Dịch vụ giải phương trình trực tuyến sẽ giúp bạn giải bất kỳ phương trình nào. Sử dụng trang web của chúng tôi, bạn sẽ không chỉ nhận được câu trả lời cho phương trình mà còn thấy được giải pháp chi tiết, nghĩa là hiển thị từng bước của quá trình đạt được kết quả. Dịch vụ của chúng tôi sẽ hữu ích cho học sinh trung học và phụ huynh của các em. Học sinh sẽ có thể chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, kiểm tra kiến thức của mình và phụ huynh sẽ có thể kiểm soát quyết định phương trình toán học với con cái của bạn. - Khả năng giải phương trình yêu cầu bắt buộc tới học sinh. Dịch vụ này sẽ giúp bạn tự học và nâng cao kiến thức trong lĩnh vực phương trình toán học. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể giải bất kỳ phương trình nào: bậc hai, bậc ba, vô tỉ, lượng giác, v.v. dịch vụ trực tuyến và là vô giá vì ngoài đáp án đúng, bạn còn nhận được lời giải chi tiết cho từng phương trình. Lợi ích của việc giải phương trình trực tuyến. Bạn có thể giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào trên trang web của chúng tôi hoàn toàn miễn phí. Dịch vụ này hoàn toàn tự động, bạn không phải cài đặt bất cứ thứ gì trên máy tính, bạn chỉ cần nhập dữ liệu và chương trình sẽ đưa ra giải pháp cho bạn. Bất kỳ lỗi nào trong tính toán hoặc lỗi chính tả đều được loại trừ. Với chúng tôi, việc giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào đều rất dễ dàng, vì vậy hãy nhớ sử dụng trang web của chúng tôi để giải bất kỳ loại phương trình nào. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu và việc tính toán sẽ được hoàn thành sau vài giây. Chương trình hoạt động độc lập, không có sự can thiệp của con người và bạn nhận được câu trả lời chính xác và chi tiết. Giải phương trình trong cái nhìn tổng quát. Trong phương trình như vậy, các hệ số biến đổi và nghiệm mong muốn được kết nối với nhau. Công suất cao nhất của một biến xác định thứ tự của phương trình đó. Dựa vào đó, để sử dụng các phương trình nhiều phương pháp khác nhau và các định lý để tìm lời giải. Giải các phương trình loại này có nghĩa là tìm các nghiệm cần thiết ở dạng tổng quát. Dịch vụ của chúng tôi cho phép bạn giải trực tuyến ngay cả phương trình đại số phức tạp nhất. Bạn có thể thu được cả một nghiệm chung cho phương trình và một nghiệm cụ thể cho các giá trị số của các hệ số mà bạn chỉ định. Để giải một phương trình đại số trên trang web, chỉ cần điền đúng hai trường: vế trái và vế phải của phương trình đã cho là đủ. bạn phương trình đại số với tỷ lệ cược thay đổi số vô hạn các giải pháp và bằng cách đặt ra các điều kiện nhất định, các giải pháp riêng tư sẽ được chọn từ một tập hợp các giải pháp. Phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng ax^2+bx+c=0 với a>0. Giải phương trình nhìn vuông vức ngụ ý tìm các giá trị của x mà tại đó đẳng thức ax^2+bx+c=0 giữ. Để làm điều này, hãy tìm giá trị phân biệt bằng công thức D=b^2-4ac. Nếu phân biệt nhỏ hơn 0 thì phương trình không có nghiệm thực (các nghiệm từ trường số phức), nếu bằng 0, thì phương trình có một nghiệm thực và nếu phân biệt lớn hơn 0 thì phương trình có hai rễ thật, được tìm thấy theo công thức: D= -b+-sqrt/2a. Để giải phương trình bậc hai trực tuyến, bạn chỉ cần nhập các hệ số của phương trình (số nguyên, phân số hoặc số thập phân). Nếu trong phương trình có dấu trừ thì phải đặt dấu trừ trước số hạng tương ứng của phương trình. Bạn có thể giải phương trình bậc hai trực tuyến tùy thuộc vào tham số, tức là các biến trong hệ số của phương trình. Dịch vụ trực tuyến của chúng tôi để tìm giải pháp chung có thể đáp ứng tốt nhiệm vụ này. Phương trình tuyến tính. Để giải quyết phương trình tuyến tính(hoặc hệ phương trình) có bốn phương pháp chính được sử dụng trong thực tế. Chúng tôi sẽ mô tả chi tiết từng phương pháp. Phương pháp thay thế. Việc giải phương trình bằng phương pháp thế đòi hỏi phải biểu diễn một biến theo các biến khác. Sau đó, biểu thức được thay thế vào các phương trình khác của hệ. Do đó tên của phương pháp giải, tức là thay vì một biến, biểu thức của nó được thay thế thông qua các biến còn lại. Trong thực tế, phương pháp này đòi hỏi tính toán phức tạp, tuy dễ hiểu nhưng việc giải phương trình như vậy trực tuyến sẽ giúp tiết kiệm thời gian và tính toán dễ dàng hơn. Bạn chỉ cần cho biết số ẩn số trong phương trình và điền số liệu từ phương trình tuyến tính vào, sau đó dịch vụ sẽ thực hiện phép tính. Phương pháp Gauss. Phương pháp này dựa trên các phép biến đổi đơn giản nhất của hệ thống để đạt được hệ thống tương đương hình tam giác. Từ đó, những ẩn số được xác định từng cái một. Trong thực tế, cần phải giải phương trình như vậy trực tuyến bằng mô tả chi tiết, nhờ đó bạn sẽ hiểu rõ về phương pháp Gaussian để giải hệ phương trình tuyến tính. Viết hệ phương trình tuyến tính theo đúng dạng và tính đến số ẩn số để giải chính xác hệ phương trình. Phương pháp Cramer. Phương pháp này giải hệ phương trình trong trường hợp hệ phương trình giải pháp duy nhất. Chủ yếu phép toánđây là phép tính các định thức ma trận. Việc giải phương trình bằng phương pháp Cramer được thực hiện trực tuyến, bạn sẽ nhận được kết quả ngay lập tức kèm theo mô tả đầy đủ và chi tiết. Chỉ cần điền vào hệ thống các hệ số và chọn số lượng biến chưa biết là đủ. Phương pháp ma trận. Phương pháp này bao gồm việc thu thập các hệ số của ẩn số ở ma trận A, ẩn số ở cột X và các số hạng tự do ở cột B. Như vậy, hệ phương trình tuyến tính được rút gọn thành phương trình ma trận gõ AxX=B. Phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất nếu định thức của ma trận A khác 0, nếu không thì hệ không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Giải phương trình phương pháp ma trận là tìm ma trận nghịch đảo MỘT.
Biểu thức, phương trình và hệ phương trình
Với số phức
Hôm nay trong lớp chúng ta sẽ thực hành các phép tính điển hình với số phức, đồng thời nắm vững kỹ thuật giải biểu thức, phương trình và hệ phương trình có chứa các số phức. Hội thảo này là sự tiếp nối của bài học, và do đó nếu bạn chưa hiểu rõ về chủ đề này, vui lòng truy cập liên kết ở trên. Chà, để những độc giả chuẩn bị kỹ hơn, tôi khuyên bạn nên khởi động ngay:
Ví dụ 1
Đơn giản hóa một biểu thức 
, Nếu như . Biểu diễn kết quả dưới dạng lượng giác và vẽ nó trên mặt phẳng phức.
Giải pháp: vậy bạn cần thay phân số “khủng”, tiến hành rút gọn và quy đổi kết quả số phức V. dạng lượng giác. Cộng với một bản vẽ.
Cách tốt nhất để chính thức hóa quyết định là gì? Với sự "tinh vi" biểu thức đại số Tốt hơn là nên hiểu nó từng bước một. Thứ nhất, sự chú ý ít bị phân tâm hơn, thứ hai, nếu nhiệm vụ không được chấp nhận, việc tìm ra lỗi sẽ dễ dàng hơn nhiều.
1) Đầu tiên, hãy đơn giản tử số. Hãy thay thế giá trị vào đó, mở ngoặc và sửa kiểu tóc:
...Phải, một Quasimodo như vậy đến từ số phức...
Hãy để tôi nhắc bạn rằng trong quá trình biến đổi, những thứ hoàn toàn đơn giản được sử dụng - quy tắc nhân đa thức và đẳng thức đã trở nên tầm thường. Điều chính là phải cẩn thận và không bị nhầm lẫn bởi các dấu hiệu.
2) Bây giờ đến mẫu số. Nếu , thì:
Lưu ý cách giải thích bất thường nó được sử dụng công thức tính tổng bình phương. Ngoài ra, bạn có thể thực hiện sắp xếp lại tại đây 
công thức con Kết quả tất nhiên sẽ giống nhau.
3) Và cuối cùng là toàn bộ biểu thức. Nếu , thì:
Để loại bỏ một phân số, hãy nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số. Đồng thời, với mục đích ứng dụng công thức hiệu bình phươngđầu tiên phải (và đã là phải rồi!)đặt phần thực âm vào vị trí thứ 2:
Và bây giờ là quy tắc chính:
CHÚNG TÔI KHÔNG VẬY! Tốt hơn hết là hãy chơi an toàn và tiến thêm một bước.
Trong các biểu thức, phương trình và hệ thống có số phức, các phép tính bằng lời nói tự phụ căng thẳng hơn bao giờ hết!
Có sự giảm đáng kể ở bước cuối cùng và đó chỉ là một dấu hiệu tuyệt vời.
Ghi chú : nói đúng ra, ở đây đã xảy ra phép chia số phức cho số phức 50 (hãy nhớ điều đó). Tôi đã im lặng về sắc thái này cho đến bây giờ và chúng ta sẽ nói về nó sau.
Hãy biểu thị thành tích của chúng ta bằng chữ cái
Hãy trình bày kết quả thu được dưới dạng lượng giác. Nói chung, ở đây bạn có thể thực hiện mà không cần bản vẽ, nhưng vì nó là bắt buộc nên sẽ hợp lý hơn nếu thực hiện ngay bây giờ: 
Hãy tính mô đun của số phức:
Nếu bạn vẽ theo tỷ lệ 1 đơn vị. = 1 cm (2 ô sổ tay), thì có thể dễ dàng kiểm tra giá trị thu được bằng thước thông thường.
Hãy tìm một lập luận. Vì số nằm ở quý tọa độ thứ 2 nên:
Góc có thể được kiểm tra dễ dàng bằng thước đo góc. Đây là lợi thế không thể nghi ngờ của bản vẽ.
Như vậy: - số cần tìm ở dạng lượng giác.
Hãy kiểm tra:
, đó là điều cần được xác minh.
Thật thuận tiện khi tìm các giá trị xa lạ của sin và cosin bằng cách sử dụng bảng lượng giác.
Trả lời: 
Một ví dụ tương tự cho quyết định độc lập:
Ví dụ 2
Đơn giản hóa một biểu thức 
, Ở đâu . Vẽ số kết quả trên mặt phẳng phức và viết nó vào hình thức chứng minh.
Cố gắng đừng bỏ lỡ ví dụ giáo dục. Chúng có vẻ đơn giản, nhưng nếu không được huấn luyện, việc “sa vào vũng nước” không những không dễ mà còn rất dễ. Vì vậy, chúng tôi “bắt tay vào thực hiện”.
Thường thì một vấn đề có nhiều hơn một giải pháp:
Ví dụ 3
Tính toán nếu , 
Giải pháp: trước hết, chúng ta hãy chú ý đến điều kiện ban đầu - một số được biểu diễn dưới dạng đại số, số còn lại ở dạng lượng giác và thậm chí cả độ. Hãy viết lại ngay nó ở dạng quen thuộc hơn: 
.
Việc tính toán nên được thực hiện dưới hình thức nào? Biểu thức rõ ràng liên quan đến phép nhân đầu tiên và nâng cao hơn nữa lên lũy thừa thứ 10 Công thức Moivre, được xây dựng cho dạng lượng giác của số phức. Vì vậy, có vẻ hợp lý hơn khi chuyển đổi số đầu tiên. Hãy tìm mô-đun và đối số của nó: 
Ta áp dụng quy tắc nhân số phức dưới dạng lượng giác:
nếu , thì
Làm cho phân số đúng, ta rút ra kết luận có thể “xoắn” 4 lượt (vui mừng):
Giải pháp thứ hai là chuyển số thứ 2 sang dạng đại số 
, thực hiện phép nhân trong dạng đại số, chuyển kết quả thành dạng lượng giác và sử dụng công thức Moivre.
Như bạn có thể thấy, có một hành động “bổ sung”. Những người muốn có thể làm theo quyết định và đảm bảo rằng kết quả là như nhau.
Điều kiện không nói gì về dạng của số phức cuối cùng, vì vậy:
Trả lời: 
Nhưng “vì cái đẹp” hay theo yêu cầu, kết quả không khó hình dung ở dạng đại số:
Riêng mình:
Ví dụ 4
Đơn giản hóa một biểu thức
Ở đây chúng ta cần nhớ hành động có mức độ, mặc dù một quy tắc hữu ích Nó không có trong sách hướng dẫn, nó đây: .
Và một lưu ý quan trọng hơn: ví dụ có thể được giải theo hai kiểu. Tùy chọn đầu tiên là làm việc với hai số và làm quen với phân số. Tùy chọn thứ hai là biểu diễn mỗi số dưới dạng thương của hai số: 
Và thoát khỏi cấu trúc bốn tầng. Từ quan điểm hình thức, việc bạn quyết định như thế nào không quan trọng, nhưng có một sự khác biệt đáng kể! Xin hãy suy nghĩ kỹ về:
là số phức;
là thương của hai số phức ( và ), nhưng tùy vào ngữ cảnh, bạn cũng có thể nói thế này: một số được biểu diễn dưới dạng thương của hai số phức.
Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.
Biểu thức thì tốt, nhưng các phương trình thì tốt hơn:
Phương trình có hệ số phức
Chúng khác với các phương trình “thông thường” như thế nào? Tỉ lệ =))
Dựa trên nhận xét trên, hãy bắt đầu với ví dụ này:
Ví dụ 5
Giải phương trình 
Và một lời mở đầu ngay lập tức “nóng hổi”: ban đầu vế phải của phương trình được định vị là thương số của hai số phức ( và 13), và do đó sẽ là sai nếu viết lại điều kiện bằng số đó (mặc dù điều này sẽ không gây ra lỗi). Nhân tiện, sự khác biệt này được thấy rõ hơn trong phân số - nếu nói một cách tương đối, thì giá trị này chủ yếu được hiểu là nghiệm phức "đầy đủ" của phương trình, và không phải là ước số của một số, và đặc biệt không phải là một phần của số!
Giải pháp Về nguyên tắc, cũng có thể thực hiện từng bước một, nhưng trong trường hợp này, trò chơi không đáng giá chút nào. Nhiệm vụ ban đầu là đơn giản hóa mọi thứ không chứa chữ "z" chưa biết, dẫn đến phương trình được rút gọn về dạng:
Chúng tôi tự tin đơn giản hóa phần giữa: 
Chúng tôi chuyển kết quả sang bên phải và tìm sự khác biệt: 
Ghi chú
: và một lần nữa tôi thu hút sự chú ý của bạn đến điểm có ý nghĩa - ở đây chúng tôi không trừ một số từ một số mà đưa các phân số về mẫu số chung! Cần lưu ý rằng trong TIẾN ĐỘ giải quyết, không được phép làm việc với các con số: 
, tuy nhiên, trong ví dụ đang xem xét, phong cách này có hại hơn là hữu ích =)
Theo quy tắc tỷ lệ, chúng ta diễn đạt “zet”:
Bây giờ bạn có thể chia và nhân một lần nữa với số liên hợp, nhưng các số giống nhau một cách đáng ngờ ở tử số và mẫu số gợi ý bước đi tiếp theo: 
Trả lời:
Để kiểm tra, hãy thay thế giá trị kết quả vào bên trái phương trình ban đầu và tiến hành đơn giản hóa:
– thu được vế phải của phương trình ban đầu, do đó tìm được nghiệm chính xác.
...Bây giờ, bây giờ... Tôi sẽ tìm thứ gì đó thú vị hơn cho bạn... bạn bắt đầu nhé:
Ví dụ 6
Giải phương trình 
phương trình này giảm về dạng , có nghĩa là nó tuyến tính. Tôi nghĩ gợi ý đã rõ ràng - hãy làm đi!
Tất nhiên... làm sao bạn có thể sống thiếu anh ấy:
Phương trình bậc hai có hệ số phức
trong lớp Số phức dành cho người giả chúng ta đã học được rằng một phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có các nghiệm phức liên hợp, sau đó một câu hỏi logic được đặt ra: tại sao trên thực tế, bản thân các hệ số lại không thể phức tạp? Hãy để tôi xây dựng trường hợp chung:
Phương trình bậc hai với các hệ số phức tùy ý (Cụ thể là 1 hoặc 2 trong số đó hoặc cả ba đều có thể hợp lệ) có hai và chỉ hai gốc phức tạp (có thể một hoặc cả hai đều hợp lệ). Đồng thời, rễ (cả phần thực và phần ảo khác 0) có thể trùng nhau (là bội số).
Một phương trình bậc hai với các hệ số phức được giải bằng cách sử dụng sơ đồ tương tự như phương trình "trường học", với một số khác biệt trong kỹ thuật tính toán:
Ví dụ 7
Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai 
Giải pháp: đơn vị tưởng tượng có trước và về nguyên tắc, bạn có thể loại bỏ nó (nhân cả hai vế với), tuy nhiên, không có nhu cầu đặc biệt cho việc này.
Để thuận tiện, chúng tôi viết ra các hệ số:
Chúng ta đừng để mất "điểm trừ" của một thành viên miễn phí! ...Mọi người có thể không hiểu rõ - Tôi sẽ viết lại phương trình trong mẫu chuẩn 
:
Hãy tính phân biệt:
Và đây là trở ngại chính: 
Áp dụng công thức chung để chiết rễ (xem đoạn cuối của bài viết Số phức dành cho người giả)
phức tạp bởi những khó khăn nghiêm trọng liên quan đến đối số số phức căn bản (xem cho chính mình). Nhưng còn có một cách "đại số" khác! Chúng ta sẽ tìm gốc ở dạng: 
Hãy bình phương cả hai cạnh: 
Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau. Như vậy ta có hệ sau: 
Hệ thống dễ dàng giải quyết hơn bằng cách chọn (một cách kỹ lưỡng hơn là biểu diễn từ phương trình thứ 2 - thay thế vào phương trình thứ nhất, thu được và giải phương trình hai bậc hai). Giả sử tác giả bài toán không phải là quái vật, ta đưa ra giả thuyết rằng và là số nguyên. Từ phương trình thứ nhất suy ra “x” modulo nhiều hơn "Y". Bên cạnh đó, sản phẩm tích cực cho chúng ta biết rằng những ẩn số có cùng dấu. Dựa vào điều trên và tập trung vào phương trình thứ 2, chúng ta viết ra tất cả các cặp khớp với nó: 
Rõ ràng là phương trình 1 của hệ thống được thỏa mãn bởi hai cặp cuối cùng, do đó: 
Kiểm tra trung gian sẽ không gây hại gì: 
đó là những gì cần phải được kiểm tra.
Bạn có thể chọn làm root "đang hoạt động" bất kì nghĩa. Rõ ràng là tốt hơn nên dùng phiên bản không có “khuyết điểm”:
Nhân tiện, chúng tôi tìm thấy nguồn gốc, không quên rằng: 
Trả lời: 
Hãy kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn phương trình không 
:
1) Hãy thay thế: 
sự bình đẳng thực sự.
2) Hãy thay thế: 
sự bình đẳng thực sự.
Như vậy, giải pháp đã được tìm thấy một cách chính xác.
Dựa trên vấn đề chúng ta vừa thảo luận:
Ví dụ 8
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Cần lưu ý rằng căn bậc hai của hoàn toàn phức tạp số có thể được trích xuất dễ dàng bằng công thức chung 
, Ở đâu 
, vì vậy cả hai phương pháp đều được hiển thị trong mẫu. Nhận xét hữu ích thứ hai liên quan đến thực tế là việc rút ra sơ bộ nghiệm của một hằng số không hề đơn giản hóa lời giải.
Bây giờ bạn có thể thư giãn - trong ví dụ này, bạn sẽ thoát khỏi cảm giác sợ hãi nhẹ :)
Ví dụ 9
Giải phương trình và kiểm tra
Lời giải và đáp án cuối bài.
Đoạn cuối của bài viết được dành cho
hệ phương trình với số phức
Hãy thư giãn và... đừng căng thẳng =) Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất - một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số:
Ví dụ 10
Giải hệ phương trình. Trình bày câu trả lời dưới dạng đại số và hàm mũ, mô tả các nghiệm trong hình vẽ. 
Giải pháp: bản thân điều kiện cho thấy hệ có nghiệm duy nhất, tức là ta cần tìm hai số thỏa mãn tới mọi người phương trình của hệ thống.
