Tuligundua kuwa kuna X- seti ambayo formula ambayo inafafanua kazi ina maana. KATIKA uchambuzi wa hisabati seti hii mara nyingi huonyeshwa kama D (kikoa cha chaguo la kukokotoa ) Kwa upande wake, wengi Y iliyoashiria kama E (safu ya utendakazi ) na ndani yake D Na E inayoitwa subsets R(seti ya nambari halisi).

Ikiwa kazi inatolewa na formula, basi, kwa kukosekana kwa kutoridhishwa maalum, upeo wa ufafanuzi wake unazingatiwa. seti kubwa zaidi, ambayo fomula hii inaeleweka, ambayo ni, seti kubwa zaidi ya maadili ya hoja ambayo husababisha maadili halisi ya kazi. . Kwa maneno mengine, seti ya maadili ya hoja ambayo "kazi inafanya kazi".

Kwa uelewa wa pamoja Mfano bado hauna fomula. Kazi imeainishwa kama jozi za mahusiano:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa vipengele hivi.

Jibu. Kipengele cha kwanza cha jozi ni kutofautiana x. Kwa kuwa vipimo vya kazi pia vina vitu vya pili vya jozi - maadili ya kutofautisha y, basi chaguo la kukokotoa linaeleweka tu kwa zile maadili za x zinazolingana na thamani fulani mchezo. Hiyo ni, tunachukua X zote za jozi hizi kwa mpangilio wa kupanda na kupata kutoka kwao kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Mantiki sawa hufanya kazi ikiwa chaguo la kukokotoa limetolewa na fomula. Vipengele vya pili tu katika jozi (yaani, maadili ya i) hupatikana kwa kubadilisha maadili fulani ya x kwenye fomula. Walakini, ili kupata kikoa cha chaguo za kukokotoa, hatuhitaji kupitia jozi zote za X na Y.

Mfano 0. Jinsi ya kupata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa i ni sawa na mzizi wa mraba wa x minus tano (msemo mkali x minus tano) ()? Unahitaji tu kutatua usawa

x - 5 ≥ 0 ,

kwani ili tupate thamani halisi mchezo, usemi mkali lazima uwe mkubwa kuliko au sawa na sufuri. Tunapata suluhisho: kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni maadili yote ya x kubwa kuliko au sawa na tano (au x ni ya muda kutoka kwa tano pamoja hadi infinity).

Kwenye mchoro hapo juu ni kipande cha mhimili wa nambari. Juu yake, eneo la ufafanuzi wa kazi inayozingatiwa ni kivuli, wakati katika mwelekeo wa "plus" hatching inaendelea kwa muda usiojulikana pamoja na mhimili yenyewe.

Ikiwa unatumia programu za kompyuta, ambayo hutoa jibu la aina fulani kulingana na data iliyoingizwa, unaweza kugundua kuwa kwa maadili fulani ya data iliyoingizwa programu inaonyesha ujumbe wa makosa, ambayo ni kwamba, na data kama hiyo jibu haliwezi kuhesabiwa. Ujumbe huu umetolewa na waandishi wa programu ikiwa usemi wa kuhesabu jibu ni ngumu sana au unahusu finyu. eneo la somo, au zinazotolewa na waandishi wa lugha ya programu, ikiwa inakuja kanuni zinazokubalika kwa ujumla, kwa mfano, ambayo haiwezi kugawanywa na sifuri.

Lakini katika visa vyote viwili, jibu (thamani ya usemi fulani) haliwezi kuhesabiwa kwa sababu usemi hauna maana kwa maadili fulani ya data.

Mfano (sio wa hesabu bado): ikiwa programu inaonyesha jina la mwezi kulingana na nambari ya mwezi katika mwaka, basi kwa kuingiza "15" utapokea ujumbe wa kosa.

Mara nyingi, usemi unaokokotolewa ni chaguo la kukokotoa tu. Kwa hivyo vile maadili batili data haijajumuishwa kikoa cha chaguo la kukokotoa . Na katika hesabu za mkono, ni muhimu vile vile kuwakilisha kikoa cha chaguo la kukokotoa. Kwa mfano, unahesabu kigezo fulani cha bidhaa fulani kwa kutumia fomula ambayo ni chaguo la kukokotoa. Kwa maadili kadhaa ya hoja ya pembejeo, hautapata chochote kwenye pato.

Kikoa cha ufafanuzi wa mara kwa mara

Mara kwa mara (mara kwa mara) hufafanuliwa kwa maadili yoyote halisi x R nambari za kweli. Hii pia inaweza kuandikwa hivi: kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni mstari mzima wa nambari ]- ∞; + ∞[ .

Mfano 1. Tafuta kikoa cha kitendakazi y = 2 .

Suluhisho. Kikoa cha ufafanuzi wa kazi haijaonyeshwa, ambayo ina maana kwamba kwa mujibu wa ufafanuzi hapo juu, uwanja wa asili wa ufafanuzi una maana. Kujieleza f(x) = 2 imefafanuliwa kwa maadili yoyote halisi x, kwa hivyo, kipengele hiki imefafanuliwa kwenye seti nzima R nambari za kweli.

Kwa hivyo, katika mchoro hapo juu, mstari wa nambari umetiwa kivuli kutoka kwa minus infinity hadi plus infinity.

Eneo la ufafanuzi wa mizizi n shahada ya th

Katika kesi wakati kazi inatolewa na formula na n- nambari ya asili:

Mfano 2. Tafuta kikoa cha kitendakazi .

Suluhisho. Kama ifuatavyo kutoka kwa ufafanuzi, mzizi wa digrii hata unaeleweka ikiwa usemi mkali sio hasi, ambayo ni, ikiwa - 1 ≤ x≤ 1. Kwa hiyo, uwanja wa ufafanuzi wa kazi hii ni [- 1; 1] .

Eneo lenye kivuli la mstari wa nambari kwenye mchoro hapo juu ni kikoa cha ufafanuzi wa kazi hii.

Kikoa cha kazi ya nguvu

Kikoa cha chaguo za kukokotoa cha nguvu kilicho na kipeo kamili

Kama a- chanya, basi kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni seti ya nambari zote halisi, ambayo ni ]- ∞; + ∞[ ;

Kama a- hasi, basi uwanja wa ufafanuzi wa kazi ni kuweka ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , yaani, mstari mzima wa nambari isipokuwa sifuri.

Katika mchoro unaofanana hapo juu, mstari mzima wa nambari ni kivuli, na hatua inayofanana na sifuri hupigwa nje (haijajumuishwa katika uwanja wa ufafanuzi wa kazi).

Mfano 3. Tafuta kikoa cha kitendakazi .

Suluhisho. Muhula wa kwanza shahada nzima x ni sawa na 3, na kiwango cha x katika muhula wa pili kinaweza kuwakilishwa kama moja - pia nambari kamili. Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni mstari mzima wa nambari, yaani ]- ∞; + ∞[ .

Kikoa cha chaguo za kukokotoa cha nguvu kilicho na kipeo cha sehemu

Katika kesi wakati kazi imetolewa na formula:

ikiwa ni chanya, basi uwanja wa ufafanuzi wa kazi ni kuweka 0; + ∞[ .

Mfano 4. Tafuta kikoa cha kitendakazi .

Suluhisho. Istilahi zote mbili katika usemi wa chaguo za kukokotoa ni kazi za nguvu yenye vielelezo vya sehemu chanya. Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni seti - ∞; + ∞[ .

Kikoa cha vitendaji vya kielelezo na logarithmic

Kikoa cha chaguo za kukokotoa za kipeo

Katika kesi wakati kazi inatolewa na formula, uwanja wa ufafanuzi wa kazi ni mstari mzima wa nambari, yaani ] - ∞; + ∞[ .

Kikoa cha chaguo za kukokotoa logarithmic

Kazi ya logarithmic inafafanuliwa mradi hoja yake ni chanya, yaani, kikoa chake cha ufafanuzi ni seti ]0; + ∞[ .

Tafuta kikoa cha kazi mwenyewe na kisha uangalie suluhisho

Kikoa cha kazi za trigonometric

Kikoa cha Kazi y= maana ( x) - pia nyingi R nambari za kweli.

Kikoa cha Kazi y= tg( x) - kundi la R nambari halisi isipokuwa nambari .

Kikoa cha Kazi y= ctg( x) - kundi la R nambari halisi, isipokuwa nambari.

Mfano 8. Tafuta kikoa cha kitendakazi .

Suluhisho. Utendaji wa nje - logarithm ya desimali na uwanja wa ufafanuzi wake unategemea masharti ya kikoa cha ufafanuzi kazi ya logarithmic hata kidogo. Yaani hoja yake lazima iwe chanya. Hoja hapa ni sine ya "x". Kugeuza dira ya kufikiria kuzunguka duara, tunaona kwamba hali hiyo ni dhambi x> 0 imekiukwa na "x" sawa na sifuri, "pi", mbili, ikizidishwa na "pi" na kwa ujumla sawa na bidhaa pi na nambari kamili au isiyo ya kawaida.

Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa kazi hii hutolewa na usemi

,

Wapi k- nambari kamili.

Kikoa cha ufafanuzi wa utendakazi kinyume cha trigonometric

Kikoa cha Kazi y= arcsin( x) - kuweka [-1; 1] .

Kikoa cha Kazi y= arckos ( x) - pia kuweka [-1; 1] .

Kikoa cha Kazi y= arctan ( x) - kundi la R nambari za kweli.

Kikoa cha Kazi y= arcctg ( x) - pia nyingi R nambari za kweli.

Mfano 9. Pata kikoa cha chaguo la kukokotoa .

Suluhisho. Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa:

Kwa hivyo, tunapata kikoa cha ufafanuzi wa kazi hii - sehemu [- 4; 4] .

Mfano 10. Tafuta kikoa cha kitendakazi .

Suluhisho. Wacha tusuluhishe usawa mbili:

Suluhisho la usawa wa kwanza:

Suluhisho la usawa wa pili:

Kwa hivyo, tunapata kikoa cha ufafanuzi wa kazi hii - sehemu.

Upeo wa sehemu

Ikiwa kazi imetolewa usemi wa sehemu, ambayo kutofautisha iko kwenye dhehebu la sehemu, basi kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa ni seti. R nambari halisi, isipokuwa hizi x, ambapo denominator ya sehemu inakuwa sifuri.

Mfano 11. Tafuta kikoa cha kitendakazi .

Suluhisho. Kwa kutatua usawa wa denominator ya sehemu hadi sifuri, tunapata uwanja wa ufafanuzi wa kazi hii - seti ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Jinsi ya kupata kikoa cha kazi? Wanafunzi wa shule ya kati mara nyingi wanapaswa kukabiliana na kazi hii.

