Ev Belirsiz integrali bulmak çok yaygın bir problemdir. yüksek matematik ve diğer teknik bilim dalları. En basit çözüm bile fiziksel problemler çoğu zaman birkaç hesaplama yapmadan yapmak imkansızdır basit integraller . Bu nedenle, okul yaşı bize integrallerin çözümü için teknikler ve yöntemler öğretiliyor; en basit fonksiyonların integrallerini içeren çok sayıda tablo veriliyor. Ancak zamanla tüm bunlar güvenli bir şekilde unutulur, ya hesaplamalar için yeterli zamanımız yoktur ya da ihtiyacımız vardır. belirsiz integralin çözümünü bulun çok karmaşık fonksiyon

. Bu sorunları çözmek için, belirsiz integrali çevrimiçi olarak doğru bir şekilde bulmanızı sağlayan hizmetimiz sizin için vazgeçilmez olacaktır.

Belirsiz integrali çözün Çevrimiçi hizmet şu adreste: web sitesi bulmanı sağlar integrali çevrimiçi çözme hızlı, ücretsiz ve kaliteli. İstediğiniz integralin tablolarındaki aramayı hizmetimizle değiştirebilirsiniz, burada hızlı bir şekilde girerek istenilen fonksiyon , belirsiz integralin çözümünü tablo halinde alacaksınız. Tüm matematik siteleri, özellikle de bulmanız gerekiyorsa, fonksiyonların belirsiz integrallerini çevrimiçi olarak hızlı ve verimli bir şekilde hesaplama yeteneğine sahip değildir. Olumsuz belirli integral karmaşık bir işlevden veya bu tür işlevlere dahil olmayan işlevlerden genel kurs Çevrimiçi hizmet şu adreste: yüksek matematik. Web sitesi yardım edecek integrali çevrimiçi çöz

ve görevle başa çıkın. Web sitesindeki integralin çevrimiçi çözümünü kullanarak her zaman kesin cevabı alacaksınız. İntegrali kendiniz hesaplamak isteseniz bile hizmetimiz sayesinde cevabınızı kontrol etmeniz, bir hata veya yazım hatası bulmanız veya görevin kusursuz bir şekilde tamamlandığından emin olmanız kolay olacaktır. Bir problemi çözüyorsanız ve yardımcı işlem olarak belirsiz integrali hesaplamanız gerekiyorsa, o zaman binlerce kez gerçekleştirdiğiniz bu işlemlerle neden zaman kaybedesiniz ki? Dahası, ek hesaplamalar İntegraller, sonradan yanlış cevaba yol açan bir yazım hatasının veya küçük bir hatanın nedeni olabilir. Sadece hizmetlerimizi kullanın ve bulun belirsiz integral çevrimiçi hiçbir çaba harcamadan. İçin pratik problemler bularak integral işlevlerçevrimiçi Bu sunucu çok kullanışlıdır. Girmek için gerekli verilen fonksiyon , elde etmekçevrimiçi çözüm ve cevabı çözümünüzle karşılaştırın.

Belirsiz integral.
Ayrıntılı örneklerçözümler

Bu dersimizde konuyu incelemeye başlayacağız. Belirsiz integral ve ayrıca en basit (ve o kadar basit olmayan) integrallerin çözüm örneklerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Bu yazıda kendimi minimum teoriyle sınırlayacağım ve şimdi görevimiz integrallerin nasıl çözüleceğini öğrenmek.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için bilmeniz gerekenler nelerdir? İntegral hesabıyla başa çıkabilmek için en azından orta düzeyde türevleri bulabilmeniz gerekir. Bu nedenle materyal piyasaya sürüldüyse öncelikle dersleri dikkatlice okumanızı tavsiye ederim. Türevi nasıl bulunur? Ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Kemerinizin altında bağımsız olarak bulunan birkaç düzine (tercihen yüz) türev varsa, bu bir deneyim kaybı olmayacaktır. En azından, en basit ve en yaygın işlevleri birbirinden ayırmaya yönelik görevlerle karıştırılmamalısınız. Öyle görünüyor ki, makale integrallerle ilgiliyse türevlerin bununla ne ilgisi var? İşte olay şu. Gerçek şu ki, türevleri bulmak ve belirsiz integralleri bulmak (farklılaşma ve entegrasyon) karşılıklı iki şeydir ters eylem toplama/çıkarma veya çarpma/bölme gibi. Bu nedenle, türev bulma becerisi (+ biraz deneyim) olmadan ne yazık ki daha fazla ilerleyemezsiniz.

Bu bağlamda aşağıdakilere ihtiyacımız olacak: öğretim materyalleri: Türev tablosu Ve İntegral tablosu. Referans Kılavuzları sayfada açılabilir, indirilebilir veya yazdırılabilir Matematiksel formüller ve tablolar.

Belirsiz integralleri öğrenmenin zorluğu nedir? Türevlerde kesinlikle 5 farklılaşma kuralı, bir türev tablosu ve oldukça net bir eylem algoritması varsa, o zaman integrallerde her şey farklıdır. Onlarca entegrasyon yöntemi ve tekniği var. Ve eğer entegrasyon yöntemi başlangıçta yanlış seçilmişse (yani nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız), o zaman integral, gerçek bir bulmaca gibi, anlamaya çalışarak günlerce kelimenin tam anlamıyla "delebilir". çeşitli teknikler ve hileler. Hatta bazı insanlar bundan hoşlanıyor. Bu arada bu bir şaka değil, öğrencilerden şöyle bir fikir sıklıkla duydum: “Limit veya türevi çözmekle hiçbir zaman ilgilenmedim ama integraller tamamen farklı bir konu, büyüleyici, her zaman bir istek var. "hacklemek" karmaşık integral" Durmak. Bu kadar kara mizah yeter, hadi bu çok belirsiz integrallere geçelim.

Bunu çözmenin pek çok yolu olduğuna göre, bir çaydanlık için belirsiz integralleri incelemeye nereden başlamalı? İÇİNDE integral hesabı Bana göre her şeyin etrafında döndüğü üç sütun ya da bir tür “eksen” var. Öncelikle en basit integralleri (bu makale) iyi anlamalısınız. Daha sonra dersi detaylı bir şekilde çalışmanız gerekir. BU EN ÖNEMLİ TEKNİK! Belki de integrallerle ilgili tüm makalelerimin en önemli makalesi. Üçüncüsü, geniş bir fonksiyon sınıfını entegre etmek için kullanılabileceğinden, parçalara göre entegrasyon yöntemini kesinlikle öğrenmelisiniz. En azından bu üç derse hakim olursanız, artık iki taneye sahip olmayacaksınız. İntegralleri trigonometrik fonksiyonlardan, integralleri kesirlerden, integralleri kesirli-rasyonel fonksiyonlardan, integralleri irrasyonel fonksiyonlardan (köklerden) bilmemeniz affedilebilir, ancak eğer değiştirme yönteminde veya parçalara göre integral alma yönteminde takılıp kalırsanız, o zaman çok çok kötü olacak.

Demotivatörler artık RuNet'te çok yaygın. İntegrallerin incelenmesi bağlamında ise tam tersine, sadece gereklidir MOTİVATÖR. Hem Petka'yı hem de Anka'yı motive eden Vasily Ivanovich hakkındaki şakadaki gibi. Sevgili tembel insanlar, beleşçiler ve diğer normal öğrenciler, aşağıdakileri mutlaka okuyun. Belirsiz integralle ilgili bilgi ve beceriler, özellikle 2. yılda belirli integral, uygunsuz integraller ve diferansiyel denklemler incelenirken ileriki çalışmalarda gerekli olacaktır. İntegrali alma ihtiyacı olasılık teorisinde bile ortaya çıkar! Böylece, İntegraller olmadan yaz oturumuna ve 2. yıla giden yol GERÇEKTEN KAPANACAK. Ben ciddiyim. Sonuç şudur. Daha fazla integral çeşitli türler siz karar verin, o kadar kolay olur sonraki yaşam . Evet, oldukça fazla zaman alacaktır, evet, bazen istemezsiniz, evet, bazen “bunun canı cehenneme, bu integralin canı cehenneme, belki yakalanmazsınız.” Ancak bir sonraki düşünce ruhunuza ilham vermeli ve ısınmalıdır; çabalarınızın karşılığını tamamen alacaksınız! Yüksek matematiğin diğer bölümlerinde karşılaşacağınız diferansiyel denklemleri fındık gibi çözebilecek ve integrallerle kolayca ilgilenebileceksiniz. Belirsiz integrali iyice anladıktan sonra, GERÇEKTEN KULÜN BİRÇOK BÖLÜMÜNDE DAHA HAKİM OLACAKSINIZ.

Ve ben de yardım edemedim ama yarattım yoğun kursşaşırtıcı derecede kısa olduğu ortaya çıkan entegrasyon tekniği üzerine - dileyenler pdf kitabını kullanabilir ve ÇOK hızlı bir şekilde hazırlanabilirler. Ancak sitedeki materyaller hiçbir şekilde daha kötü değil!

O halde basit başlayalım. İntegral tablosuna bakalım. Türevlerde olduğu gibi, çeşitli entegrasyon kurallarını ve bazılarından bir integral tablosunu görüyoruz. temel işlevler. Herhangi bir tablo integralinin (ve aslında herhangi bir belirsiz integralin) şu şekle sahip olduğunu görmek kolaydır:

Gösterimleri ve terimleri hemen anlayalım:

– integral simgesi.

– integrand fonksiyonu (“s” harfiyle yazılır).

– diferansiyel simgesi. İntegrali yazarken ve çözüm sırasında bu simgeyi kaybetmemek önemlidir. Gözle görülür bir kusur olacaktır.

– integralin ifadesi veya integralin “doldurulması”.

– antiderivatif fonksiyon.

– birçok orijinal fonksiyon. Çok fazla terim yüklemenize gerek yok; en önemli şey, herhangi bir belirsiz integralde cevaba bir sabitin eklenmesidir.

İntegrali çözmek, bulmak anlamına gelir özel fonksiyon, bazı kuralları, teknikleri ve bir tabloyu kullanarak.

Şimdi girişe tekrar bakalım:

İntegral tablosuna bakalım.

Neler oluyor? Sol kısımlarımız var dönüşmek diğer işlevlere: .

Tanımımızı basitleştirelim.

Belirsiz bir integrali çözmek, bazı kurallar, teknikler ve bir tablo kullanarak onu belirli bir fonksiyona DÖNÜŞTÜRMEK anlamına gelir.

Örneğin tablo integralini alın . Ne oldu? bir fonksiyona dönüştü.

Türevlerde olduğu gibi integrallerin nasıl bulunacağını öğrenmek için bilgi sahibi olmanıza gerek yoktur. integral nedir teorik açıdan bir antiderivatif fonksiyondur. Dönüşümleri bazı resmi kurallara göre gerçekleştirmek yeterlidir. Yani, durumda İntegralin neden dönüştüğünü anlamak hiç de gerekli değil. Şimdilik bunu ve diğer formülleri olduğu gibi kabul edebiliriz. Herkes elektriği kullanıyor ancak çok az kişi elektronların kablolar arasında nasıl dolaştığını düşünüyor.

Farklılaşma ve entegrasyon zıt işlemler olduğundan, bulunan herhangi bir antiderivatif için Sağ, aşağıdakiler doğrudur:

Başka bir deyişle, doğru cevabın türevini alırsanız orijinal integrand fonksiyonunu elde etmeniz gerekir.

Aynı integral tablosuna dönelim .

Bu formülün geçerliliğini doğrulayalım. Sağ tarafın türevini alıyoruz:

orijinal integrand fonksiyonudur.

Bu arada, bir fonksiyona neden her zaman bir sabitin atandığı daha da netleşti. Türevlendiğinde sabit daima sıfıra döner.

Belirsiz integrali çözün- bulmak anlamına gelir birçok herkes antiderivatifler ve tek bir fonksiyon değil. Söz konusu tablo örneğinde, , , , vb. – tüm bu fonksiyonlar integralin çözümleridir. Sonsuz sayıda çözüm var, bu yüzden bunları kısaca yazıyoruz:

Bu nedenle, herhangi bir belirsiz integralin kontrol edilmesi oldukça kolaydır (iyi bir kontrolün yalnızca kullanılarak yapılabileceği türevlerden farklı olarak) matematik programları). Bu, farklı türden çok sayıda integralin telafisidir.

Düşünmeye devam edelim spesifik örnekler. Türevi incelerken olduğu gibi başlayalım,
iki entegrasyon kuralıyla birlikte doğrusallık özellikleri belirsiz integral:

– sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir (ve çıkarılmalıdır).

– iki fonksiyonun cebirsel toplamının integrali eşittir cebirsel toplam her fonksiyonun iki integrali ayrı ayrı. Bu özellik herhangi bir sayıda terim için geçerlidir.

Gördüğünüz gibi kurallar temel olarak türevlerle aynıdır.

Örnek 1

Çözüm: Kağıda yeniden yazmak daha uygundur.

(1) Kuralı uygulayın . Her integralin altına diferansiyel sembolünü yazmayı unutmayın. Neden her birinin altında? - bu tam bir çarpandırÇözümü detaylı olarak anlatırsak ilk adım şu şekilde yazılmalıdır:

(2) Kurala göre tüm sabitleri integrallerin işaretlerinin ötesine taşırız. Lütfen son terimin bir sabit olduğunu unutmayın, onu da çıkarıyoruz.
Ayrıca, bu adım Kökleri ve güçleri entegrasyona hazırlıyoruz. Farklılaşmada olduğu gibi köklerin de formda temsil edilmesi gerekir. Paydadaki kökleri ve kuvvetleri yukarıya doğru hareket ettirin.

! Not: Türevlerden farklı olarak, integrallerdeki kökler her zaman forma indirgenmemeli, dereceler yukarıya doğru aktarılmalıdır. Örneğin, bu hazır bir masa integrali ve bunun gibi her türlü Çin hilesi tamamen gereksiz. Benzer şekilde: – yine tablo halinde bir integral, kesri formda göstermenin bir anlamı yok. Tabloyu dikkatlice inceleyin!

(3) Bütün integrallerimiz tablo şeklindedir. Dönüşümü aşağıdaki formülleri kullanarak bir tablo kullanarak gerçekleştiriyoruz: , Ve .
Özel ilgi Bir güç fonksiyonunu entegre etmenin formülüne dönüyorum , çok sık meydana gelir, hatırlamak daha iyidir. Tablo integralinin şu şekilde olduğuna dikkat edilmelidir: özel durum aynı formül: .
Sabiti ifadenin sonuna bir kez eklemek yeterlidir (ve her integralin arkasına koymamak).
(4) Elde edilen sonucu daha kompakt bir biçimde yazıyoruz, formun tüm dereceleri yine kökler biçiminde, dereceler ise negatif gösterge– paydaya geri döndürün.

Muayene. Kontrolü gerçekleştirmek için alınan cevabı ayırt etmeniz gerekir:

Orijinali teslim aldım integrand Bu, integralin doğru bulunduğu anlamına gelir. Dans ettikleri şey, geri döndükleri şeydir. Bilirsiniz, integrali olan bir hikayenin bu şekilde bitmesi çok güzel.

Zaman zaman belirsiz integrali kontrol etmek için biraz farklı bir yaklaşım vardır; türev değil, cevaptan diferansiyel alınır:

İlk dönemden anlayanlar anladı ama artık bizim için önemli olan teorik incelikler değil, önemli olan bu farkla bundan sonra ne yapılacağıdır. Açıklanması gerekiyor ve resmi teknik açıdan bakıldığında bu, bir türev bulmakla neredeyse aynı. Diferansiyel açılır aşağıdaki gibi: simgeyi kaldırın, parantezin sağ üstüne bir kontur koyun, ifadenin sonuna bir faktör ekleyin:

Orijinal alındı integrand Bu, integralin doğru bulunduğu anlamına gelir.

Daha az kontrol etmenin ikinci yöntemini seviyorum çünkü ek olarak büyük parantezler çizmem ve diferansiyel simgesini kontrolün sonuna kadar sürüklemem gerekiyor. Her ne kadar daha doğru ya da “daha ​​saygın” falan olsa da.

Aslında ikinci doğrulama yöntemi konusunda tamamen sessiz kalabilirdim. Önemli olan yöntemde değil, diferansiyeli açmayı öğrenmiş olmamızdadır. Tekrar.

Diferansiyel şu şekilde ortaya çıkar::

1) simgeyi kaldırın;
2) braketin sağ üstüne bir vuruş koyarız (türevin gösterimi);
3) ifadenin sonuna bir faktör atarız.

Örneğin:

Bunu hatırla. Bu tekniğe çok yakında ihtiyacımız olacak.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Belirsiz bir integral bulduğumuzda HER ZAMAN kontrol etmeye çalışırızÜstelik bunun için çok büyük bir fırsat var. Yüksek matematikteki her türlü problem bu bakış açısına göre bir hediye değildir. Sık sık önemli değil test ödevleri doğrulamaya gerek yok, kimse kontrol etmiyor ve hiçbir şey bunun bir taslak üzerinde yapılmasını engellemiyor. Yalnızca yeterli süre olmadığında (örneğin bir test veya sınav sırasında) bir istisna yapılabilir. Şahsen ben her zaman integralleri kontrol ediyorum ve kontrol eksikliğinin bir hack işi ve kötü tamamlanmış bir görev olduğunu düşünüyorum.

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm: İntegrali analiz ettiğimizde iki fonksiyonun çarpımına ve hatta tüm ifadenin üssüne sahip olduğumuzu görüyoruz. Ne yazık ki, entegre savaş alanında, ürünü ve belirli bir ürünü entegre etmek için iyi ve uygun formüller yoktur. , .

Ve bu nedenle, bir çarpım veya bölüm verildiğinde, integrali toplama dönüştürmenin mümkün olup olmadığını görmek her zaman mantıklı olur mu?

Söz konusu örnek, bunun mümkün olduğu durumdur. İlk önce getireceğim komple çözüm, yorumlar aşağıda olacaktır.

(1) Dereceden kurtularak, toplamın karesi şeklindeki eski güzel formülü kullanırız.

(2) Üründen kurtularak parantez içine alıyoruz.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap ve tam çözüm dersin sonundadır.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

İÇİNDE bu örnekte integral bir kesirdir. İntegralde bir kesir gördüğümüzde ilk aklımıza şu soru gelmelidir: Bu kesirden bir şekilde kurtulmak veya en azından basitleştirmek mümkün mü?

Paydanın tek bir “X” kökü içerdiğini fark ettik. Sahadaki kişi bir savaşçı değildir, bu da payı paydaya terime göre bölebileceğimiz anlamına gelir:

Şununla yapılan işlemler: kesirli kuvvetler Türev fonksiyonuyla ilgili makalelerde defalarca tartışıldığı için yorum yapmıyorum. Eğer hala böyle bir örnek karşısında kafanız karıştıysa ve doğru cevabı alamıyorsanız, o zaman şu adrese dönmenizi öneririm: okul ders kitapları. Yüksek matematikte kesirler ve bunlarla yapılan işlemler her adımda karşımıza çıkar.

Ayrıca çözümün bir adımının, yani kuralların uygulanmasının eksik olduğunu unutmayın. , . Genellikle, integrallerin çözümüne ilişkin ilk deneyim sırasında bile, bu özellikler olduğu gibi kabul edilir ve ayrıntılı olarak açıklanmaz.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap ve tam çözüm dersin sonundadır.

Genel olarak integrallerde kesirler söz konusu olduğunda işler o kadar basit değildir. ek malzeme bazı türlerdeki kesirlerin entegrasyonu hakkında makalede bulunabilir Bazı Kesirlerin İntegrali.

! Ancak yukarıdaki makaleye geçmeden önce derse aşina olmanız gerekir. Belirsiz integralde ikame yöntemi. Mesele şu ki, bir fonksiyonu diferansiyel veya değişken değiştirme yöntemi kapsamında ele almak kilit nokta Konunun incelenmesinde, yalnızca "yer değiştirme yöntemindeki saf görevlerde" değil, aynı zamanda diğer birçok integral türünde de bulunduğu için.

Bu derse gerçekten birkaç örnek daha eklemek istedim ama şimdi burada oturuyorum, bu metni Verde dilinde yazıyorum ve makalenin zaten makul bir boyuta ulaştığını fark ediyorum.
Ve bu nedenle giriş kursu Aptallar için integraller sona erdi.

Size başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm:

Örnek 4: Çözüm:

Bu örnekte kısaltılmış çarpma formülünü kullandık

Örnek 6: Çözüm:

Ben kontrolü tamamladım, ya sen? ;)

Belirsiz integrallerin hesaplanmasına yönelik yöntemlerin bir incelemesi sunulmaktadır. Toplamın ve farkın entegre edilmesini, integral işaretinin dışına bir sabit yerleştirilmesini, bir değişkenin değiştirilmesini ve parçalara göre entegre edilmesini içeren ana entegrasyon yöntemleri dikkate alınır. Ayrıca dikkate alındı özel yöntemler kesirlerin, köklerin, trigonometrik ve integrallerin entegrasyonuna yönelik teknikler ve teknikler üstel fonksiyonlar.

Terstürev ve belirsiz integral

Bir f(x) fonksiyonunun ters türevi F(x), türevi f(x)'e eşit olan bir fonksiyondur:
F'(x) = f(x), x ∈ Δ,
Nerede Δ - gerçekleştirildiği dönem verilen denklem.

Tüm antiderivatiflerin kümesine belirsiz integral denir:
,
burada C, x değişkeninden bağımsız bir sabittir.

Temel formüller ve entegrasyon yöntemleri

İntegral tablosu

Nihai Hedef belirsiz integrallerin hesaplanması - dönüşümler yoluyla, belirli bir integrali en basit veya tablo halindeki integralleri içeren bir ifadeye indirgeyin.
Bkz. İntegral Tablosu >>>

Toplamları (farkları) entegre etme kuralı

Sabiti integral işaretinin dışına taşıma

c, x'ten bağımsız bir sabit olsun.

Daha sonra integral işaretinden çıkarılabilir:

Değişken değiştirme
.
X, t değişkeninin bir fonksiyonu olsun, x = φ(t), o zaman
.

Veya tam tersi, t = φ(x) ,

Değişken değişikliğini kullanarak yalnızca basit integralleri hesaplamakla kalmaz, aynı zamanda daha karmaşık integrallerin hesaplamasını da basitleştirebilirsiniz.

Parça kuralına göre entegrasyon

Kesirlerin integrali (rasyonel fonksiyonlar)

Gösterimi tanıtalım. P k (x), Q m (x), R n (x), x değişkenine göre sırasıyla k, m, n dereceli polinomları göstersin. Polinomların bir kesirinden oluşan bir integrali ele alalım (sözde):

rasyonel fonksiyon
.
Eğer k ≥ n ise öncelikle kesirin tamamını seçmeniz gerekir:

S k-n(x) polinomunun integrali, integral tablosu kullanılarak hesaplanır.
İntegral kalır:< n .
, nerede m

Bunu hesaplamak için integralin basit kesirlere ayrıştırılması gerekir.
Bunu yapmak için denklemin köklerini bulmanız gerekir:
Qn(x) = 0.
Elde edilen kökleri kullanarak paydayı faktörlerin bir ürünü olarak temsil etmeniz gerekir: Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ....
(x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ...

Burada s, x n'nin katsayısıdır, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Bundan sonra kesri en basit haline ayırın:
İntegral alarak daha basit integrallerden oluşan bir ifade elde ederiz.

Formun integralleri

tablo ikamesine indirgenir t = x - a.

İntegrali düşünün:
.
Payı dönüştürelim:
,
.
İntegral yerine koyarak iki integrali içeren bir ifade elde ederiz:
İlki, t = x 2 + ex + f yerine geçerek tablo halindeki bir değere indirgenir.

İkincisi, indirgeme formülüne göre:

integrale indirgenir
.
Paydasını kareler toplamına indirelim:

Daha sonra ikame ile integral

da tablolaştırılmıştır.

İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu
,
burada P, Q u 1, u 2, ..., u n değişkenlerindeki polinomlardır.

Kesirli doğrusal irrasyonellik

Formun integrallerini ele alalım:
,
Nerede - rasyonel sayılar, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - tamsayılar.
Hadi n - ortak payda sayılar r 1, ..., r s.
Daha sonra integral, ikame yoluyla rasyonel fonksiyonların integraline indirgenir:
.

Diferansiyel binomlardan integraller

tablo ikamesine indirgenir t = x - a.
,
burada m, n, p rasyonel sayılardır, a, b - gerçek sayılar.
Bu tür integraller üç durumda rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir.

1) Eğer p bir tam sayı ise. İkame x = t N, burada N, m ve n kesirlerinin ortak paydasıdır.
2) Eğer - bir tamsayı. İkame a x n + b = t M, burada M, p sayısının paydasıdır.
3) Eğer - bir tamsayı. İkame a + b x - n = t M, burada M, p sayısının paydasıdır.

Üç sayıdan hiçbiri tam sayı değilse, Chebyshev teoremine göre bu tür integraller, temel fonksiyonların sonlu bir birleşimi ile ifade edilemez.

Bazı durumlarda öncelikle integrali daha uygun m ve p değerlerine indirmek yararlı olur.
;
.

Bu, azaltma formülleri kullanılarak yapılabilir:

Bir kare trinomiyalin karekökünü içeren integraller
,

Burada formun integrallerini ele alıyoruz:

Euler ikameleri
Bu tür integraller, üç Euler ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarının integrallerine indirgenebilir:
a > 0 için;
c > 0 için; burada x 1, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin köküdür..

Bu denklem varsa

gerçek kökler

Trigonometrik ve hiperbolik ikameler

Doğrudan yöntemler

Çoğu durumda Euler ikameleri, doğrudan yöntemlere göre daha uzun hesaplamalarla sonuçlanır. Doğrudan yöntemler kullanılarak integral aşağıda listelenen formlardan birine indirgenir.
,
Tip I

Formun integrali: burada Pn(x) n dereceli bir polinomdur. Bu tür integraller şu yöntemle bulunur:

belirsiz katsayılar

, kimliği kullanarak:

Çoğu durumda Euler ikameleri, doğrudan yöntemlere göre daha uzun hesaplamalarla sonuçlanır. Doğrudan yöntemler kullanılarak integral aşağıda listelenen formlardan birine indirgenir.
,
Bu denklemin farklılığını alıp sol ve sağ tarafları eşitleyerek Ai katsayılarını buluruz.

Tip II burada Pm(x) m dereceli bir polinomdur. Değiştirme t =

(x - α) -1

bu integral önceki türe indirgenir. Eğer m ≥ n ise kesrin tamsayı kısmı olmalıdır.
.

III tipi
.
Üçüncü ve en karmaşık tür:
.
Burada bir değişiklik yapmanız gerekir:
Bundan sonra integral şu ​​şekli alacaktır:
Daha sonra, α, β sabitleri, t katsayıları sıfır olacak şekilde seçilmelidir:
;
,
B = 0, B 1 = 0.
Daha sonra integral iki tür integralin toplamına ayrışır:
sırasıyla ikamelerle entegre edilenler:

z2 = A1t2 + C1;

Aşkın (trigonometrik ve üstel) fonksiyonların entegrasyonu

Bunun için geçerli olan yöntemleri önceden belirtelim. trigonometrik fonksiyonlar için de geçerli hiperbolik fonksiyonlar. Bu nedenle hiperbolik fonksiyonların integralini ayrı ayrı ele almayacağız.

cos x ve sin x'in rasyonel trigonometrik fonksiyonlarının entegrasyonu

Formun trigonometrik fonksiyonlarının integrallerini ele alalım:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda sinüsler ve kosinüsler kullanılarak dönüştürülmesi gereken teğetleri ve kotanjantları da içerebilir.

Bu tür işlevleri entegre ederken üç kuralı akılda tutmak faydalıdır:
1) eğer R( çünkü x, günah x) büyüklüklerin birinden önceki işaret değişikliğinden -1 ile çarpılır çünkü x veya günah x ise diğerini t ile belirtmekte fayda var.
2) eğer R( çünkü x, günah x) daha önce aynı anda yapılan bir işaret değişikliği nedeniyle değişmez çünkü x Ve günah x o zaman şunu koymakta fayda var tg x = t veya karyola x = t.
3) her durumda ikame aşağıdakilerin integraline yol açar: rasyonel kesir. Ne yazık ki, bu ikame, mümkünse, önceki hesaplamalara göre daha uzun hesaplamalara neden olur.

cos x ve sin x'in güç fonksiyonlarının çarpımı

Formun integrallerini ele alalım:

Eğer m ve n rasyonel sayılar ise, o zaman ikamelerden biri t = günah x veya t = çünkü x integral diferansiyel binomun integraline indirgenir.

M ve n tam sayılar ise integraller kısımlara göre integral alınarak hesaplanır. Bu durumda ortaya çıkıyor aşağıdaki formüller yayınlar:

;
;
;
.

Parçalara göre entegrasyon

Euler formülünün uygulanması

İntegral fonksiyonlardan birine göre doğrusal ise
çünkü balta veya sinax o zaman Euler formülünü uygulamak uygundur:
e iax = çünkü balta + isin balta(burada ben 2 = - 1 ),
bu işlevi şununla değiştirmek: e iax ve gerçek olanı vurgulayarak (değiştirirken çünkü balta) veya hayali parça (değiştirirken sinax) elde edilen sonuçtan.

Kullanılan literatür:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

İntegralleri çözme - kolay görev, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Belirli ve belirsiz integraller nelerdir? İntegral için bildiğiniz tek kullanım, ulaşılması zor yerlerden yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklinde bir tığ işi kanca kullanmaksa, o zaman hoş geldiniz! İntegralleri nasıl çözeceğinizi ve neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.

"İntegral" kavramını inceliyoruz

Entegrasyon eskiden biliniyordu Eski Mısır. Tabii ki içinde değil modern biçim, ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi. İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için hala ihtiyacınız olacak temel bilgi temel bilgiler matematiksel analiz. Blogumuzda bulacağınız bu temel bilgilerdir.

Belirsiz integral

Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .

Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle integral ters veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl olduğunu okuyun.

Terstürev herkes için mevcuttur sürekli fonksiyonlar. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur:

Belirli integral

İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, şeklin alanını, homojen olmayan cismin kütlesini, kat edilen mesafeyi hesaplamaya yardımcı olacaktır. düzensiz hareket yol ve çok daha fazlası. Bir integralin sonsuz bir toplam olduğu unutulmamalıdır. büyük miktar sonsuz küçük terimler.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Bir şeklin alanı nasıl bulunur, programla sınırlı işlevler?

İntegral kullanma! Hadi parçalayalım kavisli yamuk, fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği tarafından sonsuz küçük parçalara sınırlandırılmıştır. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın şunu vereceğini unutmayın yaklaşık sonuç. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:

a ve b noktalarına integralin sınırları denir.

Bari Alibasov ve "İntegral" grubu

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Aptallar için integral hesaplama kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.

• İntegralin türevi integrale eşittir:

• Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:

• Toplamın integrali toplamına eşit integraller. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:

Belirli bir integralin özellikleri

• Doğrusallık:

• İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:

• Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:

Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu daha önce öğrenmiştik. Ama nasıl elde edilir özel anlam bir örneği çözerken? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integralleri bulmanın birkaç örneğini ele alacağız. Sizi çözümün inceliklerini kendiniz anlamaya davet ediyoruz ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sorun.

Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Sorduğunuzda size integrallerin hesaplanmasıyla ilgili bildikleri her şeyi anlatacaklar. Bizim yardımımızla herhangi bir üçlü veya eğrisel integral kapalı bir yüzeyde bunu yapabileceksiniz.