального значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривизна за всіма напрямками однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки в точці – головні.

Поверхні з негативною (ліворуч), нульовою (у центрі) та позитивною (праворуч) кривизною.

Нормальні кривизни в головних напрямках називаються головними кривизнами; позначимо їх κ 1 і κ 2 . Величина:

називається гаусової кривизною, повною кривизноюабо просто кривизноюповерхні. Зустрічається також термін скаляр кривизни, який передбачає результат згортки тензора кривизни; при цьому скаляр кривизни вдвічі більший, ніж гаусова кривизна.

Гауссова кривизна може бути обчислена через метрику і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (зазначимо, що головні кривизни до внутрішньої геометрії не належать). За знаком кривизни можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривизна площини дорівнює нулю. Кривизна сфери радіуса R всюди дорівнює. Існує і поверхня постійної негативної кривизни – псевдосфера.

Геодезичні лінії, геодезична кривизна

Крива на поверхні називається геодезичною лінією, або просто геодезичною, якщо у всіх її точках головна нормаль до кривої збігається з нормаллю до поверхні. Приклад: на площині геодезичними будуть прямі та відрізки прямих, на сфері – великі кола та їх відрізки.

Еквівалентне визначення: у геодезичної лінії проекція її головної нормалі на площину, що стикається, є нульовий вектор. Якщо крива не є геодезичною, то вказана ненульова проекція; її довжина називається геодезичною кривизною k gкриві на поверхні. Має місце співвідношення:

де k- кривизна даної кривої, k n- кривизна її нормального перерізу із тією ж дотичною.

Геодезичні лінії відносяться до внутрішньої геометрії. Перелічимо їх основні характеристики.

• Через дану точку поверхні у заданому напрямку проходить одна і лише одна геодезична.
• На досить малій ділянці поверхні дві точки завжди можна з'єднати геодезичною, і до того ж лише однією. Пояснення: на сфері протилежні полюси з'єднує нескінченну кількість меридіанів, а дві близькі точки можна з'єднати не лише відрізком великого кола, а й його доповненням до повного кола, тому однозначність дотримується лише в малому.
• Геодезична є найкоротшою. Суворіше: на малому шматку поверхні найкоротший шлях між заданими точками лежить по геодезичній.

Площа

Ще один важливий атрибут поверхні – її площаяка обчислюється за формулою:

У координатах отримуємо:

	явне завдання	параметричне завдання
вираз для площі

Поверхня визначається як безліч точок, координати яких задовольняють певному виду рівнянь:

Якщо функція F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))безперервна в деякій точці і має в ній безперервні приватні похідні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то в околиці цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

Крім зазначеного вище неявного способу завдання, поверхня може бути визначена явноякщо одну зі змінних, наприклад, z, можна виразити через інші:

Суворіше, простою поверхнею називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного і взаємно безперервного відображення) начинки одиничного квадрата. Цьому визначенню можна надати аналітичний вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат , координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівності 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

прикладом простий поверхніє півсфера. Вся ж сфера не є простою поверхнею. Це викликає необхідність узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є околиця, що є простою поверхнею, називається правильною поверхнею .

Поверхня у диференціальній геометрії

Гелікоїд

Катеноїд

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрики гелікоїда і катеноїда, параметризованих відповідним чином, збігаються, тобто між їх областями існує відповідність, що зберігає всі довжини (ізометрію). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньою геометрієюповерхні. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні у просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування та стиснення (наприклад, при згинанні циліндра в конус).

Метричні коефіцієнти E, F, G (\displaystyle E,\F,\G)визначають як довжини всіх кривих, а й взагалі результати всіх вимірів всередині поверхні (кути, площі, кривизна та інших.). Тому все, що залежить лише від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.

Нормаль та нормальний переріз

Вектори нормали у точках поверхні

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль- одиничний вектор, перпендикулярний дотичній площині заданої точки:

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль поверхні в заданій точці, утворює деяку криву, яка називається нормальним перетиномповерхні. Головна нормаль для нормального перерізу збігається з нормаллю поверхні (з точністю до знака).

Якщо ж крива на поверхні не є нормальним перетином, її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні деякий кут θ (\displaystyle \theta). Тоді кривизна k (\displaystyle k)кривою пов'язана з кривизною k n (\displaystyle k_(n))нормального перерізу (з тією ж дотичною) формулою Меньє:

Координати орта нормалі для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

Тут D(y, z) D(u, v) = | y u ' y v ' z u ' z v ' | , D(z, x) D(u, v) = | z u ' z v ' x u ' x v ' | , D (x, y) D (u, v) = | x u ' x v ' y u ' y v ' | (\displaystyle (\frac (D(y,z)))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Усі похідні беруться у точці (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0), y_(0), z_(0))).

Кривизна

Для різних напрямків у заданій точці поверхні виходить різна кривизна нормального перерізу, яка називається нормальною кривизною; їй приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде у тому напрямі, як і нормаль до поверхні, чи мінус, якщо напрями нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, у кожній точці поверхні існують два перпендикулярні напрямки e 1 (\displaystyle e_(1))і e 2 (\displaystyle e_(2)), в яких нормальна кривизна набуває мінімального та максимального значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривизна за всіма напрямками однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки в точці – головні.

Поверхні з негативною (ліворуч), нульовою (у центрі) та позитивною (праворуч) кривизною.

Нормальні кривизни в головних напрямках називаються головними кривизнами; позначимо їх κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))і κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Величина:

називається гаусової кривизною, повною кривизною або просто кривизною поверхні. Зустрічається також термін скаляр кривизни, який передбачає результат згортки тензора кривизни; при цьому скаляр кривизни вдвічі більший, ніж гаусова кривизна.

Гауссова кривизна може бути обчислена через метрику і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (зазначимо, що головні кривизни до внутрішньої геометрії не належать). За знаком кривизни можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривизна площини дорівнює нулю. Кривизна сфери радіуса R всюди дорівнює 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Існує і поверхня постійної негативної кривизни.

Зокрема, про те, що ви бачите в заголовку. Фактично, це «просторовий аналог» завдання знаходження дотичноїі нормалідо графіка функції однієї змінної, і тому жодних труднощів виникнути не повинно.

Почнемо з базових питань: ЩО ТАКЕ дотична площина і ЩО ТАКЕ нормаль? Багато хто усвідомлює ці поняття на рівні інтуїції. Найпростіша модель, що спадає на думку – це куля, на якій лежить тонка плоска картонка. Картонка розташована максимально близько до сфери та стосується її в єдиній точці. Крім того, в точці торкання вона закріплена голкою, що стирчить строго вгору.

Теоретично існує досить дотепне визначення дотичної площині. Уявіть довільну поверхняі точку, що їй належить. Очевидно, що через точку проходить багато просторових лінійякі належать даній поверхні. У кого які асоціації? =) … особисто я представив восьминога. Припустимо, що кожна така лінія існує просторова дотичнау точці.

Визначення 1: дотична площинадо поверхні у точці – це площина, Що містить дотичні до всіх кривих, які належать даній поверхні і проходять через точку .

Визначення 2: нормальдо поверхні у точці – це пряма, що проходить через цю точку перпендикулярно дотичній площині.

Просто та витончено. До речі, щоб ви не померли з нудьги від простоти матеріалу, трохи пізніше я поділюся з вами одним витонченим секретом, який дозволяє РАЗ І НАЗАВЖДИ забути про зубріжку різних визначень.

З робочими формулами та алгоритмом рішення познайомимося прямо на конкретному прикладі. У переважній більшості завдань потрібно скласти і рівняння дотичної площини, і рівняння нормалі:

Приклад 1

Рішення:якщо поверхня задана рівнянням (тобто неявно), то рівняння дотичної площини до даної поверхні в точці можна знайти за такою формулою:

Особливу увагу звертаю на незвичайні приватні похідні. не слід плутатиз приватними похідними неявно заданої функції (хоча поверхня задана неявно). При знаходженні цих похідних слід керуватися правилами диференціювання функції трьох змінних, тобто, при диференціюванні по будь-якій змінній, дві інші літери вважаються константами:

Не відходячи від каси, знайдемо похідну в точці:

Аналогічно:

Це був найнеприємніший момент вирішення, в якому помилка якщо не допускається, то завжди мерехтить. Тим не менш, тут існує ефективний прийом перевірки, про який я розповідав на уроці Похідна за напрямом та градієнт.

Усі «інгредієнти» знайдені і тепер справа за акуратною підстановкою з подальшими спрощеннями:

– загальне рівнянняшуканої дотичної площини.

Настійно рекомендую проконтролювати цей етап рішення. Спочатку потрібно переконатися, що координати точки дотику справді задовольняють знайденому рівнянню:

- Правильна рівність.

Тепер «знімаємо» коефіцієнти загального рівняння площини і перевіряємо їх щодо збігу чи пропорційності з відповідними значеннями . У разі пропорційні. Як ви пам'ятаєте з курсу аналітичної геометрії, - це вектор нормалідотичної площини, і він же – напрямний векторнормальної прямої. Складемо канонічні рівняннянормалі по точці і напрямному вектору:

В принципі, знаменники можна скоротити на «двійку», але особливої ​​потреби в цьому немає

Відповідь:

Рівняння можна позначити якими-небудь літерами, проте, знову ж таки – навіщо? Тут і так цілком зрозуміло, що до чого.

