Cơ sở lý thuyết về dao động. Phân loại hệ thống dao động

Chương trình môn học lý thuyết dao động cho sinh viên lớp 4 khóa học FACI

Bộ môn này dựa trên kết quả của các môn học như đại số tổng quát cổ điển, lý thuyết về phương trình vi phân thông thường, cơ học lý thuyết và lý thuyết về hàm số phức. Một đặc điểm của việc nghiên cứu bộ môn là việc sử dụng thường xuyên các thiết bị phân tích toán học và các ngành toán học liên quan khác, sử dụng thực tế ví dụ quan trọng từ lĩnh vực chủ đề cơ học lý thuyết, vật lý, kỹ thuật điện, âm học.

1. Phân tích định tính chuyển động trong hệ thống bảo toàn có một bậc tự do

• Phương pháp mặt phẳng pha
• Sự phụ thuộc của chu kì dao động vào biên độ. Hệ thống mềm và cứng

2. phương trình Duffing

• Biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình Duffing trong hàm elliptic

3. Hệ tựa tuyến tính

• Biến Van der Pol
• Phương pháp tính trung bình

4. Dao động thư giãn

• Phương trình Van der Pol
• Hệ phương trình vi phân nhiễu loạn riêng biệt

5. Động lực của hệ thống tự trị phi tuyến nhìn chung với một bậc tự do

• Khái niệm độ nhám của hệ động lực
• Sự phân nhánh của hệ thống động

6. Các yếu tố của lý thuyết Floquet

• Các giải pháp và số nhân thông thường hệ thống tuyến tính phương trình vi phân với hệ số tuần hoàn
• cộng hưởng tham số

7. phương trình Hill

• Phân tích hành vi của nghiệm của phương trình kiểu Hill như một minh họa cho việc áp dụng lý thuyết Floquet vào hệ Hamilton tuyến tính với các hệ số tuần hoàn
• phương trình Mathieu như trương hợp đặc biệt Phương trình kiểu đồi. Sơ đồ Ines-Strett

8. Dao động cưỡng bức trong hệ có lực hồi phục phi tuyến

• Mối quan hệ giữa biên độ dao động và độ lớn lực truyền động tác dụng lên hệ
• Thay đổi chế độ lái khi thay đổi tần số của lực dẫn động. Khái niệm độ trễ “động”

9. bất biến đoạn nhiệt

• Biến góc hành động
• Bảo toàn các bất biến đoạn nhiệt theo thay đổi về chất bản chất của chuyển động

10. Động lực học của hệ động lực đa chiều

• Khái niệm về tính linh hoạt và sự hòa trộn hệ thống động
• Bản đồ Poincaré

11. Phương trình Lorentz. Sức hấp dẫn kỳ lạ

• Phương trình Lorentz như một mô hình đối lưu nhiệt
• Sự phân nhánh của nghiệm của phương trình Lorentz. Chuyển sang hỗn loạn
• Cấu trúc fractal của nhân hút lạ

12. Hiển thị một chiều. Tính linh hoạt của Feigenbaum

• Ánh xạ bậc hai - ánh xạ phi tuyến đơn giản nhất
• Quỹ đạo định kỳ của bản đồ. Sự phân nhánh của các quỹ đạo tuần hoàn

Văn học (chính)

1. Moiseev N.N. Các phương pháp tiệm cận của cơ học phi tuyến. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Giới thiệu về lý thuyết dao động và sóng. Ed. lần 2. Trung tâm nghiên cứu “Động lực thường xuyên và hỗn loạn”, 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Các phương pháp tiệm cận trong lý thuyết dao động phi tuyến. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Giới thiệu lý thuyết dao động phi tuyến. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Giới thiệu về hiệp lực. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Dao động, sóng, cấu trúc.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Văn học (bổ sung)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Phương pháp áp dụng trong lý thuyết dao động. Nhà xuất bản "Khoa học", 1988.

8. Stocker J. Dao động phi tuyến trong hệ thống cơ và điện. – M.: Văn học nước ngoài, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Ứng dụng các phương pháp dao động phi tuyến. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Dao động phi tuyến trong hệ thống vật lý. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Lý thuyết dao động. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Khái niệm dao động. Chúng ta hãy xem xét một hệ thống nhất định, tức là một tập hợp các đối tượng tương tác với nhau và với môi trường theo một quy luật nhất định. Nó có thể giống như một hệ thống cơ khí điểm vật chất, tuyệt đối chất rắn, các vật thể đàn hồi và nói chung là có thể biến dạng, v.v., cũng như các hệ thống điện, sinh học và hỗn hợp (ví dụ, cơ điện). Giả sử trạng thái của hệ thống tại mỗi thời điểm được mô tả bằng một bộ tham số nhất định. Nhiệm vụ của lý thuyết là dự đoán sự tiến hóa của một hệ thống theo thời gian, dựa trên trạng thái ban đầu của hệ thống và ảnh hưởng bên ngoài lên nó.

Hãy lấy một trong các tham số số của hệ thống, ký hiệu là và. Nó có thể là đại lượng vô hướng, một trong các thành phần của vectơ hoặc tensor, v.v. Chúng ta hãy xem xét sự thay đổi của tham số này trong một khoảng thời gian nhất định, ví dụ: tại Sự thay đổi này có thể đơn điệu, không đơn điệu, về cơ bản là không đơn điệu (Hình 1). ). Trường hợp cuối cùng được quan tâm nhất.

Quá trình thay đổi một tham số, được đặc trưng bởi nhiều lần tăng giảm xen kẽ của tham số đó theo thời gian, được gọi là quá trình dao động hoặc đơn giản là dao động và tham số tương ứng được gọi là giá trị dao động.

Khó có thể xác định ranh giới rõ ràng giữa quá trình dao động từ không dao động. Ví dụ, trong kinh tế học, một quy trình thuộc loại được minh họa trong Hình 2. 1b có thể được quy cho các quá trình dao động. Có thể hình thành thêm định nghĩa chung quá trình dao động: tham số thực hiện trên đoạn đã cho thời gian dao động so với tham số (và ngược lại), nếu hiệu trong đoạn này đổi dấu nhiều lần (Hình 1d). Ví dụ, chúng ta có thể nói về sự thay đổi dao động trong góc quay của đĩa so với chuyển động quay đều với một hằng số vận tốc góc

Nếu tất cả hoặc các tham số thiết yếu nhất của một hệ là các đại lượng dao động thì hệ đó được cho là đang trải qua các dao động. Một hệ có khả năng dao động trong những điều kiện nhất định được gọi là hệ dao động. Nói đúng ra, bất kỳ hệ thống nào cũng phù hợp với định nghĩa này, vì đối với bất kỳ hệ thống nào cũng có thể chọn tác động mà nó sẽ thực hiện. chuyển động dao động. Vì vậy họ thường sử dụng nhiều định nghĩa hẹp: một hệ được gọi là dao động nếu nó có khả năng dao động khi không có tác động từ bên ngoài (chỉ do năng lượng tích lũy ban đầu).

Nơi diễn ra các quá trình dao động trong khoa học và công nghệ. Hầu hết các quá trình quan sát được trong tự nhiên và công nghệ đều dao động. Các quá trình dao động bao gồm rất nhiều hiện tượng khác nhau: từ nhịp điệu và nhịp tim của não đến sự rung động của các ngôi sao, tinh vân và những hiện tượng khác. vật thể không gian; từ sự rung động của các nguyên tử hoặc phân tử trong chất rắn đến sự thay đổi khí hậu trên Trái đất, từ sự rung động của một sợi dây phát ra âm thanh đến động đất. Tất cả các hiện tượng âm thanh và lan truyền sóng điện từ, cũng đi kèm với các quá trình dao động.

Cơm. I. Thay đổi tham số: a - đơn điệu; b - không đơn điệu; c - về cơ bản là không đơn điệu; r - thay đổi tương đối về tham số

TRONG tập này Chủ yếu các hệ thống cơ khí sẽ được xem xét. Các quá trình dao động xảy ra trong các hệ thống này được gọi là dao động cơ học. Trong công nghệ, đặc biệt là kỹ thuật cơ khí, thuật ngữ dao động cũng được sử dụng rộng rãi. Nó gần như đồng nghĩa với các thuật ngữ rung động cơ học hoặc rung động của một hệ thống cơ khí. Thuật ngữ dao động thường được sử dụng nhiều nhất khi các dao động có biên độ tương đối nhỏ và tần số không quá thấp (ví dụ, người ta khó có thể chấp nhận thuật ngữ dao động khi nói về dao động của con lắc đồng hồ hoặc sự dao động của một con lắc).

Lý thuyết ứng dụng về rung động và kỹ thuật rung động. Tập hợp các phương pháp và phương tiện để đo các đại lượng đặc trưng cho rung động được gọi là phép đo độ rung. Một tập hợp các phương pháp và phương tiện để giảm tác hại rung động lên con người, thiết bị và cơ chế được gọi là chống rung. Một tập hợp các kỹ thuật công nghệ dựa trên mục đích sử dụng rung động có chủ đích được gọi là xử lý rung động và việc sử dụng rung động để di chuyển vật liệu, sản phẩm, v.v. được gọi là vận chuyển rung động. Để đảm bảo khả năng thực hiện chức năng của vật thể và duy trì các thông số trong giới hạn tiêu chuẩn đã được thiết lập, cũng như việc duy trì độ bền trong các điều kiện rung, cần phải tính toán khả năng chống rung và độ bền rung hoặc nói một cách tổng quát hơn là độ tin cậy của độ rung. Mục đích của việc kiểm tra độ rung là nghiên cứu khả năng chống rung, cường độ rung và hiệu quả của các vật thể trong điều kiện rung, cũng như nghiên cứu hiệu quả chống rung; Nhiệm vụ của chẩn đoán rung động là nghiên cứu trạng thái của một vật thể dựa trên phân tích các rung động vận hành hoặc kích thích nhân tạo.

Phát triển công nghệ hiện đạiđặt ra nhiều nhiệm vụ khác nhau cho các kỹ sư liên quan đến tính toán các kết cấu khác nhau, thiết kế, sản xuất và vận hành tất cả các loại máy móc và cơ chế.

Việc nghiên cứu hoạt động của bất kỳ hệ cơ học nào luôn bắt đầu bằng việc lựa chọn mô hình vật lý. Khi chuyển từ một hệ thống thực sang mô hình vật lý của nó, người ta thường đơn giản hóa hệ thống, bỏ qua các yếu tố không quan trọng đối với một bài toán nhất định. Do đó, khi nghiên cứu một hệ gồm một tải trọng treo trên một sợi dây, kích thước của tải trọng, khối lượng và độ giãn nở của sợi dây, lực cản của môi trường, ma sát tại điểm treo, v.v. đều bị bỏ qua; điều này tạo ra một mô hình vật lý nổi tiếng - một con lắc toán học.

giới hạn mô hình vật lýđóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu hiện tượng dao động trong các hệ thống cơ khí.

Các mô hình vật lý được mô tả bằng hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi thường được gọi là tuyến tính.

Lựa chọn mô hình tuyến tính vào một lớp đặc biệt được gọi vì một số lý do:

Bằng cách sử dụng các mô hình tuyến tính, một loạt các hiện tượng xảy ra ở các hệ thống cơ khíỒ;

Việc tích hợp các phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số không đổi, theo quan điểm toán học, là một nhiệm vụ cơ bản và do đó kỹ sư nghiên cứu cố gắng mô tả hành vi của hệ thống bằng mô hình tuyến tính bất cứ khi nào có thể.

Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

Dao động của một hệ được coi là nhỏ nếu độ lệch và vận tốc có thể được coi là đại lượng bậc nhỏ nhất so với kích thước và vận tốc đặc trưng của các điểm trong hệ.

Một hệ cơ học chỉ có thể thực hiện những dao động nhỏ ở gần vị trí cân bằng ổn định. Trạng thái cân bằng của hệ có thể ổn định, không ổn định và trung tính (Hình 3. 8).

Cơm. 3,8 Các loại khác nhau sự cân bằng

Vị trí cân bằng của một hệ thống ổn định nếu hệ thống có trạng thái cân bằng bị xáo trộn bởi một sai lệch ban đầu rất nhỏ và/hoặc nhỏ tốc độ ban đầu, thực hiện một chuyển động xung quanh vị trí này.

Tiêu chí về tính ổn định của vị trí cân bằng của hệ thống bảo toàn với chỉnh thể và kết nối cố địnhđược thiết lập bởi kiểu phụ thuộc thế năng của hệ vào tọa độ tổng quát. Đối với một hệ thống bảo thủ c
bậc tự do thì phương trình cân bằng có dạng

, I E.
, Ở đâu
.

Bản thân các phương trình cân bằng không giúp đánh giá được bản chất ổn định hay mất ổn định của vị trí cân bằng. Từ đó họ chỉ ra rằng vị trí cân bằng tương ứng với một giá trị cực trị của thế năng.

Điều kiện ổn định cho vị trí cân bằng (đủ) được thiết lập theo định lý Lagrange–Dirichlet:

nếu ở vị trí cân bằng của hệ năng lượng tiềm năng có mức tối thiểu thì tình trạng này ổn định.

Điều kiện cực tiểu của bất kỳ hàm số nào là đạo hàm bậc hai của nó dương khi đạo hàm bậc nhất bằng 0. Đó là lý do tại sao

.

Nếu đạo hàm bậc hai cũng bằng 0 thì để đánh giá độ ổn định cần tính đạo hàm liên tiếp

,

và nếu cái đầu tiên không bằng 0đạo hàm có bậc chẵn và dương thì thế năng tại
có mức tối thiểu, và do đó vị trí cân bằng này của hệ là ổn định. Nếu đạo hàm này có thứ tự lẻ thì khi
không có mức tối đa hoặc tối thiểu. Việc đánh giá trạng thái cân bằng của một hệ ở vị trí mà nó không có thế năng tối thiểu được đưa ra trong các định lý đặc biệt của A. M. Lyapunov.

Bộ Giáo dục Liên bang Nga
Bang Ukhta Đại học kỹ thuật

VC. Khegai, D.N. Levitsky,
ANH TA. Kharin, A.S. Popov

Cơ sở lý thuyết rung động
hệ thống cơ khí
Hướng dẫn

Thừa nhận hiệp hội giáo dục và phương pháp trường đại học
trong giáo dục dầu khí cao hơn như giáo dục
tài liệu dành cho sinh viên các trường đại học dầu khí đang học tập
theo chuyên khoa 090800, 170200, 553600

UDC 534.01
X-35
Cơ sở lý thuyết về dao động của các hệ cơ học / V.K. Khegai,
D.N. Levitsky, O.N. Kharin, A.S. Popov. – Ukhta: USTU, 2002. – 108 tr.
ISBN 5-88179-285-8
Sách giáo khoa xem xét các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết dao động của các hệ cơ học, dựa trên khoá học chung cơ học lý thuyết. Đặc biệt chú ý dành cho việc áp dụng các phương trình Lagrange thứ hai
hàng ngang. Cuốn sách hướng dẫn này bao gồm sáu chương, mỗi chương được dành cho một loại dao động cụ thể. Một chương được dành cho các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết về sự ổn định của chuyển động và trạng thái cân bằng của các hệ cơ học.
Vì phát triển tốt hơn tài liệu lý thuyết, trong sách hướng dẫn, đã cho
một số lượng lớn các ví dụ và vấn đề từ các lĩnh vực công nghệ khác nhau.
Sách giáo khoa dành cho sinh viên các chuyên ngành cơ khí nghiên cứu đầy đủ chương trình cơ học lý thuyết,
cũng có thể hữu ích cho sinh viên các chuyên ngành khác.
Người phản biện: Khoa Cơ học lý thuyết St. Petersburg
Học viện Lâm nghiệp Nhà nước (trưởng khoa, Tiến sĩ Khoa học Kỹ thuật, Giáo sư Yu.A. Dobrynin); Trưởng bộ phận khoan tích hợp của SeverNIPIGaz, Tiến sĩ, Phó giáo sư Yu.M. Gerzhberg.

© Đại học Kỹ thuật Bang Ukhta, 2002
© Khegai V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Mục lục
Lời nói đầu................................................................................. ........................................................... ............. .................. 4
Chương I. Thông tin tóm tắt của cơ học phân tích.................................................................................. .... 5
1.1 Thế năng của hệ................................................................................. ............................ 5
1.2. Động năng của hệ.................................................................................. ...................................... 6
1.3. Chức năng phân tán................................................................................. ... ............................................ số 8
1.4. Phương trình Langrange................................................................................. .................................................... . 9
1.5. Ví dụ về soạn phương trình Langrange loại hai................................. 11
Chương II. Tính ổn định chuyển động và cân bằng của các hệ bảo toàn........... 20
2.1. Giới thiệu................................................. ........................................................... ........... 20
2.2. Chức năng Lyapunov. Tiêu chuẩn Sylvester................................................................................. ................ 21
2.3. Phương trình chuyển động nhiễu loạn.................................................................. ...................................... 23
2.4. Định lý Lyapunov về tính ổn định của chuyển động.................................................. .......... 26
2.5. Định lý Lagrange về sự ổn định của trạng thái cân bằng
hệ thống bảo thủ................................................................................. .................................................... ............ 29
2.6. Tính ổn định cân bằng của một hệ thống bảo toàn với một
bậc tự do.................................................................................. ........................................................... ............... ........... ba mươi
2.7. Ví dụ về sự ổn định cân bằng của một hệ thống bảo toàn.................................. 31
Chương III. Dao động tự do của hệ có một bậc tự do.................................. 39
3.1. Dao động tự do của hệ thống bảo toàn
với một bậc tự do.................................................................. ............................................ ................. 39
3.2. Dao động tự do của hệ có một bậc tự do
lực lượng kháng chiến, tỷ lệ thuận với tốc độ......................................................... 42
3.3. Ví dụ về dao động tự do của hệ có một bậc tự do.................................. 46
Chương IV. Dao động cưỡng bức của hệ có một bậc tự do............. 59
4.1. Dao động cưỡng bức của hệ có một bậc tự do
trong trường hợp có lực nhiễu tuần hoàn................................................................. ........... 59
4.2. Hiện tượng cộng hưởng.................................................................................. .................................................... ............ 63
4.3. Hiện tượng đập.................................................................................. .................................................... ............ 66
4.4. Hệ số động................................................................................. .................................... 68
4.5. Ví dụ trên dao động cưỡng bức hệ thống
với một bậc tự do.................................................................. ............................................ ............ 70
Chương V. Dao động tự do của hệ có hai bậc tự do................................. 78
5.1. Phương trình vi phân dao động tự do của hệ có hai
bậc tự do và chúng quyết định chung........................................................................ 78
5.2. Biểu mẫu riêng.................................................................................................. 80
5.3. Ví dụ về dao động tự do của hệ có hai bậc tự do........... 81
Chương VI. Dao động cưỡng bức của hệ có hai bậc tự do............ 93
6.1. Các phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ và các phương trình vi phân của chúng
quyết định chung................................................................................. ................................................................. ...................... 93
6.2. Bộ giảm rung động động.................................................................. .................................... 95
6.3. Ví dụ về dao động cưỡng bức của hệ có hai bậc tự do...... 98
Thư mục................................................. ................................................................. ........ 107

4
Lời nói đầu
TRÊN sân khấu hiện đại phát triển Trung học phổ thông Có vấn đề và hình thức nghiên cứuđào tạo.
Các quá trình động trong máy móc và cơ chế có tầm quan trọng quyết định đối với cả việc tính toán ở giai đoạn thiết kế các kết cấu mới và xác định các chế độ công nghệ trong quá trình vận hành. Thật khó để gọi tên một lĩnh vực công nghệ mà không có
các vấn đề thời sự nghiên cứu dao động đàn hồi và tính ổn định của trạng thái cân bằng và chuyển động của các hệ cơ học. Họ đại diện cho một sự đặc biệt
tầm quan trọng của kỹ sư cơ khí làm việc trong các ngành cơ khí, giao thông và các lĩnh vực công nghệ khác.
Hướng dẫn thảo luận về một số vấn đề cá nhân từ lý thuyết
rung động và độ ổn định của hệ thống cơ khí. Thông tin lý thuyết
giải thích bằng các ví dụ.
Mục đích chính của việc này hướng dẫn phương pháp− liên kết
lĩnh vực ứng dụng của cơ học lý thuyết và phân tích với các bài toán
bộ phận đặc biệt đào tạo kỹ sư cơ khí.

5
Chương I. THÔNG TIN TÓM TẮT TỪ PHÂN TÍCH
CƠ KHÍ
I.I. Năng lượng tiềm năng của hệ thống
Thế năng của một hệ có bậc tự do là s
năng lượng vị trí, chỉ phụ thuộc vào tọa độ tổng quát

P = P (q1, q2,....., qs) ,
qj ở đâu

(j = 1, 2,K, s) – tọa độ tổng quát của hệ.

Xét những sai lệch nhỏ của hệ so với vị trí ổn định
cân bằng, tọa độ tổng quát qj có thể được coi là đại lượng cấp nhỏ thứ nhất. Giả sử vị trí cân bằng của hệ
tương ứng với gốc tọa độ tổng quát, chúng ta mở rộng biểu thức thế năng P thành chuỗi Maclaurin theo lũy thừa qj

∂П
1 S S ∂2 P
P = P (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j =1
tôi =1 j =1
j
Tôi
j
S

Hãy nhớ rằng thế năng được xác định một cách chính xác
lên đến một hằng số cộng nào đó, thế năng tại vị trí cân bằng có thể được lấy bằng 0
P(0) = 0.

Trong trường hợp lực bảo toàn, lực tổng quát được xác định theo công thức

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K , s) .

Vì khi hệ lực cân bằng

(j = 1, 2, K , s) ,

Khi đó điều kiện cân bằng của hệ lực bảo toàn có dạng

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂qj

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2, K , s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

Kể từ đây,
S

6
Khi đó đẳng thức (1.2.), theo bậc nhỏ thứ hai, có dạng

1 S S ⎛ ∂2 P
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Hãy biểu thị

⎛ ∂2 P
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Trong đó cij là hệ số độ cứng tổng quát.
Biểu thức cuối cùng của thế năng là

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 tôi =1 j =1

Từ (1.9.) rõ ràng thế năng của hệ là đồng nhất hàm bậc hai tọa độ tổng quát.
1.2. Động năng của hệ thống
Động năng của một hệ gồm n điểm vật chất là
tương đương với

1n
T = ∑mk vk2 ,
2k =1

Trong đó mk và vк là khối lượng và tốc độ của điểm thứ k của hệ.
Khi chuyển sang tọa độ tổng quát, chúng ta sẽ ghi nhớ rằng
_

(k = 1, 2,..., n) ,

Rk(q1 , q2 ,..., qs)

Trong đó r k là vectơ bán kính của điểm thứ k của hệ thống.
−

Chúng ta hãy sử dụng đẳng thức vk2 = v k ⋅ v k và thay thế vectơ vận tốc
−

V k giá trị của nó
_

∂rk
∂q1

∂rk
∂q2

∂rk
∂qs

Khi đó biểu thức động năng (1.10) sẽ có dạng

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
N

⎛ _
∂rk
Mông = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
N

⎞
⎛ _
N
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

Vì −1,s = ∑ mk
k =1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Khai triển từng hệ số này trong chuỗi Maclaurin theo lũy thừa của tọa độ tổng quát, chúng ta thu được

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

Chỉ số 0 tương ứng với giá trị của các hàm số ở vị trí cân bằng. Vì những sai lệch nhỏ của hệ thống so với vị trí được xem xét
cân bằng, thì trong đẳng thức (1.14), chúng ta chỉ giới hạn ở các số hạng không đổi đầu tiên

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Khi đó biểu thức động năng (1.13) sẽ có dạng
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + asS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Hoặc nói chung

1 giây
T= ∑
2 tôi=1

Các hằng số aij là hệ số quán tính tổng quát.
Từ (1.16) rõ ràng động năng của hệ T là đồng nhất
hàm bậc hai của tốc độ tổng quát.

8
1.3. chức năng tiêu tan
TRONG điều kiện thực tế dao động tự do của hệ bị tắt dần, do đó
lực cản tác động lên các điểm của nó như thế nào. Khi có lực cản, năng lượng cơ học bị tiêu tán.
−

Giả sử các lực cản R k(k = 1, 2,..., n) tác dụng
tới các điểm của hệ thống, tỷ lệ thuận với tốc độ của chúng
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Trong đó µ k là hệ số tỷ lệ.
Các lực cản tổng quát cho một hệ thống chỉnh thể được xác định bởi các công thức
N

Q j R = ∑ Rk
k =1

∂rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
N

(j = 1, 2,..., s) .

Bởi vì
_

∂rk
∂rk
∂rk
q1 +
q 2 + ... +
qS
∂q1
∂q2
∂qS

∂rk
.
∂q j

Lưu ý (1.18), ta viết lại các lực cản tổng quát (1.17) dưới dạng
N

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2,..., s) .

Chúng ta hãy giới thiệu một hàm tiêu tán, được xác định bởi công thức
N

Khi đó lực cản tổng quát được xác định theo công thức

(j = 1, 2,..., s) .

Hàm tiêu tán, tương tự với động năng của hệ, có thể được biểu diễn dưới dạng hàm bậc hai đồng nhất
tốc độ tổng quát

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 tôi =1 j =1

Trong đó вij là hệ số tiêu tán tổng quát.
1.4. Phương trình Lagrange loại hai
Vị trí của hệ thống chỉnh thể có bậc tự do s được xác định bởi tọa độ tổng quát qj (j = 1, 2,..., s).
Để rút ra các phương trình Lagrange loại hai, chúng ta sử dụng phương trình tổng quát
phương trình động lực học
S

Q иj)δ q j = 0 ,

Trong đó Qj là tổng quát của các lực chủ động tương ứng với tọa độ tổng quát thứ j;
Q uj – tổng quát của lực quán tính tương ứng với tọa độ tổng quát thứ j;
δ q j – gia số của tọa độ tổng quát thứ j.
Cần nhớ rằng tất cả δ q j (j = 1, 2,..., s) đều độc lập với nhau,
đẳng thức (1.23) sẽ chỉ có giá trị trong trường hợp khi mỗi hệ số của δ q j riêng biệt sẽ là bằng 0, I E.

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
hoặc

(j = 1, 2,..., s) .

Chúng ta hãy biểu diễn Q uj theo động năng của hệ.
Theo định nghĩa lực tổng quát, ta có

Q иj = ∑ Φ k
k =1

∂rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
N

(j = 1, 2, K , s) ,

D vk
trong đó Φ k = − mk a k = − mk
- lực quán tính tại điểm thứ của hệ.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ rk d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
∂rk
∂rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs
dt
∂q1
∂q2
∂qs
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Thay giá trị (1.27) và (1.28) vào đẳng thức (1.26), ta tìm được
_
⎛_
∂ vk ∂ rk d ⎜
∂vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

Xét đẳng thức (1.29), ta viết lại biểu thức (1.25) dưới dạng

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
Và
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ qj
N

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
j
⎝
N

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
N

11
Ở đây người ta tính đến việc tổng các đạo hàm bằng đạo hàm của tổng,
n m v2
và ∑ k k = T là động năng của hệ.
k =1
2
Xét các đẳng thức (1.24), cuối cùng chúng ta tìm được

⎛
d⎜∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2, K , s) .

Phương trình (1.30) được gọi là phương trình Lagrange loại hai.
Số phương trình này bằng số bậc tự do.
Nếu các lực tác dụng lên các điểm của hệ có thế năng thì
đối với các lực tổng quát, công thức có giá trị

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K , s) ,

Trong đó P là thế năng của hệ.
Do đó, đối với hệ phương trình Lagrange bảo toàn

BỘ GIÁO DỤC LIÊN BANG NGA

BANG KABARDINO-BALKARIAN

ĐẠI HỌC mang tên. Kh. M. BERBEKOVA

CƠ SỞ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT Dao động

CƠ SỞ LÝ THUYẾT, NHIỆM VỤ BÀI TẬP Ở NHÀ,

VÍ DỤ GIẢI PHÁP

Dành cho sinh viên đại học chuyên ngành cơ khí

Nalchik 2003

Người đánh giá:

– Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư, Giám đốc Viện Nghiên cứu Toán ứng dụng và Tự động hóa của Viện Hàn lâm Khoa học Nga, được vinh danh. nhà khoa học Liên bang Nga, học giả của AMAN.

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư, Trưởng khoa Toán ứng dụng của Học viện Nông nghiệp bang Kabardino-Balkarian.

Lý thuyết dao động của Kulterbaev. Lý thuyết cơ bản, bài tập về nhà, ví dụ về cách giải.

Sách giáo khoa dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục đại học chuyên ngành đào tạo chuyên gia được chứng nhận 657800 - Hỗ trợ thiết kế và công nghệ các ngành công nghiệp chế tạo máy, 655800 Kỹ thuật thực phẩm. – Nalchik: Nhà xuất bản KBSU mang tên. , 20 tuổi.

Cuốn sách trình bày các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết dao động của các hệ cơ học tuyến tính, đồng thời cung cấp các bài tập về nhà cùng với các ví dụ về cách giải chúng. Nội dung lý thuyết và bài tập hướng tới đối tượng sinh viên chuyên ngành cơ khí.

Cả hai hệ thống rời rạc và phân tán đều được xem xét. Số lượng các lựa chọn bài tập về nhà không phù hợp cho phép chúng được sử dụng cho một lượng lớn học sinh.

Ấn phẩm này cũng có thể hữu ích cho các giáo viên, nghiên cứu sinh và các chuyên gia trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ khác nhau quan tâm đến việc ứng dụng lý thuyết dao động.

© Kabardino-Balkarian Đại học bang họ.

Lời nói đầu

Cuốn sách được biên soạn dựa trên một khóa học do tác giả đọc tại Khoa Kỹ thuật và Công nghệ của Đại học Bang Kabardino-Balkarian dành cho sinh viên chuyên ngành cơ khí.

Các cơ chế và cấu trúc của công nghệ hiện đại thường hoạt động trong các điều kiện tải trọng động phức tạp nên việc thường xuyên quan tâm đến lý thuyết dao động được hỗ trợ bởi nhu cầu thực tế. Lý thuyết dao động và các ứng dụng của nó có một thư mục phong phú, bao gồm một số lượng đáng kể sách giáo khoa và đồ dùng dạy học. Một số trong số chúng được đưa ra trong thư mục ở cuối sách hướng dẫn này. Hầu như tất cả các tài liệu giáo dục hiện có đều dành cho độc giả nghiên cứu khóa học này trong khối lượng lớn và chuyên về các lĩnh vực hoạt động kỹ thuật, bằng cách này hay cách khác, có liên quan đáng kể đến động lực học của các kết cấu. Trong khi đó, hiện nay tất cả các kỹ sư cơ khí đều cảm thấy cần phải nắm vững lý thuyết về dao động ở mức độ khá nghiêm túc. Nỗ lực đáp ứng những yêu cầu đó dẫn đến việc đưa các trường đại học quy mô nhỏ vào chương trình giáo dục của nhiều trường đại học. Các khóa học đặc biệt. Cuốn sách giáo khoa này được thiết kế để đáp ứng những yêu cầu như vậy và bao gồm những kiến ​​thức cơ bản về lý thuyết, các bài tập về nhà và ví dụ về cách giải chúng. Điều này biện minh cho khối lượng hạn chế của sách giáo khoa, việc lựa chọn nội dung và tiêu đề của nó: “Cơ sở cơ bản của Lý thuyết dao động”. Thực ra, sách giáo khoa chỉ nêu những vấn đề và phương pháp cơ bản của bộ môn. Người đọc quan tâm có thể tận dụng các chuyên khảo khoa học nổi tiếng và dạy họcđưa ra ở cuối ấn bản này, Vì nghiên cứu sâu lý thuyết và nhiều ứng dụng của nó.

Cuốn sách này dành cho độc giả đã được đào tạo trong phạm vi các khóa học đại học thông thường. toán cao hơn, cơ học lý thuyết và sức bền của vật liệu.

Khi nghiên cứu khóa học như vậy, một lượng đáng kể được sử dụng làm bài tập về nhà dưới dạng bài tập, bài kiểm tra, tính toán và thiết kế, tính toán và đồ họa cũng như các công việc khác đòi hỏi khá nhiều thời gian. Sách vấn đề hiện có và công cụ hỗ trợ giải quyết vấn đề không nhằm mục đích này. Ngoài ra, có sự khuyến khích rõ ràng trong việc kết hợp lý thuyết và bài tập về nhà trong một ấn phẩm, kết hợp nội dung chung, chủ đề tập trung và bổ sung.

Khi làm và hoàn thành bài tập về nhà, học sinh gặp rất nhiều câu hỏi chưa được nêu hoặc giải thích chưa đầy đủ trong phần lý thuyết của môn học; anh ta gặp khó khăn trong việc mô tả tiến trình giải quyết một vấn đề, cách biện minh cho các quyết định đã đưa ra, cấu trúc và viết ghi chú.

Giáo viên cũng đang gặp khó khăn, nhưng có tính chất tổ chức. Họ phải thường xuyên sửa đổi khối lượng, nội dung và cấu trúc bài tập về nhà, soạn thảo nhiều dạng nhiệm vụ khác nhau, đảm bảo giao hàng loạt nhiệm vụ không phù hợp kịp thời, tiến hành nhiều cuộc tham vấn, làm rõ, v.v.

Cuốn sách hướng dẫn này nhằm mục đích giảm bớt và loại bỏ những khó khăn, trở ngại có tính chất nêu trên trong điều kiện giáo dục đại chúng. Nó bao gồm hai nhiệm vụ, bao gồm các vấn đề cơ bản và quan trọng nhất của khóa học:

1. Dao động của hệ có một bậc tự do.

2. Dao động của hệ có hai bậc tự do.

Những nhiệm vụ này, trong phạm vi và nội dung của chúng, có thể trở thành công việc tính toán và thiết kế cho sinh viên toàn thời gian, hình thức bán thời gianđào tạo hoặc kiểm tra cho sinh viên mẫu thư từđào tạo.

Để thuận tiện cho người đọc, cuốn sách sử dụng cách đánh số tự động các công thức (phương trình) và số liệu trong mỗi đoạn văn bằng cách sử dụng các cách đánh số thông thường. số thập phân trong ngoặc. Một tham chiếu trong đoạn hiện tại được thực hiện bằng cách chỉ ra một con số như vậy. Nếu cần tham khảo công thức của các đoạn trước, hãy cho biết số của đoạn văn, sau đó, cách nhau bằng dấu chấm, là số của chính công thức đó. Vì vậy, ví dụ, ký hiệu (3.2.4) tương ứng với công thức (4) ở đoạn 3.2 của chương này. Việc tham chiếu đến công thức của các chương trước được thực hiện theo cách tương tự, nhưng với số chương và điểm được nêu ngay từ đầu.

Cuốn sách nhằm đáp ứng nhu cầu đào tạo nghề học sinh theo những hướng nhất định. Tác giả biết rằng rõ ràng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nên sẽ tiếp thu một cách biết ơn những lời phê bình và nhận xét có thể có từ độc giả để hoàn thiện những lần xuất bản tiếp theo.

Cuốn sách này cũng có thể hữu ích cho các chuyên gia quan tâm đến việc ứng dụng lý thuyết dao động trong khu vực khác nhau vật lý, công nghệ, xây dựng và các lĩnh vực tri thức, hoạt động sản xuất khác.

ChươngTÔI

GIỚI THIỆU

1. Đề tài lý thuyết dao động

Một hệ thống nhất định di chuyển trong không gian sao cho trạng thái của nó tại mỗi thời điểm t được mô tả bằng một bộ tham số nhất định: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" chiều cao="23 src =>.gif" chiều rộng="48" chiều cao="24"> và ảnh hưởng bên ngoài. Và nhiệm vụ là dự đoán sự tiến hóa hơn nữa hệ thống kịp thời: (Hình 1).

Giả sử một trong những đặc tính thay đổi của hệ thống là , . Có thể khác giống đặc trưng sự thay đổi của nó theo thời gian: đơn điệu (Hình 2), không đơn điệu (Hình 3), không đơn điệu đáng kể (Hình 4).

Quá trình thay đổi một tham số, được đặc trưng bởi nhiều lần tăng giảm xen kẽ của tham số đó theo thời gian, được gọi là quá trình dao động hoặc đơn giản biến động. Dao động rất phổ biến trong tự nhiên, công nghệ và hoạt động của con người: nhịp điệu của não, dao động của con lắc, nhịp đập của tim, dao động của các ngôi sao, dao động của các nguyên tử và phân tử, sự dao động của cường độ dòng điện mạch điện, sự dao động của nhiệt độ không khí, sự dao động của giá thực phẩm, độ rung của âm thanh, độ rung của dây đàn.

Đề tài nghiên cứu khóa học này là các dao động cơ học, tức là các dao động trong các hệ cơ học.

2. Phân loại hệ thống dao động

Cho phép bạn(X, t) – vectơ trạng thái hệ thống, f(X, t) – vectơ tác động lên hệ thống từ bên ngoài môi trường(Hình 1). Động lực của hệ thống được mô tả bởi phương trình toán tử

L bạn(X, t) = f(X, t), (1)

trong đó toán tử L được cho bởi phương trình dao động và điều kiện bổ sung(ranh giới, ban đầu). Trong phương trình như vậy, u và f cũng có thể là đại lượng vô hướng.

Hầu hết phân loại đơn giản hệ thống dao động có thể được tạo ra theo số bậc tự do. Số bậc tự do là số tham số số độc lập xác định duy nhất cấu hình của hệ thống tại bất kỳ thời điểm t nào. Dựa trên đặc điểm này, hệ thống dao động có thể được phân thành một trong ba loại:

1)Hệ có một bậc tự do.

2)Hệ thống với số giới hạn bậc tự do. Họ cũng thường được gọi hệ thống rời rạc.

3)Hệ có vô số bậc tự do (hệ thống liên tục, phân tán).

Trong bộ lễ phục. 2 cung cấp một số ví dụ minh họa cho mỗi loại của chúng. Đối với mỗi sơ đồ, số bậc tự do được biểu thị bằng các vòng tròn. TRÊN kế hoạch cuối cùng một hệ thống phân tán được trình bày dưới dạng một chùm biến dạng đàn hồi. Để mô tả cấu hình của nó, cần có hàm u(x, t), tức là tập vô hạn giá trị của bạn.

Mỗi loại hệ thống dao động có đặc điểm riêng mô hình toán học. Ví dụ, một hệ có một bậc tự do được mô tả bằng phương trình vi phân thông thường bậc hai, các hệ có số bậc tự do hữu hạn - bằng hệ phương trình vi phân thông thường, hệ phân tán - phương trình vi phân trong các đạo hàm riêng phần.

Tùy thuộc vào loại toán tử L trong mô hình (1), hệ thống dao động được chia thành tuyến tính và phi tuyến. Hệ thống được coi tuyến tính, nếu toán tử tương ứng với nó là tuyến tính, tức là thỏa mãn điều kiện

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 chiều cao=24" chiều cao="24">.jpg" chiều rộng="569" chiều cao="97">
Hợp lệ cho các hệ thống tuyến tính Nguyên lý chồng chất(nguyên lý độc lập về tác dụng của các lực). Bản chất của nó bằng cách sử dụng một ví dụ (Fig..gif" width="36" Height="24 src="> như sau..gif" width="39" Height="24 src=">..gif" chiều rộng=" 88" chiều cao="24">.

Hệ thống cố định và không cố định. bạn hệ thống văn phòng phẩm trong khoảng thời gian đang được xem xét, các thuộc tính không thay đổi theo thời gian. TRONG nếu không thì hệ thống được gọi là không cố định. Hai hình tiếp theo thể hiện rõ ràng sự dao động trong các hệ thống như vậy. Trong bộ lễ phục. Hình 4 biểu diễn các dao động trong một hệ đứng yên ở trạng thái ổn định, Hình 4. 5 - dao động trong một hệ không đứng yên.

Các quá trình trong hệ thống đứng yên được mô tả bằng phương trình vi phân với hệ số không đổi theo thời gian, trong hệ thống không cố định - với hệ số thay đổi.

Hệ thống tự trị và không tự trị. TRONG hệ thống tự trị không có ảnh hưởng bên ngoài. Các quá trình dao động trong chúng chỉ có thể xảy ra do nguồn nội bộ năng lượng hoặc do năng lượng truyền vào hệ thống trong khoảnh khắc bắt đầu thời gian. Trong phương trình toán tử (1), vế phải không phụ thuộc vào thời gian, tức là f(x, t) = f(x). Các hệ thống còn lại được không tự chủ.

Hệ thống bảo thủ và không bảo thủ. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg"align="left hspace=12" width="144" Height="55"> Rung động miễn phí. Rung động miễn phí diễn ra trong trường hợp không có ảnh hưởng thay đổi từ bên ngoài, không có nguồn năng lượng từ bên ngoài tràn vào. Những dao động như vậy chỉ có thể xảy ra trong các hệ thống tự trị (Hình 1).

Rung động cưỡng bức. Những biến động như vậy diễn ra trong các hệ thống không tự chủ và nguồn của chúng là những tác động bên ngoài có thể thay đổi (Hình 2).

Dao động tham số. Các tham số của hệ dao động có thể thay đổi theo thời gian và điều này có thể trở thành nguồn dao động. Những dao động như vậy được gọi là tham số.Điểm treo trên cùng con lắc vật lý(Hình..gif" width="28" Height="23 src=">, gây ra các dao động tham số ngang xảy ra (Hình 5).

Tự dao động(dao động tự kích thích). Các nguồn dao động như vậy có bản chất không dao động và bản thân các nguồn này cũng được đưa vào hệ thống dao động. Trong bộ lễ phục. Hình 6 cho thấy một vật nặng của một lò xo nằm trên một vành đai chuyển động. Có hai lực tác dụng lên nó: lực ma sát và lực căng đàn hồi của lò xo, chúng thay đổi theo thời gian. Thứ nhất phụ thuộc vào sự khác biệt giữa tốc độ của đai và khối lượng, thứ hai phụ thuộc vào độ lớn và dấu hiệu biến dạng của lò xo, do đó khối lượng chịu tác dụng của một lực tổng hợp hướng sang trái hoặc sang phải. và dao động.

Trong ví dụ thứ hai (Hình 7), đầu bên trái của lò xo di chuyển sang bên phải với tốc độ không đổi v, do đó lò xo di chuyển tải dọc theo một bề mặt đứng yên. Một tình huống tương tự như mô tả trong trường hợp trước xảy ra và tải bắt đầu dao động.

4. Động học của các quá trình dao động tuần hoàn

Giả sử quá trình được đặc trưng bởi một biến vô hướng, ví dụ như độ dịch chuyển. Sau đó - tốc độ, - gia tốc..gif" width="11 chiều cao=17" chiều cao="17"> điều kiện được đáp ứng

,

thì dao động đó được gọi là định kỳ(Hình 1). Trong trường hợp này, số nhỏ nhất trong số đó được gọi là chu kỳ dao động. Đơn vị đo chu kỳ dao động thường là giây, ký hiệu là s hoặc giây. Các đơn vị đo lường khác được sử dụng theo phút, giờ, v.v. Một đặc điểm quan trọng khác của quá trình dao động tuần hoàn là tần số dao động

định lượng chu kỳ đầy đủ dao động trên 1 đơn vị thời gian (ví dụ: mỗi giây). Tần số này được đo bằng Hertz (Hz), nghĩa là có 5 chu kỳ dao động hoàn chỉnh trong một giây. Trong các phép tính toán học của lý thuyết dao động hóa ra lại thuận tiện hơn tần số góc

,

được đo bằng https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 Height=24" Height="24">.

Dao động tuần hoàn đơn giản nhất nhưng cực kỳ quan trọng đối với việc xây dựng cơ sở lý thuyết thuyết dao động là dao động điều hòa (hình sin), biến thiên theo định luật

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" Height="17 src="> – biên độ, - pha dao động, - giai đoạn đầu..gif" width="196" chiều cao="24">,

rồi tăng tốc

Thay vì (1), người ta thường sử dụng ký hiệu thay thế

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" Height="21 src=">. Mô tả (1) và (2) cũng có thể được trình bày dưới dạng

Có thể dễ dàng chứng minh mối quan hệ giữa các hằng số trong các công thức (1), (2), (3)

Việc sử dụng các phương pháp và khái niệm của lý thuyết hàm biến phức giúp đơn giản hóa rất nhiều việc mô tả các dao động. Vị trí trung tâm trong trường hợp này phải mất Công thức của Euler

.

Đây https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" Height="28">. (4)

Công thức (1) và (2) được chứa trong (4). Ví dụ, dao động hình sin (1) có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần ảo (4)

và (2) - ở dạng thành phần thực

Dao động đa điều hòa. Tổng của hai dao động điều hòa có cùng tần số sẽ là dao động điều hòa có cùng tần số

Các thuật ngữ có thể có tần số khác nhau

Khi đó tổng (5) sẽ là hàm tuần hoàn với dấu chấm , chỉ khi , , trong đó và là số nguyên, và phân số không thể rút gọn, Số hữu tỉ. Nói chung, nếu hai hoặc nhiều dao động điều hòa có tần số có tỉ số dạng phân số hợp lý, thì tổng của chúng là dao động tuần hoàn nhưng không điều hòa. Những dao động như vậy được gọi là đa âm.

Nếu như dao động tuần hoàn không điều hòa, việc biểu diễn chúng dưới dạng tổng các dao động điều hòa vẫn thường có lợi khi sử dụng loạt Fourier

Đây https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" Height="19"> là số hài, đặc trưng cho giá trị trung bình của độ lệch, https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 Height=24" Height="24"> – sóng hài cơ bản đầu tiên, (https://pandia.ru/text/78/502/ hình ảnh/image080_11. gif" width="207" Height="24"> biểu mẫu phổ tần số do dự.

Ghi chú. Căn cứ lý thuyết Khả năng biểu diễn hàm của một quá trình dao động bằng chuỗi Fourier là định lý Dirichlet cho hàm tuần hoàn:

Nếu một hàm được cho trên một đoạn và liên tục từng đoạn, đơn điệu từng đoạn và bị chặn trên đó thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại tất cả các điểm của đoạn đó https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " width= "28" Height="23 src="> – số tiền chuỗi lượng giác Hàm Fourier f(t), thì tại mọi điểm liên tục của hàm này

và tại mọi điểm gián đoạn

.

Bên cạnh đó,

.

Rõ ràng là các quá trình dao động thực thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet.

Trong phổ tần số, mỗi tần số tương ứng với biên độ Ak và pha ban đầu https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" Height="33">, .

Họ hình thành phổ biên độ https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" Height="24">. Đại diện trực quan Về phổ biên độ tặng cơm 2.

Việc xác định phổ tần số và hệ số Fourier được gọi là Phân tích phổ . Từ lý thuyết chuỗi Fourier người ta biết các công thức sau: