Cùng với chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của các vật thể trong cơ học, chuyển động dao động cũng được quan tâm đáng kể. Rung động cơ học là những chuyển động của các vật thể lặp lại chính xác (hoặc xấp xỉ) trong những khoảng thời gian bằng nhau. Định luật chuyển động của một vật dao động được xác định bằng một hàm tuần hoàn nhất định của thời gian x = f (t). Biểu diễn đồ họa của hàm này đưa ra biểu diễn trực quan về quá trình của quá trình dao động theo thời gian.
Ví dụ về hệ dao động đơn giản là tải trọng tác dụng lên một lò xo hoặc một con lắc toán học (Hình 2.1.1).
Các rung động cơ học, giống như các quá trình dao động thuộc bất kỳ bản chất vật lý nào khác, có thể miễn phí Và bị ép. Rung động miễn phí được cam kết dưới ảnh hưởng Nội lực hệ sau khi hệ mất cân bằng. Dao động của vật nặng vào lò xo và dao động của con lắc đều là dao động tự do. Dao động xảy ra dưới tác dụng bên ngoài lực thay đổi định kỳ được gọi là bị ép .
Loại quá trình dao động đơn giản nhất là đơn giản dao động điều hòa , được mô tả bởi phương trình
|
x = x mcos(ω t + φ 0). |
Đây x- Vật bị dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng x m - biên độ dao động, tức là độ dịch chuyển cực đại so với vị trí cân bằng, ω - tần số tuần hoàn hoặc tuần hoàn do dự, t- thời gian. Đại lượng dưới dấu cosin φ = ω t+ φ 0 được gọi là giai đoạn quá trình điều hòa. Tại t= 0 φ = φ 0 nên φ 0 được gọi là giai đoạn đầu. Khoảng thời gian tối thiểu để lặp lại một chuyển động của cơ thể được gọi là chu kỳ dao động T. Đại lượng vật lý nghịch đảo với chu kỳ dao động được gọi là tần số rung:
Tần số dao động f cho biết có bao nhiêu dao động xảy ra trong 1 s. Đơn vị tần số - hertz(Hz). Tần số dao động f liên quan đến tần số tuần hoàn ω và chu kỳ dao động T tỷ lệ:
Trong bộ lễ phục. 2.1.2 chỉ ra các vị trí của vật ở những khoảng thời gian bằng nhau trong quá trình dao động điều hòa. Một bức ảnh như vậy có thể thu được bằng thực nghiệm bằng cách chiếu sáng một vật dao động bằng những tia sáng ngắn có chu kỳ ( ánh sáng nhấp nháy). Các mũi tên biểu thị vectơ vận tốc của vật tại các thời điểm khác nhau.
Cơm. 2.1.3 minh họa sự thay đổi xảy ra trên đồ thị của một quá trình điều hòa nếu biên độ dao động thay đổi x m, hoặc khoảng thời gian T(hoặc tần số f), hoặc pha ban đầu φ 0.
Khi vật dao động điều hòa theo một đường thẳng (trục CON BÒ ĐỰC) vectơ vận tốc luôn hướng dọc theo đường thẳng này. Tốc độ υ = υ x chuyển động của cơ thể được quyết định bởi biểu hiện
Trong toán học, quy trình tìm giới hạn của một tỷ số tại Δ t→ 0 được gọi là tính đạo hàm của hàm số x (t) theo thời gian t và được ký hiệu là hoặc là x"(t) hoặc cuối cùng, như . Đối với định luật điều hòa của chuyển động, việc tính đạo hàm dẫn đến kết quả sau:
Sự xuất hiện của số hạng + π / 2 trong đối số cosin có nghĩa là có sự thay đổi trong pha ban đầu. Giá trị tuyệt đối lớn nhất của tốc độ υ = ω x m đạt được tại những thời điểm khi cơ thể đi qua vị trí cân bằng ( x= 0). Gia tốc được xác định tương tự Một = Mộtx vật thể khi dao động điều hòa:
do đó gia tốc Một bằng đạo hàm của hàm υ ( t) theo thời gian t, hoặc đạo hàm bậc hai của hàm x (t). Tính toán cho:
Dấu trừ trong biểu thức này có nghĩa là gia tốc Một (t) luôn có dấu ngược lại với độ dịch chuyển x (t), và do đó, theo định luật II Newton, lực làm vật thực hiện dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng ( x = 0).
(lat. biên độ- độ lớn) là độ lệch lớn nhất của vật dao động so với vị trí cân bằng của nó.
Đối với một con lắc, đây là khoảng cách tối đa mà quả bóng di chuyển ra khỏi vị trí cân bằng của nó (hình bên dưới). Đối với các dao động có biên độ nhỏ, khoảng cách như vậy có thể lấy bằng độ dài của cung 01 hoặc 02 và độ dài của các đoạn này.
Biên độ dao động được đo bằng đơn vị chiều dài - mét, cm, v.v. Trên biểu đồ dao động, biên độ được xác định là tọa độ cực đại (modulo) của đường cong hình sin (xem hình bên dưới).
Chu kỳ dao động.
Chu kỳ dao động- đây là khoảng thời gian ngắn nhất mà qua đó một hệ dao động trở lại trạng thái cũ tại thời điểm ban đầu, được chọn tùy ý.
Nói cách khác, chu kì dao động ( T) là thời gian xảy ra một dao động toàn phần. Ví dụ, trong hình bên dưới, đây là thời gian để con lắc chuyển động từ điểm ngoài cùng bên phải đến điểm cân bằng VỀđến điểm ngoài cùng bên trái và quay lại điểm VỀ một lần nữa về phía bên phải.
Do đó, trong toàn bộ chu kỳ dao động, vật truyền được một đường có biên độ bằng bốn. Chu kỳ dao động được đo bằng đơn vị thời gian - giây, phút, v.v. Chu kỳ dao động có thể được xác định từ biểu đồ dao động nổi tiếng (xem hình bên dưới).
Nói đúng ra, khái niệm “chu kỳ dao động” chỉ có giá trị khi các giá trị của đại lượng dao động được lặp lại chính xác sau một khoảng thời gian nhất định, tức là đối với các dao động điều hòa. Tuy nhiên, khái niệm này cũng áp dụng cho các trường hợp có đại lượng gần như lặp lại, ví dụ, đối với dao động tắt dần.
Tần số dao động.
Tần số dao động- đây là số dao động được thực hiện trong một đơn vị thời gian, ví dụ: trong 1 s.
Đơn vị tần số SI được đặt tên hertz(Hz) để vinh danh nhà vật lý người Đức G. Hertz (1857-1894). Nếu tần số dao động ( v) bằng 1 Hz, điều này có nghĩa là mỗi giây có một dao động. Tần số và chu kỳ dao động liên hệ với nhau bởi hệ thức:
Trong lý thuyết dao động họ cũng sử dụng khái niệm mang tính chu kỳ, hoặc tần số tròn ω . Nó liên quan đến tần số bình thường v và chu kì dao động T tỷ lệ:
.
Tần số tuần hoàn là số lượng dao động được thực hiện mỗi 2π giây
Dao động điều hòa là hiện tượng biến đổi tuần hoàn của một đại lượng nào đó, trong đó sự phụ thuộc vào đối số có tính chất hàm sin hoặc hàm cosin. Ví dụ: một đại lượng dao động điều hoà và thay đổi theo thời gian như sau:
trong đó x là giá trị của đại lượng thay đổi, t là thời gian, các tham số còn lại không đổi: A là biên độ dao động, ω là tần số tuần hoàn của dao động, là toàn pha của dao động, là pha ban đầu của dao động.
Dao động điều hòa tổng quát ở dạng vi phân
(Bất kỳ nghiệm không tầm thường nào của phương trình vi phân này đều là dao động điều hòa có tần số tuần hoàn)
Các loại rung động
Dao động tự do xảy ra dưới tác dụng của nội lực của hệ sau khi hệ đã bị đưa ra khỏi vị trí cân bằng. Để các dao động tự do điều hòa, hệ thống dao động cần phải tuyến tính (được mô tả bằng các phương trình chuyển động tuyến tính) và không có sự tiêu tán năng lượng trong nó (điều này sẽ gây ra sự suy giảm).
Dao động cưỡng bức xảy ra dưới tác dụng của một ngoại lực tuần hoàn. Để chúng điều hòa, chỉ cần hệ dao động là tuyến tính (được mô tả bằng phương trình chuyển động tuyến tính) là đủ và bản thân ngoại lực thay đổi theo thời gian dưới dạng dao động điều hòa (nghĩa là sự phụ thuộc thời gian của lực này là hình sin) .
phương trình điều hòa
|
Phương trình (1)
|
cho biết sự phụ thuộc của giá trị dao động S vào thời gian t; đây là phương trình dao động điều hòa tự do ở dạng rõ ràng. Tuy nhiên, thông thường phương trình dao động được hiểu là một cách biểu diễn khác của phương trình này, ở dạng vi phân. Để xác định, chúng ta lấy phương trình (1) ở dạng
Hãy phân biệt nó hai lần theo thời gian:
Có thể thấy rằng mối quan hệ sau đây giữ:
được gọi là phương trình dao động điều hòa tự do (ở dạng vi phân). Phương trình (1) là nghiệm của phương trình vi phân (2). Vì phương trình (2) là phương trình vi phân bậc hai nên cần có hai điều kiện ban đầu để thu được nghiệm hoàn chỉnh (nghĩa là xác định các hằng số A và có trong phương trình (1); ví dụ, vị trí và tốc độ của hệ dao động tại thời điểm t = 0.
Con lắc toán học là một bộ dao động, là một hệ cơ học bao gồm một điểm vật chất nằm trên một sợi không giãn không trọng lượng hoặc trên một thanh không trọng lượng trong một trường đều của lực hấp dẫn. Chu kỳ dao động tự nhiên nhỏ của một con lắc toán học có chiều dài l, treo yên trong một trường hấp dẫn đều với gia tốc rơi tự do g, bằng
và không phụ thuộc vào biên độ và khối lượng của con lắc.
Con lắc vật lý là một bộ dao động, là một vật rắn dao động trong một trường của bất kỳ lực nào so với một điểm không phải là tâm khối của vật này hoặc một trục cố định vuông góc với hướng tác dụng của các lực và không đi qua khối tâm của vật này.
Đây là một dao động tuần hoàn trong đó tọa độ, tốc độ, gia tốc đặc trưng cho chuyển động thay đổi theo định luật sin hoặc cos. Phương trình dao động điều hòa xác lập sự phụ thuộc tọa độ của vật vào thời gian
Đồ thị cosin tại thời điểm ban đầu có giá trị lớn nhất và đồ thị sin có giá trị bằng 0 tại thời điểm ban đầu. Nếu chúng ta bắt đầu khảo sát dao động từ vị trí cân bằng thì dao động sẽ lặp lại theo hình sin. Nếu chúng ta bắt đầu xét dao động từ vị trí có độ lệch cực đại thì dao động sẽ được mô tả bằng cosin. Hoặc một dao động như vậy có thể được mô tả bằng công thức sin với pha ban đầu.
con lắc toán học
|
Dao động của một con lắc toán học. |
|
|
con lắc toán học - một điểm vật chất được treo trên một sợi dây không dãn không trọng lượng (mô hình vật lý). |
|
|
Chúng ta sẽ xét chuyển động của con lắc với điều kiện góc lệch nhỏ, khi đó, nếu chúng ta đo góc bằng radian thì phát biểu sau đây là đúng: . |
|
|
Lực hấp dẫn và lực căng của sợi dây tác dụng lên cơ thể. Tổng hợp của các lực này có hai thành phần: tiếp tuyến, làm thay đổi gia tốc về độ lớn và pháp tuyến, làm thay đổi gia tốc có hướng (gia tốc hướng tâm, vật chuyển động theo hình vòng cung). |
|
|
Bởi vì góc nhỏ thì thành phần tiếp tuyến bằng hình chiếu của trọng lực lên tiếp tuyến của quỹ đạo: . Góc tính bằng radian bằng tỷ lệ giữa chiều dài cung với bán kính (chiều dài của sợi) và chiều dài cung xấp xỉ bằng độ dịch chuyển (): | |
|
x ≈ s Chúng ta hãy so sánh phương trình thu được với phương trình chuyển động dao động. | |
|
Có thể thấy rằng or là tần số tuần hoàn trong quá trình dao động của một con lắc toán học. |
Chu kỳ dao động hoặc (công thức Galileo). |
|
công thức Galileo | |
|
Kết luận quan trọng nhất: chu kì dao động của một con lắc toán học không phụ thuộc vào khối lượng của vật! Các tính toán tương tự có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định luật bảo toàn năng lượng. |
|
|
Chúng ta hãy tính đến thế năng của một vật trong trường hấp dẫn bằng , và cơ năng tổng cộng bằng thế năng hoặc động năng cực đại: Hãy viết định luật bảo toàn năng lượng và lấy đạo hàm của vế trái và vế phải của phương trình: . Bởi vì | |
|
đạo hàm của một giá trị không đổi bằng 0 thì . | |
.
|
Đạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm: và. Do đó: , và do đó. |
|
|
Phương trình trạng thái khí lý tưởng (Phương trình Mendeleev–Clapeyron). Phương trình trạng thái là phương trình liên hệ các tham số của một hệ vật lý và xác định duy nhất trạng thái của nó. Năm 1834, nhà vật lý người Pháp B. Clapeyron, người đã làm việc lâu năm ở St. Petersburg, đã rút ra phương trình trạng thái của khí lý tưởng cho một khối khí không đổi. Năm 1874 | |
|
D. I. Mendeleev rút ra một phương trình cho số lượng phân tử tùy ý. | |
|
. Kể từ đây,. Xem xét rằng |
|
|
Tích của các đại lượng không đổi là một đại lượng không đổi, do đó: - hằng số khí phổ quát (phổ quát, vì nó giống nhau đối với tất cả các loại khí). | |
|
Như vậy chúng ta có: |
|
|
Phương trình trạng thái (phương trình Mendeleev–Clapeyron). Các dạng viết phương trình trạng thái khác của khí lý tưởng. 1. Phương trình 1 mol chất. |
|
|
Nếu n=1 mol thì biểu thị thể tích của một mol V m, chúng ta có: . | |
|
3. Với điều kiện bình thường ta có: Thông thường cần phải nghiên cứu tình huống khi trạng thái của khí thay đổi trong khi số lượng của nó không thay đổi (m=const) và không có phản ứng hóa học (M=const). Điều này có nghĩa là lượng chất n=const. Sau đó: | |
|
Mục này có nghĩa là đối với một khối lượng nhất định của một loại khí nhất địnhđẳng thức là đúng: | |
|
Đối với một khối lượng không đổi của khí lý tưởng, tỉ số giữa tích áp suất và thể tích với nhiệt độ tuyệt đối ở một trạng thái nhất định là một giá trị không đổi: . | |
|
Định luật khí. |
|
|
1. Định luật Avogadro. Những thể tích bằng nhau của các loại khí khác nhau trong cùng điều kiện bên ngoài chứa cùng số lượng phân tử (nguyên tử). Điều kiện: V 1 =V 2 =...=V n; p 1 =p 2 =…=p n ; T 1 =T 2 =…=T n | |
|
Bằng chứng: Do đó, trong cùng điều kiện (áp suất, thể tích, nhiệt độ), số lượng phân tử không phụ thuộc vào bản chất của khí và giống nhau. | |
|
2. định luật Dalton. Áp suất của hỗn hợp khí bằng tổng áp suất riêng phần (riêng) của từng khí. Chứng minh: p=p 1 +p 2 +…+p n Bằng chứng: | |
|
3. Định luật Pascal. Áp suất tác dụng lên chất lỏng hoặc chất khí được truyền theo mọi hướng mà không thay đổi. | |
Trong MCT và nhiệt động lực học khí lý tưởng, các thông số vĩ mô là: p, V, T, m. 
Chúng ta biết rằng
, chúng tôi nhận được:.
Phương trình trạng thái của khí lý tưởng. Định luật khí.
Số bậc tự do: Đây là số biến độc lập (tọa độ) xác định hoàn toàn vị trí của hệ trong không gian. Trong một số bài toán, một phân tử khí đơn nguyên tử (Hình 1, a) được coi là một điểm vật chất, có ba bậc tự do chuyển động tịnh tiến. Trong trường hợp này, năng lượng của chuyển động quay không được tính đến. Trong cơ học, một phân tử khí hai nguyên tử, theo phép tính gần đúng đầu tiên, được coi là một tập hợp gồm hai điểm vật chất được kết nối chặt chẽ bằng một liên kết không biến dạng (Hình 1, b). Ngoài ba bậc tự do chuyển động tịnh tiến, hệ thống này còn có thêm hai bậc tự do chuyển động quay. Việc quay quanh trục thứ ba đi qua cả hai nguyên tử là vô nghĩa. Điều này có nghĩa là khí hai nguyên tử có năm bậc tự do ( Tôi= 5). Một phân tử phi tuyến ba nguyên tử (Hình 1, c) và đa nguyên tử có sáu bậc tự do: ba tịnh tiến và ba bậc quay. Thật tự nhiên khi cho rằng không có mối liên hệ cứng nhắc nào giữa các nguyên tử. Vì vậy, đối với các phân tử thực cũng cần phải tính đến mức độ tự do của chuyển động dao động.
Đối với bất kỳ số bậc tự do nào của một phân tử nhất định, ba bậc tự do luôn có tính tịnh tiến. Không có bậc tự do tịnh tiến nào có ưu thế hơn các bậc tự do tịnh tiến khác, điều đó có nghĩa là mỗi bậc tự do tịnh tiến chiếm trung bình cùng một năng lượng, bằng 1/3 giá trị<ε 0 >(năng lượng chuyển động tịnh tiến của phân tử): 
Trong vật lý thống kê nó có nguồn gốc Định luật Boltzmann về sự phân bố đều năng lượng theo bậc tự do của phân tử: đối với một hệ thống thống kê ở trạng thái cân bằng nhiệt động, mỗi bậc tự do tịnh tiến và quay có động năng trung bình bằng kT/2 và mỗi bậc tự do dao động có năng lượng trung bình bằng kT. Mức độ rung động có năng lượng gấp đôi, bởi vì nó chiếm cả động năng (như trong trường hợp chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay) và thế năng, đồng thời giá trị trung bình của thế năng và động năng là như nhau. Điều này có nghĩa là năng lượng trung bình của một phân tử 
Ở đâu Tôi- tổng số lần tịnh tiến, số lần quay và gấp đôi số bậc dao động tự do của phân tử: Tôi=Tôiđăng + Tôi xoay +2 Tôi dao động Trong lý thuyết cổ điển, người ta xét đến các phân tử có liên kết cứng giữa các nguyên tử; cho họ Tôi trùng với số bậc tự do của phân tử. Vì trong khí lý tưởng, thế năng tương tác giữa các phân tử bằng 0 (các phân tử không tương tác với nhau), nên nội năng của một mol khí sẽ bằng tổng động năng N A của các phân tử: (1 ) Nội năng của một khối khí m tùy ý. trong đó M là khối lượng mol, ν
- lượng chất.
Những thay đổi về bất kỳ đại lượng nào đều được mô tả bằng định luật sin hoặc cos, sau đó các dao động như vậy được gọi là điều hòa. Hãy xem xét một mạch bao gồm một tụ điện (đã được tích điện trước khi đưa vào mạch) và một cuộn cảm (Hình 1).
Bức tranh 1.
Phương trình dao động điều hòa có thể được viết như sau:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
trong đó $t$ là thời gian; $q$ phí, $q_0$-- độ lệch tối đa của điện tích so với giá trị trung bình (không) của nó trong quá trình thay đổi; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- pha dao động; $(\alpha )_0$- giai đoạn đầu; $(\omega )_0$ - tần số tuần hoàn. Trong khoảng thời gian này, pha thay đổi $2\pi $.
Phương trình có dạng:
phương trình dao động điều hòa ở dạng vi phân đối với mạch dao động không chứa điện trở tác dụng.
Bất kỳ loại dao động tuần hoàn nào cũng có thể được biểu diễn chính xác dưới dạng tổng của các dao động điều hòa, được gọi là chuỗi điều hòa.
Xét chu kỳ dao động của đoạn mạch gồm cuộn dây và tụ điện, ta thu được công thức Thomson:
Nếu vi phân biểu thức (1) theo thời gian, chúng ta có thể thu được công thức cho hàm $I(t)$:
Điện áp trên tụ điện có thể được tìm thấy là:
Từ công thức (5) và (6), suy ra rằng cường độ dòng điện cao hơn điện áp trên tụ điện $\frac(\pi )(2).$
Dao động điều hòa có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình, hàm số và sơ đồ vectơ.
Phương trình (1) biểu thị các dao động tự do không suy giảm.
Phương trình dao động tắt dần
Sự thay đổi điện tích ($q$) trên các bản tụ điện trong mạch, có tính đến điện trở (Hình 2), sẽ được mô tả bằng phương trình vi phân có dạng:
Hình 2.
Nếu điện trở là một phần của mạch $R\
trong đó $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ là tần số dao động tuần hoàn. $\beta =\frac(R)(2L)-$hệ số giảm chấn. Biên độ của dao động tắt dần được biểu thị bằng:
Nếu tại $t=0$ điện tích trên tụ điện bằng $q=q_0$ và không có dòng điện trong mạch, thì với $A_0$ chúng ta có thể viết:
Pha dao động tại thời điểm ban đầu ($(\alpha )_0$) bằng:
Khi $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ sự thay đổi điện tích không phải là một dao động, thì sự phóng điện của tụ điện được gọi là không tuần hoàn.
ví dụ 1
Bài tập: Giá trị phí tối đa là $q_0=10\ C$. Nó thay đổi điều hòa với chu kỳ $T= 5 s$. Xác định dòng điện tối đa có thể.
Giải pháp:
Để làm cơ sở giải quyết vấn đề ta sử dụng:
Để tìm cường độ dòng điện, biểu thức (1.1) phải vi phân theo thời gian:
trong đó giá trị cực đại (giá trị biên độ) của cường độ dòng điện là biểu thức:
Từ điều kiện của bài toán ta biết giá trị biên độ của điện tích ($q_0=10\ C$). Bạn nên tìm tần số dao động tự nhiên. Hãy diễn đạt nó như sau:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
Trong trường hợp này, giá trị mong muốn sẽ được tìm thấy bằng cách sử dụng các phương trình (1.3) và (1.2) là:
Vì tất cả các đại lượng trong điều kiện bài toán đều được trình bày trong hệ SI nên chúng ta sẽ tiến hành tính toán:
Trả lời:$I_0=12,56\ A.$
Ví dụ 2
Bài tập: Chu kì dao động của một đoạn mạch chứa cuộn cảm $L=1$H và một tụ điện là bao nhiêu nếu cường độ dòng điện trong mạch thay đổi theo định luật: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Điện dung của tụ điện là bao nhiêu?
Giải pháp:
Từ phương trình dao động dòng điện cho trong điều kiện của bài toán:
chúng ta thấy rằng $(\omega )_0=20\pi $, do đó, chúng ta có thể tính chu kỳ Dao động bằng công thức:
\ \
Theo công thức Thomson cho mạch điện gồm cuộn cảm và tụ điện, ta có:
Hãy tính công suất:
Trả lời:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$