Наступні два приклади самостійного рішення. Невелика «математична скоромовка»:

Приклад 2

Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

І завдання, цікаве з технічного погляду:

Приклад 3

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці

У точці.

Тут є всі шанси не тільки заплутатися, а й зіткнутися з труднощами під час запису канонічних рівнянь прямої. А рівняння нормалі, як ви, мабуть, зрозуміли, заведено записувати саме в такому вигляді. Хоча, через забудькуватість або незнання деяких нюансів більш ніж прийнятна і параметрична форма.

Зразки чистового оформлення рішень наприкінці уроку.

У будь-якій точці поверхні існує дотична площина? Загалом, звичайно, ні. Класичний приклад – це конічна поверхня і точка - дотичні у цій точці безпосередньо утворюють конічну поверхню, і, зрозуміло, не лежать в одній площині. У негараздах легко переконатися і аналітично: .

Іншим джерелом проблем є факт неіснуваннябудь-якої приватної похідної в точці. Однак це ще не означає, що в даній точці немає єдиної площини.

Але то була, скоріше, науково-популярна, ніж практично значуща інформація, і ми повертаємося до справ насущних:

Як скласти рівняння дотичної площини та нормалі в точці,
якщо поверхня задана явною функцією?

Перепишемо її в неявному вигляді:

І за тими ж принципами знайдемо приватні похідні:

Таким чином, формула дотичної площини трансформується у наступне рівняння:

І, відповідно, канонічні рівняння нормалі:

Як неважко здогадатися, – це вже «справжні» приватні похідні функції двох змінниху точці , які ми звикли позначати буквою «зет» і знаходили 100 500 разів.

Зауважте, що у цій статті досить запам'ятати найпершу формулу, з якої у разі потреби легко вивести все інше (зрозуміло, маючи базовий рівень підготовки). Саме такий підхід слід використовувати під час вивчення точних наук, тобто. з мінімуму інформації треба прагнути «витягувати» максимум висновків та наслідків. «Розумів» і вже наявні знання на допомогу! Цей принцип корисний ще й тим, що з великою ймовірністю врятує критичної ситуації, коли ви знаєте дуже мало.

Відпрацюємо «модифіковані» формули кількома прикладами:

Приклад 4

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Невелика тут накладка вийшла з позначеннями – тепер буква позначає точку площини, але що вдієш – така вже популярна буква….

Рішення: рівняння шуканої дотичної площини складемо за формулою:

Обчислимо значення функції в точці:

Обчислимо приватні похідні 1-го порядкуу цій точці:

Таким чином:

акуратно, не поспішаємо:

Запишемо канонічні рівняння нормалі в точці:

Відповідь:

І заключний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Останній – тому, що практично всі технічні моменти я роз'яснив і додати особливо нічого. Навіть самі функції, пропоновані в даному завданні, похмурі й одноманітні – майже гарантовано на практиці вам попадеться «багаточлен», і в цьому сенсі Приклад №2 з експонентою виглядає «білою вороною». До речі, набагато вірогідніше зустріти поверхню, задану рівнянням, і це ще одна причина, через яку функція увійшла до статті «другим номером».

І насамкінець обіцяний секрет: як же уникнути зубріння визначень? (я, звичайно, не маю на увазі ситуацію, коли студент щось гарячково зубрить перед іспитом)

Визначення будь-якого поняття/явлення/об'єкта насамперед дає відповідь на наступне запитання: ЩО ЦЕ ТАКЕ? (хто/така/ такий/такі). Усвідомленовідповідаючи на це питання, ви повинні постаратися відобразити суттєвіознаки, однозначноідентифікують те чи інше поняття/явище/об'єкт. Так, спочатку це виходить дещо недорого, неточно і надмірно (виклад поправить =)), але з часом розвивається цілком гідна наукова мова.

Потренуйтеся на найбільш абстрактних об'єктах, наприклад, дайте відповідь на запитання: хто такий Чебурашка? Не так все просто;-) Це «казковий персонаж з великими вухами, очима і коричневою вовною»? Далеко і дуже далеко від визначення - чи мало персонажів з такими характеристиками. А ось це вже набагато ближче до визначення: «Чебурашка – це персонаж, придуманий письменником Едуардом Успенським у 1966 р., який…(перерахування основних відмінних ознак)». Зверніть увагу, як грамотно розпочато