Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính của vectơ.
Cơ sở của vectơ. Hệ tọa độ Affine

Có một xe đẩy sôcôla trong khán phòng và mỗi du khách hôm nay sẽ nhận được một cặp đôi ngọt ngào - hình học giải tích với đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ đề cập đến hai phần của toán học cao cấp cùng một lúc và chúng ta sẽ xem chúng cùng tồn tại như thế nào trong một gói. Hãy nghỉ ngơi, ăn Twix! ...chết tiệt, thật là một điều vô nghĩa. Mặc dù, được thôi, tôi sẽ không ghi điểm nhưng cuối cùng thì bạn cũng nên có thái độ tích cực trong việc học.

Sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ, độc lập vector tuyến tính, cơ sở của vectơ và các thuật ngữ khác không chỉ có ý nghĩa hình học mà trên hết còn có ý nghĩa đại số. Khái niệm “vectơ” theo quan điểm của đại số tuyến tính không phải lúc nào cũng là vectơ “thông thường” mà chúng ta có thể mô tả trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Bạn không cần phải đi xa để chứng minh; hãy thử vẽ một vectơ không gian năm chiều. Hoặc vectơ thời tiết mà tôi vừa đến Gismeteo để tìm: nhiệt độ và áp suất khí quyển. Tất nhiên, ví dụ này không chính xác xét từ quan điểm về các tính chất của không gian vectơ, tuy nhiên, không ai cấm hình thức hóa các tham số này dưới dạng vectơ. Hơi thở của mùa thu...

Không, tôi sẽ không làm bạn nhàm chán với lý thuyết, không gian vectơ tuyến tính, nhiệm vụ là hiểuđịnh nghĩa và định lý. Các thuật ngữ mới (sự phụ thuộc tuyến tính, tính độc lập, tổ hợp tuyến tính, cơ sở, v.v.) áp dụng cho tất cả các vectơ theo quan điểm đại số, nhưng sẽ đưa ra các ví dụ hình học. Vì vậy, mọi thứ đều đơn giản, dễ tiếp cận và rõ ràng. Ngoài các bài toán về hình học giải tích, chúng ta cũng sẽ xét một số bài toán đại số điển hình. Để nắm vững tài liệu, nên làm quen với các bài học Vector cho người giả Và Làm thế nào để tính định thức?

Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập của vectơ phẳng.
Cơ sở mặt phẳng và hệ tọa độ affine

Hãy xem xét mặt phẳng của bàn máy tính của bạn (chỉ là một cái bàn, bàn cạnh giường ngủ, sàn nhà, trần nhà, bất cứ thứ gì bạn thích). Nhiệm vụ sẽ bao gồm các hành động sau:

1) Chọn cơ sở mặt phẳng. Nói một cách đại khái, mặt bàn có chiều dài và chiều rộng, do đó, trực quan là cần có hai vectơ để xây dựng cơ sở. Một vectơ rõ ràng là không đủ, ba vectơ là quá nhiều.

2) Dựa trên cơ sở đã chọn thiết lập hệ tọa độ(lưới tọa độ) để gán tọa độ cho tất cả các đối tượng trên bàn.

Đừng ngạc nhiên, lúc đầu những lời giải thích sẽ nằm trên đầu ngón tay. Hơn nữa, về phía bạn. Hãy đặt ngón trỏ trái trên mép bàn để anh ấy nhìn vào màn hình. Đây sẽ là một vectơ. Bây giờ đặt ngón út bên phải trên cạnh bàn theo cách tương tự - sao cho nó hướng vào màn hình điều khiển. Đây sẽ là một vectơ. Cười lên, bạn trông thật tuyệt! Chúng ta có thể nói gì về vectơ? Vectơ dữ liệu thẳng hàng, có nghĩa là tuyến tínhđược thể hiện qua nhau:
, vâng, hoặc ngược lại: , trong đó một số khác 0.

Bạn có thể xem hình ảnh của hành động này trong lớp. Vector cho người giả, trong đó tôi đã giải thích quy tắc nhân một vectơ với một số.

Ngón tay của bạn có đặt chân đế trên mặt phẳng của bàn máy tính không? Rõ ràng là không. Các vectơ cộng tuyến di chuyển qua lại trên một mình hướng, và một mặt phẳng có chiều dài và chiều rộng.

Các vectơ như vậy được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Thẩm quyền giải quyết: Các từ "tuyến tính", "tuyến tính" biểu thị thực tế là trong các phương trình và biểu thức toán học không có hình vuông, hình khối, lũy thừa khác, logarit, sin, v.v. Chỉ có các biểu thức và phụ thuộc tuyến tính (cấp 1).

Hai vectơ phẳng phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng thẳng hàng.

Bắt chéo các ngón tay của bạn trên bàn sao cho có bất kỳ góc nào giữa chúng không phải là 0 hoặc 180 độ. Hai vectơ phẳngtuyến tính Không phụ thuộc khi và chỉ nếu chúng không thẳng hàng. Vì vậy, cơ sở đã đạt được. Không cần phải xấu hổ khi cơ sở hóa ra bị “nghiêng” với các vectơ không vuông góc có độ dài khác nhau. Chúng ta sẽ sớm thấy rằng không chỉ góc 90 độ là phù hợp cho cấu trúc của nó, mà không chỉ các vectơ đơn vị có độ dài bằng nhau

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược mở rộng theo cơ sở:
, đâu là số thực. Những con số được gọi tọa độ vector trong cơ sở này.

Người ta cũng nói rằng vectơtrình bày như kết hợp tuyến tính vectơ cơ sở. Tức là biểu thức được gọi phân rã véc tơtheo cơ sở hoặc kết hợp tuyến tính các vectơ cơ sở.

Ví dụ, chúng ta có thể nói rằng vectơ được phân tách dọc theo cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng hoặc chúng ta có thể nói rằng nó được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

Hãy xây dựng định nghĩa cơ sở chính thức: Cơ sở của máy bayđược gọi là một cặp vectơ độc lập tuyến tính (không cộng tuyến), , trong khi bất kì vectơ phẳng là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở.

Một điểm thiết yếu của định nghĩa là thực tế là các vectơ được lấy theo một thứ tự nhất định. Các căn cứ là hai căn cứ hoàn toàn khác nhau! Như người ta nói, bạn không thể thay thế ngón út của bàn tay trái bằng ngón út của bàn tay phải.

Chúng ta đã tìm ra cơ sở nhưng việc thiết lập lưới tọa độ và gán tọa độ cho từng mục trên bàn máy tính của bạn là chưa đủ. Tại sao nó không đủ? Các vectơ tự do và di chuyển khắp toàn bộ mặt phẳng. Vậy làm thế nào để bạn gán tọa độ cho những chỗ bẩn nhỏ còn sót lại trên bàn sau một ngày cuối tuần hoang dã? Một điểm khởi đầu là cần thiết. Và mốc như vậy là một điểm quen thuộc với mọi người - nguồn gốc của tọa độ. Hãy hiểu hệ tọa độ:

Tôi sẽ bắt đầu với hệ thống “trường học”. Đã có trong bài học giới thiệu Vector cho người giả Tôi đã nhấn mạnh một số khác biệt giữa hệ tọa độ hình chữ nhật và cơ sở trực giao. Đây là hình ảnh tiêu chuẩn:

Khi họ nói về hệ tọa độ chữ nhật, thì thông thường chúng có nghĩa là gốc, trục tọa độ và tỷ lệ dọc theo các trục. Hãy thử gõ “hệ tọa độ hình chữ nhật” vào công cụ tìm kiếm, bạn sẽ thấy nhiều nguồn sẽ cho bạn biết về trục tọa độ quen thuộc từ lớp 5-6 và cách vẽ điểm trên mặt phẳng.

Mặt khác, dường như hệ tọa độ chữ nhật có thể được định nghĩa theo cơ sở trực chuẩn. Và điều đó gần như đúng. Lời lẽ như sau:

nguồn gốc, Và trực giao cơ sở được thiết lập Hệ tọa độ mặt phẳng hình chữ nhật Descartes . Tức là hệ tọa độ chữ nhật chắc chắnđược xác định bởi một điểm và hai vectơ trực giao đơn vị. Đó là lý do tại sao bạn thấy hình vẽ mà tôi đưa ra ở trên - trong các bài toán hình học, cả vectơ và trục tọa độ thường (nhưng không phải luôn luôn) được vẽ.

Tôi nghĩ mọi người đều hiểu rằng việc sử dụng một điểm (gốc) và một cơ sở trực chuẩn BẤT KỲ ĐIỂM NÀO trên mặt phẳng và BẤT CỨ Vectơ nào trên mặt phẳng tọa độ có thể được chỉ định. Nói một cách hình tượng, “mọi thứ trên một mặt phẳng đều có thể được đánh số”.

Các vectơ tọa độ có bắt buộc phải là đơn vị không? Không, chúng có thể có độ dài khác 0 tùy ý. Xét một điểm và hai vectơ trực giao có độ dài khác 0 tùy ý:

Cơ sở như vậy được gọi là trực giao. Gốc tọa độ với vectơ được xác định bởi lưới tọa độ và bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, bất kỳ vectơ nào cũng có tọa độ của nó trong một cơ sở nhất định. Ví dụ, hoặc. Sự bất tiện rõ ràng là các vectơ tọa độ trong trường hợp tổng quát có độ dài khác nhau ngoài sự thống nhất. Nếu độ dài bằng 1 thì thu được cơ sở trực chuẩn thông thường.

! Ghi chú : trong cơ sở trực giao, cũng như dưới đây trong các cơ sở affine của mặt phẳng và không gian, các đơn vị dọc theo trục được xem xét CÓ ĐIỀU KIỆN. Ví dụ: một đơn vị dọc theo trục x chứa 4 cm, một đơn vị dọc theo trục hoành chứa 2 cm. Thông tin này đủ để chuyển đổi tọa độ “không chuẩn” thành “cm thông thường của chúng ta”, nếu cần.

Và câu hỏi thứ hai, thực tế đã được trả lời, là liệu góc giữa các vectơ cơ sở có phải bằng 90 độ hay không? KHÔNG! Như định nghĩa nêu rõ, các vectơ cơ sở phải là chỉ không thẳng hàng. Theo đó, góc có thể là bất cứ thứ gì ngoại trừ 0 và 180 độ.

Một điểm trên mặt phẳng gọi là nguồn gốc, Và không thẳng hàng vectơ, , bộ hệ tọa độ mặt phẳng affine :

Đôi khi hệ tọa độ như vậy được gọi là xiên hệ thống. Ví dụ: hình vẽ hiển thị các điểm và vectơ:

Như bạn đã hiểu, hệ tọa độ affine thậm chí còn kém thuận tiện hơn; các công thức tính độ dài của vectơ và đoạn mà chúng ta đã thảo luận trong phần thứ hai của bài học, không hoạt động trong đó. Vector cho người giả, nhiều công thức ngon liên quan đến tích vô hướng của vectơ. Nhưng các quy tắc cộng vectơ và nhân vectơ với một số, công thức chia đoạn trong quan hệ này, cũng như một số loại bài toán khác mà chúng ta sẽ xem xét sau đây đều hợp lệ.

Và kết luận là trường hợp đặc biệt thuận tiện nhất của hệ tọa độ affine là hệ chữ nhật Descartes. Đó là lý do tại sao bạn thường xuyên phải gặp cô ấy nhất, bạn thân mến. ...Tuy nhiên, mọi thứ trong cuộc sống này đều là tương đối - có nhiều tình huống trong đó một góc xiên (hoặc một góc nào đó khác chẳng hạn, vùng cực) hệ tọa độ. Và người máy có thể thích những hệ thống như vậy =)

Hãy chuyển sang phần thực tế. Tất cả các bài toán trong bài này đều đúng cho cả hệ tọa độ chữ nhật và trường hợp affine tổng quát. Không có gì phức tạp ở đây; tất cả tài liệu đều có thể truy cập được ngay cả đối với một học sinh.

