Kutatua matatizo mengi katika hisabati ya shule ya upili kunahitaji ujuzi wa kuunda uwiano. Ujuzi huu rahisi utakusaidia sio tu kufanya mazoezi magumu kutoka kwa kitabu cha maandishi, lakini pia kuzama ndani ya kiini cha sayansi ya hisabati. Jinsi ya kufanya uwiano? Hebu tufikirie sasa.
Mfano rahisi ni tatizo ambapo vigezo vitatu vinajulikana, na ya nne inahitaji kupatikana. Uwiano ni, kwa kweli, tofauti, lakini mara nyingi unahitaji kupata nambari fulani kwa kutumia asilimia. Kwa mfano, mvulana alikuwa na apples kumi kwa jumla. Akampa mama yake sehemu ya nne. Mvulana amebakisha tufaha mangapi? Huu ni mfano rahisi zaidi ambao utakuwezesha kuunda uwiano. Jambo kuu ni kufanya hivi. Hapo awali, kulikuwa na maapulo kumi. Wacha iwe 100%. Tuliweka alama tufaa zake zote. Alitoa moja ya nne. 1/4=25/100. Hii ina maana ameondoka: 100% (ilikuwa awali) - 25% (alitoa) = 75%. Takwimu hii inaonyesha asilimia ya kiasi cha matunda kilichobaki ikilinganishwa na kiasi kilichopatikana awali. Sasa tunayo nambari tatu ambazo tunaweza tayari kutatua uwiano. apples 10 - 100%; X apples - 75%, ambapo x ni kiasi kinachohitajika cha matunda. Jinsi ya kufanya uwiano? Unahitaji kuelewa ni nini. Kihesabu inaonekana kama hii. Ishara sawa imewekwa kwa ufahamu wako.
apples 10 = 100%;
x apples = 75%.
Inatokea kwamba 10/x = 100%/75. Hii ndiyo mali kuu ya uwiano. Baada ya yote, x kubwa, asilimia kubwa ya nambari hii kutoka kwa asili. Tunatatua uwiano huu na kupata kwamba x = 7.5 apples. Hatujui kwa nini mvulana aliamua kutoa kiasi kamili. Sasa unajua jinsi ya kufanya uwiano. Jambo kuu ni kupata mahusiano mawili, moja ambayo ina haijulikani haijulikani.
Kutatua sehemu mara nyingi huja kwa kuzidisha rahisi na kisha kugawanya. Shule hazielezi watoto kwa nini hii ni hivyo. Ingawa ni muhimu kuelewa kwamba uhusiano sawia ni classics hisabati, kiini hasa cha sayansi. Ili kutatua uwiano, unahitaji kuwa na uwezo wa kushughulikia sehemu. Kwa mfano, mara nyingi unahitaji kubadilisha asilimia kwa sehemu. Hiyo ni, kurekodi 95% haitafanya kazi. Na ikiwa utaandika mara moja 95/100, basi unaweza kufanya upungufu mkubwa bila kuanza hesabu kuu. Inafaa kusema mara moja kwamba ikiwa sehemu yako inageuka kuwa na haijulikani mbili, basi haiwezi kutatuliwa. Hakuna profesa atakusaidia hapa. Na kazi yako ina uwezekano mkubwa wa kuwa na algorithm ngumu zaidi ya vitendo sahihi.
Hebu tuangalie mfano mwingine ambapo hakuna asilimia. Dereva alinunua lita 5 za petroli kwa rubles 150. Alifikiria ni kiasi gani angelipa kwa lita 30 za mafuta. Ili kutatua tatizo hili, hebu tuonyeshe kwa x kiasi kinachohitajika cha pesa. Unaweza kutatua tatizo hili mwenyewe na kisha uangalie jibu. Ikiwa bado haujaelewa jinsi ya kufanya uwiano, basi uangalie. 5 lita za petroli ni rubles 150. Kama katika mfano wa kwanza, tunaandika 5l - 150r. Sasa hebu tupate nambari ya tatu. Kwa kweli, hii ni lita 30. Kukubaliana kwamba jozi ya 30 l - x rubles inafaa katika hali hii. Wacha tuendelee kwenye lugha ya hisabati.
5 lita - rubles 150;
30 lita - x rubles;
Wacha tusuluhishe sehemu hii:
x = 900 rubles.
Kwa hivyo tuliamua. Katika kazi yako, usisahau kuangalia utoshelevu wa jibu. Inatokea kwamba kwa uamuzi mbaya, magari hufikia kasi isiyo ya kweli ya kilomita 5000 kwa saa na kadhalika. Sasa unajua jinsi ya kufanya uwiano. Unaweza pia kutatua. Kama unaweza kuona, hakuna chochote ngumu katika hili.
Uwiano uliotafsiriwa kutoka Kilatini (proportio) unamaanisha uwiano, usawa wa sehemu, yaani, usawa wa uwiano mbili. Uwezo wa kuhesabu uwiano mara nyingi ni muhimu katika hali za kila siku.
Maagizo
Mfano rahisi wakati unahitaji kutumia ujuzi kuhusu kutatua uwiano: jinsi ya kuhesabu 13% ya mshahara wako - asilimia sawa ambayo huenda kwa Mfuko wa Pensheni.
Andika mistari miwili ya uwiano. Katika kwanza, onyesha kiasi cha jumla cha mshahara, ambacho kinawakilisha 100%, yaani, kwa mfano, 15,000 (rubles) = 100%.
Katika mstari ulio hapa chini, onyesha kiasi kinachohitajika kuhesabiwa na ishara "X", ambayo ni sawa na 13%, yaani, X = 13%.
Mali kuu ya uwiano ni hii: bidhaa ya masharti makubwa ya uwiano ni sawa na bidhaa ya masharti yake ya kati. Hii ina maana kwamba ukizidisha 15,000 kwa 13, nambari inayotokana itakuwa sawa na thamani ya X iliyozidishwa na 100. Hiyo ni, kuzidisha masharti ya uwiano crosswise, utapata thamani sawa.
Ili kuhesabu kile X hatimaye ni sawa, kuzidisha 15,000 kwa 13 na kugawanya kwa 100. Utapata kwamba asilimia 13 ya mshahara wako ni rubles 1,950, hivyo kupata 15,000 - 1,950 = 13,050 rubles mishahara yavu.
Ikiwa unahitaji kuchukua gramu 100 za sukari ya unga kwa pai, na unajua kuwa gramu 140 zinafaa kwenye glasi moja ya sehemu, fanya sehemu ifuatayo:
Piga hesabu X ni sawa na nini.
X = 100 x 1/140 = 0.7
Hiyo ni, utahitaji vikombe 0.7 vya sukari ya unga.
Inatokea kwamba unahitaji kuhesabu nzima, kujua tu sehemu ya asilimia. Kwa mfano, unajua kuwa watu 21 kwenye biashara, ambayo ni 5% ya jumla ya idadi ya wafanyikazi, wana elimu ya sekondari maalum. Weka uwiano wa kuhesabu jumla ya idadi ya wafanyakazi: X (watu) = 100%, 21 = 5%. 21 x 100 / 5 = watu 420.
Kwa hivyo, baada ya kuandika data inayopatikana katika mistari miwili, thamani ya neno lisilojulikana lazima ipatikane kama ifuatavyo: kuzidisha kati yao maneno hayo ya sehemu ambayo ni karibu na juu ya haijulikani na ugawanye nambari inayotokana na thamani ambayo ni. diagonally kutoka haijulikani.
A = B x C / D- B = A x D / C- C = A x D / B- D = C x B / A
Katika somo la mwisho la video tuliangalia kutatua matatizo yanayohusisha asilimia kwa kutumia uwiano. Kisha, kulingana na hali ya tatizo, tulihitaji kupata thamani ya kiasi kimoja au kingine.
Wakati huu maadili ya awali na ya mwisho tayari yamepewa kwetu. Kwa hiyo, matatizo yatakuhitaji kupata asilimia. Kwa usahihi, kwa asilimia ngapi hii au thamani hiyo imebadilika. Tujaribu.
Kazi. Sneakers gharama ya rubles 3,200. Baada ya kuongezeka kwa bei, walianza kugharimu rubles 4,000. Bei ya sneakers iliongezeka kwa asilimia ngapi?
Kwa hivyo, tunatatua kwa uwiano. Hatua ya kwanza - bei ya awali ilikuwa rubles 3,200. Kwa hiyo, rubles 3200 ni 100%.
Kwa kuongeza, tulipewa bei ya mwisho - rubles 4000. Hii ni asilimia isiyojulikana, kwa hivyo tuiite x. Tunapata ujenzi ufuatao:
3200 — 100%
4000 - x%
Naam, hali ya tatizo imeandikwa. Wacha tufanye uwiano:
Sehemu ya upande wa kushoto inafuta kikamilifu kwa 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Vinginevyo, unaweza kufupisha kwa 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Tunapata uwiano ufuatao:
Hebu tumia mali ya msingi ya uwiano: bidhaa ya masharti uliokithiri ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati. Tunapata:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Huu ni mlinganyo wa kawaida wa mstari. Kuanzia hapa tunapata x:
x = 1000: 8 = 125
Kwa hiyo, tulipata asilimia ya mwisho x = 125. Lakini je, nambari 125 ni suluhisho la tatizo? Hapana! Kwa sababu kazi inahitaji kujua kwa asilimia ngapi bei ya sneakers iliongezwa.
Kwa asilimia ngapi - hii inamaanisha kuwa tunahitaji kupata mabadiliko:
∆ = 125 − 100 = 25
Tulipokea 25% - ndivyo bei ya awali iliongezwa. Hili ndilo jibu: 25.
Tatizo B2 kwa asilimia Na. 2
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili.
Kazi. Shati hiyo inagharimu rubles 1800. Baada ya bei kupunguzwa, ilianza gharama ya rubles 1,530. Bei ya shati ilipunguzwa kwa asilimia ngapi?
Wacha tutafsiri hali hiyo kwa lugha ya hisabati. Bei ya awali ni rubles 1800 - hii ni 100%. Na bei ya mwisho ni rubles 1,530 - tunaijua, lakini hatujui ni asilimia ngapi ya thamani ya asili. Kwa hivyo, tunaashiria kwa x. Tunapata ujenzi ufuatao:
1800 — 100%
1530 - x%
Kulingana na rekodi iliyopokelewa, tunaunda sehemu:
Ili kurahisisha mahesabu zaidi, hebu tugawanye pande zote mbili za equation hii kwa 100. Kwa maneno mengine, tutaondoa sufuri mbili kutoka kwa nambari ya sehemu za kushoto na kulia. Tunapata:
Sasa hebu tumia mali ya msingi ya uwiano tena: bidhaa ya maneno uliokithiri ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Kilichobaki ni kupata x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Tulipata kwamba x = 85. Lakini, kama katika tatizo la awali, nambari hii yenyewe sio jibu. Turudi kwenye hali yetu. Sasa tunajua kuwa bei mpya iliyopatikana baada ya kupunguzwa ni 85% ya ile ya zamani. Na ili kupata mabadiliko, unahitaji kutoka kwa bei ya zamani, i.e. 100%, toa bei mpya, i.e. 85%. Tunapata:
∆ = 100 − 85 = 15
Nambari hii itakuwa jibu: Tafadhali kumbuka: hasa 15, na hakuna kesi 85. Hiyo ndiyo yote! Tatizo linatatuliwa.
Wanafunzi wasikivu labda watauliza: kwa nini katika shida ya kwanza, wakati wa kupata tofauti, tuliondoa nambari ya kwanza kutoka kwa nambari ya mwisho, na katika shida ya pili tulifanya kinyume kabisa: kutoka kwa 100% ya awali tuliondoa 85% ya mwisho?
Hebu tuwe wazi juu ya jambo hili. Rasmi, katika hisabati, mabadiliko ya wingi daima ni tofauti kati ya thamani ya mwisho na thamani ya awali. Kwa maneno mengine, katika shida ya pili tunapaswa kupata sio 15, lakini -15.
Walakini, minus hii haipaswi kujumuishwa katika jibu kwa hali yoyote, kwa sababu tayari imezingatiwa katika hali ya shida ya asili. Inasema moja kwa moja kuhusu kupunguza bei. Na punguzo la bei la 15% ni sawa na ongezeko la bei la -15%. Ndiyo maana katika suluhisho na jibu la tatizo inatosha kuandika 15 tu - bila minuses yoyote.
Ni hayo tu, natumai tumeyatatua haya. Hii inahitimisha somo letu la leo. Tuonane tena!
Asilimia moja ni mia moja ya nambari. Dhana hii hutumiwa wakati ni muhimu kuashiria uhusiano wa sehemu kwa ujumla. Kwa kuongezea, maadili kadhaa yanaweza kulinganishwa kama asilimia, lakini hakikisha kuonyesha jamaa ambayo asilimia zote zinahesabiwa. Kwa mfano, gharama ni 10% juu kuliko mapato au bei ya tikiti za treni imeongezeka kwa 15% ikilinganishwa na ushuru wa mwaka jana. Nambari ya asilimia zaidi ya 100 inamaanisha kuwa uwiano ni mkubwa kuliko nzima, kama ilivyo kawaida katika hesabu za takwimu.
Riba kama dhana ya kifedha ni malipo kutoka kwa mkopaji hadi kwa mkopeshaji kwa kutoa pesa kwa matumizi ya muda. Katika biashara, maneno "kazi kwa maslahi" ni ya kawaida. Katika kesi hii, inaeleweka kuwa kiasi cha malipo inategemea faida au mauzo (tume). Haiwezekani kufanya bila kuhesabu asilimia katika uhasibu, biashara, na benki. Ili kurahisisha mahesabu, kikokotoo cha kuvutia cha mtandaoni kimeundwa.
Calculator hukuruhusu kuhesabu:
- Asilimia ya thamani iliyowekwa.
- Asilimia ya kiasi (kodi ya mshahara halisi).
- Asilimia ya tofauti (VAT kutoka ).
- Na mengi zaidi...
Wakati wa kutatua matatizo kwa kutumia calculator ya asilimia, unahitaji kufanya kazi na maadili matatu, ambayo moja haijulikani (tofauti huhesabiwa kwa kutumia vigezo vilivyotolewa). Hali ya hesabu inapaswa kuchaguliwa kulingana na hali maalum.
Mifano ya mahesabu
1. Kukokotoa asilimia ya nambari
Ili kupata nambari ambayo ni 25% ya rubles 1,000, unahitaji:
- 1,000 × 25/100 = 250 kusugua.
- Au 1,000 × 0.25 = 250 rubles.
Ili kuhesabu kwa kutumia calculator ya kawaida, unahitaji kuzidisha 1,000 kwa 25 na bonyeza kitufe cha%.
2. Ufafanuzi wa nambari kamili (100%)
Tunajua kwamba 250 kusugua. ni 25% ya idadi fulani. Jinsi ya kuhesabu?
Wacha tufanye sehemu rahisi:
- 250 kusugua. - 25%
- Y kusugua. - 100%
- Y = 250 × 100 / 25 = 1,000 kusugua.
3. Asilimia kati ya nambari mbili
Hebu sema faida ya rubles 800 ilitarajiwa, lakini tulipokea rubles 1,040. Ni asilimia ngapi ya ziada?
Uwiano utakuwa kama hii:
- 800 kusugua. - 100%
- RUB 1,040 -Y%
- Y = 1,040 × 100 / 800 = 130%
Kuzidisha mpango wa faida ni 30%, ambayo ni, utimilifu ni 130%.
4. Hesabu haitokani na 100%
Kwa mfano, 100% ya wateja huja kwenye duka linalojumuisha idara tatu. Katika idara ya mboga - watu 800 (67%), katika idara ya kemikali ya kaya - 55. Ni asilimia ngapi ya wateja wanaokuja kwenye idara ya kemikali ya kaya?
Uwiano:
- Wageni 800 - 67%
- Wageni 55 - Y%
- Y = 55 × 67 / 800 = 4.6%
5. Nambari moja ni chini ya asilimia ngapi?
Bei ya bidhaa imeshuka kutoka rubles 2,000 hadi 1,200. Bei ya bidhaa ilishuka kwa asilimia ngapi au 1,200 chini ya 2,000 kwa asilimia ngapi?
- 2 000 - 100 %
- 1,200 - Y%
- Y = 1,200 × 100 / 2,000 = 60% (60% hadi takwimu 1,200 kutoka 2,000)
- 100% - 60% = 40% (idadi 1,200 ni 40% chini ya 2,000)
6. Nambari moja ni kubwa kuliko nyingine kwa asilimia ngapi?
Mshahara uliongezeka kutoka rubles 5,000 hadi 7,500. Mshahara umeongezeka kwa asilimia ngapi? Ni asilimia ngapi ni 7,500 zaidi ya 5,000?
- 5,000 kusugua. - 100%
- 7,500 kusugua. -Y%
- Y = 7,500 × 100 / 5,000 = 150% (katika nambari 7,500 ni 150% ya 5,000)
- 150% - 100% = 50% (idadi 7,500 ni 50% kubwa kuliko 5,000)
7. Ongeza idadi kwa asilimia fulani
Bei ya bidhaa S ni juu ya rubles 1,000. kwa 27%. Bei ya bidhaa ni nini?
- 1,000 kusugua. - 100%
- S - 100% + 27%
- S = 1,000 × (100 + 27) / 100 = 1,270 kusugua.
Kikokotoo cha mkondoni hufanya mahesabu kuwa rahisi zaidi: unahitaji kuchagua aina ya hesabu, ingiza nambari na asilimia (katika kesi ya kuhesabu asilimia, nambari ya pili), onyesha usahihi wa hesabu na toa amri ya kuanza kitendo. .
Leo tunaendelea na mfululizo wa masomo ya video yanayohusu matatizo yanayohusisha asilimia kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Pamoja katika hisabati. Hasa, tutachambua shida mbili za kweli kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja na kwa mara nyingine tena kuona jinsi ni muhimu kusoma kwa uangalifu hali ya shida na kuitafsiri kwa usahihi.
Kwa hivyo, kazi ya kwanza:
Kazi. Ni 95% tu na wahitimu 37,500 wa jiji walitatua tatizo B1 kwa usahihi. Ni watu wangapi walitatua tatizo B1 kwa usahihi?
Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba hii ni aina fulani ya kazi kwa kofia. Kama:
Kazi. Kulikuwa na ndege 7 wameketi juu ya mti. 3 kati yao waliruka. Ndege wangapi waliruka?
Walakini, wacha tuhesabu. Tutatua kwa kutumia njia ya uwiano. Kwa hivyo, tuna wanafunzi 37,500 - hiyo ni 100%. Na pia kuna idadi fulani x ya wanafunzi, ambayo ni 95% ya wale waliobahatika ambao walitatua kwa usahihi tatizo B1. Hebu tuandike haya:
37 500 — 100%
X - 95%
Unahitaji kufanya uwiano na kupata x. Tunapata:
Tunayo uwiano wa kawaida mbele yetu, lakini kabla ya kutumia mali kuu na kuizidisha kwa njia tofauti, napendekeza kugawanya pande zote mbili za equation na 100. Kwa maneno mengine, hebu tuvuke zero mbili katika nambari ya kila sehemu. Wacha tuandike tena equation inayosababisha:
Kwa mujibu wa mali ya msingi ya uwiano, bidhaa ya maneno uliokithiri ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati. Kwa maneno mengine:
x = 375 95
Hizi ni nambari kubwa, kwa hivyo itabidi uzizidishe kwa safu. Acha nikukumbushe kwamba kutumia calculator kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati ni marufuku madhubuti. Tunapata:
x = 35,625
Jumla ya jibu: 35,625. Hii ndio hasa watu wangapi kati ya 37,500 ya awali walitatua tatizo B1 kwa usahihi. Kama unaweza kuona, nambari hizi ziko karibu sana, ambayo ina maana kwa sababu 95% pia iko karibu sana na 100%. Kwa ujumla, tatizo la kwanza limetatuliwa. Wacha tuendelee na ya pili.
Tatizo la riba #2
Kazi. Ni 80% tu ya wahitimu 45,000 wa jiji walitatua tatizo la B9 kwa usahihi. Ni watu wangapi walitatua tatizo B9 kimakosa?
Tunatatua kulingana na mpango sawa. Hapo awali kulikuwa na wahitimu 45,000 - hiyo ni 100%. Kisha, kutoka kwa nambari hii, unahitaji kuchagua wahitimu wa x, ambao wanapaswa kufanya 80% ya nambari ya awali. Tunatengeneza sehemu na kutatua:
45 000 — 100%
x - 80%
Wacha tupunguze sifuri moja kila moja kwenye nambari na denominator ya sehemu ya 2. Wacha tuandike tena muundo unaosababishwa tena:
Mali kuu ya uwiano: bidhaa ya masharti uliokithiri ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati. Tunapata:
45,000 8 = x 10
Huu ndio mlinganyo rahisi zaidi wa mstari. Wacha tuonyeshe kutofautisha x kutoka kwake:
x = 45,000 8:10
Tunapunguza 45,000 na 10 kwa sifuri moja, denominator inabaki moja, kwa hivyo tunachohitaji ni kupata thamani ya usemi:
x = 4500 8
Unaweza, bila shaka, kufanya sawa na mara ya mwisho na kuzidisha nambari hizi kwenye safu. Lakini tusifanye maisha yetu kuwa magumu, na badala ya kuzidisha safu, wacha tuzingatie hizo nane kwa sababu:
x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36,000
Na sasa - jambo muhimu zaidi ambalo nilizungumza mwanzoni mwa somo. Unahitaji kusoma kwa uangalifu masharti ya kazi!
Tunahitaji kujua nini? Ni watu wangapi walitatua tatizo B9 vibaya. Na tulipata tu wale watu ambao waliamua kwa usahihi. Hizi ziligeuka kuwa 80% ya nambari ya awali, i.e. 36,000. Hii ina maana kwamba ili kupata jibu la mwisho tunahitaji kutoa 80% yetu kutoka kwa idadi ya awali ya wanafunzi. Tunapata:
45 000 − 36 000 = 9000
Nambari inayotokana 9000 ni jibu la tatizo. Kwa jumla, katika jiji hili, kati ya wahitimu 45,000, watu 9,000 walitatua Tatizo B9 kimakosa. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.