ГЛАВА 14 РІШЕННЯ У ПОШУКУ ПРОБЛЕМИ ЧИ БАГАТО ПРОБЛЕМИ З ОДНИМ І ТИМ Ж РІШЕННЯМ? ЗАСТОСУВАННЯ ЛАЗЕРІВ У 1898 р. Уеллс уявив у своїй книзі «Війна світів» захоплення Землі марсіанами, які використовували промені смерті, здатні легко проходити через цеглу, спалювати ліси, і

Знову рішення Шварцшильда Приклад невидимої зірки Мічелла-Лапласа, хоч і заснований на теорії, яка не в змозі дати правильні рішення для реальних чорних дірок з усім різноманіттям ефектів і незвичайних властивостей, демонструє найголовнішу їхню властивість. Чорна діра

4. Розв'язання рівнянь Ейнштейна Але якщо є рівняння, то їх потрібно вирішувати. Тобто при обмеженнях та умовах кожної конкретної задачі чи моделі потрібно знайти метричні коефіцієнти у кожній точці простору-часу і тим самим визначити його геометричні

Метріка Шварцшильда- це єдине з теореми Біркхофа сферично симетричне точне рішення рівнянь Ейнштейна без космологічної константи в порожньому просторі. Зокрема, ця метрика досить точно описує гравітаційне поле відокремленої чорної діри, що не обертається і незаряджена, і гравітаційне поле зовні від відокремленого сферично симетричного масивного тіла. Названа на честь Карла Шварцшильда, який першим її виявив.

Це рішення необхідно статичне, так що сферичні гравітаційні хвилі виявляються неможливими.

Вид метрики

Шварцшильдівські координати

У так званих Шварцшильдівських координатах, з яких 3 останніх аналогічні сферичним, метричний тензор найбільш фізично важливої ​​частини простору-часу Шварцшильда з топологією (твір області двовимірного евклідового простору та двовимірної сфери) має вигляд

Координата не є довжиною радіус-вектора, а вводиться так, щоб площа сфери в даній метриці дорівнювала . При цьому «відстань» між двома подіями з різними (але однаковими координатами) дається інтегралом

При або метрика Шварцшильда прагне (покомпонентно) до метрики Мінковського в сферичних координатах, так що вдалині від масивного тіла простір-час виявляється приблизно псевдоевклідовою сигнатурою. Так як при і монотонно зростає зі зростанням, то власний час у точках поблизу тіла «тече повільніше», ніж далеко від нього, тобто відбувається своєрідне гравітаційне уповільнення часумасивними тілами.

Диференціальні характеристики

Позначимо

Тоді не рівні нулю незалежні символи Крістофеля мають вигляд

Тензор кривизни відноситься до типу за Петровим.

Дефект маси

Якщо є сферично симетричний розподіл матерії «радіуса» (з точки зору координат), то повна маса тіла може бути виражена через його тензор енергії-імпульсу за формулою

Зокрема, для статичного розподілу речовини, де - щільність енергії у просторі. Враховуючи, що обсяг шарового шару у вибраних нами координатах дорівнює

отримаємо, що

Ця відмінність виражає собою гравітаційний дефект маси тіла. Можна сміливо сказати, що частина повної енергії системи міститься у енергії гравітаційного поля, хоча локалізувати цю енергію у просторі неможливо.

Особливість у метриці

На погляд, метрика містить дві особливості: при і при . Справді, у Шварцшильдівських координатах частинці, що падає на тіло, знадобиться нескінченно великий час для досягнення поверхні, однак перехід, наприклад, до координат Леметра в супутній системі відліку показує, що з точки зору падаючого спостерігача ніякої особливості простору-часу на даній поверхні немає, причому як сама поверхня, так і область будуть досягнуті за кінцевий час.

Реальна особливість метрики Шварцшильда спостерігається лише за умови, де прагнуть до нескінченності скалярні інваріанти тензора кривизни. Ця особливість (сингулярність) може бути усунена зміною системи координат.

Горизонт подій

Поверхня називається горизонтом подій. При більш вдалому виборі координат, наприклад, у координатах Леметра або Крускала, можна показати, що ніякі сигнали не можуть вийти з чорної діри через горизонт подій. У цьому сенсі не дивно, що поле поза Шварцшильдівською чорною діркою залежить лише від одного параметра - повної маси тіла.

Координати Крускала

Можна спробувати ввести координати, які дають сингулярності при . Таких координатних систем відомо безліч, і часто зустрічається з них є система координат Крускала, яка покриває однією картою все максимально продовжене різноманіття, що задовольняє вакуумним рівнянням Ейнштейна (без космологічної постійної). Це більшепростір-час називається зазвичай (максимально продовженим) простором Шварцшильда або (рідше) простором Крускала. Метрика в координатах Крускала має вигляд

де , А функція визначається (неявно) рівнянням .

Мал. 1. Перетин простору Шварцшільда. Кожній точці на малюнку відповідає сфера площею. Світлоподібні геодезичні (тобто світові лінії фотонів) – це прямі під кутом до вертикалі, інакше кажучи – це прямі чи

Простір максимально, тобто його вже не можна ізометрично вкласти в більший простір-час, а область в координатах Шварцшильда () є лише частиною (це область - область I на малюнку). Тіло, що рухається повільніше світла - світова лінія такого тіла буде кривою з кутом нахилу до вертикалі менше, див. криву на малюнку - може залишити. При цьому воно потрапляє в ділянку II, де . Залишити цю область і повернутися до неї, як видно з малюнка, вже не зможе (для цього довелося б відхилитися більше, ніж на вертикалі, тобто перевищити швидкість світла). Область II в такий спосіб є чорну діру. Її межа (ламана, ) є горизонтом подій.

Є ще одна асимптотично плоска область III, в якій також можна ввести Шварцшильдові координати. Однак ця область причинно не пов'язана з областю I, що не дозволяє отримати про неї жодної інформації, залишаючись зовні від обрії подій. У разі реального колапсу астрономічного об'єкта області IV і III просто не виникають, тому що ліву частину представленої діаграми необхідно замінити на непустий простір-час, заповнений колапсуючою матерією.

Зазначимо кілька чудових властивостей максимально продовженого Шварцшильдівського простору:

Орбітальний рух

Основна стаття: Проблема Кеплера у загальній теорії відносності

Історія отримання та інтерпретації

Метрика Шварцшильда, виступаючи як об'єкт значного теоретичного інтересу, для фахівців-теоретиків є також якимось інструментом, на вигляд простим, але тим не менш відразу ж приводить до важких питань.

У 1915 року Ейнштейн опублікував попередні рівняння теорії гравітації. Це були ще не рівняння Ейнштейна, але вони вже збігалися з остаточними у вакуумному випадку. Сферично-симетричні рівняння для вакууму Шварцшильд проінтегрував у період із 18 листопада 1915 р. остаточно року. 9 січня 1916 р. Ейнштейн, до якого Шварцшильд звернувся з приводу публікації своєї статті в Berliner Berichte, написав йому, що прочитав його роботу з величезною пристрастю і був приголомшений, що справжнє вирішення цієї проблеми можна висловити так легко. Ейнштейн спочатку сумнівався, чи можливо взагалі отримати розв'язання таких складних рівнянь.

Шварцшильд закінчив свою роботу у березні, отримавши також сферично-симетричне статичне внутрішнє рішення для рідини з постійною густиною. У цей час на нього навалилася хвороба (бульбашка), яка у травні звела його до могили. З травня 1916 р. І. Дросте, учень Г. А. Лоренца, проводячи дослідження в рамках остаточних ейнштейнівських рівнянь поля, отримав розв'язання того ж завдання більш простим методом, ніж Шварцшильд. Йому належить перша спроба аналізу розбіжності рішення при прагненні до сфери Шварцшильда.

Після Дросте більшість дослідників стали задовольнятися різними міркуваннями, спрямованими на підтвердження непроникності сфери Шварцшильда. При цьому міркування теоретичного характеру підкріплювалися фізичним аргументом, згідно з яким «таке в природі не існує», оскільки відсутні тіла, атоми, зірки, радіус яких був би меншим за шварцшильдовський радіус.

Для К. Ланцоша, і навіть для Д. Гілберта сфера Шварцшильда стала приводом замислитися над поняттям «сингулярність», для П. Пенлеве і французької школи була об'єктом полеміки, до якої включився Ейнштейн.

У ході паризького колоквіуму 1922 р., організованого у зв'язку з приїздом Ейнштейна, мова зайшла не тільки про ідею, згідно з якою радіус Шварцшильда не буде сингулярним, але також і про гіпотезу, що передбачає те, що сьогодні називають гравітаційним колапсом.

Майстерна технологія Шварцшильда мала лише відносний успіх. Ні його метод, ні його інтерпретація були взяті на озброєння. З його роботи не зберегли майже нічого, окрім «голого» результату метрики, з якою пов'язали ім'я її творця. Але питання інтерпретації і передусім питання «сингулярності Шварцшильда» вирішені не були. Стала викристалізовуватися думка, що ця сингулярність не має значення. До цієї точки зору вели два шляхи: з одного боку, теоретичний, згідно з яким «сингулярність Шварцшильда» непроникна, і з іншого боку, емпіричний, що полягає в тому, що «цього в природі не існує». Ця думка поширилася і стала домінуючою у всій спеціальній літературі на той час.

Наступний етап пов'язані з інтенсивним дослідженням питань гравітації на початку «золотого століття» теорії відносності.

Література

• K. SchwarzschildÜber das Gravitationsfeld інструменти Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
  Рос. пров.: Шварцшільд К.Про гравітаційне поле точкової маси в ейнштейнівській теорії // Альберт Ейнштейн та теорія гравітації. М.: Світ, 1979. З. 199-207.
• Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Е. М.Теорія поля. - Видання 7-ме, виправлене. – М.: Наука, 1988. – 512 с. - («Теоретична фізика», том II). - ISBN 5-02-014420-7
• Droste J.Це було еін енкель центр в Ейнштейні з теорією дер зваартекрахт в дє вегінг ван ео стеффелійк пункт в віці // Верс. gev Vergad. Akad. Амстердам. – 1916. – D.25. - Biz.163-180.
- простір час поза масивного тіла, що не обертається у вакуумі (тензор Річчі Rik = 0). Елемент довжини ds визначається виразом де r,q, f сферичні координати з центром у центрі масивного тіла, маса M тіла. Це рішення ур ній Ейнштейна. Фізична енциклопедія

Метрика простору-часу- (див. Метрика, Простір Час) основний закон, що визначає геометричні властивості чотиривимірного простору часу Мінковського, Рімана, Шварцшильда та ін. Вказана метрика відіграє фундаментальне значення у формулюванні фізичних законів… Початки сучасного природознавства

Метричний тензор або метрика це симетричний тензор рангу 2 на гладкому різноманітті, за допомогою якого задаються скалярний добуток векторів у дотичному просторі, довжини кривих, кути між кривими і т.д.

Гравітаційний радіус (або радіус Шварцшильда) у Загальній теорії відносності (ОТО) є характерним радіусом, визначеним для будь-якого фізичного тіла, що володіє масою: це радіус сфери, на якій перебував би горизонт подій, ... Вікіпедія

Це метрика, що визначає статичне ізотропне гравітаційне поле. Приватним випадком цієї метрики є метрика Шварцшильда на випадок порожнього (нічим не заповненого) простору часу. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія

Загальна теорія відносності Математичне формулювання ОТО Космологія Фундаментальні ідеї Спеціальна теорія відносності … Вікіпедія

Рішення рівнянь Ейнштейна, що описує зовнішнє гравітаційне поле джерела, що обертається, з масою ти кутовим моментом L. Належить до типу Dпо класифікації А. З. Петрова. Найбільше просто записується у вигляді метрики Керра Шильда: де До m… … Математична енциклопедія

· Гравітаційна сингулярність · Чорна діра

Метріка Шварцшильда- це єдине з теореми Біркхофа сферично симетричне точне рішення рівнянь Ейнштейна без космологічної константи в порожньому просторі. Зокрема, ця метрика досить точно описує гравітаційне поле відокремленої чорної діри, що не обертається і незаряджена, і гравітаційне поле зовні від відокремленого сферично симетричного масивного тіла. Названа на честь Карла Шварцшильда, який першим її виявив у 1916 році.

