Wacha tuwakilishe mfumo wa milinganyo (1.1) katika fomu
Kuna idadi kubwa ya mipango ya njia ya kuondoa ilichukuliwa kwa hesabu ya mwongozo au mashine ya matrices ya aina ya jumla au maalum.
Njia ya Gaussian inaweza kufasiriwa kama njia ambayo matrix hapo awali hupunguzwa hadi fomu ya pembetatu ya juu (songa mbele), na kisha kwa fomu ya kitengo (kusonga nyuma). Ni wazi, ikiwa matrix ni kitambulisho, basi x t = b r
Wacha matrix ya mfumo (1.3) iwe ya pembetatu ya juu, kwa hivyo tj= 0 kwa i>j, yaani, vipengele vyote chini ya diagonal kuu ni sifuri. Kisha kutoka kwa equation ya mwisho tunaamua mara moja x uk. Kubadilisha x n katika equation iliyotangulia, tunapata x a_ x, nk. Fomula za jumla zina fomu
Katika k > mimi tabia mbaya s = 0.
Wacha tupunguze matrix ya mfumo (1.3) hadi ya pembetatu ya juu. Wacha tutoe kutoka kwa mlinganyo wa pili wa mfumo (1.3) wa kwanza, ukizidishwa na nambari hivi kwamba mgawo kwa x x itaenda kwa sifuri. Wacha tufanye vivyo hivyo na milinganyo mingine yote. Matokeo yake, coefficients yote ya safu ya kwanza iliyo chini ya diagonal kuu itaenda kwa sifuri. Kisha, kwa kutumia equation ya pili, tunageuza coefficients sambamba ya safu ya pili hadi sifuri. Kwa kuendelea na mchakato huu, tunapunguza matrix ya mfumo hadi fomu ya juu ya pembetatu.
Wacha tuandike fomula za jumla za njia ya Gauss. Hebu coefficients kuondolewa kutoka (A - 1) safu. Kisha kutakuwa na equations na vitu visivyo na sifuri chini ya diagonal kuu:
Hebu tuzidishe kth mstari kwa nambari pamoja na tk = t > k na kupunguza
kutoka kwa mstari wa mth. Sehemu ya kwanza isiyo ya sifuri ya mstari huu itakuwa sifuri, na iliyobaki itabadilika kulingana na fomula
Baada ya kufanya mahesabu kwa kutumia fomula hizi kwa fahirisi zote zilizoonyeshwa, tunageuza vitu kuwa sifuri k-ro nguzo chini ya diagonal kuu. Utaratibu sawa unapunguza tumbo la mfumo kwa fomu ya juu ya triangular, na mchakato mzima wa kupunguza unaitwa MCHAKATO WA MOJA KWA MOJA WA NJIA YA GAUSSian. Hesabu ya zisizojulikana kwa kutumia fomula (1.4) inaitwa njia ya REVERSE.
Hatua ya kurudi nyuma inaweza kufanywa kwa njia tofauti ikiwa coefficients zote zilizo juu ya diagonal kuu zimegeuzwa kuwa sifuri. Kwa mfano, vipengele P ya safu ya th inakuwa sifuri ikiwa ej^| zidisha kwa (-a^V ax t = b | 2l), wapi b^n)- coefficients ya upande wa kulia wa equation i-th baada ya mabadiliko yaliyoonyeshwa.
Katika hatua fulani ya mbele, inaweza kugeuka kuwa mgawo aj*" * 0, lakini ni mdogo ikilinganishwa na vipengele vingine vya matrix ya mfumo na, hasa, ndogo ikilinganishwa na vipengele vya safu ya kwanza. Kugawanya mgawo wa mfumo kwa thamani ndogo inaweza kusababisha hitilafu kubwa za kuzungusha .
Ili kupunguza makosa ya kuzunguka endelea kama ifuatavyo. Miongoni mwa vipengele vya safu ya kwanza A^ ya kila matriki ya kati, chagua kipengele kikubwa zaidi cha moduli (kuu) na kwa kupanga upya safu mlalo ya i-th na safu iliyo na kipengele kikuu, hakikisha kwamba kipengele kikuu kinakuwa kinachoongoza. Marekebisho haya ya mbinu ya uondoaji wa Gaussian inaitwa njia ya Gaussian yenye uteuzi wa kipengele kikuu. Kesi ya kuonekana kwa vipengele vya sifuri huepukwa na yenyewe.
Ili kutekeleza njia, inachukua takriban P Operesheni 3/3 kama vile kuzidisha na P Operesheni 3/3 kama nyongeza. Ni muhimu kukumbuka kuwa makadirio ya idadi ya shughuli imedhamiriwa hasa na shughuli zilizotumiwa katika kutekeleza kiharusi cha mbele cha njia ya Gaussian. Kinyume cha njia ya Gaussian inahitaji takriban n 2 shughuli. Kwa hivyo, ikiwa unahitaji kutatua mifumo kadhaa ya usawa wa algebraic wa fomu Shoka = b na tumbo sawa na pande tofauti za mkono wa kulia, kisha jumla ya idadi ya shughuli wakati wa kutatua S mifumo itatathminiwa ukubwa(2/3)p 3 + Sn 2 . Katika kesi hii, inashauriwa kutekeleza algorithm ya njia ya Gauss katika mfumo wa subroutines mbili: subroutine ya kwanza inapaswa kutekeleza maendeleo ya mbele ya algorithm na kupata matrix ya juu ya pembetatu kama pato, na subroutine ya pili inapaswa, kwa kutumia matrix inayosababisha. , hesabu suluhisho la mfumo kwa upande wa kulia wa kiholela.
Katika kesi hii, pamoja na kufuata mahitaji a kk0 wakati wa kutekeleza fomula (6), mahitaji ya ziada yanawekwa ili kipengele kinachoongoza (kuu) katika safu wima ya sasa katika mchakato wa mabadiliko ya matrix asilia kina thamani kamili ya juu zaidi. Hii pia inafanikiwa kwa kupanga upya safu za matrix.
Mfano. Ili kuonyesha faida za njia ya Gaussian iliyorekebishwa, fikiria mfumo wa mpangilio wa tatu:
Kiharusi cha moja kwa moja cha njia ya Gaussian
Sisi kuwatenga X 1 kutoka mlinganyo wa pili na wa tatu. Ili kufanya hivyo, zidisha equation ya kwanza na 0.3 na uiongeze na ya pili, na kisha zidisha equation ya kwanza na (-0.5) na uiongeze na ya tatu. Matokeo yake tunapata
(b)
Equation ya pili haibadilishwa na ya tatu, kwa sababu mahesabu hufanywa ndani ya mfumo wa hesabu halisi.
Kuzidisha equation ya pili na 25 na kuiongeza na ya tatu, tunapata
(V)
Njia ya Kubadilisha Gaussian
Tunafanya mahesabu kuanzia equation ya mwisho katika mfumo unaosababisha:
Kubadilisha suluhisho linalotokana na mfumo wa asili, tunasadikishwa na ukweli wake.
Sasa tutabadilisha coefficients ya mfumo kwa njia ya kuhifadhi ufumbuzi uliopita, lakini wakati wa hesabu tutatumia kuzunguka ndani ya mfumo wa hesabu ya hatua ya kuelea, kudumisha tarakimu tano. Mfumo ufuatao utafanana na hii
(G)
Njia ya moja kwa moja ya mfumo ( G) tutarudia kwa kutumia teknolojia sawa na mfumo wa awali ( A).
(d)
Baada ya kuondolewa X 2, equation ya tatu itachukua fomu (iliyobaki haijabadilishwa)
15005 X 3 = 15004. (e)
Kufanya hatua ya kurudi nyuma, tunapata
Ni dhahiri kwamba ufumbuzi uliopatikana na [-0.35; -1.4; 0.99993] ni tofauti. Sababu ya hii ni dhamana ndogo ya kitu kinachoongoza katika equation ya pili ya mabadiliko katika ( d) Ili kuondoa hii, tunapanga upya katika ( d) mstari wa pili na wa tatu
(na)
Kwa mfumo huu baada ya kutengwa X 2 kutoka kwa equation ya tatu, itachukua fomu ifuatayo
6,002 X 3 = 6,002. (h)
Katika kesi hii, kufanya hatua ya kurudi nyuma
tunapata suluhisho la mfumo ( G) ambayo inafanana kabisa na suluhisho la mfumo wa asili.
Kutatua mfumo ( G) tulitumia njia ya Gaussian iliyobadilishwa, ambayo kipengele cha juu katika safu ya sasa kinapaswa kuwa iko kwenye diagonal.
Hebu fikiria mchoro wa kuzuia wa njia ya Gaussian iliyobadilishwa (Mchoro 2.1).
Mchele. 2.1. Zuia mchoro wa njia ya Gaussian iliyorekebishwa
Wacha tuchambue mpango uliopendekezwa kwa kutumia mfano wa mfumo n=3 (=0,001)
(8)
;
.
(*)
Zuia 1. Kuingiza data ya awali: n- utaratibu wa mfumo, A- matrix ya coefficients kwa haijulikani, b- vekta ya wanachama wa bure.
Zuia 2.I-th mzunguko wa mbele wa kiharusi (kwa k, inatofautiana kutoka 1 hadi thamani ya mwisho, i.e. kabla n-1) hutoa kutengwa kutoka kwa diagonal kuu ya matrix A kipengele a kk=0 shukrani kwa utafutaji wa kipengele cha juu zaidi a kk katika safu ya sasa, iliyofanywa katika vitalu 36 kwa kutumia loopII.
Kisha mahesabu hufanywa kwa kutumia fomula (6) za mwendo wa mbele wa Gaussian katika vizuizi vya mizunguko ya IV na V.
Wacha tufanye uchambuzi wa block-block katika mazingira ya mizunguko inayozingatiwa IV kwa kutumia mfano (8).
Zuia 3uk =k = 1
Kuingia kwa Mzunguko wa II
Zuia 4m =k+1 = 2 hadi n = 3
Zuia 5a 11 = 2 <a 21 = 4 kati ya (*)
Zuia 6uk= 2
Zuia 4m= 2+1 = 3
Zuia 5a 21 = 4 <a 31 = 6 kutoka (*)
Zuia 6uk= 3
Kuondoka kwa mzunguko wa II na kuingia kwenye mzunguko wa III, vitalu 710 hufanya upitishaji wa safu mlalo za matrix. A kipengele kwa kipengele
Zuia 7j= 1 (j kutoka 1 hadi 3)
Zuia 8 r = a 11 = 2 kati ya (*)
Zuia 9 a 11 = a 31 = 6
Zuia 10 a 31 = r
Zuia 7 j = 2
Zuia 8 r = a 12 = 1
Zuia 9 a 12 = a 32 = 5
Zuia 10 a 32 = r = 1
Zuia 7j= 3 na kwa mlinganisho r=a 13 ;a 13 =a 33 ;a 33 =r= −1.
Kuondoka kwa mzunguko wa III na kuingia Zuia 11 na zaidi 1213 hufanya upangaji upya sawa wa maadili ya masharti ya bure.
r=b 1 = 1;b 1 = b 3 = 14;b 3 =r=1.
Kuingia kwa mzunguko wa IV na mfumo uliorekebishwa
;
;
(**)
kwa hesabu upya b 2 vekta 
m=k+1 = 1+1 = 2 hadi n= 3
c = a mk / a kk = a 21 / a 11 = 4/6 ya (**)
b 2 =b 2 –c b 1 = 6 – 4/614 = −20/6 kutoka (**)
Inaingiza kitanzi V kilichowekwa ili kukokotoa upya safu mlalo ya pili
i = 1 (i kutoka 1 hadi 3); a 21 = a 21 – Na a 11 = 4 – 4/6 6 = 0;
i = 2; a 22 = a 22 – Na a 12 = 6 – 4/6 5 = 16/6;
i = 3; a 23 = a 23 – Na a 13 = 2 – 4/6 8 = −20/6.
Mzunguko wa kutoka V na mzunguko wa kuingia IV
m= 3;c=a 31 /a 11 = 2/6.
Ingia Zuia 16
b 3 =b 3 –c b 1 = 1 – 2/614 = −22/6.
Kuondoka kwa mzunguko wa IV na kuingia kwa mzunguko wa V na kuingia Zuia 17
i = 1 (i kutoka 1 hadi 3); a 31 = a 31 – Na a 11 = 2 – 2/6 6 = 0;
i = 2; a 32 = a 32 – Na a 12 = 1 – 2/6 5 = −4/6;
i = 3; a 33 = a 33 – Na a 13 = −1 – 2/6 8 = −22/6.
Ondoka kutoka kwa mzunguko wa V na mfumo uliobadilishwa
;
;
(***)
na kuingia kwa mstari A katika mzunguko wa I
k = 2;uk =k = 2;m =k+1 = 3; mlango wa Zuia 5
| a 22 | < |a 32 | = | 16/6 | > | 4/6 | kutoka (***).
Mzunguko wa kutoka II na mzunguko wa kuingia III
j = 2 (j kutoka 2 hadi 3);
r = a kj = a 22 = 16/6; a 22 = a 22 ; a 22 = r= 16/6; kutoka (***)
r=a 23 = −20/6;a 23 =a 23 ;a 23 =r= -20/6; kutoka (***)
Katika kesi hii, kuna kipengee cha juu kwenye diagonal, kwa hivyo ubadilishanaji wa safu ya 2 na 3 haufanyiki.
Mzunguko wa kutoka III na mzunguko wa kuingia Ic Zuia 11
r=b 2 ;b 2 = b 2 ;b 2 =r= -20/6.
Mwanachama wa bure b 2 inabaki mahali.
Kuingia kwenye Mzunguko wa IV
m=k+1 = 2+1 = 3;
c = a mk / a kk = a 32 / a 22 = (–4/6) / (16/6); kutoka (***)
b 3 =b 3 –c b 2 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6 kutoka (***)
Mzunguko wa kutoka IV na mzunguko wa kuingia V
i = 2 (i kutoka 2 hadi 3); a 32 = a 32 – Na a 22 = −4/6 – (–1/4) 16/6 = 0;
i= 3;a 33 =a 33 –Naa 23 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6.
Toka kutoka kwa mzunguko wa V na utoke kwenye mzunguko wa I.
Njia ya Kubadilisha Gaussian
KATIKA Vitalu 1924 fomula (7) zinatekelezwa.
KATIKA Zuia 19 kutoka kwa mlinganyo wa mwisho thamani imepatikana x n (n= 3)
x 3 =b n / a nn =b 3 / a 33 = (–27/6) / (–27/6) = 1.
Kuingia kwa mzunguko wa VI( Zuia 20), ambayo thamani ya mabadiliko ya kitanzi k inatofautiana kutoka n-1 hadi 1 kwa hatua (-1)
Zuia 21s=0
Kuingia kwa mzunguko wa VII ( Zuia 22)
i = k+1 = 2+1 = 3; n = 3; s = s + a ki x i = 0 + a 23 x 3 = −20/6 1 = −20/6.
Ondoka kutoka kwa mzunguko wa VII Zuia 24 kwa kila mzungukoVI:
k = 2; x 2 = (b k-s)/ a nn = (b 2 - s)/ a 22 = (–20/6 +20/6)/a 22 = 0.
k=k–1 = 2–1 = 1;
i = k + 1 = 2; s = 0 + a 12 x 2 = 5 0 = 0;
i = k + 1 = 3; s = 0 + a 13 x 3 = 8 1 = 8;
x 1 = (b Sekunde 1)/ a 11 = (14 – 8) / 6 = 1.
Ondoka kutoka kwa mzunguko wa mwisho wa VII.
KATIKA Zuia 25 (mzunguko ulioachwa) ufumbuzi unaosababishwa wa SLAE - vector huonyeshwa kwenye skrini 
hizo. x i ,i=1, ...,n. Kwa upande wetu (1; 0; 1).
Wacha tuchunguze moja ya njia za kawaida za kutatua mifumo ya usawa wa algebraic - njia ya Gauss. Njia hii (pia inaitwa njia ya uondoaji wa mfululizo wa haijulikani) imejulikana katika matoleo mbalimbali kwa zaidi ya miaka 2000.
Mahesabu kwa kutumia njia ya Gaussian inajumuisha hatua kuu mbili, zinazoitwa kusonga mbele na kurudi nyuma (badala ya nyuma). Mbinu ya moja kwa moja ya njia ya Gauss inajumuisha kuondoa kwa mpangilio zisizojulikana kutoka kwa mfumo (5.1) ili kuubadilisha hadi mfumo sawa na tumbo la juu la pembetatu. Mahesabu ya maadili ya haijulikani hufanywa katika hatua ya nyuma.
1. Mpango wa mgawanyiko mmoja.
Hebu kwanza tuchunguze toleo rahisi zaidi la njia ya Gaussian, inayoitwa mpango wa mgawanyiko mmoja.
Kusonga mbele kunajumuisha hatua za kuondoa.
Hatua ya 1. Madhumuni ya hatua hii ni kuondoa haijulikani kutoka kwa milinganyo yenye nambari. Tuseme kwamba mgawo Tutauita kipengele kikuu (au kinachoongoza) cha hatua ya 1.
Wacha tupate idadi
inayoitwa vizidishi vya hatua ya 1. Hebu tutoe kwa mfuatano kutoka kwa pili, tatu, milinganyo ya mfumo (5.1) mlinganyo wa kwanza, tukizidishwa na mtawalia. Hii itaturuhusu kugeuka kuwa equation ya kwanza
mgawo sifuri katika milinganyo yote isipokuwa ile ya kwanza. Kama matokeo, tunapata mfumo sawa
ambamo huhesabiwa kwa kutumia fomula
Hatua ya 2. Madhumuni ya hatua hii ni kuondoa kisichojulikana kutoka kwa milinganyo yenye nambari. Acha ni wapi mgawo unaoitwa kipengele kikuu (au kinachoongoza) cha hatua. Wacha tuhesabu sababu za hatua ya 2
na kutoa mfuatano kutoka kwa tatu, nne, milinganyo ya mfumo (5.30) mlinganyo wa pili, ukizidishwa na , mtawalia. Kama matokeo, tunapata mfumo
Hapa coefficients huhesabiwa kwa kutumia fomula
Hatua zilizobaki zinafanywa vivyo hivyo. Hebu tueleze hatua inayofuata.
kth hatua. Kwa kudhani kuwa kipengele kikuu (kinachoongoza) cha hatua ni nonzero, tunahesabu vizidishi vya hatua
na kutoa kwa kufuatana kutoka kwa milinganyo ya mfumo iliyopatikana katika hatua ya awali mlinganyo uliozidishwa na
Baada ya hatua ya kuondoa tunapata mfumo wa equations
ambaye tumbo lake ni pembetatu ya juu. Hii inakamilisha mahesabu ya mbele.
Kurudi nyuma. Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho wa mfumo (5.33) tunapata. Kubadilisha thamani iliyopatikana kwenye mlinganyo wa mwisho, tunapata. Tukitekeleza ubadilishanaji wa kinyume, kisha tunapata mfululizo. Mahesabu ya zisizojulikana hufanywa hapa kwa kutumia fomula.
Ugumu wa mbinu. Wacha tukadirie idadi ya shughuli za hesabu zinazohitajika kutekeleza mpango wa mgawanyiko mmoja.
Hesabu za hatua ya 1 ya uondoaji kulingana na fomula (5.29), (5.31) zinahitaji mgawanyiko, kuzidisha na kutoa, i.e. idadi ya jumla ya shughuli za hesabu ni Vile vile, shughuli zinahitajika kwa hatua, na shughuli katika hatua.
Wacha sasa tuhesabu takriban idadi ya shughuli za hesabu za mbele, kwa kuzingatia ukubwa wa mfumo kuwa mkubwa vya kutosha:
Kama inavyoonekana kwa urahisi, kutekeleza kiharusi cha nyuma kulingana na fomula (5.34) unahitaji jumla ya shughuli, ambazo kwa kubwa hazifai ikilinganishwa na idadi ya shughuli za kiharusi cha mbele.
Kwa hivyo, kutekeleza njia ya Gaussian, takriban shughuli za hesabu zinahitajika, na idadi kubwa ya shughuli hizi hufanywa katika hatua ya mbele.
Mfano 5.7. Kwa kutumia njia ya Gaussian tunatatua mfumo
Hoja ya moja kwa moja. Hatua ya 1. Wacha tuhesabu vipengee. Kutoa kutoka kwa milinganyo ya pili, ya tatu na ya nne ya mfumo (5.35) mlinganyo wa kwanza ukizidishwa na, mtawalia, tunapata.
Hatua ya 2. Wacha tuhesabu sababu. Tukiondoa kutoka kwa mlinganyo wa tatu na wa nne wa mfumo (5.36) mlinganyo wa pili unaozidishwa na, mtawaliwa, tunafika kwenye mfumo.
Hatua ya 3. Kwa kuhesabu kipengele na kutoa kutoka mlingano wa nne wa mfumo (5.37) mlinganyo wa tatu unaozidishwa na tunapunguza mfumo hadi umbo la pembetatu:
Kurudi nyuma. Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho wa mfumo tunapata. Kubadilisha thamani katika mlinganyo wa tatu, tunapata
Matokeo ya hesabu yanaweza kufupishwa katika jedwali lifuatalo.
Jedwali 5.2 (angalia tambazo)
Haja ya kuchagua vitu kuu. Kumbuka kwamba hesabu ya vipengele, pamoja na uingizwaji wa kinyume, unahitaji mgawanyiko na vipengele vikuu.Kwa hiyo, ikiwa moja ya vipengele vikuu ni sawa na sifuri, basi mpango wa mgawanyiko mmoja hauwezi kutekelezwa. Akili ya kawaida inasema kwamba katika hali ambapo vipengele vyote kuu ni tofauti na sifuri, lakini kati yao kuna wale walio karibu na sifuri, ongezeko lisilo na udhibiti la kosa linawezekana.
Mfano 5.8. Kwa kutumia njia ya Gauss, tunatatua mfumo wa milinganyo
kwenye kompyuta ndogo ya desimali.
Hoja ya moja kwa moja. Hatua ya 1. Tunahesabu mambo na kubadilisha mfumo kwa fomu
Mahesabu yote katika hatua hii yanafanywa bila kuzungusha.
Hatua ya 2. Baada ya kuhesabu kuzidisha, equation ya mwisho ya mfumo lazima igeuzwe kwa fomu ambapo Hata hivyo, kwenye kompyuta iliyotumiwa, equation itapatikana.
Hakika, mgawo umedhamiriwa kwa usahihi, kwani wakati wa kuhesabu, hakuna nambari ambazo mantissas zina zaidi ya nambari 6. Wakati huo huo, wakati wa kuhesabu, kuzidisha mgawo 3.0001 kwa kutoa nambari ya tarakimu 7 105003.5, baada ya kuzunguka kwa tarakimu 6 matokeo ni 105004. Hesabu 62) imekamilika kwa kufanya operesheni ya kutoa:. Baada ya kuzungusha nambari ya mwisho hadi nambari 6 za mantissa, tunafika kwenye equation (5.41).
Kurudi nyuma. Kutoka kwa equation (5.41) pia tunapata 1.00001. Ulinganisho na thamani ya kweli inaonyesha kwamba thamani hii ilipatikana kwa usahihi wa juu sana kwa kompyuta iliyotumiwa. Mahesabu zaidi toa
Baada ya kuzunguka tunayo.
Kama ilivyo rahisi kuona, maadili yaliyopatikana ya haijulikani hayana uhusiano mdogo na maadili ya kweli ya suluhisho.
Ni nini sababu ya kosa kubwa kama hilo? Hakuna haja ya kuzungumza juu ya mkusanyiko wa makosa ya kuzunguka, kwa kuwa jumla ya shughuli 28 za hesabu zilifanywa na tu katika kesi 4 zilihitajika kuzunguka. Dhana ya kwamba mfumo una hali mbaya haijathibitishwa; hesabu inatoa thamani na 100.
Kwa kweli, sababu ni matumizi ya kipengele kidogo cha kuongoza katika hatua. Matokeo ya hii ilikuwa kuonekana kwa kubwa
multiplier na ongezeko kubwa la mgawo katika equation ya mwisho ya mfumo.
Kwa hivyo, toleo la juu la njia ya Gauss (mpango wa mgawanyiko mmoja) iligeuka kuwa sio sahihi na, kwa hiyo, haifai kwa mahesabu ya kompyuta. Njia hii inaweza kusababisha kuacha dharura (ikiwa kwa sababu fulani na mahesabu ya kutumia inaweza kugeuka kuwa imara.
2. Njia ya Gaussian na uteuzi wa kipengele kikuu kwa safu (mpango wa uteuzi wa sehemu).
Maelezo ya mbinu. Katika hatua ya mbele, mgawo wa hesabu za mfumo na nambari hubadilishwa kulingana na fomula.
Ni wazi kuwa ili kuzuia ongezeko kubwa la mgawo wa mfumo na makosa yanayohusiana, vizidishi vikubwa havipaswi kuruhusiwa kuonekana.
Katika njia ya Gaussian na uteuzi wa kipengele kikuu kwa safu, imehakikishiwa kuwa kwa wote k. Tofauti kati ya toleo hili la njia ya Gaussian na mpango wa mgawanyiko mmoja ni kwamba katika hatua ya kuondoa mgawo a, ambayo ina upeo wa juu. thamani kamili, imechaguliwa kama kipengele kikuu. kwa isiyojulikana katika milinganyo na nambari Kisha equation na nambari inayolingana na mgawo uliochaguliwa hubadilishwa na equation ya mfumo ili kipengele kikuu kichukue nafasi ya mgawo.
Baada ya ruhusa hii, kutengwa kwa haijulikani kunafanywa, kama katika mpango wa mgawanyiko mmoja.
Mfano 5.9. Wacha tusuluhishe mfumo wa hesabu (5.39) kwa kutumia njia ya Gaussian na uteuzi wa kitu kikuu kwa safu kwenye kompyuta ndogo ya desimali.
Hoja ya moja kwa moja. Hatua ya 1. Kipengele cha juu cha matrix katika safu ya kwanza iko kwenye safu ya kwanza, kwa hivyo kupanga upya milinganyo sio lazima. Hapa hatua ya 1 inafanywa sawa na katika mfano 5.8.
Hatua ya 2. Miongoni mwa vipengele vya matrix ya mfumo (5.40), moja ya juu ni ya equation ya tatu. Kubadilisha hesabu za pili na tatu, tunapata mfumo
Baada ya hesabu, equation ya mwisho ya mfumo inabadilishwa kuwa fomu
Kurudi nyuma. Kutoka kwa equation ya mwisho tunapata Zaidi, tuna Katika kesi hii, jibu liligeuka kuwa sahihi.
Kumbuka kwamba kazi ya ziada juu ya kuchagua mambo makuu katika mpango wa uteuzi wa sehemu inahitaji mlolongo wa vitendo, ambayo kwa kweli haiathiri utata wa jumla wa njia.
Utulivu wa hesabu wa mpango wa uteuzi wa sehemu. Uchunguzi wa kina wa njia ya Gauss unaonyesha kwamba sababu halisi ya kutokuwa na utulivu wa mpango mmoja wa mgawanyiko ni uwezekano wa ukuaji usio na ukomo wa vipengele vya matrices ya kati katika mchakato wa kusonga mbele. Kwa kuwa katika hatua ya 1 ya mpango wa uteuzi wa sehemu, makadirio yafuatayo ni halali kwa vipengele vilivyohesabiwa kwa kutumia fomula (5.42): Kwa hiyo, thamani ya juu kabisa ya vipengele vya matrix huongezeka kwa hatua moja kwa si zaidi ya mara 2 na katika hali mbaya zaidi. kesi, hatua ya mbele itatoa mgawo wa ukuaji
Uhakikisho wa kwamba ukuaji wa vipengele vya matrix ni mdogo hufanya mpango wa uteuzi wa sehemu kuwa thabiti. Zaidi ya hayo, makadirio ya makosa yafuatayo yanageuka kuwa halali kwake:
Hapa kuna suluhisho la kompyuta-kompyuta kwa mfumo; makosa yake ya jamaa; nambari ya hali ya matrix em - epsilon ya mashine; hatimaye, baadhi ya kazi zinazokua polepole kulingana na mpangilio wa mfumo (kama vile kitendakazi cha nguvu kilicho na kipeo kidogo), mgawo wa ukuaji.
Uwepo wa kizidishaji katika makadirio (5.43) unaonyesha kwamba, ikiwa ni kubwa, mpango wa chaguo la sehemu unaweza kugeuka kuwa na hali mbaya na hasara kubwa ya usahihi inawezekana. Hata hivyo, mazoezi ya mahesabu ya matrix yanaonyesha kwamba ukuaji mkubwa wa vipengele vya tumbo hutokea mara chache sana. Katika idadi kubwa ya matukio, thamani halisi ya mgawo wa ukuaji hauzidi 8-10. Ikiwa mfumo umewekwa vizuri, basi kosa la suluhisho lililohesabiwa ni, kama sheria, ndogo.
Wakati mwingine kuangalia ubora wa takriban suluhisho x
Wanahesabu tofauti na kujaribu kuhukumu kiwango cha ukaribu wa suluhisho la takriban kwa moja halisi kwa jinsi tofauti ni ndogo. Njia hii haiaminiki kwa kuzingatia mpango wa uchaguzi wa sehemu, kwani inajulikana kuwa imehakikishiwa kutoa kushindwa kidogo. Kwa usahihi zaidi, taarifa hii inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: makadirio ni ya haki
ambapo ni sawa na katika makadirio (5.43). Kumbuka kuwa ukosefu wa usawa (5.44) haujumuishi nambari ya sharti.
3. Njia ya Gaussian yenye sampuli za kipengele kikuu kote kwenye tumbo (mpango kamili wa uteuzi).
Mpango huu unaruhusu ukiukaji wa utaratibu wa asili wa kuondoa haijulikani.
Katika hatua ya 1 ya mbinu, kati ya vipengele, kipengele kilicho na thamani ya juu kabisa imedhamiriwa.Equation ya kwanza ya mfumo na equation na nambari hubadilishwa. Ifuatayo, x isiyojulikana haijajumuishwa kwa njia ya kawaida kutoka kwa milinganyo yote isipokuwa ya kwanza. (ambayo ni chini sana kuliko thamani inayolingana ya mpango wa uteuzi wa sehemu). Tunasisitiza kuwa matrix bado haijapatikana ambayo uchaguzi kamili utatoa thamani Kwa hivyo, kwa mifumo iliyo na hali nzuri, toleo hili la njia ya Gaussian lina hali nzuri.
Hata hivyo, dhamana ya hali nzuri inapatikana hapa kwa gharama ya gharama kubwa kwa uteuzi wa mambo makuu. Kwa kufanya hivyo, pamoja na shughuli za hesabu, ni muhimu kufanya takriban shughuli za kulinganisha, ambazo zinaweza kupunguza kwa kiasi kikubwa mchakato wa kutatua tatizo kwenye kompyuta. Kwa hiyo, katika hali nyingi, katika mazoezi, upendeleo bado hutolewa kwa mpango wa uchaguzi wa sehemu. Kama ilivyoelezwa tayari, hali ambapo ongezeko kubwa la vipengele hutokea wakati wa kutumia toleo hili la njia ya Gaussian ni nadra sana. Zaidi ya hayo, hali hizi zinaweza kutambuliwa kwa urahisi kwa kutumia mbinu madhubuti za kufuatilia ukuaji wa vipengele vya tumbo vilivyowekwa katika programu za kisasa.
4. Kesi wakati uteuzi wa mambo makuu sio lazima.
Inajulikana kuwa kwa baadhi ya madarasa ya matrices, wakati wa kutumia mpango mmoja wa mgawanyiko, mambo makuu yanahakikishiwa kuwa iko kwenye diagonal kuu na kwa hiyo hakuna haja ya kutumia uteuzi wa sehemu. Hii ndio kesi, kwa mfano, kwa mifumo iliyo na matiti chanya dhahiri, na vile vile kwa matiti zilizo na mali ifuatayo ya kutawala kwa diagonal:
Matrices ambayo yanakidhi hali (5.45) ni kwamba katika kila safu moduli ya kipengele kilicho kwenye diagonal kuu ni kubwa kuliko jumla ya moduli ya vipengele vingine vyote vya safu.
5. Kuongeza.
Kabla ya kuanza suluhisho, inashauriwa kuongeza mfumo ili coefficients yake iwe juu ya utaratibu wa umoja.
Kuna njia mbili za asili za kuongeza mfumo. Ya kwanza ni kuzidisha kila milinganyo kwa kipengele fulani cha kuongeza. Ya pili ni kuzidisha kila safu ya matriki kwa kipengele cha kuongeza, ambacho kinalingana na kubadilisha vigeu (kwa kweli, hii ni kubadilisha vitengo vya kipimo). Katika hali halisi ya maisha, mara nyingi kuongeza inaweza kufanywa bila ugumu mkubwa. Hata hivyo, tunasisitiza kuwa katika hali ya jumla njia ya kuongeza kiwango cha kuridhisha bado haijapatikana.
Katika mazoezi, kuongeza kawaida hufanywa kwa kugawa kila mlinganyo kwa mgawo wake mkubwa zaidi katika ukubwa. Hii ni njia ya kuridhisha kabisa kwa shida nyingi za maisha halisi.
Mojawapo ya njia rahisi zaidi za kutatua mfumo wa equations za mstari ni mbinu kulingana na hesabu ya viashiria ( Utawala wa Cramer) Faida yake ni kwamba hukuruhusu kurekodi suluhisho mara moja; ni rahisi sana katika hali ambapo mgawo wa mfumo sio nambari, lakini vigezo kadhaa. Ubaya wake ni ugumu wa mahesabu katika kesi ya idadi kubwa ya milinganyo; zaidi ya hayo, sheria ya Cramer haitumiki moja kwa moja kwa mifumo ambayo idadi ya milinganyo hailingani na idadi ya haijulikani. Katika hali kama hizo, kawaida hutumiwa Njia ya Gaussian.
Mifumo ya milinganyo ya mstari yenye seti sawa ya suluhu inaitwa sawa. Ni wazi, seti ya masuluhisho ya mfumo wa mstari haitabadilika ikiwa milinganyo yoyote itabadilishwa, au ikiwa moja ya milinganyo inazidishwa na nambari isiyo ya sifuri, au ikiwa mlinganyo mmoja umeongezwa hadi mwingine.
Njia ya Gauss (njia ya kuondoa mlolongo wa haijulikani) ni kwamba kwa msaada wa mabadiliko ya msingi mfumo umepunguzwa kwa mfumo sawa wa aina ya hatua. Kwanza, kwa kutumia equation ya 1, tunaondoa x 1 kati ya milinganyo yote inayofuata ya mfumo. Kisha, kwa kutumia equation ya 2, tunaondoa x 2 kutoka ya 3 na milinganyo yote inayofuata. Utaratibu huu, unaoitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian, inaendelea hadi kuna moja tu isiyojulikana iliyobaki upande wa kushoto wa mlinganyo wa mwisho x n. Baada ya hii inafanywa kinyume cha njia ya Gaussian- kutatua equation ya mwisho, tunapata x n; baada ya hayo, kwa kutumia thamani hii, kutoka kwa equation ya mwisho tunayohesabu x n-1, nk. Tunapata ya mwisho x 1 kutoka kwa mlingano wa kwanza.
Ni rahisi kutekeleza mabadiliko ya Gaussian kwa kufanya mabadiliko sio na hesabu zenyewe, lakini na matrices ya coefficients yao. Fikiria matrix:
kuitwa matrix iliyopanuliwa ya mfumo, kwa sababu, pamoja na matrix kuu ya mfumo, inajumuisha safu ya maneno ya bure. Njia ya Gaussian inategemea kupunguza tumbo kuu la mfumo kwa fomu ya pembetatu (au fomu ya trapezoidal katika kesi ya mifumo isiyo ya mraba) kwa kutumia mabadiliko ya safu ya msingi (!) ya tumbo iliyopanuliwa ya mfumo.
Mfano 5.1. Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian:
Suluhisho. Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia safu ya kwanza, baada ya hapo tutaweka upya vitu vilivyobaki:
tunapata sifuri katika safu ya 2, 3 na 4 ya safu ya kwanza:
Sasa tunahitaji vipengele vyote kwenye safu ya pili chini ya safu ya 2 kuwa sawa na sifuri. Ili kufanya hivyo, unaweza kuzidisha mstari wa pili kwa -4/7 na uongeze kwenye mstari wa 3. Walakini, ili tusishughulike na sehemu, wacha tuunda kitengo kwenye safu ya 2 ya safu ya pili na tu.
Sasa, ili kupata matrix ya pembetatu, unahitaji kuweka upya kipengee cha safu ya nne ya safu ya 3; kwa kufanya hivyo, unaweza kuzidisha safu ya tatu na 8/54 na kuiongeza kwa nne. Walakini, ili tusishughulike na sehemu, tutabadilisha safu ya 3 na 4 na safu wima ya 3 na 4 na tu baada ya hapo tutaweka upya kipengee maalum. Kumbuka kwamba wakati wa kupanga upya safu, vigezo vinavyolingana vinabadilisha maeneo na hii lazima ikumbukwe; mabadiliko mengine ya kimsingi na safuwima (kuongeza na kuzidisha kwa nambari) hayawezi kufanywa!
Matrix ya mwisho iliyorahisishwa inalingana na mfumo wa milinganyo sawa na ule wa asili:
Kutoka hapa, kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian, tunapata kutoka kwa equation ya nne x 3 = -1; kutoka kwa tatu x 4 = -2, kutoka kwa pili x 2 = 2 na kutoka kwa mlinganyo wa kwanza x 1 = 1. Katika fomu ya matrix, jibu limeandikwa kama
Tulizingatia kesi wakati mfumo ni wa uhakika, i.e. wakati kuna suluhisho moja tu. Wacha tuone nini kitatokea ikiwa mfumo hauendani au hauna uhakika.
Mfano 5.2. Chunguza mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian:
Suluhisho. Tunaandika na kubadilisha matrix iliyopanuliwa ya mfumo
Tunaandika mfumo rahisi wa equations:
Hapa, katika equation ya mwisho iligeuka kuwa 0 = 4, i.e. utata. Kwa hiyo, mfumo hauna ufumbuzi, i.e. yeye zisizopatana. à
Mfano 5.3. Chunguza na usuluhishe mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian:
Suluhisho. Tunaandika na kubadilisha matrix iliyopanuliwa ya mfumo:
Kama matokeo ya mabadiliko, mstari wa mwisho una zero tu. Hii inamaanisha kuwa idadi ya milinganyo imepungua kwa moja:
Kwa hiyo, baada ya kurahisisha, kuna equations mbili zilizoachwa, na nne haijulikani, i.e. mbili zisizojulikana "ziada". Wacha wawe "wasio kupita kiasi", au, kama wanasema, vigezo vya bure, mapenzi x 3 na x 4 . Kisha
Kuamini x 3 = 2a Na x 4 = b, tunapata x 2 = 1–a Na x 1 = 2b–a; au kwa namna ya matrix
Suluhisho lililoandikwa kwa njia hii linaitwa jumla, kwa sababu, kutoa vigezo a Na b maadili tofauti, suluhisho zote zinazowezekana za mfumo zinaweza kuelezewa. a
Njia ya Gauss kamili kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAEs). Inayo faida kadhaa ikilinganishwa na njia zingine:
- kwanza, hakuna haja ya kuchunguza kwanza mfumo wa equations kwa uthabiti;
- pili, njia ya Gauss inaweza kutatua sio tu SLAEs ambayo idadi ya equations inalingana na idadi ya vigezo visivyojulikana na matrix kuu ya mfumo sio umoja, lakini pia mifumo ya equations ambayo idadi ya equations hailingani na. idadi ya vigezo visivyojulikana au kiashiria cha tumbo kuu ni sawa na sifuri;
- tatu, njia ya Gaussian inaongoza kwa matokeo na idadi ndogo ya shughuli za computational.
Muhtasari mfupi wa makala.
Kwanza, tunatoa ufafanuzi muhimu na utangulizi wa vidokezo.
Ifuatayo, tutaelezea algorithm ya njia ya Gauss kwa kesi rahisi zaidi, ambayo ni, kwa mifumo ya equations za algebraic, idadi ya equations ambayo inaambatana na idadi ya vigezo visivyojulikana na kiashiria cha matrix kuu ya mfumo. si sawa na sifuri. Wakati wa kutatua mifumo hiyo ya equations, kiini cha njia ya Gauss inaonekana wazi zaidi, ambayo ni uondoaji wa mfululizo wa vigezo visivyojulikana. Kwa hiyo, njia ya Gaussian pia inaitwa njia ya kuondokana na mlolongo wa haijulikani. Tutaonyesha ufumbuzi wa kina wa mifano kadhaa.
Kwa kumalizia, tutazingatia suluhisho kwa njia ya Gauss ya mifumo ya usawa wa algebraic, matrix kuu ambayo ni ya mstatili au umoja. Suluhisho la mifumo hiyo ina baadhi ya vipengele, ambavyo tutachunguza kwa undani kwa kutumia mifano.
Urambazaji wa ukurasa.
Ufafanuzi wa kimsingi na nukuu.
Fikiria mfumo wa milinganyo ya p na n zisizojulikana (p inaweza kuwa sawa na n):
Ambapo ni vigezo visivyojulikana, ni nambari (halisi au ngumu), na ni maneno ya bure.
Kama 
, basi mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari unaitwa zenye homogeneous, vinginevyo - tofauti.
Seti ya maadili ya anuwai zisizojulikana ambazo hesabu zote za mfumo huwa kitambulisho huitwa uamuzi wa SLAU.
Ikiwa kuna angalau suluhisho moja kwa mfumo wa usawa wa algebraic, basi inaitwa pamoja, vinginevyo - yasiyo ya pamoja.
Ikiwa SLAE ina suluhisho la kipekee, basi inaitwa fulani. Ikiwa kuna suluhisho zaidi ya moja, basi mfumo unaitwa kutokuwa na uhakika.
Wanasema kwamba mfumo umeandikwa ndani kuratibu fomu, ikiwa ina fomu
.
Mfumo huu katika fomu ya matrix rekodi zina fomu, wapi 
- tumbo kuu la SLAE, - matrix ya safu ya vigezo visivyojulikana, - matrix ya maneno ya bure.
Ikiwa tutaongeza safu-wima ya maneno bila malipo kwenye matrix A kama safu wima ya (n+1), tunapata kinachojulikana kama safu wima. matrix iliyopanuliwa mifumo ya milinganyo ya mstari. Kawaida, matrix iliyopanuliwa inaonyeshwa na herufi T, na safu ya maneno ya bure hutenganishwa na safu wima kutoka kwa safu zilizobaki, ambayo ni, 
Matrix ya mraba A inaitwa kuzorota, ikiwa kibainishi chake ni sifuri. Ikiwa , basi matrix A inaitwa yasiyo ya kuzorota.
Jambo linalofuata linapaswa kuzingatiwa.
Ikiwa utafanya vitendo vifuatavyo na mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari
- badilisha milinganyo miwili,
- zidisha pande zote mbili za mlingano wowote kwa nambari ya kiholela na isiyo ya sufuri halisi (au changamano) k,
- kwa pande zote mbili za mlinganyo wowote ongeza sehemu zinazolingana za mlingano mwingine, unaozidishwa na nambari ya kiholela k,
basi unapata mfumo sawa ambao una suluhisho sawa (au, kama ule wa asili, hauna suluhisho).
Kwa matriki iliyopanuliwa ya mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari, vitendo hivi vitamaanisha kufanya mabadiliko ya kimsingi na safu mlalo:
- kubadilisha mistari miwili,
- kuzidisha vitu vyote vya safu yoyote ya matrix T kwa nambari isiyo ya kawaida k,
- kuongeza vipengele vya safu mlalo yoyote ya matriki vipengele vinavyolingana vya safu mlalo nyingine, ikizidishwa na nambari ya kiholela k.
Sasa tunaweza kuendelea na maelezo ya njia ya Gauss.
Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari, ambayo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana na tumbo kuu la mfumo sio umoja, kwa kutumia njia ya Gauss.
Tungefanya nini shuleni ikiwa tungepewa jukumu la kutafuta suluhisho la mfumo wa milinganyo? 
.
Wengine wangefanya hivyo.
Kumbuka kuwa kwa kuongeza upande wa kushoto wa kwanza hadi upande wa kushoto wa equation ya pili, na upande wa kulia kwa upande wa kulia, unaweza kuondoa vijiti visivyojulikana x 2 na x 3 na upate mara moja x 1: 
Tunabadilisha thamani iliyopatikana x 1 =1 kwenye milinganyo ya kwanza na ya tatu ya mfumo: 
Ikiwa tutazidisha pande zote mbili za equation ya tatu ya mfumo kwa -1 na kuziongeza kwa sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, tunaondoa tofauti isiyojulikana x 3 na tunaweza kupata x 2: 
Tunabadilisha thamani inayotokana x 2 = 2 kwenye equation ya tatu na kupata tofauti iliyobaki isiyojulikana x 3: 
Wengine wangefanya tofauti.
Wacha tusuluhishe mlingano wa kwanza wa mfumo kwa heshima na kigezo kisichojulikana x 1 na tubadilishe usemi unaotokana na milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo ili kuwatenga tofauti hii kutoka kwao: 
Sasa hebu tusuluhishe equation ya pili ya mfumo wa x 2 na ubadilishe matokeo yaliyopatikana kwenye equation ya tatu ili kuondoa tofauti isiyojulikana x 2 kutoka kwake: 
Kutoka kwa equation ya tatu ya mfumo ni wazi kwamba x 3 =3. Kutoka kwa equation ya pili tunapata 
, na kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunapata.
Suluhisho zinazojulikana, sawa?
Jambo la kufurahisha zaidi hapa ni kwamba njia ya pili ya suluhisho kimsingi ni njia ya kuondoa kwa mlolongo wa haijulikani, ambayo ni, njia ya Gaussian. Tulipoelezea vigeu visivyojulikana (kwanza x 1, katika hatua inayofuata x 2) na kuziweka katika milinganyo iliyobaki ya mfumo, kwa hivyo tulizitenga. Tulifanya uondoaji hadi kukawa na kigezo kimoja tu kisichojulikana kilichosalia katika mlinganyo wa mwisho. Mchakato wa kuondoa mlolongo usiojulikana unaitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha kusonga mbele, tunayo fursa ya kuhesabu kigezo kisichojulikana kilichopatikana katika mlinganyo wa mwisho. Kwa msaada wake, tunapata tofauti inayofuata isiyojulikana kutoka kwa equation ya mwisho, na kadhalika. Mchakato wa kutafuta mlolongo wa vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.
Ikumbukwe kwamba tunapoelezea x 1 kwa suala la x 2 na x 3 katika equation ya kwanza, na kisha kubadilisha usemi unaosababishwa katika equation ya pili na ya tatu, vitendo vifuatavyo husababisha matokeo sawa:
Hakika, utaratibu kama huo pia hufanya iwezekanavyo kuondoa tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu ya pili na ya tatu ya mfumo: 
Nuances na uondoaji wa vigeu visivyojulikana kwa kutumia njia ya Gaussian hutokea wakati milinganyo ya mfumo haina baadhi ya vigezo.
Kwa mfano, katika SLAU 
katika equation ya kwanza hakuna variable haijulikani x 1 (kwa maneno mengine, mgawo mbele yake ni sifuri). Kwa hivyo, hatuwezi kutatua equation ya kwanza ya mfumo kwa x 1 ili kuondoa tofauti hii isiyojulikana kutoka kwa milinganyo iliyobaki. Njia ya nje ya hali hii ni kubadilishana milinganyo ya mfumo. Kwa kuwa tunazingatia mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo viambatisho vya hesabu kuu ni tofauti na sifuri, daima kuna mlinganyo ambapo kigezo tunachohitaji kipo, na tunaweza kupanga upya mlingano huu kwa nafasi tunayohitaji. Kwa mfano wetu, inatosha kubadilishana equations ya kwanza na ya pili ya mfumo 
, basi unaweza kutatua equation ya kwanza ya x 1 na kuitenga kutoka kwa milinganyo iliyobaki ya mfumo (ingawa x 1 haipo tena katika mlinganyo wa pili).
Tunatumai umepata kiini.
Hebu tueleze Algorithm ya njia ya Gaussian.
Tuseme tunahitaji kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari na n vijiumbe visivyojulikana vya fomu. 
, na acha kibainishi cha matrix yake kuu kiwe tofauti na sifuri.
Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia na ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, kuzidishwa na , kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu 
wapi na 
.
Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeonyesha x 1 kulingana na vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na kubadilisha usemi unaotokana na milinganyo mingine yote. Kwa hivyo, tofauti x 1 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.
Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu 
Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na , kwa equation ya nne tunaongeza pili, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza pili, kuongezeka kwa . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu 
wapi na 
. Kwa hivyo, tofauti x 2 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.
Ifuatayo, tunaendelea na kuondoa haijulikani x 3, wakati tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya mfumo iliyowekwa kwenye takwimu. 
Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu 
Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa equation ya mwisho kama , kwa kutumia thamani iliyopatikana ya x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya penultimate, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza. .
Wacha tuangalie algorithm kwa kutumia mfano.
Mfano.
Njia ya Gauss.
Suluhisho.
Mgawo wa 11 sio sifuri, kwa hivyo hebu tuendelee kwenye uendelezaji wa moja kwa moja wa njia ya Gaussian, ambayo ni, kwa kuwatenga tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo isipokuwa ya kwanza. Ili kufanya hivyo, kwa upande wa kushoto na wa kulia wa equations ya pili, ya tatu na ya nne, ongeza pande za kushoto na za kulia za equation ya kwanza, iliyozidishwa na, kwa mtiririko huo. 
Na: 
Tofauti isiyojulikana x 1 imeondolewa, wacha tuendelee kuondoa x 2 . Kwa pande za kushoto na kulia za equation ya tatu na ya nne ya mfumo tunaongeza pande za kushoto na za kulia za equation ya pili, ikizidishwa kwa mtiririko huo. 
Na 
:
Ili kukamilisha uendelezaji wa njia ya Gaussian, tunahitaji kuondoa tofauti isiyojulikana x 3 kutoka kwa mlingano wa mwisho wa mfumo. Wacha tuongeze kwa pande za kushoto na kulia za equation ya nne, mtawaliwa, pande za kushoto na kulia za equation ya tatu, iliyozidishwa na 
:
Unaweza kuanza kinyume cha njia ya Gaussian.
Kutoka kwa equation ya mwisho tunayo 
,
kutoka kwa equation ya tatu tunapata,
kutoka kwa pili,
kutoka kwa wa kwanza.
Ili kuangalia, unaweza kubadilisha maadili yaliyopatikana ya vijiti visivyojulikana kwenye mfumo wa asili wa hesabu. Equations zote zinageuka kuwa utambulisho, ambayo inaonyesha kuwa suluhisho kwa kutumia njia ya Gauss ilipatikana kwa usahihi.
Jibu:
Sasa hebu tutoe suluhisho kwa mfano huo kwa kutumia njia ya Gaussian katika nukuu ya matrix.
Mfano.
Pata suluhisho la mfumo wa milinganyo Njia ya Gauss.
Suluhisho.
Matrix iliyopanuliwa ya mfumo ina fomu 
. Juu ya kila safu kuna vigeu visivyojulikana vinavyoendana na vipengele vya matrix.
Njia ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hapa inahusisha kupunguza matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa fomu ya trapezoidal kwa kutumia mabadiliko ya msingi. Utaratibu huu ni sawa na uondoaji wa vigezo visivyojulikana ambavyo tulifanya na mfumo katika fomu ya kuratibu. Sasa utaona hii.
Wacha tubadilishe matrix ili vitu vyote kwenye safu ya kwanza, kuanzia ya pili, ziwe sifuri. Ili kufanya hivyo, kwa vipengele vya mstari wa pili, wa tatu na wa nne tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza uliozidishwa na , na ipasavyo: 
Ifuatayo, tunabadilisha matrix inayosababisha ili kwenye safu ya pili vitu vyote, kuanzia ya tatu, ziwe sifuri. Hii inaweza kuendana na kuondoa tofauti isiyojulikana x 2 . Ili kufanya hivyo, kwa vipengele vya safu ya tatu na ya nne tunaongeza vipengele vinavyolingana vya safu ya kwanza ya matrix, iliyozidishwa kwa mtiririko huo. Na :
Inabakia kuwatenga tofauti isiyojulikana x 3 kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa vipengele vya safu ya mwisho ya matrix inayosababisha tunaongeza vipengele vinavyolingana vya safu ya mwisho, iliyozidishwa na. :
Ikumbukwe kwamba matrix hii inalingana na mfumo wa usawa wa mstari 
ambayo ilipatikana mapema baada ya kusonga mbele.
Ni wakati wa kugeuka nyuma. Katika nukuu ya matrix, kinyume cha njia ya Gaussian inahusisha kubadilisha matrix inayosababisha ili matrix iliyowekwa alama kwenye takwimu. 
akawa diagonal, yaani, alichukua fomu 
nambari ziko wapi.
Mabadiliko haya ni sawa na mabadiliko ya mbele ya njia ya Gaussian, lakini hayafanyiki kutoka kwa mstari wa kwanza hadi wa mwisho, lakini kutoka kwa mwisho hadi wa kwanza.
Ongeza kwa vipengele vya mstari wa tatu, wa pili na wa kwanza vipengele vinavyolingana vya mstari wa mwisho, unaozidishwa na 
, na kuendelea 
kwa mtiririko huo: 
Sasa ongeza kwa vipengele vya mstari wa pili na wa kwanza vipengele vinavyolingana vya mstari wa tatu, unaozidishwa na na kwa, kwa mtiririko huo: 
Katika hatua ya mwisho ya njia ya nyuma ya Gaussian, kwa vitu vya safu ya kwanza tunaongeza vitu vinavyolingana vya safu ya pili, ikizidishwa na: 
Matrix inayotokana inalingana na mfumo wa equations 
, kutoka ambapo tunapata vigezo visivyojulikana.
Jibu:
KUMBUKA.
Unapotumia njia ya Gauss kutatua mifumo ya milinganyo ya algebra ya mstari, mahesabu ya takriban yanapaswa kuepukwa, kwani hii inaweza kusababisha matokeo yasiyo sahihi kabisa. Tunapendekeza kutozungusha desimali. Ni bora kuhama kutoka kwa sehemu za decimal kwenda kwa sehemu za kawaida.
Mfano.
Tatua mfumo wa milinganyo mitatu kwa kutumia mbinu ya Gauss 
.
Suluhisho.
Kumbuka kwamba katika mfano huu vigezo visivyojulikana vina sifa tofauti (si x 1, x 2, x 3, lakini x, y, z). Wacha tuendelee kwenye sehemu za kawaida: 
Wacha tuondoe x isiyojulikana kutoka kwa hesabu za pili na tatu za mfumo: 
Katika mfumo unaosababisha, tofauti isiyojulikana y haipo katika equation ya pili, lakini y iko katika equation ya tatu, kwa hiyo, hebu tubadilishane hesabu za pili na tatu: 
Hii inakamilisha uendelezaji wa moja kwa moja wa njia ya Gauss (hakuna haja ya kuwatenga y kutoka kwa mlinganyo wa tatu, kwani utofauti huu usiojulikana haupo tena).
Wacha tuanze harakati ya kurudi nyuma.
Kutoka kwa equation ya mwisho tunapata 
,
kutoka mwisho 
kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tulionao 
Jibu:
X = 10, y = 5, z = -20.
Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari ambayo idadi ya milinganyo haiwiani na idadi ya zisizojulikana au matriki kuu ya mfumo ni ya umoja, kwa kutumia mbinu ya Gauss.
Mifumo ya milinganyo, matrix kuu ambayo ni mstatili au umoja wa mraba, inaweza kuwa haina suluhu, inaweza kuwa na suluhisho moja, au inaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.
Sasa tutaelewa jinsi njia ya Gauss inaruhusu sisi kuanzisha utangamano au kutofautiana kwa mfumo wa equations linear, na katika kesi ya utangamano wake, kuamua ufumbuzi wote (au suluhisho moja).
Kimsingi, mchakato wa kuondoa vigezo visivyojulikana katika kesi ya SLAEs vile unabaki sawa. Walakini, inafaa kwenda kwa undani juu ya hali zingine ambazo zinaweza kutokea.
Wacha tuendelee kwenye hatua muhimu zaidi.
Kwa hivyo, wacha tufikirie kuwa mfumo wa milinganyo ya algebraic ya mstari, baada ya kukamilisha uendelezaji wa njia ya Gauss, inachukua fomu. 
na hakuna equation moja iliyopunguzwa hadi (katika kesi hii tungehitimisha kuwa mfumo hauendani). Swali la kimantiki linatokea: "Nini cha kufanya baadaye"?
Wacha tuandike vijiti visivyojulikana ambavyo huja kwanza katika hesabu zote za mfumo unaosababishwa: 
Katika mfano wetu hizi ni x 1, x 4 na x 5. Kwenye pande za kushoto za equations za mfumo tunaacha maneno hayo tu ambayo yana vijiti visivyojulikana x 1, x 4 na x 5, maneno yaliyobaki huhamishiwa upande wa kulia wa hesabu na ishara tofauti: 
Wacha tupe vijiti visivyojulikana ambavyo viko kwenye pande za kulia za maadili ya kiholela, ambapo 
- nambari za kiholela: 
Baada ya hayo, pande za kulia za milinganyo yote ya SLAE yetu ina nambari na tunaweza kuendelea kinyume cha njia ya Gaussian.
Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo tunayo, kutoka kwa equation ya mwisho tunayopata, kutoka kwa equation ya kwanza tunayopata. 
Suluhisho la mfumo wa equations ni seti ya maadili ya vigezo visivyojulikana 
Kutoa Nambari maadili tofauti, tutapata suluhisho tofauti kwa mfumo wa milinganyo. Hiyo ni, mfumo wetu wa milinganyo una masuluhisho mengi sana.
Jibu:
Wapi - nambari za kiholela.
Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua kwa undani ufumbuzi wa mifano kadhaa zaidi.
Mfano.
Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya aljebra ya mstari 
Njia ya Gauss.
Suluhisho.
Wacha tuwatenge tofauti isiyojulikana x kutoka kwa milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa upande wa kushoto na kulia wa equation ya pili, tunaongeza, kwa mtiririko huo, pande za kushoto na za kulia za equation ya kwanza, iliyozidishwa na , na kwa upande wa kushoto na wa kulia wa equation ya tatu, tunaongeza kushoto na kushoto. pande za kulia za mlingano wa kwanza, zikizidishwa na: 
Sasa hebu tuondoe y kutoka kwa equation ya tatu ya mfumo unaosababisha wa equations: 
SLAE inayotokana ni sawa na mfumo 
.
Tunaacha upande wa kushoto wa milinganyo ya mfumo tu masharti yaliyo na vigezo visivyojulikana x na y, na kusonga masharti na kutofautiana haijulikani z kwa upande wa kulia: 