Vipindi vya nambari ni pamoja na miale, sehemu, vipindi na vipindi vya nusu.
Aina za vipindi vya nambari
| Jina | Picha | Kutokuwa na usawa | Uteuzi |
|---|---|---|---|
| Fungua boriti | x > a | (a; +∞) | |
| x < a | (-∞; a) | ||
| Boriti iliyofungwa | x ⩾ a | [a; +∞) | |
| x ⩽ a | (-∞; a] | ||
| Sehemu ya mstari | a ⩽ x ⩽ b | [a; b] | |
| Muda | a < x < b | (a; b) | |
| Nusu ya muda | a < x ⩽ b | (a; b] | |
| a ⩽ x < b | [a; b) |
Katika meza a Na b ni pointi za mipaka, na x- kigezo ambacho kinaweza kuchukua uratibu wa sehemu yoyote ya muda wa nambari.
Sehemu ya mpaka- hii ndiyo hatua inayofafanua mpaka wa muda wa nambari. Sehemu ya mpaka inaweza au isiwe ya muda wa nambari. Katika michoro, alama za mipaka ambazo sio za muda wa nambari zinazozingatiwa zinaonyeshwa na mduara wazi, na zile ambazo ni zao zinaonyeshwa na mduara uliojazwa.
Boriti iliyofunguliwa na iliyofungwa
Fungua boriti ni seti ya pointi kwenye mstari ulio upande mmoja wa sehemu ya mpaka ambayo haijajumuishwa katika seti hii. Mionzi inaitwa wazi kwa usahihi kwa sababu ya hatua ya mpaka ambayo sio yake.
Wacha tuchunguze seti ya vidokezo kwenye mstari wa kuratibu ambao una kuratibu zaidi ya 2, na kwa hivyo iko upande wa kulia wa nukta 2:
Seti kama hiyo inaweza kufafanuliwa na usawa x> 2. Miale wazi inaashiria kwa kutumia mabano - (2; +∞), ingizo hili linasomeka hivi: fungua miale ya nambari kutoka mbili hadi pamoja na infinity.
Seti ambayo usawa inalingana x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Boriti iliyofungwa ni seti ya pointi kwenye mstari ulio upande mmoja wa sehemu ya mpaka inayomilikiwa na seti fulani. Katika michoro, alama za mipaka za seti inayozingatiwa zinaonyeshwa na mduara uliojaa.
Mionzi ya nambari iliyofungwa inafafanuliwa na kutofautiana kwa usawa. Kwa mfano, usawa x 2 na x 2 inaweza kuonyeshwa kama hii:
Miale hii iliyofungwa imeteuliwa kama ifuatavyo: , inasomwa hivi: miale ya nambari kutoka kwa mbili hadi pamoja na infinity na miale ya nambari kutoka kwa minus infinity hadi mbili. Mabano ya mraba katika nukuu yanaonyesha kuwa nukta 2 ni ya muda wa nambari.
Sehemu ya mstari
Sehemu ya mstari ni seti ya pointi kwenye mstari ulio kati ya pointi mbili za mpaka zinazomilikiwa na seti fulani. Seti kama hizo zinafafanuliwa na usawa mara mbili usio mkali.
Fikiria sehemu ya mstari wa kuratibu na ncha kwa pointi -2 na 3:
Seti ya alama zinazounda sehemu fulani inaweza kubainishwa na usawa mara mbili -2 x 3 au mteule [-2; 3], rekodi kama hii inasomeka hivi: sehemu kutoka minus mbili hadi tatu.
Muda na nusu ya muda
Muda- hii ni seti ya pointi kwenye mstari ulio kati ya pointi mbili za mpaka ambazo si za seti hii. Seti kama hizo zinafafanuliwa na usawa mkali mara mbili.
Fikiria sehemu ya mstari wa kuratibu na ncha kwa pointi -2 na 3:
Seti ya pointi zinazounda muda fulani zinaweza kutajwa na usawa mara mbili -2< x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Nusu ya muda ni seti ya pointi kwenye mstari ulio kati ya pointi mbili za mpaka, moja ambayo ni ya seti na nyingine sio. Seti kama hizo zinafafanuliwa na usawa mara mbili:
Vipindi hivi vya nusu vimeainishwa kama ifuatavyo: (-2; 3] na [-2; 3), inasomwa hivi: nusu-muda kutoka minus mbili hadi tatu, ikijumuisha 3, na nusu ya muda kutoka minus mbili hadi tatu. , ikijumuisha minus mbili.
Muda wa nambari
Muda, muda wazi, muda- seti ya pointi kwenye mstari wa nambari kati ya nambari mbili zilizotolewa a Na b, yaani, seti ya nambari x, kukidhi hali: a < x < b . Muda haujumuishi miisho na inaonyeshwa na ( a,b) (Mara nyingine ] a,b[ ), tofauti na sehemu [ a,b] (muda uliofungwa), pamoja na miisho, ambayo ni, inayojumuisha alama.
Katika kurekodi ( a,b), nambari a Na b huitwa miisho ya muda. Muda ni pamoja na nambari zote halisi, muda ni pamoja na nambari zote ndogo a na muda - nambari zote ni kubwa a .
Muda muda kutumika katika maneno magumu:
- juu ya kuunganishwa - muda wa ujumuishaji,
- wakati wa kufafanua mizizi ya equation - muda wa insulation
- wakati wa kuamua muunganisho wa safu ya nguvu - muda wa muunganisho wa mfululizo wa nguvu.
Kwa njia, kwa Kiingereza neno muda inayoitwa sehemu. Na kuashiria dhana ya muda, neno hutumiwa muda wazi.
Fasihi
- Vygodsky M. Ya. Kitabu cha hisabati cha juu. M.: "Astrel", "AST", 2002
Angalia pia
Viungo
Wikimedia Foundation. 2010.
Tazama "muda wa nambari" ni nini katika kamusi zingine:
Kutoka lat. muda wa intervallum, umbali: Katika muziki: Muda ni uwiano wa urefu wa tani mbili; uwiano wa masafa ya sauti ya tani hizi. Katika hisabati: Muda (jiometri) ni seti ya pointi kwenye mstari uliomo kati ya pointi A na B, ... ... Wikipedia
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Muda, muda wazi, muda ni seti ya pointi kwenye mstari wa nambari iliyofungwa kati ya nambari mbili zilizotolewa a na b, ambayo ni, seti ya nambari x zinazokidhi hali: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Muda, au kwa usahihi zaidi, muda wa mstari wa nambari, ni seti ya nambari halisi ambayo ina sifa ambayo, pamoja na nambari zozote mbili, ina nambari yoyote iliyo kati yao. Kwa kutumia alama za kimantiki, ufafanuzi huu... ... Wikipedia
Wacha tukumbuke ufafanuzi wa sehemu ndogo za msingi za nambari halisi. Ikiwa, basi seti inaitwa sehemu ya mstari wa nambari iliyopanuliwa R na inaonyeshwa na, yaani, katika kesi ya sehemu ... Wikipedia.
Mfuatano Mfuatano wa nambari ni mfuatano wa vipengele katika nafasi ya nambari. Nambari za nambari... Wikipedia
HADURUKA- (kutoka kwa mikros ya Kigiriki ndogo na skopeo ninaangalia), chombo cha macho cha kujifunza vitu vidogo ambavyo havionekani moja kwa moja kwa jicho la uchi. Kuna darubini rahisi, au miwani ya kukuza, na darubini changamano, au darubini kwa maana ifaayo. Kioo cha kukuza....... Encyclopedia kubwa ya Matibabu
GOST R 53187-2008: Acoustics. Ufuatiliaji wa kelele wa maeneo ya mijini- Istilahi GOST R 53187 2008: Acoustics. Ufuatiliaji wa kelele wa hati asili ya maeneo ya mijini: 1 Kiwango cha sauti kinachokadiriwa kila siku. 2 Jioni inakadiriwa kiwango cha juu cha sauti. 3 Kiwango cha shinikizo la sauti kinachokadiriwa usiku... Kitabu cha marejeleo cha kamusi cha masharti ya hati za kawaida na za kiufundi
Sehemu inaweza kuitwa mojawapo ya dhana mbili zinazohusiana katika jiometri na uchambuzi wa hisabati. Sehemu ni seti ya pointi, kwa ... Wikipedia
Mgawo wa uwiano- (Mgawo wa uunganisho) Mgawo wa uunganisho ni kiashirio cha takwimu cha utegemezi wa vigezo viwili vya random Ufafanuzi wa mgawo wa uwiano, aina za coefficients za uwiano, sifa za uwiano wa uwiano, hesabu na matumizi... ... Encyclopedia ya Wawekezaji
Jibu - Seti (-∞;+∞) inaitwa mstari wa nambari, na nambari yoyote ni nukta kwenye mstari huu. Acha iwe sehemu ya kiholela kwenye mstari wa nambari na δ
Nambari chanya. Muda (a-δ; a+δ) huitwa δ-jirani ya uhakika a.
Seti ya X imefungwa kutoka juu (kutoka chini) ikiwa kuna nambari c kiasi kwamba kwa x ∈ X yoyote usawa x≤с (x≥c) inashikilia. Nambari c katika kesi hii inaitwa kifungo cha juu (chini) cha kuweka X. Seti ambayo imefungwa juu na chini inaitwa mipaka. Mipaka ndogo zaidi (kubwa) ya mipaka ya juu (chini) ya seti inaitwa mipaka halisi ya juu (chini) ya seti hii.
Muda wa nambari ni seti iliyounganishwa ya nambari halisi, ambayo ni kwamba ikiwa nambari 2 ni za seti hii, basi nambari zote kati yao pia ni za seti hii. Kuna aina tofauti tofauti za vipindi vya nambari zisizo tupu: Mstari, miale wazi, miale iliyofungwa, sehemu, nusu ya muda, muda.
Mstari wa nambari
Seti ya nambari zote halisi pia inaitwa nambari ya nambari. Wanaandika.
Katika mazoezi, hakuna haja ya kutofautisha kati ya dhana ya kuratibu au mstari wa nambari kwa maana ya kijiometri na dhana ya mstari wa nambari iliyoanzishwa na ufafanuzi huu. Kwa hivyo, dhana hizi tofauti huonyeshwa kwa neno moja.
Fungua boriti
Seti ya nambari ambazo huitwa miale ya nambari wazi. Wanaandika 
au ipasavyo: 
.
Boriti iliyofungwa
Seti ya nambari ambazo huitwa laini ya nambari iliyofungwa. Wanaandika 
au ipasavyo:.
Seti ya nambari inaitwa sehemu ya nambari.
Maoni. Ufafanuzi hauangazii hilo. Inachukuliwa kuwa kesi hiyo inawezekana. Kisha muda wa nambari hugeuka kuwa hatua.
Muda
Seti ya nambari ambazo huitwa muda wa nambari.
Maoni. Sadfa ya uteuzi wa boriti wazi, mstari wa moja kwa moja na muda sio bahati mbaya. Mwale wazi unaweza kueleweka kama muda, moja wapo ambayo ncha zake huondolewa hadi isiyo na kikomo, na mstari wa nambari - kama muda, ncha zote mbili ambazo huondolewa kwa infinity.
Nusu ya muda
Seti ya nambari kama hii inaitwa nusu ya muda ya nambari.
Wanaandika au, kwa mtiririko huo,
3.Kazi.Grafu ya kazi. Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa.
Jibu - Ikiwa vigeu viwili x na y vimetolewa, basi kigezo y kinasemekana kuwa kazi ya kigezo cha x ikiwa uhusiano kama huo utatolewa kati ya vigeu hivi vinavyoruhusu kila thamani kubainisha thamani ya y kipekee.
Nukuu F = y(x) inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa linazingatiwa ambalo huruhusu thamani yoyote ya kigezo huru cha x (kutoka kati ya zile ambazo hoja x kwa ujumla inaweza kuchukua) ili kupata thamani inayolingana ya kigezo tegemezi y.
Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa.
Kazi inaweza kubainishwa na fomula, kwa mfano:
y = 3x2 - 2.
Kazi inaweza kubainishwa na grafu. Kwa kutumia grafu, unaweza kubainisha ni thamani gani ya chaguo za kukokotoa inalingana na thamani maalum ya hoja. Kwa kawaida hii ni kadirio la thamani ya chaguo za kukokotoa.
4.Sifa kuu za kazi: monotonicity, usawa, periodicity.
Jibu - Ufafanuzi wa Muda. Chaguo za kukokotoa f huitwa mara kwa mara ikiwa kuna nambari kama hiyo 
, hiyo f(x+ 
)=f(x), kwa wote x 
D (f). Kwa kawaida, kuna idadi isitoshe ya nambari hizo. Nambari ndogo zaidi chanya ^ T inaitwa kipindi cha chaguo la kukokotoa. Mifano. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, chaguo hili la kukokotoa si la mara kwa mara. Ufafanuzi wa Usawa. Chaguo za kukokotoa f huitwa hata kama sifa f(-x) = f(x) inashikilia kwa zote x katika D(f). Ikiwa f(-x) = -f(x), basi kazi inaitwa isiyo ya kawaida. Ikiwa hakuna uhusiano wowote ulioonyeshwa umeridhika, basi kazi inaitwa kazi ya jumla. Mifano. A. y = cos (x) - hata; V. y = tg (x) - isiyo ya kawaida; S. y = (x); y = dhambi (x+1) - kazi za fomu ya jumla. Ufafanuzi wa Monotony. Chaguo la kukokotoa f: X -> R inaitwa kuongeza (kupungua) ikiwa kwa yoyote 
hali imefikiwa: 
Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa X -> R huitwa monotonic kwenye X ikiwa inaongezeka au inapungua kwa X. Ikiwa f ni monotone kwenye baadhi ya vikundi vidogo vya X, basi inaitwa piecewise monotone. Mfano. y = cos x - piecewise monotonic kazi.
B) Mstari wa nambari
Fikiria mstari wa nambari (Mchoro 6):
Fikiria seti ya nambari za busara
Kila nambari ya busara inawakilishwa na sehemu fulani kwenye mhimili wa nambari. Kwa hivyo, nambari zimewekwa alama kwenye takwimu.
Hebu thibitisha hilo.
Ushahidi. Wacha kuwe na sehemu:. Tuna haki ya kuzingatia kuwa sehemu hii haiwezi kupunguzwa. Kwa kuwa , basi - nambari ni sawa: - isiyo ya kawaida. Kubadilisha usemi wake, tunapata: , ambayo inamaanisha hiyo ni nambari sawa. Tumepata ukinzani unaothibitisha kauli hiyo.
Kwa hivyo, sio alama zote kwenye mhimili wa nambari zinawakilisha nambari za busara. Pointi hizo ambazo haziwakilishi nambari za busara zinawakilisha nambari zinazoitwa isiyo na mantiki.
Nambari yoyote ya fomu , , ni nambari kamili au nambari isiyo na mantiki.
Vipindi vya nambari
Sehemu za nambari, vipindi, vipindi vya nusu na mionzi huitwa vipindi vya nambari.
| Kutokuwepo kwa usawa kubainisha muda wa nambari | Uteuzi wa muda wa nambari | Jina la muda wa nambari | Inasomeka hivi: |
| a ≤ x ≤ b | [a; b] | Sehemu ya nambari | Sehemu kutoka a hadi b |
| a< x < b | (a; b) | Muda | Muda kutoka a hadi b |
| a ≤ x< b | [a; b) | Nusu ya muda | Nusu ya muda kutoka a kabla b, ikiwa ni pamoja na a. |
| a< x ≤ b | (a; b] | Nusu ya muda | Nusu ya muda kutoka a kabla b, ikiwa ni pamoja na b. |
| x ≥ a | [a; +∞) | Boriti ya nambari | Boriti ya nambari kutoka a hadi plus infinity |
| x>a | (a; +∞) | Fungua boriti ya nambari | Fungua boriti ya nambari kutoka a hadi plus infinity |
| x ≤ a | (- ∞; a] | Boriti ya nambari | Mionzi ya nambari kutoka minus infinity hadi a |
| x< a | (- ∞; a) | Fungua boriti ya nambari | Fungua miale ya nambari kutoka minus infinity hadi a |
Wacha tuwakilishe nambari kwenye mstari wa kuratibu a Na b, pamoja na nambari x kati yao.
Seti ya nambari zote zinazotimiza masharti a ≤ x ≤ b, kuitwa sehemu ya nambari au sehemu tu. Imeteuliwa kama ifuatavyo: [ a; b] - Inasomeka hivi: sehemu kutoka a hadi b.
Seti ya nambari zinazokidhi masharti a< x < b , kuitwa muda. Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( a; b)
Inasomeka hivi: muda kutoka a hadi b.
Seti za nambari zinazokidhi masharti a ≤ x< b или a<x ≤ b, zinaitwa vipindi vya nusu. Uteuzi:
Weka ≤ x< b обозначается так:[a; b), inasomeka hivi: nusu ya muda kutoka a kabla b, ikiwa ni pamoja na a.
Kundi la a<x ≤ b imeonyeshwa kama ifuatavyo:( a; b], inasomeka hivi: nusu ya muda kutoka a kabla b, ikiwa ni pamoja na b.
Sasa hebu tuwazie Ray yenye nukta a, kulia na kushoto ambayo kuna seti ya nambari.
a, kutimiza masharti x ≥ a, kuitwa boriti ya nambari.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: [ a; +∞)-Husoma kama hii: miale ya nambari kutoka a kwa pamoja na infinity.
Seti ya nambari upande wa kulia wa nukta a, sambamba na ukosefu wa usawa x>a, kuitwa boriti ya nambari wazi.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( a; +∞)-Husoma kama hii: miale ya nambari iliyo wazi kutoka a kwa pamoja na infinity.
a, kutimiza masharti x ≤ a, kuitwa mionzi ya nambari kutoka minus infinity hadia .
Imeteuliwa kama ifuatavyo:( - ∞; a]-Husoma kama hii: miale ya nambari kutoka minus infinity hadi a.
Seti ya nambari upande wa kushoto wa nukta a, sambamba na ukosefu wa usawa x< a , kuitwa fungua miale ya nambari kutoka minus infinity hadia .
Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( - ∞; a)-Husoma kama hii: miale ya nambari iliyo wazi kutoka minus infinity hadi a.
Seti ya nambari halisi inawakilishwa na mstari mzima wa kuratibu. Anaitwa mstari wa nambari. Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( - ∞; + ∞ )
3) Milinganyo ya mstari na usawa na tofauti moja, suluhisho zao:
Mlinganyo ulio na kigezo huitwa mlinganyo wenye kigezo kimoja, au mlingano na kisichojulikana. Kwa mfano, mlinganyo wenye kigezo kimoja ni 3(2x+7)=4x-1.
Mzizi au suluhisho la mlinganyo ni thamani ya kigezo ambapo mlinganyo unakuwa usawa wa kweli wa nambari. Kwa mfano, nambari 1 ni suluhisho la mlinganyo 2x+5=8x-1. Equation x2+1=0 haina suluhu, kwa sababu upande wa kushoto wa equation daima ni kubwa kuliko sifuri. Mlinganyo (x+3)(x-4) =0 ina mizizi miwili: x1= -3, x2=4.
Kutatua mlinganyo kunamaanisha kutafuta mizizi yake yote au kuthibitisha kwamba hakuna mizizi.
Milinganyo inaitwa sawa ikiwa mizizi yote ya mlingano wa kwanza ni mizizi ya mlingano wa pili na kinyume chake, mizizi yote ya mlingano wa pili ni mizizi ya mlingano wa kwanza au ikiwa milinganyo yote miwili haina mizizi. Kwa mfano, milinganyo x-8=2 na x+10=20 ni sawa, kwa sababu mzizi wa mlingano wa kwanza x=10 pia ni mzizi wa mlinganyo wa pili, na milinganyo yote miwili ina mzizi sawa.
Wakati wa kutatua equations, mali zifuatazo hutumiwa:
Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na ile iliyotolewa.
Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, utapata mlinganyo sawa na uliyopewa.
Equation ax=b, ambapo x ni variable na a na b ni baadhi ya namba, inaitwa equation linear na variable moja.
Ikiwa a¹0, basi mlinganyo una suluhisho la kipekee.
Ikiwa a=0, b=0, basi mlinganyo huo unatoshelezwa na thamani yoyote ya x.
Ikiwa a=0, b¹0, basi equation haina suluhu, kwa sababu 0x=b haijatekelezwa kwa thamani yoyote ya kutofautisha.
Mfano 1. Tatua mlingano: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
Wacha tufungue mabano pande zote mbili za equation, sogeza masharti yote na x hadi upande wa kushoto wa equation, na maneno ambayo hayana x kwa upande wa kulia, tunapata:
16x-15x=88-40-12
Mfano 2. Tatua milinganyo:
x3-2x2-98x+18=0;
Milinganyo hii sio ya mstari, lakini tutaonyesha jinsi milinganyo kama hii inaweza kutatuliwa.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Bidhaa ni sawa na sifuri, ikiwa moja ya vipengele ni sawa na sifuri, tunapata x1=0; x2= .
Jibu: 0; .
Eleza upande wa kushoto wa equation:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), yaani. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Hii inaonyesha kuwa masuluhisho ya mlinganyo huu ni nambari x1=2, x2=3, x3=-3.
c) Fikiria 7x kama 3x+4x, kisha tuna: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, kwa hivyo x1=-3, x2=- 4.
Jibu: -3; - 4.
Mfano 3. Tatua mlingano: ½x+1ç+½x-1ç=3.
Wacha tukumbuke ufafanuzi wa moduli ya nambari: 
Kwa mfano: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½=4.
Katika mlingano huu, chini ya ishara ya moduli kuna nambari x-1 na x+1. Ikiwa x ni chini ya -1, basi nambari x+1 ni hasi, kisha ½x+1½=-x-1. Na kama x>-1, basi ½x+1½=x+1. Kwa x=-1 ½x+1½=0.
Hivyo, 
Vivyo hivyo
a) Zingatia equation hii½x+1½+½x-1½=3 kwa x £-1, ni sawa na mlinganyo -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, nambari hii ni ya seti. x £-1.
b) Acha -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) Zingatia kisa x>1.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Nambari hii ni ya seti x>1.
Jibu: x1=-1.5; x2=1.5.
Mfano 4. Tatua mlingano:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
Wacha tuonyeshe rekodi fupi ya suluhisho la equation, tukifunua ishara ya moduli "zaidi ya vipindi".
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
Jibu: [-2; 0]
Mfano 5. Tatua mlingano: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), kwa thamani zote za kigezo a.
Kwa kweli kuna anuwai mbili katika mlingano huu, lakini fikiria x kuwa haijulikani na a kuwa kigezo. Inahitajika kutatua mlinganyo wa kigezo cha x kwa thamani yoyote ya parameta a.
Ikiwa a=1, basi equation ina fomu 0×x=0 nambari yoyote inatosheleza mlingano huu.
Ikiwa a=-1, basi mlinganyo unaonekana kama 0×x=-2; hakuna nambari moja inayokidhi mlinganyo huu.
Ikiwa a¹1, a¹-1, basi mlingano una suluhu la kipekee.
Jibu: ikiwa a=1, basi x ni nambari yoyote;
ikiwa a=-1, basi hakuna masuluhisho;
ikiwa a¹±1, basi .
B) Kukosekana kwa usawa kwa mstari na kigezo kimoja.
Ikiwa mabadiliko ya x yatapewa thamani yoyote ya nambari, basi tunapata usawa wa nambari unaoonyesha taarifa ya kweli au ya uwongo. Hebu, kwa mfano, ukosefu wa usawa 5x-1>3x+2 itolewe. Kwa x=2 tunapata 5·2-1>3·2+2 – taarifa ya kweli (taarifa ya kweli ya nambari); kwa x=0 tunapata 5·0-1>3·0+2 – taarifa ya uongo. Thamani yoyote ya kigezo ambacho usawa fulani ulio na kigezo hubadilika na kuwa ukosefu wa usawa wa nambari huitwa suluhu la ukosefu wa usawa. Kutatua kukosekana kwa usawa na kutofautisha kunamaanisha kupata seti ya suluhisho zake zote.
Kukosekana kwa usawa mbili kwa x sawa kunasemekana kuwa sawa ikiwa seti za suluhu za kukosekana kwa usawa huu zinalingana.
Wazo kuu la kutatua usawa ni kama ifuatavyo: tunabadilisha usawa uliopewa na mwingine, rahisi, lakini sawa na uliyopewa; tunabadilisha tena usawa unaosababishwa na usawa rahisi sawa na hayo, nk.
Uingizwaji kama huo hufanywa kwa msingi wa taarifa zifuatazo.
Nadharia 1. Ikiwa neno lolote la kutofautiana na kutofautiana moja linahamishwa kutoka sehemu moja ya usawa hadi nyingine na ishara kinyume, huku ikiacha ishara ya kutofautiana bila kubadilika, basi usawa sawa na uliopewa utapatikana.
Nadharia 2. Ikiwa pande zote mbili za kutofautiana na kutofautiana moja zinazidishwa au kugawanywa na nambari sawa chanya, na kuacha ishara ya kutofautiana bila kubadilika, basi usawa sawa na moja utapatikana.
Nadharia ya 3. Ikiwa pande zote mbili za kutofautiana na kutofautiana moja zinazidishwa au kugawanywa na namba hasi sawa, wakati kubadilisha ishara ya kutofautiana kwa kinyume chake, basi usawa sawa na moja utapatikana.
Ukosefu wa usawa wa fomu ax+b>0 inaitwa linear (mtawalia, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Mfano 1. Tatua ukosefu wa usawa: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Kufungua mabano, tunapata 2x-6+5-5x³6x-15,
Vipindi vya nambari. Muktadha. Ufafanuzi
Usawa (equation) ina nukta moja kwenye mstari wa nambari (ingawa hatua hii inategemea mabadiliko yaliyofanywa na mzizi uliochaguliwa). Suluhisho la equation yenyewe itakuwa seti ya nambari (wakati mwingine inajumuisha nambari moja). Walakini, haya yote kwenye nambari ya nambari (taswira ya seti ya nambari halisi) itaonyeshwa kwa njia tu, lakini pia kuna aina za jumla za uhusiano kati ya nambari mbili - usawa. Ndani yao, nambari ya nambari imegawanywa na nambari fulani na sehemu fulani imekatwa kutoka kwayo - maadili ya usemi au muda wa nambari.
Ni busara kujadili mada ya vipindi vya nambari pamoja na usawa, lakini hii haimaanishi kuwa imeunganishwa nao tu. Vipindi vya nambari (vipindi, sehemu, miale) ni seti ya maadili tofauti ambayo yanakidhi usawa fulani. Hiyo ni, kwa asili, hii ni seti ya pointi zote kwenye mstari wa nambari, mdogo na aina fulani ya mfumo. Kwa hivyo, mada ya vipindi vya nambari inahusiana sana na dhana kutofautiana. Ambapo kuna kutofautiana, au hatua ya kiholela x kwenye mstari wa nambari, na inatumiwa, pia kuna vipindi vya nambari, vipindi - maadili ya x. Mara nyingi thamani inaweza kuwa chochote, lakini hii pia ni muda wa nambari unaofunika mstari mzima wa nambari.
Hebu tuanzishe dhana muda wa nambari. Kati ya seti za nambari, ambayo ni, seti ambazo vitu vyake ni nambari, kuna kinachojulikana kama vipindi vya nambari. Thamani yao ni kwamba ni rahisi sana kufikiria seti inayolingana na muda maalum wa nambari, na kinyume chake. Kwa hivyo, kwa msaada wao ni rahisi kuandika suluhisho nyingi kwa usawa. Ambapo seti ya ufumbuzi wa equation haitakuwa muda wa nambari, lakini nambari kadhaa tu kwenye mstari wa nambari, na kutofautiana, kwa maneno mengine, vikwazo vyovyote juu ya thamani ya kutofautiana, vipindi vya nambari vinaonekana.
Muda wa nambari ni seti ya alama zote kwenye mstari wa nambari, zilizopunguzwa na nambari au nambari fulani (pointi kwenye mstari wa nambari).
Muda wa nambari wa aina yoyote (seti ya maadili ya x iliyoambatanishwa kati ya nambari fulani) inaweza kuwakilishwa kila wakati na aina tatu za nukuu za hesabu: nukuu maalum ya vipindi, minyororo ya kukosekana kwa usawa (kukosekana kwa usawa mmoja au usawa mara mbili) au kijiometri kwenye nambari. mstari. Kimsingi, majina haya yote yana maana sawa. Wanatoa vizuizi kwa maadili ya kitu fulani cha hesabu, tofauti (kigeu fulani, usemi wowote wenye kigezo, kitendakazi, n.k.).
Kutoka hapo juu inaweza kueleweka kuwa kwa kuwa eneo la mstari wa nambari linaweza kupunguzwa kwa njia tofauti (kuna aina tofauti za usawa), basi aina za vipindi vya nambari ni tofauti.
Aina za vipindi vya nambari
Kila aina ya muda wa nambari ina jina lake mwenyewe, jina maalum. Ili kuonyesha vipindi vya nambari, mabano ya pande zote na mraba hutumiwa. Mabano inamaanisha kuwa sehemu ya mwisho, ya kubainisha mipaka kwenye mstari wa nambari (mwisho) wa mabano haya haijajumuishwa katika seti ya pointi za muda huu. Mabano ya mraba inamaanisha mwisho unafaa kwenye pengo. Kwa infinity (upande huu muda sio mdogo) tumia mabano. Wakati mwingine, badala ya mabano, unaweza kuandika mabano ya mraba yaliyogeuzwa upande mwingine: (a;b) ⇔]a;b[
| Aina ya pengo (jina) | Picha ya kijiometri (kwenye mstari wa nambari) | Uteuzi | Kuandika kwa kutumia ukosefu wa usawa (kila wakati umefungwa kwa ufupi) |
|---|---|---|---|
| Muda (wazi) | (a;b) | a< x < b | |
| Sehemu (sehemu) | a ≤ x ≤ b | ||
| Nusu ya muda (sehemu ya nusu) | a< x ≤ b | ||
| Ray | x ≤ b | ||
| Fungua boriti | (a;+∞) | x>a | |
| Fungua boriti | (-∞;b) | x< b | |
| Seti ya nambari zote (kwenye mstari wa kuratibu) | (-∞;+∞) , ingawa hapa ni muhimu kuonyesha seti-carrier maalum ya algebra ambayo kazi inafanywa; mfano: | x ∈(kwa kawaida huzungumza juu ya seti ya nambari halisi; kuwakilisha nambari changamano hutumia ndege changamano, si mstari ulionyooka) | |
| Usawa | au x=a | x = a(kesi maalum ya ukosefu wa usawa usio kamili: a ≤ x ≤ a- muda wa urefu 1, ambapo ncha zote mbili zinalingana - sehemu inayojumuisha nukta moja) | |
| Seti tupu | ∅ | Seti tupu pia ni muda - tofauti x haina maadili (seti tupu). Uteuzi: x∈∅⇔x∈( ). |
Majina ya vipindi yanaweza kuchanganya: kuna idadi kubwa ya chaguzi. Kwa hiyo, daima ni bora kuwaonyesha kwa usahihi. Katika fasihi ya Kiingereza neno pekee ndilo hutumika muda ("muda") - wazi, imefungwa, nusu-wazi (nusu imefungwa). Kuna tofauti nyingi.
Vipindi katika hisabati hutumiwa kuashiria idadi kubwa sana ya vitu: kuna vipindi vya kutengwa wakati wa kutatua equations, vipindi vya ushirikiano, vipindi vya muunganisho wa mfululizo. Wakati wa kusoma chaguo za kukokotoa, vipindi hutumika kila wakati kuashiria anuwai ya maadili na kikoa cha ufafanuzi. Mapungufu ni muhimu sana, kwa mfano, kuna Nadharia ya Bolzano-Cauchy(unaweza kujua zaidi kwenye Wikipedia).
Mifumo na seti za usawa
Mfumo wa usawa
Kwa hivyo, mabadiliko ya x au thamani ya usemi fulani inaweza kulinganishwa na thamani fulani isiyobadilika - hii ni ukosefu wa usawa, lakini usemi huu unaweza kulinganishwa na idadi kadhaa - usawa maradufu, mlolongo wa kutofautiana, n.k. Hivi ndivyo ilivyokuwa. iliyoonyeshwa hapo juu - kama muda na sehemu. Wote ni mfumo wa usawa.
Kwa hivyo, ikiwa kazi ni kupata seti ya suluhisho za kawaida kwa usawa mbili au zaidi, basi tunaweza kuzungumza juu ya kutatua mfumo wa kukosekana kwa usawa (kama vile hesabu - ingawa tunaweza kusema kwamba equations ni kesi maalum).
Kisha ni dhahiri kwamba thamani ya kutofautiana inayotumiwa katika kutofautiana, ambayo kila mmoja wao inakuwa kweli, inaitwa suluhisho la mfumo wa kutofautiana.
Ukosefu wote uliojumuishwa katika mfumo unajumuishwa na brace curly - "(". Wakati mwingine huandikwa kwa fomu. usawa maradufu(kama inavyoonyeshwa hapo juu) au hata mlolongo wa usawa. Mfano wa kuingia kwa kawaida: f x ≤ 30 g x 5 .
Suluhisho la mifumo ya usawa wa mstari na tofauti moja katika hali ya jumla inakuja kwa aina hizi 4: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
Mfumo wowote unaweza kutatuliwa kwa picha kwa kutumia mstari wa nambari. Ambapo suluhu za kukosekana kwa usawa zinazounda mfumo zinaingiliana, kutakuwa na suluhisho kwa mfumo wenyewe.
Wacha tuwasilishe suluhisho la picha kwa kila kesi.
(1) x>b (2) aZaidi ya hayo, mifumo ya kukosekana kwa usawa inaweza kuainishwa kuwa sawa ikiwa ina seti ya masuluhisho ya pamoja. Kutoka hapa (kama inavyoweza kuonekana hapo juu) inafuata kwamba mifumo ngumu zaidi inaweza kurahisishwa (kwa mfano, kwa kutumia ufumbuzi wa kijiometri).
Brace ya curly inaweza kuongea takriban, kwa kusema, inayoitwa sawa na kiunganishi " NA" kwa ukosefu wa usawa
Seti ya usawa
Hata hivyo, kuna kesi nyingine. Kwa hivyo, pamoja na makutano ya seti za suluhisho, kuna umoja wao: ikiwa kazi ni kupata seti ya maadili yote kama haya ya kutofautisha, ambayo kila moja ni suluhisho la angalau moja ya usawa uliopeanwa, basi wanasema kwamba ni muhimu kutatua seti ya kutofautiana.
Kwa hivyo, usawa wote katika jumla umeunganishwa na mabano ya jumla "[". Ikiwa thamani ya kutofautiana inakidhi angalau usawa mmoja kutoka kwa idadi ya watu, basi ni ya seti ya ufumbuzi wa idadi ya watu wote. Vile vile huenda kwa equations (tena, wanaweza kuitwa kesi maalum).
Ikiwa brace ya curly ni Na, basi mabano ya jumla ni, kwa masharti, kwa maneno rahisi, sawa na muungano " AU" kwa kukosekana kwa usawa (ingawa hii bila shaka itakuwa ya kimantiki au, pamoja na kesi inayokidhi masharti yote mawili).
Kwa hivyo, suluhisho la seti ya kukosekana kwa usawa ni thamani ya kutofautisha ambayo angalau moja ya usawa inakuwa kweli.
Seti ya ufumbuzi, makusanyo na mifumo ya kutofautiana, inaweza kufafanuliwa kupitia shughuli mbili za msingi za binary kwa kufanya kazi na seti - makutano na muungano. Seti ya ufumbuzi wa mfumo wa kutofautiana ni makutano seti za masuluhisho ya ukosefu wa usawa unaoiunda. Seti ya suluhisho kwa seti ya usawa ni Muungano seti za masuluhisho ya ukosefu wa usawa unaoiunda. Hii pia inaweza kuonyeshwa. Wacha tuseme tuna mfumo na seti ya usawa mbili. Tunaashiria seti ya suluhisho za kwanza A, na kuashiria seti ya ufumbuzi wa pili B. Kielelezo bora kitakuwa mchoro wa Euler-Venn.
A ∪ B - suluhisho la mfumo wa kukosekana kwa usawa A ∩ B - suluhisho la seti ya usawa