Chương trình giải các bất đẳng thức tuyến tính, bậc hai và phân số không chỉ đưa ra câu trả lời cho bài toán mà còn cung cấp lời giải chi tiết kèm theo lời giải thích, tức là. hiển thị quy trình giải để kiểm tra kiến thức về toán học và/hoặc đại số.
Hơn nữa, nếu trong quá trình giải một trong các bất phương trình mà cần phải giải, chẳng hạn như phương trình bậc hai, thì lời giải chi tiết của nó cũng được hiển thị (nó được chứa trong một spoiler).
Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học trong việc chuẩn bị cho các bài kiểm tra và giúp phụ huynh theo dõi cách con mình giải quyết những bất bình đẳng.
Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học ở các trường phổ thông khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến thức trước kỳ thi Thống nhất Nhà nước và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số.
Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập về nhà toán hoặc đại số càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.
Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình, đồng thời trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.
Quy tắc nhập bất đẳng thức
Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.
Ví dụ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), v.v.
Các số có thể được nhập dưới dạng số nguyên hoặc phân số.
Hơn nữa, các số phân số có thể được nhập không chỉ ở dạng thập phân mà còn ở dạng phân số thông thường.
Quy tắc nhập phân số thập phân.
Trong phân số thập phân, phần phân số có thể được phân tách khỏi phần nguyên bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: bạn có thể nhập phân số thập phân như thế này: 2,5x - 3,5x^2
Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.
Mẫu số không thể âm. /
Khi nhập một phân số, tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: &
Toàn bộ phần được phân tách khỏi phân số bằng dấu và:
Đầu vào: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Kết quả: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn khi nhập biểu thức. Trong trường hợp này, khi giải bất đẳng thức, trước tiên các biểu thức được đơn giản hóa. Ví dụ:
Chọn dấu bất đẳng thức mong muốn và nhập các đa thức vào các trường bên dưới.
Giải hệ bất phương trình Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...
Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.
Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:
Một chút lý thuyết.
Hệ bất đẳng thức có một ẩn số. Khoảng số
Bạn đã làm quen với khái niệm hệ ở lớp 7 và đã học cách giải hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các hệ bất đẳng thức tuyến tính có một ẩn số. Tập nghiệm của hệ bất phương trình có thể được viết bằng cách sử dụng các khoảng (khoảng, nửa khoảng, đoạn, tia). Bạn cũng sẽ làm quen với ký hiệu các khoảng số.
Nếu trong các bất đẳng thức \(4x > 2000\) và \(5x \leq 4000\) số chưa biết x giống nhau, thì các bất đẳng thức này được xem xét cùng nhau và chúng được gọi là tạo thành một hệ bất đẳng thức: $$ \left\ (\begin( mảng)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.
Dấu ngoặc nhọn cho biết bạn cần tìm các giá trị của x mà cả hai bất đẳng thức của hệ đều biến thành bất đẳng thức số chính xác. Hệ này là một ví dụ về hệ bất đẳng thức tuyến tính với một ẩn số.
Lời giải của hệ bất đẳng thức có một ẩn số là giá trị của ẩn mà tại đó tất cả các bất đẳng thức của hệ biến thành bất đẳng thức số thực. Giải một hệ bất đẳng thức có nghĩa là tìm ra tất cả nghiệm của hệ này hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào cả.
Các bất đẳng thức \(x \geq -2 \) và \(x \leq 3 \) có thể được viết dưới dạng bất đẳng thức kép: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Giải pháp cho hệ bất đẳng thức có một ẩn số là các tập hợp số khác nhau. Những bộ này có tên. Như vậy, trên trục số, tập hợp các số x sao cho \(-2 \leq x \leq 3 \) được biểu diễn bằng một đoạn có tận cùng tại các điểm -2 và 3.
| -2 | 3 |
Nếu \(a là một phân đoạn và được ký hiệu là [a; b]
Nếu \(a là một khoảng và được ký hiệu là (a; b)
Các tập hợp số \(x\) thỏa mãn các bất đẳng thức \(a \leq x là các nửa khoảng và được ký hiệu lần lượt là [a; b) và (a; b]
Các đoạn, khoảng, nửa khoảng và tia được gọi là khoảng số.
Vì vậy, các khoảng số có thể được xác định dưới dạng bất đẳng thức.
Lời giải của bất đẳng thức hai ẩn số là một cặp số (x; y) biến bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức số thực. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tập hợp tất cả nghiệm của nó. Do đó, nghiệm của bất đẳng thức x > y sẽ là, ví dụ, các cặp số (5; 3), (-1; -1), vì \(5 \geq 3 \) và \(-1 \geq - 1\)
Giải hệ bất đẳng thức
Bạn đã học cách giải bất đẳng thức tuyến tính với một ẩn số. Bạn có biết hệ bất bình đẳng và giải pháp cho hệ bất bình đẳng là gì không? Vì vậy, quá trình giải các hệ bất phương trình có ẩn số sẽ không gây khó khăn gì cho bạn.
Chưa hết, xin nhắc bạn: để giải hệ bất phương trình, bạn cần giải riêng từng bất phương trình, sau đó tìm giao điểm của các nghiệm này.
Ví dụ, hệ bất đẳng thức ban đầu được rút gọn về dạng:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Để giải hệ bất phương trình này, hãy đánh dấu nghiệm của từng bất phương trình trên trục số và tìm giao điểm của chúng:
| -2 | 3 |
Giao điểm là đoạn [-2; 3] - đây là lời giải của hệ bất đẳng thức ban đầu.
Hệ bất đẳng thức Người ta thường gọi bất kỳ tập hợp nào gồm hai hoặc nhiều bất đẳng thức chứa một đại lượng chưa biết.
Công thức này được minh họa rõ ràng, ví dụ, bằng cách sau đây hệ thống bất bình đẳng:
Giải hệ bất phương trình - có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của một biến chưa biết mà tại đó mỗi bất đẳng thức của hệ thống được nhận ra hoặc để chứng minh rằng biến đó không tồn tại .
Điều này có nghĩa là đối với mỗi cá nhân hệ thống bất bình đẳng Chúng tôi tính toán biến chưa biết. Tiếp theo, từ các giá trị kết quả, chỉ chọn những giá trị đúng cho cả bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai. Do đó, khi thay thế giá trị đã chọn, cả hai bất đẳng thức của hệ đều đúng.
Chúng ta hãy xem xét giải pháp cho một số bất đẳng thức:
Hãy đặt một cặp trục số bên dưới trục kia; đặt giá trị lên hàng đầu x, trong đó bất đẳng thức thứ nhất về ( x> 1) trở thành đúng và ở dưới cùng - giá trị X, đây là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai ( X> 4).
Bằng cách so sánh số liệu trên dãy số, lưu ý rằng giải pháp cho cả hai sự bất bình đẳng sẽ X> 4. Trả lời, X> 4.
Ví dụ 2.
Tính toán đầu tiên bất bình đẳng chúng tôi nhận được -3 X< -6, или x> 2, giây - X> -8, hoặc X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, tại đó điều đầu tiên được thực hiện hệ thống bất bình đẳng, và đến dòng số phía dưới, tất cả những giá trị đó X, tại đó bất đẳng thức thứ hai của hệ được thể hiện.
So sánh dữ liệu, chúng tôi thấy rằng cả hai sự bất bình đẳng sẽ được thực hiện cho tất cả các giá trị X, được xếp từ 2 đến 8. Tập hợp các giá trị X biểu thị bất bình đẳng kép 2 < X< 8.
Ví dụ 3. Chúng tôi sẽ tìm thấy
Trong bài viết chúng ta sẽ xem xét giải bất đẳng thức. Chúng tôi sẽ cho bạn biết rõ ràng về cách xây dựng giải pháp cho bất đẳng thức, với các ví dụ rõ ràng!
Trước khi xem xét việc giải bất đẳng thức bằng các ví dụ, hãy hiểu các khái niệm cơ bản.
Thông tin chung về bất bình đẳng
Bất bình đẳng là một biểu thức trong đó các hàm được kết nối bằng các dấu quan hệ >, . Bất bình đẳng có thể là cả số và nghĩa đen.
Bất đẳng thức có hai dấu của tỷ số được gọi là gấp đôi, với ba - gấp ba, v.v. Ví dụ:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Các bất đẳng thức chứa dấu > hoặc hoặc - là không chặt chẽ.
Giải quyết sự bất bình đẳng là bất kỳ giá trị nào của biến mà bất đẳng thức này đúng.
"Giải bất đẳng thức" có nghĩa là chúng ta cần tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó. Có nhiều cách khác nhau các phương pháp giải bất đẳng thức. Vì giải pháp bất bình đẳng Họ sử dụng trục số là vô hạn. Ví dụ, giải pháp cho sự bất bình đẳng x > 3 là khoảng từ 3 đến + và số 3 không nằm trong khoảng này nên điểm trên đường thẳng được biểu thị bằng một vòng tròn trống, bởi vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt. 
+
Đáp án sẽ là: x(3;+).
Giá trị x=3 không có trong tập nghiệm nên dấu ngoặc đơn có dạng tròn. Dấu vô cực luôn được đánh dấu bằng dấu ngoặc đơn. Dấu hiệu này có nghĩa là "thuộc về".
Hãy xem cách giải bất đẳng thức bằng một ví dụ khác có dấu:
x 2
-
+
Giá trị x=2 được bao gồm trong tập nghiệm, do đó dấu ngoặc là hình vuông và điểm trên đường thẳng được biểu thị bằng một vòng tròn đầy.
Câu trả lời sẽ là: x.
Hãy tóm tắt những gì chúng ta đã học được.
Giả sử cần phải giải hệ bất phương trình: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Khi đó, khoảng ($x_1; x_2$) là nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Khoảng ($y_1; y_2$) là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai.
Lời giải của một hệ bất đẳng thức là giao của các nghiệm của từng bất đẳng thức. 
Hệ bất đẳng thức có thể bao gồm không chỉ các bất đẳng thức bậc nhất mà còn bất kỳ loại bất đẳng thức nào khác.
Các quy tắc quan trọng để giải hệ bất phương trình.
Nếu một trong các bất đẳng thức của hệ không có nghiệm thì toàn hệ cũng không có nghiệm.
Nếu một trong các bất đẳng thức được thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của biến thì nghiệm của hệ sẽ là nghiệm của bất đẳng thức kia.
Ví dụ.
Giải hệ bất phương trình:$\begin(case)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(case)$
Giải pháp.
Hãy giải từng bất đẳng thức riêng biệt.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
Hãy giải bất đẳng thức thứ hai.
$x^2-8x+12<0$.
$(x-6)(x-2)<0$.
Giải pháp cho bất đẳng thức là khoảng. 
Hãy vẽ cả hai khoảng trên cùng một đường thẳng và tìm giao điểm. 
Giao điểm của các khoảng là đoạn (4; 6].
Trả lời: (4;6].
Giải hệ bất phương trình.
a) $\begin(case)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(case)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(case )$.
Giải pháp.
a) Bất đẳng thức thứ nhất có nghiệm x>1.
Hãy tìm phân biệt đối với bất đẳng thức thứ hai.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Chúng ta hãy nhớ quy tắc: khi một trong các bất đẳng thức không có nghiệm thì toàn bộ hệ cũng không có nghiệm.
Trả lời: Không có giải pháp nào cả.
B) Bất đẳng thức thứ nhất có nghiệm x>1.
Bất đẳng thức thứ hai lớn hơn 0 với mọi x. Khi đó nghiệm của hệ trùng với nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Đáp án: x>1.
Các bài toán về hệ bất đẳng thức để giải độc lập
Giải hệ bất phương trình:a) $\begin(case)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(case)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(case)x^2-25 d) $\begin(case)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60 ≥0 \end(case)$
e) $\begin(case)x^2+36