Wazazi wanapaswa kuwasaidia watoto wao kuelewa suala hili.

Kubainisha kipengele cha kukokotoa.

Hebu tukumbuke masharti ya msingi ya algebra. Katika hisabati, chaguo la kukokotoa ni utegemezi wa kigezo kimoja hadi kingine. Tunaweza kusema kwamba hii ni sheria kali ya hisabati inayounganisha nambari mbili kwa njia fulani.

Katika hisabati, wakati wa kuchambua fomula, vigezo vya nambari hubadilishwa na alama za alfabeti. Zinazotumika zaidi ni x (“x”) na y (“y”). Kigezo cha x kinaitwa hoja, na kigezo y kinaitwa kigezo tegemezi au kazi ya x.

Zipo njia mbalimbali kuweka utegemezi tofauti.

Hebu tuorodheshe:

1. Aina ya uchambuzi.
2. Mtazamo wa jedwali.
3. Onyesho la picha.

Njia ya uchambuzi inawakilishwa na fomula. Hebu tuangalie mifano: y=2x+3, y=logi(x), y=dhambi(x). Fomula y=2x+3 ni ya kawaida kwa kazi ya mstari. Kubadilisha ndani fomula iliyopewa thamani ya nambari hoja, tunapata thamani ya y.

Njia ya tabular ni meza inayojumuisha safu mbili. Safu ya kwanza imetengwa kwa maadili ya X, na katika safu inayofuata data ya mchezaji imerekodiwa.

Njia ya picha inachukuliwa kuwa ya kuona zaidi. Grafu ni onyesho la seti ya alama zote kwenye ndege.

Ili kuunda matumizi ya grafu Mfumo wa Cartesian kuratibu Mfumo huo una mistari miwili ya perpendicular. Sehemu zinazofanana za kitengo zimewekwa kwenye shoka. Countdown inafanywa kutoka kituo cha katikati makutano ya mistari iliyonyooka.

Tofauti huru inaonyesha mstari wa usawa. Inaitwa mhimili wa abscissa. Mstari wa wima (mhimili y) unaonyesha thamani ya nambari ya kigezo tegemezi. Pointi zimewekwa alama kwenye makutano ya viambatisho vya shoka hizi. Kuunganisha pointi pamoja, tunapata mstari imara. Ni msingi wa ratiba.

Aina za utegemezi tofauti

Ufafanuzi.

KATIKA mtazamo wa jumla utegemezi unawasilishwa kama mlinganyo: y=f(x). Kutoka kwa formula inafuata kwamba kwa kila thamani ya nambari x kuna nambari fulani u. Thamani ya mchezo, ambayo inalingana na nambari x, inaitwa thamani ya chaguo la kukokotoa.

Thamani zote zinazowezekana ambazo kigezo huru hupata huunda kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Ipasavyo, seti nzima ya nambari za kutofautisha tegemezi huamua anuwai ya maadili ya kazi. Kikoa cha ufafanuzi ni maadili yote ya hoja ambayo f(x) inaeleweka.

Kazi ya awali ya utafiti sheria za hisabati inajumuisha kutafuta kikoa cha ufafanuzi. Neno hili lazima lifafanuliwe kwa usahihi. KATIKA vinginevyo mahesabu yote zaidi hayatakuwa na maana. Baada ya yote, kiasi cha maadili huundwa kwa misingi ya vipengele vya seti ya kwanza.

Upeo wa chaguo za kukokotoa unategemea moja kwa moja vikwazo. Mapungufu husababishwa na kutokuwa na uwezo wa kufanya shughuli fulani. Pia kuna mipaka ya matumizi ya maadili ya nambari.

Kwa kukosekana kwa vikwazo, uwanja wa ufafanuzi ni nafasi nzima ya nambari. Ishara ya infinity ina ishara ya usawa ya nane. Seti nzima ya nambari imeandikwa hivi: (-∞; ∞).

KATIKA kesi fulani safu ya data ina vikundi vidogo kadhaa. Upeo wa vipindi vya namba au nafasi hutegemea aina ya sheria ya mabadiliko ya parameter.

Hapa kuna orodha ya sababu zinazoathiri vikwazo:

• uwiano wa kinyume;
• mzizi wa hesabu;
• ufafanuzi;
• utegemezi wa logarithmic;
• fomu za trigonometric.

Ikiwa kuna vipengele kadhaa vile, basi utafutaji wa vikwazo umegawanywa kwa kila mmoja wao. Tatizo kubwa zaidi inawakilisha kitambulisho pointi muhimu na vipindi. Suluhisho la tatizo litakuwa kuunganisha subsets zote za nambari.

Seti na seti ndogo ya nambari

Kuhusu seti.

Kikoa cha ufafanuzi kinaonyeshwa kama D(f), na ishara ya muungano inawakilishwa na ishara ∪. Wote vipindi vya nambari iliyofungwa kwenye mabano. Ikiwa mpaka wa tovuti haujumuishwa kwenye seti, basi bracket ya semicircular imewekwa. Vinginevyo, nambari inapojumuishwa katika sehemu ndogo, mabano ya mraba hutumiwa.

Uwiano kinyume unaonyeshwa na fomula y=k/x. Grafu ya kazi ni mstari uliopinda unaojumuisha matawi mawili. Kwa kawaida huitwa hyperbole.

Kwa kuwa chaguo la kukokotoa limeonyeshwa kama sehemu, kutafuta kikoa cha ufafanuzi kunakuja kwenye kuchanganua kiashiria. Inajulikana kuwa katika hisabati mgawanyiko kwa sifuri ni marufuku. Kutatua tatizo kunakuja kwa kusawazisha dhehebu hadi sifuri na kutafuta mizizi.

Hapa kuna mfano:

Imetolewa: y=1/(x+4). Tafuta kikoa cha ufafanuzi.

1. Tunalinganisha denominator kwa sifuri.
   x+4=0
2. Kutafuta mzizi wa equation.
   x=-4
3. Bainisha seti ya zote maadili iwezekanavyo hoja.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Jibu: Upeo wa kazi ni kila kitu nambari za kweli, isipokuwa -4.

Thamani ya nambari iliyo chini ya ishara ya mzizi wa mraba haiwezi kuwa hasi. Katika kesi hii, kufafanua kazi na mzizi ni kupunguzwa kwa kutatua usawa. Usemi mkali lazima uwe mkubwa kuliko sufuri.

Eneo la uamuzi wa mizizi linahusiana na usawa wa kiashiria cha mizizi. Ikiwa kiashiria kinaweza kugawanywa na 2, basi usemi huo una maana tu ikiwa ni thamani chanya. Nambari isiyo ya kawaida kiashiria kinaonyesha kukubalika kwa maana yoyote ya usemi mkali: chanya na hasi.

Ukosefu wa usawa hutatuliwa kwa njia sawa na milinganyo. Kuna tofauti moja tu. Baada ya kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa nambari hasi ishara inapaswa kugeuzwa.

Ikiwa mizizi ya mraba iko kwenye dhehebu, basi hali ya ziada lazima iwekwe. Thamani ya nambari lazima isiwe sifuri. Ukosefu wa usawa unaingia katika kundi la ukosefu wa usawa.

Kazi za logarithmic na trigonometric

Fomu ya logarithmic ina maana wakati nambari chanya. Kwa hivyo, kikoa cha kazi ya logarithmic ni sawa na kazi ya mizizi ya mraba, isipokuwa sifuri.

Wacha tuchunguze mfano wa utegemezi wa logarithmic: y=logi(2x-6). Tafuta kikoa cha ufafanuzi.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Jibu: (3; +∞).

Kikoa cha ufafanuzi wa y=sin x na y=cos x ni seti ya nambari zote halisi. Kuna vikwazo kwa tangent na cotangent. Zinahusishwa na mgawanyiko kwa cosine au sine ya pembe.

Tanjiti ya pembe hubainishwa na uwiano wa sine na kosine. Wacha tuonyeshe maadili ya pembe ambayo thamani ya tangent haipo. Chaguo za kukokotoa y=tg x zinaeleweka kwa thamani zote za hoja isipokuwa x=π/2+πn, n∈Z.

Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa y=ctg x ni seti nzima ya nambari halisi, bila kujumuisha x=πn, n∈Z. Ikiwa hoja ni sawa na nambari π au kizidisho cha π, sine ya pembe sawa na sifuri. Katika pointi hizi (asymptotes) cotangent haiwezi kuwepo.

Kazi za kwanza za kutambua kikoa cha ufafanuzi huanza katika masomo katika daraja la 7. Inapoanzishwa kwa mara ya kwanza kwenye sehemu hii ya aljebra, mwanafunzi anapaswa kuelewa mada kwa uwazi.

Ikumbukwe kwamba muda huu ataandamana na mwanafunzi, na kisha mwanafunzi, katika kipindi chote cha funzo.

Katika hisabati seti isiyo na mwisho kazi. Na kila moja ina tabia yake.) Kufanya kazi na aina mbalimbali za utendaji unahitaji single mbinu. Vinginevyo, ni aina gani ya hisabati hii?!) Na kuna mbinu kama hiyo!

Wakati wa kufanya kazi na kazi yoyote, tunawasilisha nayo seti ya kawaida maswali. Na ya kwanza, zaidi swali muhimu-Hii kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Wakati mwingine eneo hili linaitwa seti ya maadili halali ya hoja, eneo ambalo kazi imetajwa, nk.

Kikoa cha kitendakazi ni nini? Jinsi ya kuipata? Maswali haya mara nyingi yanaonekana kuwa magumu na yasiyoeleweka ... Ingawa, kwa kweli, kila kitu ni rahisi sana. Unaweza kujionea mwenyewe kwa kusoma ukurasa huu. Kwenda?)

Naam, naweza kusema nini... Heshima tu.) Ndiyo! Kikoa asili cha chaguo za kukokotoa (ambacho kinajadiliwa hapa) mechi na ODZ ya misemo iliyojumuishwa kwenye chaguo la kukokotoa. Ipasavyo, hutafutwa kulingana na sheria sawa.

Sasa hebu tuangalie kikoa kisicho cha asili kabisa cha ufafanuzi.)

Vikwazo vya ziada kwenye upeo wa chaguo za kukokotoa.

Hapa tutazungumzia kuhusu vikwazo vinavyowekwa na kazi. Wale. kazi ina baadhi masharti ya ziada, ambazo zilivumbuliwa na mkusanyaji. Au vikwazo vinatoka kwa njia sana ya kufafanua kazi.

Kuhusu vikwazo katika kazi, kila kitu ni rahisi. Kawaida, hakuna haja ya kutafuta chochote, kila kitu tayari kinasemwa katika kazi. Napenda kukukumbusha kwamba vikwazo vilivyoandikwa na mwandishi wa kazi havighairi mapungufu ya kimsingi ya hisabati. Unahitaji tu kukumbuka kuzingatia masharti ya kazi.

Kwa mfano, kazi hii:

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa:

kwenye seti ya nambari chanya.

Tulipata kikoa asili cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa hapo juu. Eneo hili:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

KATIKA njia ya maneno Wakati wa kutaja kazi, unahitaji kusoma kwa uangalifu hali hiyo na kupata vikwazo kwenye X huko. Wakati mwingine macho hutafuta fomula, lakini maneno hupiga filimbi kupita fahamu ndiyo...) Mfano kutoka kwa somo lililotangulia:

Chaguo za kukokotoa hubainishwa na hali: kila thamani ya hoja asilia x inahusishwa na jumla ya tarakimu zinazounda thamani ya x.

Ikumbukwe hapa kwamba tunazungumza pekee O maadili ya asili X. Kisha D(f) iliyorekodiwa papo hapo:

D (f): x ∈ N

Kama unaweza kuona, wigo wa kazi sio hivyo dhana tata. Kutafuta eneo hili kunakuja chini ya kuchunguza kazi, kuandika mfumo wa kutofautiana, na kutatua mfumo huu. Bila shaka, kuna kila aina ya mifumo, rahisi na ngumu. Lakini...

Nitaifungua siri kidogo. Wakati mwingine kazi ambayo unahitaji kupata kikoa cha ufafanuzi inaonekana ya kutisha. Ninataka kugeuka rangi na kulia.) Lakini mara tu ninapoandika mfumo wa kutofautiana ... Na, ghafla, mfumo unageuka kuwa wa msingi! Zaidi ya hayo, mara nyingi, kazi ya kutisha zaidi, mfumo rahisi zaidi ...

Maadili: macho yanaogopa, kichwa kinaamua!)

Vipi ?
Mifano ya ufumbuzi

Ikiwa kitu kinakosekana mahali fulani, inamaanisha kuwa kuna kitu mahali fulani

Tunaendelea kujifunza sehemu ya "Kazi na Grafu", na kituo kinachofuata kwenye safari yetu ni. Majadiliano hai dhana hii ilianza katika makala kuhusu seti na kuendelea katika somo la kwanza kuhusu kazi grafu, ambapo niliangalia kazi za msingi, na, hasa, nyanja zao za ufafanuzi. Kwa hiyo, ninapendekeza kwamba dummies kuanza na misingi ya mada, kwa kuwa sitakaa juu ya pointi za msingi tena.

Msomaji anadhaniwa kujua kikoa cha ufafanuzi kazi zifuatazo: mstari, quadratic, kazi ya ujazo, polynomia, kielelezo, sine, kosine. Wao hufafanuliwa juu ya (seti ya nambari zote halisi). Kwa tangents, arcsines, iwe hivyo, nakusamehe =) - grafu adimu hazikumbukwi mara moja.

Upeo wa ufafanuzi unaonekana kuwa jambo rahisi, na swali la mantiki linatokea: makala itakuwa nini? Katika somo hili nitaangalia matatizo ya kawaida ya kupata kikoa cha kazi. Zaidi ya hayo, tutarudia kukosekana kwa usawa na kigezo kimoja, ujuzi wa ufumbuzi ambao utahitajika katika kazi nyingine hisabati ya juu. Nyenzo, kwa njia, ni nyenzo zote za shule, hivyo zitakuwa na manufaa si tu kwa wanafunzi, bali pia kwa wanafunzi. Habari, bila shaka, haijifanya kuwa encyclopedic, lakini hapa sio mifano ya "wafu" ya mbali, lakini chestnuts iliyochomwa, ambayo huchukuliwa kutoka kwa kazi halisi ya vitendo.

Wacha tuanze na kupiga mbizi haraka kwenye mada. Kwa kifupi juu ya jambo kuu: tunazungumza juu ya kazi ya kutofautisha moja. Kikoa chake cha ufafanuzi ni maana nyingi za "x", kwa ajili yake kuwepo maana ya "wachezaji". Hebu tuzingatie mfano wa masharti:

Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni muunganisho wa vipindi:
(kwa wale ambao wamesahau: - icon ya umoja). Kwa maneno mengine, ikiwa unachukua thamani yoyote ya "x" kutoka kwa muda, au kutoka, au kutoka, basi kwa kila "x" kama hiyo kutakuwa na thamani "y".

Kwa kusema, ambapo kikoa cha ufafanuzi ni, kuna grafu ya chaguo la kukokotoa. Lakini nusu ya muda na hatua ya "tse" haijajumuishwa katika eneo la ufafanuzi na hakuna grafu huko.

Jinsi ya kupata kikoa cha kazi? Watu wengi wanakumbuka wimbo wa watoto: "mwamba, mkasi, karatasi," na ndani kwa kesi hii inaweza kufafanuliwa kwa usalama: "mizizi, sehemu na logarithm." Kwa hivyo, ikiwa wewe njia ya maisha hukutana na sehemu, mzizi au logarithm, unapaswa kuwa mwangalifu sana mara moja! Tangent, cotangent, arcsine, arccosine ni ya kawaida sana, na pia tutazungumza juu yao. Lakini kwanza, michoro kutoka kwa maisha ya mchwa:

Kikoa cha chaguo za kukokotoa ambacho kina sehemu

Tuseme tumepewa chaguo za kukokotoa zilizo na sehemu fulani. Kama unavyojua, huwezi kugawanya kwa sifuri: , kwa hivyo hizo Thamani za "X" zinazogeuza kiashiria kuwa sifuri hazijajumuishwa katika wigo wa chaguo hili la kukokotoa..

Sitazingatia zaidi kazi rahisi kama nk, kwa kuwa kila mtu huona kikamilifu vidokezo ambavyo hazijajumuishwa katika kikoa chao cha ufafanuzi. Wacha tuangalie sehemu zenye maana zaidi:

Mfano 1

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: Hakuna kitu maalum katika nambari, lakini dhehebu lazima lisiwe sifuri. Wacha tuiweke sawa na sifuri na tujaribu kupata alama "mbaya":

Equation inayosababishwa ina mizizi miwili: . Thamani za data haziko katika wigo wa chaguo la kukokotoa. Hakika, badala au ndani ya kazi na utaona kwamba denominator huenda kwa sifuri.

Jibu: kikoa:

Ingizo linasomeka kama hii: "kikoa cha ufafanuzi ni nambari zote za kweli isipokuwa seti inayojumuisha maadili. " Acha nikukumbushe kwamba ishara ya backslash katika hisabati inaashiria uondoaji wa kimantiki, na mabano ya curly yanaashiria seti. Jibu linaweza kuandikwa kwa usawa kama muungano wa vipindi vitatu:

Yeyote anayependa.

Katika pointi kazi huvumilia mapumziko yasiyo na mwisho, na mistari iliyonyooka, iliyotolewa na milinganyo ni asymptotes wima kwa grafu ya kipengele hiki. Walakini, hii ni mada tofauti kidogo, na zaidi sitazingatia sana hii.

Mfano 2

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Kazi kimsingi ni ya mdomo na wengi wenu mtapata eneo la ufafanuzi mara moja. Jibu liko mwishoni mwa somo.

Je! sehemu itakuwa "mbaya" kila wakati? Hapana. Kwa mfano, kipengele cha kukokotoa kinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari. Haijalishi ni thamani gani ya "x" tunayochukua, denominator haitaenda kwa sifuri, zaidi ya hayo, itakuwa daima kuwa chanya:. Kwa hivyo, upeo wa kazi hii ni:.

Kazi zote kama imefafanuliwa na kuendelea juu ya.

Hali ni ngumu zaidi wakati denominator inachukuliwa quadratic trinomial:

Mfano 3

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: Hebu tujaribu kutafuta pointi ambazo denominator huenda hadi sifuri. Kwa hili tutaamua mlinganyo wa quadratic:

Mbaguzi aligeuka kuwa hasi, ambayo inamaanisha mizizi halisi hapana, na kazi yetu imefafanuliwa kwenye safu nzima ya nambari.

Jibu: kikoa:

Mfano 4

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Suluhu na jibu ni mwisho wa somo. Ninakushauri usiwe wavivu na shida rahisi, kwani kutokuelewana kutajilimbikiza na mifano zaidi.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa chenye mzizi

Kazi na kipeo hufafanuliwa tu kwa maadili hayo ya "x" wakati usemi mkali sio hasi:. Ikiwa mizizi iko katika denominator , basi hali hiyo imeimarishwa kwa wazi:. Hesabu zinazofanana ni halali kwa mzizi wowote wa digrii chanya: , hata hivyo, mzizi tayari ni wa shahada ya 4 ndani masomo ya kazi Sikumbuki.

Mfano 5

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: usemi mkali lazima siwe hasi:

Kabla ya kuendelea na suluhisho, napenda kukukumbusha sheria za msingi za kufanya kazi na kutofautiana, inayojulikana kutoka shuleni.

Tafadhali kumbuka Tahadhari maalum! Sasa tunazingatia usawa yenye kigezo kimoja- yaani, kwetu kuna tu mwelekeo mmoja kando ya mhimili. Tafadhali usichanganye na kutofautiana kwa vigezo viwili, ambapo kijiometri wote kuratibu ndege. Hata hivyo, pia kuna matukio ya kupendeza! Kwa hivyo, kwa ukosefu wa usawa mabadiliko yafuatayo ni sawa:

1) Masharti yanaweza kuhamishwa kutoka sehemu hadi sehemu kwa kubadilisha (masharti) ishara.

2) Pande zote mbili za ukosefu wa usawa zinaweza kuzidishwa na nambari chanya.

3) Ikiwa pande zote mbili za usawa zinazidishwa hasi nambari, basi unahitaji kubadilisha ishara ya ukosefu wa usawa yenyewe. Kwa mfano, ikiwa kulikuwa na "zaidi", basi itakuwa "chini"; ikiwa ilikuwa "chini ya au sawa", basi itakuwa "kubwa kuliko au sawa".

Katika ukosefu wa usawa, tunahamisha "tatu" kwa upande wa kulia na mabadiliko ya ishara (sheria Na. 1):

Hebu tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa -1 (kanuni Na. 3):

Hebu tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa (kanuni Na. 2):

Jibu: kikoa:

Jibu pia linaweza kuandikwa kwa kifungu sawa: "tendakazi inafafanuliwa kwa ."
Kijiometri, eneo la ufafanuzi linaonyeshwa kwa kuweka kivuli vipindi vinavyolingana kwenye mhimili wa abscissa. Kwa kesi hii:

Nakukumbusha tena maana ya kijiometri kikoa cha ufafanuzi - grafu ya kazi ipo tu katika eneo lenye kivuli na haipo kwa .