Це рішення необхідно статичне, так що сферичні гравітаційні хвилі виявляються неможливими.

Вид метрики

Шварцшильдівські координати

У так званих Шварцшильдівських координатах $(t,\backslash ;r,\backslash ;\backslash theta,\backslash ;\backslash varphi)$, з яких 3 останніх аналогічні сферичним , метричний тензор найбільш фізично важливої ​​частини простору-часу Шварцшильда з топологією $R^2\backslash times\; S^2$(твір області двовимірного евклідового простору та двовимірної сфери) має вигляд

Координата $r$не є довжиною радіус-вектора, а вводиться так, щоб площа сфери $t\; =\; mathrm\; (const),;\; r=r\_0$у цій метриці дорівнювала $4\backslash pi\; r\_0^2$. При цьому «відстань» між двома подіями з різними $r$(але однаковими іншими координатами) дається інтегралом

$\backslash int\backslash limits\_(r\_1)^(r\_2)\backslash frac(dr)(\backslash sqrt(1-\backslash displaystyle\backslash frac(r\_s)(r)))>r\_2-r\_1,\backslash qquad\; r\_2,\backslash ;r\_1>r\_s.$

При $M\backslash to\; 0$або $r\backslash to\backslash infty$метрика Шварцшильда прагне (покомпонентно) до метрики Мінковського у сферичних координатах, отже далеко від масивного тіла $M$простір-час виявляється приблизно псевдоевклідовою сигнатурою $(1,3)$. Так як $g\_(0\; 0)=1-\backslash frac(r\_s)(r)\backslash leqslant\; 1$при $r>r\_s$і $g\_(0\; 0)$монотонно зростає зі зростанням $r$, то свій час у точках поблизу тіла «тече повільніше», ніж далеко від нього, тобто відбувається своєрідне гравітаційне уповільнення часумасивними тілами.

Диференціальні характеристики

Позначимо

$g\_(0\; 0)=e^\backslash nu,\; \backslash quad\; g\_(1\; 1)=-e^\backslash lambda.$

Тоді не рівні нулю незалежні символи Крістофеля мають вигляд

$\backslash Gamma^1\_(1\; 1)=\backslash frac(\backslash lambda^\backslash prime\_r)(2),\backslash quad\backslash Gamma^0\_(1\; 0)=\backslash frac(\backslash nu^\backslash prime\_r)(2),\backslash quad\backslash Gamma\; ^2\_(3\; 3)\; =\; -\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash theta,$ $\backslash Gamma^0\_(1\; 1)=\backslash frac(\backslash lambda^\backslash prime\_t)(2)e^(\backslash lambda-\backslash nu),\backslash quad\backslash Gamma^1\_(2\; 2)=-re^(-\backslash lambda)\; ,\backslash quad\backslash Gamma^1\_(0\; 0)=\backslash frac(\backslash nu^\backslash prime\_r)(2)e^(\backslash nu-\backslash lambda),$ $\backslash Gamma^2\_(1\; 2)=\backslash Gamma^3\_(1\; 3)=\backslash frac(1)(r),\backslash quad\backslash Gamma^3\_(2\; 3)=\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash theta,\backslash quad\; \backslash Gamma^0\_(0\; 0)=\backslash frac(\backslash nu^\backslash prime\_t)(2),$ $\backslash Gamma^1\_(1\; 0)=\backslash frac(\backslash lambda^\backslash prime\_t)(2),\backslash quad\backslash Gamma^1\_(3\; 3)=-r\backslash sin^2\backslash theta\backslash ,e^(-\backslash lambda)\; .$ $I\_1=\backslash left(\backslash frac(r\_s)(2r^3)\backslash right)^2,\backslash quad\; I\_2=\backslash left(\backslash frac(r\_s)(2r^3)\backslash right)^3.$

Тензор кривизни відноситься до типу $\backslash mathbf(D)$по Петрову.

Дефект маси

Якщо є сферично-симетричний розподіл матерії «радіуса» (з точки зору координат) $a$, то повна маса тіла може бути виражена через його тензор енергії-імпульсу за формулою

$m\; =\backslash frac(4\backslash pi)(c^2)\backslash int\backslash limits\_0^a\; T\_0^0\; r^2\backslash ,dr.$

Зокрема, для статичного розподілу речовини $T\_0^0=\backslash varepsilon$, де $\backslash varepsilon$- Щільність енергії в просторі. Враховуючи, що обсяг шарового шару у вибраних нами координатах дорівнює

$dV=4\backslash pi\; r^2\backslash sqrt(g\_(1\; 1))\backslash ,dr>4\backslash pi\; r^2\backslash ,dr,$

отримаємо, що

Ця відмінність виражає собою гравітаційний дефект маси тіла. Можна сміливо сказати, що частина повної енергії системи міститься у енергії гравітаційного поля, хоча локалізувати цю енергію у просторі неможливо.

Особливість у метриці

На перший погляд, метрика містить дві особливості: при $r=0$і при $r=r\_s$. Справді, у Шварцшильдівських координатах частинці, що падає на тіло, знадобиться нескінченно великий час $t$для досягнення поверхні $r=r\_s$, однак перехід, наприклад, до координат Леметра в супутній системі відліку показує, що з погляду падаючого спостерігача ніякої особливості простору-часу на даній поверхні немає, причому як сама поверхня, так і область $r\backslash approx\; 0$будуть досягнуті за кінцевий власний час.

Реальна особливість метрики Шварцшильда спостерігається лише за $r\backslash to\; 0$, де прагнуть нескінченності скалярні інваріанти тензора кривизни . Ця особливість (сингулярність) може бути усунена зміною системи координат.

Горизонт подій

Поверхня $r=r\_s$називається горизонтом подій. При більш вдалому виборі координат, наприклад, у координатах Леметра або Крускала, можна показати, що ніякі сигнали не можуть вийти з чорної діри через горизонт подій. У цьому сенсі не дивно, що поле поза Шварцшильдівською чорною діркою залежить лише від одного параметра - повної маси тіла.

Координати Крускала

Можна спробувати ввести координати, що не дають сингулярності при $r=r\_s$. Таких координатних систем відомо безліч, і часто зустрічається з них є система координат Крускала, яка покриває однією картою все максимально продовжене різноманіття, що задовольняє вакуумним рівнянням Ейнштейна (без космологічної постійної). Це більшепростір-час $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$називається зазвичай (максимально продовженим) простором Шварцшильда або (рідше) простором Крускала (Діаграма Крускала - Секереша). Метрика в координатах Крускала має вигляд

$ds^2\; =-F(u,v)^2\; \backslash ,du\backslash ,dv+$

r^2(u,v)(d \theta^2+\sin^2\theta\, d\varphi^2),\qquad\qquad (2)

де $F=\backslash frac(4\; r\_s^3)(r)e^(-r/r\_s)$, а функція $r(u,v)$визначається (неявно) рівнянням $(1-r/r\_s)e^(r/r\_s)=uv$.

Простір $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$ максимально, тобто його вже не можна ізометрично вкласти у більший простір-час, а область $r>r\_s$в координатах Шварцшильда. $\backslash mathcal\; M$) є лише частиною $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$(це область $v>0,\; r\_s$- область I малюнку). Тіло, що рухається повільніше світла - світова лінія такого тіла буде кривою з кутом нахилу до вертикалі менше $45^\backslash circ$див. криву $\backslash gamma$на малюнку - може залишити $\backslash mathcal\; M$. При цьому воно потрапляє до області ІІ, де

У $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$є ще одна асимптотично плоска область III, в якій також можна ввести координати Шварцшильдови. Однак ця область причинно не пов'язана з областю I, що не дозволяє отримати про неї жодної інформації, залишаючись зовні від обрії подій. У разі реального колапсу астрономічного об'єкта області IV і III просто не виникають, тому що ліву частину представленої діаграми необхідно замінити на непустий простір-час, заповнений колапсуючою матерією.

Зазначимо кілька чудових властивостей максимально продовженого Шварцшильдівського простору $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$:

1. Воно сингулярне: координата $r$спостерігача, що падає під горизонт, зменшується і прагне нуля, коли його власний час $\backslash tau$прагне деякого кінцевого значення $\backslash tau\_0$. Однак його світову лінію не можна продовжити до області $\backslash tau\; \backslash geqslant\backslash tau\_0$, так як точок з $r=0$у цьому просторі немає. Таким чином доля спостерігача нам відома лише до деякого моменту його (власного) часу.
2. Хоча простір $\backslash mathcal\; M$статично (видно, що метрика (1) не залежить від часу), простір $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$таким не є. Це формулюється більш строго так: вектор Кілінга , що є з часу подібним до $\backslash mathcal\; M$, в областях II та IV розширеного простору $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$стає просторовоподібним.
3. Область III теж ізометрична $\backslash mathcal\; M$. Таким чином, максимально продовжений простір Шварцшильда містить два «всесвіти» – «нашу» (це $\backslash mathcal\; M$) і ще одну таку ж. Область II всередині чорної діри, що з'єднує їх, називається мостом Ейнштейна - Розена. Потрапити у другий всесвіт спостерігач, який стартував з I і рухається повільніше світла, не зможе (див. рис. 1), проте в проміжок часу між перетином горизонту і попаданням на сингулярність він зможе побачитиїї. Така структура простору-часу, яка зберігається і навіть ускладнюється при розгляді складніших чорних дірок, породила численні міркування на тему можливих «інших» всесвітів і подорожей у них через чорні діри як у науковій літературі, так і науково-фантастичній (див. Кротові. нори).

Орбітальний рух

Історія отримання та інтерпретації

Метрика Шварцшильда, виступаючи як об'єкт значного теоретичного інтересу, для фахівців-теоретиків є також якимось інструментом, на вигляд простим, але тим не менш відразу ж приводить до важких питань.

У середині 1915 року Ейнштейн опублікував попередні рівняння теорії гравітації. $R\_(ij)=T\_(ij)$. Це були ще не рівняння Ейнштейна, але вони вже збігалися з остаточними у вакуумному випадку $T\_(ij)=0$. Сферично-симетричні рівняння для вакууму Шварцшильд проінтегрував у період із 18 листопада 1915 р. остаточно року. 9 січня 1916 р. Ейнштейн, до якого Шварцшильд звернувся з приводу публікації своєї статті в Berliner Berichte, написав йому, що прочитав його роботу з величезною пристрастю і був приголомшений, що справжнє вирішення цієї проблеми можна висловити так легко. Ейнштейн спочатку сумнівався, чи можливо взагалі отримати розв'язання таких складних рівнянь.

Шварцшильд закінчив свою роботу у березні, отримавши також сферично-симетричне статичне внутрішнє рішення для рідини з постійною густиною. У цей час на нього навалилася хвороба (бульбашка), яка у травні звела його до могили. З травня 1916 р. І. Дросте, учень Г. А. Лоренца, проводячи дослідження в рамках остаточних ейнштейнівських рівнянь поля, отримав розв'язання того ж завдання більш простим методом, ніж Шварцшильд. Йому належить перша спроба аналізу розбіжності рішення при прагненні до сфери Шварцшильда.

Після Дросте більшість дослідників стали задовольнятися різними міркуваннями, спрямованими на підтвердження непроникності сфери Шварцшильда. При цьому міркування теоретичного характеру підкріплювалися фізичним аргументом, згідно з яким «таке в природі не існує», оскільки відсутні тіла, атоми, зірки, радіус яких був би меншим за шварцшильдовський радіус.

Для К. Ланцоша, і навіть для Д. Гілберта сфера Шварцшильда стала приводом замислитися над поняттям «сингулярність», для П. Пенлеве і французької школи була об'єктом полеміки, до якої включився Ейнштейн.

У ході паризького колоквіуму 1922 р., організованого у зв'язку з приїздом Ейнштейна, мова зайшла не тільки про ідею, згідно з якою радіус Шварцшильда не буде сингулярним, але також і про гіпотезу, що передбачає те, що сьогодні називають гравітаційним колапсом.

Майстерна технологія Шварцшильда мала лише відносний успіх. Ні його метод, ні його інтерпретація були взяті на озброєння. З його роботи не зберегли майже нічого, окрім «голого» результату метрики, з якою пов'язали ім'я її творця. Але питання інтерпретації і передусім питання «сингулярності Шварцшильда» вирішені не були. Стала викристалізовуватися думка, що ця сингулярність не має значення. До цієї точки зору вели два шляхи: з одного боку, теоретичний, згідно з яким «сингулярність Шварцшильда» непроникна, і з іншого боку, емпіричний, що полягає в тому, що «цього в природі не існує». Ця думка поширилася і стала домінуючою у всій спеціальній літературі на той час.

Наступний етап пов'язані з інтенсивним дослідженням питань гравітації на початку «золотого століття» теорії відносності.

Напишіть відгук про статтю "Метрика Шварцшильда"

Література

• K. Schwarzschild// Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. – 1916. – 189-196.
  Рос. пров.: Шварцшільд К.Про гравітаційне поле точкової маси в ейнштейнівській теорії // Альберт Ейнштейн та теорія гравітації. М.: Світ, 1979. З. 199-207.
• Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Е. М.Теорія поля. - Видання 7-ме, виправлене. – М.: Наука, 1988. – 512 с. – («Теоретична фізика», том II). - ISBN 5-02-014420-7.
• Droste J.Це було еін енкель центр в Ейнштейні з теорією дер зваартекрахт в дє вегінг ван ео стеффелійк пункт в віці // Верс. gev Vergad. Akad. Амстердам. – 1916. – D.25. - Biz.163-180.
• Ейнштейн А. Пам'яті Карла Шварцшильда // Ейнштейн А.Збори наукових праць. М.: Наука, 1967. Т. 4. З. 33-34.
• S. M. Blinder Centennial of General Relativity (1915-2015); The Schwarzschild Solution and Black Holes (англ.) . - 2015. - arXiv: 1512.02061.

Див. також

Посилання

Уривок, що характеризує Метрика Шварцшильда

«Це мусить маудити для літератури, я можу запропонувати comme le premier moteur d'un accommodement quelconque. [Я б був проклятий, якби на мене дивилися як на першого призвідника будь-якої угоди; така воля нашого народу.] - відповідав Кутузов і продовжував вживати всі свої сили на те , щоб утримувати війська від наступу.
У місяць пограбування французького війська в Москві і спокійної стоянки російського війська під Тарутиним відбулася зміна щодо сили обох військ (духу та чисельності), внаслідок якого перевага сили виявилася на боці російських. Незважаючи на те, що становище французького війська та його чисельність були невідомі російським, коли змінилося ставлення, необхідність настання відразу ж виявилася в незліченній кількості ознак. Ознаками цими були: і посилка Лористона, і достаток провіанту в Тарутині, і відомості, що приходили з усіх боків про бездіяльність і безлад французів, і комплектування наших полків рекрутами, і хороша погода, і тривалий відпочинок російських солдатів, і зазвичай виникає у військах внаслідок відпочинку нетерпіння виконувати ту справу, для якої всі зібрані, і цікавість про те, що робилося у французькій армії, так давно втраченій на увазі, і сміливість, з якою тепер шастали російські аванпости біля французів, що стояли в Тарутині, і звістки про легкі перемоги над французами мужиків і партизанів, і заздрість, збуджувана цим, і почуття помсти, що лежало в душі кожної людини до тих пір, поки французи були в Москві, і (головне) неясне, але виникло в душі кожного солдата свідомість того, що відношення сили змінилося тепер і перевага знаходиться на нашому боці. Істотне ставлення сил змінилося, і наступ став необхідним. І відразу ж, так само вірно, як починають бити і грати в годиннику куранти, коли стрілка здійснила повне коло, у вищих сферах, відповідно до істотної зміни сил, відобразився посилений рух, шипіння та гра курантів.

Російська армія управлялася Кутузовим з його штабом і государем із Петербурга. У Петербурзі, ще до отримання повідомлення про залишення Москви, було складено докладний план всієї війни і надіслано Кутузову керівництва. Незважаючи на те, що цей план був складений у припущенні того, що Москва ще в наших руках, цей план був схвалений штабом і прийнятий до виконання. Кутузов писав лише, що далекі диверсії завжди важко здійсненні. І для вирішення труднощів, що зустрічалися, надсилалися нові настанови і особи, які повинні стежити за його діями і доносити про них.
Крім того, тепер у російській армії перетворився весь штаб. Заміщалися місця вбитого Багратіона і скривдженого Барклая. Дуже серйозно обмірковували, що буде краще: А. помістити на місце Б., а Б. на місце Д., або, навпаки, Д. на місце А. і т. д., ніби що-небудь, крім задоволення А. і Б. могло залежати від цього.
У штабі армії, з нагоди ворожості Кутузова зі своїм начальником штабу, Бенігсеном, і присутності довірених осіб государя та цих переміщень, йшла більш, ніж зазвичай, складна гра партій: А. підкопувався під Б., Д. під С. і т.д. ., у всіх можливих переміщеннях та поєднаннях. За всіх цих підкопування предметом інтриг здебільшого була та військова справа, якою думали керувати всі ці люди; але ця військова справа йшла незалежно від них, саме так, як вона мала йти, тобто ніколи не збігаючись з тим, що вигадували люди, а випливаючи із сутності відношення мас. Всі ці вигадування, схрещуючись, переплутуючись, представляли у вищих сферах лише вірне відображення того, що мало статися.
«Князь Михайло Іларіонович! – писав государ від 2-го жовтня у листі, отриманому після Тарутинського бою. - З 2 вересня Москва в руках ворожих. Останні ваші рапорти від 20 го; і протягом усього цього часу не тільки нічого не вжито для дії проти ворога і звільнення першопрестольної столиці, але навіть, за останніми вашими рапортами, ви ще відступили назад. Серпухов вже зайнятий загоном ворожим, і Тула, зі знаменитим і настільки для армії необхідним своїм заводом, у небезпеці. За рапортами від генерала Вінцінгероде бачу я, що ворожий 10000-й корпус рухається Петербурзькою дорогою. Інший, за кілька тисяч, також подається до Дмитрова. Третій посунув уперед Володимирською дорогою. Четвертий, досить значний, стоїть між Рузою та Можайськом. Наполеон сам по 25 е число перебував у Москві. За всіма цими відомостями, коли ворог сильними загонами роздробив свої сили, коли Наполеон ще в Москві сам, зі своєю гвардією, чи можливо, щоб сили ворожі, що знаходяться перед вами, були значними і не дозволяли вам діяти наступально? З ймовірністю, навпаки, слід вважати, що він вас переслідує загонами або, принаймні, корпусом, набагато слабшим за армію, вам довірену. Здавалося, що, користуючись цими обставинами, могли б ви з вигодою атакувати ворога слабше за вас і винищити його або, щонайменше, змусивши його відступити, зберегти в наших руках знатну частину губерній, що нині ворогом займаються, і тим самим відвернути небезпеку від Тули і інших внутрішніх наших міст. На вашій відповідальності залишиться, якщо ворог в змозі буде відрядити значний корпус на Петербург для загрожування цій столиці, в якій не могло залишитися багато війська, бо з довіреною вам армією, діючи з рішучістю та діяльністю, ви маєте всі засоби відвернути це нове нещастя. Згадайте, що ще зобов'язані відповіддю ображеному вітчизні у втраті Москви. Ви мали досвід моєї готовності вас нагороджувати. Ця готовність не ослабне в мені, але я і Росія вправі чекати з вашого боку всієї старанності, твердості та успіхів, які ваш розум, військові таланти ваші і хоробрість військ, які ви ведете, нам провіщають».
Але в той час як лист це, що доводить те, що суттєве відношення сил вже відбивалося і в Петербурзі, було в дорозі, Кутузов не міг уже утримати командовану ним армію від наступу, і бій вже було дано.
2-го жовтня козак Шаповалов, перебуваючи у роз'їзді, вбив із рушниці одного та підстрелив іншого зайця. Ганяючись за підстреленим зайцем, Шаповалов заблукав далеко в ліс і наткнувся на лівий фланг армії Мюрата, що стояв без жодних застережень. Козак, сміючись, розповів товаришам, як він мало не попався французам. Хорунжий, почувши це оповідання, повідомив його командира.
Козака покликали, розпитали; козацькі командири хотіли скористатися цією нагодою, щоб відбити коней, але один із начальників, знайомий із вищими чинами армії, повідомив цей факт штабному генералу. Останнім часом у штабі армії становище було дуже натягнуте. Єрмолов, за кілька днів перед цим, прийшовши до Бенігсена, благав його вжити свого впливу на головнокомандувача, щоб було зроблено наступ.
- Якби я не знав вас, я б подумав, що ви не хочете того, про що ви просите. Варто мені порадити одне, щоб найсвітліший напевно зробив протилежне, – відповів Бенігсен.
Звістка козаків, підтверджена посланими роз'їздами, довела остаточну зрілість події. Натягнута струна зіскочила, і зашипіла годинник, і заграли куранти. Незважаючи на всю свою уявну владу, на свій розум, досвідченість, знання людей, Кутузов, взявши до уваги записку Бенігсена, який посилав особисто повідомлення государеві, висловлюване всіма генералами одне й те саме бажання, передбачуване їм бажання государя і зведення козаків, вже не міг утримати неминучого руху і віддав наказ на те, що він вважав марним і шкідливим, – благословив факт, що відбувся.