Hệ thống thực sự có thể được giải quyết theo cách “trẻ con” (diễn đạt một biến theo một biến khác)
, tuy nhiên nó thuận tiện hơn nhiều khi sử dụng Công thức Cramer. Hãy tính toán yếu tố quyết định chính
hệ thống:
, nghĩa là hệ có nghiệm duy nhất.
Tôi nhắc lại rằng tốt hơn hết bạn nên dành thời gian và viết ra các bước càng chi tiết càng tốt:
Chúng ta nhân tử số và mẫu số với một đơn vị ảo và lấy căn bậc 1:
Tương tự: 
Các vế phải tương ứng thu được, v.v.
Hãy thực hiện bản vẽ: 
Hãy biểu diễn các gốc ở dạng hàm mũ. Để làm điều này, bạn cần tìm các mô-đun và đối số của chúng:
1) – arctang của “hai” được tính “kém” nên ta để như sau: 
CƠ QUAN GIÁO DỤC LIÊN BANG
CƠ SỞ GIÁO DỤC NHÀ NƯỚC
GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO CẤP
"ĐẠI HỌC SƯ PHÁP BANG VORONEZH"
BỘ PHẬN AGLEBRA VÀ HÌNH HỌC
số phức
(nhiệm vụ đã chọn)
CÔNG VIỆC ĐÁNH GIÁ TỐT NGHIỆP
chuyên ngành toán 050201.65
(Với chuyên môn bổ sung 050202.65 khoa học máy tính)
Người hoàn thành: Sinh viên năm thứ 5
vật lý và toán học
khoa
Người hướng dẫn khoa học:
VORONEZH – 2008
1. Lời giới thiệu……………………………………………………..………..…
2. Số phức (bài toán chọn lọc)
2.1. Số phức ở dạng đại số….……….….….
2.2. Giải thích hình học của số phức…………..…
2.3. Dạng lượng giác của số phức
2.4. Ứng dụng lý thuyết số phức vào việc giải phương trình bậc 3, bậc 4……..…………………………..
2.5. Số phức và tham số………………………..
3. Kết luận………………………………..……..
4. Danh mục tài liệu tham khảo………….…………..
1. Giới thiệu
Trong chương trình toán khóa học lý thuyết số được giới thiệu bằng cách sử dụng các ví dụ về tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số vô tỷ, tức là trên tập số thực, ảnh của số đó điền vào toàn bộ trục số. Nhưng đã học lớp 8 nên không có đủ số thực khi giải phương trình bậc hai với phân biệt âm. Vì vậy, cần phải bổ sung thêm kho số thực bằng cách sử dụng số phức, trong đó căn bậc hai của số âm có ý nghĩa.
Chọn chủ đề “Số phức” làm đề tài tốt nghiệp công việc đủ điều kiện, là khái niệm số phức mở rộng kiến thức của học sinh về hệ thống số, về việc giải một loạt các bài toán có cả nội dung đại số và hình học, về việc giải các phương trình đại số ở bất kỳ mức độ nào và về việc giải các bài toán có tham số.
Luận án này xem xét giải pháp cho 82 vấn đề.
Phần đầu tiên của mục chính “Số phức” cung cấp lời giải các bài toán với số phức ở dạng đại số, định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép chia liên hợp cho số phức ở dạng đại số, lũy thừa của đơn vị ảo , mô đun của một số phức, đồng thời đưa ra cách rút ra quy tắc căn bậc hai từ một số phức.
Phần thứ hai giải quyết các bài toán giải thích hình học của số phức dưới dạng điểm hoặc vectơ của mặt phẳng phức.
Phần thứ ba xem xét các phép toán trên số phức ở dạng lượng giác. Các công thức được sử dụng là: Moivre và rút căn của số phức.
Phần thứ tư dành cho việc giải các phương trình bậc 3 và bậc 4.
Khi giải các bài toán ở phần cuối “Số phức và tham số”, thông tin đã cho ở các phần trước sẽ được sử dụng và tổng hợp. Một loạt các bài toán trong chương này được dành cho việc xác định các họ đường thẳng trong mặt phẳng phức được xác định bởi các phương trình (bất đẳng thức) có tham số. Trong phần bài tập bạn cần giải phương trình có tham số (trên trường C). Có những nhiệm vụ trong đó một biến phức tạp đồng thời thỏa mãn một số điều kiện. Điểm đặc biệt của việc giải các bài toán trong phần này là quy giản nhiều bài toán thành giải phương trình (bất phương trình, hệ) bậc hai, vô tỉ, lượng giác có tham số.
Đặc điểm của việc trình bày tài liệu trong mỗi phần là thông tin đầu vào ban đầu. cơ sở lý thuyết và sau đó là ứng dụng thực tiễn của chúng vào việc giải các bài toán.
Cuối cùng luận án một danh sách các tài liệu được sử dụng được trình bày. Hầu hết trong số họ trình bày tài liệu lý thuyết, lời giải của một số bài toán được xem xét và các nhiệm vụ thực tiễn được đưa ra để giải độc lập. Đặc biệt chú ý Tôi muốn tham khảo các nguồn như:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Số phức và ứng dụng: Sách giáo khoa. . Vật liệu trợ giảng trình bày dưới dạng bài giảng và bài tập thực hành.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Các bài toán và định lý chọn lọc toán tiểu học. Số học và đại số. Cuốn sách gồm 320 bài toán liên quan đến đại số, số học và lý thuyết số. Những nhiệm vụ này khác biệt đáng kể về bản chất so với các nhiệm vụ tiêu chuẩn ở trường.
2. Số phức (bài toán chọn lọc)
2.1. Số phức ở dạng đại số
Lời giải của nhiều bài toán trong toán học và vật lý bắt nguồn từ việc giải các phương trình đại số, tức là phương trình dạng
,trong đó a0, a1, …, an là các số thực. Vì vậy, việc nghiên cứu các phương trình đại số là một trong những vấn đề quan trọng trong toán học. Ví dụ, phương trình bậc hai với sự phân biệt đối xử tiêu cực. Phương trình đơn giản nhất như vậy là phương trình
.Để phương trình này có nghiệm thì cần khai triển tập số thực bằng cách thêm vào đó nghiệm của phương trình
.Chúng ta hãy biểu thị gốc này bằng
. Vì vậy, theo định nghĩa, hoặc,kể từ đây,
.gọi là đơn vị ảo. Với sự trợ giúp của nó và với sự trợ giúp của một cặp số thực, một biểu thức có dạng sẽ được biên soạn.
Vậy số phức là biểu thức có dạng
, và là số thực, và là một ký hiệu nào đó thỏa mãn điều kiện . Số đó gọi là phần thực của số phức, số đó là phần ảo của số đó. Các ký hiệu , được sử dụng để biểu thị chúng.Số phức có dạng
là số thực và do đó tập hợp số phức chứa tập hợp số thực. Số phức có dạng
được gọi là thuần túy tưởng tượng. Hai số phức có dạng và được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là nếu đẳng thức , .Ký hiệu đại số của số phức cho phép bạn thực hiện các phép tính trên chúng theo quy tắc bình thườngđại số.
Việc sử dụng các phương trình rất phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng công trình và thậm chí cả thể thao. Con người đã sử dụng các phương trình từ xa xưa và kể từ đó việc sử dụng chúng ngày càng tăng lên. Để rõ ràng, hãy giải quyết vấn đề sau:
Tính \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] nếu \
Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là một số được biểu diễn dưới dạng đại số, số còn lại ở dạng lượng giác. Nó cần phải được đơn giản hóa và đưa đến lượt xem tiếp theo
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Biểu thức \ nói rằng trước hết chúng ta thực hiện phép nhân và nâng lên lũy thừa thứ 10 bằng công thức Moivre. Công thức này được xây dựng cho dạng lượng giác của số phức.
Chúng tôi nhận được:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Tuân theo các quy tắc nhân số phức dưới dạng lượng giác, ta thực hiện như sau:
Trong trường hợp của chúng tôi:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Làm cho phân số \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] đúng, chúng ta đi đến kết luận rằng chúng ta có thể “xoắn” 4 vòng \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Trả lời: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Phương trình này có thể được giải theo cách khác, cụ thể là đưa số thứ 2 về dạng đại số, sau đó thực hiện phép nhân ở dạng đại số, chuyển kết quả sang dạng lượng giác và áp dụng công thức Moivre:
Bạn có thể giải hệ phương trình trên trang web của chúng tôi https://site. Bộ giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải các phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ chỉ trong vài giây. Tất cả những gì bạn cần làm chỉ đơn giản là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem video hướng dẫn và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn vẫn còn thắc mắc, bạn có thể hỏi họ trong nhóm VKontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Hãy tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn.