Antiderivatifler tablosu ("integraller"). İntegral tablosu. Tablosal belirsiz integraller. (En basit integraller ve parametreli integraller). Parçalara göre entegrasyon formülleri. Newton-Leibniz formülü.

Antiderivatifler tablosu ("integraller"). Tablosal belirsiz integraller. (En basit integraller ve parametreli integraller).
Bir güç fonksiyonunun integrali.	Bir güç fonksiyonunun integrali.
X'in diferansiyel işareti altında sürülmesi durumunda bir güç fonksiyonunun integraline indirgenen bir integral.
	a'nın sabit bir sayı olduğu bir üstel sayının integrali.
Karmaşık bir üstel fonksiyonun integrali.	Üstel bir fonksiyonun integrali.
Doğal logaritmaya eşit bir integral.	İntegral: "Uzun logaritma".
	İntegral: "Uzun logaritma".
İntegral: "Yüksek logaritma".	Paydaki x'in diferansiyel işaretin altına yerleştirildiği bir integral (işaretin altındaki sabit toplanabilir veya çıkarılabilir), sonuçta doğal logaritmaya eşit bir integrale benzer.
İntegral: "Yüksek logaritma".
Kosinüs integrali.	Sinüs integrali.
Teğete eşit integral.	Kotanjanta eşit integral.
Hem arksinüs hem de arkkosinüsün integrali
Hem ark sinüs hem de ark kosinüse eşit bir integral.	Hem arktanjanta hem arkkotanjanta eşit bir integral.
Kosekantın integrali.	Sekanta eşit integral.
Arsekantın integrali.	Arkosekanta eşit integral.
Arsekantın integrali.	Arsekantın integrali.
Hiperbolik sinüsün integrali.	Hiperbolik kosinüsün integrali.
İntegral, hiperbolik sinüse eşittir; burada sinhx, İngilizce versiyonda hiperbolik sinüstür.	İntegral, hiperbolik kosinüse eşittir; burada sinhx, İngilizce versiyonda hiperbolik sinüstür.
Hiperbolik tanjanta eşit integral.	Hiperbolik kotanjanta eşit integral.
Hiperbolik sekantın integrali.	Hiperbolik kosekantın integrali.

Parçalara göre entegrasyon formülleri. Entegrasyon kuralları.

Parçalara göre entegrasyon formülleri. Newton-Leibniz formülü İntegral kuralları.
Bir ürünü (fonksiyonu) bir sabitle entegre etmek:
Fonksiyonların toplamının integrali:
belirsiz integraller:
Parçalara göre entegrasyon formülü belirli integraller:
Newton-Leibniz formülü belirli integraller:	Burada F(a),F(b), sırasıyla b ve a noktalarındaki antiderivatiflerin değerleridir.

Türev tablosu. Tablosal türevler. Ürünün türevi. Bölümün türevi. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Eğer x bağımsız bir değişken ise:

Türev tablosu. Tablo türevleri."tablo türevi" - evet, maalesef internette tam olarak bu şekilde aranıyorlar
	Bir güç fonksiyonunun türevi
	Üssün türevi
Karmaşık bir üstel fonksiyonun türevi	Üstel fonksiyonun türevi
Logaritmik bir fonksiyonun türevi	Doğal logaritmanın türevi
	Bir fonksiyonun doğal logaritmasının türevi
Sinüs türevi	Kosinüs türevi
Kosekantın türevi	Bir sekantın türevi
Arsin türevi	Ark kosinüsün türevi
Arsin türevi	Ark kosinüsün türevi
Teğet türev	Kotanjantın türevi
Arktanjantın türevi	Ark kotanjantının türevi
Arktanjantın türevi	Ark kotanjantının türevi
Arsekantın türevi	Arccosekantın türevi
Arsekantın türevi	Arccosekantın türevi
Hiperbolik sinüsün türevi İngilizce versiyonda hiperbolik sinüsün türevi	Hiperbolik kosinüsün türevi İngilizce versiyonda hiperbolik kosinüsün türevi
Hiperbolik tanjantın türevi	Hiperbolik kotanjantın türevi
Hiperbolik sekantın türevi	Hiperbolik kosekantın türevi

Farklılaşma kuralları. Ürünün türevi. Bölümün türevi. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Bir ürünün (fonksiyonun) bir sabite göre türevi:
Toplamın türevi (fonksiyonlar):
Ürünün türevi (fonksiyonlar):
Bölümün (fonksiyonların) türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Logaritmanın özellikleri. Logaritmalar için temel formüller. Ondalık sayı (lg) ve doğal logaritmalar (ln).

Temel logaritmik kimlik
a b formundaki herhangi bir fonksiyonun nasıl üstel hale getirilebileceğini gösterelim. e x formundaki bir fonksiyon üstel olarak adlandırıldığından, o zaman
a b formundaki herhangi bir fonksiyon on'un kuvveti olarak temsil edilebilir.

Doğal logaritma ln (e tabanına göre logaritma = 2,718281828459045...) ln(e)=1; günlük(1)=0

Taylor serisi. Bir fonksiyonun Taylor serisi açılımı.

Çoğunluğun olduğu ortaya çıktı pratikte karşılaşılan Matematiksel fonksiyonlar, bir değişkenin kuvvetlerini artan sırada içeren güç serileri şeklinde belirli bir nokta civarında herhangi bir doğrulukla temsil edilebilir. Örneğin x=1 noktasının yakınında:

Çağrılan seriyi kullanırken Taylor'ın satırları cebirsel, trigonometrik ve üstel fonksiyonları içeren karma fonksiyonlar, tamamen cebirsel fonksiyonlar olarak ifade edilebilir. Serileri kullanarak genellikle hızlı bir şekilde farklılaştırma ve entegrasyon gerçekleştirebilirsiniz.

a noktasının yakınındaki Taylor serisi şu şekildedir:

1) burada f(x), x = a noktasında tüm mertebelerden türevleri olan bir fonksiyondur. R n - Taylor serisindeki kalan terim şu ifadeyle belirlenir:

2)

Serinin k-th katsayısı (x k'de) aşağıdaki formülle belirlenir:

3) Taylor serisinin özel bir durumu Maclaurin (=McLaren) serisidir (genişleme a=0 noktası etrafında meydana gelir)

a=0'da

serinin üyeleri formülle belirlenir

Taylor serisini kullanma koşulları.

1. f(x) fonksiyonunun (-R;R) aralığında bir Taylor serisine genişletilebilmesi için, bunun için Taylor (Maclaurin (=McLaren)) formülündeki kalan terimin olması gerekli ve yeterlidir. fonksiyon belirtilen aralıkta (-R;R) k →∞ kadar sıfıra yönelir.

2. Taylor serisini oluşturacağımız yakın çevrede verilen bir fonksiyonun türevlerinin olması gerekir.

Taylor serisinin özellikleri.

Eğer f analitik bir fonksiyon ise, bu durumda f'nin tanım alanındaki herhangi bir a noktasındaki Taylor serisi, a'nın bazı komşuluklarında f'ye yakınsar.

Taylor serileri yakınsak olan fakat aynı zamanda a'nın herhangi bir komşuluğundaki fonksiyondan farklı olan sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar vardır. Örneğin:

Taylor serileri, bir fonksiyonun polinomlarla yaklaşımında (yaklaşım, bazı nesnelerin başkalarıyla, bir anlamda orijinallerine yakın, ancak daha basit olarak değiştirilmesinden oluşan bilimsel bir yöntemdir) kullanılır. Özellikle, doğrusallaştırma ((doğrusallıktan - doğrusal), doğrusal olmayan bir sistemin çalışmasının, bir anlamda orijinaline eşdeğer olan doğrusal bir sistemin analizi ile değiştirildiği, kapalı doğrusal olmayan sistemlerin yaklaşık temsil yöntemlerinden biri .) denklemleri Taylor serisine genişletilerek ve birinci derecenin üzerindeki tüm terimlerin kesilmesiyle oluşur.

Böylece hemen hemen her fonksiyon belirli bir doğrulukla bir polinom olarak temsil edilebilir.

Maclaurin serisindeki (=McLaren, Taylor 0 noktası civarında) ve Taylor 1 noktası civarındaki güç fonksiyonlarının bazı ortak açılımlarına örnekler. Taylor ve McLaren serilerinde ana fonksiyonların açılımlarının ilk terimleri.

Maclaurin serisindeki güç fonksiyonlarının bazı yaygın açılımlarına örnekler (=McLaren, Taylor 0 noktası civarında)

1. nokta civarındaki bazı yaygın Taylor serisi açılımlarına örnekler

Karmaşık integraller

Bu makale belirsiz integraller konusunu sonlandırıyor ve oldukça karmaşık bulduğum integralleri içeriyor. Ders, sitede daha zor örneklerin incelenmesini istediklerini ifade eden ziyaretçilerin tekrarlanan talepleri üzerine oluşturuldu.

Bu metnin okuyucusunun iyi hazırlanmış olduğu ve temel entegrasyon tekniklerini nasıl uygulayacağını bildiği varsayılmaktadır. İntegrallere pek güvenmeyenler ve aptallar ilk derse bakmalıdır - Belirsiz integral. Çözüm örnekleri, konuya neredeyse sıfırdan hakim olabileceğiniz yer. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimde henüz karşılaşılmayan entegrasyon teknik ve yöntemlerine aşina olabilirler.

Hangi integraller dikkate alınacak?

Öncelikle çözümü için art arda kullandığımız köklü integralleri ele alacağız. değişken değiştirme Ve Parçalara göre entegrasyon. Yani bir örnekte iki teknik aynı anda birleştirilmiştir. Ve daha da fazlası.

O zaman ilginç ve orijinal ile tanışacağız İntegrali kendine indirgeme yöntemi. Pek çok integral bu şekilde çözülür.

Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerde kasanın önünden geçen karmaşık kesirlerin integralleri olacak.

Dördüncü olarak trigonometrik fonksiyonlardan ek integraller analiz edilecektir. Özellikle zaman alıcı evrensel trigonometrik ikameyi önleyen yöntemler vardır.

(2) İntegral fonksiyonunda payı paydaya terime böleriz.

(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz. Hemen son integralde fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyun.

(4) Kalan integralleri alıyoruz. Logaritmada modül yerine parantez kullanabileceğinizi unutmayın, çünkü .

(5) Doğrudan değiştirmeden “te”yi ifade ederek ters değiştirme işlemi yaparız:

Mazoşist öğrenciler, az önce yaptığım gibi, cevabı ayırt edebilir ve orijinal integrand'ı elde edebilirler. Hayır, hayır, kontrolü doğru anlamda yaptım =)

Gördüğünüz gibi, çözüm sırasında ikiden fazla çözüm yöntemi kullanmak zorunda kaldık, bu tür integrallerle başa çıkmak için kendinize güvenen entegrasyon becerilerine ve oldukça fazla deneyime ihtiyacınız var.

Pratikte elbette karekök daha yaygındır; işte bunu kendiniz çözmeniz için üç örnek:

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun

Bu örnekler aynı tipte olduğundan makalenin sonundaki tam çözüm yalnızca Örnek 2 için olacaktır; Örnek 3-4'ün cevapları aynı olacaktır. Kararların başında hangi ikamenin kullanılacağının açık olduğunu düşünüyorum. Neden aynı türden örnekleri seçtim? Genellikle rollerinde bulunurlar. Daha sık, belki de şöyle bir şey .

Ancak her zaman değil, arktanjant, sinüs, kosinüs, üstel ve diğer fonksiyonlar altında doğrusal bir fonksiyonun kökü olduğunda, aynı anda birkaç yöntem kullanmanız gerekir. Bazı durumlarda "kolayca kurtulmak" mümkündür, yani değiştirmeden hemen sonra kolayca alınabilecek basit bir integral elde edilir. Yukarıda önerilen görevlerin en kolayı, değiştirme sonrasında nispeten basit bir integralin elde edildiği Örnek 4'tür.

İntegrali kendine indirgeyerek

Esprili ve güzel bir yöntem. Türün klasiklerine bir göz atalım:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun

Kökün altında ikinci dereceden bir binom vardır ve bu örneği entegre etmeye çalışmak çaydanlığa saatlerce baş ağrısı verebilir. Böyle bir integral parçalara ayrılarak kendisine indirgenir. Prensip olarak zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.

Söz konusu integrali Latin harfiyle gösterelim ve çözüme başlayalım:

Parçalara göre integral alalım:

(1) Dönem dönem bölünme için integrand fonksiyonunu hazırlayın.

(2) İntegral fonksiyon terimini terime bölüyoruz. Herkes için net olmayabilir, ancak daha ayrıntılı olarak anlatacağım:

(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.

(4) Son integrali alın ("uzun" logaritma).

Şimdi çözümün en başına bakalım:

Ve sonuna kadar:

Ne oldu? Yaptığımız manipülasyonlar sonucunda integral kendine indirgendi!

Başlangıç ​​ve bitişi eşitleyelim:

Burç değişikliği ile sol tarafa geçin:

Ve ikisini sağ tarafa kaydırıyoruz. Sonuç olarak:

Kesin olarak konuşursak, sabitin daha önce eklenmesi gerekirdi, ancak sonunda ekledim. Buradaki titizliğin ne olduğunu okumanızı şiddetle tavsiye ederim:

Not: Daha doğrusu çözümün son aşaması şöyle görünür:

Böylece:

Sabit ile yeniden tasarlanabilir. Neden yeniden tasarlanabilir? Çünkü hala kabul ediyor herhangi değerler ve bu anlamda sabitler arasında bir fark yoktur.
Sonuç olarak:

Sürekli yeniden açıklama içeren benzer bir numara yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler. Ve orada katı olacağım. Ve burada böyle bir özgürlüğe yalnızca gereksiz şeylerle kafanızı karıştırmamak ve dikkati tam olarak entegrasyon yönteminin kendisine odaklamak için izin veriyorum.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun

Bağımsız çözüm için başka bir tipik integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Önceki örnekteki cevapta bir fark olacak!

Karekökün altında bir kare trinomial varsa, o zaman çözüm her durumda analiz edilen iki örneğe iner.

Örneğin integrali düşünün . İlk önce yapmanız gereken tek şey tam bir kare seç:
.
Daha sonra, "herhangi bir sonuç olmadan" yapılan doğrusal bir değiştirme gerçekleştirilir:
, integralle sonuçlanır . Tanıdık bir şey, değil mi?

Veya ikinci dereceden binomlu bu örnek:
Tam bir kare seçin:
Ve doğrusal değiştirmeden sonra, daha önce tartışılan algoritma kullanılarak çözülen integrali elde ederiz.

Bir integralin kendisine nasıl indirgeneceğine ilişkin iki tipik örneğe daha bakalım:
– üstel çarpımın sinüs ile integrali;
– üstel sayının kosinüs ile çarpımının integrali.

Parçalara göre listelenen integrallerde iki kez integral almanız gerekecektir:

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun

İntegral üstel sayının sinüsle çarpımıdır.

Parçalara göre iki kere integral alırız ve integrali kendisine indirgeriz:

Parçalara göre çift integrasyon sonucunda integral kendine indirgenmiştir. Çözümün başlangıcını ve sonunu eşitliyoruz:

İşaret değişikliği ile sola kaydırıp integralimizi ifade ediyoruz:

Hazır. Aynı zamanda sağ tarafı da taramanız tavsiye edilir, yani. Üssü parantezlerden çıkarın ve sinüs ve kosinüsü parantezlere "güzel" bir sırayla yerleştirin.

Şimdi örneğin başlangıcına, daha doğrusu parçalara göre entegrasyona geri dönelim:

Üssü olarak belirledik. Şu soru ortaya çıkıyor: Her zaman ile gösterilmesi gereken üs mü? Gerekli değil. Aslında, ele alınan integralde temelde önemli değil, ne demek istiyoruz, diğer tarafa da gidebilirdik:

Bu neden mümkün? Üstel kendisine dönüştüğü için (hem türev alma hem de integral alma sırasında), sinüs ve kosinüs karşılıklı olarak birbirine dönüşür (yine hem türev alma hem de integral alma sırasında).

Yani trigonometrik bir fonksiyonu da gösterebiliriz. Ancak ele alınan örnekte kesirler ortaya çıkacağından bu daha az rasyoneldir. Dilerseniz bu örneği ikinci yöntemle çözmeyi deneyebilirsiniz, cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Karar vermeden önce, bu durumda üstel fonksiyon olarak mı yoksa trigonometrik fonksiyon olarak mı belirtilmenin daha avantajlı olduğunu düşünün. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve elbette, bu dersteki cevapların çoğunun farklılaştırma yoluyla kontrol edilmesinin oldukça kolay olduğunu unutmayın!

Ele alınan örnekler en karmaşık örnekler değildi. Uygulamada, sabitin hem üste hem de trigonometrik fonksiyonun argümanında olduğu durumlarda integraller daha yaygındır, örneğin: . Birçok insanın böyle bir integral konusunda kafası karışacaktır ve benim de çoğu zaman kafam karışır. Gerçek şu ki, çözümde kesirlerin ortaya çıkma olasılığı yüksektir ve dikkatsizlik nedeniyle bir şeyi kaybetmek çok kolaydır. Ayrıca işaretlerde hata olasılığı yüksektir; üssün eksi işaretine sahip olduğunu ve bunun da ek zorluk yarattığını unutmayın.

Son aşamada sonuç genellikle şöyle olur:

Çözümün sonunda bile son derece dikkatli olmalı ve kesirleri doğru anlamalısınız:

Karmaşık Kesirlerin İntegrallenmesi

Dersin ekvatoruna yavaş yavaş yaklaşıyoruz ve kesirlerin integrallerini düşünmeye başlıyoruz. Tekrar ediyorum, hepsi çok karmaşık değil; sadece şu ya da bu nedenle diğer makalelerdeki örnekler biraz "konu dışı"ydı.

Kökler temasına devam ediliyor

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Kökün altındaki paydada ikinci dereceden bir üç terimli artı kökün dışında "X" şeklinde bir "ek" vardır. Bu türden bir integral, standart bir ikame kullanılarak çözülebilir.

Biz karar veriyoruz:

Buradaki değişim basittir:

Değişimden sonraki hayata bakalım:

(1) Yer değiştirmeden sonra kök altındaki terimleri ortak bir paydaya indiririz.
(2) Onu kökün altından çıkarıyoruz.
(3) Pay ve payda azaltılır. Aynı zamanda kök altında terimleri uygun bir sıraya göre yeniden düzenledim. Biraz tecrübeyle, yorumlanan eylemleri sözlü olarak gerçekleştirerek (1), (2) adımları atlanabilir.
(4) Sonuçta ortaya çıkan integral, dersten hatırladığınız gibi Bazı Kesirlerin İntegrali, karar veriliyor tam kare çıkarma yöntemi. Tam bir kare seçin.
(5) İntegral yoluyla sıradan bir "uzun" logaritma elde ederiz.
(6) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz. Başlangıçta ise, sonra geri: .
(7) Son eylem, sonucu düzeltmeyi amaçlamaktadır: kök altında terimleri tekrar ortak bir paydaya getiriyoruz ve kökün altından çıkarıyoruz.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Burada tek "X"e bir sabit eklenir ve değiştirme neredeyse aynıdır:

Ek olarak yapmanız gereken tek şey, gerçekleştirilen değiştirme işlemindeki "x" i ifade etmektir:

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bazen böyle bir integralin kökü altında ikinci dereceden bir binom olabilir, bu çözüm yöntemini değiştirmez, hatta daha basit olacaktır. Farkı Hisset:

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun

Dersin sonunda kısa çözümler ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak aynı olduğuna dikkat edilmelidir. binom integraliÇözüm yöntemi sınıfta tartışılan İrrasyonel fonksiyonların integralleri.

2. dereceden ayrıştırılamaz bir polinomun üssüne integrali

(paydadaki polinom)

Daha nadir görülen bir integral türü, ancak yine de pratik örneklerde karşımıza çıkıyor.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun

Ama şanslı sayı 13 ile olan örneğe dönelim (dürüst olmak gerekirse doğru tahmin etmedim). Bu integral aynı zamanda nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız oldukça sinir bozucu olabilecek integrallerden biridir.

Çözüm yapay bir dönüşümle başlar:

Sanırım herkes payın payda terimine göre nasıl bölüneceğini zaten anlıyor.

Ortaya çıkan integral parçalar halinde alınır:

( – doğal sayı) formunun bir integrali için türetiyoruz tekrarlayan azaltma formülü:
, Nerede – daha düşük bir derecenin integrali.

Çözülmüş integral için bu formülün geçerliliğini doğrulayalım.
Bu durumda: , , formülü kullanırız:

Gördüğünüz gibi cevaplar aynı.

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek çözüm yukarıdaki formülü arka arkaya iki kez kullanır.

Derecenin altında ise bölünmez kare trinomial, daha sonra çözüm, mükemmel kareyi izole ederek bir binoma indirgenir, örneğin:

Payda ek bir polinom varsa ne olur? Bu durumda belirsiz katsayılar yöntemi kullanılır ve integral fonksiyonu kesirlerin toplamına genişletilir. Ama benim uygulamamda böyle bir örnek var hiç tanışmadık, bu yüzden makalede bu vakayı kaçırdım Kesirli-rasyonel fonksiyonların integralleri, şimdi bunu atlayacağım. Hala böyle bir integralle karşılaşırsanız, ders kitabına bakın - orada her şey basit. Karşılaşma olasılığı sıfıra yaklaşan materyali (basit olanları bile) dahil etmenin uygun olduğunu düşünmüyorum.

Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu

Çoğu örnek için "karmaşık" sıfatı yine büyük ölçüde koşulludur. Yüksek kuvvetlerdeki teğetler ve kotanjantlarla başlayalım. Kullanılan çözme yöntemleri açısından bakıldığında, teğet ve kotanjant hemen hemen aynı şeydir, bu nedenle teğet hakkında daha fazla konuşacağım ve integrali çözmek için gösterilen yöntemin kotanjant için de geçerli olduğunu ima edeceğim.

Yukarıdaki derste inceledik evrensel trigonometrik ikame Trigonometrik fonksiyonların belirli türdeki integrallerini çözmek için. Evrensel trigonometrik ikamenin dezavantajı, kullanımının çoğu zaman zor hesaplamalara sahip hantal integrallerle sonuçlanmasıdır. Ve bazı durumlarda evrensel trigonometrik ikameden kaçınılabilir!

Başka bir kanonik örneği ele alalım: Birin integralinin sinüse bölümü:

Örnek 17

Belirsiz integrali bulun

Burada evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilir ve cevaba ulaşabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlarla birlikte eksiksiz bir çözüm sunacağım:

(1) Çift açının sinüsü için trigonometrik formülü kullanırız.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: Paydayı bölüp ile çarpıyoruz.
(3) Paydadaki iyi bilinen formülü kullanarak kesri teğete dönüştürürüz.
(4) Fonksiyonu diferansiyel işaret altına alıyoruz.
(5) İntegrali alın.

Kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:

Örnek 18

Belirsiz integrali bulun

Not: İlk adım indirgeme formülünü kullanmak olmalıdır. ve önceki örneğe benzer eylemleri dikkatlice gerçekleştirin.

Örnek 19

Belirsiz integrali bulun

Aslında bu çok basit bir örnek.

Dersin sonunda çözümleri ve cevapları tamamlayın.

Artık kimsenin integrallerle sorunu olmayacağını düşünüyorum:
ve benzeri.

Yöntemin fikri nedir? Buradaki fikir, yalnızca teğetleri ve teğet türevini integral halinde düzenlemek için dönüşümleri ve trigonometrik formülleri kullanmaktır. Yani, değiştirmekten bahsediyoruz: . Örnek 17-19'da aslında bu değiştirmeyi kullandık, ancak integraller o kadar basitti ki eşdeğer bir eylemle - fonksiyonu diferansiyel işaretin altına alarak - başardık.

Daha önce de belirttiğim gibi benzer bir mantık kotanjant için de yapılabilir.

Yukarıdaki değişikliğin uygulanması için resmi bir önkoşul da vardır:

Kosinüs ve sinüsün kuvvetlerinin toplamı negatif bir tamsayı ÇİFT sayıdır, Örneğin:

integral için – negatif bir tamsayı ÇİFT sayı.

! Not : eğer integral YALNIZCA bir sinüs veya YALNIZCA bir kosinüs içeriyorsa, o zaman integral aynı zamanda negatif tek derece olarak da alınır (en basit durumlar Örnekler No. 17, 18'dedir).

Bu kurala dayanarak birkaç daha anlamlı göreve bakalım:

Örnek 20

Belirsiz integrali bulun

Sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin toplamı: 2 – 6 = –4, negatif bir tamsayı ÇİFT sayıdır; bu, integralin teğetlere ve onun türevine indirgenebileceği anlamına gelir:

(1) Paydayı dönüştürelim.
(2) İyi bilinen formülü kullanarak şunu elde ederiz:
(3) Paydayı dönüştürelim.
(4) Formülü kullanıyoruz .
(5) Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz.
(6) Değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirme işlemini gerçekleştiremeyebilir, ancak yine de teğeti bir harfle değiştirmek daha iyidir - kafanın karışma riski daha azdır.

Örnek 21

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Orada bekleyin, şampiyonluk turları başlamak üzere =)

Çoğu zaman integrand bir "karmaşık nokta" içerir:

Örnek 22

Belirsiz integrali bulun

Bu integral başlangıçta bir teğet içerir ve bu da hemen zaten tanıdık bir düşünceye yol açar:

Her şey yukarıda tartışıldığı için yapay dönüşümü en başta ve geri kalan adımları yorumsuz bırakacağım.

Kendi çözümünüz için birkaç yaratıcı örnek:

Örnek 23

Belirsiz integrali bulun

Örnek 24

Belirsiz integrali bulun

Evet, elbette, sinüs ve kosinüsün güçlerini düşürebilir ve evrensel bir trigonometrik ikame kullanabilirsiniz, ancak çözüm, teğetlerle gerçekleştirilirse çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugün dersimizde parçalara göre nasıl integral alacağımızı öğreneceğiz. Parçalara göre entegrasyon yöntemi, integral hesabının temel taşlarından biridir. Testler veya sınavlar sırasında öğrencilerden neredeyse her zaman aşağıdaki integral türlerini çözmeleri istenir: en basit integral (makaleye bakınız) veya bir değişkeni değiştirerek bir integral (makaleye bakınız) veya integral tam açık parça yöntemiyle entegrasyon.

Her zaman olduğu gibi elinizin altında olması gerekenler: İntegral tablosu Ve Türev tablosu. Hala bunlara sahip değilseniz lütfen web sitemin depolama odasını ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar . Tekrar etmekten yorulmayacağım; her şeyi yazdırmak daha iyi. Tüm materyali tutarlı, basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım, parçaların entegrasyonunda özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon yöntemi hangi sorunu çözer? Parçalara göre entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer; tabloda olmayan bazı fonksiyonları entegre etmenize olanak tanır, iş fonksiyonlar ve bazı durumlarda bölümler bile. Hatırladığımız gibi uygun bir formül yok: . Ama şu var: – Şahsen parçalara göre entegrasyon formülü. Biliyorum, biliyorum, tek kişi sensin - ders boyunca onunla çalışacağız (şimdi daha kolay).

Ve hemen liste stüdyoya. Aşağıdaki türlerin integralleri parçalara göre alınır:

1) , , – logaritma, logaritmanın bir polinomla çarpılması.

2) ,bir polinomla çarpılan üstel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda bir üstel fonksiyonun bir polinomla çarpımı gibi integralleri de içerir, ancak pratikte bu yüzde 97'dir, integralin altında güzel bir "e" harfi vardır. ... makale biraz lirik çıkıyor, ah evet ... bahar geldi.

3) , , trigonometrik fonksiyonların bir polinomla çarpımıdır.

4) , – ters trigonometrik fonksiyonlar (“kemerler”), “kemerler”in bir polinomla çarpımı.

Bazı kesirler de parçalar halinde alınmıştır; ilgili örnekleri de ayrıntılı olarak ele alacağız.

Logaritmanın integralleri

örnek 1

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir ancak hazır bir cevabın kullanılması tavsiye edilmez çünkü öğretmenin bahar vitamini eksikliği vardır ve ağır bir şekilde küfredecektir. Çünkü söz konusu integral hiçbir şekilde tablo halinde değildir - parçalar halinde alınır. Biz karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözüme ara veriyoruz.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: . Açıkçası, bizim örneğimizde (ve dikkate alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin olarak ve bir şeyin de olarak belirtilmesi gerekiyor.

Söz konusu türdeki integrallerde logaritma her zaman gösterilir.

Teknik olarak çözümün tasarımı şu şekilde uygulanıyor; sütuna şunu yazıyoruz:

Yani logaritmayı şu şekilde gösterdik: ve - kalan kısım integral ifadesi.

Sonraki aşama: farkı bulun:

Diferansiyel türevle hemen hemen aynıdır; onu nasıl bulacağımızı önceki derslerde zaten tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Entegre etmeniz gereken işlevi bulmak için Sağ Taraf düşük eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: .
Bu arada, bazı notlarla birlikte son çözümün bir örneğini burada bulabilirsiniz:

Çalışmadaki tek nokta, faktörü logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğu için hemen ve'yi değiştirmiş olmamdır.

Gördüğünüz gibi parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü esasen iki basit integrale indirgedi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra Formülün uygulanmasıyla, kalan integral altında mutlaka bir basitleştirme yapılması gerekir - söz konusu örnekte, integrali "x" e indirdik.

Hadi kontrol edelim. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru çözülmüştür.

Test sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu bir tesadüf değil.

Parçalara göre entegrasyon formülü ve formül – bunlar birbirinin tersi olan iki kuraldır.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İntegral bir logaritmanın ve bir polinomun ürünüdür.
Karar verelim.

Kuralın uygulanma prosedürünü bir kez daha detaylı olarak anlatacağım, ileride örnekler daha kısaca sunulacak, kendi başınıza çözmekte zorluk çekiyorsanız dersin ilk iki örneğine geri dönmeniz gerekiyor. .

Daha önce de belirttiğimiz gibi logaritmayı belirtmek gerekir (kuvvet olması önemli değildir). ile belirtiyoruz kalan kısım integral ifadesi.

Sütuna şunu yazıyoruz:

İlk önce diferansiyeli buluyoruz:

Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz . Konunun ilk dersinde tesadüf değil Belirsiz integral. Çözüm örnekleri İntegrallerde uzmanlaşmak için türevleri "elinize almanız" gerektiği gerçeğine odaklandım. Türevlerle birden fazla kez uğraşmak zorunda kalacaksınız.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz, bunun için entegre ediyoruz Sağ Taraf düşük eşitlik:

Entegrasyon için en basit tablo formülünü kullandık

Artık formülü uygulamaya her şey hazır . Yıldız işaretiyle açın ve çözümü sağ tarafa göre “oluşturun”:

İntegralin altında yine logaritma için bir polinomumuz var! Bu nedenle çözüm tekrar kesintiye uğrar ve parçalara göre integral alma kuralı ikinci kez uygulanır. Benzer durumlarda logaritmanın her zaman gösterildiğini unutmayın.

Şimdiye kadar en basit integralleri ve türevleri sözlü olarak nasıl bulacağınızı bilseydiniz iyi olurdu.

(1) İşaretler konusunda kafanız karışmasın! Çoğu zaman eksi burada kaybolur; ayrıca eksinin şu anlama geldiğini de unutmayın: herkese braket ve bu parantezlerin doğru şekilde genişletilmesi gerekiyor.

(2) Braketleri açın. Son integrali basitleştiriyoruz.

(3) Son integrali alıyoruz.

(4) Cevabı “Taramak”.

Parçalara göre entegrasyon kuralını iki kez (hatta üç kez) uygulama ihtiyacı çok nadir ortaya çıkmaz.

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek:

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek, değişkeni değiştirerek (veya onu diferansiyel işaretin altına koyarak) çözülür! Neden olmasın - onu parçalara ayırmayı deneyebilirsiniz, komik bir şeye dönüşecektir.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Ancak bu integral parçalarla (vaat edilen kesir) integre edilir.

Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örnekler, ders sonundaki çözümler ve cevaplardır.

Örnek 3 ve 4'te integrallerin benzer olduğu ancak çözüm yöntemlerinin farklı olduğu görülmektedir! İntegrallerde uzmanlaşmanın ana zorluğu budur - eğer bir integrali çözmek için yanlış yöntemi seçerseniz, gerçek bir bulmaca gibi saatlerce onunla uğraşabilirsiniz. Bu nedenle çeşitli integralleri ne kadar çok çözerseniz test ve sınav o kadar kolay olur. Ayrıca ikinci yılda diferansiyel denklemler olacak ve integral ve türevleri çözme konusunda deneyim olmadan orada yapacak bir şey yok.

Logaritma açısından bu muhtemelen fazlasıyla yeterlidir. Bu arada, mühendislik öğrencilerinin kadın göğüslerini =) logaritma kullanarak adlandırdıklarını da hatırlıyorum. Bu arada, temel temel fonksiyonların grafiklerini ezbere bilmek faydalıdır: sinüs, kosinüs, arktanjant, üs, üçüncü, dördüncü derece polinomlar, vb. Hayır, elbette, dünya üzerinde bir prezervatif
Uzatmayacağım ama şimdi bölümden çok şey hatırlayacaksınız Grafikler ve işlevler =).

Üstel bir polinomla çarpılan integraller

Genel kural:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre oluyoruz:

İntegral konusunda zorluk yaşıyorsanız makaleye geri dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi .

Yapabileceğiniz diğer tek şey cevabı değiştirmek:

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçenek onu cevap olarak bırakmaktır. ya da

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş sayılır. Bu bir hata olmayacak; öğretmenin sizden cevabı basitleştirmenizi isteyebileceği başka bir konu.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu integral iki kez parça parça integre edilir. İşaretlere özellikle dikkat edilmelidir - bunların arasında kafa karıştırmak kolaydır, bunun karmaşık bir işlev olduğunu da hatırlıyoruz.

Katılımcı hakkında söylenecek başka bir şey yok. Sadece üstel ve doğal logaritmanın karşılıklı ters fonksiyonlar olduğunu ekleyebilirim, yüksek matematiğin eğlenceli grafikleri konusunda ben buyum =) Dur, dur, endişelenme, hoca ayık.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: çünkü her zaman bir polinomu belirtir

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre integral alalım:

Hmmm...ve yorum yapacak bir şey yok.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözmeniz için bir örnek

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Kesirli başka bir örnek. Önceki iki örnekte olduğu gibi, for bir polinomu belirtir.

Parçalara göre integral alalım:

İntegrali bulma konusunda herhangi bir zorluk veya yanlış anlama yaşıyorsanız derse katılmanızı tavsiye ederim. Trigonometrik fonksiyonların integralleri .

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

İpucu: Parçalara göre integral alma yöntemini kullanmadan önce, iki trigonometrik fonksiyonun çarpımını tek bir fonksiyona dönüştüren bazı trigonometrik formülleri uygulamanız gerekir. Formül, parçalara göre entegrasyon yöntemini uygularken hangisi sizin için daha uygunsa, aynı zamanda kullanılabilir.

Muhtemelen bu paragrafta hepsi bu. Nedense fizik ve matematik ilahisindeki bir satırı hatırladım: “Ve sinüs grafiği apsis ekseni boyunca dalga dalga ilerler”….

Ters trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Ters trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: her zaman ters trigonometrik fonksiyonu belirtir.

Ters trigonometrik fonksiyonların arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant içerdiğini hatırlatmama izin verin. Kaydın kısa olması adına onlara "kemerler" diyeceğim