Лінійна функція
Лінійна функція- Це функція, яку можна задати формулою y = kx + b,
де x – незалежна змінна, k та b – деякі числа.
Графік лінійної функції є пряма.
Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої- Графіка функції y = kx + b.
Якщо k > 0, то кут нахилу прямої y = kx + b до осі хгострий; якщо k< 0, то этот угол тупой.
Якщо кутові коефіцієнти прямих, є графіками двох лінійних функцій, різні, ці прямі перетинаються. Якщо ж кутові коефіцієнти однакові, то прямі паралельні.
Графік функції y =kx +b, де k ≠ 0 є пряма, паралельна прямий y = kx.
Пряма пропорційність.
Прямою пропорційністюназивається функція, яку можна задати формулою y = kx, де х - незалежна змінна, k - не дорівнює нулю число. Число k називають коефіцієнтом прямої пропорційності.
Графік прямої пропорційності є прямою, що проходить через початок координат (див. рисунок).
Пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції.
Властивості функціїy =kx:
Зворотня пропорційність
Зворотною пропорційністюназивається функція, яку можна задати формулою:
k
y = -
x
де x- незалежна змінна, а k- Не дорівнює нулю число.
Графіком зворотної пропорційності є крива, яку називають гіперболою(Див. малюнок).
Для кривої, яка є графіком цієї функції, осі xі yвиступають у ролі асимптот. Асимптота– це пряма, до якої наближаються точки кривої у міру їхнього видалення в нескінченність.
k
Властивості функціїy = -:
x
Поняття про пряму пропорційність
Уявіть, що ви задумали купити своїх улюблених цукерок (або будь-чого, що вам дуже подобається). У цукерок у магазині своя ціна. Припустимо, 300 рублів за кілограм. Що більше цукерок ви купите, то більше грошей заплатите. Тобто якщо захочете 2 кілограми - заплатіть 600 р., а захочете 3 кіло - віддасте 900 рублів. З цим начебто все ясно, вірно?
Якщо так, то тоді вам зараз ясно і що таке пряма пропорційність - це поняття, яке описує відношення двох залежних один від одного величин. І відношення цих величин залишається незмінним і постійним: на скільки частин збільшується або зменшується одна з них, на стільки частин пропорційно збільшується або зменшується друга.
Описати пряму пропорційність можна такою формулою: f (x) = a * x, і a в цій формулі - постійна величина (a = const). У нашому прикладі для цукерки вартість - це незмінна величина, константа. Вона не зростає і не зменшується, скільки б цукерок ви не задумали купити. Незалежна змінна (аргумент) x - це те, скільки кілограмів цукерок купити ви збираєтеся. А залежна змінна f (x) (функція) - те, скільки грошей ви в результаті заплатите за свою покупку. Тож можемо підставити у формулу цифри і отримати: 600 грн. = 300 грн. * 2 кг.
Проміжний висновок такий: якщо зростає аргумент, зростає і функція, якщо аргумент зменшується, функція теж зменшується
Функція та її властивості
Функцією прямої пропорційностіє окремий випадок лінійної функції. Якщо лінійна функція це y = k * x + b, то для прямої пропорційності це виглядає так: y = k * x, де k називається коефіцієнтом пропорційності, і це завжди не дорівнює нулю число. Обчислитиk легко – він як приватне функції і аргументу: k = у/х.
Щоб було наочніше, візьмемо ще один приклад. Уявіть, що з пункту А до пункту Б рухається автомобіль. Його швидкість – 60 км/год. Якщо припустити, що швидкість руху залишається постійною, її можна вважати константу. І тоді запишемо умови як: S = 60*t , і це формула аналогічна функції прямої пропорційності y = k *x . Проведемо паралель далі: якщо k = у/г, то швидкість автомобіля можна обчислити, знаючи відстань між А і Б і витрачений на дорогу час: V = S /t .
А тепер від прикладного застосування знань про пряму пропорційність повернемося назад до її функції. До властивостей якої належить:
областю її визначення є безліч усіх дійсних чисел (а також його підмножини);
функція непарна;
зміна змінних прямо пропорційно здійснюється по всій довжині числової прямої.
Пряма пропорційність та її графік
Графік функції прямої пропорційності – це пряма, яка перетинає точку початку координат. Щоб його побудувати, достатньо відзначити ще одну точку. І з'єднати її та початок координат прямої.
У випадку з графіком - це кутовий коефіцієнт. Якщо кутовий коефіцієнт менший за нуль (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), графік та вісь абсцис утворюють гострий кут, а функція – зростаюча.
І ще одна властивість графіка функції прямої пропорційності безпосередньо пов'язана з кутовим коефіцієнтом. Припустимо, у нас дві не ідентичні функції і, відповідно, два графіки. Так от, якщо коефіцієнти цих функцій рівні, їх графіки розташовані на осі координат паралельно. А якщо коефіцієнти не рівні один одному, графіки перетинаються.
Приклади завдань
А тепер вирішимо пару задач на пряму пропорційність
Почнемо із простого.
Завдання 1: Уявіть, що 5 курок за 5 днів знесли 5 яєць. А якщо буде 20 курок, скільки яєць вони знесуть за 20 днів?
Рішення: Позначимо невідоме як. І міркуватимемо так: у скільки разів більше курок стало? Розділимо 20 на 5 і дізнаємося, що у 4 рази. А скільки разів більше яєць знесуть 20 курок за ті ж 5 днів? Теж у 4 рази більше. Отже, знаходимо наших так: 5*4*4 = 80 яєць знесуть 20 курок за 20 днів.
Тепер приклад трохи складніший, перефразуємо завдання із «Загальної арифметики» Ньютона. Завдання 2: Письменник за 8 днів може написати 14 сторінок нової книги. Якби у нього були помічники, скільки б людей знадобилося, щоб написати 420 сторінок за 12 днів?
Рішення: Розмірковуємо, що кількість осіб (письменник + помічники) збільшується із збільшенням обсягу роботи, якби її довелося зробити за ту саму кількість часу. Але скільки разів? Розділивши 420 на 14, дізнаємося, що збільшується у 30 разів. Але оскільки за умовою завдання працювати дається більше часу, то кількість помічників збільшується над 30 разів, отже: х = 1 (письменник) * 30 (раз) : 12/8 (днів). Перетворимо та з'ясуємо, що х = 20 осіб напишуть 420 сторінок за 12 днів.
Вирішимо ще завдання, схоже на ті, що були у нас у прикладах.
Завдання 3: В одну і ту ж подорож вирушили два автомобілі. Один рухався зі швидкістю 70 км/год і за 2 години пройшов той самий шлях, що інший за 7 годин. Знайдіть швидкість другого автомобіля.
Рішення: Як пам'ятаєте, шлях визначається через швидкість і час – S = V *t . Оскільки шлях обидва автомобілі пройшли однаковий, ми можемо прирівняти два вирази: 70*2 = V*7. Звідки знайдемо, що швидкість другого автомобіля це V = 70*2/7 = 20 км/год.
І ще кілька прикладів завдань з функціями прямої пропорційності. Іноді завдання потрібно знайти коефіцієнт k.
Завдання 4: Дано функції у = - х/16 і у = 5х/2, визначте їх коефіцієнти пропорційності.
Рішення: Як пам'ятаєте, k = у/х. Отже, першої функції коефіцієнт дорівнює -1/16, а другої k = 5/2.
А ще вам може зустрітися завдання, як завдання 5: Запишіть формулою пряму пропорційність. Її графік та графік функції у = -5х + 3 розташовані паралельно.
