Квадратні нерівності. Як вирішувати кубічні рівняння Вирази через гіперболічні функції

У кубічному рівнянні найвищим показником ступеня є 3, у такого рівняння 3 корені (рішення) і воно має вигляд . Деякі кубічні рівняння не так просто вирішити, але якщо застосувати правильний метод (при хорошій теоретичній підготовці), можна знайти коріння навіть найскладнішого кубічного рівняння - для цього скористайтеся формулою для розв'язання квадратного рівняння, знайдіть цілі корені або обчисліть дискримінант.

Кроки

Як вирішити кубічне рівняння без вільного члена

З'ясуйте, чи є у кубічному рівнянні вільний член d (\displaystyle d) . Кубічне рівняння має вигляд a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Щоб рівняння вважалося кубічним, достатньо, щоб у ньому був присутній тільки член x 3 (\displaystyle x^(3))(тобто інших членів може взагалі бути).

Винесіть за дужки x (\displaystyle x) . Оскільки у рівнянні немає вільного члена, кожен член рівняння включає змінну x (\displaystyle x). Це означає, що один x (\displaystyle x)можна винести за дужки, щоб спростити рівняння. Таким чином, рівняння запишеться так: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Розкладіть на множники (на добуток двох біномів) квадратне рівняння (якщо можливо).Багато квадратних рівнянь виду a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0)можна розкласти на множники. Таке рівняння вийде, якщо винести x (\displaystyle x)за дужки. У прикладі:

Розв'яжіть квадратне рівняння за допомогою спеціальної формули.Зробіть це, якщо квадратне рівняння не можна розкласти на множники. Щоб знайти два корені рівняння, значення коефіцієнтів a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)підставте у формулу.

• У нашому прикладі підставте значення коефіцієнтів a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) у формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2))\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164))))(6)))
• Перший корінь: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164))))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• Другий корінь: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Використовуйте нуль і коріння квадратного рівняння як рішення кубічного рівняння.У квадратних рівнянь два корені, а у кубічних – три. Два рішення ви вже знайшли – це коріння квадратного рівняння. Якщо ви винесли «х» за дужки, третім рішенням буде .

   Як знайти ціле коріння за допомогою множників

   1. Переконайтеся, що у кубічному рівнянні є вільний член d (\displaystyle d) . Якщо у рівнянні виду a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)є вільний член d (\displaystyle d)(який не дорівнює нулю), винести «х» за дужки не вийде. У цьому випадку скористайтеся методом, викладеним у цьому розділі.

      Випишіть множники коефіцієнта a (\displaystyle a) та вільного члена d (\displaystyle d) . Тобто знайдіть множники числа при x 3 (\displaystyle x^(3))та числа перед знаком рівності. Нагадаємо, що множниками числа є числа, при перемноженні яких виходить це число.

      Розділіть кожен множник a (\displaystyle a) на кожен множник d (\displaystyle d) . У результаті вийде безліч дробів та кілька цілих чисел; корінням кубічного рівняння буде одне з цілих чисел або негативне значення одного з цілих чисел.

      • У нашому прикладі розділіть множники a (\displaystyle a) (1 і 2 ) на множники d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 і 6 ). Ви отримаєте: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)та . Тепер до цього списку додайте негативні значення отриманих дробів і чисел: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))і − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Цілим корінням кубічного рівняння є якісь числа з цього списку.

   2. Підставте цілі числа у кубічне рівняння.Якщо при цьому рівність дотримуються, підставлена ​​кількість є коренем рівняння. Наприклад, підставте рівняння 1 (\displaystyle 1):

      Скористайтеся методом поділу багаточленів за схемою Горнера, щоб швидше знайти коріння рівняння.Зробіть це, якщо не хочете вручну підставляти числа рівняння. У схемі Горнера цілі числа поділяються на значення коефіцієнтів рівняння a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)і d (\displaystyle d). Якщо числа діляться націло (тобто залишок дорівнює), ціле число є коренем рівняння.

Число еє важливою математичною константою, яка є основою натурального логарифму. Число еприблизно дорівнює 2,71828 з межею (1 + 1/n)n при n , що прагне нескінченності.

Введіть значення x, щоб знайти значення експонентної функції ex

Для обчислення чисел із літерою Eвикористовуйте калькулятор перетворення експоненційного числа на ціле число

Повідомити про помилку

‘; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display ':'inline-block')); $(«#boxadno»).remove(); #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first ; first').css(('display':'none')); submit:first').parent().prepend(»); 32000); ) Вам допоміг цей калькулятор?
Поділіться цим калькуляторомзі своїми друзями на форумі або у мережі.

Тим самим Видопоможете Наму розробці нових калькуляторівта доопрацюванні старих.

Калькулятор алгебри Розрахунок

Число e є важливою математичною константою, що лежить в основі натурального логарифму.

0,3 при потужності x, помноженої на 3 за потужністю x, однакові

Число е становить приблизно 2,71828 з межею (1 + 1/n) n для n, яке прагне нескінченності.

Це також називається числом Ейлера або числом Непера.

Експонентна — експонентна функція f(x) = exp(x) = ex, де e — число Ейлера.

Введіть значення x, щоб знайти значення експонентної функції ex

Обчислення значення експоненційної функції у мережі.

Коли число Ейлера (e) піднімається до нуля, відповідь дорівнює 1.

Коли ви піднімаєте до рівня більше одного, відповідь буде більшою, ніж вихідна. Якщо швидкість більша за нуль, але менша за 1 (наприклад, 0,5), відповідь буде більшою за 1, але меншою за оригінал (позначка E). Коли показник зростає до негативної потужності, 1 потрібно розділити на число е задану потужність, але зі знаком «плюс».

Визначення

експонентЦе експоненційна функція y(x) = ex, похідна якої збігається із самою функцією.

Показник відзначений як або.

Номер e

Підставою експоненти є число е.

Це ірраціональне число. Це приблизно те саме
е ≈ 2,718281828459045 …

Число e визначається за кордоном послідовності. Це, так звана, інша виняткова межа:
.

Число e також може бути подане у вигляді ряду:
.

Графік експонент

На графіку показаний показник ступеня, еу стадії х.
y(x) = ex
Графік показує, що монотонно зростає експоненційно.

формула

Основні формули самі, як і для експоненційної функції з основою рівня e.

Вираз експоненційних функцій з довільним базисом, а в сенсі експоненти:
.

також відділ "Експоненційна функція" >>>

Приватні цінності

Нехай y(x) = e x.

5 до потужності x і дорівнює 0

Експонентні властивості

Показник має властивості експоненційної функції з базисом ступеня е> перший

Поле визначення, набір значень

Для x визначається показник y(x) = e x.
Його обсяг:
— ∞ < x + ∞.
Його значення:
0 < Y < + ∞.

Крайності, збільшення, зменшення

Експонента є монотонною зростаючою функцією, тому вона не має екстремумів.

Його основні властивості показані у таблиці.

Зворотня функція

Назад є природним логарифмом.
;
.

Похідні показників

похідне еу стадії хЦе еу стадії х :
.
Похідний N-порядок:
.
Виконання формул > > >

інтеграл

також відділ "Таблиця невизначених інтегралів" >>>

Комплексні номери

Операції з комплексними числами виконуються за допомогою Формула Ейлера:
,
де уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

Вирази через тригонометричні функції

Розширення статечних рядів

Коли x дорівнює нулю?

Звичайний або онлайн-калькулятор

Звичайний калькулятор

Стандартний калькулятор дає вам прості операції в калькуляторі, такі як додавання, віднімання, множення та поділ.

Ви можете використовувати швидкий математичний калькулятор

Науковий калькулятор дозволяє виконувати більш складні операції, а також калькулятор, такий як синус, косинус, інверсний синус, зворотний косинус, що стосується, тангенс, показник експонентів, показник, логарифм, інтерес, а також бізнес у веб-калькуляторі пам'яті.

Ви можете вводити безпосередньо з клавіатури, спочатку натисніть область за допомогою калькулятора.

Він виконує прості операції з числами, а також складніші, такі як
математичний калькулятор онлайн.
0 + 1 = 2.
Ось два калькулятори:

1. Обчислити перше як завжди
2. Інший вважає його як інженерне

Правила застосовуються до калькулятора, розрахованого на сервері

Правила введення термінів та функцій

Для чого мені цей онлайн-калькулятор?

Онлайн-калькулятор - як він відрізняється від звичайного калькулятора?

По-перше, стандартний калькулятор не підходить для транспорту, а по-друге, тепер інтернет практично всюди, це не означає, що є проблеми, зайдіть на наш сайт і використовуйте веб-калькулятор.
Онлайн-калькулятор - як він відрізняється від Java-калькулятора, а також від інших калькуляторів для операційних систем?

- Знову - мобільність. Якщо ви перебуваєте на іншому комп'ютері, вам не потрібно його встановлювати заново
Отже, використовуйте цей веб-сайт!

Вирази можуть складатися з функцій (запис у алфавітному порядку):

абсолютний (x)Абсолютне значення х
(модуль хабо | x |) arccos (x)Функція - аркоксин з хarccosh (x)Арксозин є гіперболічним хarcsin (x)Окремий син хarcsinh (x) HyperX гіперболічний хarctg (x)Функція - арктангенс з хarctgh (x)Арктангенс є гіперболічним хеечисло - близько 2,7 exp(x)Функція – показник х(як е^х) log(x)або ln(x)Природний логарифм х
(Так log7 (x), Необхідно ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10 (x)= log (x) / log (10)) піЧисло «Pi», яке становить близько 3,14 sin(x)Функція - Сінус хcos(x)Функція - Конус від хsinh(x)Функція - Синус гіперболічний хcosh (x)Функція - косинус-гіперболічний хsqrt (x)Функція являє собою квадратний корінь з хsqr (x)або x ^ 2Функція – квадрат хtg (x)Функція - Тангенс від хtgh (x)Функція - дотична гіперболічна від хcbrt (x)Функція є кубічним коренем. хґрунт (х)Функція округлення хна нижній стороні (приклад ґрунту (4.5) == 4.0) символ (x)Функція – символ хerf (x)Функція помилки (Лаплас або інтеграл ймовірності)

Наступні операції можна використовувати у термінах:

Реальні числавведіть у форму 7,5 , не 7,5 2*x- множення 3/х- Поділ x^3- eksponentiacija x + 7— Крім того, x - 6- Зворотній відлік

Завантажити PDF

Показові рівняння – це рівняння виду

x -невідомий показник ступеня,

aі b- Деякі числа.

Приклади показового рівняння:

А рівняння:

вже не будуть показовими.

Розглянемо приклади розв'язання показових рівнянь:

приклад 1.
Знайдіть корінь рівняння:

Наведемо ступеня до однакової основи, щоб скористатися властивістю ступеня з дійсним показником

Тоді можна буде прибрати основу ступеня та перейти до рівності показників.

Перетворимо ліву частину рівняння:

Перетворимо праву частину рівняння:

Використовуємо властивість ступеня

Відповідь: 4,5.

приклад 2.
Розв'яжіть нерівність:

Розділимо обидві частини рівняння на

Зворотна заміна:

Відповідь: x = 0.

Розв'яжіть рівняння і знайдіть коріння на заданому проміжку:

Наводимо всі доданки до однакової основи:

Заміна:

Шукаємо коріння рівняння, шляхом підбору кратних вільному члену:

- Підходить, т.к.

рівність виконується.
- Підходить, т.к.

Як вирішити? e^(x-3) = 0 е у ступені х-3

рівність виконується.
- Підходить, т.к. рівність виконується.
- Не підходить, т.к. рівність не виконується.

Зворотна заміна:

Число звертається до 1, якщо його показник дорівнює 0

Чи не підходить, т.к.

Права частина дорівнює 1, т.к.

Звідси:

Розв'яжіть рівняння:

Заміна: тоді

Зворотна заміна:

1 рівняння:

якщо основи чисел рівні, то їх показники будуть рівні, то

2 рівняння:

Логарифмуємо обидві частини на підставі 2:

Показник ступеня постає перед виразом, т.к.

Ліва частина дорівнює 2x, т.к.

Звідси:

Розв'яжіть рівняння:

Перетворимо ліву частину:

Перемножуємо ступеня за формулою:

Спростимо: за формулою:

Представимо у вигляді:

Заміна:

Перекладемо дріб у неправильний:

a2 не підходить, т.к.

Зворотна заміна:

Приводимо до загальної основи:

Якщо

Відповідь: x = 20.

Розв'яжіть рівняння:

О.Д.З.

Перетворимо ліву частину за формулою:

Заміна:

Обчислюємо корінь із дискримінанта:

a2 не підходить, т.к.

а не набуває негативних значень

Приводимо до загальної основи:

Якщо

Зводимо у квадрат обидві частини:

Редактори статті: Гавриліна Ганна Вікторівна, Агєєва Любов Олександрівна

Повернутися до тем

Переклад великої статті "An Intuitive Guide To Exponential Functions & e"

Число e завжди хвилювало мене – не як буква, а як математична константа.

Що число е означає насправді?

Різні математичні книги і навіть моя улюблена Вікіпедія описує цю величну константу абсолютно безглуздим науковим жаргоном:

Математична константа є підставою натурального логарифму.

Якщо зацікавитеся, що таке натуральний логарифм, знайдете таке визначення:

Натуральний логарифм, раніше відомий як гіперболічний логарифм, є логарифмом з основою е, де е - ірраціональна константа, що дорівнює 2.718281828459.

Визначення, звісно, ​​правильні.

Але зрозуміти їх дуже складно. Звичайно, Вікіпедія в цьому не винна: ​​зазвичай математичні пояснення сухі та формальні, складаються по всій суворості науки. Через це новачкам складно освоювати предмет (а колись кожен був новачком).

З мене вистачить! Сьогодні я ділюся своїми високоінтелектуальними міркуваннями про те, що таке число еі чим воно так круто! Відкладіть свої товсті математики, що наводять страх, убік!

Число е – це не просто число

Описувати її як «константу, приблизно рівну 2,71828…» - це однаково, що називати число пі «ірраціональним числом, приблизно рівним 3,1415…».

Безперечно, так і є, але суть, як і раніше, вислизає від нас.

Число пі - це співвідношення довжини кола до діаметра, однакове для всіх кіл. Це фундаментальна пропорція, властива всім колам, а отже, вона бере участь у обчисленні довжини кола, площі, об'єму та площі поверхні для кіл, сфер, циліндрів тощо.

Пі показує, що це кола пов'язані, не кажучи вже про тригонометричних функціях, що виводяться з кіл (синус, косинус, тангенс).

Число е є базовим співвідношенням зростання всім безперервно зростаючих процесів.Число е дозволяє взяти простий темп приросту (де різниця видно тільки в кінці року) і обчислити складові цього показника, нормальне зростання, при якому з кожною наносекундою (або навіть швидше) все зростає ще трохи.

Число е бере участь як у системах з експоненційним, так і постійним зростанням: населення, радіоактивний розпад, підрахунок відсотків, і багато інших.

Навіть ступінчасті системи, які не ростуть рівномірно, можна апроксимувати за допомогою числа е.

Також, як будь-яке число можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії 1 (базової одиниці), будь-яке коло можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії одиничного кола (з радіусом 1).

Дано рівняння: е у ступені х = 0. Чому дорівнює х?

І будь-який коефіцієнт зростання може бути розглянутий у вигляді «масштабованої» версії е («одиничного» коефіцієнта зростання).

Отже число е – це випадкове, взяте навмання число. Число е втілює у собі ідею, що це безперервно зростаючі системи є масштабованими версіями однієї й тієї ж показника.

Поняття експоненційного зростання

Почнемо з розгляду базової системи, яка подвоюється за певний період.

Наприклад:

• Бактерії діляться і подвоюються в кількості кожні 24 години.
• Ми отримуємо вдвічі більше локшин, якщо розламуємо їх навпіл
• Ваші гроші щороку збільшуються вдвічі, якщо ви отримуєте 100% прибутку (щасливчик!)

І виглядає це приблизно так:

Розподіл на два чи подвоювання – це дуже проста прогресія. Звичайно, ми можемо потроїти або затвердити, але подвоєння зручніше для пояснення.

Математично, якщо у нас є їх поділів, ми отримуємо в 2^x разів більше добра, ніж було спочатку.

Якщо зроблено лише 1 розбиття, отримуємо в 21 рази більше. Якщо розбиття 4, у нас вийде 2^4=16 частин. Загальна формула виглядає так:

Інакше кажучи, подвоєння – це 100% зростання.

Ми можемо переписати цю формулу так:

зростання = (1+100%) x

Це та сама рівність, ми лише розділили «2» на складові, якими по суті і є це число: початкове значення (1) плюс 100%. Розумно, так?

Звичайно, ми можемо підставити будь-яке інше число (50%, 25%, 200%) замість 100% і отримати формулу зростання для цього нового коефіцієнта.

Загальна формула для х періодів тимчасового ряду матиме вигляд:

зростання = (1+приріст)x

Це просто означає, що ми використовуємо норму повернення (1 + приріст), «х» разів поспіль.

Придивимося ближче

Наша формула передбачає, що приріст відбувається дискретними кроками. Наші бактерії чекають, чекають, а потім бац!, і в останню хвилину вони подвоюються у кількості. Наш прибуток за відсотками депозиту магічним чином з'являється рівно через 1 рік.

На основі формули, написаної вище, прибуток зростає східчасто. Зелені крапки з'являються раптово.

Але світ не завжди такий.

Якщо ми збільшимо картинку, побачимо, що наші друзі-бактерії діляться постійно:

Зелений малий не виникає з нічого: він повільно виростає із синього батька. Після 1 періоду часу (24 години в нашому випадку), зелений друг повністю дозрів. Подорослішавши, він стає повноцінним синім членом стада і може створювати нові зелені клітини сам.

Ця інформація якось змінить наше рівняння?

У випадку з бактеріями, напівсформовані зелені клітини все ж таки не можуть нічого робити, поки не виростуть і зовсім не відокремляться від своїх синіх батьків. Отже, рівняння справедливе.

У наступній статті ми подивимося на приклад експонентного зростання ваших грошей.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке "квадратна нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якеквадратне рівняння та замінити в ньому знак "=" (рівно) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), вийде квадратна нерівність. Наприклад:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, ви зрозуміли...)

Я не дарма тут зв'язав рівняння та нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якогоквадратної нерівності - вирішити рівняння, з якого ця нерівність зроблена.З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу та в нерівностях. Натяки зрозумілі?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все докладно розписано. А у цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готова для вирішення нерівність має вигляд: ліворуч - квадратний тричлен ax 2 +bx+c, праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-яким. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.