Website “Gia sư Toán chuyên nghiệp” tiếp tục chuỗi bài viết về phương pháp giảng dạy. Tôi xuất bản các mô tả về phương pháp làm việc của mình với những nội dung phức tạp và phức tạp nhất. chủ đề có vấn đề chương trình giảng dạy của trường. Vật liệu này sẽ hữu ích cho giáo viên và gia sư môn toán làm việc với học sinh lớp 8-11 chương trình thường xuyên và theo chương trình lớp toán.
Gia sư toán không phải lúc nào cũng có thể giải thích được những nội dung được trình bày kém trong sách giáo khoa. Thật không may, những chủ đề như vậy ngày càng nhiều và các lỗi trình bày theo tác giả của sách hướng dẫn đang xảy ra hàng loạt. Điều này không chỉ áp dụng cho gia sư dạy toán mới bắt đầu và gia sư bán thời gian (gia sư là sinh viên và gia sư đại học) mà còn áp dụng cho những giáo viên có kinh nghiệm, gia sư chuyên nghiệp, gia sư có kinh nghiệm và trình độ chuyên môn. Không phải gia sư toán nào cũng có tài sửa chữa thành thạo những góc cạnh thô trong sách giáo khoa ở trường. Không phải ai cũng hiểu rằng những sửa chữa (hoặc bổ sung) này là cần thiết. Rất ít trẻ tham gia vào việc điều chỉnh tài liệu cho phù hợp với nhận thức định tính của trẻ. Thật không may, thời gian đã trôi qua khi các giáo viên toán cùng với các nhà phương pháp luận và tác giả của các ấn phẩm thảo luận hàng loạt từng chữ trong sách giáo khoa. Trước đây, trước khi phát hành sách giáo khoa vào trường học, các phân tích và nghiên cứu nghiêm túc về kết quả học tập đã được thực hiện. Đã đến lúc những người nghiệp dư cố gắng phổ cập sách giáo khoa, điều chỉnh chúng theo tiêu chuẩn của các lớp toán giỏi.
Cuộc đua tăng lượng thông tin chỉ làm giảm chất lượng tiếp thu thông tin và do đó làm giảm mức độ tiếp thu thông tin. kiến thức thực tế trong toán học. Nhưng không ai chú ý đến điều này. Và con cái chúng tôi, đã học lớp 8, buộc phải học những gì chúng tôi đã học ở viện: lý thuyết xác suất, giải phương trình bậc cao và một số thứ khác. Việc điều chỉnh tài liệu trong sách để trẻ có thể nhận thức đầy đủ còn nhiều điều chưa mong muốn và gia sư toán buộc phải giải quyết vấn đề này bằng cách nào đó.
Chúng ta hãy nói về phương pháp giảng dạy một chủ đề cụ thể như “chia đa thức cho đa thức cho một góc”, được biết đến nhiều hơn trong toán học dành cho người lớn là “Định lý Bezout và sơ đồ Horner”. Chỉ cách đây vài năm, câu hỏi này không quá cấp bách đối với một gia sư dạy toán vì nó không nằm trong nội dung chính của môn toán. chương trình giảng dạy ở trường. Giờ đây, các tác giả đáng kính của cuốn sách giáo khoa do Telyakovsky biên tập đã thực hiện những thay đổi đối với ấn bản mới nhất của cuốn sách giáo khoa hay nhất, theo ý kiến của tôi, và làm hỏng nó hoàn toàn, chỉ tạo thêm những lo lắng không cần thiết cho gia sư. Giáo viên của các trường và lớp không có tư cách toán học, tập trung vào những đổi mới của tác giả, bắt đầu đưa các đoạn văn bổ sung vào bài học của mình thường xuyên hơn, và những đứa trẻ tò mò khi nhìn vào những trang sách giáo khoa toán đẹp đẽ của mình, ngày càng đặt câu hỏi nhiều hơn. gia sư: “Việc chia một góc là gì? Chúng ta sẽ trải qua chuyện này phải không? Làm thế nào để chia sẻ một góc? Không thể trốn tránh những câu hỏi trực tiếp như vậy. Gia sư sẽ phải nói với đứa trẻ điều gì đó.
Làm sao? Tôi có lẽ đã không mô tả phương pháp làm việc với chủ đề này nếu nó được trình bày thành thạo trong sách giáo khoa. Mọi chuyện với chúng ta thế nào rồi? Sách giáo khoa cần được in và bán. Và để làm được điều này, chúng cần được cập nhật thường xuyên. Các giáo viên đại học có phàn nàn rằng trẻ em đến với họ với cái đầu trống rỗng, không có kiến thức và kỹ năng? Yêu cầu đối với kiến thức toán họcđang phát triển? Tuyệt vời! Hãy loại bỏ một số bài tập và thay vào đó chèn các chủ đề đã được nghiên cứu trong các chương trình khác. Tại sao sách giáo khoa của chúng ta tệ hơn? Hãy bật một số chương bổ sung. Học sinh không biết quy tắc chia góc? Đây là toán học cơ bản. Đoạn này nên được đặt ở dạng tùy chọn, có tiêu đề “dành cho những ai muốn biết thêm”. Là gia sư chống lại nó? Tại sao chúng ta quan tâm đến gia sư nói chung? Các nhà phương pháp và giáo viên trường học cũng chống lại nó? Chúng tôi sẽ không làm phức tạp tài liệu và sẽ xem xét phần đơn giản nhất của nó.
Và đây là nơi nó bắt đầu. Sự đơn giản của chủ đề và chất lượng của việc tiếp thu nó trước hết nằm ở việc hiểu logic của nó chứ không phải ở việc thực hiện, theo hướng dẫn của tác giả sách giáo khoa, một tập hợp các thao tác nhất định không liên quan rõ ràng với nhau . Nếu không, sẽ có sương mù trong đầu học sinh. Nếu tính toán của tác giả dựa trên tương đối sinh viên mạnh mẽ(nhưng học chương trình thông thường) thì không nên trình bày chủ đề dưới dạng mệnh lệnh. Chúng ta thấy gì trong sách giáo khoa? Các con ơi, chúng ta phải chia theo quy tắc này. Lấy đa thức dưới góc. Như vậy đa thức ban đầu sẽ được phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên, không rõ tại sao các số hạng dưới góc lại được chọn chính xác theo cách này, tại sao chúng phải được nhân với đa thức phía trên góc rồi trừ đi phần dư hiện tại. Và quan trọng nhất, không rõ tại sao các đơn thức đã chọn cuối cùng lại phải được thêm vào và tại sao các dấu ngoặc thu được sẽ là sự mở rộng của đa thức ban đầu. Bất kỳ nhà toán học có năng lực nào cũng sẽ đặt ký hiệu in đậm câu hỏi theo lời giải thích trong sách giáo khoa.
Tôi thu hút sự chú ý của các gia sư và giáo viên toán về giải pháp của tôi cho vấn đề này, điều này thực tế làm cho mọi thứ được nêu trong sách giáo khoa trở nên rõ ràng đối với học sinh. Trên thực tế, chúng ta sẽ chứng minh định lý Bezout: nếu số a là nghiệm của một đa thức thì đa thức này có thể bị phân tách thành thừa số, một trong số đó là x-a, và thừa số thứ hai được lấy từ số ban đầu theo một trong ba cách: bằng cách cô lập một hệ số tuyến tính thông qua các phép biến đổi, bằng cách chia cho một góc hoặc bằng sơ đồ Horner. Với công thức này, gia sư dạy toán sẽ dễ dàng làm việc hơn.
Phương pháp giảng dạy là gì? Trước hết, đây là một trật tự rõ ràng trong trình tự giải thích và ví dụ trên cơ sở rút ra kết luận toán học. chủ đề này không có ngoại lệ. Việc gia sư toán giới thiệu cho trẻ định lý Bezout là rất quan trọng trước khi chia một góc. Điều này rất quan trọng! Cách tốt nhất để đạt được sự hiểu biết là ví dụ cụ thể. Hãy lấy một số đa thức với một căn đã chọn và chỉ ra kỹ thuật phân tích thành nhân tử bằng phương pháp quen thuộc với học sinh từ lớp 7 chuyển đổi danh tính. Với những lời giải thích, nhấn mạnh và lời khuyên đi kèm phù hợp từ gia sư toán, bạn hoàn toàn có thể truyền đạt tài liệu mà không cần bất kỳ phép tính toán học chung nào, hệ số và lũy thừa tùy ý.
Lời khuyên quan trọng dành cho gia sư toán- làm theo hướng dẫn từ đầu đến cuối và không thay đổi trình tự này.
Vì vậy, giả sử rằng chúng ta có một đa thức. Nếu thay số 1 vào X thì giá trị của đa thức sẽ bằng 0. Do đó x=1 là nghiệm của nó. Chúng ta hãy thử phân tích thành hai số hạng sao cho một trong số đó là tích biểu thức tuyến tính và một số đơn thức, và đơn thức thứ hai sẽ có bậc một nhỏ hơn . Tức là hãy biểu diễn nó dưới dạng
Ta chọn đơn thức cho trường màu đỏ sao cho khi nhân với số hạng đứng đầu hoàn toàn trùng với số hạng đứng đầu của đa thức ban đầu. Nếu học sinh không phải là người yếu nhất thì học sinh đó sẽ hoàn toàn có khả năng nói với gia sư môn toán biểu thức cần thiết: . Cần yêu cầu gia sư ngay lập tức chèn nó vào trường màu đỏ và cho biết điều gì sẽ xảy ra khi chúng được mở. Tốt nhất là ký tên đa thức tạm thời ảo này dưới các mũi tên (dưới bức ảnh nhỏ), làm nổi bật nó bằng một số màu, chẳng hạn như màu xanh lam. Điều này sẽ giúp bạn chọn một thuật ngữ cho trường màu đỏ, được gọi là phần còn lại của vùng chọn. Tôi khuyên các gia sư nên chỉ ra ở đây rằng phần dư này có thể được tìm thấy bằng phép trừ. Thực hiện thao tác này ta được:
Gia sư toán nên thu hút sự chú ý của học sinh đến thực tế là bằng cách thay thế 1 vào đẳng thức này, chúng ta đảm bảo nhận được 0 ở vế trái của nó (vì 1 là nghiệm của đa thức ban đầu), và ở vế phải, hiển nhiên, chúng ta cũng sẽ loại bỏ thuật ngữ đầu tiên. Điều này có nghĩa là không cần bất kỳ sự xác minh nào, chúng ta có thể nói rằng một là gốc của “phần dư xanh”.
Hãy xử lý nó theo cách tương tự như chúng ta đã làm với đa thức ban đầu, tách khỏi nó cùng một thừa số tuyến tính. Gia sư toán vẽ hai khung trước mặt học sinh và yêu cầu các em điền từ trái sang phải.
Học sinh chọn cho gia sư một đơn thức cho trường màu đỏ để khi nhân với số hạng đứng đầu của biểu thức tuyến tính, nó sẽ cho số hạng đứng đầu của đa thức khai triển. Chúng tôi lắp nó vào khung, ngay lập tức mở khung và tô sáng biểu thức cần trừ khỏi biểu thức gấp bằng màu xanh lam. Thực hiện thao tác này ta được
Và cuối cùng, làm tương tự với phần còn lại cuối cùng
cuối cùng chúng ta sẽ có được nó
Bây giờ, hãy lấy biểu thức ra khỏi ngoặc và chúng ta sẽ thấy sự phân rã của đa thức ban đầu thành các thừa số, một trong số đó là “x trừ nghiệm đã chọn”.
Để học sinh không nghĩ rằng “phần dư xanh” cuối cùng vô tình bị phân rã thành thừa số bắt buộc, gia sư môn toán cần chỉ ra tài sản quan trọng trong số tất cả các số dư xanh - mỗi số dư đều có căn 1. Vì bậc của các số dư này giảm dần, bất kể mức độ nào của đa thức ban đầu được trao cho chúng ta, sớm hay muộn chúng ta sẽ nhận được một “phần dư xanh” tuyến tính với căn 1, và do đó nó nhất thiết sẽ phân hủy thành sản phẩm một số con số và biểu thức nào đó.
Sau này công việc chuẩn bị Sẽ không khó để gia sư toán giải thích cho học sinh điều gì xảy ra khi chia cho một góc. Đây là quy trình tương tự, chỉ ở dạng ngắn hơn và gọn hơn, không có dấu bằng và không viết lại các thuật ngữ được đánh dấu giống nhau. Đa thức mà từ đó hệ số tuyến tính được trích xuất được viết ở bên trái của góc, các đơn thức màu đỏ đã chọn được thu thập ở một góc (bây giờ bạn đã rõ lý do tại sao chúng nên cộng lại), để thu được “đa thức màu xanh” bạn cần nhân những cái “đỏ” x-1, sau đó trừ chúng khỏi những cái hiện được chọn. Việc này được thực hiện như thế nào khi phép chia thông thường các số trong một cột (đây là sự tương tự với những gì đã được nghiên cứu trước đây). Các “dư lượng xanh” thu được sẽ được phân lập và lựa chọn mới các “đơn thức màu đỏ”. Và cứ như vậy cho đến khi bạn nhận được “cân bằng xanh” bằng 0. Điều quan trọng nhất là học sinh hiểu số phận xa hơn viết đa thức trên và dưới góc. Rõ ràng, đây là những dấu ngoặc có tích bằng đa thức ban đầu.
Giai đoạn tiếp theo trong công việc của một gia sư toán là xây dựng định lý Bezout. Trên thực tế, công thức của nó với cách tiếp cận này của giáo viên trở nên rõ ràng: nếu số a là nghiệm của một đa thức, thì nó có thể được phân tích thành thừa số, một trong số đó là , và số còn lại được lấy từ số ban đầu theo một trong ba cách :
- phân rã trực tiếp (tương tự như phương pháp nhóm)
- chia cho một góc (trong một cột)
- thông qua mạch Horner
Phải nói rằng không phải gia sư môn toán nào cũng cho học sinh xem sơ đồ góc và không phải tất cả giáo viên trường học(may mắn thay cho chính các gia sư) họ đi sâu vào chủ đề trong các bài học. Tuy nhiên, đối với học sinh lớp toán Tôi thấy không có lý do gì để dừng lại ở phép chia dài. Hơn nữa, thuận tiện nhất và nhanh Kỹ thuật phân rã dựa trên sơ đồ Horner. Để giải thích cho trẻ biết nó đến từ đâu, chỉ cần theo dõi, sử dụng ví dụ về chia cho một góc, sự xuất hiện của các hệ số cao hơn trong phần dư màu xanh lá cây là đủ. Rõ ràng là hệ số cao nhất của đa thức ban đầu được đưa vào hệ số của “đơn thức đỏ” đầu tiên, và xa hơn nữa là hệ số thứ hai của đa thức trên hiện tại. khấu trừ kết quả của việc nhân hệ số hiện tại của “đơn thức đỏ” với . Vì thế có thể thêm vào kết quả của phép nhân với . Sau khi tập trung sự chú ý của học sinh vào các chi tiết cụ thể của các hành động có hệ số, gia sư toán có thể chỉ ra cách các hành động này thường được thực hiện mà không cần ghi lại các biến. Để làm được điều này, thuận tiện là nhập nghiệm và hệ số của đa thức ban đầu theo thứ tự ưu tiên vào bảng sau:
Nếu thiếu bất kỳ bậc nào trong đa thức, hệ số 0 của nó sẽ bị buộc phải đưa vào bảng. Các hệ số của “đa thức đỏ” lần lượt được viết ở dòng cuối theo quy tắc “móc”: 
Căn số được nhân với hệ số màu đỏ cuối cùng, cộng với hệ số tiếp theo ở dòng trên cùng và kết quả được ghi xuống dòng dưới cùng. Trong cột cuối cùng, chúng tôi được đảm bảo nhận được hệ số cao nhất của “phần còn lại xanh” cuối cùng, tức là bằng 0. Sau khi quá trình hoàn tất, số kẹp giữa gốc phù hợp và phần còn lại bằng 0 hóa ra là hệ số của yếu tố thứ hai (phi tuyến).
Vì căn a cho một số 0 ở cuối dòng dưới cùng, nên có thể sử dụng sơ đồ Horner để kiểm tra các số cho tựa đề của nghiệm của một đa thức. Nếu một định lý đặc biệt về việc lựa chọn một gốc hợp lý. Tất cả các ứng cử viên cho danh hiệu này có được nhờ sự trợ giúp của nó chỉ được chèn lần lượt từ bên trái vào sơ đồ Horner. Ngay khi chúng ta nhận được số 0, số được kiểm tra sẽ là một số gốc, đồng thời chúng ta sẽ nhận được các hệ số phân tích nhân tử của đa thức ban đầu trên dòng của nó. Rất thuận tiện.
Tóm lại, tôi muốn lưu ý rằng để giới thiệu chính xác sơ đồ của Horner, cũng như củng cố chủ đề một cách thực tế, gia sư toán phải có đủ số giờ tùy ý sử dụng. Gia sư làm việc theo chế độ “mỗi tuần một lần” không nên tham gia vào việc chia góc. Trong Kỳ thi Thống nhất về Toán học của Tiểu bang và tại Học viện Toán học Tiểu bang, trong phần đầu tiên, bạn khó có thể gặp một phương trình bậc ba có thể giải được bằng những phương pháp như vậy. Nếu một gia sư đang chuẩn bị cho một đứa trẻ tham gia kỳ thi toán tại Đại học Tổng hợp Moscow, việc nghiên cứu chủ đề này trở thành bắt buộc. Các giáo viên đại học, không giống như những người biên soạn Kỳ thi Thống nhất, thực sự muốn kiểm tra độ sâu kiến \u200b\u200bthức của thí sinh.
Kolpkov Alexander Nikolaevich, gia sư toán Moscow, Strogino
Vân vân. có tính chất giáo dục phổ thông và có giá trị lớn học TOÀN BỘ khóa học toán cao hơn. Hôm nay chúng ta sẽ lặp lại các phương trình “trường học”, nhưng không chỉ các phương trình “trường học” - mà cả những phương trình được tìm thấy ở mọi nơi trong nhiệm vụ khác nhau vyshmat. Như thường lệ, câu chuyện sẽ được kể theo cách ứng dụng, tức là. Mình sẽ không tập trung vào các định nghĩa, phân loại mà sẽ chia sẻ chính xác với các bạn kinh nghiệm cá nhân giải pháp. Thông tin chủ yếu dành cho người mới bắt đầu, nhưng những người đọc nâng cao hơn cũng sẽ tìm thấy rất nhiều điều cho mình. khoảnh khắc thú vị. Và tất nhiên sẽ có vật liệu mới, vượt xa trường trung học.
Vậy phương trình…. Nhiều người nhớ đến từ này với một cái rùng mình. Những phương trình "tinh vi" có nghiệm có giá trị là gì... ...quên chúng đi! Bởi khi đó bạn sẽ gặp những “đại diện” vô hại nhất của loài này. Hay nhàm chán phương trình lượng giác với hàng tá phương pháp giải. Thành thật mà nói, bản thân tôi cũng không thực sự thích chúng... Không hoảng loạn! – thì chủ yếu là “bồ công anh” đang chờ bạn với một giải pháp rõ ràng trong 1-2 bước. Mặc dù “cây ngưu bàng” chắc chắn sẽ đeo bám nhưng bạn cần phải khách quan ở đây.
Thật kỳ lạ, trong toán học cao cấp, việc giải quyết các phương trình rất nguyên thủy như tuyến tính phương trình
Việc giải phương trình này có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là tìm giá trị NHƯ VẬY của “x” (gốc) để biến nó thành sự bình đẳng thực sự. Hãy ném số “ba” sang bên phải với sự thay đổi dấu hiệu:
và thả số “hai” sang bên phải (hoặc, điều tương tự - nhân cả hai vế với)
:
Để kiểm tra, hãy thay chiếc cúp giành được vào phương trình ban đầu: 
Thu được đẳng thức đúng, có nghĩa là giá trị tìm được thực sự là một nghiệm gốc phương trình đã cho. Hoặc, như người ta cũng nói, thỏa mãn phương trình này.
Xin lưu ý rằng gốc cũng có thể được viết dưới dạng số thập phân:
Và cố gắng đừng dính vào phong cách xấu này! Tôi đã lặp lại lý do này nhiều lần, đặc biệt là ở bài học đầu tiên trên đại số cao hơn.
Nhân tiện, phương trình cũng có thể được giải “bằng tiếng Ả Rập”:
Và điều thú vị nhất - mục này hoàn toàn hợp pháp! Nhưng nếu bạn không phải là giáo viên thì tốt hơn hết là đừng làm điều này, vì sự độc đáo ở đây sẽ bị trừng phạt =)
Và bây giờ một chút về
phương pháp giải đồ họa
Phương trình có dạng và nghiệm của nó là Tọa độ "X" điểm giao nhau đồ thị hàm tuyến tính có lịch trình hàm tuyến tính (trục x):
Có vẻ như ví dụ này quá sơ đẳng nên không còn gì để phân tích ở đây, nhưng một sắc thái bất ngờ nữa có thể bị “ép” ra khỏi nó: hãy trình bày cùng một phương trình ở dạng và xây dựng đồ thị của các hàm: 
Đồng thời, xin đừng nhầm lẫn giữa hai khái niệm: một phương trình là một phương trình, và chức năng– đây là một chức năng! Chức năng chỉ giúp đỡ tìm nghiệm nguyên của phương trình. Trong đó có thể có hai, ba, bốn hoặc thậm chí nhiều vô số. Ví dụ gần nhất theo nghĩa này là ví dụ nổi tiếng phương trình bậc hai
, thuật toán giải đã nhận được một đoạn riêng những công thức học đường “hot”. Và đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên! Nếu bạn có thể giải một phương trình bậc hai và biết định lý Pythagore, thì người ta có thể nói, “một nửa số kiến thức toán cao cấp đã có sẵn trong túi của bạn” =) Tất nhiên là phóng đại, nhưng không quá xa sự thật!
Vì vậy, chúng ta đừng lười biếng và giải một số phương trình bậc hai bằng cách sử dụng thuật toán chuẩn:
, có nghĩa là phương trình có hai điểm khác nhau có hiệu lực gốc: 
Thật dễ dàng để xác minh rằng cả hai giá trị tìm thấy đều thực sự thỏa mãn phương trình này: 
Phải làm gì nếu bạn đột nhiên quên thuật toán giải và không có phương tiện/sự trợ giúp nào trong tay? Tình huống này có thể phát sinh, ví dụ, trong một bài kiểm tra hoặc kỳ thi. Chúng tôi sử dụng phương pháp đồ họa! Và có hai cách: bạn có thể xây dựng từng điểm một parabol 
, từ đó tìm ra nơi nó giao nhau với trục (nếu nó vượt qua). Nhưng tốt hơn hết bạn nên làm điều gì đó xảo quyệt hơn: tưởng tượng phương trình ở dạng, vẽ đồ thị nhiều hơn chức năng đơn giản- Và tọa độ "X"điểm giao nhau của họ có thể nhìn thấy rõ ràng! 
Nếu đường thẳng tiếp xúc với parabol thì phương trình có hai nghiệm (nhiều) trùng nhau. Nếu đường thẳng không cắt parabol thì không có nghiệm thực sự.
Tất nhiên, để làm được điều này, bạn cần có khả năng xây dựng đồ thị hàm số cơ bản, nhưng mặt khác, ngay cả một học sinh cũng có thể thực hiện được những kỹ năng này.
Và một lần nữa - một phương trình là một phương trình và các hàm số là các hàm chỉ giúp giải phương trình!
Và nhân tiện, ở đây, sẽ rất thích hợp để nhớ thêm một điều nữa: nếu tất cả các hệ số của một phương trình được nhân với một số khác 0 thì nghiệm của phương trình đó không thay đổi.
Vì vậy, ví dụ, phương trình 
có cùng nguồn gốc. Như một “bằng chứng” đơn giản, tôi sẽ bỏ hằng số ra khỏi ngoặc: 
và tôi sẽ loại bỏ nó một cách dễ dàng (Tôi sẽ chia cả hai phần cho “trừ hai”):
NHƯNG! Nếu chúng ta xét hàm 
, thì bạn không thể loại bỏ hằng số ở đây! Chỉ được phép lấy số nhân ra khỏi ngoặc: 
.
Nhiều người đánh giá thấp phương pháp giải bằng đồ họa, coi đó là một thứ gì đó “không xứng đáng”, và một số thậm chí còn hoàn toàn quên mất khả năng này. Và điều này về cơ bản là sai, vì việc vẽ đồ thị đôi khi chỉ cứu vãn được tình hình!
Một ví dụ khác: giả sử bạn không nhớ gốc của phương trình lượng giác đơn giản nhất: . Công thức chungđang ở trong sách giáo khoa trường học, trong tất cả các sách tham khảo về toán tiểu học, nhưng chúng không có sẵn cho bạn. Tuy nhiên, việc giải phương trình là rất quan trọng (hay còn gọi là “hai”). Có một lối thoát! – Xây dựng đồ thị hàm số: 
sau đó chúng ta bình tĩnh viết tọa độ “X” của các điểm giao nhau của chúng: 
Có vô số nghiệm, và trong đại số, ký hiệu cô đọng của chúng được chấp nhận:
, Ở đâu ( – tập hợp số nguyên)
.
Và, không cần “rời khỏi máy tính tiền”, một vài lời về phương pháp đồ họa nghiệm của bất đẳng thức một biến. Nguyên tắc là như nhau. Vì vậy, ví dụ, nghiệm của bất đẳng thức là bất kỳ chữ “x” nào, bởi vì Hình sin gần như nằm hoàn toàn dưới đường thẳng. Lời giải của bất đẳng thức là tập hợp các khoảng trong đó các phần của hình sin nằm đúng phía trên đường thẳng (trục x):
hoặc nói tóm lại:
Nhưng đây là nhiều giải pháp cho sự bất bình đẳng: trống, vì không có điểm nào của hình sin nằm phía trên đường thẳng.
Có điều gì bạn không hiểu? Khẩn trương nghiên cứu các bài học về bộ Và đồ thị hàm số!
Hãy khởi động nào:
Nhiệm vụ 1
Giải các phương trình lượng giác sau bằng đồ thị:
Đáp án ở cuối bài học
Như bạn có thể thấy, để học khoa học chính xác Không nhất thiết phải nhồi nhét công thức và sách tham khảo đâu nhé! Hơn nữa, đây là một cách tiếp cận thiếu sót cơ bản.
Như tôi đã trấn an bạn ngay từ đầu bài học, các phương trình lượng giác phức tạp trong một khóa học tiêu chuẩn của toán cao cấp cực kỳ hiếm khi được giải. Tất cả sự phức tạp, như một quy luật, đều kết thúc bằng các phương trình như , nghiệm của nó là hai nhóm nghiệm bắt nguồn từ các phương trình đơn giản nhất và 
. Đừng lo lắng quá nhiều về việc giải quyết vấn đề sau – hãy tìm trong sách hoặc tìm trên Internet =)
Phương pháp giải đồ họa cũng có thể giúp ích trong những trường hợp ít tầm thường hơn. Ví dụ, hãy xem xét phương trình “ragtag” sau:
Triển vọng cho lời giải của nó trông... chẳng giống gì cả, nhưng bạn chỉ cần tưởng tượng phương trình ở dạng, xây dựng đồ thị hàm số và mọi thứ sẽ trở nên đơn giản đến không ngờ. Có một hình vẽ ở giữa bài viết về hàm số vô cùng nhỏ (sẽ mở trong tab tiếp theo).
Sử dụng cùng một phương pháp đồ họa, bạn có thể phát hiện ra rằng phương trình đã có hai nghiệm và một trong số đó bằng 0, và cái còn lại, rõ ràng, phi lý và thuộc phân khúc . Cho gốc có thể được tính toán gần đúng, ví dụ: phương pháp tiếp tuyến. Nhân tiện, trong một số vấn đề, xảy ra trường hợp bạn không cần tìm gốc rễ mà hãy tìm hiểu chúng có tồn tại không?. Và ở đây, một bản vẽ cũng có thể hữu ích - nếu các đồ thị không giao nhau thì không có gốc.
Căn hữu tỉ của đa thức có hệ số nguyên.
Sơ đồ Horner
Và bây giờ tôi mời bạn hướng ánh nhìn về thời Trung cổ và cảm nhận bầu không khí độc đáo của đại số cổ điển. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi khuyên bạn nên đọc ít nhất một chút số phức.
Họ là những người tốt nhất. Đa thức.
Đối tượng chúng ta quan tâm sẽ là các đa thức phổ biến nhất có dạng với trọn hệ số Số tự nhiên gọi điện bậc đa thức, số – hệ số bậc cao nhất (hoặc chỉ là hệ số cao nhất), và hệ số là thành viên miễn phí.
Tôi sẽ biểu thị ngắn gọn đa thức này bằng .
Căn nguyên của một đa thức gọi nghiệm của phương trình
Tôi yêu logic sắt =))
Ví dụ, hãy đi đến phần đầu của bài viết: 
Không có vấn đề gì khi tìm nghiệm của đa thức bậc 1 và bậc 2, nhưng khi bạn tăng dần, nhiệm vụ này ngày càng trở nên khó khăn hơn. Mặc dù mặt khác, mọi thứ thú vị hơn! Và đây chính xác là nội dung mà phần thứ hai của bài học sẽ đề cập đến.
Đầu tiên, theo đúng nghĩa đen là nửa màn hình lý thuyết:
1) Theo hệ quả định lý cơ bản của đại số, đa thức bậc có chính xác tổ hợp rễ. Một số rễ (hoặc thậm chí tất cả) có thể đặc biệt có hiệu lực. Hơn nữa, trong số các nghiệm thực có thể có (nhiều) nghiệm giống nhau (tối thiểu hai, tối đa miếng).
Nếu một số phức nào đó là nghiệm của một đa thức thì liên hợp số của anh ấy cũng nhất thiết phải là gốc đa thức đã cho (liên hợp rễ phức tạp trông giống như ).
Ví dụ đơn giản nhất là một phương trình bậc hai xuất hiện lần đầu tiên vào năm 8 (giống) lớp học và cuối cùng chúng tôi đã “hoàn thành” trong chủ đề số phức. Hãy để tôi nhắc bạn: một phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau, hoặc có nhiều nghiệm khác nhau, hoặc nghiệm phức liên hợp.
2) Từ Định lý Bezout Theo đó, nếu một số là nghiệm của một phương trình thì đa thức tương ứng có thể được phân tích thành nhân tử:
, ở đâu là đa thức bậc .
Và một lần nữa, của chúng tôi ví dụ cũ: vì là nghiệm của phương trình nên . Sau đó, không khó để có được bản mở rộng “trường học” nổi tiếng.
Hệ quả tất yếu của định lý Bezout có ý nghĩa lớn giá trị thực tế: nếu ta biết nghiệm của phương trình bậc 3 thì ta có thể biểu diễn nó dưới dạng 
và từ phương trình bậc hai dễ dàng tìm ra các nghiệm còn lại. Nếu chúng ta biết nghiệm của phương trình bậc 4 thì có thể khai triển vế trái thành tích, v.v.
Và có hai câu hỏi ở đây:
Câu hỏi một. Làm thế nào để tìm thấy gốc này? Trước hết hãy xác định bản chất của nó: trong nhiều bài toán cao cấp cần tìm hợp lý, đặc biệt trọn nghiệm của đa thức, và về vấn đề này, chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến chúng dưới đây.... ...chúng thật ngon, thật mềm mại đến nỗi bạn chỉ muốn tìm thấy chúng! =)
Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là phương pháp lựa chọn. Ví dụ, hãy xem xét phương trình . Điều bắt buộc ở đây là trong thời hạn tự do - nếu nó bằng 0, thì mọi thứ sẽ ổn - chúng ta lấy chữ “x” ra khỏi ngoặc và bản thân các rễ “rơi ra” bề mặt: 
Nhưng số hạng tự do của chúng ta bằng “ba”, và do đó chúng ta bắt đầu thay thế vào phương trình số khác nhau, tự xưng là "gốc". Trước hết, sự thay thế gợi ý chính nó giá trị đơn. Hãy thay thế: 
Đã nhận không đúng sự bình đẳng, do đó, đơn vị “không phù hợp”. Được rồi, hãy thay thế: 
Đã nhận ĐÚNG VẬY bình đẳng! Đó là, giá trị là gốc của phương trình này.
Để tìm nghiệm của đa thức bậc 3, ta có phương pháp phân tích (được gọi là công thức Cardano), nhưng bây giờ chúng ta quan tâm đến một nhiệm vụ hơi khác một chút.
Vì - là nghiệm của đa thức nên đa thức có thể được biểu diễn dưới dạng và phát sinh Câu hỏi thứ hai: làm sao để tìm được “em trai”?
Những cân nhắc đại số đơn giản nhất cho thấy rằng để làm được điều này chúng ta cần chia cho . Làm thế nào để chia một đa thức cho một đa thức? Như nhau phương pháp học tậpđã chia sẻ số thường xuyên- "trong một cột"! Phương pháp này Tôi đã thảo luận chi tiết trong các ví dụ đầu tiên của bài học Giới hạn phức tạp, và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một phương pháp khác, được gọi là Sơ đồ Horner.
Đầu tiên chúng ta viết đa thức “cao nhất” với mọi người
, bao gồm các hệ số bằng 0:
, sau đó chúng ta nhập các hệ số này (theo đúng thứ tự) vào hàng trên cùng của bảng:
Chúng tôi viết gốc ở bên trái:
Tôi sẽ ngay lập tức đặt trước rằng kế hoạch của Horner cũng hoạt động nếu số “đỏ” Không là nghiệm của đa thức. Tuy nhiên, chúng ta đừng vội vàng.
Chúng tôi loại bỏ hệ số hàng đầu từ trên:
Quá trình lấp đầy các ô bên dưới phần nào gợi nhớ đến thêu, trong đó “trừ một” là một loại “kim” xuyên qua các bước tiếp theo. Chúng ta nhân số “mang theo” với (–1) và cộng số từ ô trên cùng vào kết quả:
Chúng tôi nhân giá trị tìm được với “kim đỏ” và cộng hệ số phương trình sau vào tích:
Và cuối cùng, giá trị kết quả lại được “xử lý” bằng “kim” và hệ số trên:
Số 0 ở ô cuối cùng cho chúng ta biết đa thức được chia thành không có dấu vết (như nó phải vậy), trong khi các hệ số mở rộng được “xóa” trực tiếp khỏi dòng cuối cùng của bảng:
Vì vậy, từ phương trình chúng ta chuyển sang phương trình tương đương và với hai gốc còn lại mọi thứ đều rõ ràng (V trong trường hợp này chúng ta có được rễ phức liên hợp).
Nhân tiện, phương trình cũng có thể được giải bằng đồ họa: "sét" 
và thấy rằng đồ thị đi qua trục x ()
tại điểm . Hoặc thủ thuật “xảo quyệt” tương tự - chúng ta viết lại phương trình dưới dạng, vẽ đồ họa sơ cấp và phát hiện tọa độ “X” của điểm giao nhau của chúng.
Nhân tiện, đồ thị của bất kỳ hàm đa thức bậc ba nào cắt trục ít nhất một lần, điều đó có nghĩa là phương trình tương ứng có ít nhất một có hiệu lực gốc. Sự thật này hợp lệ cho mọi hàm đa thức bậc lẻ.
Và ở đây tôi cũng muốn nói thêm điểm quan trọng liên quan đến thuật ngữ: đa thức Và hàm đa thức – nó không giống nhau! Nhưng trong thực tế, họ thường nói, chẳng hạn như về “đồ thị của đa thức”, tất nhiên, đó là sơ suất.
Tuy nhiên, hãy quay lại sơ đồ của Horner. Như tôi đã đề cập gần đây, lược đồ này hoạt động với các số khác, nhưng nếu số đó Không là nghiệm của phương trình, thì phép cộng (số dư) khác 0 sẽ xuất hiện trong công thức của chúng ta:
Hãy “chạy” giá trị “không thành công” theo sơ đồ của Horner. Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện khi sử dụng cùng một bảng - viết một “kim” mới ở bên trái, di chuyển hệ số dẫn đầu từ trên xuống (mũi tên xanh trái), và chúng ta bắt đầu: 
Để kiểm tra, hãy mở dấu ngoặc đơn và trình bày điều khoản tương tự:
, ĐƯỢC RỒI.
Dễ dàng nhận thấy rằng số dư (“sáu”) chính xác là giá trị của đa thức tại . Và trên thực tế - nó như thế nào: 
, và thậm chí còn đẹp hơn - như thế này:
Từ các tính toán trên, có thể dễ dàng hiểu rằng sơ đồ Horner không chỉ cho phép phân tích đa thức mà còn thực hiện phép chọn nghiệm “văn minh”. Tôi khuyên bạn nên củng cố độc lập thuật toán tính toán bằng một nhiệm vụ nhỏ:
Nhiệm vụ 2
Sử dụng sơ đồ Horner, hãy tìm toàn bộ gốc phương trình và nhân tử của đa thức tương ứng
Nói cách khác, ở đây bạn cần kiểm tra tuần tự các số 1, –1, 2, –2, ... – cho đến khi số dư bằng 0 được “rút” vào cột cuối cùng. Điều này có nghĩa là “kim” của đường thẳng này là nghiệm của đa thức
Thật thuận tiện khi sắp xếp các phép tính trong một bảng duy nhất. Giải pháp chi tiết và đáp án ở cuối bài.
Phương pháp chọn rễ tốt cho tương đối trường hợp đơn giản, nhưng nếu hệ số và/hoặc bậc của đa thức lớn thì quá trình có thể mất nhiều thời gian hơn. Hoặc có thể có một số giá trị trong cùng danh sách 1, –1, 2, –2 và không có ích gì khi xem xét? Và hơn nữa, rễ cây có thể bị chia nhỏ, dẫn đến việc chọc ghẹo hoàn toàn phản khoa học.
May mắn thay, có hai định lý mạnh mẽ có thể làm giảm đáng kể việc tìm kiếm các giá trị “ứng cử viên” cho nghiệm hữu tỷ:
Định lý 1 Hãy xem xét không thể rút gọn được phân số , ở đâu . Nếu số là nghiệm của phương trình thì số hạng tự do được chia cho và hệ số dẫn đầu được chia cho.
Đặc biệt, nếu hệ số cao nhất là , thì nghiệm hữu tỉ này là một số nguyên:
Và chúng ta bắt đầu khai thác định lý chỉ với chi tiết thú vị này:
Hãy quay trở lại phương trình. Vì hệ số cao nhất của nó là , nên các nghiệm hữu tỷ giả định có thể là số nguyên hoàn toàn và số hạng tự do nhất thiết phải được chia thành các nghiệm này mà không có phần dư. Và “ba” chỉ có thể chia thành 1, –1, 3 và –3. Tức là chúng ta chỉ có 4 “ứng cử viên gốc”. Và, theo Định lý 1, khác số hữu tỉ không thể là nghiệm của phương trình này TRONG NGUYÊN TẮC.
Có thêm một chút “đối thủ” trong phương trình: số hạng tự do được chia thành 1, –1, 2, – 2, 4 và –4.
Xin lưu ý rằng các số 1, –1 là các số “chính quy” trong danh sách các gốc có thể có (một hệ quả hiển nhiên của định lý) và hầu hết sự lựa chọn tốt nhấtđể kiểm tra ưu tiên.
Hãy chuyển sang các ví dụ có ý nghĩa hơn:
Vấn đề 3
Giải pháp: vì hệ số cao nhất là , nên các nghiệm hữu tỷ giả định chỉ có thể là số nguyên và chúng nhất thiết phải là ước của số hạng tự do. “Trừ bốn mươi” được chia thành các cặp số sau:
– tổng cộng có 16 “ứng cử viên”.
Và ở đây một ý nghĩ hấp dẫn ngay lập tức xuất hiện: liệu có thể loại bỏ tất cả những gốc rễ tiêu cực hay tích cực? Trong một số trường hợp có thể! Tôi sẽ đưa ra hai dấu hiệu:
1) Nếu Tất cả Nếu các hệ số của đa thức không âm thì nó không thể có nghiệm dương. Thật không may, đây không phải là trường hợp của chúng ta (Bây giờ, nếu chúng ta được cho một phương trình - thì đúng vậy, khi thay thế bất kỳ giá trị nào của đa thức, giá trị của đa thức hoàn toàn dương, có nghĩa là mọi thứ đều số dương (và cả những điều phi lý nữa) không thể là nghiệm của phương trình.
2) Nếu các hệ số của lũy thừa lẻ không âm và đối với mọi lũy thừa chẵn (bao gồm cả thành viên miễn phí)âm thì đa thức không thể có rễ tiêu cực. Đây là trường hợp của chúng tôi! Nhìn kỹ hơn một chút, bạn có thể thấy rằng khi bạn thay thế bất kỳ âm “x” nào vào phương trình bên trái sẽ hoàn toàn âm, có nghĩa là nghiệm âm biến mất
Như vậy còn lại 8 số để nghiên cứu:
Chúng tôi “tính phí” chúng một cách tuần tự theo sơ đồ của Horner. Tôi hy vọng bạn đã thành thạo tính toán tinh thần:
May mắn đang chờ đợi chúng tôi khi thử nghiệm “hai”. Vì vậy, đây là nghiệm của phương trình đang được xem xét, và
Việc còn lại là nghiên cứu phương trình 
. Điều này có thể dễ dàng thực hiện thông qua phân biệt đối xử, nhưng tôi sẽ tiến hành kiểm tra mang tính biểu thị bằng cách sử dụng cùng một sơ đồ. Đầu tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng số hạng tự do bằng 20, có nghĩa là Định lý 1 các số 8 và 40 bị loại khỏi danh sách các nghiệm có thể có, để lại giá trị cho việc nghiên cứu (một bị loại theo sơ đồ của Horner).
Chúng ta viết các hệ số của tam thức ở hàng trên cùng của bảng mới và Chúng tôi bắt đầu kiểm tra với cùng một “hai”. Tại sao? Và vì nghiệm có thể là bội số nên: - phương trình này có 10 rễ giống nhau. Nhưng chúng ta đừng bị phân tâm: 
Và ở đây, tất nhiên, tôi đã nói dối một chút, biết rằng gốc rễ là hợp lý. Rốt cuộc, nếu chúng vô tỷ hoặc phức tạp, thì tôi sẽ phải đối mặt với việc kiểm tra không thành công tất cả các số còn lại. Vì vậy, trong thực tế, hãy được hướng dẫn bởi người phân biệt đối xử.
Trả lời: nghiệm hữu tỉ: 2, 4, 5
Chúng tôi đã may mắn trong vấn đề mà chúng tôi đã phân tích, bởi vì: a) chúng rơi ra ngay lập tức giá trị âm và b) chúng tôi đã tìm thấy gốc rất nhanh (và về mặt lý thuyết chúng tôi có thể kiểm tra toàn bộ danh sách).
Nhưng trên thực tế, tình hình còn tồi tệ hơn nhiều. Tôi mời bạn xem trò chơi thú vị gọi điện " Người anh hùng cuối cùng»:
Vấn đề 4
Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình
Giải pháp: Qua Định lý 1 tử số giả định rễ hợp lý phải thỏa mãn điều kiện (chúng ta đọc “mười hai chia cho el”), và mẫu số – theo điều kiện . Dựa trên điều này, chúng tôi nhận được hai danh sách:
"danh sách el":
và "liệt kê ừm": (may mắn thay, những con số ở đây là tự nhiên).
Bây giờ hãy lập danh sách tất cả các gốc có thể. Đầu tiên, chúng tôi chia “danh sách el” cho . Hoàn toàn rõ ràng rằng những con số tương tự sẽ thu được. Để thuận tiện, hãy đặt chúng vào một bảng:
Nhiều phân số đã được giảm bớt, dẫn đến các giá trị đã có trong “danh sách anh hùng”. Chúng tôi chỉ thêm “người mới”: 
Tương tự, chúng ta chia cùng một “danh sách” cho: 
và cuối cùng là trên
Như vậy, nhóm người tham gia trò chơi của chúng tôi đã hoàn thành: 
Thật không may, đa thức trong bài toán này không thỏa mãn tiêu chí “dương” hoặc “âm” và do đó chúng ta không thể loại bỏ hàng trên cùng hoặc hàng dưới cùng. Bạn sẽ phải làm việc với tất cả các con số.
Bạn đang cảm thấy thế nào? Nào, hãy ngẩng đầu lên - có một định lý khác có thể được gọi theo nghĩa bóng là “định lý sát thủ”…. ..."ứng cử viên", tất nhiên rồi =)
Nhưng trước tiên bạn cần xem qua sơ đồ của Horner ít nhất một toàn bộ những con số. Theo truyền thống, hãy lấy một cái. Ở dòng trên cùng, chúng tôi viết các hệ số của đa thức và mọi thứ vẫn như bình thường:
Vì 4 rõ ràng không bằng 0 nên giá trị này không phải là nghiệm của đa thức đang xét. Nhưng cô ấy sẽ giúp chúng tôi rất nhiều.
Định lý 2 Nếu vì một số người nói chung giá trị của đa thức là khác 0: , thì nghiệm hữu tỉ của nó (nếu chúng tồn tại) thỏa mãn điều kiện
Trong trường hợp của chúng tôi và do đó tất cả các nghiệm có thể phải thỏa mãn điều kiện (hãy gọi nó là Điều kiện số 1). Bộ 4 này sẽ là “sát thủ” của nhiều “ứng cử viên”. Để minh họa, tôi sẽ xem xét một số kiểm tra:
Hãy kiểm tra "ứng cử viên". Để làm điều này, chúng ta hãy biểu diễn nó một cách giả tạo dưới dạng phân số, từ đó có thể thấy rõ rằng . Hãy tính chênh lệch kiểm tra: . Bốn được chia cho “trừ hai”: , có nghĩa là gốc có thể đã vượt qua bài kiểm tra.
Hãy kiểm tra giá trị. Ở đây sự khác biệt kiểm tra là: 
. Tất nhiên, và do đó “chủ đề” thứ hai cũng vẫn có trong danh sách.
Mục tiêu bài học:
- dạy học sinh giải phương trình bằng cấp cao hơn sử dụng sơ đồ Horner;
- phát triển khả năng làm việc theo cặp;
- Cùng với các phần chính của môn học, tạo cơ sở để phát triển năng lực của học sinh;
- giúp học sinh đánh giá tiềm năng của mình, phát triển niềm yêu thích toán học, khả năng tư duy và phát biểu về chủ đề này.
Thiết bị: thẻ làm việc nhóm, áp phích có sơ đồ Horner.
Phương pháp giảng dạy: giảng, kể chuyện, giải thích, làm bài tập rèn luyện.
Hình thức kiểm soát: kiểm tra nhiệm vụ quyết định độc lập, làm việc độc lập.
Tiến độ bài học
1. Thời điểm tổ chức
2. Cập nhật kiến thức cho học sinh
Định lý nào cho phép bạn xác định xem một số có phải là nghiệm của một phương trình đã cho hay không (xây dựng định lý)?
Định lý Bezout. Phần dư của phép chia đa thức P(x) cho nhị thức x-c bằng P(c), số c được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(c)=0. Định lý cho phép, mà không cần thực hiện phép chia, xác định xem số đã cho nghiệm của đa thức.
Những tuyên bố nào làm cho việc tìm ra nguồn gốc dễ dàng hơn?
a) Nếu hệ số cao nhất của đa thức bằng một, thì các nghiệm của đa thức phải được tìm trong số các ước của số hạng tự do.
b) Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì một trong các nghiệm là 1.
c) Nếu tổng các hệ số ở vị trí chẵn bằng tổng các hệ số ở vị trí lẻ thì một trong các nghiệm bằng -1.
d) Nếu tất cả các hệ số đều dương thì nghiệm của đa thức là số âm.
e) Một đa thức bậc lẻ có ít nhất một gốc thật.
3. Học tài liệu mới
Khi giải số nguyên phương trình đại số bạn phải tìm các giá trị gốc của đa thức. Hoạt động này có thể được đơn giản hóa đáng kể nếu việc tính toán được thực hiện bằng thuật toán đặc biệt gọi là sơ đồ Horner. Mạch này được đặt theo tên của nhà khoa học người Anh William George Horner. Sơ đồ Horner là một thuật toán để tính thương và số dư của phép chia đa thức P(x) cho x-c. Tóm tắt cách nó hoạt động.
Cho một đa thức tùy ý P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Chia đa thức này cho x-c là biểu diễn của nó dưới dạng P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Đạo hàm riêng g(x)=trong 0 x n-1 + trong n x n-2 +…+trong n-2 x + trong n-1, trong đó trong 0 =a 0, trong n =st n-1 +a n , n =1,2,3,…n-1. Số dư r(x)= st n-1 +a n. Phương pháp tính toán này được gọi là sơ đồ Horner. Từ “sơ đồ” trong tên của thuật toán là do việc thực hiện nó thường được chính thức hóa. như sau. Đầu tiên, vẽ bảng 2(n+2). Ở ô phía dưới bên trái viết số c và ở dòng trên cùng là các hệ số của đa thức P(x). Trong trường hợp này, ô phía trên bên trái được để trống.
trong 0 = a 0 |
trong 1 = thứ 1 + a 1 |
trong 2 = sv 1 + MỘT 2 |
trong n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Số mà sau khi thực hiện thuật toán được ghi vào ô phía dưới bên phải là phần dư của phép chia đa thức P(x) cho x-c. Các số khác trong 0, trong 1, trong 2,... ở dòng cuối cùng là hệ số của thương.
Ví dụ: Chia đa thức P(x)= x 3 -2x+3 cho x-2.
Chúng ta nhận được x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Củng cố tài liệu đã học
Ví dụ 1: Phân tích đa thức P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 thành thừa số có hệ số nguyên.
Chúng tôi đang tìm kiếm các nghiệm nguyên trong số các ước của số hạng tự do -1: 1; -1. Hãy lập một bảng:
X = -1 – gốc
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Hãy kiểm tra 1/2.
X=1/2 - gốc |
Do đó, đa thức P(x) có thể được biểu diễn dưới dạng
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Ví dụ 2: Giải phương trình 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Vì tổng các hệ số của đa thức viết ở vế trái của phương trình bằng 0 nên một trong các nghiệm là 1. Hãy sử dụng sơ đồ Horner:
X=1 - gốc |
Chúng ta nhận được P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Chúng ta sẽ tìm nghiệm trong số các ước của số hạng tự do 2.
Chúng tôi phát hiện ra rằng không còn rễ nào nguyên vẹn nữa. Hãy kiểm tra 1/2; -1/2.
X= -1/2 - gốc |
Trả lời: 1; -1/2.
Ví dụ 3: Giải phương trình 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này trong số các ước của số hạng tự do 5: 1;-1;5;-5. x=1 là nghiệm của phương trình, vì tổng các hệ số bằng 0. Hãy sử dụng sơ đồ Horner:
Hãy biểu diễn phương trình dưới dạng tích của ba thừa số: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Giải phương trình bậc hai 5x 2 -7x+5=0, ta được D=49-100=-51, không có nghiệm nào.
Thẻ 1
- Phân tích nhân tử của đa thức: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Giải phương trình: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Thẻ 2
- Phân tích nhân tử của đa thức: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Giải phương trình: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Thẻ 3
- Phân tích thành nhân tử: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Giải phương trình: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Thẻ 4
- Phân tích thành: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Giải phương trình: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Tổng hợp
Kiểm tra kiến thức khi giải theo cặp được thực hiện trên lớp bằng cách nhận biết phương pháp hành động và tên câu trả lời.
bài tập về nhà:
Giải các phương trình:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
Văn học
- N.Ya. Vilenkin và cộng sự, Đại số và phần đầu của giải tích, lớp 10 ( nghiên cứu chuyên sâu Toán học): Khai sáng, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Giải phương trình bậc cao: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Hệ thống số và ứng dụng của chúng.
Sơ đồ Horner - phương pháp chia đa thức
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
trên nhị thức $x-a$. Bạn sẽ phải làm việc với một bảng, hàng đầu tiên chứa các hệ số của một đa thức nhất định. Phần tử đầu tiên của dòng thứ hai sẽ là số $a$, được lấy từ nhị thức $x-a$:
Sau khi chia đa thức bậc n cho nhị thức $x-a$, chúng ta thu được một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc ban đầu một đơn vị, tức là. bằng $n-1$. Việc áp dụng trực tiếp sơ đồ Horner được thể hiện dễ dàng nhất bằng các ví dụ.
Ví dụ số 1
Chia $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.
Chúng ta hãy lập một bảng gồm hai dòng: ở dòng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$, sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến $x$. Lưu ý rằng đa thức này không chứa $x$ bậc một, tức là hệ số của $x$ lũy thừa bậc một là 0. Vì chúng ta đang chia cho $x-1$, nên chúng ta viết một ở dòng thứ hai:
Hãy bắt đầu điền vào các ô trống ở dòng thứ hai. Trong ô thứ hai của dòng thứ hai, chúng ta viết số $5$, chỉ cần di chuyển nó từ ô tương ứng của dòng đầu tiên:
Hãy điền vào ô tiếp theo theo nguyên tắc này: $1\cdot 5+5=10$:
Hãy điền vào ô thứ tư của dòng thứ hai theo cách tương tự: $1\cdot 10+1=11$:
Đối với ô thứ năm, chúng ta nhận được: $1\cdot 11+0=11$:
Và cuối cùng, đối với ô cuối cùng, thứ sáu, chúng ta có: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Vấn đề đã được giải quyết, việc còn lại là viết ra câu trả lời:
Như bạn có thể thấy, các số nằm ở dòng thứ hai (từ 1 đến 0) là hệ số của đa thức thu được sau khi chia $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$. Đương nhiên, vì bậc của đa thức ban đầu $5x^4+5x^3+x^2-11$ bằng 4, nên bậc của đa thức thu được $5x^3+10x^2+11x+11$ là bớt đi một, tức là . bằng ba. Số cuối cùng ở dòng thứ hai (không) có nghĩa là số dư khi chia đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại bằng 0, tức là các đa thức đều chia hết. Kết quả này cũng có thể được mô tả như sau: giá trị của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x=1$ bằng 0.
Kết luận cũng có thể được đưa ra dưới dạng này: vì giá trị của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ tại $x=1$ bằng 0, nên đơn vị là nghiệm của đa thức $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Ví dụ số 2
Chia đa thức $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x+3$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.
Chúng ta hãy quy định ngay rằng biểu thức $x+3$ phải được biểu diễn dưới dạng $x-(-3)$. Kế hoạch của Horner sẽ liên quan đến chính xác $-3$. Vì bậc của đa thức ban đầu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ bằng 4, nên nhờ phép chia, chúng ta thu được đa thức bậc ba:
Kết quả có nghĩa là
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Trong trường hợp này, số dư khi chia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x+3$ là $4$. Hoặc, điều tương tự là giá trị của đa thức $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x=-3$ bằng $4$. Nhân tiện, bạn có thể dễ dàng kiểm tra lại điều này bằng cách thay thế trực tiếp $x=-3$ vào đa thức đã cho:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Những thứ kia. Sơ đồ Horner có thể được sử dụng nếu cần tìm giá trị của đa thức tại đặt giá trị biến. Nếu mục tiêu của chúng ta là tìm tất cả các nghiệm của một đa thức, thì sơ đồ Horner có thể được áp dụng nhiều lần liên tiếp cho đến khi chúng ta sử dụng hết tất cả các nghiệm, như đã thảo luận trong ví dụ số 3.
Ví dụ số 3
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.
Các hệ số của đa thức đang xét là số nguyên và hệ số đứng trước bằng cấp cao biến (tức là trước $x^6$) bằng một. Trong trường hợp này, các nghiệm nguyên của đa thức phải được tìm trong số các ước số của số hạng tự do, tức là trong số các ước của số 45. Đối với một đa thức cho trước, các nghiệm đó có thể là các số $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ và $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Ví dụ: hãy kiểm tra số $1$:
Như bạn có thể thấy, giá trị của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ với $x=1$ bằng $192$ (số cuối cùng ở dòng thứ hai), chứ không phải $0 $, do đó sự thống nhất không phải là nghiệm của đa thức này. Vì việc kiểm tra một cái không thành công, hãy kiểm tra giá trị $x=-1$. Bảng mới Vì mục đích này, chúng tôi sẽ không biên dịch mà sẽ tiếp tục sử dụng bảng. Số 1, thêm một dòng mới (thứ ba) vào đó. Dòng thứ hai, trong đó giá trị của $1$ đã được chọn, sẽ được đánh dấu màu đỏ và sẽ không được sử dụng trong các cuộc thảo luận tiếp theo.
Tất nhiên, bạn có thể chỉ cần viết lại bảng một lần nữa, nhưng việc điền nó theo cách thủ công sẽ mất rất nhiều thời gian. Hơn nữa, có thể có một số số mà việc xác minh sẽ không thành công và rất khó để viết bảng mới mỗi lần. Khi tính toán “trên giấy”, các đường màu đỏ có thể bị gạch bỏ một cách đơn giản.
Vì vậy, giá trị của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ tại $x=-1$ bằng 0, tức là. số $-1$ là nghiệm của đa thức này. Sau khi chia đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ cho nhị thức $x-(-1)=x+1$ chúng ta thu được đa thức $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, các hệ số được lấy từ hàng thứ ba của bảng. Số 2 (xem ví dụ số 1). Kết quả tính toán cũng có thể được trình bày dưới dạng này:
\begin(phương trình)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(phương trình)
Hãy tiếp tục tìm kiếm các nghiệm nguyên. Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Một lần nữa, các nghiệm nguyên của đa thức này được tìm kiếm trong số các ước của số hạng tự do của nó, các số $45$. Hãy thử kiểm tra lại số $-1$. Chúng tôi sẽ không tạo bảng mới mà sẽ tiếp tục sử dụng bảng trước đó. Số 2, tức là Hãy thêm một dòng nữa vào nó:
Vì vậy, số $-1$ là nghiệm của đa thức $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Kết quả này có thể được viết như thế này:
\begin(phương trình)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(phương trình)
Xét đẳng thức (2), đẳng thức (1) có thể viết lại dưới dạng sau:
\begin(phương trình)\begin(căn chỉnh) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(căn chỉnh)\end(phương trình)
Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức $x^4-22x^2+24x+45$ - một cách tự nhiên, trong số các ước của số hạng tự do của nó (các số $45$). Hãy kiểm tra lại số $-1$:
Số $-1$ là nghiệm của đa thức $x^4-22x^2+24x+45$. Kết quả này có thể được viết như thế này:
\begin(phương trình)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(equation)
Xét đẳng thức (4), ta viết lại đẳng thức (3) dưới dạng sau:
\begin(phương trình)\begin(căn chỉnh) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(căn chỉnh)\end(phương trình)
Bây giờ chúng ta đang tìm nghiệm của đa thức $x^3-x^2-21x+45$. Hãy kiểm tra lại số $-1$:
Việc kiểm tra kết thúc trong thất bại. Hãy đánh dấu dòng thứ sáu màu đỏ và thử kiểm tra một số khác, ví dụ: số $3$:
Phần còn lại bằng 0, do đó số $3$ là nghiệm của đa thức đang xét. Vì vậy, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Bây giờ đẳng thức (5) có thể được viết lại như sau.
Khi giải phương trình và bất đẳng thức, thường cần phân tích nhân tử của đa thức có bậc bằng 3 hoặc cao hơn. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét cách dễ nhất để làm điều này.
Như thường lệ, hãy chuyển sang lý thuyết để được trợ giúp.
Định lý Bezout cho biết số dư khi chia một đa thức cho một nhị thức là .
Nhưng điều quan trọng đối với chúng ta không phải là bản thân định lý mà là hệ quả từ đó:
Nếu số là nghiệm của một đa thức thì đa thức đó chia hết cho nhị thức mà không có số dư.
Chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ bằng cách nào đó tìm ra ít nhất một nghiệm của đa thức, sau đó chia đa thức cho , đâu là nghiệm của đa thức. Kết quả là chúng ta thu được một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức ban đầu một đơn vị. Và sau đó, nếu cần, bạn có thể lặp lại quá trình.
Nhiệm vụ này chia thành hai: cách tìm nghiệm của đa thức và cách chia đa thức cho nhị thức.
Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những điểm này.
1. Cách tìm nghiệm của đa thức.
Đầu tiên, chúng ta kiểm tra xem các số 1 và -1 có phải là nghiệm của đa thức hay không.
Những sự thật sau đây sẽ giúp chúng ta ở đây:
Nếu tổng tất cả các hệ số của đa thức bằng 0 thì số đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ: trong một đa thức tổng các hệ số bằng 0: . Thật dễ dàng để kiểm tra nghiệm của một đa thức là gì.
Nếu tổng các hệ số của một đa thức có lũy thừa chẵn bằng tổng các hệ số có lũy thừa lẻ thì số đó là nghiệm của đa thức. Số hạng tự do được coi là hệ số của bậc chẵn, vì , a là số chẵn.
Ví dụ: trong một đa thức, tổng các hệ số của lũy thừa chẵn là : , và tổng các hệ số của lũy thừa lẻ là : . Thật dễ dàng để kiểm tra nghiệm của một đa thức là gì.
Nếu cả 1 và -1 đều không phải là nghiệm của đa thức thì chúng ta tiếp tục.
Đối với đa thức bậc rút gọn (nghĩa là đa thức trong đó hệ số cao nhất - hệ số tại - bằng đơn vị), công thức Vieta là hợp lệ:
Đâu là gốc của đa thức.
Ngoài ra còn có công thức Vieta liên quan đến các hệ số còn lại của đa thức, nhưng chúng tôi quan tâm đến công thức này.
Từ công thức Vieta này suy ra rằng nếu các nghiệm của đa thức là số nguyên thì chúng là ước của số hạng tự do, cũng là số nguyên.
Dựa trên điều này, chúng ta cần phân tích số hạng tự do của đa thức thành các thừa số và tuần tự, từ nhỏ nhất đến lớn nhất, kiểm tra xem thừa số nào là nghiệm của đa thức.
Ví dụ, hãy xem xét đa thức
Các ước số của số hạng tự do: ;
;
;
Tổng các hệ số của một đa thức bằng , do đó số 1 không phải là nghiệm của đa thức.
Tổng các hệ số của lũy thừa chẵn:
Tổng các hệ số lũy thừa lẻ:
Vì vậy, số -1 cũng không phải là nghiệm của đa thức.
Hãy kiểm tra xem số 2 có phải là nghiệm của đa thức hay không: do đó số 2 là nghiệm của đa thức. Điều này có nghĩa là, theo định lý Bezout, đa thức chia hết cho một nhị thức không có số dư.
2. Cách chia đa thức thành nhị thức.
Một đa thức có thể được chia thành một nhị thức bằng một cột.
Chia đa thức cho nhị thức bằng cột: Có một cách khác để chia đa thức cho nhị thức - sơ đồ Horner.
Hãy xem video này để hiểu
cách chia một đa thức cho một nhị thức có một cột và sử dụng sơ đồ Horner.
Tôi lưu ý rằng nếu, khi chia cho một cột, một mức độ nào đó của ẩn số bị thiếu trong đa thức ban đầu, chúng ta viết 0 vào vị trí của nó - giống như khi biên soạn bảng cho sơ đồ Horner. Vì vậy, nếu chúng ta cần chia một đa thức cho một nhị thức và kết quả của phép chia là chúng ta thu được một đa thức, thì chúng ta có thể tìm các hệ số của đa thức bằng sơ đồ Horner: Chúng ta cũng có thể sử dụng
Sơ đồ Horner
Để kiểm tra xem một số đã cho có phải là nghiệm của đa thức hay không: nếu số đó là nghiệm của đa thức thì số dư khi chia đa thức cho bằng 0, tức là ở cột cuối cùng của hàng thứ hai của Sơ đồ Horner chúng ta nhận được 0. Sử dụng sơ đồ của Horner, chúng ta “một mũi tên trúng hai con chim”: chúng ta đồng thời kiểm tra xem số đó có phải là nghiệm của một đa thức hay không và chia đa thức này cho một nhị thức.
Ví dụ.
Giải phương trình:
1. Hãy viết các ước của số hạng tự do và tìm nghiệm của đa thức trong số các ước của số hạng tự do.
Ước của 24:
2. Hãy kiểm tra xem số 1 có phải là nghiệm của đa thức hay không.
Tổng các hệ số của một đa thức nên số 1 là nghiệm của đa thức.
Vì thuật ngữ chứa bị thiếu nên trong cột của bảng cần viết hệ số, chúng ta viết 0. Ở bên trái, chúng ta viết gốc tìm thấy: số 1.
B) Điền vào hàng đầu tiên của bảng.
Ở cột cuối cùng, như mong đợi, chúng ta nhận được số 0; chúng ta chia đa thức ban đầu cho một nhị thức không có số dư. Các hệ số của đa thức do phép chia được thể hiện bằng màu xanh lam ở hàng thứ hai của bảng:
Dễ dàng kiểm tra được các số 1 và -1 không phải là nghiệm của đa thức
B) Hãy tiếp tục bảng. Hãy kiểm tra xem số 2 có phải là nghiệm của đa thức hay không:
Vậy bậc của đa thức thu được bằng cách chia cho một mức độ ít hơn của đa thức ban đầu nên số hệ số và số cột ít hơn một.
Ở cột cuối cùng chúng ta nhận được -40 - một con số, không phải bằng 0 Do đó, đa thức chia hết cho một nhị thức có số dư và số 2 không phải là nghiệm của đa thức.
C) Hãy kiểm tra xem số -2 có phải là nghiệm của đa thức hay không. Vì lần thử trước không thành công nên để tránh nhầm lẫn về hệ số, tôi sẽ xóa dòng tương ứng với lần thử này:
Tuyệt vời! Ta có phần dư bằng 0 nên đa thức được chia thành nhị thức không có phần dư nên -2 là nghiệm của đa thức. Các hệ số của đa thức thu được bằng cách chia đa thức cho nhị thức được thể hiện bằng màu xanh lục trong bảng.
Kết quả của phép chia ta có tam thức bậc hai 
, có thể dễ dàng tìm thấy nghiệm của nó bằng định lý Vieta:
Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là:
{
}
Trả lời: ( 
}