Làm thế nào để xác định độ cộng tuyến của vectơ phẳng?

Điều điển hình. Để hai vectơ phẳng thẳng hàng, điều cần thiết và đủ là tọa độ tương ứng của chúng tỷ lệ thuận. Về cơ bản, đây là sự sàng lọc từng tọa độ của mối quan hệ hiển nhiên.

Ví dụ 1

a) Kiểm tra xem các vectơ có thẳng hàng không.
b) Các vectơ có phải là cơ sở không?

Giải pháp:
a) Hãy cùng tìm hiểu xem có hệ số tỷ lệ nào cho vectơ sao cho các đẳng thức giữ nguyên hay không:

Tôi chắc chắn sẽ kể cho bạn nghe về phiên bản “dở hơi” của việc áp dụng quy tắc này, nó hoạt động khá hiệu quả trong thực tế. Ý tưởng là lập tức lập tỷ lệ và xem nó có đúng không:

Hãy lập một tỷ lệ từ các tỷ lệ tọa độ tương ứng của các vectơ:

Hãy rút ngắn:
, do đó tọa độ tương ứng tỷ lệ thuận, do đó,

Mối quan hệ có thể được thực hiện theo cách khác; đây là một lựa chọn tương đương:

Để tự kiểm tra, bạn có thể sử dụng thực tế là các vectơ cộng tuyến được biểu diễn tuyến tính qua nhau. Trong trường hợp này, sự bình đẳng giữ nguyên. Tính hợp lệ của chúng có thể được xác minh dễ dàng thông qua các phép toán cơ bản với vectơ:

b) Hai vectơ phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Hãy xét tính cộng tuyến của các vectơ. Hãy tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình thứ nhất suy ra , từ phương trình thứ hai suy ra , nghĩa là hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Do đó, tọa độ tương ứng của các vectơ không tỷ lệ thuận.

Phần kết luận: các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Phiên bản đơn giản hóa của giải pháp trông như thế này:

Hãy lập tỷ lệ từ tọa độ tương ứng của các vectơ:
, có nghĩa là các vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Thông thường, tùy chọn này không bị người đánh giá từ chối, nhưng sẽ có vấn đề phát sinh trong trường hợp một số tọa độ bằng 0. Như thế này: . Hoặc như thế này: . Hoặc như thế này: . Làm thế nào để làm việc thông qua tỷ lệ ở đây? (thực sự, bạn không thể chia cho số 0). Chính vì lý do này mà tôi gọi giải pháp đơn giản hóa là “foppish”.

Trả lời: a) , b) hình thức.

Một ví dụ sáng tạo nhỏ cho giải pháp của riêng bạn:

Ví dụ 2

Tại giá trị nào của tham số thì các vectơ sẽ thẳng hàng?

Trong dung dịch mẫu, thông số được tìm thấy thông qua tỷ lệ.

Có một cách đại số rất hay để kiểm tra tính cộng tuyến của các vectơ. Hãy hệ thống hóa kiến ​​thức của chúng ta và thêm nó vào điểm thứ năm:

Đối với hai vectơ phẳng các mệnh đề sau là tương đương:

2) các vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không thẳng hàng;

+ 5) định thức gồm tọa độ của các vectơ này khác 0.

Tương ứng, các phát biểu ngược lại sau đây là tương đương:
1) vectơ phụ thuộc tuyến tính;
2) vectơ không tạo thành cơ sở;
3) các vectơ thẳng hàng;
4) các vectơ có thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
+ 5) định thức gồm tọa độ của các vectơ này bằng 0.

Tôi thực sự, thực sự hy vọng rằng đến bây giờ bạn đã hiểu tất cả các điều khoản và tuyên bố mà bạn gặp phải.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn điểm thứ năm mới: hai vectơ của một mặt phẳng thẳng hàng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ này bằng 0:. Tất nhiên, để áp dụng tính năng này, bạn cần có khả năng tìm yếu tố quyết định.

Hãy quyết định Ví dụ 1 theo cách thứ hai:

MỘT)
, nghĩa là các vectơ này thẳng hàng.

b) Hai vectơ phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:
, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Trả lời: a) , b) hình thức.

Nó trông nhỏ gọn và đẹp hơn nhiều so với một giải pháp có tỷ lệ.

Với sự trợ giúp của tài liệu đã xem xét, có thể thiết lập không chỉ tính chất thẳng hàng của các vectơ mà còn có thể chứng minh tính song song của các đoạn thẳng và đường thẳng. Hãy xem xét một số vấn đề với các hình dạng hình học cụ thể.

Ví dụ 3

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Bằng chứng: Không cần tạo hình vẽ trong bài toán vì lời giải sẽ thuần túy mang tính phân tích. Hãy nhớ lại định nghĩa của hình bình hành:
Hình bình hành Tứ giác có các cạnh đối song song được gọi là tứ giác.

Vì vậy cần chứng minh:
1) sự song song của các cạnh đối diện và;
2) sự song song của các cạnh đối diện và.

Chúng tôi chứng minh:

1) Tìm các vectơ:

Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:

2) Tìm các vectơ:

Kết quả là cùng một vectơ (“theo trường” – vectơ bằng nhau). Sự hợp tác là khá rõ ràng, nhưng tốt hơn hết là nên chính thức hóa quyết định một cách rõ ràng, có sự sắp xếp. Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:
, có nghĩa là các vectơ này thẳng hàng và .

Phần kết luận: Các cạnh đối diện của một tứ giác song song thành từng cặp, có nghĩa là theo định nghĩa nó là hình bình hành. Q.E.D.

Nhiều số liệu tốt và khác nhau:

Ví dụ 4

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh tứ giác là hình thang.

Tất nhiên, để xây dựng chứng minh chặt chẽ hơn, tốt hơn hết là bạn nên lấy định nghĩa về hình thang, nhưng chỉ cần nhớ nó trông như thế nào là đủ.

Đây là một nhiệm vụ để bạn tự giải quyết. Giải đáp đầy đủ ở cuối bài.

Và bây giờ là lúc di chuyển từ từ từ máy bay vào không gian:

Làm thế nào để xác định độ cộng tuyến của vectơ không gian?

Quy tắc này rất giống nhau. Để hai vectơ không gian thẳng hàng thì tọa độ tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau.

Ví dụ 5

Tìm hiểu xem các vectơ không gian sau có thẳng hàng hay không:

MỘT) ;
b)
V)

Giải pháp:
a) Hãy kiểm tra xem tọa độ tương ứng của các vectơ có hệ số tỷ lệ hay không:

Hệ không có nghiệm nên các vectơ không thẳng hàng.

“Đơn giản hóa” được chính thức hóa bằng cách kiểm tra tỷ lệ. Trong trường hợp này:
– tọa độ tương ứng không tỷ lệ, nghĩa là các vectơ không thẳng hàng.

Trả lời: các vectơ không thẳng hàng.

b-c) Đây là những điểm cho quyết định độc lập. Hãy thử nó theo hai cách.

Có một phương pháp để kiểm tra tính cộng tuyến của vectơ không gian thông qua định thức bậc ba; phương pháp này được đề cập trong bài viết; Tích vectơ của vectơ.

Tương tự như trường hợp mặt phẳng, các công cụ được xem xét có thể được sử dụng để nghiên cứu tính song song của các đoạn không gian và đường thẳng.

Chào mừng đến với phần thứ hai:

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập của vectơ trong không gian ba chiều.
Cơ sở không gian và hệ tọa độ affine

Nhiều mô hình mà chúng ta đã xem xét trên mặt phẳng sẽ có giá trị trong không gian. Tôi đã cố gắng giảm thiểu các ghi chú lý thuyết, vì phần lớn thông tin đã được nhai kỹ. Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên đọc kỹ phần giới thiệu vì các thuật ngữ và khái niệm mới sẽ xuất hiện.

Bây giờ, thay vì mặt phẳng của bàn máy tính, chúng ta khám phá không gian ba chiều. Đầu tiên, hãy tạo cơ sở của nó. Bây giờ có người ở trong nhà, có người ở ngoài trời, nhưng dù thế nào đi nữa, chúng ta cũng không thể thoát khỏi ba chiều: chiều rộng, chiều dài và chiều cao. Vì vậy, để xây dựng một cơ sở, cần có ba vectơ không gian. Một hoặc hai vectơ là không đủ, vectơ thứ tư là thừa.

Và một lần nữa chúng tôi làm ấm ngón tay của mình. Hãy giơ tay lên và xòe ra các hướng khác nhau ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa. Đây sẽ là các vectơ, chúng nhìn theo các hướng khác nhau, có độ dài khác nhau và có các góc khác nhau giữa chúng. Xin chúc mừng, cơ sở của không gian ba chiều đã sẵn sàng! Nhân tiện, không cần phải chứng minh điều này với giáo viên, dù bạn có vặn ngón tay đến đâu nhưng cũng không thoát khỏi định nghĩa =)

Tiếp theo, chúng ta hãy tự hỏi mình một câu hỏi quan trọng: ba vectơ bất kỳ có tạo thành cơ sở của không gian ba chiều không? Hãy ấn mạnh ba ngón tay lên mặt bàn máy tính. Chuyện gì đã xảy ra thế? Ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng và nói một cách đại khái, chúng ta đã mất một trong các chiều - chiều cao. Các vectơ như vậy là đồng phẳng và khá rõ ràng là cơ sở của không gian ba chiều không được tạo ra.

Cần lưu ý là các vectơ đồng phẳng không nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng, chúng có thể nằm trong các mặt phẳng song song (chỉ cần đừng dùng ngón tay làm điều này, chỉ có Salvador Dali mới làm được điều này =)).

Sự định nghĩa: vectơ được gọi là đồng phẳng, nếu có một mặt phẳng mà chúng song song với nó. Điều hợp lý khi nói thêm ở đây là nếu một mặt phẳng như vậy không tồn tại thì các vectơ sẽ không đồng phẳng.

Ba vectơ đồng phẳng luôn phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là chúng được biểu diễn tuyến tính thông qua nhau. Để đơn giản, chúng ta hãy tưởng tượng lần nữa rằng chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Thứ nhất, vectơ không chỉ đồng phẳng mà còn có thể thẳng hàng, khi đó bất kỳ vectơ nào cũng có thể biểu diễn qua bất kỳ vectơ nào. Trong trường hợp thứ hai, chẳng hạn, nếu các vectơ không thẳng hàng, thì vectơ thứ ba được biểu diễn thông qua chúng theo một cách duy nhất: (và tại sao thì dễ đoán từ các tài liệu ở phần trước).

Điều ngược lại cũng đúng: ba vectơ không đồng phẳng luôn độc lập tuyến tính, nghĩa là chúng không được thể hiện qua nhau theo bất kỳ cách nào. Và rõ ràng, chỉ những vectơ như vậy mới có thể tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Sự định nghĩa: Cơ sở của không gian ba chiềuđược gọi là bộ ba vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng), thực hiện theo một thứ tự nhất định và bất kỳ vectơ không gian nào cách duy nhấtđược phân rã trên một cơ sở nhất định, tọa độ của vectơ trong cơ sở này ở đâu

Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta cũng có thể nói rằng vectơ được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính các vectơ cơ sở.

Khái niệm hệ tọa độ được giới thiệu giống hệt như đối với trường hợp mặt phẳng; một điểm và ba vectơ độc lập tuyến tính bất kỳ là đủ:

nguồn gốc, Và không đồng phẳng vectơ, thực hiện theo một thứ tự nhất định, bộ hệ tọa độ affine của không gian ba chiều :

Tất nhiên, lưới tọa độ là “xiên” và bất tiện, tuy nhiên, hệ tọa độ được xây dựng cho phép chúng ta chắc chắn xác định tọa độ của bất kỳ vectơ nào và tọa độ của bất kỳ điểm nào trong không gian. Tương tự như mặt phẳng, một số công thức mà tôi đã đề cập sẽ không hoạt động trong hệ tọa độ affine của không gian.

Trường hợp đặc biệt quen thuộc và tiện lợi nhất của hệ tọa độ affine, như mọi người đoán, là hệ tọa độ không gian hình chữ nhật:

Một điểm trong không gian gọi là nguồn gốc, Và trực giao cơ sở được thiết lập Hệ tọa độ không gian hình chữ nhật Descartes . Hình ảnh quen thuộc:

Trước khi chuyển sang các công việc thực tế, chúng ta hãy hệ thống hóa lại thông tin một lần nữa:

Đối với ba vectơ không gian, các câu lệnh sau là tương đương:
1) các vectơ độc lập tuyến tính;
2) các vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không đồng phẳng;
4) các vectơ không thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
5) định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này, khác 0.

Tôi nghĩ những tuyên bố ngược lại là có thể hiểu được.

Sự phụ thuộc/độc lập tuyến tính của vectơ không gian thường được kiểm tra bằng cách sử dụng định thức (điểm 5). Các nhiệm vụ thực tế còn lại sẽ có tính chất đại số rõ rệt. Đã đến lúc treo cây gậy hình học và cầm cây gậy bóng chày của đại số tuyến tính:

Ba vectơ không gian là đồng phẳng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0:.

Tôi muốn bạn chú ý đến một sắc thái kỹ thuật nhỏ: tọa độ của vectơ có thể được viết không chỉ theo cột mà còn theo hàng (giá trị của định thức sẽ không thay đổi vì điều này - xem tính chất của định thức). Nhưng nó tốt hơn nhiều trong các cột vì nó có lợi hơn cho việc giải quyết một số vấn đề thực tế.

Đối với những độc giả hơi quên phương pháp tính định thức, hoặc có thể hiểu rất ít về chúng, tôi xin giới thiệu một trong những bài học lâu đời nhất của tôi: Làm thế nào để tính định thức?

Ví dụ 6

Kiểm tra xem các vectơ sau có phải là cơ sở của không gian ba chiều hay không:

Giải pháp: Trên thực tế, toàn bộ lời giải đều bắt nguồn từ việc tính định thức.

a) Tính định thức được tạo thành từ tọa độ vectơ (định thức được biểu thị ở dòng đầu tiên):

, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng) và tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Trả lời: các vectơ này tạo thành một cơ sở

b) Đây là điểm để quyết định độc lập. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ngoài ra còn có các nhiệm vụ sáng tạo:

Ví dụ 7

Tại giá trị nào của tham số thì các vectơ sẽ đồng phẳng?

Giải pháp: Các vectơ là đồng phẳng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ này bằng 0:

Về cơ bản, bạn cần giải một phương trình với định thức. Chúng ta lao xuống các số 0 như thả diều trên cá giật - tốt nhất là mở định thức ở dòng thứ hai và loại bỏ ngay các điểm trừ:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa và giảm vấn đề thành phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

Trả lời: Tại

Thật dễ dàng để kiểm tra ở đây; để làm điều này, bạn cần thay thế giá trị kết quả vào định thức ban đầu và đảm bảo điều đó bằng cách mở lại.

Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét một bài toán điển hình khác, có tính chất đại số nhiều hơn và thường được đưa vào giáo trình đại số tuyến tính. Nó phổ biến đến mức nó xứng đáng có chủ đề riêng:

Chứng minh 3 vectơ là cơ sở của không gian ba chiều
và tìm tọa độ của vectơ thứ 4 trong cơ sở này

Ví dụ 8

Các vectơ được cho. Chứng minh rằng các vectơ tạo thành một cơ sở trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở đó.

Giải pháp: Đầu tiên, hãy giải quyết điều kiện. Theo điều kiện, bốn vectơ đã cho và như bạn có thể thấy, chúng đã có tọa độ trên một số cơ sở. Cơ sở này là gì thì chúng tôi không quan tâm. Và điều đáng quan tâm sau đây: ba vectơ có thể hình thành một cơ sở mới. Và giai đoạn đầu hoàn toàn trùng khớp với lời giải của Ví dụ 6, cần kiểm tra xem các vectơ có thực sự độc lập tuyến tính hay không:

Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:

, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

! Quan trọng : tọa độ vectơ nhất thiết viết ra thành cộtđịnh thức, không phải trong chuỗi. Nếu không, sẽ có sự nhầm lẫn trong thuật toán giải tiếp theo.– tọa độ vectơ, phương pháp của Cramer ở ​​đây hoàn toàn không phải là băng ;-)

Và, như tôi đã lưu ý, nhiệm vụ này có tính chất đại số. Các vectơ đã được xem xét không nhất thiết là những vectơ có thể vẽ được trong không gian, nhưng trước hết, vectơ khóa học đại số tuyến tính tùy ý. Đối với trường hợp vectơ hai chiều, một vấn đề tương tự có thể được xây dựng và giải quyết - giải pháp về mặt kỹ thuật sẽ đơn giản hơn nhiều, và do đó tôi đã bỏ qua nó trong đoạn trước.

Vấn đề tương tự với vectơ ba chiều cho nghiệm độc lập:

Ví dụ 9

Các vectơ được cho. Chứng minh rằng các vectơ tạo thành một cơ sở và tìm tọa độ của vectơ trên cơ sở đó. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Giải pháp hoàn chỉnh và mẫu gần đúng của thiết kế cuối cùng ở cuối bài học.

Tương tự, chúng ta có thể xem xét bốn chiều, năm chiều, v.v. không gian vectơ, trong đó vectơ có tọa độ lần lượt là 4, 5 hoặc nhiều hơn. Đối với các không gian vectơ này còn có khái niệm phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của vectơ, có cơ sở, trong đó có cơ sở trực chuẩn, khai triển của vectơ đối với một cơ sở. Đúng, những không gian như vậy không thể được vẽ về mặt hình học, nhưng tất cả các quy tắc, tính chất và định lý của trường hợp hai và ba chiều đều hoạt động trong chúng - đại số thuần túy... Mặc dù, ai biết được, có thể không thuần túy..., nhưng hãy kết thúc lại - Tôi đã được hỏi về các câu hỏi triết học trong bài viết Đạo hàm riêng của hàm ba biến, xuất hiện sớm hơn bài học này.

Vector tình yêu, và vector sẽ yêu bạn!

Khái niệm quan trọng nhất trong lý thuyết không gian tuyến tính là sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ. Trước khi định nghĩa khái niệm này, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ. 1. Cho hệ ba vectơ sau từ không gian Tk:

Cũng dễ dàng nhận thấy điều đó

2. Bây giờ chúng ta hãy lấy một hệ vectơ khác từ

Khó có thể trực tiếp nhìn thấy mối quan hệ tương tự như đẳng thức (1) đối với hệ vectơ này. Tuy nhiên, thật dễ dàng để kiểm tra rằng

Hệ số 4, -7,5 của quan hệ (2) có thể tìm được như sau. Chúng ta hãy biểu thị chúng bằng cách coi chúng là ẩn số và giải phương trình vectơ:

Sau khi thực hiện các phép tính nhân, cộng và chuyển đến đẳng thức của các thành phần vectơ trong (2), chúng ta thu được hệ phương trình tuyến tính đồng nhất đối với

Một giải pháp cho hệ thống này là:

3. Xét hệ vectơ:

Bình đẳng

dẫn đến một hệ phương trình có nghiệm duy nhất - bằng 0. (Kiểm tra!) Do đó, từ đẳng thức (3) suy ra,

Nói cách khác, đẳng thức (3) chỉ được thỏa mãn khi

Các hệ vectơ trong ví dụ 1-2 phụ thuộc tuyến tính, hệ thống trong ví dụ 3 độc lập tuyến tính.

Định nghĩa 3. Hệ vectơ của không gian tuyến tính trên một trường được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu không có tất cả các số của trường H bằng 0 sao cho

Nếu sự đẳng thức của vectơ chỉ xảy ra khi thì hệ vectơ được gọi là độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng tính chất phụ thuộc và độc lập tuyến tính là tính chất của hệ vectơ. Tuy nhiên, trong tài liệu, những tính từ tương tự được sử dụng rộng rãi khi áp dụng trực tiếp cho chính các vectơ và họ nói, theo quyền tự do ngôn luận, “một hệ thống các vectơ độc lập tuyến tính” và thậm chí “các vectơ độc lập tuyến tính”.

Nếu chỉ có một vectơ a trong hệ thống, thì theo Thuộc tính 6 (§ 2), nó suy ra từ đó. Điều này có nghĩa là một hệ thống bao gồm một vectơ khác 0 là độc lập tuyến tính. Ngược lại, bất kỳ hệ vectơ nào chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ, nếu sau đó

Nếu một hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính thì đẳng thức đúng với (hoặc . Khi đó

tức là các vectơ tỷ lệ thuận. Điều ngược lại cũng đúng, vì nó suy ra rằng một hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi các vectơ tỷ lệ.

Các vectơ tỷ lệ nằm trên cùng một đường thẳng; Về vấn đề này và trong trường hợp chung, các vectơ tỷ lệ đôi khi được gọi là thẳng hàng.

Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ.

Tính chất 1. Một hệ vectơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính.

Cho hệ con phụ thuộc tuyến tính

Khi đó không phải mọi số đều bằng 0 sao cho

Bằng cách cộng các vectơ còn lại của hệ thống này với hệ số bằng 0 vào vế trái của đẳng thức này, chúng ta thu được kết quả cần tìm.

Từ tính chất 1, suy ra rằng mọi hệ thống con của hệ vectơ độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính.

Tính chất 2. Nếu hệ vectơ

độc lập tuyến tính và hệ vectơ

phụ thuộc tuyến tính thì vectơ được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ của hệ (4).

Vì hệ vectơ (5) phụ thuộc tuyến tính nên không có mọi số bằng 0 sao cho

Nếu sau đó và sau đó có các hệ số khác 0 trong số chúng, điều đó có nghĩa là hệ thống (4) phụ thuộc tuyến tính. Điều đó có nghĩa

Tính chất 3. Hệ có thứ tự các vectơ khác 0

phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ nếu một vectơ nào đó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trước đó.

Cho hệ phụ thuộc tuyến tính. Vì vectơ độc lập tuyến tính. Chúng ta hãy biểu thị bằng số tự nhiên nhỏ nhất mà hệ phụ thuộc tuyến tính. (Điều này tồn tại: trong trường hợp cực đoan, nếu các hệ thống độc lập tuyến tính thì không phải tất cả các số bằng 0 sao cho đẳng thức

Nếu có các hệ số khác 0 giữa chúng và đẳng thức sẽ giữ nguyên

điều đó có nghĩa là sự phụ thuộc tuyến tính của hệ thống, nhưng điều này sẽ mâu thuẫn với việc lựa chọn số So và do đó.

Ngược lại, từ đẳng thức (7) theo tính chất 1 suy ra hệ phụ thuộc tuyến tính

Từ tính chất 3, dễ dàng suy ra rằng một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong các vectơ của nó được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác. Theo nghĩa này, họ nói rằng khái niệm phụ thuộc tuyến tính tương đương với khái niệm khả năng biểu diễn tuyến tính.

Tính chất 4. Nếu vectơ x biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ của hệ

và vectơ được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ còn lại của hệ (8), thì vectơ cũng được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ còn lại của hệ (8).

Trong thực tế,

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh một trong những định lý quan trọng nhất về sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ.

Định lý 1. Nếu mỗi vectơ của hệ độc lập tuyến tính

có sự kết hợp tuyến tính của các vectơ

Nói cách khác, trong một hệ vectơ độc lập tuyến tính là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thì số vectơ không thể lớn hơn

Bằng chứng. Bước 1. Hãy xây dựng một hệ thống

Theo điều kiện, mỗi vectơ của hệ (9), cụ thể là vectơ được biểu diễn tuyến tính thông qua vectơ (10) và do đó hệ (11) phụ thuộc tuyến tính. Theo tính chất 3 trong hệ (11), một vectơ nhất định được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ trước đó và do đó thông qua các vectơ của hệ thống

thu được từ (11) bằng cách loại bỏ vectơ Do đó, theo tính chất 4, ta có: mỗi vectơ của hệ (9) được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ của hệ (12).

Bước thứ 2. Áp dụng lý luận tương tự như trong bước đối với hệ vectơ

và (12) và xét hệ vectơ độc lập tuyến tính, ta thu được hệ vectơ

qua đó mọi vectơ của hệ (9) được biểu diễn tuyến tính.

Nếu chúng ta giả sử rằng, tiếp tục quá trình này, qua các bước chúng ta sẽ sử dụng hết tất cả các vectơ và thu được hệ thống

sao cho mỗi vectơ của hệ (9), cụ thể, được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ của hệ (14). Khi đó hệ (9) phụ thuộc tuyến tính, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Vẫn phải chấp nhận điều đó

Bây giờ chúng ta hãy xem xét sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ trong các không gian khác nhau có ý nghĩa gì.

1. Không gian Nếu một hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính thì hoặc tức là các vectơ đó thẳng hàng. Điều ngược lại cũng đúng. Một hệ gồm ba vectơ không gian phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. (Chứng minh!) Một hệ bốn vectơ không gian luôn phụ thuộc tuyến tính. Trên thực tế, nếu bất kỳ hệ thống con nào trong hệ thống của chúng ta phụ thuộc tuyến tính thì toàn bộ hệ thống cũng phụ thuộc tuyến tính. Nếu không có hệ thống con thích hợp nào phụ thuộc tuyến tính thì theo hệ thống trước, điều này có nghĩa là không có ba vectơ nào của hệ thống của chúng ta nằm trên cùng một mặt phẳng. Sau đó, từ các xem xét hình học, nó dẫn đến sự tồn tại của các số thực sao cho một hình bình hành có các vectơ cạnh sẽ có một đường chéo, tức là trong đẳng thức

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập vectơ

Định nghĩa hệ vectơ độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 22

Giả sử ta có một hệ n-vector và một tập hợp số thì

(11)

được gọi là tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ cho trước với một tập hệ số cho trước.

Định nghĩa 23

Một hệ vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tập hợp các hệ số, ít nhất một trong số đó không bằng 0, sao cho tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ đã cho với tập hệ số này bằng vectơ 0:

Vậy thì cứ để vậy đi

Định nghĩa 24 ( thông qua việc biểu diễn một vectơ của hệ thống dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác)

Một hệ vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu ít nhất một trong các vectơ của hệ này có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại của hệ đó.

Tuyên bố 3

Định nghĩa 23 và 24 là tương đương.

Định nghĩa 25(thông qua tổ hợp tuyến tính bằng 0)

Một hệ vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thống này chỉ có thể tổ hợp tuyến tính bằng 0 nếu tất cả đều bằng 0.

Định nghĩa 26(do không thể biểu diễn một vectơ của hệ thống dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ khác)

Một hệ vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu không một vectơ nào của hệ này không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác của hệ đó.

Tính chất của hệ vectơ độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Định lý 2 (vectơ 0 trong hệ vectơ)

Nếu một hệ vectơ có vectơ bằng 0 thì hệ đó phụ thuộc tuyến tính.

Vậy thì cứ để vậy đi.

Do đó, chúng ta thu được bằng định nghĩa về một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thông qua tổ hợp tuyến tính bằng 0 (12) hệ thống phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 3 (hệ thống con phụ thuộc trong hệ thống vectơ)

Nếu một hệ vectơ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì toàn bộ hệ thống đó phụ thuộc tuyến tính.

 Cho là một hệ con phụ thuộc tuyến tính, trong đó có ít nhất một hệ con không bằng 0:

Điều này có nghĩa, theo định nghĩa 23, hệ thống phụ thuộc tuyến tính. 

Định lý 4

Bất kỳ hệ thống con nào của hệ thống độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính.

 Ngược lại. Giả sử hệ thống độc lập tuyến tính và có hệ thống con phụ thuộc tuyến tính. Nhưng khi đó, theo Định lý 3, toàn bộ hệ thống cũng sẽ phụ thuộc tuyến tính. Sự mâu thuẫn. Do đó, một hệ thống con của một hệ thống độc lập tuyến tính không thể phụ thuộc tuyến tính.

Ý nghĩa hình học của sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của hệ vectơ

Định lý 5

Hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi.

 Sự cần thiết.

và - phụ thuộc tuyến tính rằng điều kiện được thỏa mãn. Thế thì, đó là...

Sự đầy đủ.

phụ thuộc tuyến tính. 

Hệ quả 5.1

Vectơ 0 thẳng hàng với bất kỳ vectơ nào

Hệ quả 5.2

Để hai vectơ độc lập tuyến tính thì điều cần và đủ là .

Định lý 6

Để hệ ba vectơ phụ thuộc tuyến tính thì các vectơ này đồng phẳng là cần thiết và đủ. .

 Sự cần thiết.

Do đó, phụ thuộc tuyến tính, một vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của hai vectơ còn lại.

ở đâu và. Theo quy luật hình bình hành thì có một đường chéo của hình bình hành có các cạnh, nhưng hình bình hành là hình phẳng đồng phẳng - cũng đồng phẳng.

sự đầy đủ.

Đồng phẳng. Hãy áp dụng ba vectơ cho điểm O:

– phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 6.1

Vectơ 0 đồng phẳng với bất kỳ cặp vectơ nào.

Hệ quả 6.2

Để các vectơ độc lập tuyến tính thì điều cần và đủ là chúng không đồng phẳng.

Hệ quả 6.3

Bất kỳ vectơ nào của một mặt phẳng đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vectơ không thẳng hàng bất kỳ của cùng một mặt phẳng.

Định lý 7

Bốn vectơ bất kỳ trong không gian đều phụ thuộc tuyến tính .

 Xét 4 trường hợp:

Hãy vẽ một mặt phẳng đi qua các vectơ, sau đó vẽ một mặt phẳng đi qua các vectơ và một mặt phẳng đi qua các vectơ. Khi đó ta vẽ các mặt phẳng đi qua điểm D, song song với các cặp vectơ ; ; tương ứng. Chúng tôi xây dựng một hình bình hành dọc theo các đường giao nhau của các mặt phẳng O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Hãy xem xét O.B. 1 D 1 C 1 - Hình bình hành được xây dựng theo quy tắc hình bình hành.

Xét OADD 1 – một hình bình hành (theo tính chất của hình bình hành), sau đó

EMBED Equation.3 .

Theo Định lý 1 như vậy. Khi đó, theo định nghĩa 24, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. 

Hệ quả 7.1

Tổng của ba vectơ không đồng phẳng trong không gian là vectơ trùng với đường chéo của hình bình hành dựng trên ba vectơ này ứng với một gốc chung, và gốc của vectơ tổng trùng với gốc chung của ba vectơ này.

Hệ quả 7.2

Nếu chúng ta lấy 3 vectơ không đồng phẳng trong không gian thì bất kỳ vectơ nào trong không gian này đều có thể bị phân tách thành tổ hợp tuyến tính của ba vectơ này.

Hệ vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có các số trong đó ít nhất một số khác 0, sao cho đẳng thức https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" Height="24 src= " >.

Nếu đẳng thức này chỉ được thỏa mãn trong trường hợp tất cả , thì hệ vectơ được gọi là độc lập tuyến tính.

Định lý. Hệ vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong các vectơ của nó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.

Ví dụ 1.Đa thức là sự kết hợp tuyến tính của các đa thức https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 Height=24" Height="24">. Đa thức tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính, vì đa thức https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" Height="24">.

Ví dụ 2. Hệ thống ma trận, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" Height="48 src="> độc lập tuyến tính, vì tổ hợp tuyến tính bằng ma trận 0 chỉ trong trường hợp https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" Height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" Height="21"> phụ thuộc tuyến tính.

Giải pháp.

Hãy tạo sự kết hợp tuyến tính của các vectơ này https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" Height="24">=0..gif" width="360" chiều cao=" 22">.

Đánh đồng cùng tọa độ của các vectơ bằng nhau, chúng ta nhận được https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" Height="69">

Cuối cùng chúng tôi nhận được

Hệ thống có nghiệm tầm thường duy nhất, do đó tổ hợp tuyến tính của các vectơ này chỉ bằng 0 trong trường hợp tất cả các hệ số đều bằng 0. Do đó, hệ vectơ này độc lập tuyến tính.

Ví dụ 4. Các vectơ độc lập tuyến tính. Các hệ thống vectơ sẽ như thế nào?

Giải pháp.

Một). Hãy tạo một tổ hợp tuyến tính và đánh đồng nó bằng 0

Sử dụng tính chất của các phép toán với vectơ trong không gian tuyến tính, ta viết lại đẳng thức cuối cùng dưới dạng

Vì các vectơ độc lập tuyến tính nên các hệ số tại phải bằng 0, tức là..gif" width="12" Height="23 src=">

Hệ phương trình thu được có nghiệm tầm thường duy nhất.

Vì bình đẳng (*) chỉ được thực thi khi https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 Height=20" Height="20"> – độc lập tuyến tính;

b). Hãy tạo sự bình đẳng https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" Height="24 src="> (**)

Áp dụng lý luận tương tự, chúng ta thu được

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, ta thu được

Hệ thống thứ hai có vô số giải pháp https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" Height="24 src=">. Do đó, không có tập hợp 0 ​​các hệ số giữ đẳng thức (**) . Do đó, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 5 Một hệ vectơ độc lập tuyến tính và một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính..gif" width="80" Height="24">.gif" width="149 Height=24" Height="24"> (***)

Bình đẳng (***) . Thật vậy, tại , hệ thống sẽ phụ thuộc tuyến tính.

Từ mối quan hệ (***) chúng tôi nhận được hoặc Hãy biểu thị .

Các vấn đề cần giải quyết độc lập (trong lớp học)

1. Một hệ thống chứa vectơ 0 là phụ thuộc tuyến tính.

2. Hệ thống gồm một vectơ MỘT, phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi, a=0.

3. Một hệ thống gồm hai vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi các vectơ tỷ lệ (nghĩa là một trong số chúng thu được từ vectơ kia bằng cách nhân với một số).

4. Nếu bạn thêm một vectơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính, bạn sẽ có một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5. Nếu một vectơ được loại bỏ khỏi hệ độc lập tuyến tính thì hệ vectơ thu được sẽ độc lập tuyến tính.

6. Nếu hệ thống Sđộc lập tuyến tính, nhưng trở nên phụ thuộc tuyến tính khi thêm một vectơ b, thì vectơ bđược biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ hệ thống S.

c). Hệ ma trận , , trong không gian ma trận bậc hai.

10. Cho hệ vectơ Một,b,c không gian vectơ độc lập tuyến tính. Chứng minh tính độc lập tuyến tính của các hệ vectơ sau:

Một).một+b, b, c.

b).một+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" Height="19">– số tùy ý

c).một+b, a+c, b+c.

11. Cho phép Một,b,c– ba vectơ trên mặt phẳng từ đó tạo thành một tam giác. Các vectơ này có phụ thuộc tuyến tính không?

12. Hai vectơ được cho a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Tìm thêm hai vectơ bốn chiều a3 vàa4để hệ thống a1,a2,a3,a4độc lập tuyến tính .