Записка, подана Бенігсеном про необхідність наступу, і відомості козаків про незакритий лівий фланг французів були лише останні ознаки необхідності віддати наказ про наступ, і наступ був призначений на 5 жовтня.
4 жовтня вранці Кутузов підписав диспозицію. Толь прочитав її Єрмолову, пропонуючи йому зайнятися подальшими розпорядженнями.
- Добре, добре, мені тепер ніколи, - сказав Єрмолов і вийшов із хати. Диспозиція, складена Толем, була дуже гарною. Так само, як і в аустерлицькій диспозиції, було написано, хоч і не німецькою:
«Die erste Colonne marschiert [Перша колона йде (нім.)] туди то й туди те, die zweite Colonne marschiert [друга колона йде (нім.)] туди то й туди то» і т. д. І всі ці колони на папері приходили у призначений час у своє місце та знищували ворога. Все було, як і у всіх диспозиціях, чудово придумано, і, як і за всіма диспозиціями, жодна колона не прийшла свого часу і на своє місце.
Коли диспозиція була готова у належній кількості екземплярів, був покликаний офіцер і посланий до Єрмолова, щоб передати йому папери для виконання. Молодий кавалергардський офіцер, ординарець Кутузова, задоволений важливістю цього доручення, вирушив на квартиру Єрмолова.
– Виїхали, – відповів денщик Єрмолова. Кавалергардський офіцер пішов до генерала, у якого часто бував Єрмолов.
- Ні, і генерала нема.
Кавалергардський офіцер, сівши верхи, поїхав до іншого.
- Ні, поїхали.
«Як би мені не відповідати за зволікання! Ось досада!» – думав офіцер. Він об'їздив увесь табір. Хтось казав, що бачили, як Єрмолов проїхав з іншими генералами кудись те, хто казав, що він, мабуть, знову вдома. Офіцер, не обідаючи, шукав до шостої години вечора. Ніде Єрмолова не було і ніхто не знав, де він був. Офіцер швидко перекусив у товариша і поїхав знову в авангард до Милорадовича. Милорадовича теж не було вдома, але тут йому сказали, що Мілорадович на балу у генерала Кікіна, що, мабуть, і Єрмолов там.
- Та де ж це?
– А он, у Єчкині, – сказав козачий офіцер, вказуючи на далеку поміщицьку хату.
- Та як же там, за ланцюгом?
- Вислали два полки наших у ланцюг, там нині такий гостина йде, біда! Дві музики, три хори піснярів.
Офіцер поїхав за ланцюг до Єчкіна. Здалеку ще, під'їжджаючи до будинку, він почув дружні, веселі звуки танцювальної солдатської пісні.
«У олузя а ах… в олузах!..» – з присвистом і з торбаном чулося йому, що зрідка заглушувалося криком голосів. Офіцерові і весело стало на душі від цих звуків, але водночас і страшно за те, що він винен, так довго не передавши важливого, дорученого йому наказу. Була вже дев'ята година. Він зліз з коня і увійшов на ганок і в передню велику, що збереглася в цілості поміщицького будинку, що знаходився між росіян і французів. У буфетній і передній метушилися лакеї з винами і стравами. Під вікнами стояли піснярі. Офіцера ввели у двері, і він побачив раптом усіх разом найважливіших генералів армії, зокрема й велику, помітну постать Єрмолова. Усі генерали були в розстебнутих сюртуках, з червоними, жвавими обличчями і голосно сміялися, стоячи півколом. В середині зали гарний невисокий генерал з червоним обличчям жваво й спритно робив тріпака.
- Ха, ха, ха! Ай та Микола Іванович! ха, ха, ха!..
Офіцер відчував, що, входячи цієї хвилини з важливим наказом, він робиться вдвічі винен, і він хотів почекати; але один із генералів побачив його і, дізнавшись, навіщо він, сказав Єрмолову. Єрмолов із насупленим обличчям вийшов до офіцера і, вислухавши, взяв від нього папір, нічого не сказавши йому.
- Ти думаєш, це ненароком він поїхав? - сказав цього вечора штабний товариш кавалергардському офіцеру про Єрмолова. - Це штуки, це все навмисне. Коновніцина підкотити. Подивися, завтра каша яка буде!

На другий день, рано-вранці, старий Кутузов встав, помолився богу, одягнувся і з неприємною свідомістю того, що він повинен керувати битвою, якої він не схвалював, сів у коляску і виїхав з Леташівки, за п'ять верст позаду Тарутіна, до того місця, де повинні були бути зібрані наступні колони. Кутузов їхав, засинаючи і прокидаючись і прислухаючись, чи немає справа пострілів, чи справа не починалася? Але все ще було тихо. Тільки починався світанок сирого та похмурого осіннього дня. Під'їжджаючи до Тарутіна, Кутузов помітив кавалеристів, що вели на водопій коней через дорогу, якою їхала коляска. Кутузов придивився до них, зупинив візок і спитав, якого полку? Кавалеристи були з тієї колони, яка мала бути вже далеко попереду в засідці. «Помилка, можливо», – подумав старий головнокомандувач. Але, проїхавши ще далі, Кутузов побачив піхотні полиці, рушниці у козлах, солдатів за кашею та з дровами, у підштанниках. Покликали офіцера. Офіцер доповів, що жодного наказу про виступ не було.
– Як би не… – почав Кутузов, але зараз же замовк і наказав покликати до себе старшого офіцера. Вилізши з коляски, опустивши голову і важко дихаючи, мовчки чекаючи, ходив він туди-сюди. Коли з'явився зажаданий офіцер генерального штабу Ейхен, Кутузов почервонів не тому, що цей офіцер був виною помилки, а тому, що він був гідний предмет висловлювання гніву. І, тремтячи, задихаючись, старий чоловік, прийшовши в той стан сказу, в який він міг приходити, коли валявся по землі від гніву, він напустився на Ейхена, погрожуючи руками, кричачи і лаючись майданними словами. Інший капітан Брозін, що підвернувся, ні в чому не винен, зазнав тієї ж долі.
- Це що за канальці ще? Розстріляти мерзотників! - хрипко кричав він, махаючи руками і хитаючись. Він відчував фізичне страждання. Він, головнокомандувач, світліший, якого всі запевняють, що ніхто ніколи не мав у Росії такої влади, як він, він поставлений у це становище – піднятий на сміх перед усією армією. «Дарма так клопотав молитися за сьогоднішній день, даремно не спав ніч і все обмірковував! – думав він про себе. – Коли був хлопчиськом офіцером, ніхто б не смів так сміятися з мене… А тепер!» Він відчував фізичне страждання, як від тілесного покарання, і не міг не виражати його гнівними та страждальними криками; але незабаром сили його ослабли, і він, озираючись, відчуваючи, що багато наговорив поганого, сів у коляску і мовчки поїхав назад.

Сто років тому дійсний член Королівської Академії наук Пруссії Карл Шварцшильд надіслав своєму побратимові за Академією Альберту Ейнштейну статтю з математичним описом поля тяжіння поза та всередині сфери, заповненої нерухомою рідиною постійної щільності. Ця робота стала початком теоретичних досліджень екзотичних об'єктів, які ми називаємо чорними дірками.

Осяяння Джона Мічелла

Історія створення сучасної теорії чорних дірок та їх відкриття у космічному просторі надто велика і складна, щоб її можна було без перепусток та спрощень укласти до статті розумного розміру. Тому я доведу розповідь лише до перших прикладів використання математичної моделі Шварцшильда у реальній астрофізиці, які мали місце майже через чверть століття після публікації його чудової статті. Однак у протилежному напрямку я залізу в історію кудись далі - в кінець XVIII століття. Саме тоді, в 1784 році, в офіційному журналі Лондонського Королівського товариства з'явилася стаття з незвично (принаймні для нас) довгим заголовком: On Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. зміщені зірки, в подальшому звільнення від Velocity їхнього світла, у випадку такої зволікання повинні бути введені в таку площу в будь-якому місці, і такі інші дані можуть бути зроблені з Observations, якби не було потреби для цього Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. F. R. S. У Letter до Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A.S. Її автор, преподобний Джон Мічелл (John Michell), вже тоді вмів обчислювати фізичну величину, яка зараз має ім'я радіуса Шварцшильда. Хоча ця робота ні в якому сенсі не може вважатися попередницею сучасної концепції чорних дірок, заради історичної повноти почати треба саме з неї.

Є всі підстави назвати Джона Мічелла (1724–1793) блискучим англійським вченим XVIII століття, який закінчив курс Кембриджського університету. Він здобув освіту в Коледжі Корольов (Queens" College), де потім викладав з 1751 по 1763. Одружившись, він пристойного доходу заради став шукати церковну посаду, і з 1767 до самої смерті був настоятелем (ректором) приходу Св. Михайла у селі Торнхілл неподалік Лідса. Він і там продовжував займатися наукою - до кінця життя.

Мічелл був чудовим і надзвичайно оригінальним дослідником. Його заслужено вважають батьком-засновником одразу двох наук – сейсмології та зіркової статистики. Мічелл першим виявив, що сила відштовхування між однойменними полюсами постійних магнітів зменшується пропорційно квадрату відстані, і задовго до Шарля Кулона (Charles-Augustin de Coulomb) винайшов і зробив «в залозі» крутильні ваги, які хотів, але не встиг використовувати для граві . Вже після смерті Мічелла його друг Генрі Кавендіш (Henry Cavendish), який отримав цей прилад і самостійно побудував його модифіковану версію, виконав прецизійні проміри сили тяжіння, результати яких вже на початку XIX століття дозволили обчислити постійну гравітаційну з помилкою лише порядку одного відсотка. (Можливо, варто нагадати, що ця фундаментальна фізична константа, як прийнято вважати, вперше з'явилася в першому томі знаменитої монографії Симеона Дені Пуассона (Siméon Denis Poisson) Traité de mécanique, а широко використовуватися фізиками стала тільки в другій половині ХІХ століття.) До речі , статтю Мічелла, про яку йдеться, було надіслано саме Кавендішу, який зачитав її на кількох засіданнях Королівського товариства наприкінці 1783-го і на початку 1784 року. Мічелл, і сам активний член Товариства з 1760 року, тоді не зміг чи не захотів приїхати до Лондона (чому саме невідомо).

На жаль, Мічелл був неважливим комунікатором. Він часто включав свої чудові результати в тексти довгих журнальних статей, де описи відкриттів майже губилися на досить трюїстичному фоні. Через це Мічелл ні за життя, ні після смерті не отримав того визнання, яке він, безсумнівно, заслуговував.

У вступному листі до Кавендіша, що передує основну статтю, Мічелл дуже чітко сформулював мету нового дослідження. Він, як і інші британські вчені того часу, за Ньютоном вважав світло потоком найдрібніших частинок. Мічелл також слідом за Джозефом Прістлі (Joseph Priestley) припустив, що ці частки, як і звичайна матерія, підкоряються законам механіки і, зокрема, повинні гальмуватися силами тяжіння. Мічелл вирішив, що за допомогою цього ефекту в принципі можна вимірювати відстань до зірок, зіркові величини та зіркові маси (стор. 35). Він також висловив сподівання, що астрономи зможуть плідно використовувати цей метод спостережень, що ще ніким не застосовувався (стор. 35–36).

Суть справи наступного. Вважаючи, що швидкість світла в момент його випромінювання завжди однакова, Мічелл запропонував визначати швидкість світла, що приходить на Землю від різних зірок, і за допомогою законів небесної механіки вичавлювати з цих вимірів відомості про самі зірки. Наприклад, якщо припустити, що всі зірки (або якась група зірок) віддалені від Землі приблизно на однакові відстані, такі вимірювання дозволять оцінювати відносини зоряних мас: чим важча зірка, тим сильніше її тяжіння уповільнюватиме світлові корпускули.

Мічелл дуже докладно пояснив деталі свого методу, причому, у дусі ньютонівських «Математичних засад натуральної філософії», не навів жодної формули – його виклад суворо геометрично. У його статті чимало дотепних висновків, тим більше що, окрім механіки, він приваблює для своїх міркувань оптику та астрономію. Звичайно, ця праця була витрачена марно: швидкість світла у вакуумі стала. Тому стаття Мічелла швидше за все була б міцно забута, якби не один висновок - до речі, зроблений цілком схожим. Розвиваючи свої дедукції, він зрештою робить висновок, що дуже масивна зірка повинна настільки гальмувати світлові частинки, що вони ніколи не зможуть піти на нескінченність. Весь її світло під дією її ж власного тяжіння буде змушений повернутися назад до зірки (стор. 42). Звідси випливає, що така зірка виявиться невидимою – принаймні з дуже великих дистанцій. Мічелл зазначив, що, згідно з його обчисленнями, для того, щоб світло зірки з тією ж щільністю, що й у Сонця, не могло піти на нескінченність, її діаметр повинен приблизно в 500 разів перевищувати сонячний. Таким чином, робить висновок Мічелл, якщо дуже далеко від нас існують настільки ж (і навіть більше) масивні зірки, ми ніколи не зможемо отримати про них ніякої інформації за допомогою їхнього світла (стор. 50). Цікаво, що він використовує саме слово information, яке тоді не було в такому ході, як у наші дні.

