Làm thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc hai dễ dàng hơn. phương trình bậc hai

Tiếp tục chủ đề “Giải phương trình”, nội dung bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương trình bậc hai.

Chúng ta hãy xem xét mọi thứ một cách chi tiết: bản chất và cách ghi của phương trình bậc hai, xác định các thuật ngữ liên quan, phân tích sơ đồ giải không đầy đủ và phương trình hoàn chỉnh, chúng ta hãy làm quen với công thức nghiệm và phân biệt, thiết lập mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số, và tất nhiên chúng ta sẽ đưa ra giải pháp trực quan những ví dụ thực tế.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Phương trình bậc hai, các loại của nó

Định nghĩa 1

phương trình bậc hai là một phương trình được viết dưới dạng a x 2 + b x + c = 0, Ở đâu x– biến, a , b và c– một số con số, trong khi Một không phải là số không.

Thông thường, phương trình bậc hai còn được gọi là phương trình bậc hai, vì về bản chất phương trình bậc hai là phương trình đại số cấp độ thứ hai.

Hãy lấy một ví dụ để minh họa định nghĩa đã cho: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, v.v. Đây là những phương trình bậc hai.

Định nghĩa 2

Các số a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0, trong khi hệ số Mộtđược gọi là hệ số thứ nhất, hoặc cao cấp, hoặc hệ số tại x 2, b - hệ số hoặc hệ số thứ hai tại x, MỘT cđược gọi là thành viên tự do.

Ví dụ, trong phương trình bậc hai 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 hệ số đầu là 6, hệ số thứ hai là − 2 , và số hạng tự do bằng − 11 . Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là khi các hệ số b và/hoặc c âm thì sử dụng dạng ngắn hồ sơ như 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, không 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Chúng ta cũng hãy làm rõ khía cạnh này: nếu các hệ số Một và/hoặc b bình đẳng 1 hoặc − 1 , thì họ có thể không tham gia rõ ràng vào việc viết phương trình bậc hai, điều này được giải thích bằng đặc thù của việc viết các hệ số số đã chỉ định. Ví dụ, trong phương trình bậc hai y 2 − y + 7 = 0 hệ số đầu là 1, hệ số thứ hai là − 1 .

Phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn

Dựa trên giá trị của hệ số đầu tiên, phương trình bậc hai được chia thành rút gọn và không rút gọn.

Định nghĩa 3

Phương trình bậc hai rút gọn là một phương trình bậc hai có hệ số cao nhất bằng 1. Đối với các giá trị khác của hệ số cao nhất, phương trình bậc hai không được rút gọn.

Cho ví dụ: các phương trình bậc hai x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 đều được rút gọn, trong đó mỗi phương trình đều có hệ số cao nhất là 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- phương trình bậc hai không rút gọn, trong đó hệ số thứ nhất khác với 1 .

Bất kỳ phương trình bậc hai không rút gọn nào cũng có thể được chuyển đổi thành phương trình rút gọn bằng cách chia cả hai vế cho hệ số thứ nhất ( phép biến đổi tương đương). Phương trình được biến đổi sẽ có cùng nghiệm với phương trình chưa rút gọn đã cho hoặc cũng sẽ không có nghiệm nào cả.

Cân nhắc ví dụ cụ thể sẽ cho phép chúng ta chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ phương trình bậc hai không rút gọn sang phương trình rút gọn.

Ví dụ 1

Cho phương trình 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Cần phải chuyển phương trình ban đầu về dạng rút gọn.

Giải pháp

Theo sơ đồ trên, chúng ta chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho hệ số dẫn đầu 6. Sau đó chúng tôi nhận được: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, và điều này giống như: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 và hơn thế nữa: (6:6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Từ đây: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Do đó, thu được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Trả lời: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Phương trình bậc hai đầy đủ và không đầy đủ

Hãy chuyển sang định nghĩa của phương trình bậc hai. Trong đó chúng tôi đã chỉ định rằng một ≠ 0. Một điều kiện tương tự là cần thiết cho phương trình a x 2 + b x + c = 0 chính xác là hình vuông, vì tại một = 0 về cơ bản nó biến thành phương trình tuyến tính b x + c = 0.

Trong trường hợp các hệ số b Và cđều bằng 0 (điều này có thể xảy ra, cả riêng lẻ và chung), phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ.

Định nghĩa 4

Phương trình bậc hai không đầy đủ- một phương trình bậc hai như vậy a x 2 + b x + c = 0, trong đó ít nhất một trong các hệ số b Và c(hoặc cả hai) bằng 0.

Phương trình bậc hai hoàn chỉnh– một phương trình bậc hai trong đó tất cả các hệ số số không bằng 0.

Hãy cùng thảo luận tại sao các loại phương trình bậc hai lại được đặt tên chính xác như vậy.

Khi b = 0, phương trình bậc hai có dạng a x 2 + 0 x + c = 0, điều này cũng giống như a x 2 + c = 0. Tại c = 0 phương trình bậc hai được viết là a x 2 + b x + 0 = 0, tương đương a x 2 + b x = 0. Tại b = 0 Và c = 0 phương trình sẽ có dạng một x 2 = 0. Các phương trình mà chúng ta thu được khác với phương trình bậc hai hoàn chỉnh ở chỗ vế trái của chúng không chứa một số hạng có biến x hoặc một số hạng tự do hoặc cả hai. Trên thực tế, thực tế này đã đặt tên cho loại phương trình này – không đầy đủ.

Ví dụ, x 2 + 3 x + 4 = 0 và − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 là các phương trình bậc hai đầy đủ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ

Định nghĩa đưa ra ở trên có thể làm nổi bật các loại sau phương trình bậc hai không đầy đủ:

  • một x 2 = 0, phương trình này tương ứng với các hệ số b = 0 và c = 0 ;
  • a · x 2 + c = 0 tại b = 0 ;
  • a · x 2 + b · x = 0 tại c = 0.

Chúng ta hãy xem xét lần lượt nghiệm của từng loại phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình a x 2 = 0

Như đã đề cập ở trên, phương trình này tương ứng với các hệ số b Và c, bằng 0. phương trình một x 2 = 0 có thể được chuyển đổi thành một phương trình tương đương x 2 = 0, mà chúng ta có được bằng cách chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho số Một, không bằng 0. Sự thật hiển nhiên rằng nghiệm của phương trình x 2 = 0đây là số không bởi vì 0 2 = 0 . Phương trình này không có nghiệm nào khác, có thể giải thích bằng tính chất bậc: với mọi số P, Không bằng 0, bất đẳng thức đúng p 2 > 0, từ đó suy ra rằng khi p ≠ 0 bình đẳng p 2 = 0 sẽ không bao giờ đạt được.

Định nghĩa 5

Do đó, đối với phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 = 0 có một nghiệm duy nhất x = 0.

Ví dụ 2

Ví dụ: hãy giải một phương trình bậc hai không đầy đủ − 3 x 2 = 0. Nó tương đương với phương trình x 2 = 0, gốc duy nhất của nó là x = 0, thì phương trình ban đầu có một nghiệm duy nhất - bằng 0.

Tóm lại, giải pháp được viết như sau:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Giải phương trình a x 2 + c = 0

Tiếp theo là giải phương trình bậc hai không đầy đủ, trong đó b = 0, c ≠ 0, tức là phương trình có dạng a x 2 + c = 0. Hãy biến đổi phương trình này bằng cách di chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của phương trình, đổi dấu sang vế đối diện và chia cả hai vế của phương trình cho một số không bằng 0:

  • chuyển khoản c về phía bên phải, cho ta phương trình a x 2 = − c;
  • chia cả hai vế của phương trình cho Một, chúng ta thu được x = - c a .

Các phép biến đổi của chúng ta là tương đương; do đó, phương trình thu được cũng tương đương với phương trình ban đầu và thực tế này giúp chúng ta có thể rút ra kết luận về nghiệm của phương trình. Từ những giá trị là gì Một Và c giá trị của biểu thức - c a phụ thuộc: nó có thể có dấu trừ (ví dụ: nếu một = 1 Và c = 2, thì - c a = - 2 1 = - 2) hoặc dấu cộng (ví dụ: nếu a = − 2 Và c = 6, thì - c a = - 6 - 2 = 3); nó không bằng 0 bởi vì c ≠ 0. Chúng ta hãy tìm hiểu chi tiết hơn về các tình huống khi - c a< 0 и - c a > 0 .

Trong trường hợp khi - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Pđẳng thức p 2 = - c a không thể đúng.

Mọi thứ sẽ khác khi - c a > 0: hãy nhớ căn bậc hai, và sẽ thấy rõ rằng căn bậc hai của phương trình x 2 = - c a sẽ là số - c a, vì - c a 2 = - c a. Không khó hiểu khi số - - c a cũng chính là nghiệm của phương trình x 2 = - c a: quả thực là - - c a 2 = - c a.

Phương trình sẽ không có gốc khác. Chúng ta có thể chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng. Để bắt đầu, chúng ta hãy định nghĩa các ký hiệu cho các nghiệm được tìm thấy ở trên là x 1 Và − x 1. Giả sử phương trình x 2 = - c a cũng có nghiệm x 2, khác với gốc x 1 Và − x 1. Chúng ta biết rằng bằng cách thay thế vào phương trình x gốc của nó, chúng ta biến đổi phương trình thành một đẳng thức số hợp lý.

Vì x 1 Và − x 1 chúng ta viết: x 1 2 = - c a , và với x 2- x 2 2 = - c a . Dựa trên thuộc tính đẳng thức số, trừ từng số hạng sự bình đẳng thực sự từ người khác, điều này sẽ cho chúng ta: x 1 2 − x 2 2 = 0. Chúng ta sử dụng các tính chất của phép toán với số để viết lại đẳng thức cuối cùng dưới dạng (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Người ta biết rằng tích của hai số bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong các số đó bằng 0. Từ trên suy ra rằng x 1 − x 2 = 0 và/hoặc x 1 + x 2 = 0, giống nhau x 2 = x 1 và/hoặc x 2 = − x 1. Một mâu thuẫn rõ ràng nảy sinh, vì lúc đầu người ta đồng ý rằng nghiệm của phương trình x 2 khác với x 1 Và − x 1. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng phương trình không có nghiệm nào khác ngoài x = - c a và x = - - c a.

Hãy để chúng tôi tóm tắt tất cả các lập luận ở trên.

Định nghĩa 6

Phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 + c = 0 tương đương với phương trình x 2 = - c a, trong đó:

  • sẽ không có gốc tại - c a< 0 ;
  • sẽ có hai nghiệm x = - c a và x = - - c a với - c a > 0.

Hãy cho ví dụ về giải phương trình a x 2 + c = 0.

Ví dụ 3

Cho một phương trình bậc hai 9 x 2 + 7 = 0. Nó là cần thiết để tìm ra một giải pháp.

Giải pháp

Hãy di chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình, khi đó phương trình sẽ có dạng 9 x 2 = − 7.
Chúng ta hãy chia cả hai vế của phương trình kết quả cho 9 , ta đi đến x 2 = - 7 9 . Ở bên phải chúng ta thấy một số có dấu trừ, nghĩa là: y phương trình đã cho không có rễ. Khi đó phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu 9 x 2 + 7 = 0 sẽ không có rễ.

Trả lời: phương trình 9 x 2 + 7 = 0 không có rễ.

Ví dụ 4

Phương trình cần được giải − x 2 + 36 = 0.

Giải pháp

Hãy di chuyển 36 sang bên phải: − x 2 = − 36.
Hãy chia cả hai phần cho − 1 , chúng tôi nhận được x 2 = 36. Ở phía bên phải - số dương, từ đây chúng ta có thể kết luận rằng x = 36 hoặc x = - 36 .
Hãy rút căn và viết ra kết quả cuối cùng: phương trình bậc hai không đầy đủ − x 2 + 36 = 0 có hai gốc x=6 hoặc x = − 6.

Trả lời: x=6 hoặc x = − 6.

Giải phương trình a x 2 +b x=0

Chúng ta hãy phân tích loại phương trình bậc hai không đầy đủ thứ ba, khi c = 0. Để tìm nghiệm của một phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 + b x = 0, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích nhân tử. Hãy phân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử, đưa nó ra khỏi ngoặc số nhân chung x. Bước này sẽ giúp chuyển đổi phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu thành phương trình bậc hai tương đương x (a x + b) = 0. Và phương trình này lần lượt tương đương với một tập hợp các phương trình x = 0 Và a x + b = 0. phương trình a x + b = 0 tuyến tính và gốc của nó: x = − b a.

Định nghĩa 7

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 + b x = 0 sẽ có hai gốc x = 0 Và x = − b a.

Hãy củng cố tài liệu bằng một ví dụ.

Ví dụ 5

Cần tìm nghiệm của phương trình 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Giải pháp

Chúng tôi sẽ lấy nó ra x bên ngoài dấu ngoặc ta nhận được phương trình x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Phương trình này tương đương với các phương trình x = 0 và 2 3 x - 2 2 7 = 0. Bây giờ bạn nên giải phương trình tuyến tính thu được: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Viết ngắn gọn nghiệm của phương trình như sau:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 hoặc 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 hoặc x = 3 3 7

Trả lời: x = 0, x = 3 3 7.

Phân biệt, công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai, có một công thức nghiệm:

Định nghĩa 8

x = - b ± D 2 · a, trong đó D = b 2 − 4 a c– cái gọi là phân biệt của phương trình bậc hai.

Viết x = - b ± D 2 · a về cơ bản có nghĩa là x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sẽ rất hữu ích nếu hiểu được công thức này được hình thành như thế nào và cách áp dụng nó như thế nào.

Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta hãy đối mặt với nhiệm vụ giải phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0. Ta thực hiện một số phép biến đổi tương đương:

  • chia cả hai vế của phương trình cho một số Một, khác 0, ta thu được phương trình bậc hai sau: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • hãy làm nổi bật hình vuông hoàn hảoở vế trái của phương trình thu được:
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
    Sau đó, phương trình sẽ có dạng: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
  • Bây giờ có thể chuyển hai số hạng cuối sang vế phải, đổi dấu sang ngược lại, sau đó ta được: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Cuối cùng, chúng ta biến đổi biểu thức được viết ở vế phải của đẳng thức cuối cùng:
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Như vậy, ta thu được phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tương đương với phương trình ban đầu a x 2 + b x + c = 0.

Chúng tôi đã phân tích cách giải các phương trình tương tự trong đoạn trước(giải phương trình bậc hai không đầy đủ). Kinh nghiệm đã thu được giúp chúng ta có thể rút ra kết luận về nghiệm của phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

  • với b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • khi b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 thì phương trình là x + b 2 · a 2 = 0, thì x + b 2 · a = 0.

Từ đây nghiệm duy nhất x = - b 2 · a là hiển nhiên;

  • với b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, điều sau đây đúng: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 hoặc x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tương đương với x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 hoặc x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tức là phương trình có hai nghiệm.

Có thể kết luận rằng sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (và do đó phương trình ban đầu) phụ thuộc vào dấu của biểu thức b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 viết ở bên phải. Và dấu của biểu thức này được cho bởi dấu của tử số, (mẫu số 4 một 2 sẽ luôn dương), tức là dấu của biểu thức b 2 − 4 a c. Biểu thức này b 2 − 4 a c tên được đưa ra - phân biệt của phương trình bậc hai và chữ D được xác định là ký hiệu của nó. Tại đây bạn có thể viết ra bản chất của phân biệt - dựa trên giá trị và dấu của nó, họ có thể kết luận liệu phương trình bậc hai có rễ thật và nếu có thì số lượng gốc là bao nhiêu - một hoặc hai.

Trở lại phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Hãy viết lại nó bằng ký hiệu phân biệt: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Chúng ta hãy xây dựng lại kết luận của mình:

Định nghĩa 9

  • Tại D< 0 phương trình không có nghiệm thực;
  • Tại D=0 phương trình có một nghiệm duy nhất x = - b 2 · a ;
  • Tại D > 0 phương trình có hai nghiệm: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 hoặc x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Dựa vào tính chất của căn thức, các nghiệm này có thể viết dưới dạng: x = - b 2 · a + D 2 · a hoặc - b 2 · a - D 2 · a. Và, khi chúng ta mở rộng các mô-đun và giảm các phân số thành mẫu số chung, ta được: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Vì vậy, kết quả suy luận của chúng tôi là rút ra công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, phân biệt D tính theo công thức D = b 2 − 4 a c.

Những công thức này giúp xác định được cả hai nghiệm thực khi phân biệt lớn hơn 0. Khi biệt thức bằng 0, việc áp dụng cả hai công thức sẽ cho cùng một nghiệm, như giải pháp duy nhất phương trình bậc hai. Trong trường hợp biệt thức âm, nếu chúng ta cố gắng sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta sẽ phải đối mặt với việc phải trích xuất căn bậc hai từ một số âm, điều này sẽ đưa chúng ta vượt xa số thực. Tại sự phân biệt đối xử tiêu cực Phương trình bậc hai sẽ không có nghiệm thực, nhưng có thể có một cặp nghiệm liên hợp phức tạp, được xác định bằng cùng các công thức nghiệm mà chúng ta thu được.

Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng công thức gốc

Có thể giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng ngay công thức gốc, nhưng về cơ bản việc này được thực hiện khi bạn cần tìm rễ phức tạp.

Trong phần lớn các trường hợp, nó thường có nghĩa là tìm kiếm không phải phức tạp mà là tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai. Sau đó, điều tối ưu là trước khi sử dụng các công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai, trước tiên hãy xác định biệt thức và đảm bảo rằng nó không âm (nếu không chúng ta sẽ kết luận rằng phương trình không có nghiệm thực), sau đó tiến hành tính toán giá trị của rễ

Lý do trên cho phép xây dựng một thuật toán để giải phương trình bậc hai.

Định nghĩa 10

Để giải phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0, cần thiết:

  • theo công thức D = b 2 − 4 a c tìm giá trị phân biệt;
  • tại D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • với D = 0, tìm nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức x = - b 2 · a;
  • với D > 0, xác định hai nghiệm thực của phương trình bậc hai bằng công thức x = - b ± D 2 · a.

Lưu ý rằng khi biệt thức bằng 0, bạn có thể sử dụng công thức x = - b ± D 2 · a, nó sẽ cho kết quả tương tự như công thức x = - b 2 · a.

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ về giải phương trình bậc hai

Hãy để chúng tôi đưa ra giải pháp cho các ví dụ cho ý nghĩa khác nhau phân biệt đối xử.

Ví dụ 6

Chúng ta cần tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 2 x − 6 = 0.

Giải pháp

Hãy viết các hệ số của phương trình bậc hai: a = 1, b = 2 và c = − 6. Tiếp theo chúng ta tiến hành theo thuật toán, tức là. Hãy bắt đầu tính toán biệt thức, chúng ta sẽ thay thế các hệ số a, b Và c vào công thức phân biệt: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Vì vậy, chúng ta nhận được D > 0, nghĩa là phương trình ban đầu sẽ có hai nghiệm thực.
Để tìm chúng, chúng ta sử dụng công thức gốc x = - b ± D 2 · a và thay các giá trị tương ứng, chúng ta nhận được: x = - 2 ± 28 2 · 1. Chúng ta hãy đơn giản hóa biểu thức thu được bằng cách lấy thừa số ra khỏi dấu căn rồi rút gọn phân số:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 hoặc x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 hoặc x = - 1 - 7

Trả lời: x = - 1 + 7​​​​​, x = - 1 - 7 .

Ví dụ 7

Cần giải phương trình bậc hai − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Giải pháp

Hãy xác định sự phân biệt đối xử: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Với giá trị biệt thức này, phương trình ban đầu sẽ chỉ có một nghiệm duy nhất, xác định theo công thức x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Trả lời: x = 3,5.

Ví dụ 8

Phương trình cần được giải 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Giải pháp

Các hệ số của phương trình này sẽ là: a = 5, b = 6 và c = 2. Chúng tôi sử dụng các giá trị này để tìm phân biệt: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Phân biệt được tính là âm, do đó phương trình bậc hai ban đầu không có nghiệm thực.

Trong trường hợp nhiệm vụ chỉ ra các nghiệm phức, chúng ta áp dụng công thức nghiệm, thực hiện các hành động với số phức:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 hoặc x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i hoặc x = - 3 5 - 1 5 · i.

Trả lời: không có rễ thực sự; các nghiệm phức như sau: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

TRONG chương trình giảng dạy ở trường Không có yêu cầu tiêu chuẩn nào để tìm nghiệm phức, do đó, nếu trong quá trình giải, phân biệt được xác định là âm, câu trả lời ngay lập tức được viết ra là không có nghiệm thực.

Công thức gốc cho hệ số chẵn thứ hai

Công thức nghiệm x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) cho phép thu được một công thức khác, gọn hơn, cho phép tìm nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho x ( hoặc với hệ số có dạng 2 · n, ví dụ 2 3 hoặc 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thức công thức này được bắt nguồn.

Chúng ta hãy đối mặt với nhiệm vụ tìm nghiệm của phương trình bậc hai a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Chúng tôi tiến hành theo thuật toán: chúng tôi xác định phân biệt D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), sau đó sử dụng công thức gốc:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Đặt biểu thức n 2 − a · c được ký hiệu là D 1 (đôi khi nó được ký hiệu là D "). Khi đó, công thức nghiệm của phương trình bậc hai đang xét với hệ số thứ hai 2 · n sẽ có dạng:

x = - n ± D 1 a, trong đó D 1 = n 2 − a · c.

Dễ dàng thấy D = 4 · D 1 hoặc D 1 = D 4. Nói cách khác, D 1 là một phần tư của phân biệt đối xử. Rõ ràng, dấu của D 1 giống với dấu của D, có nghĩa là dấu của D 1 cũng có thể đóng vai trò là dấu hiệu cho thấy sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của một phương trình bậc hai.

Định nghĩa 11

Vì vậy, để tìm nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số thứ hai là 2 n thì cần:

  • tìm D 1 = n 2 − a · c ;
  • tại D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • khi D 1 = 0, xác định nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức x = - n a;
  • với D 1 > 0, xác định hai nghiệm thực bằng công thức x = - n ± D 1 a.

Ví dụ 9

Cần giải phương trình bậc hai 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Giải pháp

Chúng ta có thể biểu diễn hệ số thứ hai của phương trình đã cho là 2 · (- 3) . Sau đó, chúng ta viết lại phương trình bậc hai đã cho thành 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0, trong đó a = 5, n = − 3 và c = − 32.

Hãy tính phần thứ tư của phân biệt: D 1 = n 2 − a · c = (- 3) 2 − 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. Giá trị kết quả là dương, có nghĩa là phương trình có hai nghiệm thực. Chúng ta hãy xác định chúng bằng cách sử dụng công thức gốc tương ứng:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 hoặc x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 hoặc x = - 2

Có thể thực hiện các phép tính bằng cách sử dụng công thức thông thường cho nghiệm của phương trình bậc hai, nhưng trong trường hợp này, lời giải sẽ phức tạp hơn.

Trả lời: x = 3 1 5 hoặc x = - 2 .

Đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai

Đôi khi có thể tối ưu hóa dạng phương trình ban đầu, điều này sẽ đơn giản hóa quá trình tính nghiệm.

Ví dụ, phương trình bậc hai 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 rõ ràng là dễ giải hơn phương trình 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Thông thường, việc đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai được thực hiện bằng cách nhân hoặc chia cả hai vế của nó cho một số nhất định. Ví dụ, ở trên chúng ta đã trình bày cách biểu diễn đơn giản của phương trình 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, thu được bằng cách chia cả hai vế cho 100.

Sự chuyển đổi như vậy có thể thực hiện được khi các hệ số của phương trình bậc hai không trùng nhau số nguyên tố. Khi đó chúng ta thường chia cả hai vế của phương trình cho giá trị lớn nhất ước số chung giá trị tuyệt đối các hệ số của nó.

Ví dụ: chúng ta sử dụng phương trình bậc hai 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Hãy xác định GCD của các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Chúng ta chia cả hai vế của phương trình bậc hai ban đầu cho 6 và thu được phương trình bậc hai tương đương 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Nhân cả hai vế của một phương trình bậc hai thường loại bỏ tỷ lệ cược phân số. Trong trường hợp này, chúng nhân với bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các hệ số của nó. Ví dụ: nếu mỗi phần của phương trình bậc hai 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 được nhân với LCM (6, 3, 1) = 6, thì nó sẽ được viết bằng nhiều hơn. ở dạng đơn giản x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Cuối cùng, chúng ta lưu ý rằng chúng ta hầu như luôn loại bỏ điểm trừ ở hệ số đầu tiên của phương trình bậc hai bằng cách thay đổi dấu của từng số hạng của phương trình, điều này đạt được bằng cách nhân (hoặc chia) cả hai vế cho - 1. Ví dụ: từ phương trình bậc hai − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, bạn có thể chuyển sang phiên bản đơn giản hóa của nó 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, mà chúng ta đã biết, x = - b ± D 2 · a, biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số số của nó. Dựa trên công thức này, chúng ta có cơ hội xác định các mối phụ thuộc khác giữa nghiệm và hệ số.

Công thức nổi tiếng và có thể áp dụng được nhất là định lý Vieta:

x 1 + x 2 = - b a và x 2 = c a.

Cụ thể, đối với phương trình bậc hai đã cho tổng các nghiệm là hệ số thứ hai với dấu hiệu ngược lại, và tích của nghiệm bằng số hạng tự do. Ví dụ, bằng cách nhìn vào dạng phương trình bậc hai 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, có thể xác định ngay rằng tổng các nghiệm của nó là 7 3 và tích của các nghiệm là 22 3.

Bạn cũng có thể tìm thấy một số mối liên hệ khác giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Ví dụ: tổng bình phương của các nghiệm của một phương trình bậc hai có thể được biểu diễn dưới dạng các hệ số:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Phương trình của dạng

Sự biểu lộ D= b 2 - 4 ac gọi điện phân biệt đối xử phương trình bậc hai. Nếu nhưD = 0 thì phương trình có một nghiệm thực; nếu D> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực.
Trong trường hợp D = 0 , đôi khi người ta nói rằng một phương trình bậc hai có hai nghiệm giống nhau.
Sử dụng ký hiệu D= b 2 - 4 ac, chúng ta có thể viết lại công thức (2) dưới dạng

Nếu như b= 2k, thì công thức (2) có dạng:

Ở đâu k= b / 2 .
Công thức sau đặc biệt thuận tiện trong trường hợp b / 2 - một số nguyên, tức là hệ số b - số chẵn.
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x 2 - 5 lần + 2 = 0 . Đây a = 2, b = -5, c = 2. Chúng tôi có D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Bởi vì D > 0 , thì phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng bằng công thức (2)

Vì thế x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
đó là x 1 = 2 Và x 2 = 1 / 2 - nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x 2 - 3x + 5 = 0 . Đây a = 2, b = -3, c = 5. Tìm người phân biệt đối xử D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Bởi vì D 0 , thì phương trình không có nghiệm thực.

Phương trình bậc hai không đầy đủ. Nếu trong phương trình bậc hai rìu 2 +bx+ c =0 hệ số thứ hai b hoặc thành viên miễn phí c bằng 0 thì phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ. Các phương trình chưa hoàn chỉnh được chọn ra vì để tìm nghiệm của chúng, bạn không cần phải sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai - việc giải phương trình bằng cách phân tích vế trái của nó sẽ dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: giải phương trình 2 x 2 - 5 lần = 0 .
Chúng tôi có x(2 x - 5) = 0 . Vì vậy, hoặc x = 0 , hoặc 2 x - 5 = 0 , đó là x = 2.5 . Vì vậy phương trình có hai nghiệm: 0 Và 2.5
Ví dụ 2: giải phương trình 3 x 2 - 27 = 0 .
Chúng tôi có 3 x 2 = 27 . Do đó, nghiệm của phương trình này là 3 Và -3 .

Định lý Vieta. Nếu phương trình bậc hai rút gọn x 2 +px+q =0 có nghiệm thực thì tổng của chúng bằng - P, và tích bằng nhau q, đó là

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(tổng các nghiệm của phương trình bậc hai trên bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do).

TRONG xã hội hiện đại khả năng thực hiện các phép tính với các phương trình chứa biến bình phương có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực hoạt động và được sử dụng rộng rãi trong thực tế trong các phát triển khoa học và kỹ thuật. Bằng chứng về điều này có thể được tìm thấy trong thiết kế của tàu biển và sông, máy bay và tên lửa. Sử dụng những tính toán như vậy, quỹ đạo chuyển động của hầu hết cơ thể khác nhau, bao gồm vật thể không gian. Các ví dụ về giải phương trình bậc hai không chỉ được sử dụng trong dự báo kinh tế, trong thiết kế và xây dựng các tòa nhà mà còn trong các trường hợp thông thường nhất hàng ngày. Chúng có thể cần thiết trong các chuyến đi bộ đường dài, tại các sự kiện thể thao, trong cửa hàng khi mua hàng và trong các tình huống rất phổ biến khác.

Hãy chia biểu thức thành các yếu tố thành phần của nó

Bậc của phương trình được xác định giá trị tối đa mức độ của biến mà biểu thức này chứa. Nếu nó bằng 2 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai.

Nếu chúng ta nói bằng ngôn ngữ của các công thức, thì các biểu thức được chỉ định, bất kể chúng trông như thế nào, luôn có thể được đưa về dạng khi vế trái của biểu thức bao gồm ba thuật ngữ. Trong số đó: ax 2 (nghĩa là một biến bình phương với hệ số của nó), bx (một ẩn số không có bình phương với hệ số của nó) và c (một thành phần tự do, nghĩa là số thường xuyên). Tất cả những điều này ở vế phải đều bằng 0. Trong trường hợp đa thức như vậy thiếu một trong các số hạng cấu thành của nó, ngoại trừ ax 2, nó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Các ví dụ về cách giải các bài toán như vậy, giá trị của các biến dễ tìm cần được xem xét trước tiên.

Nếu biểu thức trông giống như có hai số hạng ở vế phải, chính xác hơn là ax 2 và bx, cách dễ nhất để tìm x là đặt biến ra khỏi ngoặc. Bây giờ phương trình của chúng ta sẽ như thế này: x(ax+b). Tiếp theo, rõ ràng là x=0 hoặc vấn đề nằm ở việc tìm một biến từ biểu thức sau: ax+b=0. Điều này được quyết định bởi một trong những tính chất của phép nhân. Quy tắc nêu rõ rằng tích của hai thừa số chỉ cho kết quả bằng 0 nếu một trong chúng bằng 0.

Ví dụ

x=0 hoặc 8x - 3 = 0

Kết quả là chúng ta nhận được hai nghiệm của phương trình: 0 và 0,375.

Các phương trình loại này có thể mô tả chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của trọng lực, bắt đầu chuyển động từ một điểm nhất định được lấy làm gốc tọa độ. Ở đây ký hiệu toán học lấy mẫu sau: y = v 0 t + gt 2 /2. Bằng cách thay thế các giá trị cần thiết, đánh đồng vế phải bằng 0 và tìm những ẩn số có thể có, bạn có thể tìm ra thời gian trôi qua từ lúc vật nổi lên đến lúc rơi xuống, cũng như nhiều đại lượng khác. Nhưng chúng ta sẽ nói về điều này sau.

Phân tích một biểu thức

Quy tắc được mô tả ở trên giúp bạn có thể quyết định nhiệm vụ được chỉ định và hơn thế nữa những trường hợp khó khăn. Chúng ta hãy xem các ví dụ về giải phương trình bậc hai thuộc loại này.

X 2 - 33x + 200 = 0

Cái này tam thức bậc haiđã hoàn tất. Đầu tiên, hãy biến đổi biểu thức và phân tích nó. Có hai trong số chúng: (x-8) và (x-25) = 0. Kết quả là chúng ta có hai nghiệm 8 và 25.

Các ví dụ về giải phương trình bậc hai lớp 9 cho phép phương pháp này tìm một biến trong các biểu thức không chỉ bậc hai mà thậm chí bậc ba và bậc bốn.

Ví dụ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Khi phân tích vế phải thành nhân tử với một biến, có ba thừa số đó là (x+1), (x-3) và (x+ 3).

Kết quả là, nó trở nên rõ ràng rằng phương trình đã cho có ba gốc: -3; -1; 3.

căn bậc hai

Một trường hợp khác phương trình không đầy đủ trật tự thứ hai là một biểu thức được biểu diễn bằng ngôn ngữ của các chữ cái sao cho vế phải được xây dựng từ các thành phần ax 2 và c. Ở đây, để thu được giá trị của biến, số hạng tự do được chuyển sang bên phải, và sau đó căn bậc hai được lấy từ cả hai vế của đẳng thức. Cần lưu ý rằng trong trong trường hợp này Thường có hai nghiệm của phương trình. Các ngoại lệ duy nhất có thể là các đẳng thức hoàn toàn không chứa một thuật ngữ nào, trong đó biến bằng 0, cũng như các biến thể của biểu thức khi vế phải trở thành âm. TRONG trường hợp sau Không có giải pháp nào cả, vì các hành động trên không thể được thực hiện bằng root. Cần xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai thuộc loại này.

Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình sẽ là các số -4 và 4.

Tính diện tích đất

Nhu cầu về loại tính toán này đã xuất hiện từ thời cổ đại, bởi vì sự phát triển của toán học trong thời kỳ xa xưa đó phần lớn được quyết định bởi nhu cầu xác định diện tích và chu vi của các thửa đất với độ chính xác cao nhất.

Chúng ta cũng nên xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai dựa trên các bài toán thuộc loại này.

Vì vậy, giả sử có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 16 mét. Bạn nên tìm chiều dài, chiều rộng và chu vi của khu đất nếu bạn biết diện tích của nó là 612 m 2.

Để bắt đầu, trước tiên hãy tạo phương trình cần thiết. Chúng ta biểu thị bằng x chiều rộng của khu vực, khi đó chiều dài của nó sẽ là (x+16). Từ những gì đã viết, diện tích được xác định bởi biểu thức x(x+16), theo các điều kiện của bài toán của chúng ta, là 612. Điều này có nghĩa là x(x+16) = 612.

Việc giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh và biểu thức này chính xác là như vậy, không thể thực hiện theo cách tương tự. Tại sao? Mặc dù vế trái vẫn chứa hai thừa số nhưng tích của chúng hoàn toàn không bằng 0, vì vậy các phương pháp khác nhau được sử dụng ở đây.

phân biệt đối xử

Trước hết hãy sản xuất những biến đổi cần thiết, Sau đó vẻ bề ngoài biểu thức đã cho sẽ trông như thế này: x 2 + 16x - 612 = 0. Điều này có nghĩa là chúng ta đã nhận được một biểu thức ở dạng tương ứng với tiêu chuẩn đã chỉ định trước đó, trong đó a=1, b=16, c=-612.

Đây có thể là một ví dụ về giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng phân biệt đối xử. Đây tính toán cần thiếtđược sản xuất theo sơ đồ: D = b 2 - 4ac. Đại lượng phụ này không chỉ giúp tìm được các đại lượng cần tìm trong phương trình bậc hai mà nó còn xác định đại lượng những lựa chọn khả thi. Nếu D>0 thì có hai trong số chúng; với D=0 có một nghiệm. Trong trường hợp D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Về rễ và công thức của chúng

Trong trường hợp của chúng tôi, phân biệt đối xử bằng: 256 - 4(-612) = 2704. Điều này cho thấy rằng bài toán của chúng tôi có đáp án. Nếu biết k thì phải tiếp tục giải phương trình bậc hai bằng công thức dưới đây. Nó cho phép bạn tính toán gốc.

Điều này có nghĩa là trong trường hợp được trình bày: x 1 =18, x 2 =-34. Phương án thứ hai trong tình huống khó xử này không thể là một giải pháp, vì kích thước của thửa đất không thể đo được bằng đại lượng âm, nghĩa là x (tức là chiều rộng của thửa đất) là 18 m. Từ đây chúng ta tính được chiều dài: 18. +16=34 và chu vi 2(34+ 18)=104(m2).

Ví dụ và nhiệm vụ

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương trình bậc hai. Ví dụ và giải pháp chi tiết của một số trong số chúng sẽ được đưa ra dưới đây.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Hãy chuyển mọi thứ đến bên tráiđẳng thức, chúng ta sẽ thực hiện một phép biến đổi, nghĩa là chúng ta sẽ thu được dạng phương trình, thường được gọi là chuẩn, và chúng ta sẽ đánh đồng nó bằng 0.

15x2 + 20x + 5 - 12x2 - 27x - 1 = 0

Cộng những cái tương tự, chúng ta xác định được biệt thức: D = 49 - 48 = 1. Điều này có nghĩa là phương trình của chúng ta sẽ có hai nghiệm. Hãy tính chúng theo công thức trên, có nghĩa là số thứ nhất sẽ bằng 4/3 và số thứ hai sẽ bằng 1.

2) Bây giờ chúng ta hãy giải quyết những bí ẩn thuộc loại khác.

Cùng tìm xem ở đây có nghiệm nào x 2 - 4x + 5 = 1 không? Để có được câu trả lời toàn diện, hãy rút gọn đa thức về dạng thông thường tương ứng và tính phân biệt. Trong ví dụ trên, không cần thiết phải giải phương trình bậc hai, vì đây hoàn toàn không phải là bản chất của vấn đề. Trong trường hợp này, D = 16 - 20 = -4, có nghĩa là thực sự không có nghiệm nào.

Định lý Vieta

phương trình bậc hai Thật thuận tiện để giải quyết thông qua các công thức trên và phân biệt đối xử khi căn bậc hai được lấy từ giá trị của giá trị sau. Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Tuy nhiên, có nhiều cách để lấy giá trị của biến trong trường hợp này. Ví dụ: giải phương trình bậc hai sử dụng định lý Vieta. Cô được đặt theo tên của người sống ở Pháp vào thế kỷ 16 và có một sự nghiệp rực rỡ nhờ tài năng toán học và các mối quan hệ tại triều đình. Chân dung của ông có thể được nhìn thấy trong bài viết.

Mô hình mà người Pháp nổi tiếng chú ý như sau. Ông đã chứng minh rằng các nghiệm của phương trình cộng lại bằng số -p=b/a, và tích của chúng tương ứng với q=c/a.

Bây giờ hãy xem xét các nhiệm vụ cụ thể.

3x2 + 21x - 54 = 0

Để đơn giản, hãy biến đổi biểu thức:

x 2 + 7x - 18 = 0

Hãy sử dụng định lý Vieta, điều này sẽ cho chúng ta kết quả sau: tổng của các nghiệm là -7 và tích của chúng là -18. Từ đây chúng ta hiểu rằng nghiệm của phương trình là các số -9 và 2. Sau khi kiểm tra, chúng ta sẽ đảm bảo rằng các giá trị biến này thực sự phù hợp với biểu thức.

Đồ thị và phương trình parabol

Các khái niệm về hàm bậc hai và phương trình bậc hai có liên quan chặt chẽ với nhau. Ví dụ về điều này đã được đưa ra trước đó. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số câu đố toán học chi tiết hơn một chút. Bất kỳ phương trình nào thuộc loại được mô tả đều có thể được biểu diễn trực quan. Mối quan hệ như vậy, được vẽ dưới dạng đồ thị, được gọi là parabol. Các loại khác nhau của nó được trình bày trong hình dưới đây.

Bất kỳ parabol nào cũng có một đỉnh, nghĩa là một điểm mà từ đó các nhánh của nó xuất hiện. Nếu a>0 thì chúng tăng cao đến vô cùng và khi a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Biểu diễn trực quan của các hàm giúp giải bất kỳ phương trình nào, kể cả phương trình bậc hai. Phương pháp này được gọi là đồ họa. Và giá trị của biến x là tọa độ abscissa tại các điểm mà đường đồ thị giao với 0x. Tọa độ của đỉnh có thể được tìm thấy bằng công thức vừa cho x 0 = -b/2a. Và bằng cách thay thế giá trị kết quả vào phương trình ban đầu của hàm, bạn có thể tìm ra y 0, tức là tọa độ thứ hai của đỉnh parabol, thuộc trục tọa độ.

Giao điểm của các nhánh parabol với trục hoành

Có rất nhiều ví dụ về cách giải phương trình bậc hai, nhưng cũng có những dạng chung. Hãy nhìn vào chúng. Rõ ràng là giao điểm của đồ thị với trục 0x với a>0 chỉ có thể xảy ra nếu y 0 lấy giá trị âm. Và đối với một<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0.V nếu không thì D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Từ đồ thị parabol bạn cũng có thể xác định được nghiệm. Điều ngược lại cũng đúng. Nghĩa là, nếu không dễ dàng có được biểu diễn trực quan của hàm bậc hai, bạn có thể đánh đồng vế phải của biểu thức bằng 0 và giải phương trình thu được. Và biết được các điểm giao nhau với trục 0x thì việc xây dựng đồ thị sẽ dễ dàng hơn.

Từ lịch sử

Sử dụng các phương trình chứa một biến bình phương, ngày xưa người ta không chỉ thực hiện các phép tính toán học và xác định diện tích của các hình hình học. Người xưa cần những phép tính như vậy cho những khám phá vĩ đại trong lĩnh vực vật lý và thiên văn học, cũng như để đưa ra những dự báo chiêm tinh.

Như các nhà khoa học hiện đại đề xuất, cư dân Babylon là một trong những người đầu tiên giải được phương trình bậc hai. Điều này đã xảy ra bốn thế kỷ trước thời đại của chúng ta. Tất nhiên, những tính toán của họ hoàn toàn khác với những tính toán hiện được chấp nhận và hóa ra còn thô sơ hơn nhiều. Ví dụ, các nhà toán học Lưỡng Hà không biết gì về sự tồn tại số âm. Họ cũng không quen với những điều tinh tế khác mà bất kỳ học sinh hiện đại nào cũng biết.

Có lẽ còn sớm hơn cả các nhà khoa học ở Babylon, nhà hiền triết đến từ Ấn Độ Baudhayama đã bắt đầu giải phương trình bậc hai. Điều này xảy ra khoảng tám thế kỷ trước thời đại Chúa Kitô. Đúng là các phương trình bậc hai, các phương pháp giải mà ông đưa ra, là đơn giản nhất. Ngoài ông, các nhà toán học Trung Quốc ngày xưa cũng quan tâm đến những câu hỏi tương tự. Ở châu Âu, phương trình bậc hai chỉ bắt đầu được giải vào đầu thế kỷ 13, nhưng sau đó chúng đã được sử dụng trong các công trình của mình bởi các nhà khoa học vĩ đại như Newton, Descartes và nhiều người khác.


Sau khi nhận được ý tưởng chung về các đẳng thức và làm quen với một trong các loại của chúng - các đẳng thức số, bạn có thể bắt đầu nói về một loại đẳng thức khác rất quan trọng theo quan điểm thực tế - phương trình. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét phương trình là gì, và cái được gọi là nghiệm của phương trình. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa tương ứng, cũng như cung cấp các ví dụ khác nhau về phương trình và gốc của chúng.

Điều hướng trang.

Phương trình là gì?

Việc giới thiệu có mục tiêu về phương trình thường bắt đầu trong các bài học toán ở lớp 2. Tại thời điểm này, những điều sau đây được đưa ra định nghĩa phương trình:

Sự định nghĩa.

phương trình là một đẳng thức chứa số chưa biết cần tìm.

Các số chưa biết trong phương trình thường được biểu thị bằng các chữ cái Latinh nhỏ, ví dụ: p, t, u, v.v., nhưng các chữ cái x, y và z thường được sử dụng nhiều nhất.

Do đó, phương trình được xác định từ quan điểm của hình thức viết. Nói cách khác, đẳng thức là một phương trình khi nó tuân theo các quy tắc viết đã chỉ định - nó chứa một chữ cái có giá trị cần tìm.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về các phương trình đầu tiên và đơn giản nhất. Hãy bắt đầu với các phương trình có dạng x=8, y=3, v.v. Các phương trình chứa dấu số học cùng với số và chữ cái trông phức tạp hơn một chút, ví dụ: x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Sự đa dạng của các phương trình ngày càng trở nên quen thuộc - các phương trình có dấu ngoặc bắt đầu xuất hiện, ví dụ: 2·(x−1)=18 và x+3·(x+2·(x−2))=3. Một chữ cái chưa biết trong một phương trình có thể xuất hiện nhiều lần, ví dụ: x+3+3·x−2−x=9, các chữ cái cũng có thể ở bên trái của phương trình, ở bên phải của phương trình hoặc ở cả hai bên của phương trình. phương trình, ví dụ: x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 hoặc 3·x−4=2·(x+12) .

Hơn nữa, sau khi nghiên cứu số tự nhiên, người ta làm quen với số nguyên, số hữu tỉ, số thực, các đối tượng toán học mới được nghiên cứu: lũy thừa, căn thức, logarit, v.v., đồng thời ngày càng xuất hiện nhiều loại phương trình mới chứa những thứ này. Ví dụ về chúng có thể được nhìn thấy trong bài viết các loại phương trình cơ bảnđang học ở trường.

Ở lớp 7, cùng với các chữ cái, nghĩa là một số con số cụ thể, các em bắt đầu xem xét các chữ cái có thể mang các giá trị khác nhau, chúng được gọi là các biến (xem bài viết). Đồng thời, từ “biến” được đưa vào định nghĩa của phương trình và nó có dạng như sau:

Sự định nghĩa.

phương trìnhđược gọi là một đẳng thức chứa một biến có giá trị cần tìm.

Ví dụ: phương trình x+3=6·x+7 là phương trình có biến x và 3·z−1+z=0 là phương trình có biến z.

Trong các bài học đại số cùng lớp 7, chúng ta gặp các phương trình không chỉ chứa một mà là hai biến chưa biết khác nhau. Chúng được gọi là phương trình hai biến. Trong tương lai, sự hiện diện của ba biến trở lên trong các phương trình được cho phép.

Sự định nghĩa.

Các phương trình với một, hai, ba, v.v. biến– đây là các phương trình chứa trong cách viết của chúng lần lượt một, hai, ba, ... biến chưa biết.

Ví dụ, phương trình 3,2 x+0,5=1 là phương trình có một biến x, ngược lại, phương trình có dạng x−y=3 là phương trình có hai biến x và y. Và một ví dụ nữa: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Rõ ràng phương trình như vậy là phương trình có ba biến x, y và z chưa biết.

Gốc của một phương trình là gì?

Định nghĩa của một phương trình liên quan trực tiếp đến định nghĩa nghiệm của phương trình này. Chúng ta hãy thực hiện một số lý luận sẽ giúp chúng ta hiểu được nghiệm của phương trình là gì.

Giả sử chúng ta có một phương trình có một chữ cái (biến). Nếu thay vì một chữ cái được đưa vào mục nhập của phương trình này, một số nhất định được thay thế, thì phương trình sẽ chuyển thành một đẳng thức số. Hơn nữa, đẳng thức thu được có thể đúng hoặc sai. Ví dụ: nếu bạn thay thế số 2 thay vì chữ a trong phương trình a+1=5, bạn sẽ nhận được đẳng thức số không chính xác 2+1=5. Nếu thay số 4 vào số a trong phương trình này, chúng ta sẽ thu được đẳng thức đúng 4+1=5.

Trong thực tế, trong phần lớn các trường hợp, mối quan tâm nằm ở những giá trị của biến mà việc thay thế vào phương trình sẽ mang lại đẳng thức chính xác; những giá trị này được gọi là nghiệm hoặc nghiệm của phương trình này.

Sự định nghĩa.

Căn nguyên của phương trình- đây là giá trị của chữ cái (biến), khi thay thế phương trình sẽ chuyển thành một đẳng thức số chính xác.

Lưu ý rằng nghiệm của phương trình một biến còn được gọi là nghiệm của phương trình. Nói cách khác, nghiệm của một phương trình và nghiệm của phương trình là như nhau.

Hãy để chúng tôi giải thích định nghĩa này bằng một ví dụ. Để làm điều này, chúng ta hãy quay lại phương trình được viết ở trên a+1=5. Theo định nghĩa đã nêu về nghiệm của một phương trình, số 4 là nghiệm của phương trình này, vì khi thay số này thay cho chữ a, chúng ta thu được đẳng thức đúng 4+1=5, và số 2 không phải là số đó. gốc, vì nó tương ứng với đẳng thức không chính xác có dạng 2+1= 5.

Tại thời điểm này, một số câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Có phương trình nào có nghiệm không, và một phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?” Chúng tôi sẽ trả lời họ.

Có cả phương trình có nghiệm và phương trình không có nghiệm. Ví dụ: phương trình x+1=5 có nghiệm 4, nhưng phương trình 0 x=5 không có nghiệm, vì dù chúng ta thay số nào vào phương trình này thay vì biến x, chúng ta sẽ nhận được đẳng thức sai 0=5 .

Về số nghiệm của một phương trình, có cả phương trình có số nghiệm hữu hạn nhất định (một, hai, ba, v.v.) và phương trình có số nghiệm vô hạn. Ví dụ, phương trình x−2=4 có một nghiệm duy nhất là 6, các nghiệm của phương trình x 2 =9 là hai số −3 và 3, phương trình x·(x−1)·(x−2)=0 có ba nghiệm 0, 1 và 2, và nghiệm của phương trình x=x là một số bất kỳ, nghĩa là nó có vô số nghiệm.

Cần nói vài lời về ký hiệu được chấp nhận cho nghiệm của phương trình. Nếu một phương trình không có nghiệm thì người ta thường viết “phương trình không có nghiệm” hoặc sử dụng dấu tập trống ∅. Nếu phương trình có nghiệm thì chúng được viết cách nhau bằng dấu phẩy hoặc viết dưới dạng các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn. Ví dụ: nếu nghiệm của phương trình là các số −1, 2 và 4 thì viết −1, 2, 4 hoặc (−1, 2, 4). Cũng được phép viết nghiệm của phương trình dưới dạng các đẳng thức đơn giản. Ví dụ: nếu phương trình bao gồm chữ x và gốc của phương trình này là các số 3 và 5 thì bạn có thể viết x=3, x=5 và các chỉ số dưới x 1 =3, x 2 =5 thường được thêm vào vào biến, như thể chỉ ra các nghiệm số của phương trình. Một tập hợp vô hạn các nghiệm của một phương trình thường được viết dưới dạng và nếu có thể, ký hiệu cho các tập hợp số tự nhiên N, số nguyên Z và số thực R sẽ được sử dụng. Ví dụ: nếu nghiệm của phương trình có biến x là số nguyên bất kỳ thì viết , và nếu nghiệm của phương trình có biến y là số thực bất kỳ từ 1 đến 9 thì viết .

Đối với các phương trình có hai, ba biến trở lên, theo quy luật, thuật ngữ “gốc của phương trình” không được sử dụng; trong những trường hợp này người ta gọi là “giải phương trình”. Thế nào gọi là giải phương trình nhiều biến? Hãy đưa ra định nghĩa tương ứng.

Sự định nghĩa.

Giải một phương trình với hai, ba, v.v. biến gọi là một cặp, ba, v.v. giá trị của các biến, biến phương trình này thành một đẳng thức số chính xác.

Hãy để chúng tôi hiển thị các ví dụ giải thích. Xét một phương trình có hai biến x+y=7. Hãy thay số 1 thay cho x và số 2 thay cho y và chúng ta có đẳng thức 1+2=7. Hiển nhiên là sai nên cặp giá trị x=1, y=2 không phải là nghiệm của phương trình đã viết. Nếu lấy một cặp giá trị x=4, y=3 thì sau khi thay thế vào phương trình ta sẽ thu được đẳng thức đúng 4+3=7, do đó, cặp giá trị biến này theo định nghĩa là một nghiệm vào phương trình x+y=7.

Các phương trình có nhiều biến, giống như phương trình có một biến, có thể không có nghiệm, có thể có số nghiệm hữu hạn hoặc có thể có vô số nghiệm.

Cặp, bộ ba, bộ bốn, v.v. Giá trị của các biến thường được viết ngắn gọn, liệt kê các giá trị của chúng cách nhau bằng dấu phẩy trong ngoặc đơn. Trong trường hợp này, các số viết trong ngoặc tương ứng với các biến theo thứ tự bảng chữ cái. Hãy làm rõ điểm này bằng cách quay lại phương trình trước đó x+y=7. Nghiệm của phương trình này x=4, y=3 có thể viết ngắn gọn là (4, 3).

Sự chú ý lớn nhất trong quá trình học toán, đại số và những bước khởi đầu của phân tích ở trường là tìm ra nghiệm nguyên của phương trình với một biến. Chúng tôi sẽ thảo luận chi tiết về các quy tắc của quá trình này trong bài viết. giải phương trình.

Tài liệu tham khảo.

  • Toán học. 2 lớp Sách giáo khoa cho giáo dục phổ thông tổ chức với adj. mỗi điện tử người vận chuyển. Lúc 2 giờ chiều Phần 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, v.v.] - tái bản lần thứ 3. - M.: Giáo dục, 2012. - 96 tr.: ốm. - (Trường Nga). - ISBN 978-5-09-028297-0.
  • Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7 giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Trường trung học cơ sở nông thôn Kopyevskaya

10 cách giải phương trình bậc hai

Người đứng đầu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

giáo viên toán

làng Kopevo, 2007

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

1.2 Cách Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

1.4 Phương trình bậc hai của al-Khorezmi

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu thế kỷ XIII - XVII

1.6 Về định lý Vieta

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phần kết luận

Văn học

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai, ngay cả ở thời cổ đại, là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất cũng như công việc khai quật mang tính chất quân sự. cũng như sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai có thể được giải vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. đ. Người Babylon.

Sử dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ nêm của họ, ngoài những văn bản chưa hoàn chỉnh, chẳng hạn như các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng người ta không biết người Babylon đã đạt được quy tắc này như thế nào. Hầu như tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ cung cấp các vấn đề với các giải pháp được trình bày dưới dạng công thức nấu ăn mà không có dấu hiệu nào cho thấy chúng được tìm thấy như thế nào.

Mặc dù đại số ở Babylon có trình độ phát triển cao nhưng các văn bản chữ nêm vẫn thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

1.2 Cách Diophantus soạn và giải phương trình bậc hai.

Số học của Diophantus không trình bày một cách có hệ thống về đại số, nhưng nó chứa một loạt các bài toán có hệ thống, kèm theo lời giải thích và giải bằng cách xây dựng các phương trình ở nhiều mức độ khác nhau.

Khi soạn phương trình, Diophantus đã khéo léo lựa chọn những ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Ví dụ, đây là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Vấn đề 11.“Tìm hai số biết tổng của chúng là 20 và tích của chúng là 96”

Lý do Diophantus như sau: từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng các số cần tìm không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà bằng 100. Như vậy, một trong số chúng sẽ bằng hơn một nửa tổng của chúng , tức là 10 + x, cái kia ít hơn, tức là 10 giây. Sự khác biệt giữa chúng 2x .

Do đó phương trình:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Từ đây x = 2. Một trong các số cần tìm bằng 12 , khác 8 . Giải pháp x = -2 vì Diophantus không tồn tại, vì toán học Hy Lạp chỉ biết đến những con số dương.

Nếu chúng ta giải bài toán này bằng cách chọn một trong các số cần tìm làm ẩn số thì chúng ta sẽ đi đến nghiệm của phương trình

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)


Rõ ràng là bằng cách chọn nửa sai phân của các số cần tìm làm ẩn số, Diophantus đã đơn giản hóa lời giải; anh ấy đã biến bài toán thành giải một phương trình bậc hai không đầy đủ (1).

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã đưa ra một quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất:

à 2 + b x = c, a > 0. (1)

Trong phương trình (1), các hệ số, ngoại trừ MỘT, cũng có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta.

TRONG Ấn Độ cổ đại các cuộc thi công khai trong việc giải quyết là phổ biến nhiệm vụ khó khăn. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Như mặt trời che khuất các ngôi sao bằng ánh sáng rực rỡ của nó, người đàn ông có học thức sẽ làm lu mờ vinh quang của người khác hội đồng nhân dân, đề xuất và giải các bài toán đại số.” Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

Vấn đề 13.

“Một đàn khỉ vui tươi và mười hai con dọc theo dây leo…

Chính quyền, ăn xong, vui vẻ. Họ bắt đầu nhảy, treo cổ...

Có chúng ở quảng trường, phần tám. Có bao nhiêu con khỉ?

Tôi đang tận hưởng niềm vui ở khu đất trống. Nói cho tôi biết, trong gói này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng ông biết rằng nghiệm của phương trình bậc hai có hai giá trị (Hình 3).

Phương trình tương ứng với bài 13 là:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

x 2 - 64x = -768

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành hình vuông, hãy cộng cả hai vế 32 2 , sau đó nhận được:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Phương trình bậc hai trong al - Khorezmi

Trong chuyên luận đại số của al-Khorezmi, một sự phân loại các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai được đưa ra. Tác giả đếm được 6 loại phương trình, biểu diễn chúng như sau:

1) “Hình vuông bằng căn”, tức là rìu 2 + c = b X.

2) “Hình vuông bằng số”, tức là rìu 2 = c.

3) “Các căn bằng số,” tức là. à = s.

4) “Hình vuông và số đều bằng căn”, tức là. rìu 2 + c = b X.

5) “Hình vuông và căn đều bằng số”, tức là à 2 + bx = s.

6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c = ax 2 .

Đối với al-Khorezmi, người tránh sử dụng số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là phép cộng chứ không phải phép trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có quyết định tích cực. Tác giả đưa ra phương pháp giải các phương trình này bằng kỹ thuật al-jabr và al-muqabala. Tất nhiên, các quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Chưa kể rằng nó hoàn toàn mang tính tu từ, cần lưu ý, ví dụ, khi giải một phương trình bậc hai không đầy đủ thuộc loại thứ nhất

al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học cho đến thế kỷ 17, không tính đến giải pháp không, có lẽ vì cụ thể vấn đề thực tế nó không quan trọng Khi giải phương trình bậc hai đầy đủ al-Khorezmi một phần ví dụ sốđưa ra các quy tắc để giải và sau đó là các chứng minh hình học.

Vấn đề 14.“Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm gốc rễ" (ngụ ý nghiệm của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải pháp của tác giả như thế này: chia số căn làm đôi, bạn được 5, nhân 5 với chính nó, lấy kết quả trừ 21, còn lại là 4. Lấy căn từ 4, bạn được 2. Trừ 2 từ 5 , bạn nhận được 3, đây sẽ là root mong muốn. Hoặc cộng 2 với 5 được 7, đây cũng là một nghiệm.

Chuyên luận của al-Khorezmi là cuốn sách đầu tiên được chúng ta lưu truyền, trong đó trình bày một cách có hệ thống việc phân loại các phương trình bậc hai và đưa ra công thức giải chúng.

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu XIII - XVII bb

Các công thức giải phương trình bậc hai dọc theo đường al-Khorezmi ở Châu Âu lần đầu tiên được nêu trong Sách Bàn tính, được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Công trình đồ sộ này phản ánh ảnh hưởng của toán học ở cả các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, được phân biệt bởi sự đầy đủ và rõ ràng của cách trình bày. Tác giả đã độc lập phát triển một số điểm mới ví dụ đại số giải quyết vấn đề và là người đầu tiên ở châu Âu giới thiệu số âm. Cuốn sách của ông đã góp phần phổ biến kiến ​​thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán từ Sách Bàn tính đã được chuyển đến gần như tất cả sách giáo khoa châu âu Thế kỷ XVI - XVII và một phần XVIII.

Nguyên tắc chung để giải phương trình bậc hai được rút gọn thành một dạng chính tắc duy nhất:

x2 + bx = c,

cho tất cả các tổ hợp có thể có của các dấu hệ số b , Với chỉ được M. Stiefel xây dựng ở Châu Âu vào năm 1544.

Dẫn xuất công thức giải phương trình bậc hai trong cái nhìn tổng quát Việt có, nhưng Việt chỉ thừa nhận gốc tích cực. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Họ tính đến, bên cạnh những mặt tích cực, và rễ tiêu cực. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại.

1.6 Về định lý Vieta

Định lý biểu thị mối quan hệ giữa các hệ số của một phương trình bậc hai và nghiệm của nó, mang tên Vieta, được ông xây dựng lần đầu tiên vào năm 1591 như sau: “Nếu B + D, nhân với MỘT - MỘT 2 , bằng BD, Cái đó MỘT bằng TRONG và bằng nhau D ».

Để hiểu Việt ta nên nhớ rằng MỘT, giống như bất kỳ chữ cái nguyên âm nào, có nghĩa là ẩn số (của chúng tôi X), nguyên âm TRONG, D- hệ số cho ẩn số. Trong ngôn ngữ đại số hiện đại, công thức Vieta trên có nghĩa là: nếu có

(một + b )x - x 2 = bụng ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Biểu diễn mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình công thức tổng quát viết bằng ký hiệu, Việt tạo nên sự thống nhất trong cách giải phương trình. Tuy nhiên, tính biểu tượng của Việt vẫn còn xa mới cái nhìn hiện đại. Ông không nhận ra số âm và do đó, khi giải phương trình, ông chỉ xét những trường hợp tất cả các nghiệm đều dương.

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là nền tảng dựa trên đó tòa nhà hùng vĩđại số. Phương trình bậc hai được sử dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình lượng giác, hàm mũ, logarit, vô tỷ và siêu việt và bất đẳng thức. Chúng ta đều biết cách giải phương trình bậc hai từ khi còn đi học (lớp 8) cho đến khi ra trường.