Рішення: Функція, яка дана нам за умови, – лінійна. Нам відомо, що пряма пропорційність – окремий випадок лінійної функції. А також знаємо, що якщо коефіцієнти k функцій рівні, їх графіки паралельні. Отже, все, що потрібно – це обчислити коефіцієнт відомої функції та задати пряму пропорційність за знайомою нам формулою: y = k * x. Коефіцієнт k = -5, пряма пропорційність: у = -5 * х.
Висновок
Тепер ви дізналися (або згадали, якщо вже проходили цю тему раніше), що називається прямою пропорційністю, і розглянули її приклади. Ми також поговорили про функцію прямої пропорційності та її графіку, вирішили кілька завдань для прикладу.
Якщо ця стаття виявилася корисною та допомогла розібратися у темі, розкажіть нам про це у коментарях. Щоб ми знали, чи змогли вам принести користь.
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Трихліб Данило учень 7 А класу
знайомство з прямою пропорційністю та коефіцієнтом прямої пропорційності (введення поняття кутовий коефіцієнт”);
побудова графіка прямої пропорційності;
розгляд взаємного розташування графіків прямої пропорційності та лінійної функції з однаковими кутовими коефіцієнтами.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Пряма пропорційність та її графік
Що таке аргумент та значення функції? Яка змінна називається незалежною, залежною? Що таке функція? ПОВТОРЕННЯ Що таке область визначення функції?
Способи завдання функції. Аналітичний (за допомогою формули) Графічний (за допомогою графіка) Табличний (за допомогою таблиці)
Графіком функції називається безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції. ГРАФІК ФУНКЦІЇ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ВИКОНАЙТЕ ЗАВДАННЯ Побудуйте графік функції y = 2 x +1, де 0 ≤ х ≤ 4 . Складіть таблицю. За графіком знайдіть значення функції при х = 2,5. При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 8?
Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду у = k х, де х - незалежна змінна, k - не дорівнює нулю число. (k-коефіцієнт прямої пропорційності) Пряма пропорційна залежність
8 Графік прямої пропорційності - пряма, що проходить через початок координат (точку О(0,0)) Щоб побудувати графік функції y= kx , достатньо двох точок, одна з яких О (0,0) При k > 0 графік розташований І та ІІІ координатних чвертях. При k
Графіки функцій прямої пропорційності y x k>0 k>0 k
Завдання Визначте, на якому графіку зображено функцію прямої пропорційності.
Завдання Визначте, графік якої функції зображено малюнку. Виберіть формулу із трьох запропонованих.
Усна робота. Чи може графік функції, заданої формулою у = k х де k
Визначте, які з точок А(6,-2), В(-2,-10),С(1,-1),Е(0,0) належать графіку прямої пропорційності, заданої формулою у = 5х1) А( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - неправильно. Точка А не належить графіку функції у = 5х. 2) В(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - вірно. Точка належить графіку функції у=5х. 3) С(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - неправильно Точка С не належить графіку функції у = 5х. 4) Е (0; 0) 0 = 5 0 0 = 0 - вірно. Точка Е належить графіку функції у = 5х
ТЕСТ 1 варіант 2 варіант №1. Які функції, задані формулою, є прямою пропорційною залежністю? А. y = 5x Ст. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
№2. Випишіть номери прямих y = kx де k > 0 1 варіант k
№3. Визначте, які з точок належать a т графіку прямої пропорційності, заданої формулою У= -1 /3 Х А(6 -2) ,В(-2 -10) 1 варіант С(1,-1),Е(0,0 ) 2 варіант
y =5x y =10x III А VI та IV E 1 2 3 1 2 3 № Правильна відповідь Правильна відповідь №
Виконайте завдання: Покажіть схематично, як розташований графік функції, заданої формулою: y =1,7 x у =-3,1 x =0,9 x =-2,3 x
ЗАВДАННЯ З наступних графіків виберіть лише графіки прямої пропорційності.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Функції у = 2х + 3 2. у = 6/х 3. у = 2х 4. у = - 1,5х 5. у = - 5/х 6. у = 5х 7. у = 2х - 5 8. у = - 0,3х 9. у = 3/ х 10. у = - х /3 + 1 Виберіть функції виду у = k х (пряма пропорційність) і випишіть їх
Функції прямої пропорційності У = 2х У = -1,5х У = 5х У = -0,3х у х
у Лінійні функції, що не є функціями прямої пропорційності 1) у = 2х + 3 2) у = 2х - 5 х -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 у = 2х + 3 у = 2х - 5
Домашнє завдання: п.15 стор.65-67 № 307; №308.
Ще раз давайте повторимо. Що ви дізналися нового? Чому навчилися? Що здалося особливо важким?
Сподобався урок і тема понята: Сподобався урок, але ще зрозуміло: Урок не сподобався і тема незрозуміла.
У 7 та 8 класі вивчається графік прямої пропорційності.
Як побудувати графік прямої пропорційності?
Розглянемо на прикладах графік прямої пропорційності.
Графік прямої пропорційності формула
Графік прямої пропорційності представляє функцію.
У загальному вигляді пряма пропорційність має формулу
Від величини та знака коефіцієнта прямої пропорційності залежить кут нахилу графіка прямої пропорційності по відношенню до осі ікс.
Графік прямої пропорційності проходить
Графік прямої пропорційності проходить через початок координат.
Графік прямої пропорційності є прямою. Пряма задається двома точками.
Таким чином, при побудові графіка прямої пропорційності достатньо визначити положення двох точок.
Але одну з них ми завжди знаємо – це початок координат.
Залишилось знайти другу. Подивимося приклад побудови графіка прямої пропорційності.
Побудуйте графік прямої пропорційності y = 2x
Завдання.
Побудуйте графік прямої пропорційності, заданої формулою
Рішення.
Є усі числа.
Беремо будь-яке число в галузі визначення прямої пропорційності, нехай це буде 1.
Знайти значення функції при ікс 1
Y = 2x =
2 * 1 = 2
тобто при x = 1 отримуємо y = 2. Крапка з цими координатами належить графіку функції y = 2x.
Ми знаємо, що графік прямої пропорційності є пряма, а пряма задається двома точками.
Пропорційність - це взаємозв'язок між двома величинами, при якій зміна однієї з них спричиняє зміну іншої в стільки ж разів.
Пропорційність буває прямою та зворотною. У цьому уроці ми розглянемо кожну з них.
Зміст урокуПряма пропорційність
Припустимо, що автомобіль рухається зі швидкістю 50 км/год. Ми пам'ятаємо, що швидкість – це відстань, пройдена за одиницю часу (1 година, 1 хвилина або 1 секунда). У нашому прикладі автомобіль рухається зі швидкістю 50 км/год, тобто за одну годину він проїжджатиме відстань, що дорівнює п'ятдесяти кілометрам.
Зобразимо на малюнку відстань, пройдену автомобілем за 1 годину
Нехай автомобіль проїхав ще одну годину з тією ж швидкістю, що дорівнює п'ятдесяти кілометрів на годину. Тоді вийде, що автомобіль проїде 100 км.
Як видно з прикладу, збільшення часу вдвічі призвело до збільшення пройденої відстані в стільки ж разів, тобто вдвічі.
Такі величини, як і відстань називають прямо пропорційними. А взаємозв'язок між такими величинами називають прямою пропорційністю.
Прямою пропорційністю називають взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них спричиняє збільшення іншої в стільки ж разів.
і навпаки, якщо одна величина зменшується в кілька разів, то інша зменшується в стільки ж разів.
Припустимо, що спочатку планувалося проїхати автомобілем 100 км за 2 години, але проїхавши 50 км, водій вирішив відпочити. Тоді вийде, що зменшивши відстань вдвічі, час зменшиться в стільки ж разів. Іншими словами, зменшення пройденої відстані призведе до скорочення часу в стільки ж разів.
Цікава особливість прямо пропорційних величин у тому, що й ставлення завжди постійно. Тобто при зміні значень прямо пропорційних величин їхнє ставлення залишається незмінним.
У розглянутому прикладі відстань спочатку дорівнювала 50 км, а час одній годині. Ставлення відстані на час є число 50.
Але ми збільшили час руху в 2 рази, зробивши його рівною дві години. В результаті пройдена відстань збільшилася в стільки ж разів, тобто дорівнювало 100 км. Ставлення ста кілометрів до другої години знову ж таки є число 50
Число 50 називають коефіцієнтом прямої пропорційності. Він показує скільки відстані посідає годину руху. У разі коефіцієнт грає роль швидкості руху, оскільки швидкість це ставлення пройденого відстані до часу.
З прямо пропорційних величин можна становити пропорції. Наприклад, відносини і становлять пропорцію:
П'ятдесят кілометрів так відносяться до однієї години, як сто кілометрів відносяться до другої години.
Приклад 2. Вартість та кількість купленого товару є прямо пропорційними величинами. Якщо 1 кг цукерок коштує 30 рублів, то 2 кг цих цукерок обійдуться в 60 рублів, 3 кг в 90 рублів. Зі збільшенням вартості купленого товару його кількість збільшується в стільки ж разів.
Оскільки вартість товару та його кількість є прямо пропорційними величинами, їх відношення завжди постійно.
Запишемо чому дорівнює відношення тридцяти рублів до одного кілограма
Тепер запишемо чому рівне ставлення шістдесяти рублів до двох кілограмів. Це ставлення знову ж таки дорівнює тридцяти:
Тут коефіцієнтом прямої пропорційності є число 30. Цей коефіцієнт показує скільки рублів посідає кілограм цукерок. У цьому прикладі коефіцієнт грає роль ціни одного кілограма товару, оскільки ціна це відношення вартості товару на його кількість.
Зворотня пропорційність
Розглянемо такий приклад. Відстань між двома містами – 80 км. Мотоцикліст виїхав з першого міста і зі швидкістю 20 км/год доїхав до другого міста за 4 години.
Якщо швидкість мотоцикліста склала 20 км/год це означає, що кожну годину він проїжджав відстань, що дорівнює двадцяти кілометрам. Зобразимо на малюнку відстань, пройдену мотоциклістом, та час його руху:
На зворотному шляху швидкість мотоцикліста була 40 км/год, і той самий шлях він витратив 2 години.
Легко помітити, що при зміні швидкості час руху змінився в стільки ж разів. Причому змінилося у зворотний бік — тобто швидкість збільшилася, а час навпаки зменшився.
Такі величини, як швидкість і час називають обернено пропорційними. А взаємозв'язок між такими величинами називають зворотною пропорційністю.
Зворотною пропорційністю називають взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них спричиняє зменшення іншої в стільки ж разів.
і навпаки, якщо одна величина зменшується в кілька разів, то інша збільшується в стільки ж разів.
Наприклад, якщо на зворотному шляху швидкість мотоцикліста склала б 10 км/год, то ті ж 80 км він подолав би за 8 годин:
Як бачимо з прикладу, зменшення швидкості призвело до збільшення часу руху в стільки ж разів.
Особливість обернено пропорційних величин полягає в тому, що їх твір завжди постійно. Тобто, при зміні значень обернено пропорційних величин, їх твір залишається незмінним.
У розглянутому прикладі відстань між містами дорівнювала 80 км. При зміні швидкості та часу руху мотоцикліста ця відстань завжди залишалася незмінною
Мотоцикліст міг проїхати цю відстань зі швидкістю 20 км/год за 4 години і зі швидкістю 40 км/год за 2 години, і зі швидкістю 10 км/год за 8 годин. У всіх випадках добуток швидкості і часу дорівнював 80 км
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки