Kwa urahisi wa kuzingatia kazi ya nguvu, tutazingatia kesi 4 tofauti: kazi ya nguvu iliyo na kipeo asilia, kazi ya nguvu iliyo na kipeo kamili, kazi ya nguvu iliyo na kipeo cha busara, na kazi ya nguvu iliyo na kipeo kisicho na mantiki.
Utendaji wa nguvu na kipeo asilia
Kwanza, hebu tuanzishe dhana ya shahada yenye kipeo asilia.
Ufafanuzi 1
Nguvu ya nambari halisi $a$ yenye kipeo asilia $n$ ni nambari inayolingana na bidhaa ya vipengele vya $n$, ambayo kila moja ni sawa na nambari $a$.
Picha 1.
$a$ ndio msingi wa shahada.
$n$ ndio kipeo.
Hebu sasa tuchunguze kazi ya nguvu na kielelezo cha asili, mali yake na grafu.
Ufafanuzi 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ inaitwa kazi ya kukokotoa yenye kipeo asilia.
Kwa urahisi zaidi, tunazingatia tofauti kazi ya nguvu iliyo na kipeo sawa $f\left(x\right)=x^(2n)$ na kitendakazi cha nguvu kilicho na kipeo kisicho cha kawaida $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.
Sifa za kazi ya nguvu iliyo na kielelezo sawa cha asili
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- kitendakazi ni sawa.
Eneo la thamani -- $\
Chaguo za kukokotoa hupungua kama $x\in (-\infty ,0)$ na huongezeka kama $x\in (0+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$
Chaguo za kukokotoa ni laini juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.
Tabia katika miisho ya kikoa:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Grafu (Mchoro 2).
Mchoro 2. Grafu ya kazi $f\left(x\right)=x^(2n)$
Sifa za kazi ya nguvu iliyo na kipeo cha asili isiyo ya kawaida
Kikoa cha ufafanuzi ni nambari zote halisi.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- chaguo la kukokotoa si la kawaida.
$f(x)$ inaendelea kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi.
Masafa ni nambari zote halisi.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Chaguo za kukokotoa huongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.
$f\left(x\kulia)0$, kwa $x\in (0+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \kushoto(2n-1\kulia)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Chaguo hili la kukokotoa ni laini kwa $x\in (-\infty ,0)$ na laini kwa $x\in (0+\infty)$.
Grafu (Mchoro 3).
Kielelezo 3. Grafu ya kazi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Utendakazi wa nguvu na kipeo kamili
Kwanza, hebu tuanzishe dhana ya digrii na kipeo kamili kamili.
Ufafanuzi 3
Nguvu ya nambari halisi $a$ yenye kipeo kamili $n$ inabainishwa na fomula:
Kielelezo cha 4.
Wacha sasa tuzingatie kazi ya nguvu na kielelezo kamili, mali yake na grafu.
Ufafanuzi 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ inaitwa kazi ya kukokotoa yenye kipeo kamili.
Ikiwa shahada ni kubwa kuliko sifuri, basi tunakuja kwenye kesi ya kazi ya nguvu na kielelezo cha asili. Tayari tumeijadili hapo juu. Kwa $n=0$ tunapata chaguo la kukokotoa la mstari $y=1$. Tutaacha kuzingatia kwa msomaji. Inabakia kuzingatia sifa za kazi ya nguvu na kipeo kamili cha nambari hasi
Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo kamili cha nambari hasi
Kikoa cha ufafanuzi ni $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.
Ikiwa kielelezo ni sawa, basi kazi ni sawa;
$f(x)$ inaendelea kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi.
Upeo:
Ikiwa kipeo ni sawa, basi $(0+\infty)$ ikiwa ni isiyo ya kawaida, basi $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.
Kwa kipeo kisicho kawaida, chaguo za kukokotoa hupungua kama $x\in \left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$. Kwa kipeo hata kimoja, chaguo za kukokotoa hupungua kama $x\in (0+\infty)$. na huongezeka kama $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi
Katika somo hili tutaendelea na utafiti wa kazi za nguvu na kipeo cha busara, na kuzingatia utendakazi na kipengee hasi cha kimantiki.
1. Dhana za msingi na ufafanuzi
Hebu tukumbuke sifa na grafu za kazi za nguvu na kipeo kamili cha nambari hasi.
Kwa hata n,:
Utendakazi wa mfano:
Grafu zote za kazi hizo hupitia pointi mbili zisizohamishika: (1;1), (-1;1). Upekee wa utendakazi wa aina hii ni usawa wao;
Mchele. 1. Grafu ya kipengele
Kwa isiyo ya kawaida n,:
Utendakazi wa mfano:
Grafu zote za kazi hizo hupitia pointi mbili zisizohamishika: (1;1), (-1;-1). Upekee wa kazi za aina hii ni kwamba ni zisizo za kawaida;
Mchele. 2. Grafu ya kipengele
2. Kazi na kielelezo hasi cha busara, grafu, mali
Wacha tukumbuke ufafanuzi wa kimsingi.
Nguvu ya nambari isiyo hasi A yenye kipeo chanya kimantiki inaitwa nambari.
Nguvu ya nambari chanya a yenye kipeo hasi kimantiki inaitwa nambari.
Kwa usawa:
Kwa mfano: 
; - usemi haupo, kwa ufafanuzi, wa shahada na kielelezo hasi cha busara; ipo kwa sababu kipeo ni kamili, 
Wacha tuendelee kuzingatia kazi za nguvu na kipeo cha busara cha hasi.
Kwa mfano:
Ili kupanga grafu ya kazi hii, unaweza kuunda meza. Tutafanya tofauti: kwanza tutajenga na kujifunza grafu ya denominator - inajulikana kwetu (Mchoro 3).
Mchele. 3. Grafu ya utendaji
Grafu ya kazi ya denominator inapita kwa uhakika uliowekwa (1;1). Wakati wa kupanga grafu ya kazi ya awali, hatua hii inabakia, wakati mzizi pia huwa na sifuri, kazi huwa na infinity. Na, kinyume chake, x inaelekea kutokuwa na mwisho, chaguo la kukokotoa huwa na sifuri (Mchoro 4).
Mchele. 4. Grafu ya kazi
Wacha tuchunguze kazi nyingine kutoka kwa familia ya kazi zinazosomwa.
Ni muhimu kwamba kwa ufafanuzi
Hebu fikiria grafu ya kazi katika denominator: , grafu ya kazi hii inajulikana kwetu, inaongezeka katika uwanja wake wa ufafanuzi na hupitia hatua (1; 1) (Mchoro 5).
Mchele. 5. Grafu ya utendaji
Wakati wa kupanga grafu ya kazi ya awali, hatua (1;1) inabakia, wakati mzizi pia huwa na sifuri, kazi huwa na infinity. Na, kinyume chake, x inaelekea kutokuwa na mwisho, chaguo la kukokotoa huwa na sifuri (Mchoro 6).
Mchele. 6. Grafu ya kipengele
Mifano iliyozingatiwa husaidia kuelewa jinsi grafu inavyotiririka na ni sifa gani za chaguo za kukokotoa zinazosomwa - chaguo la kukokotoa lenye kipeo cha busara hasi.
Grafu za majukumu ya familia hii hupitia nukta (1;1), chaguo la kukokotoa hupungua juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.
Upeo wa ufafanuzi wa kazi: 
Kazi sio mdogo kutoka juu, lakini ni mdogo kutoka chini. Chaguo la kukokotoa halina thamani kubwa zaidi au ndogo zaidi.
Chaguo la kukokotoa ni endelevu na huchukua thamani zote chanya kutoka sifuri hadi plus infinity.
Chaguo la kukokotoa ni laini kuelekea chini (Mchoro 15.7)
Pointi A na B huchukuliwa kwenye curve, sehemu hutolewa kupitia kwao, curve nzima iko chini ya sehemu hiyo, hali hii imeridhika kwa alama mbili za kiholela kwenye curve, kwa hivyo kazi ni laini chini. Mchele. 7.
Mchele. 7. Convexity ya utendaji
3. Kutatua matatizo ya kawaida
Ni muhimu kuelewa kwamba kazi za familia hii zimefungwa kutoka chini na sifuri, lakini hazina thamani ndogo.
Mfano 1 - pata kiwango cha juu na cha chini cha chaguo za kukokotoa kwenye muda)