Katika hali nyingi, uamuzi wa uchambuzi wa kikoa cha ufafanuzi unafaa, lakini wakati kazi ni ngumu sana, unapaswa kuchora mhimili na kuandika.

Mfano 6

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako.

Wakati kuna binomial ya mraba au trinomial chini ya mzizi wa mraba, hali inakuwa ngumu zaidi, na sasa tutachambua kwa undani mbinu ya suluhisho:

Mfano 7

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: usemi mkali lazima uwe chanya kabisa, yaani, tunahitaji kutatua ukosefu wa usawa. Katika hatua ya kwanza, tunajaribu kuangazia trinomial ya quadratic:

Ubaguzi ni mzuri, tunatafuta mizizi:

Kwa hivyo parabola huingilia mhimili wa abscissa kwa pointi mbili, ambayo ina maana kwamba sehemu ya parabola iko chini ya mhimili (kutokuwa na usawa), na sehemu ya parabola iko juu ya mhimili (kukosekana kwa usawa tunayohitaji).

Kwa kuwa mgawo ni , matawi ya parabola huelekea juu. Kutoka hapo juu inafuata kwamba usawa umeridhika kwa vipindi (matawi ya parabola huenda juu hadi infinity), na vertex ya parabola iko kwenye muda chini ya mhimili wa x, ambayo inalingana na usawa:

! Kumbuka: Ikiwa huelewi maelezo kikamilifu, tafadhali chora mhimili wa pili na parabola nzima! Inashauriwa kurudi kwenye makala na mwongozo Fomula moto za kozi ya hisabati ya shule.

Tafadhali kumbuka kuwa pointi zenyewe zimeondolewa (hazijajumuishwa katika suluhisho), kwani usawa wetu ni mkali.

Jibu: kikoa:

Kwa ujumla, tofauti nyingi (ikiwa ni pamoja na ile inayozingatiwa) hutatuliwa na ulimwengu wote njia ya muda, inayojulikana tena kutoka mtaala wa shule. Lakini katika kesi za binomials za mraba na trinomials, kwa maoni yangu, ni rahisi zaidi na kwa haraka kuchambua eneo la parabola kuhusiana na mhimili. Na tutachambua njia kuu - njia ya muda - kwa undani katika kifungu hicho. Kazi sufuri. Vipindi vya kudumu.

Mfano 8

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Mfano unatoa maoni kwa undani juu ya mantiki ya hoja + njia ya pili ya suluhisho na moja zaidi mabadiliko muhimu kukosekana kwa usawa, bila ujuzi ambao mwanafunzi atapungua kwa mguu mmoja ..., ... hmm ... kuhusu mguu, labda, nilipata msisimko, badala yake, kwenye kidole kimoja. Kidole gumba.

Je, kazi ya mzizi wa mraba inaweza kufafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari? Hakika. Nyuso zote zinazojulikana: . Au jumla sawa na kielezi: . Kwa kweli, kwa maadili yoyote ya "x" na "ka": , kwa hivyo pia na .

Lakini kidogo mfano dhahiri: . Hapa kibaguzi ni hasi (parabola haiingiliani na mhimili wa x), wakati matawi ya parabola yanaelekezwa juu, kwa hivyo uwanja wa ufafanuzi:.

Swali lililo kinyume: je, kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa kinaweza kuwa tupu? Ndio, na mfano wa zamani unajipendekeza mara moja , ambapo usemi mkali ni hasi kwa thamani yoyote ya "x", na kikoa cha ufafanuzi: (ikoni seti tupu) Kazi kama hiyo haijafafanuliwa kabisa (bila shaka, grafu pia ni ya uwongo).

Na mizizi isiyo ya kawaida na kadhalika. kila kitu ni bora zaidi - hapa usemi mkali unaweza kuwa hasi. Kwa mfano, kipengele cha kukokotoa kinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari. Hata hivyo, chaguo la kukokotoa lina nukta moja ambayo bado haijajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi, kwani kiashiria kimewekwa kuwa sifuri. Kwa sababu sawa ya kazi pointi zimetengwa.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa chenye logariti

Kazi ya tatu ya kawaida ni logarithm. Kama sampuli nitachora logarithm asili, ambayo hutokea katika takriban mifano 99 kati ya 100. Ikiwa kipengele fulani cha kukokotoa kina logariti, basi kikoa chake cha ufafanuzi kinapaswa kujumuisha tu zile thamani za "x" zinazokidhi ukosefu wa usawa. Ikiwa logarithm iko kwenye denominator: , basi kwa kuongeza hali imewekwa (tangu).

Mfano 9

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: kwa mujibu wa hapo juu, tutatunga na kutatua mfumo:

Suluhisho la picha kwa Dummies:

Jibu: kikoa:

Nitasimama kwa moja zaidi hatua ya kiufundi- Sina kiwango kilichoonyeshwa na mgawanyiko kwenye mhimili haujawekwa alama. Swali linatokea: jinsi ya kufanya michoro kama hizo kwenye daftari karatasi ya checkered? Umbali kati ya alama unapaswa kupimwa na seli madhubuti kulingana na kiwango? Ni ya kisheria zaidi na kali, kwa kweli, kwa kiwango, lakini mchoro wa kimkakati ambao kimsingi unaonyesha hali hiyo pia unakubalika kabisa.

Mfano 10

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Ili kutatua tatizo, unaweza kutumia njia ya aya iliyotangulia - kuchambua jinsi parabola iko kuhusiana na mhimili wa x. Jibu liko mwishoni mwa somo.

Kama unaweza kuona, katika uwanja wa logarithms kila kitu ni sawa na hali na mizizi ya mraba: kazi. (mraba trinomial kutoka Mfano Na. 7) inafafanuliwa kwenye vipindi, na kazi (square binomial kutoka Mfano Na. 6) kwenye muda. Ni ngumu hata kusema, kazi za aina zinafafanuliwa kwenye safu nzima ya nambari.

Taarifa muhimu : ya kuvutia kazi ya kawaida, imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari isipokuwa nukta. Kulingana na mali ya logarithm, "mbili" inaweza kuzidishwa nje ya logarithm, lakini ili chaguo la kukokotoa lisibadilike, "x" lazima iwekwe chini ya ishara ya moduli: . Hapa kuna nyingine kwa ajili yako" matumizi ya vitendo»moduli =). Hivi ndivyo unahitaji kufanya katika hali nyingi unapobomoa hata shahada, kwa mfano: . Ikiwa msingi wa shahada ni dhahiri chanya, kwa mfano, basi hakuna haja ya ishara ya moduli na inatosha kutumia mabano:.

Ili kuzuia kurudia, wacha tufanye kazi iwe ngumu:

Mfano 11

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: katika kazi hii tunayo mzizi na logarithm.

Usemi mkali lazima usiwe hasi: , na usemi chini ya ishara ya logariti lazima uwe chanya kabisa: . Kwa hivyo, ni muhimu kutatua mfumo:

Wengi wenu mnajua vizuri sana au kwa kukisia kwamba suluhisho la mfumo lazima liridhishe kwa kila mmoja hali.

Kuchunguza eneo la parabola inayohusiana na mhimili, tunafikia hitimisho kwamba usawa unaridhika na muda (kivuli cha bluu):

Ukosefu wa usawa ni dhahiri unalingana na kipindi cha "nyekundu".

Kwa kuwa masharti yote mawili lazima yatimizwe kwa wakati mmoja, basi suluhisho la mfumo ni makutano ya vipindi hivi. " Maslahi ya kawaida»hukutana kwa muda wa nusu.

Jibu: kikoa:

Ukosefu wa usawa wa kawaida, kama inavyoonyeshwa katika Mfano Na. 8, si vigumu kutatua kiuchambuzi.

Kikoa kilichopatikana hakitabadilika kwa "vitendaji sawa", k.m. au . Unaweza pia kuongeza kazi zingine zinazoendelea, kwa mfano: , au kama hii: , au hata kama hii:. Kama wanasema, mzizi na logarithm ni vitu vya ukaidi. Jambo pekee ni kwamba ikiwa moja ya kazi "imewekwa upya" kwa dhehebu, basi kikoa cha ufafanuzi kitabadilika (ingawa katika kesi ya jumla hii sio kweli kila wakati). Naam, katika nadharia ya matan kuhusu maneno haya ... oh ... kuna nadharia.

Mfano 12

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kutumia mchoro ni sahihi kabisa, kwani kazi sio rahisi zaidi.

Mifano michache zaidi ili kuimarisha nyenzo:

Mfano 13

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: wacha tuunde na tusuluhishe mfumo:

Vitendo vyote tayari vimejadiliwa katika kifungu hicho. Wacha tuonyeshe muda unaolingana na usawa kwenye safu ya nambari na, kulingana na hali ya pili, tuondoe alama mbili:

Maana iligeuka kuwa haina maana kabisa.

Jibu: kikoa

Pun kidogo ya hesabu juu ya tofauti ya mfano wa 13:

Mfano 14

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Waliokosa hawana bahati ;-)

Sehemu ya mwisho ya somo imejitolea kwa nadra zaidi, lakini pia kazi za "kufanya kazi":

Maeneo ya Ufafanuzi wa Kazi
na tangents, cotangents, arcsines, arccosines

Ikiwa baadhi ya chaguo za kukokotoa ni pamoja na , basi kutoka kwa kikoa chake cha ufafanuzi kutengwa pointi wapi Z- seti ya nambari kamili. Hasa, kama ilivyoelezwa katika makala Grafu na mali ya kazi za msingi, chaguo la kukokotoa lina maadili yafuatayo:

Hiyo ni, kikoa cha ufafanuzi wa tangent: .

Wacha tusiue sana:

Mfano 15

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: katika kesi hii, pointi zifuatazo hazitajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi:

Wacha tutupe "mbili" za upande wa kushoto kwenye dhehebu la upande wa kulia:

Matokeo yake :

Jibu: kikoa: .

Kimsingi, jibu linaweza pia kuandikwa kama muungano nambari isiyo na kikomo vipindi, lakini muundo utakuwa mgumu sana:

Suluhisho la uchambuzi ni sawa kabisa na mabadiliko ya kijiometri ya grafu: ikiwa hoja ya chaguo za kukokotoa inazidishwa na 2, basi grafu yake itapungua hadi mhimili mara mbili. Angalia jinsi muda wa chaguo la kukokotoa umepunguzwa kwa nusu, na pointi za mapumziko mara mbili katika mzunguko. Tachycardia.

Hadithi inayofanana na cotangent. Ikiwa baadhi ya chaguo za kukokotoa ni pamoja na , basi pointi hazijajumuishwa kwenye kikoa chake cha ufafanuzi. Hasa, kwa kazi ya kupasuka kiotomatiki tunapiga maadili yafuatayo:

Kwa maneno mengine: