Deneysel verilere yaklaşım, deneysel olarak elde edilen verileri, orijinal değerlere (bir deney veya deney sırasında elde edilen veriler) en yakın şekilde geçen veya düğüm noktalarında çakışan bir analitik fonksiyonla değiştirmeye dayanan bir yöntemdir. Şu anda analitik bir fonksiyonu tanımlamanın iki yolu vardır:
Aşağıdakileri geçen n derecelik bir enterpolasyon polinomu oluşturarak tüm noktalardan doğrudan belirli bir veri dizisi. Bu durumda, yaklaşıklık fonksiyonu şu şekilde sunulur: Lagrange formunda bir enterpolasyon polinomu veya Newton formunda bir enterpolasyon polinomu.
n derecelik yaklaşık bir polinom oluşturarak noktalara en yakın yerde belirli bir veri dizisinden. Böylece, yaklaşıklaştırma fonksiyonu, deney sırasında ortaya çıkabilecek tüm rastgele gürültüyü (veya hataları) düzeltir: deney sırasında ölçülen değerler, kendi rastgele yasalarına göre dalgalanan rastgele faktörlere (ölçüm veya cihaz hataları, yanlışlık veya deneysel) bağlıdır. hatalar). Bu durumda yaklaşım fonksiyonu en küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenir.
En küçük kareler yöntemi(İngilizce literatürde Sıradan En Küçük Kareler, OLS), belirli bir deneysel veri dizisindeki noktalara en yakın mesafede oluşturulan yaklaşım fonksiyonunun belirlenmesine dayanan matematiksel bir yöntemdir. Orijinal ve yaklaşık fonksiyonlar F(x)'in yakınlığı sayısal bir ölçümle belirlenir, yani: deneysel verilerin F(x) yaklaşım eğrisinden sapmalarının karelerinin toplamı en küçük olmalıdır.
En küçük kareler yöntemi kullanılarak oluşturulan yaklaşık eğri
En küçük kareler yöntemi kullanılır:
Denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla olduğu durumlarda aşırı belirlenmiş denklem sistemlerini çözmek;
Sıradan (aşırı belirlenmemiş) doğrusal olmayan denklem sistemleri durumunda çözüm bulmak;
Bazı yaklaşma fonksiyonlarıyla nokta değerlerine yaklaşmak.
En küçük kareler yöntemini kullanan yaklaşım fonksiyonu, belirli bir deneysel veri dizisinden hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun minimum karesel sapmalarının toplamı koşulundan belirlenir. En küçük kareler yönteminin bu kriteri aşağıdaki ifadeyle yazılır:
Düğüm noktalarında hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun değerleri,
Düğüm noktalarında belirli bir deneysel veri dizisi.
İkinci dereceden kriter, polinom yaklaşım fonksiyonlarıyla yaklaşım problemine benzersiz bir çözüm sağlayan, türevlenebilirlik gibi bir dizi "iyi" özelliğe sahiptir.
Problemin koşullarına bağlı olarak, yaklaşım fonksiyonu m dereceli bir polinomdur.
Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi düğüm noktalarının sayısına bağlı değildir ancak boyutu her zaman belirli bir deneysel veri dizisinin boyutundan (nokta sayısından) daha az olmalıdır.
∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=1 ise tablo fonksiyonuna düz bir çizgiyle yaklaşırız (doğrusal regresyon).
∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=2 ise, tablo fonksiyonuna ikinci dereceden bir parabol (ikinci dereceden yaklaşım) ile yaklaşırız.
∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=3 ise tablo fonksiyonuna kübik parabol (kübik yaklaşım) ile yaklaşırız.
Genel durumda, verilen tablo değerleri için m dereceli yaklaşık bir polinom oluşturmak gerektiğinde, tüm düğüm noktaları üzerindeki sapmaların karelerinin toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yeniden yazılır:
- m dereceli yaklaşık polinomun bilinmeyen katsayıları;
Belirtilen tablo değerlerinin sayısı.
Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. . Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:
Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim: parantezleri açın ve serbest terimleri ifadenin sağ tarafına taşıyın. Sonuç olarak, ortaya çıkan doğrusal cebirsel ifadeler sistemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:
Bu doğrusal cebirsel ifadeler sistemi matris biçiminde yeniden yazılabilir:
Sonuç olarak, m+1 bilinmeyenlerden oluşan, m+1 boyutunda bir doğrusal denklem sistemi elde edildi. Bu sistem, doğrusal cebirsel denklemleri çözmek için herhangi bir yöntem (örneğin, Gauss yöntemi) kullanılarak çözülebilir. Çözümün bir sonucu olarak, yaklaşıklık fonksiyonunun orijinal verilerden sapmalarının karelerinin minimum toplamını sağlayan, yaklaşıklık fonksiyonunun bilinmeyen parametreleri bulunacaktır; mümkün olan en iyi ikinci dereceden yaklaşım. Kaynak verinin tek bir değeri bile değişse tüm katsayıların değerlerinin tamamen kaynak veri tarafından belirlendiğinden dolayı değişeceği unutulmamalıdır.
Başlangıç verilerine doğrusal bağımlılıkla yaklaşım
(doğrusal regresyon)
Örnek olarak, doğrusal bağımlılık biçiminde belirtilen yaklaşım fonksiyonunu belirleme tekniğini ele alalım. En küçük kareler yöntemine göre sapmaların kareleri toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yazılır:
Tablo düğümlerinin koordinatları;
Doğrusal bağımlılık olarak belirtilen, yaklaşık fonksiyonun bilinmeyen katsayıları.
Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:
Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim.
Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini çözüyoruz. Yaklaşım fonksiyonunun analitik formdaki katsayıları aşağıdaki şekilde belirlenir (Cramer yöntemi):
Bu katsayılar, yaklaşık fonksiyonun karelerinin toplamını verilen tablo değerlerinden (deneysel veriler) en aza indirme kriterine uygun olarak doğrusal bir yaklaşım fonksiyonunun oluşturulmasını sağlar.
En küçük kareler yöntemini uygulamaya yönelik algoritma
1. Başlangıç verileri:
Ölçüm sayısı N ile belirtilen bir deneysel veri dizisi
Yaklaşan polinomun (m) derecesi belirtilir
2. Hesaplama algoritması:
2.1. Katsayılar, boyutları olan bir denklem sistemi oluşturmak için belirlenir.
Denklem sisteminin katsayıları (denklemin sol tarafı)
- denklem sisteminin kare matrisinin sütun numarasının indeksi
Doğrusal denklem sisteminin serbest terimleri (denklemin sağ tarafı)
- denklem sisteminin kare matrisinin satır numarasının indeksi
2.2. Boyutlu doğrusal denklem sisteminin oluşturulması.
2.3. M dereceli yaklaşık bir polinomun bilinmeyen katsayılarını belirlemek için bir doğrusal denklem sisteminin çözülmesi.
2.4 Tüm düğüm noktalarında yaklaşık polinomun orijinal değerlerden karesel sapmalarının toplamının belirlenmesi.
Sapmaların karelerinin toplamının bulunan değeri mümkün olan minimum değerdir.
Diğer fonksiyonları kullanarak yaklaşım
Orijinal verilere en küçük kareler yöntemine göre yaklaşılırken bazen yaklaşıklaştırma işlevi olarak logaritmik fonksiyonun, üstel fonksiyonun ve güç fonksiyonunun kullanıldığı unutulmamalıdır.