Легко бачити, що аналогія між чорними дірками у сучасному розумінні та мічеллівськими екзотичними зірками є дуже поверховою та приблизною. Класична чорна діра взагалі не випромінює жодного світла (гіпотетичне випромінювання Хокінга - чисто квантовий ефект) і в цьому сенсі справді є чорною. Світлові корпускули в моделі Мічелла, навпаки, за будь-якого розкладу залишають поверхню зірки, тільки не завжди йдуть на нескінченність. Тому у Мічелла жодних абсолютно чорних зірок немає і бути не може, всі вони видно з тих чи інших дистанцій. Є й багато інших цілком очевидних відмінностей.

Мічелл замислився і над тим, чи не можна з Землі виявити зірку, якщо її світло не досягає нашої планети. І запропонував (я не можу не захопитись його проникливістю!) не просто здійсненне, а й абсолютно сучасне рішення. Припустимо, що така зірка входить у подвійну систему, причому світло другої зірки видно у наші телескопи. Тоді ми зможемо судити про наявність і навіть властивості невидимої зірки, спостерігаючи «хитання» її партнера. Добре відомо, що цей метод давно застосовується під час пошуку екзопланет.

Наскільки прав мав Мічелл у своєму обчисленні параметрів зірки, яку неможливо побачити з нескінченно великої дистанції? Відповідну формулу отримати дуже легко, це завдання для школяра. Треба взяти загальновідомий математичний вираз для другої космічної швидкості та підставити на її місце швидкість світла. В результаті отримаємо, що зірка з масою Mпосилатиме світлові корпускули на кінцеві відстані, якщо її радіус Rне перевищує величину \(R_(cr) = \frac(2GM)(c^2) \), де G- ньютонівська постійна тяжіння, а c- швидкість світла. Для зірки з масою Сонця це приблизно 3 кілометри. Отже, критичний радіус будь-якої зірки в мічеллівській моделі дорівнює трьом кілометрам, помноженим на її масу в сонячних одиницях (інакше кажучи, на відношення її до маси Сонця). Звичайно, алгебраїчною формулою для критичного радіусу Мічелл володіти не міг хоча б через відсутність у тодішній фізичній мові поняття постійної гравітаційної. Мічелл (знову-таки в дусі Ньютона) оцінив його за допомогою геометричних побудов, причому дуже дотепних.

Повернемося, наприклад, Мічелла. Маса зірки сонячної щільності, чий діаметр у 500 разів більше сонячного, становить 125 мільйонів сонячних мас. Критичний радіус тіла з такою масою, згідно з наведеною вище формулою, дорівнює 375 мільйонів кілометрів. Середній радіус Сонця - приблизно 700 тисяч кілометрів, і якщо його помножити на 500, отримаємо 350 мільйонів. Тож Мічелл помилився зовсім небагато.

Джон Мічелл довіряв своїй логіці та інтуїції і тому припускав, що глибини космосу приховують безліч зірок, які з Землі не можна розглянути в жодному телескопі. Через три роки після його смерті такого ж висновку дійшов великий французький математик, астроном і фізик П'єр-Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace), який тоді ще не мав ні графського титулу, отриманого від Наполеона, ні титулу маркіза, яким його удостоїли Бурбони. Про світлі, але невидимі із Землі тіла (corps obscurs) він дуже коротко згадав у першому (1796) виданні свого популярного трактату Exposition du Système du Monde. У XIX столітті ця праця витримала багато прижиттєвих перевидань, які вже не згадували цієї гіпотези. Це і зрозуміло, оскільки більшість фізиків тоді вже вважали світло коливаннями ефіру. Існування «темних» зірок суперечило хвильовій концепції світла, і Лаплас вважав за краще про них забути. У пізні часи цю ідею вважали курйозом, гідним згадки лише у працях з історії науки.

І ще одна важлива деталь. І Мічелл, і Лаплас приписували невидимість на великих дистанціях тільки найбільш гігантським і, автоматично, найпотужнішим зіркам (тоді вважалося, що щільності всіх зірок приблизно рівні щільності Сонця). Ні той, ні інший не помітили, що в рамках ньютонської теорії світла тим же властивістю може мати і невелике тіло, що світиться, надзвичайно високої щільності. Втім, про можливість таких компактних космічних об'єктів на той час ніхто не замислювався.

Карл Шварцшильд та його формули

25 листопада 1915 Альберт Ейнштейн представив Академії наук Пруссії письмову доповідь, що містить систему повністю підступних рівнянь релятивістської теорії гравітаційного поля, відомої також як загальна теорія відносності (ОТО). Тижнем раніше він виступив на засіданні Академії з лекцією, в якій продемонстрував у роботі більш ранню версію цих рівнянь, які не мали повної підступності (її він представив Академії на два тижні раніше). Проте вже ці рівняння дали Ейнштейну можливість за допомогою методу послідовних наближень правильно обчислити аномальне обертання орбіти Меркурія і передбачити величину кутового відхилення зоряного світла в полі тяжіння Сонця (докладніше про історію відкриття ОТО див. , 25.11.2015).

Цей виступ знайшов вдячного слухача в особі колеги Ейнштейна по Академії Карла Шварцшильда (Karl Schwarzschild, 1873-1916), який служив у діючій армії Німецької імперії лейтенантом артилерії і саме тоді приїхав у відпустку. Повернувшись до місця служби, Шварцшильд у грудні знайшов точне рішення першої версії рівнянь Ейнштейна, яке опублікував за його посередництвом у «Звітах про засідання» ( Sitzungsberichte) Академії. У лютому, вже ознайомившись із остаточною версією рівнянь ОТО, Шварцшильд надіслав Ейнштейну другу статтю, в якій вперше у явному вигляді фігурував гравітаційний, він же шварцшильдівський, радіус. 24 лютого Ейнштейн передав до друку і цю роботу.

Подібно до Джона Мічелла, Шварцшильд був не тільки блискучим, а й дуже різнобічним ученим. Він залишив глибокий слід у спостережній астрономії, де став одним із піонерів оснащення телескопів фотографічною апаратурою та її використання з метою фотометрії. Йому належать глибокі та оригінальні праці в галузі електродинаміки, зіркової астрономії, астрофізики та оптики. Шварцшильд навіть встиг зробити важливий внесок у квантову механіку атомних оболонок, побудувавши у своїй останній науковій роботі теорію ефекту Штарка (K. Schwarzschild, 1916. Zur Quantenhypothese). У 1900 році, за п'ятнадцять років до створення ОТО, він не тільки всерйоз розглянув можливість того, що геометрія Всесвіту відрізняється від евклідового (її допускав ще Лобачевський), але й оцінив нижні межі радіусу кривизни простору для сферичної та псевдосферичної геометрії космосу. Не досягнувши ще й тридцяти років, він став професором Геттінгенського університету та директором університетської обсерваторії. В 1909 він був обраний членом Лондонського астрономічного товариства і очолив Потсдамську астрофізичну обсерваторію, а ще через чотири роки став членом Прусської академії.

Наукову кар'єру Шварцшильда перервала Перша світова війна. Не підлягаючи за віком призову, він пішов до армії добровольцем і зрештою опинився на російському фронті в штабі артилерійської частини, де займався розрахунком траєкторій снарядів далекобійних знарядь. Там він став жертвою пемфігусу, дуже тяжкого аутоімунного захворювання шкірних покривів, до якого мав спадкову схильність. Ця патологія погано піддається лікам і в наш час, а тоді була невиліковною. У березні 1916 року Шварцшильд був комісований і повернувся до Потсдама, де помер 11 травня. Шварцшильд і загиблий у Дарданелльской операції англійський фізик Генрі Гвін Мозлі (Henry Moseley) стали найбільшими вченими, життя яких забрала Перша світова війна.

Знаменита просторово-часова метрика Шварцшільда ​​історично стала першим точним рішенням рівнянь ОТО. Вона описує статичне гравітаційне поле, що створюється у вакуумі нерухомим сферично-симетричним тілом маси. M. У стандартному записі в координатах Шварцшільда t, r, θ, φ та при виборі сигнатури (+, −, −, −) вона дається формулою

\[ \mathrm(d)s^2= \left(1-\frac(r_s)(r)\right)c^2\mathrm(d)t^2- \left(1-\frac(r_s)( r)\right)^(-1)\mathrm(d)r^2- r^2(\sin^2\theta\,\mathrm(d)\varphi^2 + \mathrm(d)\theta^2 ), \quad\quad\quad \text((1))\]

До кінця першої чверті ХХ століття астрономи навчилися з пристойною точністю визначати міжгалактичні відстані на околиці Чумацького Шляху. Після цього стало ясно, що деякі з нових зірок випромінюють у тисячі разів більше енергії, ніж інші. У 1925 року шведський астроном Кнут Еміль Лундмарк (Knut Emil Lundmark) запропонував виділити в особливу групу нових зірок вищого класу, але це найменування якось не прищепилося. На початку 30-х професор фізики Калтеха Фріц Цвіккі (Fritz Zwicky) у лекціях для аспірантів став називати екстремально яскраві спалахи надновими. Цей термін прищепився, хоча згодом втратив дефіс.

У грудні 1933 року Цвіккі і астроном з обсерваторії Маунт Вільсон Вальтер Бааде (обидва - емігранти з Європи) представили на сесії Американського фізичного товариства доповідь «Про наднові», яка невдовзі з'явилася в пресі (W. A. ​​Baicky and , 1934 On Super-Novae). Доповідь була помічена за межами фізичної спільноти та відзначена в американських ЗМІ. Бааде і Цвіккі підрахували, що протягом місяця типова наднова посилає у простір стільки ж світла, скільки випромінює наше Сонце за 10 мільйонів років. Вони дійшли висновку, що таке можливе лише при частковому перетворенні маси зірки на променеву енергію відповідно до формули Ейнштейна. Тому вони припустили, що вибух наднової є трансформацією звичайної зірки в зірку нового типу, що складається в основному з нейтронів. Нейтронна зірка повинна мати дуже малий радіус і, отже, складатися з речовини екстремально високої щільності, яка на багато порядків перевершує щільність білих карликів. Ця гіпотеза була сформульована в замітці Cosmic Rays from Super-Novae, опублікованій у тому ж випуску Proceedings of the National Academy of Sciencesвідразу за першим повідомленням. У тій самій роботі вони висунули воістину пророчу гіпотезу: вибухи наднових зірок може бути джерелом космічних променів.

Більшість фахівців визнали припущення про народження нейтронних зірок на фінальній стадії вибухів наднових, м'яко кажучи, погано обґрунтованим - тим більше, що Цвіккі і Бааді не могли запропонувати фізичний механізм народження таких дивних космічних об'єктів. Спочатку його не прийняв навіть Чандрасекар, хоча в 1939 році, виступаючи на конференції в Парижі, він все ж таки припустив, що ця гіпотеза має право на існування. Остаточно її справедливість стала ясною лише після відкриття радіопульсарів у 1967 році. Варто зазначити, що термін «пульсар» наприкінці того ж року винайшов не вчений, а журналіст, науковий оглядач газети Daily TelegraphЕнтоні Міхаеліс (Anthony Michaelis).

Бааде та Цвіккі не першими допустили існування космічних об'єктів, що складаються з надщільної матерії. Раніше з аналогічною ідеєю виступив Лев Давидович Ландау, який припустив, що зіркові ядра, що складаються з такої матерії, можуть бути джерелом гравітаційної енергії, яку зірки витрачають на своє випромінювання. Його стаття була написана на початку 1931 року, тобто ще до відкриття нейтрона заступником директора Кавендіської лабораторії Джеймсом Чедвіком (James Chadwick) у 1932 році (природно, ця частка в статті Ландау і не згадується), проте опублікована роком пізніше (L. D. Land). . On the theory of stars). У першій частині статті Ландау як самостійно перевідкрив формулу межі Чандрасекара (про яку він, можна сумніватися, не встиг дізнатися), а й обчислив йому цілком прийнятне значення 1,5 M s. Ландау виявився ближчим до істини, оскільки використав цілком реалістичну оцінку маси на один електрон, вважаючи її рівною подвоєною масою протона (Чандрасекар у своїй першій статті вважав її рівною двом з половиною протонним масам).

У другій частині Ландау у сенсі дав волю фантазії. Він зробив дуже екзотичне припущення, згідно з яким звичайні зірки мають компактні надщільні серцевини, фактично гігантські атомні ядри, які і служать їх енергетичними джерелами. Оскільки обґрунтувати цю ідею в контексті тогочасних (втім, як і сьогоднішніх) фундаментальних фізичних теорій було неможливо, Ландау навіть припустив, що в таких зоряних надрах може порушуватись закон збереження енергії. При цьому він посилався на авторитет Нільса Бора, який намагався в тому ж ключі пояснити загадковий розкид енергій та імпульсів бета-розпадних електронів (як відомо, Вольфганг Паулі «врятував» закон збереження енергії за допомогою гіпотетичної нейтральної частки, пізніше названої нейтрино).

Загалом, «нейтронізація» зоряної речовини як причина феноменальної потужності наднових – цілком і повністю ідея Бааді та Цвіккі. Щоправда, Бааді більше до неї не повертався і, швидше за все, не надто всерйоз приймав. А ось Цвіккі розгорнув цілу програму пошуку наднових за допомогою 18-дюймового телескопа з фотокамерою, придбаного за рахунок фонду Рокфеллера. Вже до осені 1937 року, всього за рік спостережень, він виявив три наднові. Ця програма була згорнута після нападу японців на Перл-Харбор.

У ретроспективі зрозуміло, що гіпотеза Бааде і Цвіккі вказувала на цей перехід від виродженого електронного газу до речовини іншої природи, який логічно випливав з робіт Френкеля, Андерсона, Стоунера і Чандрасекара. Не дивно, що вона дуже зацікавила Ландау, який за кілька років повернувся до своєї моделі і опублікував її модифіковану версію в журналі Nature(L. D. Landau, 1938. Origin of Stellar Energy). У цій замітці Ландау вже прямо писав не взагалі про ядерну, а саме про нейтронну матерію, що виникла при злитті електронів з атомними ядрами при надвисоких тисках усередині зіркових надр (цікаво, що при цьому він послався не на Бааді та Цвіккі, а на професора Лейпцизького університету Фрідріха Хунда (Friedrich Hund), який у середині 1930-х років активно займався астрофізикою). Ландау стверджував, що нормальні зірки можуть мати стабільні нейтронні ядри з масою понад одну тисячну (в інших припущеннях, одну двадцяту) маси Сонця, стиснення яких забезпечує енергію, що йде на їх випромінювання.

Однак у разі Ландау змінила його уславлена ​​інтуїція. Його гіпотеза того ж року була спростована Робертом Оппенгеймером (Julius Robert Oppenheimer) та його постдоком Робертом Сербером (Robert Serber) (J. R. Oppenheimer and R. Serber, 1938. On the Stability of Stellar Neutron Cores). Вони показали, що адекватний облік ядерних сил практично виключає можливість існування нейтронних ядер у зірок, маси яких можна порівняти з масою Сонця. Оппенгеймер і Сербер також дійшли цілком вірного, як показав час, висновку, що ніяке нейтронне ядро ​​не може виникнути до того, як зірка повністю вичерпає всі джерела ядерної енергії (і, таким чином, хоча в статті це прямо і не говориться, зійде з головної послідовності). У їхньому короткому повідомленні також зазначено (щоправда, без доказів), що маса такого ядра принаймні може бути менше однієї десятої маси Сонця. Ця оцінка була отримана на основі одних тільки енергетичних міркувань і виявилася абсолютно правильною. За сучасними уявленнями, при масі ядра менше 0,1 M sнейтрони стали б перетворюватися на протони за допомогою бета-розпаду. Новонароджені протони зливалися б з нейтронами, утворюючи сильно нейтронадлишкові і тому вкрай нестабільні атомні ядра. В результаті, якби нейтронна зірка якимось чином схудла настільки, що її маса впала нижче 0,1 M s, вона зникла б у ядерному вибуху За цю інформацію я дуже вдячний лікареві ф.-м. наук А. Ю. Потєхіну.

Ландау незабаром після публікації статті в Natureбув заарештований і рік провів ув'язнення. До своєї моделі нейтронного ядра як джерела зоряної енергії він більше ніколи не повертався - швидше за все тому, що на час його звільнення в квітні 1939 року було вже ясно, що зірки головної послідовності живляться енергією термоядерного синтезу. Можливо, буде не зайвим нагадати, що Сербер у воєнні роки став одним з головних учасників Манхеттенського проекту, який очолював Оппенгеймер, і це саме він придумав імена для атомних бомб «Малюк» (Little Boy) і «Товстун» (Fat Man), скинутих 6 і 9 серпня 1945 року на Хіросіму та Нагасакі.

Повернення до Шварцшильда: перші кроки

Оскільки гіпотеза Цвіккі і Бааде все ж таки нікуди не поділася, виникло природне питання: чи існує верхня межа маси для тих наднових, які імовірно залишають по собі нейтронні зірки (нагадаю, що Ландау говорив не про верхню, а про нижню межу маси нейтронних ядер звичайних зірок )? Іншими словами, чи існує верхня межа маси гіпотетичних нейтронних зірок подібно до того, як вона існує для білих карликів? При цьому було зрозуміло, що нейтронні зірки, якщо вони справді народжуються в космічному просторі, густо незмірно перевершують білі карлики. У 1937 році Георгій Гамов оцінив максимальну щільність нейтронної речовини в 10 17 кг/м 3 (G. Gamow, 1937. G. Gamov, 1939) густини маси типового білого карлика. Його результат цілком витримав перевірку спостереженнями: виміряні щільності нейтронних зірок варіюють у діапазоні (4-6) 10 17 кг/м 3 . У тій же монографії Гамов, згадавши опубліковану в 1932 гіпотезу Ландау, зазначив, що нейтронні ядра могли б забезпечити активне життя зірки «на дуже довгий час», хоча в той час така думка була вже анахронізмом.

У 1939 році цю проблему спробували вирішити Роберт Оппенгеймер та його канадський аспірант Джордж Майкл Волков (George Michael Volkoff), москвич з народження та в колишньому житті Георгій Михайлович. Їхня спільна стаття (J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, 1939. On Massive Neutron Cores) заслужено вважається одним із найяскравіших досягнень теоретичної астрофізики першої половини двадцятого століття. І це незважаючи на те, що отримана в ній оцінка верхньої межі маси нейтронних залишків масивних зірок виявилася заниженою.

Можна було б очікувати, що Оппенгеймер, ставлячи це завдання, хотів прояснити застосування гіпотези Бааде і Цвіккі. Однак якщо він мав такий намір, він зробив усе, що його приховати. У статті, про яку йдеться, взагалі немає посилань на жодну публікацію цих дослідників. Що й не дивно. Оппенгеймер тоді був професором фізики Каліфорнійського університету в Берклі, проте регулярно наїжджав до Калтеха, де працював Цвіккі. Не секрет, що Оппенгеймер на дух не переносив Цвіккі як людину і не довіряв їй як вченому (і таке ставлення в обох планах поділяли багато сучасників). Отже Оппенгеймер і Волков обмежилися нейтральною фразою: «Було припущено можливість, що у центральних областях досить потужних зірок, виснажили термоядерні джерела енергії, формуються сильно стислі нейтронні ядра» (стор. 475). Як одне з джерел цієї гіпотези вони назвали недавню публікацію Ландау в Nature, тоді як Бааде і Цвіккі проходять лише за розрядом «та інші» (Ibid). Вони також послалися на вищезгадане повідомлення Оппенгеймера та Сербера, точніше, на їхню оцінку мінімальної маси нейтронного ядра в 0,1 M s.

А далі починається найцікавіше. Оппенгеймер та Волков працювали з моделлю виродженого холодного нейтронного фермі-газу зі сферично-симетричним розподілом частинок. У цьому плані їхній підхід цілком аналогічний підходам Андерсона, Стоунера, Чандрасекара та Ландау, які робили обчислення на базі моделі виродженого релятивістського електронного газу. Оппенгеймер і Волков спеціально підкреслили, що якщо безпосередньо взяти зі статті Ландау 1932 формулу для максимальної маси зірки, що складається з такого газу (нагадаю, що це точний аналог формули Чандрасекара) і просто замінити там електрони нейтронами, верхня межа маси зірки складе приблизно 6 сонячних. мас, що й справді обчислюється цілком елементарно. Однак далі співавтори вказують, що такий підхід був би хибним, причому з двох причин. Для отримання правильного результату необхідно врахувати неньютоновський характер тяжіння гіпотетичного нейтронного ядра з його величезною гравітацією. Крім того, не можна заздалегідь припускати, що нейтронний газ буде релятивістською виродженою у всьому обсязі зірки. «Справжнє дослідження ставить собі за мету з'ясувати, які відмінності в результати обчислень внесе використання як загальної теорії відносності замість ньютонівської теорії гравітації, так і більш точного рівняння стану» (стор. 575).

Для вирішення цього завдання Оппенгеймер і Волков провели розрахунки на основі загального статичного рішення польових рівнянь Ейнштейна для сферично-симетричного розподілу речовини і, зокрема, рішення Шварцшильда, яке описує метрику порожнього простору, що оточує цю речовину. Вони також припустили, що речовина складається з квантових частинок, що підпорядковуються статистиці Фермі-Дірака, чиєю тепловою енергією та негравітаційними взаємодіями можна знехтувати. Прирівнявши масу частинок цього холодного фермігазу масі нейтронів і провівши наближене чисельне інтегрування отриманих рівнянь, Оппенгеймер і Волков дійшли висновку, що маси нейтронних ядер зірок, які повністю використовували свої термоядерні енергетичні ресурси, не можуть перевищувати 70% сонячної маси.

Давно відомо, що ця перша оцінка максимальної маси нейтронних ядер виявилася заниженою. Найпізніше моделювання показало, що маси нейтронних зірок повинні лежати в інтервалі (1,5–3) M s; маси нейтронних зірок, що реально спостерігалися, становлять від півтори до двох сонячних мас. Причина цієї помилки також зрозуміла. Наприкінці 1930-х років ще не існувало розгорнутої теорії ядерних сил, яка б дозволила написати хоча б наближені рівняння стану матерії при надвисоких щільностях і тисках. Наразі відомо, що у цій галузі діють потужні ядерні сили відштовхування, які й збільшують нижню межу мас нейтронних зірок порівняно з моделлю Оппенгеймера-Волкова.

Порівняння оцінки Оппенгеймера-Волкова з межею Чандраксекара очевидно створювало малоприємну проблему, що вони самі чудово зрозуміли і прокоментували. Якщо тиск виродженого релятивістського електронного газу здатне чинити опір гравітаційному колапсу зірок з масою аж до майже півтори маси Сонця, то абсолютно незрозуміло, як могла б виникнути нейтронна зірка, якщо її маса не може перевищувати 0,7 M s. Оппенгеймер і Волков обійшли цю труднощі, припустивши, що нейтронні ядра можуть бути як завгодно масивними, якщо різниця між щільністю матерії та її потрійним тиском набуває великих негативних значень (стор. 381). Зараз ми знаємо, що це припущення не виправдалося, і верхня межа мас нейтронних зірок все ж таки існує. Оппенгеймер і Волков також висловили майже впевненість, що облік ядерних сил взаємного відштовхування не дозволить суттєво підвищити обчислену ними верхню межу мас нейтронних ядер - і в цьому вони теж виявилися неправими.

Зрозуміло, все це в жодному разі не зменшує значення роботи Оппенгеймера та Волкова. Вони діяли на абсолютно незвіданій території, причому практично поодинці, якщо не брати до уваги неформального сприяння професора Калтеха Річарда Толмена (Richard Tolman). Демонстрація, нехай і на спрощеній моделі, існування верхньої межі мас нейтронних зірок була результатом першорядної ваги. Цей результат дозволяв припустити, що найпотужніші нащадки наднових не стають нейтронними зірками, а переходять у якийсь інший стан.

На цьому варто зупинитися детальніше. Оппенгеймер, Волков і Толмен отримали рівняння для радіального градієнта тиску речовини всередині зірки, що стискається. Образно висловлюючись, воно показує, як зірка пручається стиску, збільшуючи внутрішній тиск. Однак в ОТО, на відміну від ньютонівської механіки, тиск сам служить фактором викривлення простору-часу і тим самим джерелом поля тяжіння. Тому гравітація всередині зірки може наростати настільки швидко, що колапс стає незворотнім. Це наслідок рівняння Толмена – Оппенгеймера – Волкова зараз здається дуже прозорим, проте автори його не простежили.

У тому ж 1939 Оппенгеймер і ще один його аспірант Хартланд Снайдер (Hartland Snyder) впритул наблизилися до опису такого фіналу (J. R. Oppenheimer and H. Snyder, 1939. On Continued Gravitational Contraction). Вони розглянули процес гравітаційного стиснення строго сферичного пилового хмари, що не обертається, з постійною щільністю - знову-таки, з явним використанням шварцшильдівської метрики. Звісно, ​​це була максимально спрощена модель космічної речовини. Частинки пилоподібної матерії за визначенням взаємодіють один з одним виключно за допомогою взаємного тяжіння (отже, тиск у такій хмарі дорівнює нулю) і тому рухаються геодезичними світовими лініями; крім того, така система не має термодинамічних характеристик. Проте найбільш реалістичних розрахунків з урахуванням загальної теорії відносності тоді просто не потягнути, у чому автори статті зізналися. Тим не менш, вони зазначили, що знайдене ними рішення, швидше за все, приблизно відображає основні риси процесу гравітаційного стиснення реальної зірки досить великої маси, яка повністю спалила своє термоядерне паливо (стор. 457).

Для отримання аналітичного рішення рівнянь ОТО Оппенгеймер і Снайдер перейшли до супутніх координат, у яких тензор енергії-імпульсу в даному випадку має єдину ненульову компоненту (T_4^4), рівну щільності речовини. На основі своєї – повторю, сильно ідеалізованої – моделі вони дійшли висновку, що досить масивна зірка, що встигла спалити термоядерне паливо, у ході подальшого стиснення стягується до свого гравітаційного радіусу. Цей процес займає нескінченно великий час з точки зору віддаленого спостерігача, але може бути дуже коротким для спостерігача, який рухається разом зі зірковою матерією, що стягується. Наприклад, згідно з їх обчисленнями, гравітаційний колапс хмари з початковою щільністю 1 г/см 3 і загальною масою 10 33 г (отже, з радіусом близько мільйона кілометрів) з погляду такого спостерігача займе лише одну земну добу. Наближаючись до гравітаційного радіусу, «зірка повністю ізолює себе від будь-яких контактів із віддаленим спостерігачем; зберігається лише її гравітаційне поле» (стор. 456).

З рівнянь Оппенгеймера і Снайдера майже однозначно випливає, що зірка після досягнення гравітаційного радіусу не зупиняється і продовжує стискатися до стану з нескінченно малим об'ємом і нескінченно високою щільністю. Співавтори все ж таки утрималися від такого радикального висновку і навіть не запропонували його як гіпотезу. На жаль, тоді їхня чудова робота не викликала особливого інтересу - можливо, частково і тому, що її публікація точно збіглася за датою початку Другої світової війни (1 вересня 1939 року). До того ж на той час фізики та астрономи мало цікавилися ОТО і погано її знали. Здається, єдиним фізиком-теоретиком екстра-класу, який без затримки гідно оцінив її, був Ландау.

Трохи раніше Оппенгеймера і Снайдера проблемі гравітаційного колапсу сферично-симетричної системи невзаємодіючих частинок приділив увагу і сам Ейнштейн (Albert Einstein, 1939). Ця стаття, яку він подав до публікації за два місяці до них, виявилася невдалою. Ейнштейн не вірив у шварцшильдівську сингулярність, що виникає поблизу гравітаційного радіусу, і тому намагався довести, що вона фізично недосяжна. Він використав метрику Шварцшильда (щоправда, у нестандартному записі), проте зробив цілком штучне припущення, що це частки рухаються навколо центру симетрії по круговим орбітам. Його обчислення показали, що зростання маси такої системи призводить до збільшення відцентрових сил, і це не дозволяє їй стискатися далі за певну межу. Через війну Ейнштейн із явним задоволенням констатував, що «сингулярність Шварцшильда немає у фізичної дійсності» (стор. 936). Він вважав, що це висновок має загальний характер, не обмежений специфікою моделі, у чому сильно помилився. Деякі історики науки взагалі вважають цю статтю найгіршою з ейнштейнівських наукових праць. Наскільки я знаю, історія замовчує, чи ознайомився Ейнштейн з моделлю Оппенгеймера - Снайдера, і якщо так, то як він її оцінив.

Чудові дослідження Оппенгеймера – Волкова та Оппенгеймера – Снайдера стоять на початку довгої та славної історії докладання шварцшильдівського рішення рівнянь ОТО до аналізу конкретних астрофізичних моделей. Нові кроки в цьому напрямку були зроблені вже в післявоєнний час, і їх опис виходить за межі моєї статті.

Тому обмежусь гранично коротким резюме. Фізична реальність чорних дірок стала поступово визнаватись після відкриття квазарів наприкінці 1950-х – на початку 1960-х років. Остаточне вирішення проблеми тотального колапсу дуже масивних зірок, які вичерпали своє ядерне паливо, було знайдено у другій половині ХХ століття зусиллями плеяди блискучих фізиків-теоретиків, у тому числі й радянських, переважно, з групи Я. Б. Зельдовича. Виявилося, що подібний колапс завждистискає зірку «до упору», повністю руйнуючи її речовину та породжуючи чорну дірку. Усередині дірки виникає сингулярність, "суперконцентрат" гравітаційного поля, замкнутий у нескінченно малому обсязі. У статичної дірки це точка, у обертової – кільце. Кривизна простору-часу і, отже, сила тяжіння поблизу сингулярності прагнуть нескінченності (звичайно, йдеться про опис на базі ОТО, який не враховує квантових ефектів). Математична теорія чорних дірок добре розроблена і дуже гарна - і вся вона історично перегукується з рішенням Шварцшильда.

Доповнення: автора, автора!

Офіційним батьком терміна «чорна діра» вважається професор університету Прінстона Джон Арчібальд Вілер (John Archibald Wheeler). На початку 1950-х років він переключився з ядерної фізики на ОТО і дуже багато зробив для перетворення цих досліджень на серйозну та швидко зростаючу область на стику фундаментальної фізики, астрофізики та космології. Достовірно відомо, що він говорив про чорні діри 29 грудня 1967, виступаючи на щорічній конференції Американської асоціації на підтримку науки (не виключено, що цей вислів і до того кілька разів прослизав у його публічних лекціях). Незабаром його виступ з'явився у пресі (John Archibald Wheeler, 1968. Our Universe: The Known and the Unknown). Ефектна назва, що запам'ятовується, виникла дуже вчасно, оскільки майже співпала за часом з першим повідомленням про відкриття радіопульсарів (A. Hewish et al., ). Воно полюбилося фізикам і викликало захоплення журналістів, які рознесли його по всьому світу.

Хоча Вілер безперечно ввів термін «чорна діра» як у мову фізики, так і в масове звернення, винайшли його все ж таки інші. Його етимологія докладно розібрана в новій книзі професора MIT Марсії Бартусяк (Marcia Bartusiak, 2015. Black Hole: Newtonians, Hated by Einstein, Gambled on by Hawking Became Loved, стор. 137-141). Згідно з її розвідками, вже в 1960 році колега Уїлера з фізичного факультету Прінстонського університету Роберт Дікке (Robert Dicke), який на початку другої половини минулого століття теж зайнявся гравітацією, виступаючи на колоквіумі в Інституті просунутих досліджень, жартома порівняв колапс масивної зірки чорною ямою» (Black Hole of Calcutta). У середині XVIII століття так стали називати невелику тюремну камеру у форті Вільям, яку збудувала в Калькутті британська Ост-Індська Компанія. У червні 1756 року новий правитель Бенгалії, Біхара та Орісси Сірадж-уд-Дауда захопив форт Вільям і вморив у цій камері кілька десятків полонених англійців, які загинули від задухи або теплового удару. З того часу вираз «black hole» закріпився в англійській мові як символ чогось, звідки немає повернення. У цьому сенсі його й ужив Роберт Дікке.

Як то кажуть, лиха біда почала. Жартівливому вислову Дікке судилося довге і почесне життя в новому значенні. Назва «чорна діра» кілька разів прозвучала в кулуарах Першого Техаського симпозіуму з релятивістської астрофізики, що відбувся у Далласі у грудні 1963 року. Незабаром його використав науковий редактор журналу LifeАльберт Розенфельд, який опублікував репортаж про цю зустріч. Його перша поява в науковій пресі мала місце 18 січня 1964 року, коли в журналі Science News Lettersбуло вміщено замітку про зустріч астрономів на щорічній сесії Американської Асоціації на підтримку науки, що відбулася наприкінці грудня у Клівленді. Згідно з автором нотатки Енн Евінг, цей вислів неодноразово вживав фізик з Інституту Годдарда Хонг-І Чіу (Hong-Yee Chiu), який зізнався, що вперше почув його від Діккі кілька років раніше. Так що пальма першості в іменуванні зірок, що повністю сколапсували, чорними дірками швидше за все належить Роберту Дікке. Цікаво, що Чіу в 1964 році і сам вигадав новий астрофізичний термін, а саме «квазар».

Загалом, вираз «чорна діра» як назва фінальної стадії гравітаційного колапсу найпотужніших зірок епізодично використовувався і до Уїлера. Такою є реальна історія.

Додаток: післясонячний карлик

Якби наша Галактика була приречена на одиночну подорож Космосом, цей прогноз мав би стовідсоткову достовірність. Однак через 4 мільярди років Чумацький Шлях зустрінеться і зіллється з сусідньою Андромедою, утворивши нову гігантську галактику. У більш віддаленому майбутньому їй судилося об'єднання з галактикою М33, вона ж галактика Трикутника. Не можна заздалегідь виключити того, що в цій зірковій асоціації Сонце, що стало білим карликом, виявиться членом тісної бінарної системи, маючи в якості партнера зірку головної послідовності або червоний гігант. Якщо її речовина почне перетікати на поверхню Сонця, може статися так, що Сонце або стане новою зіркою, або навіть перетвориться на наднову типу Ia і повністю зникне в жахливому вибуху. Однак, наскільки можна судити, ймовірність такого результату дуже мала, тому стандартний сценарій має всі шанси на здійснення.

Олексій Левін

Передісторіяпублікацій

25 листопада 1915 року професор Берлінського університету Альберт Ейнштейн представив Королівській академії наук Пруссії письмову доповідь, що містить систему повністю коваріантних (не змінюють вигляд при зміні системи координат) рівнянь релятивістської теорії гравітаційного поля, відомої також як Загальна теорія відносності.

Тижнем раніше Ейнштейн виступив на засіданні Академії з лекцією, де продемонстрував більш ранню і ще неповну версію цих рівнянь, які не мали повної підступності. Однак ці рівняння дали Ейнштейну можливість з допомогою методу послідовних наближень правильно обчислити аномальне обертання орбіти Меркурія і передбачити величину кутового відхилення зоряного світла на полі тяжіння Сонця. Карл Шварцшильд Цей виступ знайшов вдячного слухача — Карла Шварцшильда, колегу Ейнштейна з Академії. Він служив лейтенантом артилерії у діючій армії Німецької імперії і саме тоді приїхав у відпустку. У грудні, вже після повернення на фронт, Шварцшильд знайшов точне рішення першої версії рівнянь Ейнштейна, яке за його посередництвом опублікував у «Звітах про засідання» ( Sitzungsberichte) Академії. У лютому, вже ознайомившись із остаточною версією рівнянь ОТО, Шварцшильд надіслав Ейнштейну другу статтю, в якій уперше фігурує гравітаційний, він же шварцшильдівський, радіус. У сучасній інтерпретації це радіус горизонту чорної дірки, з-під якого неможлива передача сигналу назовні. 24 лютого, коли Ейнштейн передав до друку і цю роботу, битва під Верденом тривала вже три дні.

Наука і війна

Карл Шварцшільд (1873-1916) був не тільки блискучим, а й різнобічним вченим. Він залишив глибокий слід у спостережній астрономії, будучи одним із піонерів оснащення телескопів фотографічною апаратурою та її використання з метою фотометрії. Йому належать глибокі та оригінальні праці в галузі електродинаміки, зіркової астрономії, астрофізики та оптики. Шварцшильд навіть встиг зробити чималий внесок у квантову механіку атомних оболонок, побудувавши у своїй останній науковій роботі теорію ефекту Штарка — усунення та розщеплення атомних рівнів в електричному полі. У 1900 році, за п'ятнадцять років до створення ОТО, він не тільки всерйоз розглянув ту парадоксальну можливість, що геометрія Всесвіту відрізняється від евклідового (таке допускав ще Лобачевський), а й оцінив нижні межі радіусу кривизни простору для сферичної та псевдосферичної геометрії космосу. Не досягнувши і тридцяти років, він став професором Геттінгенського університету і директором університетської обсерваторії, в 1909 був обраний членом лондонського Королівського астрономічного товариства і очолив Потсдамську астрофізичну обсерваторію, а ще через чотири роки став дійсним членом Прусської академії наук. Звістка про смерть німецького солдата, що загинув під Верденом Струнку наукову кар'єру Шварцшильда обірвала Перша світова війна. Він не підлягав призову за віком, але пішов до армії добровольцем і зрештою опинився на російському фронті в штабі артилерійської частини, де займався обчисленням траєкторій снарядів далекобійних знарядь. Там він став жертвою пемфігусу, або пухирчатки, дуже тяжкого аутоімунного захворювання шкірних покривів, до якого мав спадкову схильність. Ця патологія погано піддається лікам і в наш час, а тоді взагалі була невиліковною.

У березні 1916 року Шварцшильд був комісований і повернувся до Потсдама, де помер 11 травня. Він був одним із найбільших фізиків, чиї життя забрала Перша світова. Також можна згадати Генрі Мозлі, одного із основоположників рентгенівської спектроскопії. Він служив офіцером зв'язку і загинув у 27 років під час Дарданелльської операції 10 серпня 1915 року.

Метрика Шварцшильда

Знаменита просторово-часова метрика (або чотиритензор) Шварцшильда історично стала першим точним рішенням рівнянь ОТО. Вона описує статичне гравітаційне поле, яке створюється у вакуумі нерухомим сферично-симетричним тілом маси M. У стандартному записі в координатах Шварцшильдаt, r, θ, φ має дві особливі точки (формальною мовою — сингулярності), поблизу яких один з елементів метрики прагне нуля , а інший до безкінечності. Одна з сингулярностей виникає при r = 0, тобто там, де звертається до нескінченності ньютоновський потенціал тяжіння. Друга сингулярність відповідає значенню r = 2GM/с 2 де G - гравітаційна постійна, M - гравітує маса і з - швидкість світла. Цей параметр зазвичай позначають r s і називають радіусом Шварцшільда ​​або гравітаційним радіусом. Це вже неньютонівська сингулярність, що випливає із рівнянь ОТО, над змістом якої мучилося кілька поколінь фізиків. Гравітаційний радіус тіла з масою Сонця дорівнює приблизно 3 км. Як відомо, цей параметр відіграє ключову роль у теорії чорних дірок.

Кутові координати Шварцшильда θ і ? У метриці Шварцшильда довжина кола з центром на початку координат виражається евклідівською формулою 2πr, проте відстань між двома точками з радіусами r 1 і r 2 , що знаходяться на одному радіус-векторі, завжди перевищує арифметичну різницю r 2 -r 1 . Звідси відразу видно, що шварцшильдівський простір неевклідовий — відношення довжини кола до довжини її радіусу менше, ніж 2π.

Перший містокдо чорним дірам

А тепер найцікавіше. Метрика Шварцшільда, як вона наведена вище, в обох його статтях взагалі відсутня. У першій з його публікацій «Про гравітаційне поле точкової маси, що випливає з теорії Ейнштейна», представлена ​​метрика простору-часу, що відповідає полю тяжіння точкової маси, яка зовсім не еквівалентна стандартній метриці, хоча зовні на неї схожа. У тій метриці, яку написав сам Шварцшильд, радіальна координата має нижню позитивну межу, тож сингулярність ньютоновського типу в ній відсутня. Залишається лише сингулярність, що виникає, коли радіус набуває свого мінімального значення, що виникає як стала інтегрування. Для цієї постійної статті Шварцшильда немає ні формули, ні чисельної оцінки, лише позначення α. Неформальний зміст цієї сингулярності полягає в тому, що точковий центр маси оточений сферою радіусу α і на цій сферичній поверхні відбувається щось дивне та незрозуміле. Подробиці Шварцшильд не вдається.

Карл Шварцшільд отримав свою метрику в результаті вирішення рівнянь Ейнштейна в їх першій версії, з якою він ознайомився 18 листопада. На її основі він підтвердив величину обчисленого Ейнштейном аномального повороту орбіти Меркурія. Він також вивів релятивістський аналог третього закону Кеплера, проте лише для кругових орбіт. Конкретно, він показав, що квадрат кутової швидкості пробних тіл, що обертаються за такими орбітами навколо центральної точки, дається простою формулою n 2 = α/2R 3 (літерою n Шварцшильд позначає кутову швидкість; R - радіальна координата). Оскільки R не може бути меншим, ніж α, кутова швидкість має верхню межу n 0 = 1/(√2α).

Нагадаю, що в ньютонівській механіці кутова швидкість тіл, що обертаються навколо точкової маси, може бути як завгодно великою, так що тут видно специфіка ОТО.

Формула для n 0 має незвичайний вигляд через її розмірність. Це з тим, що Шварцшильд приймає швидкість світла за одиницю. Щоб отримати кутову швидкість зі звичайною розмірністю 1/сек, треба праву частину формули для n 0 помножити швидкість світла c.

Родзинку Шварцшильд приберіг під завісу. Наприкінці статті він зазначив, що якщо величина точкової маси на початку координат дорівнює масі Сонця, то максимальна частота обігу виявляється приблизно 10 тис. оборотів на секунду. Звідси відразу випливає, що = 10 -4 с/2π√2. Оскільки з = 3×10 5 км/сек, параметр α виявляється приблизно рівним 3 км, тобто гравітаційному радіусу Сонця! Не з'явившись у статті Шварцшильда явно, це число проникло туди з чорного ходу і без будь-якого обґрунтування (адже Шварцшильд не уточнив, як він отримав чисельну величину граничної частоти). Загалом, вже перша стаття Шварцшильда прокладає дуже тонкий місток до теорії чорних дірок, хоча виявити його не так просто. Помітивши це, я чимало здивувався, оскільки прийнято вважати, що гравітаційний радіус з'являється лише у другій статті Шварцшильда.

Другий містокдо чорним дірам

Друга стаття Шварцшильда називається "Про гравітаційне поле сфери, заповненої несжимаемой рідиною, обчислене відповідно до теорії Ейнштейна". У ній (нагадаю, вже на базі повної системи рівнянь ОТО) обчислено дві метрики: для зовнішнього простору та простору всередині сфери. Наприкінці цієї статті вперше з'являється гравітаційний радіус 2GM/с 2 лише виражений в інших одиницях і ніяк спеціально не названий. Як зазначає Шварцшильд, у разі тіла з масою Сонця він дорівнює 3 км, а для маси в 1 г дорівнює 1,5 10 -28 см.

Але ці числа ще найцікавіше. Шварцшильд також вказує, що радіус сферичного тіла, виміряний зовнішнім спостерігачем, не може бути меншим за його гравітаційний радіус. Звідси випливає, що точкова маса, про яку йшлося у першій статті Шварцшильда, також представляється ззовні у вигляді сфери. Фізично це пов'язано з тим, що ніякий світловий промінь не може наблизитися до цієї маси ближче, ніж її гравітаційний радіус, а потім повернутися до зовнішнього спостерігача. У статті Шварцшильда цих тверджень немає, але вони прямо випливають із її логіки. Це другий місток до концепції чорних дірок, який можна знайти у Шварцшильда.

Епілог

Сферично симетричними рішеннями рівнянь ОТО після Шварцшильда займалися чисті математики, і фізики, і космологи. Навесні 1916 року голландець Йоханнес Дросте, який закінчував у Лейденському університеті докторську дисертацію під керівництвом Хендріка Лоренца, представив шефу для публікації роботу, в якій обчислив метрику простору-часу для точкової маси простіше, ніж це зробив Шварцшильд (про його результатат ). Саме Дросте першим опублікував ту версію метрики, яка пізніше стала вважатися стандартною.

У ході подальшого шліфування рішення Шварцшильда був також виявлений зовсім різний характер сингулярностей: одну, що виникає в стандартній формі метрики при г = rs, як з'ясувалося, можна усунути заміною координат, інша, що виникає при r = 0, виявилася непереборною і фізично відповідає нескінченності поля тяжіння .

Все це дуже цікаво, але цілком випадає за межі моєї статті. Досить сказати, що математична теорія чорних дірок давно і добре розроблена і дуже гарна — і вся вона історично перегукується з рішенням Шварцшильда. Що стосується фізичної реальності чорних дірок, що виникають в результаті колапсу найпотужніших зірок, то в неї астрономи почали вірити лише з початку 1960-х років після відкриття перших квазарів. Але це вже зовсім інша історія.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese / Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548-568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld інструменти Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189-196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie/Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424-434.

4. Droste J. Field of Single Center в EINSTEIN's Theory of Gravitation, і Motion of Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).