Kama unavyojua, wakati wa kuzidisha misemo kwa nguvu, vielelezo vyao kila wakati huongeza (a b *a c = a b+c). Hii sheria ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mwanahisabati Virasen aliunda jedwali la vielelezo kamili. Wao ndio waliotumikia kufunguka zaidi logarithmu. Mifano ya kutumia kipengele hiki inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo unahitaji kurahisisha kuzidisha kwa shida kwa kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Kwa lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.
Ufafanuzi katika hisabati
Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: logi a b=c, yaani, logariti ya yoyote. nambari isiyo hasi(yaani, chanya yoyote) "b" kwa msingi wake "a" inachukuliwa kuwa nguvu ya "c" ambayo msingi "a" lazima uinzwe ili hatimaye kupata thamani "b". Hebu tuchambue logarithm kwa kutumia mifano, tuseme kuna logi ya kujieleza 2 8. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata nguvu kwamba kutoka 2 hadi nguvu zinazohitajika unapata 8. Baada ya kufanya mahesabu fulani katika kichwa chako, tunapata namba 3! Na hiyo ni kweli, kwa sababu 2 kwa uwezo wa 3 inatoa jibu kama 8.
Aina za logarithm
Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli logarithms sio ya kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna tatu aina ya mtu binafsi maneno ya logarithmic:
- Logarithm ya asili ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e = 2.7).
- Desimali a, ambapo msingi ni 10.
- Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a>1.
Kila mmoja wao ameamua kwa njia ya kawaida, ambayo inajumuisha kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logariti moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logarithms, unapaswa kukumbuka mali zao na mlolongo wa vitendo wakati wa kuzitatua.
Sheria na baadhi ya vikwazo
Katika hisabati, kuna sheria-vikwazo kadhaa ambazo zinakubaliwa kama axiom, yaani, hazijadiliwi na ni ukweli. Kwa mfano, haiwezekani kugawanya nambari kwa sifuri, na pia haiwezekani kutoa mizizi hata kutoka nambari hasi. Logarithms pia ina sheria zao wenyewe, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi kufanya kazi hata kwa maneno marefu na yenye uwezo wa logarithmic:
- Msingi "a" lazima iwe kubwa zaidi kuliko sifuri, na si sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote daima ni sawa na maadili yao;
- ikiwa > 0, kisha b > 0, inageuka kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.
Jinsi ya kutatua logarithms?
Kwa mfano, kazi inapewa kupata jibu la equation 10 x = 100. Hii ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu kwa kuinua namba kumi ambayo tunapata 100. Hii, bila shaka, ni 10 2 = 100.
Sasa hebu tuwazie usemi huu katika fomu ya logarithmic. Tunapata logi 10 100 = 2. Wakati wa kutatua logarithms, vitendo vyote hukutana kivitendo ili kupata nguvu ambayo ni muhimu kuingiza msingi wa logarithm ili kupata nambari iliyotolewa.
Ili kuamua thamani kwa usahihi shahada isiyojulikana unahitaji kujifunza jinsi ya kufanya kazi na meza ya digrii. Anaonekana kwa njia ifuatayo:
Kama unavyoona, baadhi ya vielelezo vinaweza kubashiriwa kwa angavu ikiwa una akili ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Hata hivyo kwa maadili makubwa utahitaji meza ya digrii. Inaweza kutumika hata na wale ambao hawajui chochote kuhusu tata mada za hisabati. Safu wima ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni thamani ya nguvu c ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano, seli zina nambari za nambari ambazo ni jibu (a c = b). Hebu tuchukue, kwa mfano, kiini cha kwanza kabisa na namba 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi kwamba hata mwanadamu wa kweli zaidi ataelewa!
Equations na kutofautiana
Inabadilika kuwa chini ya hali fulani kielelezo ni logarithm. Kwa hiyo, hisabati yoyote maneno ya nambari inaweza kuandikwa kama mlinganyo wa logarithmic. Kwa mfano, 3 4 =81 inaweza kuandikwa kama logariti msingi 3 ya 81 sawa na nne (logi 3 81 = 4). Kwa nguvu hasi sheria ni sawa: 2 -5 = 1/32 tunaiandika kama logarithm, tunapata logi 2 (1/32) = -5. Moja ya sehemu ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutaangalia mifano na ufumbuzi wa equations hapa chini, mara baada ya kujifunza mali zao. Sasa hebu tuangalie jinsi usawa unavyoonekana na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa equations.
Kwa kuzingatia usemi wa fomu ifuatayo: logi 2 (x-1) > 3 - ni usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logariti. Na pia katika usemi idadi mbili zinalinganishwa: logarithm ya nambari inayotakiwa kwa msingi wa pili ni kubwa kuliko nambari tatu.
Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na kukosekana kwa usawa ni kwamba milinganyo na logariti (mfano - logarithm 2 x = √9) inamaanisha jibu moja au zaidi maalum. maadili ya nambari, wakati wa kutatua kukosekana kwa usawa hufafanuliwa kama eneo maadili yanayokubalika, na vizuizi vya chaguo hili la kukokotoa. Kama matokeo, jibu sio seti rahisi ya nambari za mtu binafsi, kama katika jibu la equation, lakini badala yake. mfululizo endelevu au seti ya nambari.
Nadharia za msingi kuhusu logarithms
Wakati wa kusuluhisha kazi za zamani za kupata maadili ya logarithm, sifa zake haziwezi kujulikana. Hata hivyo, linapokuja suala la usawa wa logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi mali yote ya msingi ya logarithms. Tutaangalia mifano ya milinganyo baadaye; wacha kwanza tuangalie kila mali kwa undani zaidi.
- Kitambulisho kikuu kinaonekana kama hii: logiB =B. Inatumika tu wakati a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.
- Logariti ya bidhaa inaweza kuwakilishwa ndani formula ifuatayo: logi d (s 1 *s 2) = logi d s 1 + logi d s 2. Katika kesi hii sharti ni: d, s 1 na s 2 > 0; a≠1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithmic, kwa mifano na suluhisho. Hebu tuandikie s 1 = f 1 na uweke s 2 = f 2, kisha f1 = s 1, f2 = s 2. Tunapata kwamba s 1 * s 2 = a f1 * f2 = f1 + f2 (sifa za digrii ), na kisha kwa ufafanuzi: logi a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = weka s1 + logi a s 2, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
- Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: logi a (s 1/ s 2) = logi a s 1 - logi a s 2.
- Nadharia katika mfumo wa fomula inachukua mtazamo unaofuata: logi a q b n = n/q logi a b.
Fomula hii inaitwa "mali ya kiwango cha logarithm." Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote zinategemea postulates asili. Hebu tuangalie uthibitisho.
Hebu tuandikie b = t, inageuka t =b. Ikiwa tunainua sehemu zote mbili kwa nguvu m: a tn = b n;
lakini kwa kuwa tn = (a q) nt/q = b n, kwa hiyo weka q b n = (n*t)/t, kisha weka q b n = n/q logi a b. Nadharia imethibitishwa.
Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa
Aina za kawaida za matatizo kwenye logariti ni mifano ya milinganyo na usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia zimejumuishwa sehemu ya lazima mitihani ya hisabati. Kwa ajili ya kujiunga na chuo kikuu au kupita mitihani ya kuingia katika hisabati unahitaji kujua jinsi ya kutatua matatizo hayo kwa usahihi.
Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kuamua thamani isiyojulikana Hakuna kitu kama logarithm, lakini unaweza kuitumia kwa kila usawa wa hisabati au mlinganyo wa logarithmic. sheria fulani. Kwanza kabisa, unapaswa kujua ikiwa usemi unaweza kurahisishwa au kusababisha muonekano wa jumla. Rahisisha ndefu maneno ya logarithmic inawezekana ikiwa unatumia mali zao kwa usahihi. Hebu tuwafahamu haraka.
Wakati wa kuamua milinganyo ya logarithmic, tunapaswa kuamua ni aina gani ya logariti tuliyo nayo: usemi wa mfano unaweza kuwa na logarithm asili au desimali.
Hapa kuna mifano ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba wanahitaji kuamua nguvu ambayo msingi 10 itakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Ili kutatua logarithm za asili, unahitaji kutumia vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Wacha tuangalie suluhisho kwa mifano matatizo ya logarithmic aina tofauti.
Jinsi ya Kutumia Fomula za Logarithm: Pamoja na Mifano na Suluhisho
Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia za kimsingi kuhusu logarithms.
- Mali ya logarithm ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kupanua umuhimu mkubwa nambari b kuwa sababu rahisi. Kwa mfano, logi 2 4 + logi 2 128 = logi 2 (4*128) = logi 2 512. Jibu ni 9.
- logi 4 8 = logi 2 2 2 3 = 3/2 logi 2 2 = 1.5 - kama unaweza kuona, kwa kutumia mali ya nne ya nguvu ya logarithm, tuliweza kutatua usemi unaoonekana kuwa ngumu na usioweza kutatuliwa. Unahitaji tu kuangazia msingi na kisha kuchukua maadili ya kielelezo nje ya ishara ya logarithm.
Kazi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa
Logarithms mara nyingi hupatikana ndani mitihani ya kuingia, haswa shida nyingi za logarithmic katika Mtihani wa Jimbo la Umoja ( Mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kwa kawaida, kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (sehemu rahisi ya mtihani wa mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na kubwa). Mtihani unahitaji maarifa sahihi na kamili ya mada "Logarithms asili".
Mifano na ufumbuzi wa matatizo huchukuliwa kutoka rasmi Chaguo za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Wacha tuone jinsi kazi kama hizo zinatatuliwa.
Imepewa logi 2 (2x-1) = 4. Suluhisho:
hebu tuandike upya usemi huo, kurahisisha logi kidogo 2 (2x-1) = 2 2, kwa ufafanuzi wa logarithm tunapata kwamba 2x-1 = 2 4, kwa hiyo 2x = 17; x = 8.5.
- Ni bora kupunguza logarithms zote kwa msingi sawa ili suluhisho sio mbaya na kuchanganya.
- Semi zote zilizo chini ya alama ya logariti huonyeshwa kuwa chanya, kwa hivyo, wakati kipeo cha usemi kilicho chini ya ishara ya logariti na msingi wake unapotolewa kama kizidishi, usemi unaosalia chini ya logariti lazima kiwe chanya.
Logarithm ya asili
Grafu ya kitendakazi cha logarithm asilia. Chaguo za kukokotoa polepole hukaribia ukomo chanya kadiri inavyoongezeka x na haraka inakaribia infinity hasi wakati x huelekea 0 ("polepole" na "haraka" ikilinganishwa na utendaji wowote wa nguvu wa x).
Logarithm ya asili ni logariti kwa msingi , Wapi e- mara kwa mara isiyo na mantiki sawa na takriban 2.718281 828. Logarithm asili kawaida huandikwa kama ln( x), logi e (x) au wakati mwingine ingia tu( x), ikiwa msingi e inadokezwa.
Logarithm asili ya nambari x(imeandikwa kama ln(x)) ni kipeo ambacho nambari lazima ipandishwe e, Kupata x. Kwa mfano, ln(7,389...) ni sawa na 2 kwa sababu e 2 =7,389... . Logarithm ya asili ya nambari yenyewe e (ln(e)) ni sawa na 1 kwa sababu e 1 = e, na logariti asilia ni 1 ( ln(1)) ni sawa na 0 kwa sababu e 0 = 1.
Logarithm asili inaweza kufafanuliwa kwa nambari yoyote chanya a kama eneo chini ya curve y = 1/x kutoka 1 hadi a. Urahisi wa ufafanuzi huu, ambao unaendana na fomula zingine nyingi zinazotumia logarithm asilia, ulisababisha jina "asili". Ufafanuzi huu unaweza kupanuliwa kwa nambari changamano, kama ilivyojadiliwa hapa chini.
Ikiwa tutazingatia logarithm asilia kama kazi halisi ya kigezo halisi, basi ni kazi ya kinyume ya utendaji wa kielelezo, ambayo inaongoza kwa vitambulisho:
Kama logariti zote, logarithm asilia huonyesha kuzidisha hadi kuongeza:
Kwa hivyo, kazi ya logarithmic ni isomorphism ya kikundi cha chanya nambari za kweli kuhusu kuzidisha na kikundi cha nambari halisi kwa kuongeza, ambayo inaweza kuwakilishwa kama chaguo la kukokotoa:
Logarithm inaweza kufafanuliwa kwa msingi wowote chanya isipokuwa 1, sio tu e, lakini logariti kwa besi zingine hutofautiana na logarithm asili pekee kuzidisha mara kwa mara, na kwa kawaida hufafanuliwa kulingana na logarithm asilia. Logarithmu ni muhimu kwa kutatua milinganyo ambayo inahusisha zisizojulikana kama vipeo. Kwa mfano, logarithms hutumiwa kupata uozo mara kwa mara kwa kipindi kinachojulikana nusu ya maisha, au kwa kutafuta muda wa kuoza katika kutatua matatizo ya mionzi. Wanacheza jukumu muhimu katika maeneo mengi ya hisabati na sayansi zilizotumika, hutumiwa katika fedha kutatua matatizo mengi, ikiwa ni pamoja na kutafuta riba ya mchanganyiko.
Hadithi
Kutajwa kwa kwanza kwa logarithm ya asili ilitolewa na Nicholas Mercator katika kazi yake Logarithmotechnia, iliyochapishwa mwaka wa 1668, ingawa mwalimu wa hisabati John Spidell alikusanya jedwali la logarithms asili huko nyuma mnamo 1619. Hapo awali iliitwa hyperbolic logarithm kwa sababu inalingana na eneo chini ya hyperbola. Wakati mwingine huitwa logarithm ya Napier, ingawa maana ya asili ya neno hili ilikuwa tofauti kwa kiasi fulani.
Mikataba ya uteuzi
Logarithm asili kawaida huonyeshwa na "ln( x)", logariti hadi msingi 10 - kupitia "lg( x)", na sababu zingine kawaida huonyeshwa wazi na ishara "logi".
Katika kazi nyingi za hisabati, cybernetics, na sayansi ya kompyuta, waandishi hutumia nukuu "logi( x)" kwa logariti kwa msingi wa 2, lakini mkataba huu haukubaliwi kwa ujumla na unahitaji ufafanuzi ama katika orodha ya nukuu zilizotumiwa au (bila kukosekana kwa orodha kama hiyo) kwa tanbihi au maoni yalipotumiwa mara ya kwanza.
Mabano karibu na hoja ya logariti (ikiwa hii haileti usomaji usio sahihi wa fomula) kawaida huachwa, na wakati wa kuinua logariti kwa nguvu, kielelezo hupewa moja kwa moja ishara ya logarithm: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
Mfumo wa Anglo-American
Wanahisabati, wanatakwimu na baadhi ya wahandisi kwa kawaida hutumia kuashiria logarithm asilia au “logi( x)" au "ln( x)", na kuashiria msingi wa logarithm 10 - "logi 10 ( x)».
Baadhi ya wahandisi, wanabiolojia na wataalamu wengine kila mara huandika “ln( x)" (au mara kwa mara "logi e ( x)") wanapomaanisha logarithm asili, na nukuu "logi( x)" wanamaanisha logi 10 ( x).
logi e ni logariti "asili" kwa sababu hutokea kiotomatiki na inaonekana mara nyingi sana katika hisabati. Kwa mfano, fikiria tatizo la derivative kazi ya logarithmic:
Ikiwa msingi b sawa e, basi derivative ni 1/ x, na lini x= 1 derivative hii ni sawa na 1. Sababu nyingine kwa nini msingi e Jambo la asili zaidi juu ya logarithm ni kwamba inaweza kufafanuliwa kwa urahisi kwa maneno rahisi muhimu au mfululizo wa Taylor, ambao hauwezi kusemwa kuhusu logarithm zingine.
Sababu zaidi za uasilia hazihusiani na nukuu. Kwa hiyo, kwa mfano, kuna kadhaa safu rahisi na logarithms asili. Pietro Mengoli na Nicholas Mercator waliwaita logarithmus naturalis miongo kadhaa hadi Newton na Leibniz waliunda calculus tofauti na muhimu.
Ufafanuzi
ln rasmi ( a) inaweza kufafanuliwa kama eneo chini ya curve ya grafu 1/ x kutoka 1 hadi a, yaani kama kiungo:
Kwa kweli ni logariti kwa sababu inakidhi sifa ya kimsingi ya logariti:
Hii inaweza kuonyeshwa kwa kudhani kama ifuatavyo:
Thamani ya nambari
Kwa hesabu thamani ya nambari logarithm asili ya nambari, unaweza kutumia upanuzi wake wa safu ya Taylor katika fomu:
Ili kupata kiwango bora cha muunganisho, unaweza kutumia utambulisho ufuatao:
Kwa ln ( x), Wapi x> 1 kuliko thamani ya karibu x kwa 1, basi kasi ya kasi muunganiko. Vitambulisho vinavyohusishwa na logarithm vinaweza kutumika kufikia lengo:
Njia hizi zilitumika hata kabla ya ujio wa calculators, ambayo walitumia meza za nambari na ghiliba sawa na zile zilizoelezwa hapo juu zilifanyika.
Usahihi wa juu
Ili kukokotoa logariti asilia na kiasi kikubwa nambari za usahihi, safu ya Taylor haifai kwa sababu muunganisho wake ni wa polepole. Njia mbadala ni kutumia njia ya Newton kugeuza kuwa kazi ya kielelezo ambayo mfululizo wake hubadilika haraka zaidi.
Mbadala kwa sana usahihi wa juu hesabu ni formula:
Wapi M inaashiria wastani wa hesabu-kijiometri wa 1 na 4 / s, na
m waliochaguliwa hivyo uk alama za usahihi hupatikana. (Mara nyingi, thamani ya 8 kwa m inatosha.) Kwa kweli, ikiwa njia hii itatumiwa, kinyume cha Newton cha logarithm asili inaweza kutumika ili kukokotoa kwa ufanisi chaguo za kukokotoa za kielelezo. (Viunga ln 2 na pi vinaweza kukokotolewa awali kwa usahihi unaohitajika kwa kutumia mfululizo wowote unaojulikana unaounganika kwa haraka.)
Utata wa hesabu
Utata wa kimahesabu wa logariti asilia (kwa kutumia maana ya hesabu-kijiometri) ni O( M(n)ln n) Hapa n ni idadi ya tarakimu za usahihi ambazo logarithm asili lazima itathminiwe, na M(n) ni uchangamano wa kimahesabu wa kuzidisha mbili n- nambari za tarakimu.
Inaendelea sehemu
Ingawa hakuna sehemu rahisi zinazoendelea kuwakilisha logariti, sehemu kadhaa zinazoendelea za jumla zinaweza kutumika, ikijumuisha:
Logarithmu ngumu
Kitendaji cha kipeo kinaweza kupanuliwa hadi kitendakazi kinachotoa nambari changamano ya fomu e x kwa nambari yoyote changamano isiyo halali x, katika kesi hii mfululizo usio na ngumu x. Chaguo hili la kukokotoa la kielelezo linaweza kugeuzwa ili kuunda logariti changamano, ambayo itakuwa na kwa sehemu kubwa mali ya logarithms ya kawaida. Walakini, kuna shida mbili: hakuna x, kwa ajili yake e x= 0, na inageuka kuwa e 2πi = 1 = e 0 . Kwa kuwa mali ya kuzidisha ni halali kwa kazi changamano ya kielelezo, basi e z = e z+2npi kwa magumu yote z na nzima n.
Logarithm haiwezi kufafanuliwa juu ya ndege nzima changamano, na hata hivyo inathaminiwa vingi - logarithm yoyote changamano inaweza kubadilishwa na logarithm "sawa" kwa kuongeza nambari kamili ya 2. πi. Logarithm changamano inaweza kuwa wazi tu kwenye kipande cha ndege tata. Kwa mfano, ln i = 1/2 πi au 5/2 πi au -3/2 πi, nk, na ingawa i 4 = logi 1.4 i inaweza kufafanuliwa kama 2 πi, au 10 πi au -6 πi, Nakadhalika.
Angalia pia
- John Napier - mvumbuzi wa logarithms
Vidokezo
- Hisabati kwa kemia ya kimwili. - ya 3. - Vyombo vya Habari vya Kielimu, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Dondoo la ukurasa wa 9
- J J O"Connor na E F Robertson Nambari e. Jalada la Historia ya MacTutor ya Hisabati (Septemba 2001). Imehifadhiwa
- Cajori Florian Historia ya Hisabati, toleo la 5. - Duka la Vitabu la AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Kukadiria Viunga kwa kutumia Polynomials. Imehifadhiwa kutoka ya asili mnamo Februari 12, 2012.
Logariti ya nambari chanya b kuweka msingi a (a>0, a si sawa na 1) ni nambari c hivi kwamba a c = b: logi a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Kumbuka kuwa logariti ya nambari isiyo chanya haijafafanuliwa. Kwa kuongeza, msingi wa logarithm lazima iwe nambari chanya, si sawa na 1. Kwa mfano, ikiwa tutaweka mraba -2, tunapata nambari 4, lakini hii haimaanishi kwamba logariti kwa msingi -2 ya 4 ni sawa na 2.
Utambulisho wa msingi wa logarithmic
logi a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Ni muhimu kwamba upeo wa ufafanuzi wa pande za kulia na za kushoto za formula hii ni tofauti. Upande wa kushoto inafafanuliwa tu kwa b>0, a>0 na ≠ 1. Upande wa kulia umefafanuliwa kwa b yoyote, na hautegemei a hata kidogo. Kwa hivyo, matumizi ya "kitambulisho" cha msingi cha logarithmic wakati wa kutatua equations na kutofautiana inaweza kusababisha mabadiliko katika OD.
Matokeo mawili dhahiri ya ufafanuzi wa logarithm
logi a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)weka logi 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Kwa kweli, wakati wa kuinua nambari hadi kwa nguvu ya kwanza, tunapata nambari sawa, na tunapoiinua kwa nguvu ya kwanza. shahada ya sifuri- moja.
Logariti ya bidhaa na logariti ya mgawo
logi a (b c) = logi a b + logi a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Rekodi a b c = weka a b - weka kumbukumbu a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Ningependa kuwaonya watoto wa shule dhidi ya kutumia fomula hizi bila kufikiria wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Wakati wa kuzitumia "kutoka kushoto kwenda kulia," ODZ hupungua, na wakati wa kusonga kutoka kwa jumla au tofauti ya logarithm hadi logarithm ya bidhaa au mgawo, ODZ hupanua.
Hakika, neno logi a (f (x) g (x)) hufafanuliwa katika hali mbili: wakati chaguo za kukokotoa zote mbili ni chanya kabisa au wakati f(x) na g(x) zote zikiwa chini ya sifuri.
Kubadilisha usemi huu kuwa logi ya jumla a f (x) + logi a g (x), tunalazimika kujiwekea kikomo tu wakati f(x)>0 na g(x)>0. Kuna upungufu wa anuwai ya maadili yanayokubalika, na hii haikubaliki kabisa, kwani inaweza kusababisha upotezaji wa suluhisho. Tatizo sawa ipo kwa fomula (6).
Shahada inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya logarithm
logi a b p = p logi a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Na tena ningependa kutoa wito kwa usahihi. Fikiria mfano ufuatao:
Rekodi a (f (x) 2 = 2 logi a f (x)
Upande wa kushoto wa usawa ni dhahiri umefafanuliwa kwa maadili yote ya f(x) isipokuwa sifuri. Upande wa kulia ni wa f(x)>0 pekee! Kwa kuchukua digrii kutoka kwa logarithm, tunapunguza tena ODZ. Utaratibu wa kurudi nyuma husababisha upanuzi wa anuwai ya maadili yanayokubalika. Maneno haya yote hayatumiki tu kwa nguvu 2, lakini pia kwa nguvu yoyote hata.
Mfumo wa kuhamia msingi mpya
logi a b = gogo c b logi c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Hiyo kesi adimu, wakati ODZ haibadilika wakati wa mabadiliko. Ikiwa umechagua msingi c kwa busara (chanya na si sawa na 1), fomula ya kuhamia msingi mpya ni salama kabisa.
Ikiwa tutachagua nambari b kama msingi mpya c, tunapata muhimu kesi maalum fomula (8):
Rekodi a b = logi 1 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Baadhi ya mifano rahisi na logarithms
Mfano 1. Kuhesabu: log2 + log50.
Suluhisho. log2 + log50 = log100 = 2. Tulitumia jumla ya fomula ya logarithmu (5) na ufafanuzi wa logarithm ya desimali.
Mfano 2. Kuhesabu: lg125/lg5.
Suluhisho. log125/log5 = logi 5 125 = 3. Tulitumia fomula ya kuhamia msingi mpya (8).
Jedwali la fomula zinazohusiana na logariti
| logi a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| weka a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| weka 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| logi a (b c) = logi a b + logi a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| logi a b c = logi a b − logi a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| logi a b p = p logi a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| logi a b = logi c b logi c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| logi a b = logi 1 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
mara nyingi kuchukua nambari e = 2,718281828 . Logarithms by msingi huu zinaitwa asili. Wakati wa kufanya mahesabu na logarithms ya asili, ni kawaida kufanya kazi na ishara ln, lakini sivyo logi; huku nambari 2,718281828 , kufafanua msingi, haijaonyeshwa.
Kwa maneno mengine, muundo utaonekana kama hii: logarithm asili nambari X- hii ni kielelezo ambacho idadi inapaswa kuinuliwa e, Kupata x.
Kwa hiyo, ln(7,389...)= 2, tangu e 2 =7,389... . Logarithm ya asili ya nambari yenyewe e= 1 kwa sababu e 1 =e, na logariti asilia ya umoja sawa na sifuri, kwa sababu e 0 = 1.
Nambari yenyewe e inafafanua kikomo cha mlolongo wa mipaka ya monotonic
hesabu hiyo e = 2,7182818284... .
Mara nyingi, ili kurekebisha nambari kwenye kumbukumbu, nambari za nambari inayohitajika zinahusishwa na tarehe fulani iliyobaki. Kasi ya kukariri nambari tisa za kwanza za nambari e baada ya hatua ya decimal itaongezeka ikiwa unaona kwamba 1828 ni mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Tolstoy!
Leo zipo za kutosha meza kamili logarithms asili.
Grafu ya logarithm ya asili(kazi y =ln x) ni matokeo ya kielelezo cha grafu kuwa taswira ya kioo ya mstari ulionyooka y = x na ina fomu:
Logarithm asili inaweza kupatikana kwa kila nambari halisi chanya a kama eneo chini ya curve y = 1/x kutoka 1 kabla a.
Asili ya kimsingi ya uundaji huu, ambayo inaambatana na fomula zingine nyingi ambazo logarithm asili inahusika, ilikuwa sababu ya kuundwa kwa jina "asili".
Ukichambua logarithm asili, kama kazi halisi ya kigezo halisi, basi hutenda utendaji wa kinyume kwa kipengele cha kukokotoa, ambacho hupunguza vitambulisho:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e) =a
Kwa mlinganisho na logariti zote, logariti asili hubadilisha kuzidisha kuwa nyongeza, mgawanyiko kuwa kutoa:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logarithm inaweza kupatikana kwa kila msingi chanya ambao si sawa na moja, sio tu kwa e, lakini logariti kwa besi zingine hutofautiana na logariti asilia tu kwa sababu isiyobadilika, na kwa kawaida hufafanuliwa kulingana na logariti asilia.
Baada ya kuchambua grafu ya logarithm asili, tunagundua kuwa ipo kwa ajili ya maadili chanya kutofautiana x. Inaongezeka monotonically katika uwanja wake wa ufafanuzi.
Katika x → 0 kikomo cha logarithm asili ni minus infinity ( -∞ ).Katika x → +∞ kikomo cha logarithm asili ni pamoja na infinity ( + ∞ ) Kwa ujumla x Logarithm huongezeka polepole kabisa. Kazi yoyote ya nguvu xa Na kiashiria chanya digrii a huongezeka haraka kuliko logarithm. Logarithm ya asili ni kazi inayoongezeka kwa monotonically, kwa hiyo haina extrema.
Matumizi logarithms asili busara sana wakati wa kupita hisabati ya juu. Kwa hivyo, kutumia logariti ni rahisi kupata jibu la milinganyo ambayo haijulikani huonekana kama vielezi. Matumizi ya logarithms asili katika mahesabu hufanya iwezekanavyo kurahisisha sana idadi kubwa ya fomula za hisabati. Logarithm kwa msingi e zipo wakati wa kutatua idadi kubwa matatizo ya kimwili na kuingia ndani kwa asili maelezo ya hisabati kemikali ya mtu binafsi, kibaolojia na michakato mingine. Kwa hivyo, logarithms hutumiwa kuhesabu mara kwa mara ya kuoza kwa nusu ya maisha inayojulikana, au kuhesabu muda wa kuoza katika kutatua matatizo ya radioactivity. Wanachukua nafasi kubwa katika maeneo mengi ya hisabati na sayansi ya vitendo, wameamua katika nyanja ya fedha kutatua idadi kubwa kazi, ikiwa ni pamoja na hesabu ya riba kiwanja.
Sifa za kimsingi za logariti asilia, grafu, kikoa cha ufafanuzi, seti ya maadili, fomula za kimsingi, derivative, muhimu, upanuzi katika mfululizo wa nguvu na uwakilishi wa chaguo za kukokotoa ln x kwa kutumia nambari changamano.
Ufafanuzi
Logarithm ya asili ni kazi y = ln x, kinyume cha kielezio, x = e y, na ni logariti kwenye msingi wa nambari e: ln x = logi e x.
Logarithm asilia hutumiwa sana katika hisabati kwa sababu derivative yake ina umbo rahisi zaidi: (ln x)′ = 1/ x.
Kulingana ufafanuzi, msingi wa logarithm asili ni nambari e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Grafu ya kazi y = ln x.
Grafu ya logarithm asili (kazi y = ln x) hupatikana kutoka kwa grafu ya kielelezo kwa kutafakari kioo kuhusiana na mstari wa moja kwa moja y = x.
Logariti asilia inafafanuliwa kwa thamani chanya za mabadiliko x. Inaongezeka monotonically katika uwanja wake wa ufafanuzi.
Katika x → 0 kikomo cha logariti asilia ni minus infinity (-∞).
Kama x → + ∞, kikomo cha logariti asilia ni pamoja na infinity (+ ∞). Kwa x kubwa, logarithm huongezeka polepole kabisa. Yoyote kazi ya nguvu x a yenye kipeo chanya a hukua haraka kuliko logariti.
Tabia za logarithm ya asili
Domain ya ufafanuzi, seti ya maadili, extrema, ongezeko, kupungua
Logarithm ya asili ni kazi inayoongezeka kwa monotonically, kwa hiyo haina extrema. Mali kuu ya logarithm ya asili yanawasilishwa kwenye meza.
thamani ya ln
ln 1 = 0
Njia za kimsingi za logarithm asili
Mifumo ifuatayo kutoka kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume:
Mali kuu ya logarithms na matokeo yake
Msingi wa formula badala
Logarithm yoyote inaweza kuonyeshwa kulingana na logarithmu asili kwa kutumia fomula mbadala ya msingi:
Uthibitisho wa fomula hizi hutolewa katika sehemu ya "Logarithm".
Kitendaji kinyume
Kinyume cha logarithm asilia ni kipeo.
Ikiwa, basi
Ikiwa, basi.
Dawa inayotokana na ln x
Inayotokana na logarithm asilia:
.
Inatokana na logariti asilia ya modulus x:
.
Inatokana na agizo la nth:
.
Kuunda fomula >>>
Muhimu
Kiunga kinahesabiwa kwa kuunganishwa na sehemu:
.
Kwa hiyo,
Vielezi kwa kutumia nambari changamano
Fikiria kazi ya tofauti changamano z:
.
Hebu tueleze tofauti tata z kupitia moduli r na hoja φ
:
.
Kutumia mali ya logarithm, tunayo:
.
Au
.
Hoja φ haijafafanuliwa kipekee. Ukiweka
, ambapo n ni nambari kamili,
itakuwa nambari sawa kwa tofauti n.
Kwa hivyo, logariti asilia, kama kazi ya kigezo changamano, si kazi yenye thamani moja.
Upanuzi wa mfululizo wa nguvu
Wakati upanuzi unafanyika:
Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.