Logaritmik yaklaşım
Yaklaşım fonksiyonunun formun logaritmik fonksiyonu tarafından verildiği durumu ele alalım:
Öncekiler gibi, benzer metinlere sahip bu ders en iyi şekilde bir Excel sayfasında görüntülenir (bkz. Yaklaşık dersler.xls, Sayfa1)
Excel'de yaklaşım, bir trend programı kullanılarak en kolay şekilde gerçekleştirilir. Yaklaşımın özelliklerini açıklığa kavuşturmak için belirli bir örnek alalım. Örneğin, S.L. Rivkin ve A.A. Aleksandrov'un “Suyun ve su buharının termofiziksel özellikleri”, M., “Enerji”, 1980 kitabına göre doymuş buharın entalpisi. P sütununda basınç değerlerini kgf/cm2 cinsinden, i" sütununda - doyma çizgisi üzerindeki buharın entalpisini kcal/kg cinsinden yerleştireceğiz ve seçeneği veya "Grafik Sihirbazı" düğmesini kullanarak bir grafik oluşturacağız.
Şekildeki çizgiye sağ tıklayıp ardından "Trend çizgisi ekle" seçeneğine sol tıklayıp Excel'de yaklaşımın uygulanması açısından bu seçeneğin bize hangi hizmetleri sunduğunu görelim.
Bize beş tür yaklaşım seçeneği sunulur: doğrusal, kuvvet, logaritmik, üstel ve polinom. Ne işe yararlar ve bize nasıl yardımcı olabilirler? - F1 tuşuna basın, ardından “Cevap Sihirbazı” seçeneğine tıklayın ve açılan pencereye ihtiyacımız olan “yaklaşım” kelimesini girin ve ardından “Bul” butonuna tıklayın. Görünen listede “Eğilim çizgileri oluşturmak için formüller” bölümünü seçin.
Tarafımızca biraz değiştirilen aşağıdaki bilgileri alıyoruz
editörler:
Doğrusal:
burada b eğim açısıdır ve a apsis ekseninin (serbest terim) kesişme koordinatıdır.
Güç:
Aşağıdaki denkleme göre en küçük kareler yöntemini kullanarak verileri sığdırmak için kullanılır:
burada c ve b sabitlerdir.
Logaritmik:
Aşağıdaki denkleme göre en küçük kareler yöntemini kullanarak verileri sığdırmak için kullanılır:
burada a ve b sabitlerdir.
Üstel:
Aşağıdaki denkleme göre en küçük kareler yöntemini kullanarak verileri sığdırmak için kullanılır:
burada b ve k sabitlerdir.
Polinom:
Aşağıdaki denkleme göre en küçük kareler yöntemini kullanarak verileri sığdırmak için kullanılır:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
burada a, b1, b2, b3,... b6 sabitlerdir.
Çizim çizgisine tekrar tıklayın, ardından “Eğilim çizgisi ekle” seçeneğine, ardından “Parametreler” seçeneğine tıklayın ve girişlerin solundaki kutuları işaretleyin: “denklemi diyagramda göster” ve “yaklaşım güven değerini yerleştir” Diyagramda R^2'ye tıklayın ve ardından Tamam düğmesine tıklayın. Tüm yaklaşım seçeneklerini sırasıyla deneriz.
Doğrusal yaklaşım bize R^2=0,9291 değerini verir - bu düşük güvenilirlik ve kötü bir sonuçtur.
Güç yasası yaklaşımına geçmek için trend çizgisine sağ tıklayın, ardından “Trend çizgisi formatı” seçeneğine sol tıklayın, ardından “Tür” ve “Güç” seçeneklerine tıklayın. Bu sefer R^2=0,999 elde ettik.
Trend çizgisi denklemini hesaplamalara uygun bir formda Excel sayfasında yazalım:
y=634,16*x^0,012
Sonuç olarak elimizde:
Maksimum yaklaşım hatası 0,23 kcal/kg olarak bulunmuştur. Deneysel verilere yaklaşmak için bu harika bir sonuç olabilir, ancak bir arama tablosuna yaklaşmak için bu çok iyi bir sonuç değildir. Bu nedenle, bir trend oluşturma programı kullanarak Excel'deki diğer yaklaşım seçeneklerini kontrol etmeye çalışalım.
Logaritmik yaklaşım bize R^2=0,9907 değerini verir; bu da güç versiyonundan biraz daha kötüdür. Trend oluşturma programının sunduğu versiyondaki üstel hiç uymuyordu - R^2=0,927.
Derece 2 ile polinom yaklaşımı (bu y=a+b1*x+b2*x^2'dir) R^2=0,9896'yı sağlar. 3. derecede, R^2=0.999 elde ettik, ancak özellikle P>0.07 kgf/cm2'de yaklaşık eğride belirgin bir bozulma vardı. Son olarak, beşinci kuvvet bize R^2=1'i verir; bunun, orijinal veriler ile bunların yaklaşımı arasındaki mümkün olan en yakın bağlantı olduğu söylenir.
Polinom denklemini bir Excel sayfasındaki hesaplamalara uygun bir biçimde yeniden yazalım:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020,8*x+592,44
ve yaklaşım sonucunu orijinal tabloyla karşılaştırın:
Bu durumda R^2=1'in harika bir yalan olduğu ortaya çıktı. Aslında polinom yaklaşımının en iyi sonucu, y=a+b1*x+b2*x^2 formundaki en basit polinomla verildi. Ancak sonucu, maksimum yaklaşım hatasının 0,23 kcal/kg düzeyinde olduğu y=634.16*x^0.012 güç yasası yaklaşım versiyonundan daha kötüdür. Trend programından çıkarabileceğimiz tek şey bu. Doğrusal fonksiyondan neler çıkarabileceğimizi görelim. Bunun için güç yasası yaklaşımı seçeneğini deneyeceğiz.
Not. Tespit edilen kusur, trend programının işleyişiyle ilgilidir ancak en küçük kareler yöntemiyle ilgili değildir.
6.7.3. Matematik paketleri kullanarak fonksiyon yaklaşımı problemlerini çözmeye yönelik teknoloji
6.7.3.1. MathCad kullanarak yaklaşım problemlerini çözme teknolojisi
6.7.3.2. MatLab ortamında fonksiyon yaklaşım problemlerini çözmeye yönelik teknoloji
6.7.4. “Fonksiyonlara yaklaşım” konulu test görevleri
Yaklaşım probleminin ifadesi
Bir fonksiyona yaklaşma görevi, bazı y=f(x) fonksiyonlarını başka bir g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) fonksiyonuyla değiştirmektir, böylece sapma
f(x)'ten g(x, a0, a1, ..., an) belirli bir bölgede (X kümesinde) belirli bir koşulu sağladı. X kümesi ayrıksa (bireysel noktalardan oluşur), bu durumda yaklaşıma noktasal yaklaşım denir, ancak X bir parça ise bu yaklaşıma integral adı verilir.
Eğer f(x) fonksiyonu bir tabloda veriliyorsa, yaklaşıklık fonksiyonu
g(x, a 0 , a 1 , ..., a n), değerlerinin tablo verilerine uygunluğu için belirli bir kriteri karşılamalıdır.
Ampirik formüllerin seçimi iki aşamadan oluşur - formül türünün seçilmesi ve içerdiği katsayıların belirlenmesi.
Yaklaşık bağımlılığın türü bilinmiyorsa, o zaman bilinen fonksiyon türlerinden biri genellikle ampirik bir formül olarak seçilir: yaklaşılan fonksiyonun özelliklerine bağlı olarak cebirsel bir polinom, üstel, logaritmik veya başka bir fonksiyon. Ampirik olarak elde edilen yaklaşıklık fonksiyonu, kural olarak sonraki çalışmalarda dönüşümlere tabi olduğundan, doğruluk gerekliliklerini karşılayan en basit formülü seçmeye çalışırlar. Çoğu zaman, düşük dereceli bir cebirsel polinomla tanımlanan bir bağımlılık ampirik bir formül olarak seçilir.
Polinom formunda bir fonksiyonu seçmenin en yaygın yolu şudur:
burada φ(x,a 0 ,a 1 ,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x) ve
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – temel fonksiyonlar (yaklaşan polinomun m derecesi).
Olası temellerden biri kuvvet yasasıdır: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
Genellikle yaklaşan polinomun derecesi m<
e ben = φ(x ben, a 0, a 1, ..., a m) – y ben, i = 0,1,2,...,n.
Seçilen ampirik fonksiyonun katsayılarını belirleme yöntemleri, sapmaları en aza indirme kriterinde farklılık gösterir.
En küçük kareler yöntemi
Ampirik bir formülün parametrelerini belirlemenin yollarından biri en küçük kareler yöntemidir. Bu yöntemde, a 0 , a 1 , ..., a n parametreleri, yaklaşıklık fonksiyonunun tablo halindeki verilerden minimum karesel sapmalarının toplamı koşulundan belirlenir.
a T katsayılarının vektörü minimizasyon koşulundan belirlenir
burada (n+1) düğüm noktalarının sayısıdır.
E fonksiyonu için minimum koşul, a 0 , a 1 , ..., a m parametreleri için bir doğrusal denklem sistemine yol açar. Bu sisteme normal denklemler sistemi denir, matrisi Gram matris. Elemanlar Gram matrisleri temel fonksiyonların skaler çarpımlarının toplamıdır
Gerekli parametre değerlerini elde etmek için bir (m+1) denklem sistemi oluşturulmalı ve çözülmelidir.
Yaklaşık fonksiyon olarak doğrusal bağımlılık y= a 0 +a 1 x seçilsin. Daha sonra
Asgari koşullar:
O halde ilk denklem şu şekle sahiptir:
Parantezleri açıp sabit bir katsayıya bölerek şunu elde ederiz:
.
İlk denklem aşağıdaki son formu alır:
.
İkinci denklemi elde etmek için a1'e göre kısmi türevi sıfıra eşitleriz:
.
.
Bir polinomun katsayılarını bulmak için doğrusal denklem sistemi 
(doğrusal yaklaşım):
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım 
- başlangıç verilerinin ortalama değerleri. Tanıtılan gösterimde sistemin çözümleri şöyledir:
.
İkinci derece y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2'nin yaklaşık polinomunun katsayılarını belirlemek için en küçük kareler yönteminin kullanılması durumunda, minimizasyon kriteri şu şekildedir:
.
durumdan 
aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:
Bu denklem sistemini 0, a 1, a 2 için çözmek ampirik formülün katsayılarını bulmamızı sağlar 
- 2. dereceden polinomun yaklaşımı. Bir doğrusal denklem sistemini çözmek için sayısal yöntemler kullanılabilir.
Güç bazında (yaklaşan polinomun derecesi m'ye eşittir), normal denklemler sisteminin Gram matrisi G ve normal denklemler sisteminin sağ taraflarındaki sütun şu şekildedir:
G = 
Matris formunda normal denklem sistemi şu şekli alacaktır:
Normal denklem sistemini çözme
ifadesinden bulunur
y 0, y 1, ..., y n fonksiyonunun verilen değerlerinin m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 dereceli bir polinomdan sapmasının bir ölçüsü olarak (x)+...+a m φ m(x),
kabul edilen değer
(n+1)– düğüm sayısı, m – yaklaşan polinomun derecesi, n+1>=m.
Şekil 6.7.2-1 en küçük kareler yöntemi algoritmasının büyütülmüş diyagramını göstermektedir.
Pirinç. 6.7.2-1. En küçük kareler yöntemi algoritmasının büyütülmüş diyagramı
En küçük kareler yöntemi algoritmasının bu diyagramı büyütülmüş ve yöntemin ana süreçlerini yansıtmaktadır; burada n+1, х i, y i değerlerinin bilindiği noktaların sayısıdır; i=0,1,…, n .
Katsayıların hesaplanması bloğu, c 0, c 1, ..., cm bilinmeyenleri ve m+1 doğrusal denklem sisteminin serbest terimleri için katsayıların hesaplanmasını içerir.
Bir sonraki blok - bir denklem sistemini çözme bloğu - yaklaşık fonksiyonun katsayılarının 0, 1, ..., m ile hesaplanmasını içerir.
Örnek 6.7.2-1. Aşağıdaki verileri en küçük kareler yöntemini kullanarak ikinci derece bir polinomla eşleştirin.
| X | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| sen | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
Aşağıdaki tabloya Gram matrisinin elemanlarını ve serbest terimler sütununu yazalım:
| Ben | X | x 2 | x 3 | x 4 | sen | xy | x 2 yıl |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
Normal denklem sistemi şuna benzer
Bu sistemin çözümü:
a0 = 5,022; a1 = -4,014; a2=1,002.
Gerekli yaklaşım fonksiyonu
Y'nin başlangıç değerlerini, aynı noktalarda hesaplanan yaklaşık polinomun değerleriyle karşılaştıralım:
Standart sapmayı (kalan) hesaplayalım
.
Örnek 6.7.3-1. Tabloda belirtilen bir fonksiyon için en küçük kareler yöntemini kullanarak birinci ve ikinci derecenin yaklaşık polinomlarını elde edin.
 |
Örnek 6.7.3-2. Tabloda belirtilen bir fonksiyonu 1., 2. ve 3. dereceden bir polinomla yaklaşık olarak bulun.
Bu örnekte linfit(x,y,f) fonksiyonunun kullanımı ele alınmaktadır; burada x,y sırasıyla bağımsız değişken değerlerinin ve fonksiyonların vektörleridir ve f, temel fonksiyonların sembolik bir vektörüdür. Bu fonksiyonun kullanılması, en küçük kareler yöntemini ve ardından tutarsızlığı (başlangıç noktalarının yaklaşım fonksiyonuna (сko) yaklaştırılmasındaki ortalama karekök hatası) kullanarak yaklaşım katsayılarının vektörünü belirlemenize olanak tanır. Yaklaşan polinomun derecesi, f sembolik vektörünü tanımlarken belirtilir. Örnek, tabloyla belirtilen bir fonksiyonun 1., 2. ve 3. dereceden bir polinomla yaklaşımını gösterir. Vektör s, yaklaşıklık fonksiyonunun açık biçimde elde edilmesini mümkün kılan bir yaklaşım katsayıları kümesidir.
 |
İÇİNDE Matematik Regresyon fonksiyonunun analitik ifadesini elde etmek için tasarlanmış çok sayıda yerleşik fonksiyon da vardır. Ancak bu durumda analitik ifadenin biçimini bilmek gerekir. Aşağıda, fonksiyonun analitik bağımlılığını belirlemeye (verilen başlangıç yaklaşımlarıyla) izin veren, yani bir dizi yaklaşık katsayı döndüren, regresyon türü bakımından farklılık gösteren yerleşik işlevler bulunmaktadır:
expfit(X,Y,g) y”=F(x, y, z) formundaki 2. dereceden bir ODE'nin çözümü, burada z=y' 4. dereceden Runge-Kutta yöntemiyle de elde edilebilir. ODE'yi çözmek için formüller aşağıdadır:
Bu işlevlerde: x, elemanları artan sırada düzenlenmiş bir argüman vektörüdür; y – fonksiyon değerlerinin vektörü; g - a, b ve c katsayılarının başlangıç yaklaşımlarının vektörü; t - fonksiyonun tanımlandığı argümanın değeri.
Aşağıdaki örneklerde, veri setleri ile yaklaşım fonksiyonunun değerleri arasındaki ilişkiyi değerlendirmek için korelasyon katsayısı corr() hesaplanır. Tablo verileri bir tür regresyonla iyi bir şekilde tahmin edilirse, korelasyon katsayısı bire yakındır. Katsayı ne kadar küçük olursa, bu fonksiyonların değerleri arasındaki ilişki o kadar kötü olur.
Örnek 6.7.3-3. Birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü derecenin yaklaşık polinomlarını bulun ve korelasyon katsayılarını hesaplayın.
   |
Bir veri aralığı içindeki fonksiyon değerlerinin hesaplanmasına ek olarak, daha önce tartışılan tüm fonksiyonlar gerçekleştirilebilir ekstrapolasyon(belirli noktaların aralığı dışındaki bir fonksiyonun davranışının tahmini), veri aralığının sınırındaki birkaç başlangıç noktasının konumunun analizine dayanan bir bağımlılık kullanarak. İÇİNDE Matematik ayrıca özel bir şey var işlev tahminler tahmin(Y, m, n), burada Y, mutlaka eşit argüman aralıklarında alınan belirli fonksiyon değerlerinin bir vektörüdür ve m, tahmin fonksiyonunun n Y değerini döndürdüğü temel alınarak ardışık Y değerlerinin sayısıdır.
Tanım gereği fonksiyon aynı adımda birbirini takip eden veriler üzerinde çalıştığından veriler için herhangi bir argüman değerine gerek yoktur. İşlev, tahmin edilen işlev düzgün olduğunda doğru olan doğrusal bir tahmin algoritması kullanır. Bu işlev, verileri kısa mesafelerde tahmin etmeniz gerektiğinde yararlı olabilir. Orijinal verilerden uzak olan sonuç çoğunlukla tatmin edici değildir.
Örnek 6.7.3-4. Tabloda verilen fonksiyonun yaklaşık değerini en küçük kareler yöntemini kullanarak bir polinomla hesaplayın.
Bu örnek, p=polifit(x,y,n) fonksiyonunun kullanımını ele almaktadır; burada x,y sırasıyla bağımsız değişken ve fonksiyon değerlerinin vektörleridir, n, yaklaşık polinomun sırasıdır ve p, sonuç vektörüdür. n+1 uzunluğundaki yaklaşık polinomun katsayıları.
>>x=;  >> x x = 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,0000 >> y=[-1,15,-0,506,0,236,0,88,1,256];  |
>> y y = -1,1500 -0,5060 0,2360 0,8800 1,2560 >> % >> % >> p1=polifit(x,y,1);
 |
>> p1 p1 = 3,0990 -4,8152 >> y1=çokdeğer(p1,x);
>> y1 y1 = -1,0964 -0,4766 0,1432 0,7630 1,3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2));
>> cko1 cko1 = 0,0918 >> arsa(x,y,"ko",x,y1,"r-")
>> p2=polifit(x,y,2);
1) >> p2 p2 = -1,1321 6,7219 -7,6229 >> y2=çokdeğerli(p2,x);
2) >> y2 y2 = -1,1870 -0,4313 0,2338 0,8083 1,2922 >> cko2=sqrt(1/5*toplam((y-y2).^2));
3) >> cko2 cko2 = 0,0518 >> arsa(x,y,"ko",x,y2,"r-")
4) Örnek 6.7.3-5. Tabloda verilen fonksiyonun yaklaşık değerini en küçük kareler yöntemini kullanarak bir polinomla hesaplayın.
Örnek 6.7.3-5. Bir tabloda verilen bir fonksiyonu, en küçük kareleri kullanarak çeşitli derecelerdeki polinomlarla yaklaşık olarak bulun.
6.7.4. Konuyla ilgili görevleri test edin
"Fonksiyon Yaklaşımı"
Yaklaşıklık< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
Orijinal olanı yeterli derecede doğrulukla tanımlayan daha basit bir formda bir fonksiyonun elde edilmesi özel enterpolasyon durumu orijinal işlevi farklı türde bir işlevle değiştirmek listede doğru cevap yok
Konu 6.7. Fonksiyon yaklaşımı
6.7.1. Yaklaşım probleminin ifadesi
aj katsayıları, polinomun verilen fonksiyondan en küçük sapmasını sağlayacak şekilde seçilir.
Böylece, yaklaşım, bir fonksiyonun birinciye yakın ve oldukça basit bir şekilde hesaplanan diğeriyle değiştirilmesidir.
Bir miktarın diğerine bağımlılığının matematiksel modeli fonksiyon kavramıdır. y=f(x). Yaklaşım yaklaşık olarak bazı fonksiyonel bağımlılığı tanımlayan belirli bir fonksiyonun elde edilmesi olarak adlandırılır. f(x), bir değerler tablosuyla belirtilir veya hesaplamalar için uygun olmayan bir biçimde belirtilir. Bu durumda, bu fonksiyon sonraki hesaplamalar için mümkün olduğu kadar uygun olacak şekilde seçilir. Temel yaklaşım Bu problemin çözümü fi fonksiyonunun (X) birkaç serbest parametreye bağlı olarak seçilir c1, c2,…, cn, değerleri bazı yakınlık koşullarından seçilen f(x) ve fi (X). Başarılı bir fonksiyonel bağımlılık türü bulma ve parametrelerin seçimine yönelik yöntemlerin gerekçelendirilmesi görevdir fonksiyon yaklaşım teorisi. Parametre seçme yöntemine bağlı olarak farklı yaklaşım yöntemleri Bunların arasında en yaygın olanları enterpolasyon Ve kök ortalama kare yaklaşımı. En basit olanı doğrusal yaklaşım, parametrelere doğrusal olarak bağlı bir fonksiyonun seçildiği, yani genelleştirilmiş bir polinom biçiminde: . Enterpolasyon polinomu derecenin cebirsel polinomu denir n-1, yaklaşık fonksiyonla çakışıyor N seçilmiş noktalar Yaklaşım hatası işlevler f(x) derecenin enterpolasyon polinomu n-1, göre inşa edilmiş N puan, mertebeden türevi ise tahmin edilebilir N.Öz kök ortalama kare yaklaşımı fonksiyon parametrelerinin, fonksiyonlar arasındaki mesafenin minimum karesini sağlayacak şekilde seçilmesi gerçeğinde yatmaktadır. f(x) vefi(X, C). En küçük kareler yöntemi ortalama kare yaklaşımının özel bir durumudur. En küçük kareler yöntemi kullanıldığında değer aralığındaki enterpolasyon problemine benzer. X, bir aralığı temsil ediyor [ a, b], işlevler nerede f(x) ve fi (X) yakın olmalı, farklı noktalardan (düğümlerden) oluşan bir sistem seçin x1, ..., x sayısı gerekli parametrelerin sayısından daha büyük olan m. Daha sonra, tüm düğümlerdeki artıkların karelerinin toplamının minimum olmasını gerektirirler.
Genel enterpolasyon
Kullanışlı doğaları nedeniyle Newton ve Lagrange polinomlarının hesaplama verimliliği açısından genel bir polinomdan daha düşük olduğu unutulmamalıdır. Bu nedenle, bir tablodan oluşturulan bir polinomun birden fazla hesaplamasını yapmak gerektiğinde, öncelikle c katsayılarını bir kez bulmanın avantajlı olduğu ortaya çıkmaktadır. Katsayılar doğrudan c sisteminin çözülmesiyle bulunur, ardından değerleri Horner algoritması kullanılarak hesaplanır. Bu tür bir yaklaşımın dezavantajı, doğrusal cebirsel denklemler sistemini çözme ihtiyacıdır.
Lagrange enterpolasyon polinomu
Lagrange, genel enterpolasyon cebirsel polinomunu, bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözülmesini gerektirmeyen bir biçimde yazmak için kendi biçimini önerdi. Kullanışlı doğaları nedeniyle Newton ve Lagrange polinomlarının hesaplama verimliliği açısından genel bir polinomdan daha düşük olduğu unutulmamalıdır.
Newton'un enterpolasyon polinomu
Newton, bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözülmesini gerektirmeyen bir biçimde genel bir enterpolasyon cebirsel polinomu yazmanın bir biçimini önerdi. Kullanışlı doğaları nedeniyle Newton ve Lagrange polinomlarının hesaplama verimliliği açısından genel bir polinomdan daha düşük olduğu unutulmamalıdır.