Ứng dụng lượng giác trong vật lý và các bài toán của nó
Ứng dụng thực tế các phương trình lượng giác trong thực tế
Có nhiều lĩnh vực trong đó lượng giác được sử dụng. Ví dụ, phương pháp tam giác được sử dụng trong thiên văn học để đo khoảng cách đến các ngôi sao ở gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa các vật thể và trong các hệ thống định vị vệ tinh. Sin và cosin là nền tảng cho lý thuyết về hàm tuần hoàn, chẳng hạn như trong việc mô tả sóng âm thanh và sóng ánh sáng.
Lượng giác được sử dụng trong thiên văn học (đặc biệt là để tính toán vị trí của các thiên thể khi cần đến lượng giác hình cầu), trong điều hướng hàng hải và hàng không, trong lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, trong thống kê, trong sinh học, hình ảnh y học (như chụp cắt lớp vi tính và siêu âm), dược phẩm, hóa học, lý thuyết số, khí tượng học, hải dương học, nhiều lĩnh vực khác. khoa học vật lý, trong khảo sát đất đai và trắc địa, trong kiến trúc, ngữ âm, kinh tế, kỹ thuật điện, cơ khí, trong kỹ thuật dân dụng, V đồ họa máy tính, trong bản đồ học, tinh thể học, phát triển trò chơi và nhiều lĩnh vực khác.
Trong thế giới xung quanh chúng ta, chúng ta phải đối mặt với những quá trình định kỳ lặp lại đều đặn. Các quá trình này được gọi là dao động. Hiện tượng dao động nhiều bản chất vật lý tuân theo mẫu chung và mô tả các phương trình tương tự. Có khác nhau các loại hiện tượng dao động
Hiện tượng dao động điều hòa thay đổi định kỳ bất kỳ đại lượng nào mà tại đó sự phụ thuộc vào đối số có đặc tính của hàm sin hoặc hàm cosin. Ví dụ, một đại lượng thay đổi theo thời gian sẽ dao động điều hòa như sau:
Trong đó x là giá trị của đại lượng thay đổi, t là thời gian, A là biên độ dao động, ω là tần số tuần hoàn của dao động, là tổng pha của dao động, r - giai đoạn đầu do dự.
Dao động điều hòa tổng quát trong dạng vi phân x'' + ω²x = 0.
Một hòn đá được ném lên sườn núi một góc α so với bề mặt của nó. Xác định tầm bay của hòn đá nếu vận tốc ban đầu của hòn đá là v 0, góc nghiêng của núi so với đường chân trời là β. Bỏ qua sức cản của không khí.
Giải pháp. Chuyển động phức tạp của một hòn đá dọc theo một parabol phải được biểu diễn như là kết quả của sự chồng chất của hai chuyển động thẳng: một cái dọc theo bề mặt Trái đất, cái kia - bình thường đối với nó.
Hãy chọn hệ thống hình chữ nhật tọa độ với gốc tọa độ tại điểm ném hòn đá sao cho các trục CON BÒ ĐỰC Và ôi trùng hợp với theo các hướng đã chỉ định và tìm các thành phần của vectơ tốc độ ban đầu v 0 và gia tốc rơi tự do g dọc theo trục. Hình chiếu của các thành phần này lên trục CON BÒ ĐỰC Và ôi lần lượt bằng nhau:
v 0 cosα v 0 ; -g sinβ -g cosβ
Sau đó chuyển động phức tạp có thể coi là hai chuyển động đơn giản hơn: chuyển động chậm đều dọc theo bề mặt Trái đất với gia tốc g sinβ và chuyển động đều, vuông góc với sườn núi với gia tốc g cosβ.
Chúng ta soạn các phương trình chuyển động cho từng hướng, có tính đến thực tế là trong thời gian t của toàn bộ chuyển động, chuyển động của hòn đá dọc theo pháp tuyến đối với bề mặt (dọc theo trục ôi) hóa ra bằng 0, và dọc theo bề mặt (dọc theo trục CON BÒ ĐỰC) - bằng s:
Theo điều kiện của bài toán cho ta v 0 , α và β nên trong phương trình biên soạn có hai đại lượng chưa biết s và t1.
Từ phương trình đầu tiên, chúng ta xác định thời gian bay của hòn đá:
Thay biểu thức này vào phương trình thứ hai, chúng ta tìm thấy:
S= v 0 cosα∙ =
= 
Phân tích cách giải quyết vấn đề trên, chúng ta có thể kết luận rằng toán học có một bộ máy và việc sử dụng nó trong việc thực hiện các mối liên hệ liên ngành giữa vật lý và toán học dẫn đến nhận thức về sự thống nhất của thế giới và sự tích hợp của tri thức khoa học.
Toán học hoạt động như một loại ngôn ngữ cần thiết để mã hóa thông tin vật lý có ý nghĩa.
Việc sử dụng các kết nối liên ngành giữa vật lý và toán học dẫn đến sự so sánh giữa hai ngành khoa học này và giúp củng cố các kiến thức lý thuyết và toán học chất lượng cao. đào tạo thực hành thực tập sinh.
Nhu cầu giải tam giác lần đầu tiên được phát hiện trong thiên văn học; do đó, từ lâu, lượng giác đã được phát triển và nghiên cứu như một trong những nhánh của thiên văn học.
Bảng vị trí của Mặt trời và Mặt trăng do Hipparchus biên soạn cho phép tính toán trước thời điểm bắt đầu nhật thực (với sai số 1-2 giờ). Hipparchus là người đầu tiên sử dụng các phương pháp trong thiên văn học lượng giác hình cầu. Ông đã tăng độ chính xác của các quan sát bằng cách sử dụng các đường chéo trong các dụng cụ đo góc - kính lục phân và góc phần tư - để chỉ vào ngôi sao sáng. Nhà khoa học đã biên soạn một danh mục khổng lồ về vị trí của 850 ngôi sao vào thời điểm đó, chia chúng theo độ sáng thành 6 độ ( độ lớn). Hipparchus được giới thiệu tọa độ địa lý- vĩ độ và kinh độ, và ông có thể được coi là người sáng lập ra toán học địa lý. (khoảng 190 TCN - khoảng 120 TCN)
Lượng giác trong y họcNgười đứng đầu: Kozlova Lyudmila Vasilievna
Mục đích công việc: Nghiên cứu ứng dụng lượng giác trong y học. Sau khi hoàn thành công việc, tôi nghiên cứu ứng dụng lượng giác trong y học: tổng hợp nhịp sinh học của con người, tim mạch. Nó cung cấp cơ sở để xây dựng các công thức cho các cơ quan của con người, sau này sẽ giúp điều trị bất kỳ bệnh nào. công việc này cho biết kiến thức về lượng giác được sử dụng trong lĩnh vực y học nào. Nhờ công việc này, tôi đã học được những nguyên tắc cơ bản của việc đọc điện tâm đồ và có thể phân biệt độc lập kết quả kiểm tra bình thường với những sai lệch rõ ràng.
GIỚI THIỆU
Mức độ liên quan: Lần đầu tiên tôi biết đến lượng giác là vào năm lớp 8, khi chúng tôi bắt đầu nghiên cứu những kiến thức cơ bản của phần toán học này. Những quy tắc đơn giản nhất để xác định sin và cos có vẻ rất dễ đối với tôi, nên tôi đã không gọi mối quan tâm đặc biệt. Sau này, khi bắt đầu học lớp 10, tôi nhận ra ngay rằng lượng giác là một nhánh lớn của toán học kết hợp số lượng lớn kiến thức và lý thuyết. Sau này tôi phát hiện ra rằng kiến thức về lượng giác rất phổ biến cho mọi lĩnh vực hoạt động. Chúng được sử dụng rộng rãi trong thiên văn học, địa lý, lý thuyết âm nhạc, phân tích thị trường tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, y học, dược phẩm, hóa học, mật mã và nhiều lĩnh vực khác.
Lượng giác (từ tiếng Hy Lạp τρίγωνον (tam giác) và tiếng Hy Lạp μέτρεο (số đo), nghĩa là phép đo các hình tam giác) là một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và cách sử dụng chúng trong hình học.
Thuật ngữ “lượng giác” được đưa vào sử dụng vào năm 1595 bởi nhà toán học và thần học người Đức Bartholomew Pitiscus, tác giả cuốn sách giáo khoa về lượng giác và bảng lượng giác. Đến cuối thế kỷ 16. số đông hàm lượng giácđã được biết đến, mặc dù khái niệm này vẫn chưa tồn tại.
Các nhà khoa học đã xử lý dữ liệu đo lường để duy trì lịch và xác định chính xác thời điểm bắt đầu gieo hạt và thu hoạch, ngày tháng ngày lễ tôn giáo. Các ngôi sao được sử dụng để tính toán vị trí của một con tàu trên biển hoặc hướng di chuyển của một đoàn lữ hành trên sa mạc. Như bạn đã biết, lượng giác không chỉ được sử dụng trong toán học mà còn được sử dụng trong các lĩnh vực khoa học khác. Công trình này cho biết kiến thức hình học của y học được áp dụng ở lĩnh vực nào.
Một trong những ứng dụng chính là tim mạch. Máy ECG lấy điện tâm đồ từ mọi người, ghi lại nhịp tim của họ. Sau khi trao đổi với chuyên gia đọc đồ thị điện tâm đồ, tôi được biết rằngđồ thị là một sóng hình sin đã được sửa đổi. Và ở đây mọi sự bất thường trong lịch trình đều quan trọng. Số lượng khoảng và răng, số bước nhảy tối đa và tối thiểu, độ dài của các khoảng thời gian: tất cả điều này diễn ra vai trò quan trọng trong việc xác định chẩn đoán và điều trị đúng.
NỘI DUNG CHÍNH
MỤC ĐÍCH: Nghiên cứu ứng dụng lượng giác trong y học.
NHIỆM VỤ:
Nghiên cứu lịch sử lượng giác.
Tìm hiểu những lĩnh vực nào của lượng giác y học được sử dụng.
Hoàn thành phần thực hành của bài, tìm hiểu nguyên tắc mà bác sĩ tim mạch dựa vào khi đọc đồ thị điện tâm đồ.
1.2.LỊCH SỬ
Đầu tiên bảng lượng giác dường như được biên soạn bởi Hipparchus, người ngày nay được mệnh danh là “cha đẻ của lượng giác”.
Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đã sử dụng kỹ thuật hợp âm trong các công trình của họ liên quan đến việc đo các cung của một đường tròn. Một đường thẳng vuông góc với dây, hạ xuống từ tâm đường tròn, chia đôi cung và dây nằm trên nó. Một nửa dây chia đôi là sin nửa góc, và do đó hàm sin còn được gọi là "nửa hợp âm". Để bù đắp cho việc thiếu bảng hợp âm, toán học từ thời Aristarchus đôi khi sử dụng một định lý nổi tiếng, theo ký hiệu hiện đại -
ở đâu 0°< β < α < 90°,
Các bảng lượng giác đầu tiên có lẽ được biên soạn bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN). Hipparchus là người đầu tiên lập bảng giá trị tương ứng của cung và dây cung cho một loạt góc. Sử dụng có hệ thống vòng tròn đầy đủ 360° được thành lập chủ yếu nhờ Hipparchus.
Sau này, Claudius Ptolemy (90 - 168 AD) đã mở rộng "Hợp âm trong vòng tròn" của Hipparchus trong cuốn "Almagest" của ông. Mười ba cuốn sách của Almagest - ý nghĩa nhất công thức lượng giác của mọi thời cổ đại. Sau đó, Ptolemy rút ra công thức nửa góc. Ptolemy đã sử dụng những kết quả này để tạo ra các bảng lượng giác của mình, những bảng này vẫn chưa tồn tại cho đến ngày nay.
Việc thay thế các hợp âm bằng các xoang là thành tựu chính của Ấn Độ thời trung cổ. Từ thế kỷ thứ 8, các nhà khoa học từ các quốc gia Cận Đông và Trung Đông đã phát triển lượng giác. Sau khi các chuyên luận của các nhà khoa học Hồi giáo được dịch sang tiếng Latinh, nhiều ý tưởng đã trở thành tài sản của khoa học châu Âu và thế giới.
2. Lượng giác trong y học
2.1.THỊT SINH HỌC
Nhịp sinh học là những thay đổi lặp lại theo định kỳ về bản chất và cường độ của các quá trình và hiện tượng sinh học. Chúng là đặc trưng của vật chất sống ở mọi cấp độ tổ chức của nó - từ phân tử đến sinh quyển. Một số nhịp sinh học tương đối độc lập (nhịp tim, nhịp thở), một số khác lại liên quan đến sự thích nghi của sinh vật với các chu kỳ địa vật lý - chu kỳ hàng ngày (dao động về cường độ phân chia tế bào, trao đổi chất).
Từ ngày sinh ra một người có ba, nhịp sinh học: thể chất, tình cảm và trí tuệ.
Chu kỳ vật lý bằng 23 ngày. Nó quyết định năng lượng, sức mạnh, sức bền và sự phối hợp vận động của một người.
Chu kỳ cảm xúc (28 ngày) quyết định trạng thái hệ thần kinh và tâm trạng.
Chu kỳ trí tuệ (33 ngày) quyết định khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân.
Bất kỳ chu kỳ nào cũng bao gồm hai nửa chu kỳ, dương và âm.
Trong nửa đầu của chu kỳ thể chất, một người tràn đầy năng lượng và đạt được kết quả tốt nhất trong các hoạt động của mình; trong nửa sau của chu kỳ, năng lượng nhường chỗ cho sự lười biếng.
Trong nửa đầu của chu kỳ cảm xúc, một người vui vẻ, hung hăng, lạc quan, đánh giá quá cao khả năng của mình, trong nửa sau, anh ta cáu kỉnh, dễ bị kích động, đánh giá thấp khả năng của mình, bi quan và phân tích mọi thứ một cách phê phán.
Hình.1. Nhịp sinh học
Mô hình nhịp sinh học được xây dựng bằng cách sử dụng đồ thị hàm lượng giác. Có một số lượng lớn các trang web trên Internet tính toán nhịp sinh học. Để thực hiện việc này, bạn cần nhập ngày sinh của người đó (ngày, tháng, năm) và thời lượng dự báo.
2.2. CÔNG THỨC TIM
Là kết quả nghiên cứu được thực hiện bởi sinh viên Vahid-Reza Abbasi của Đại học Shiraz, Iran, lần đầu tiên các bác sĩ đã có thể sắp xếp thông tin liên quan đến điện tâm đồ.
Công thức, được gọi là Tehran,là một đẳng thức đại số-lượng giác phức tạp bao gồm 8 biểu thức, 32 hệ số và 33 tham số chính, bao gồm một số tham số bổ sung để tính toán trong trường hợp rối loạn nhịp tim. Theo các bác sĩ, công thức này hỗ trợ rất nhiều cho quá trình mô tả các thông số chính của hoạt động của tim, đẩy nhanh quá trình chẩn đoán và bắt đầu điều trị..
Hiện tại, thông tin chính xác về vấn đề này vẫn chưa được biết; công việc tích cực và nghiên cứu về chủ đề này.
Các nhà khoa học Nga đã phát hiện ra công thức toán học trái tim. Nhờ những phương trình này, bất kỳ bệnh tim nào cũng có thể được tính toán, dự đoán và ngăn ngừa. Phòng thí nghiệm sinh lý toán học duy nhất ở Nga hoạt động tại Viện Miễn dịch học và Sinh lý học Yekaterinburg.
Vấn đề mô tả toán học chức năng sinh lý cơ thể là vấn đề quan trọng thứ hai sau vấn đề DNA của con người. Trong tương lai, công thức cho các cơ quan khác của con người sẽ được tính toán và các bác sĩ sẽ sử dụng phương trình cơ bản sẽ có thể dự đoán và điều trị bất kỳ bệnh nào.
Con người là một cơ chế phức tạp trong đó thể chất và quá trình hóa học. Nếu tất cả các quy trình được dịch sang ngôn ngữ của các phương trình thì sẽ có thể rút ra một công thức duy nhất của con người.
Các nhà toán học đã tạo ra một mô hình cơ tim mà các nhà sinh học gần như đã kết nối với mô sống thực. TRONG chương trình máy tính các nhà khoa học đặt nhiều gánh nặng khác nhau lên tim và quan sát cách nó hoạt động. Bằng cách nghiên cứu tất cả các loại thuật toán mô phỏng hoạt động của tim, các nhà khoa học sẽ có thể đưa ra những dự đoán thực tế.
2. 3. ĐIỆN TIM
Áp dụng ở mục đích thực tế vào những năm 70 của thế kỷ 19 bởi người Anh A. Waller, một thiết bị ghi lại hoạt động điện của tim vẫn tiếp tục phục vụ con người cho đến ngày nay. Điện tâm đồ cho phép bạn xác định những sai lệch rõ ràng so với nhịp tim bình thường, chẳng hạn như nhồi máu cơ tim, bệnh tim mạch vành, nhịp tim chậm xoang, nhịp tim nhanh, rối loạn nhịp tim, hội chứng xoang bệnh, v.v. Làm thế nào để phân biệt hình ảnh ECG bình thường với các bệnh rõ rệt?
3.PHẦN THỰC HÀNH CỦA CÔNG VIỆC
Sau khi được trao đổi với chuyên gia giải thích điện tâm đồ tại bệnh viện, tôi đã học được rất nhiều thông tin hữu ích cho công việc nghiên cứu của mình.
Đồ thị điện tâm đồ là một sóng hình sin biến đổi. Và ở đây mọi sự bất thường trong lịch trình đều quan trọng. Số lượng khoảng cách và răng, số lần nhảy tối đa và tối thiểu, độ dài của các khoảng thời gian: tất cả những điều này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định chẩn đoán và tính đúng đắn của việc điều trị. Vì vậy, đồ thị ECG luôn được in trên giấy vẽ đồ thị.
Khi diễn giải kết quả ECG, khoảng thời gian giữa các thành phần của nó sẽ được đo. Tính toán này là cần thiết để đánh giá tần số nhịp, trong đó hình dạng và kích thước của răng ở các chuyển đạo khác nhau sẽ là một chỉ số về bản chất của nhịp xảy ra. hiện tượng điện trong trái tim và hoạt động điện từng phần riêng lẻ của cơ tim, tức là điện tâm đồ cho thấy tim chúng ta hoạt động như thế nào trong một khoảng thời gian nhất định.
Việc giải thích ECG chặt chẽ hơn được thực hiện bằng cách phân tích và tính toán diện tích của răng bằng cách sử dụng các đạo trình đặc biệt, tuy nhiên, trên thực tế, chúng thực hiện với chỉ báo hướng của trục điện, là một vectơ tổng.
Có nhiều cách khác nhau để giải thích ECG. Một số chuyên gia dựa vào công thức và tính toán mọi thứ theo chúng; Vì vậy, nhịp tim có thể được tính bằng công thức: Ở đâuR- Rkhoảng thời gian và một số sử dụng dữ liệu làm sẵn, điều này cũng không bị y học gia đình cấm. Hình 2 cho thấy kết quả tính toán nhịp tim tùy theo khoảng thời gian.
Hình 2
Hình 2. Đánh giá NER
Hình 3. Các loại điện tâm đồ
Hình 3 cho thấy ba loại điện tâm đồ. Điện tâm đồ đầu tiên của một người khỏe mạnh, thứ hai của cùng một người, chỉ có nhịp tim nhanh xoang, sau hoạt động thể chất, và thứ ba là điện tâm đồ của một người bệnh bị rối loạn nhịp xoang.
PHẦN KẾT LUẬN:
Sau khi hoàn thành công việc, tôi nghiên cứu ứng dụng lượng giác trong y học: tổng hợp nhịp sinh học của con người, tim mạch. Nó cung cấp cơ sở để xây dựng các công thức cho các cơ quan của con người, sau này sẽ giúp điều trị bất kỳ bệnh nào. Nhờ công việc này, tôi đã học được những nguyên tắc cơ bản của việc đọc điện tâm đồ và có thể phân biệt độc lập kết quả kiểm tra bình thường với những sai lệch rõ ràng.
DANH MỤC THƯ VIỆN
Điện tâm đồ: Sách giáo khoa. trợ cấp. -Ấn bản thứ 5. – M.: MEDpress-inform, 2001. – 312 tr., ill.
Nguồn Internet: Giải phẫu van vành/Giáo sư, Tiến sĩ y khoa. Khoa học Yu.P. Ostrovsky
Giới thiệu
Các quá trình thực tế trong thế giới xung quanh thường gắn liền với một số lượng lớn các biến và sự phụ thuộc giữa chúng. Những sự phụ thuộc này có thể được mô tả bằng cách sử dụng các hàm. Khái niệm “chức năng” đã chơi và tiếp tục chơi vai trò lớn trong nhận thức thế giới thực. Kiến thức về các thuộc tính của chức năng cho phép chúng ta hiểu bản chất của các quá trình đang diễn ra, dự đoán quá trình phát triển và quản lý chúng. Chức năng học tập là liên quan Luôn luôn.
Mục tiêu: xác định mối liên hệ giữa hàm số lượng giác với các hiện tượng của thế giới xung quanh và cho thấy các hàm số này được ứng dụng rộng rãi trong đời sống.
nhiệm vụ:
1. Nghiên cứu tài liệu và tài nguyên truy cập từ xa về chủ đề của dự án.
2. Tìm hiểu những định luật tự nhiên nào được biểu diễn bằng hàm lượng giác.
3. Tìm ví dụ về việc sử dụng hàm lượng giác ở thế giới bên ngoài.
4. Phân tích, hệ thống hóa tài liệu sẵn có.
5. Chuẩn bị tài liệu đã chuẩn bị theo yêu cầu của dự án thông tin.
6. Xây dựng bài thuyết trình điện tử phù hợp với nội dung của dự án.
7. Phát biểu tại hội nghị về kết quả công việc đã thực hiện.
Ở giai đoạn chuẩn bị Tôi tìm thấy tài liệu về chủ đề này và đọc nó, đưa ra các giả thuyết và đưa ra mục tiêu cho dự án của mình. Tôi bắt đầu tìm kiếm thông tin cần thiết, nghiên cứu tài liệu về chủ đề của tôi và tài liệu từ các nguồn truy cập từ xa.
Ở giai đoạn chính, thông tin về chủ đề đã được chọn lọc và tích lũy, đồng thời các tài liệu tìm được sẽ được phân tích. Tôi đã tìm ra ứng dụng chính của hàm lượng giác. Tất cả các dữ liệu đã được tổng hợp và hệ thống hóa. Sau đó, phiên bản cuối cùng toàn diện của dự án thông tin đã được phát triển và một bài thuyết trình về chủ đề nghiên cứu đã được biên soạn.
Ở giai đoạn cuối Việc trình bày tác phẩm cho cuộc thi đã được phân tích. Ở giai đoạn này, các hoạt động cũng phải thực hiện đầy đủ các nhiệm vụ được giao, tổng hợp kết quả, tức là đánh giá các hoạt động của mình.
Bình minh và hoàng hôn, các giai đoạn thay đổi của mặt trăng, sự luân phiên của các mùa, nhịp tim, các chu kỳ trong đời sống của cơ thể, vòng quay của bánh xe, thủy triều và thủy triều xuống - mô hình của các quá trình đa dạng này được mô tả bằng các hàm lượng giác.
Lượng giác trong vật lý.
Trong công nghệ và thế giới xung quanh chúng ta, chúng ta thường phải đối mặt với các quá trình định kỳ (hoặc gần như định kỳ) lặp lại đều đặn. Các quá trình như vậy được gọi là dao động. Các hiện tượng dao động có tính chất vật lý khác nhau đều tuân theo các quy luật chung. Ví dụ, những biến động hiện tại trong mạch điện và dao động của một con lắc toán học có thể được mô tả bằng các phương trình tương tự. Điểm chung của các mô hình dao động cho phép chúng ta xem xét các quá trình dao động có tính chất khác nhau từ một quan điểm duy nhất. Cùng với sự tiến bộ và chuyển động quay Trong cơ học các vật thể, chuyển động dao động cũng được quan tâm đáng kể.
Rung động cơ học là những chuyển động của các vật thể lặp lại chính xác (hoặc xấp xỉ) trong những khoảng thời gian bằng nhau. Định luật chuyển động của một vật dao động được xác định bằng cách sử dụng một hàm tuần hoàn nhất định theo thời gian x = f(t). Hình ảnh đồ họa chức năng này mang lại đại diện trực quan về dòng chảy quá trình dao độngđúng lúc. Một ví dụ về loại sóng này là sóng truyền dọc theo một sợi dây cao su bị căng hoặc dọc theo một sợi dây.
Ví dụ đơn giản hệ thống dao động có thể đóng vai trò là tải trọng lên lò xo hoặc con lắc toán học (Hình 1).
Hình.1. Hệ dao động cơ học.
Các rung động cơ học, giống như các quá trình dao động thuộc bất kỳ bản chất vật lý nào khác, có thể tự do và cưỡng bức. Dao động tự do xảy ra dưới tác dụng nội lực hệ sau khi hệ mất cân bằng. Dao động của tải trọng lên lò xo hoặc dao động của con lắc là rung động miễn phí. Dao động xảy ra dưới tác dụng của các lực thay đổi tuần hoàn từ bên ngoài được gọi là dao động cưỡng bức.
Hình 2 biểu diễn đồ thị tọa độ, tốc độ và gia tốc của một vật đang thực hiện dao động điều hòa.
Loại quá trình dao động đơn giản nhất là dao động điều hòa đơn giản, được mô tả bằng phương trình:
x = m cos (ωt + f 0).
Hình 2 - Đồ thị tọa độ x(t), vận tốc υ(t)
và gia tốc a(t) của một vật thực hiện dao động điều hòa.
Sóng âm hay đơn giản âm thanh là tên gọi của các sóng mà tai con người cảm nhận được.
Nếu dao động của các hạt bị kích thích ở bất kỳ nơi nào trong môi trường rắn, lỏng hoặc khí thì do sự tương tác giữa các nguyên tử và phân tử của môi trường, dao động bắt đầu được truyền từ điểm này sang điểm khác với tốc độ đầu cuối. Quá trình truyền dao động trong môi trường gọi là sóng.
Sóng hài đơn giản hoặc sóng hình sin rất được quan tâm trong thực hành. Chúng được đặc trưng bởi biên độ A của dao động của hạt, tần số f và bước sóng λ. Sóng hình sin lan truyền trong môi trường đồng nhất với tốc độ không đổi nhất định υ.
Nếu thị giác của con người có khả năng nhìn thấy âm thanh, sóng điện từ và sóng vô tuyến, thì chúng ta sẽ nhìn thấy vô số hình sin đủ loại xung quanh mình.
Chắc hẳn ai cũng đã hơn một lần quan sát hiện tượng các vật được thả xuống nước ngay lập tức thay đổi kích thước và tỷ lệ. Hiện tượng thú vị, bạn nhúng tay mình vào nước và ngay lập tức nó biến thành tay của người khác. Tại sao điều này lại xảy ra? Câu trả lời cho câu hỏi này và giải thích chi tiết Hiện tượng này, như mọi khi, được cung cấp bởi vật lý - một môn khoa học có thể giải thích hầu hết mọi thứ xung quanh chúng ta trên thế giới này.
Vì vậy, trên thực tế, khi ngâm trong nước, các vật thể tất nhiên không thay đổi kích thước cũng như hình dáng của chúng. Đây chỉ đơn giản là một hiệu ứng quang học, tức là chúng ta nhìn nhận vật thể này một cách khác biệt. Điều này xảy ra do tài sản chùm ánh sáng. Hóa ra tốc độ truyền ánh sáng bị ảnh hưởng rất lớn bởi cái gọi là mật độ quang học môi trường. Môi trường quang học này càng đặc thì chùm ánh sáng truyền đi càng chậm.
Nhưng ngay cả sự thay đổi tốc độ của chùm sáng cũng không giải thích đầy đủ hiện tượng mà chúng ta đang xem xét. Có một yếu tố khác. Vì vậy, khi một chùm ánh sáng đi qua ranh giới giữa môi trường quang học kém đậm đặc hơn, chẳng hạn như không khí, và môi trường quang học dày đặc hơn, chẳng hạn như nước, một phần của chùm ánh sáng không xuyên qua được bên trong. môi trường mới nhưng bị phản xạ khỏi bề mặt của nó. Phần còn lại của chùm sáng xuyên vào bên trong nhưng đổi hướng.
Hiện tượng này được gọi là khúc xạ ánh sáng, và từ lâu các nhà khoa học không chỉ quan sát được mà còn tính toán chính xác góc khúc xạ này. Hóa ra các công thức lượng giác đơn giản nhất và kiến thức về sin của góc tới và góc khúc xạ giúp người ta có thể tìm ra hệ số không đổi khúc xạ khi tia sáng truyền từ môi trường này sang môi trường khác. Ví dụ, chiết suất của không khí cực kỳ nhỏ và lên tới 1,0002926, chiết suất của nước cao hơn một chút - 1,332986, kim cương khúc xạ ánh sáng với hệ số 2,419 và silicon - 4,010.
Hiện tượng này nằm ở cơ sở của cái gọi là Lý thuyết cầu vồng. Lý thuyết cầu vồng lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1637 bởi Rene Descartes. Ông giải thích cầu vồng là hiện tượng liên quan đến sự phản xạ và khúc xạ ánh sáng trong hạt mưa.
Cầu vồng xuất hiện vì Ánh sáng mặt trời Sự khúc xạ của giọt nước lơ lửng trong không khí tuân theo định luật khúc xạ:
trong đó n 1 =1, n 2 ≈1,33 lần lượt là chiết suất của không khí và nước, α là góc tới và β là góc khúc xạ của ánh sáng.
Ứng dụng lượng giác trong nghệ thuật và kiến trúc.
Kể từ khi con người bắt đầu tồn tại trên trái đất, khoa học đã trở thành nền tảng để cải thiện cuộc sống hàng ngày và các lĩnh vực khác của cuộc sống. Cơ sở của mọi thứ do con người tạo ra là nhiều hướng khác nhau trong khoa học tự nhiên và toán học. Một trong số đó là hình học. Kiến trúc không phải là lĩnh vực khoa học duy nhất sử dụng các công thức lượng giác. Hầu hết các quyết định bố cục và xây dựng bản vẽ đều diễn ra chính xác với sự trợ giúp của hình học. Nhưng dữ liệu lý thuyết có ý nghĩa rất ít. Chúng ta hãy xem xét một ví dụ về việc xây dựng một tác phẩm điêu khắc của một bậc thầy nghệ thuật người Pháp trong Thời kỳ hoàng kim.
Mối quan hệ tỷ lệ trong việc xây dựng bức tượng là lý tưởng. Tuy nhiên, khi bức tượng được nâng lên bệ cao trông rất xấu xí. Nhà điêu khắc đã không tính đến việc trong phối cảnh, về phía chân trời, nhiều chi tiết bị giảm bớt và khi nhìn từ dưới lên không còn tạo được ấn tượng về tính lý tưởng của nó. Nhiều tính toán đã được thực hiện sao cho hình với độ cao trông có vẻ cân xứng. Chúng chủ yếu dựa trên phương pháp quan sát, tức là đo gần đúng bằng mắt. Tuy nhiên, hệ số chênh lệch của các tỷ lệ nhất định đã giúp con số này gần với lý tưởng hơn. Do đó, khi biết khoảng cách gần đúng từ bức tượng đến điểm nhìn, cụ thể là từ đỉnh tượng đến mắt người và chiều cao của bức tượng, chúng ta có thể tính sin của góc tới của điểm nhìn bằng bảng, từ đó tìm ra quan điểm (Hình 4).
Trong Hình 5, tình huống thay đổi, do bức tượng được nâng lên độ cao AC và NS tăng lên, chúng ta có thể tính các giá trị cosin của góc C và từ bảng chúng ta sẽ tìm được góc tới của cái nhìn. Trong quá trình này, bạn có thể tính AN, cũng như sin của góc C, điều này sẽ cho phép bạn kiểm tra kết quả bằng cách sử dụng hàm chính nhận dạng lượng giác cos 2 a+ sin 2 a = 1.
Bằng cách so sánh số đo AN trong trường hợp thứ nhất và thứ hai, người ta có thể tìm ra hệ số tỷ lệ. Sau đó, chúng ta sẽ nhận được một bản vẽ, và sau đó là một tác phẩm điêu khắc, khi nâng lên, hình dáng sẽ gần với lý tưởng hơn về mặt hình ảnh
Những tòa nhà mang tính biểu tượng trên toàn thế giới được thiết kế nhờ toán học, có thể coi là thiên tài của kiến trúc. Một số ví dụ nổi tiếng những tòa nhà như: Trường trẻ em Gaudi ở Barcelona, Tòa nhà chọc trời Mary Axe ở London, Nhà máy rượu vang Bodegas Isios ở Tây Ban Nha, Nhà hàng ở Los Manantiales ở Argentina. Khi thiết kế những tòa nhà này, lượng giác đã được tham gia.
Lượng giác trong sinh học.
Một trong những đặc tính cơ bản của thiên nhiên sống là tính chất chu kỳ của hầu hết các quá trình xảy ra trong đó. Giữa phong trào thiên thể và các sinh vật sống trên Trái Đất có mối liên hệ với nhau. Các sinh vật sống không chỉ thu được ánh sáng và sức nóng của Mặt trời và Mặt trăng mà còn có nhiều cơ chế khác nhau xác định chính xác vị trí của Mặt trời, phản ứng với nhịp thủy triều, các pha của Mặt trăng và chuyển động của hành tinh chúng ta.
Nhịp sinh học nhịp sinh học, ít nhiều là những thay đổi thường xuyên về bản chất và cường độ của các quá trình sinh học. Khả năng thực hiện những thay đổi như vậy trong hoạt động sống là do di truyền và có ở hầu hết các sinh vật sống. Chúng có thể được quan sát thấy trong từng tế bào, mô và cơ quan, toàn bộ sinh vật và quần thể. Nhịp sinh học được chia thành sinh lý, có khoảng thời gian từ một phần giây đến vài phút và môi trường, thời lượng trùng với bất kỳ nhịp điệu nào môi trường. Chúng bao gồm nhịp điệu hàng ngày, theo mùa, hàng năm, thủy triều và mặt trăng. Nhịp sống chính của trái đất là hàng ngày, được xác định bởi sự quay của Trái đất quanh trục của nó, do đó hầu như tất cả các quá trình trong cơ thể sống đều có tính tuần hoàn hàng ngày.
Nhiều yếu tố môi trường trên hành tinh của chúng ta, chủ yếu là điều kiện ánh sáng, nhiệt độ, áp suất không khí và độ ẩm, trường khí quyển và điện từ, thủy triều, thay đổi một cách tự nhiên dưới tác động của vòng quay này.
Chúng ta có bảy mươi lăm phần trăm là nước, và nếu vào thời điểm trăng tròn, nước của các đại dương trên thế giới dâng cao 19 mét so với mực nước biển và thủy triều bắt đầu, thì nước trong cơ thể chúng ta cũng tràn vào phần trên cơ thể của chúng tôi. Và những người với huyết áp cao Những đợt trầm trọng của bệnh thường được quan sát thấy trong những thời kỳ này, và những người theo chủ nghĩa tự nhiên thu thập dược liệu biết chính xác vào giai đoạn nào của mặt trăng để thu thập “ngọn - (quả)” và trong đó - “rễ”.
Bạn có nhận thấy rằng ở những giai đoạn nhất định, cuộc đời bạn có những bước nhảy vọt không thể giải thích được không? Đột nhiên, không biết từ đâu, cảm xúc dâng trào. Độ nhạy tăng lên, có thể thay đổi đột ngột hoàn toàn thờ ơ. Những ngày sáng tạo và không có kết quả, những khoảnh khắc vui và buồn, tâm trạng thất thường đột ngột. Cần lưu ý rằng khả năng cơ thể con người thay đổi định kỳ. Kiến thức này làm nền tảng cho “lý thuyết về ba nhịp sinh học”.
Nhịp sinh học vật lý – quy định hoạt động thể chất. Trong nửa đầu của chu kỳ thể chất, một người tràn đầy năng lượng và đạt được kết quả tốt hơn trong các hoạt động của mình (nửa sau - năng lượng nhường chỗ cho sự lười biếng).
Nhịp điệu cảm xúc– trong thời gian hoạt động, độ nhạy tăng lên và tâm trạng được cải thiện. Một người trở nên dễ bị kích động trước những thảm họa bên ngoài khác nhau. Nếu anh ấy có tâm trạng tốt, anh xây lâu đài trên không, mơ được yêu và được yêu. Khi nhịp sinh học cảm xúc giảm, sự suy giảm xảy ra sức mạnh tinh thần, ham muốn và tâm trạng vui vẻ biến mất.
Nhịp sinh học trí tuệ - nó kiểm soát trí nhớ, khả năng học hỏi, tư duy logic. Trong pha hoạt động có sự gia tăng và trong pha thứ hai có sự suy giảm hoạt động sáng tạo, thiếu may mắn và thành công.
Lý thuyết về ba nhịp điệu.
· 
Chu kỳ vật lý - 23 ngày. Xác định năng lượng, sức mạnh, sức bền, sự phối hợp vận động
· Chu kỳ cảm xúc - 28 ngày. Trạng thái của hệ thần kinh và tâm trạng
· Chu kỳ trí tuệ - 33 ngày. quyết định khả năng sáng tạo của cá nhân
Lượng giác cũng xảy ra trong tự nhiên. Chuyển động của cá trong nước xảy ra theo định luật sin hoặc cos, nếu bạn cố định một điểm trên đuôi rồi xét quỹ đạo chuyển động. Khi bơi, thân cá có dạng một đường cong giống như đồ thị của hàm số y=tgx.
Khi chim bay, quỹ đạo vỗ cánh của chim tạo thành hình sin.
Lượng giác trong y học.
Là kết quả của một nghiên cứu do sinh viên Vahid-Reza Abbasi của Đại học Shiraz thực hiện, các bác sĩ lần đầu tiên có thể sắp xếp thông tin liên quan đến hoạt động điện của tim, hay nói cách khác là điện tâm đồ.
Công thức, được gọi là Tehran, đã được trình bày trước cộng đồng khoa học nói chung tại hội nghị y học địa lý lần thứ 14 và sau đó là tại hội nghị lần thứ 28 về việc sử dụng công nghệ máy tính trong khoa tim mạch, được tổ chức tại Hà Lan.
Công thức này là một phương trình đại số-lượng giác phức tạp bao gồm 8 biểu thức, 32 hệ số và 33 tham số chính, bao gồm một số tham số bổ sung để tính toán trong trường hợp rối loạn nhịp tim. Theo các bác sĩ, công thức này hỗ trợ rất nhiều cho quá trình mô tả các thông số chính của hoạt động của tim, từ đó đẩy nhanh quá trình chẩn đoán và bắt đầu điều trị.
Nhiều người phải thực hiện đo tâm đồ tim nhưng ít ai biết rằng tâm đồ tim người là đồ thị hình sin hoặc cosin.
Lượng giác giúp não chúng ta xác định khoảng cách đến các vật thể. Các nhà khoa học Mỹ cho rằng bộ não ước tính khoảng cách đến các vật thể bằng cách đo góc giữa mặt phẳng trái đất và mặt phẳng tầm nhìn. Kết luận này được đưa ra sau một loạt thí nghiệm trong đó người tham gia được yêu cầu xem xét thế giới xung quanh chúng ta qua lăng kính làm tăng góc này.
Sự biến dạng này dẫn đến thực tế là những người mang lăng kính thử nghiệm nhận thấy các vật thể ở xa gần hơn và không thể đối phó với các thử nghiệm đơn giản nhất. Một số người tham gia thí nghiệm thậm chí còn nghiêng người về phía trước, cố gắng căn chỉnh cơ thể của họ vuông góc với bề mặt trái đất được tưởng tượng không chính xác. Tuy nhiên, sau 20 phút họ đã quen với nhận thức méo mó và mọi vấn đề đều biến mất. Tình huống này cho thấy tính linh hoạt của cơ chế mà não điều chỉnh hệ thống thị giác để thay đổi các điều kiện bên ngoài. Điều thú vị cần lưu ý là sau khi lấy lăng kính ra, người ta quan sát thấy nó được một thời gian. tác dụng ngược- đánh giá quá cao khoảng cách.
Kết quả của nghiên cứu mới, như người ta có thể giả định, sẽ được các kỹ sư thiết kế hệ thống định vị cho robot cũng như các chuyên gia làm việc để tạo ra các mô hình ảo thực tế nhất quan tâm. Các ứng dụng trong lĩnh vực y học cũng có thể thực hiện được trong việc phục hồi chức năng cho những bệnh nhân bị tổn thương ở một số vùng não.
Phần kết luận
Hiện nay phép tính lượng giácđược sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực hình học, vật lý và kỹ thuật. Giá trị lớn có một kỹ thuật tam giác cho phép bạn đo khoảng cách đến các ngôi sao gần đó trong thiên văn học, giữa các mốc trong địa lý và điều khiển hệ thống định vị vệ tinh. Cũng đáng chú ý là các ứng dụng của lượng giác trong các lĩnh vực như lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, thống kê, y học (bao gồm siêu âm và chụp cắt lớp vi tính), dược phẩm, hóa học, lý thuyết số, địa chấn, khí tượng học, hải dương học , bản đồ học, nhiều ngành vật lý, địa hình và trắc địa, kiến trúc, kinh tế, kỹ thuật điện tử, cơ khí, đồ họa máy tính, tinh thể học.
Kết luận:
· Chúng tôi phát hiện ra rằng lượng giác ra đời do nhu cầu đo góc, nhưng theo thời gian nó đã phát triển thành khoa học về hàm lượng giác.
· Chúng tôi đã chứng minh lượng giác có liên quan chặt chẽ với vật lý, sinh học và được tìm thấy trong tự nhiên, kiến trúc và y học.
· Chúng tôi nghĩ rằng lượng giác đã đi vào cuộc sống của chúng ta và các lĩnh vực mà nó đóng vai trò quan trọng sẽ tiếp tục mở rộng.
Văn học
1. Alimov Sh.A. và cộng sự. Sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” cho lớp 10-11 của các cơ sở giáo dục phổ thông, M., Prosveshchenie, 2010.
2. Vilenkin N.Ya. Chức năng trong tự nhiên và công nghệ: Sách. cho ngoại khóa bài đọc lớp IX-XX. – tái bản lần thứ 2, có sửa lại - M: Khai sáng, 1985.
3. Glazer G.I. Lịch sử toán học ở trường: lớp IX-X. - M.: Giáo dục, 1983.
4. Maslova T.N. “Hướng dẫn học sinh học toán”
5. Rybnikov K.A. Lịch sử toán học: Sách giáo khoa. - M.: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Mátxcơva, 1994.
6. Ucheba.ru
7. “Thư viện” Math.ru
căn chỉnh=trung tâm>
lượng giác- một phần toán học vi mô trong đó nghiên cứu mối quan hệ giữa các giá trị của các góc và độ dài các cạnh của tam giác, cũng như các đặc tính đại số của các hàm lượng giác.
Có nhiều lĩnh vực sử dụng hàm lượng giác và lượng giác. Hàm lượng giác hoặc hàm lượng giác được sử dụng trong thiên văn học, hàng hải và hàng không, âm học, quang học, điện tử, kiến trúc và các lĩnh vực khác.
Lịch sử hình thành lượng giác
Lịch sử lượng giác, khoa học về mối quan hệ giữa các góc và cạnh của một tam giác và các tam giác khác hình dạng hình học, kéo dài hơn hai thiên niên kỷ. Hầu hết các mối quan hệ này không thể được thể hiện bằng cách sử dụng thông thường phép toán đại số, và do đó cần phải đưa ra các hàm lượng giác đặc biệt, ban đầu được trình bày dưới dạng bảng số.
Các nhà sử học tin rằng lượng giác được tạo ra bởi các nhà thiên văn học cổ đại và một thời gian sau nó bắt đầu được sử dụng trong kiến trúc. Theo thời gian, phạm vi lượng giác không ngừng mở rộng và ngày nay nó bao gồm hầu hết mọi thứ. khoa học tự nhiên, công nghệ và một số lĩnh vực hoạt động khác.
Những thế kỷ đầu
Phép đo góc quen thuộc theo độ, phút và giây bắt nguồn từ toán học Babylon (việc đưa các đơn vị này vào toán học Hy Lạp cổ đại thường được cho là vào thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên).
Thành tựu chính của thời kỳ này là mối quan hệ giữa hai chân và cạnh huyền trong một tam giác vuông, sau này được gọi là định lý Pythagore.
Hy Lạp cổ đại
Trình bày tổng thể, mạch lạc, logic tỉ số lượng giác xuất hiện trong hình học Hy Lạp cổ đại. Các nhà toán học Hy Lạp vẫn chưa xác định lượng giác là một môn khoa học riêng biệt; đối với họ nó là một phần của thiên văn học.
Thành tựu chính của người xưa lý thuyết lượng giácđã trở thành quyết định trong cái nhìn tổng quát bài toán “giải tam giác”, tức là tìm các phần tử chưa biết của tam giác dựa trên ba đã cho các phần tử của nó (trong đó có ít nhất một phần tử là một cạnh).
Đã áp dụng bài toán lượng giác Chúng rất đa dạng - ví dụ, có thể chỉ định kết quả thực tế có thể đo lường được của các hành động đối với các đại lượng được liệt kê (ví dụ: tổng các góc hoặc tỷ số độ dài của các cạnh).
Song song với sự phát triển của lượng giác phẳng, người Hy Lạp dưới ảnh hưởng của thiên văn học đã phát triển lượng giác cầu rất tiên tiến. Trong cuốn Cơ sở của Euclid chỉ có một định lý về chủ đề này về tỉ số thể tích của các hình cầu có đường kính khác nhau, nhưng nhu cầu của thiên văn học và bản đồ học đã khiến cho phát triển nhanh chóng lượng giác cầu và các lĩnh vực liên quan - hệ thống tọa độ thiên thể, lý thuyết về phép chiếu bản đồ, công nghệ thiết bị thiên văn.
thời trung cổ
Vào thế kỷ thứ 4, sau cái chết của khoa học cổ đại, trung tâm phát triển của toán học chuyển sang Ấn Độ. Họ đã thay đổi một số khái niệm về lượng giác, đưa chúng đến gần hơn với những khái niệm hiện đại: ví dụ, họ là những người đầu tiên đưa cosin vào sử dụng.
Chuyên luận chuyên ngành đầu tiên về lượng giác là tác phẩm của nhà khoa học Trung Á (thế kỷ X-XI) “Sách Chìa khóa của Khoa học Thiên văn học” (995-996). Toàn bộ khóa học lượng giác bao gồm tác phẩm chính của Al-Biruni - “The Canon of Mas'ud” (Quyển III). Ngoài các bảng sin (với bước tăng 15"), Al-Biruni còn đưa ra các bảng tiếp tuyến (với bước tăng 1°).
Sau khi các chuyên luận Ả Rập được đưa vào Thế kỷ XII-XIIIđược dịch sang tiếng Latin, nhiều ý tưởng của các nhà toán học Ấn Độ và Ba Tư đã trở thành tài sản của khoa học châu Âu. Rõ ràng, sự làm quen đầu tiên của người châu Âu với lượng giác đã diễn ra nhờ zij, hai bản dịch được thực hiện vào thế kỷ 12.
Tác phẩm đầu tiên ở châu Âu hoàn toàn dành riêng cho lượng giác thường được gọi là “Bốn luận thuyết về dây thẳng và dây đảo ngược” của nhà thiên văn học người Anh Richard xứ Wallingford (khoảng năm 1320). Các bảng lượng giác, thường được dịch từ tiếng Ả Rập, nhưng đôi khi là bản gốc, có trong tác phẩm của một số tác giả khác ở thế kỷ 14-15. Đồng thời, lượng giác đã chiếm vị trí trong các khóa học đại học.
Thời gian mới
Sự phát triển của lượng giác trong thời hiện đại trở nên cực kỳ quan trọng không chỉ đối với thiên văn học và chiêm tinh học mà còn đối với các ứng dụng khác, chủ yếu là pháo binh, quang học và điều hướng tầm xa. du lịch biển. Vì vậy, sau thế kỷ 16, nhiều nhà khoa học kiệt xuất đã nghiên cứu chủ đề này, trong đó có Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Francois Viète. Copernicus dành hai chương cho lượng giác trong chuyên luận Về Sự quay của ông. thiên cầu"(1543). Chẳng bao lâu (1551) bảng lượng giác gồm 15 chữ số của Rheticus, một học trò của Copernicus, xuất hiện. Kepler xuất bản tác phẩm “Phần quang học của thiên văn học” (1604).
Việt, trong phần đầu của cuốn “Toán học Canon” (1579), bao gồm nhiều bảng khác nhau, trong đó có bảng lượng giác, và trong phần thứ hai, ông đã trình bày một cách chi tiết và có hệ thống, mặc dù không có bằng chứng, về lượng giác phẳng và lượng giác cầu. Năm 1593, Việt chuẩn bị ấn bản mở rộng tác phẩm lớn này.
Nhờ công trình của Albrecht Durer, sóng hình sin đã ra đời.
thế kỷ XVIII
Lượng giác đã mang lại một cái nhìn hiện đại. Trong chuyên luận “Giới thiệu về phân tích các số vô hạn” (1748), Euler đã đưa ra định nghĩa về các hàm lượng giác tương đương với hàm lượng giác hiện đại và từ đó định nghĩa các hàm nghịch đảo.
Euler coi các góc âm và các góc lớn hơn 360° là có thể chấp nhận được, điều này cho phép xác định các hàm lượng giác trên toàn bộ trục số thực và sau đó mở rộng chúng sang mặt phẳng phức. Khi đặt ra câu hỏi về việc mở rộng các hàm lượng giác cho các góc tù, dấu của các hàm này trước Euler thường được chọn sai; nhiều nhà toán học đã xem xét, ví dụ, cosine và tang góc tù tích cực. Euler xác định những dấu hiệu này cho các góc trong các góc phần tư tọa độ khác nhau dựa trên các công thức rút gọn.
Lý thuyết tổng quát chuỗi lượng giác Euler không nghiên cứu và không nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kết quả nhưng thu được một số kết quả quan trọng. Đặc biệt, ông đã rút ra được khai triển lũy thừa nguyên của sin và cos.
Ứng dụng lượng giác
Theo cách riêng của họ, những người nói rằng lượng giác không cần thiết trong cuộc sống thực là đúng. Vâng, cô ấy thường xuyên thế nào bài toán ứng dụng? Đo khoảng cách giữa các vật thể không thể tiếp cận.
Tầm quan trọng lớn nhất là kỹ thuật tam giác, cho phép người ta đo khoảng cách đến các ngôi sao gần đó trong thiên văn học, giữa các mốc trong địa lý và điều khiển hệ thống định vị vệ tinh. Cũng đáng chú ý là ứng dụng lượng giác trong các lĩnh vực như công nghệ định vị, lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, y học (bao gồm siêu âm và chụp cắt lớp vi tính), dược phẩm, hóa học, lý thuyết số ( và, do đó, mật mã), địa chấn, khí tượng học, hải dương học, bản đồ học, nhiều ngành vật lý, địa hình và trắc địa, kiến trúc, ngữ âm, kinh tế, kỹ thuật điện tử, cơ khí, đồ họa máy tính, tinh thể học, v.v.
Phần kết luận: lượng giác là một người trợ giúp rất lớn trong cuộc sống hàng ngày.
Lịch sử của lượng giác gắn bó chặt chẽ với thiên văn học, vì để giải quyết các vấn đề của khoa học này mà các nhà khoa học cổ đại bắt đầu nghiên cứu mối quan hệ của các đại lượng khác nhau trong một tam giác.
Ngày nay, lượng giác là một nhánh toán học vi mô nghiên cứu mối quan hệ giữa các giá trị của các góc và độ dài của các cạnh của tam giác, đồng thời liên quan đến việc phân tích các đặc tính đại số của các hàm lượng giác.
Thuật ngữ “lượng giác”
Bản thân thuật ngữ này, cái tên đã đặt cho nhánh toán học này, lần đầu tiên được phát hiện trong tựa đề của một cuốn sách do nhà toán học người Đức Pitiscus viết năm 1505. Từ “lượng giác” có nguồn gốc Hy Lạp và có nghĩa là "đo một hình tam giác." Nói chính xác hơn, chúng ta không nói về phép đo theo nghĩa đen của hình này, mà là về giải pháp của nó, nghĩa là xác định giá trị của các phần tử chưa biết bằng cách sử dụng các phần tử đã biết.
Thông tin chung về lượng giác
Lịch sử lượng giác bắt đầu từ hơn hai nghìn năm trước. Ban đầu, sự xuất hiện của nó gắn liền với nhu cầu làm rõ mối quan hệ giữa các góc và cạnh của một hình tam giác. Trong quá trình nghiên cứu, rõ ràng là việc biểu diễn toán học của các mối quan hệ này đòi hỏi phải đưa vào các hàm lượng giác đặc biệt, ban đầu được thiết kế dưới dạng bảng số.
Đối với nhiều ngành khoa học liên quan đến toán học, động lực phát triển chính là lịch sử lượng giác. Nguồn gốc của đơn vị đo góc (độ), gắn liền với sự nghiên cứu của các nhà khoa học Babylon cổ đại, dựa trên hệ thống số lục thập phân, dẫn đến hệ thống số thập phân hiện đại, được sử dụng trong nhiều ngành khoa học ứng dụng.
Người ta cho rằng lượng giác ban đầu tồn tại như một phần của thiên văn học. Sau đó, nó bắt đầu được sử dụng trong kiến trúc. Và theo thời gian, tính hữu ích của việc áp dụng khoa học này vào khu vực khác nhau hoạt động của con người. Đặc biệt, đó là thiên văn học, hàng hải và hàng không, âm học, quang học, điện tử, kiến trúc và những lĩnh vực khác.
Lượng giác trong những thế kỷ đầu
Được hướng dẫn bởi dữ liệu về các di tích khoa học còn sót lại, các nhà nghiên cứu kết luận rằng lịch sử của lượng giác gắn liền với công trình của nhà thiên văn học người Hy Lạp Hipparchus, người đầu tiên nghĩ đến việc tìm cách giải các hình tam giác (hình cầu). Tác phẩm của ông có niên đại từ thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên.
Cũng là một trong thành tựu quan trọng nhất những lúc đó là sự quyết định mối quan hệ giữa hai chân và cạnh huyền trong tam giác vuông, sau này được gọi là định lý Pythagore.
Lịch sử phát triển lượng giác ở Hy Lạp cổ đại gắn liền với tên tuổi của nhà thiên văn học Ptolemy - tác giả của thuyết địa tâm thống trị trước Copernicus.
Các nhà thiên văn học Hy Lạp không biết sin, cos và tang. Họ đã sử dụng các bảng cho phép họ tìm giá trị dây cung của một đường tròn bằng cách sử dụng một cung phụ. Đơn vị đo hợp âm là độ, phút và giây. Một độ bằng một phần sáu mươi của bán kính.
Ngoài ra, nghiên cứu của người Hy Lạp cổ đại đã thúc đẩy sự phát triển của lượng giác hình cầu. Đặc biệt, Euclid trong cuốn “Các nguyên lý” của mình đã đưa ra một định lý về các quy luật quan hệ giữa thể tích của các hình cầu. đường kính khác nhau. Các tác phẩm của ông trong lĩnh vực này đã trở thành một động lực cho sự phát triển của lĩnh vực liên quan kiến thức. Đặc biệt, đây là công nghệ của các thiết bị thiên văn, lý thuyết về phép chiếu bản đồ, hệ tọa độ thiên thể, v.v.
Thời Trung cổ: nghiên cứu của các nhà khoa học Ấn Độ
Các nhà thiên văn học thời trung cổ của Ấn Độ đã đạt được thành công đáng kể. Cái chết của khoa học cổ đại vào thế kỷ thứ 4 đã dẫn đến sự dịch chuyển trung tâm phát triển toán học sang Ấn Độ.
Lịch sử của sự xuất hiện của lượng giác như một phần riêng biệt của việc giảng dạy toán học bắt đầu từ thời Trung cổ. Khi đó các nhà khoa học đã thay thế các hợp âm bằng các xoang. Khám phá này giúp đưa ra các hàm liên quan đến nghiên cứu các cạnh và góc. Đó là lúc lượng giác bắt đầu tách ra khỏi thiên văn học, trở thành một nhánh của toán học.
Aryabhata có các bảng sin đầu tiên; chúng được vẽ qua 3 o, 4 o, 5 o. Sau đó, các phiên bản chi tiết của các bảng này xuất hiện: đặc biệt, Bhaskara đã đưa ra một bảng gồm các sin theo 1 o.
Chuyên luận chuyên ngành đầu tiên về lượng giác xuất hiện vào thế kỷ 10-11. Tác giả của nó là nhà khoa học Trung Á Al-Biruni. Và trong tác phẩm chính của mình, “The Canon of Mas'ud” (Quyển III), tác giả thời Trung cổ thậm chí còn đi sâu hơn vào lượng giác, đưa ra một bảng các sin (với khoảng tăng 15 inch) và một bảng tiếp tuyến (với khoảng tăng 1°). ).
Lịch sử phát triển lượng giác ở châu Âu
Sau khi dịch các chuyên luận tiếng Ả Rập sang tiếng Latinh (thế kỷ XII-XIII), hầu hết ý tưởng của các nhà khoa học Ấn Độ và Ba Tư đều được vay mượn khoa học châu Âu. Những đề cập đầu tiên về lượng giác ở châu Âu có từ thế kỷ 12.
Theo các nhà nghiên cứu, lịch sử lượng giác ở châu Âu gắn liền với tên tuổi của Richard người Anh ở Wallingford, người đã trở thành tác giả của bài tiểu luận “Bốn chuyên luận về hợp âm thẳng và đảo ngược”. Chính tác phẩm của ông đã trở thành tác phẩm đầu tiên hoàn toàn dành cho lượng giác. Đến thế kỷ 15, nhiều tác giả đã đề cập đến hàm lượng giác trong tác phẩm của mình.
Lịch sử lượng giác: Thời hiện đại
Trong thời hiện đại, hầu hết các nhà khoa học bắt đầu nhận ra tầm quan trọng tột độ của lượng giác không chỉ trong thiên văn học và chiêm tinh học mà còn trong các lĩnh vực khác của cuộc sống. Trước hết, đây là pháo binh, quang học và dẫn đường trong những chuyến đi biển dài ngày. Vì vậy, vào nửa sau thế kỷ 16, chủ đề này được nhiều nhân vật lỗi lạc thời bấy giờ quan tâm, trong đó có Nicolaus Copernicus và Francois Vieta. Copernicus đã dành một số chương cho lượng giác trong chuyên luận “Về sự quay của các thiên thể” (1543). Một lát sau, vào những năm 60 của thế kỷ 16, Rheticus, một sinh viên của Copernicus, đã trích dẫn các bảng lượng giác gồm mười lăm chữ số trong tác phẩm “Phần quang học của thiên văn học” của mình.
Trong “Toán học Canon” (1579), ông đưa ra một mô tả chi tiết và có hệ thống, mặc dù chưa được chứng minh, đặc tính của lượng giác phẳng và lượng giác hình cầu. Và Albrecht Durer chính là người đã tạo ra làn sóng hình sin.
Công lao của Leonhard Euler
Đưa ra nội dung và hình thức lượng giác hiện đại là công lao của Leonhard Euler. Luận thuyết "Giới thiệu về phân tích các số vô hạn" (1748) của ông chứa định nghĩa về thuật ngữ "hàm lượng giác" tương đương với định nghĩa hiện đại. Như vậy, nhà khoa học này đã có thể xác định được. Nhưng đó chưa phải là tất cả.
Việc định nghĩa các hàm lượng giác trên toàn bộ trục số trở nên khả thi nhờ vào nghiên cứu của Euler không chỉ về các góc âm cho phép mà còn về các góc lớn hơn 360°. Chính ông là người đầu tiên chứng minh trong tác phẩm của mình rằng cosin và tiếp tuyến góc vuông tiêu cực. Việc mở rộng lũy thừa số nguyên của cosin và sin cũng là công lao của nhà khoa học này. Lý thuyết tổng quát Chuỗi lượng giác và nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kết quả không phải là đối tượng nghiên cứu của Euler. Tuy nhiên, trong khi nghiên cứu các vấn đề liên quan, ông đã có nhiều khám phá trong lĩnh vực này. Chính nhờ công trình của ông mà lịch sử lượng giác được tiếp tục. Trong các tác phẩm của mình, ông đã đề cập ngắn gọn đến các vấn đề về lượng giác cầu.
Ứng dụng của lượng giác
Lượng giác không áp dụng khoa học ứng dụng, trong cuộc sống thực tế hàng ngày, nhiệm vụ của nó hiếm khi được áp dụng. Tuy nhiên, thực tế này không làm giảm tầm quan trọng của nó. Ví dụ, rất quan trọng là kỹ thuật tam giác, cho phép các nhà thiên văn đo chính xác khoảng cách đến các ngôi sao gần đó và giám sát hệ thống định vị vệ tinh.
Lượng giác cũng được sử dụng trong điều hướng, lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, y học (ví dụ, trong giải mã các bài kiểm tra siêu âm, siêu âm và chụp cắt lớp vi tính), dược phẩm, hóa học, lý thuyết số, địa chấn, khí tượng học, hải dương học, bản đồ học, nhiều lĩnh vực vật lý, địa hình và trắc địa, kiến trúc, ngữ âm, kinh tế, công nghệ điện tử, cơ khí, đồ họa máy tính, tinh thể học, v.v. Lịch sử lượng giác và vai trò của nó trong nghiên cứu tự nhiên và toán học khoa học vẫn được nghiên cứu cho đến ngày nay. Có lẽ trong tương lai sẽ còn có nhiều lĩnh vực ứng dụng hơn nữa.
Lịch sử nguồn gốc của các khái niệm cơ bản
Lịch sử xuất hiện và phát triển của lượng giác đã có hơn một thế kỷ. Giới thiệu các khái niệm làm cơ sở cho phần này khoa học toán học, cũng không phải là tức thời.
Vì vậy, khái niệm “sin” có ý nghĩa rất lịch sử lâu dài. Đề cập đến các mối quan hệ khác nhau các đoạn hình tam giác và hình tròn được tìm thấy trong các công trình khoa học có niên đại từ thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. Các công trình của các nhà khoa học cổ đại vĩ đại như Euclid, Archimedes và Apollonius xứ Perga đã chứa đựng những nghiên cứu đầu tiên về những mối quan hệ này. Những khám phá mới đòi hỏi phải làm rõ một số thuật ngữ nhất định. Vì vậy, nhà khoa học Ấn Độ Aryabhata đã đặt tên cho hợp âm là “jiva”, có nghĩa là “dây cung”. Khi Ả Rập văn bản toán họcđược dịch sang tiếng Latin, thuật ngữ này được thay thế bằng một chữ sin có nghĩa tương tự (tức là “uốn cong”).
Từ "cosine" xuất hiện muộn hơn nhiều. Thuật ngữ này là phiên bản rút gọn của cụm từ Latin "sine bổ sung".
Sự xuất hiện của các tiếp tuyến gắn liền với việc giải mã bài toán xác định độ dài của bóng. Thuật ngữ “tiếp tuyến” được giới thiệu vào thế kỷ thứ 10 bởi nhà toán học Ả Rập Abu-l-Wafa, người đã biên soạn các bảng đầu tiên để xác định tiếp tuyến và cotang. Nhưng các nhà khoa học châu Âu không hề biết về những thành tựu này. nhà toán học người Đức và nhà thiên văn học Regimontanus đã khám phá lại những khái niệm này vào năm 1467. Việc chứng minh định lý tiếp tuyến là công lao của ông. Và thuật ngữ này được dịch là “quan tâm”.