Розмір: px
Починати показ зі сторінки:
Транскрипт
1 Тема 8. Показова та логарифмічна функції. 1. Показова функція, її графік та властивості У практиці часто використовуються функції y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x і т. д., тобто функція виду y=a x , де a - задане число, x – змінна. Такі функції називають показовими. Ця назва пояснюється тим, що аргументом показової функції є показник ступеня, а основою ступеня – задане число. Функція, задана формулою y=a x (де a>0,a 1) називається показовою функцією з основою a. Сформулюємо основні властивості показової функції: 1. Область визначення – безліч R дійсних чисел. 2. Область значень – безліч R+ всіх позитивних дійсних чисел. 3. При a>1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0
2 2) для випадку 0
3 Графік функції y=(1 2x), також проходить через точку (0;1) і розташований вище за осі Ox Якщо x>0 і зростає, то графік швидко наближається до осі Ox (не перетинаючи її); якщо x<0 и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции y=a x, если 0
4 q a p 4. a 4 = 1 a 4. Якщо p q -звичайна дріб (p> 0, q 1) і a> 0, то під a p q розуміють p q, тобто. aq = a p = = 7 5,a = = (4 3) 2 = 4 2 = 16 Зверни увагу! Математики домовилися зводити в дрібні ступені лише невід'ємні числа (це обумовлено у визначенні). Отже запис виду (8) 1 3 вважається в математиці позбавленої сенсу. Якщо p-звичайний дріб (q 1) і a> 0, то під q a p q розуміють 1, тобто. a p q = 1,a>0 p aq Можна виділити три основні методи розв'язання показових рівнянь, які наводяться в наступних теоретичних матеріалах даного розділу. 3. Функціонально-графічний метод Метод заснований на використанні графічних ілюстрацій чи будь-яких властивостей функцій. В одній системі координат будуємо графіки функцій, записані в лівій і правій частинах рівняння, потім, знаходимо точку (точки) їх перетину. Абсцис знайденої точки є рішенням рівняння. 1. Розв'язати рівняння 5 x =6 x Побудуємо в одній системі координат графіки функцій y=5 x та y=6 x p aq 4
5 Вони перетинаються в одній точці (1; 5). Перевірка показує, що насправді точка (1; 5) задовольняє рівняння y=5 x, і рівняння y=6 x. Абсцис цієї точки є єдиним коренем за даного рівняння, Оскільки y = 5 x зростаюча функція, а y = 6 x спадна функція. Отже, рівняння 5 x = 6 x має єдиний корінь x = 1. 2. Розв'язати рівняння: (1 3) x = 3; Побудувавши в одній системі координат графіки функцій y=(1 3)x та y=3, 5
6 помічаємо (див. рис.), що вони мають одну загальну точку (-1; 3). Значить, рівняння (13) x = 3; має єдиний корінь x= 1. Отже, з рівняння (1 3)x =(1 3)-1 ми отримали x= Метод зрівнювання показників Так як рівність a t =a s, де a>0,a 1 справедлива тоді і тільки тоді, коли t=s, то вірно наступне твердження: Показове рівняння a f(x) = a g(x) (де a>0, a 1) рівнозначне рівняння f(x)=g(x). 1. Розв'язати рівняння: 2 2x 4 =64 Представивши 64 як 2 6, перепишемо задане рівняння у вигляді 2 2x 4 =2 6 Це рівняння рівносильне рівнянню 2x 4=6, звідки знаходимо: x=5 2. Розв'язати рівняння: (1 2x 3,5 = 13; Представимо 13 як перепишемо задане рівняння у вигляді (13) 2x 3,5 =(13) 0,5. Це рівняння дорівнює рівнянню 2x 3,5=0,5, звідки знаходимо: x=2. 6
7 5. Метод введення нової перемінної: Спосіб підстановки застосовується у більш складних прикладах. Він полягає у наступному. Показове рівняння можна вирішити, ввівши нове позначення. Після підстановки у вихідне рівняння нового позначення, отримаємо нове, простіше рівняння, вирішивши яке, повертаємося до підстановки і знаходимо коріння вихідного рівняння. Розглянемо метод підстановки на прикладах. Розв'язати рівняння: 9 x 4 3 x 45=0. Заміною 3 x =t це рівняння зводиться до квадратного рівняння t 2 4t 45=0. Розв'язуючи це рівняння, знаходимо його коріння: t 1 =9, t 2 = 5, звідки 3 x =9, 3 x = 5. оскільки показова функція неспроможна приймати негативні значення. x=2. Розв'язати рівняння: 4 x +2 x+1 24=0 Помітивши, що 4 x =(2 2) x =2 2x, а 2 x+1 =2 2 x перепишемо задане рівняння у вигляді (2 x)2+2 2 x 24 = 0. Введемо нову змінну y = 2 x; тоді рівняння набуде вигляду y 2 +2y 24=0. Розв'язавши квадратне рівняння щодо y, знаходимо: y 1 =4, y 2 = 6. Але y=2 x значить нам залишається вирішити два рівняння: 2 x =4; 2 x = 6. З першого рівняння знаходимо x=2, а друге рівняння немає коренів, оскільки за будь-яких значеннях x виконується нерівність 2 x >0. Відповідь: Показові нерівності Показовими нерівностями називають нерівності виду a f (x) > a g (x), де a - позитивне число, відмінне від 1, і нерівності, що зводяться до цього виду. Нерівності вирішуються за допомогою властивості зростання або зменшення показникової функції: - для зростаючої функції більшого значенняфункції відповідає більший аргумент - для спадної функції більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу. 7
8 Показова функція y=a x зростає при a>1 і зменшується при 0
9 Ця нерівність рівносильна нерівності того ж сенсу 2x 4>6, т.к. основа дорівнює 2>1 (a>1), звідки знаходимо x>5. Показова нерівність a f(x) >a g(x) рівнозначна нерівності протилежного сенсу f(x)
10 Логарифм на підставі 10 називають десятковим логарифмом, замість log 10 b пишуть lgb. Логарифм на основі е, де е - ірраціональне число, приблизно рівне 2,7, називають натуральним логарифмом. Замість log e b пишуть lnb. 8. Основне логарифмічне тотожність: Визначення логарифму можна ще записати так: a log a b = b, де b>0, a>0, a 1. Цю рівність називають основною логарифмічною тотожністю log 13 2 =2 9. Логарифмічна функція, її властивості та графік Функцію, задану формулою y=log a x, називають логарифмічною функцією з основою a. (a>0, a 1) 10
11 Основні властивості логарифмічної функції: 1. Область визначення логарифмічної функції - безліч позитивних чисел. D(f)=(0;+); 2. Безліч значень логарифмічної функції - безліч R всіх дійсних чисел. E(f)=(;+); 3. Логарифмічна функція по всій області визначення зростає при a>1 або зменшується при 0
12 2. y=log1 x основа 0<1/3<1 3 x /3 1/9 y=log13x Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x, где (a>0,a 1), взаємно зворотні. 12
13 10. Основні властивості логарифмів Розглянемо основні властивості логарифмів, які часто застосовуються при обчисленнях, при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей. Властивості, наведені нижче, виконуються якщо a>0,a 1,b>0,c>0,r - будь-яке дійсне число. 1. Логарифм добутку двох позитивних чисел дорівнює сумілогарифмів цих чисел log a (bc) = log a b + log a c 1.log 3 45 = log 3 (9 5) = log 3 9 + log 3 5 = 2 + log
14 2.log 6 4+log 6 9=log 6 36=2 3.lg2+lg5=lg(2 5)=lg10=1 2. Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника log a bc=log a b log a c 1 . log log1 3=log =log Логарифм ступеня. дорівнює творупоказника ступеня на логарифм основи ступеня log a b r =rlog a b 1.log =17log 2 2=17 1= Формули переходу від однієї основи логарифму до іншого Якщо a>0,a 1,b>0,c>0,c 1, то правильна рівність log a b= log c b log c a 1.log 2 3= lg3 lg2 2.log 3 2= log 7 2 log 7 3 Якщо a>0,a 1,b>0,b 1, то вірна рівність log a b= 1 log b a log 7 2= 1 log 2 7 Якщо a>0,a 1,b>0,r 0, то вірна рівність log a b=log a r b r 1.log 5 3=log Розв'язання логарифмічних рівнянь щодо визначення логарифму Рівняння, що містять змінну під знаком логарифму (в основі логарифми), називаються логарифмічними. Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння log a x=b, де основа a>1,a 1, а вираз, що стоїть під знаком логарифму, x>0. 14
15 Для будь-якого дійсного b це рівняння має єдине рішення x=a b Розв'язати рівняння log 2 x=3 Розв'язання. Спочатку знаходимо область допустимих значень (ОДЗ): x> 0, т.к. під знаком логарифму має бути позитивний вираз. Для вирішення даного рівняння, достатньо скористатися визначенням логарифму, тобто уявити число x як ступінь основи 2 логарифму, причому показник ступеня дорівнює 3. Знайдене значення належить ОДЗ, отже, є коренем рівняння. Відповідь: x = 8 Розв'язати рівняння log 3 (x 2 +72) = 4 Розв'язання. ОДЗ: x2+72>0 x R За визначенням логарифму отримуємо x 2 +72=3 4 x 2 +72=81 x =0 x 2 9=0 (x 3)(x+3)=0 x 1 =3, x 2 = 3 Відповідь: x 1 =3, x 2 = 3 Розв'язати рівняння: lg(x+1)+lg(x+4)=1. Рішення. За властивістю логарифму перетворюємо ліву частинуОДЗ lg(x+1)(x+4)=1 (x + 1 > 0 x + 4 > 0 lg(x+1)(x+4)=lg10 (x+1)(x+4)=10 ( x > 1 x > 4 15
16 x 2 +5x+4=10 x (1;+) x 2 +5x+4 10=0 x 2 +5x 6=0 За теоремою Вієта x1 + x2 = 5 ( x1 x2 = 6 x 1= 6, x 2 =1 x= 6 є коренем цього рівняння, т.к. не належить ОДЗ. )=g(x). Це випливає з монотонності логарифмічної функції. число, f(x) і g(x) - елементарні функції алгебри, f(x)>0, g(x)>0. серед отриманих вибрати ті, що належать ОДЗ рівняння log a f(x)=log a g(x) У разі, якщо рівняння f(x)=g(x) рішень немає, їх немає і вихідне логарифмическое рівняння. Розв'яжи рівняння: log 5 (x+1)=log 5 (2x 3) Розв'язання. Знаходимо ОДЗ: ( x + 1 > 0 2x 3 > 0 ( x > 12 2x > 3 ( x > 1 x > 1,5 x (1,5;+) Розв'язуємо рівняння x+1=2x 3 x 2x= 3 1 x= 4 x=4 належить інтервалу x (1,5;+), отже, є коренем вихідного логарифмічного рівняння Відповідь: x=4 16
17 14. Метод введення нової перемінної: Рівняння виду f(log a x)=0 вирішуються за допомогою підстановки t=log a x, яка наводить рівняння до виду f(t)=0. Якщо t корінь рівняння f(t)=0, після повернення до підстановці t=log a x, можна знайти корінь вихідного логарифмічного рівняння, тобто. x=a t (аналогічно перебувають і інші коріння, якщо вони є). 15. Логарифмування: Рівняння виду 2 x = 3; x log 3 x 2 =27 вирішуються логарифмування обох частин рівняння. логарифмування це перехід від рівняння f (x) = g (x) до рівняння log a f (x) = log a g (x) Розглянемо на прикладах. Розв'яжи рівняння 2 x =3 Розв'язок. Прологарифмуємо обидві частини рівняння на підставі 2 log 2 2 x = log 2 3 xlog 2 2 = log 2 3, т.к. log a b r = r log a b x 1 = log 2 3 x = log 2 3 Відповідь: x = log 2 3 Розв'яжи рівняння: x log 3 x 2 = 27 Розв'язання. ОДЗ: ( x > 0 x 1 x (0;1) (1;+) Прологарифмуємо обидві частини на підставі 3 log 3 x(log 3 x 2)=log 3 27 (log 3 x 2) log 3 x=3, т.к. 17
18 Повернемося до позначеного log 3 x=3 x 1 =3 3 =27 log 3 x= 1 x 2 =3 1 =1/3 Обидва значення належать ОДЗ. Відповідь: 1/3; Логарифмічні нерівності Розв'язання логарифмічних нерівностейзасноване на монотонності логарифмічної функції. Тому рішення нерівностей виду log a f (x)> log a g (x) зводиться до розв'язання відповідних нерівностей для функцій f (x) та g (x). Зверни увагу! Якщо основа a>1, переходять до нерівності f(x)>g(x) (знак нерівності не змінюється), т.к. у цьому випадку логарифмічна функція зростає. Якщо основа 0
19 x (2,5; +) x (2,5; +) ( x (; 3) 2,5 3 Відповідь: x (2,5; 3) Розв'язати нерівність log 0,5 (x 2) log 0, 5 (2x 12) Розв'язання. 5(2x 12) x 2x x 12 x 2x 12+2 x 10 x 10 x )