Her öğrencinin bilmesi gereken temel integraller
Listelenen integraller temeldir, temellerin temelidir. Bu formüllerin mutlaka hatırlanması gerekir. Daha karmaşık integralleri hesaplarken bunları sürekli kullanmanız gerekecektir.
(5), (7), (9), (12), (13), (17) ve (19) formüllerine özellikle dikkat edin. İntegral alırken cevabınıza isteğe bağlı bir sabit C eklemeyi unutmayın!
Bir sabitin integrali
∫ Bir d x = Bir x + C (1)Güç İşlevini Entegre Etme
Aslında kendimizi yalnızca (5) ve (7) formülleriyle sınırlamak mümkündü, ancak bu gruptaki diğer integraller o kadar sık meydana geliyor ki onlara biraz dikkat etmeye değer.
∫ x d x = x 2 2 + C(2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Üstel fonksiyonların ve hiperbolik fonksiyonların integralleri
Elbette formül (8) (belki de ezberlemeye en uygun olanı), formül (9)'un özel bir durumu olarak düşünülebilir. Hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüsün integralleri için formüller (10) ve (11), formül (8)'den kolayca türetilir, ancak bu ilişkileri basitçe hatırlamak daha iyidir.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonometrik fonksiyonların temel integralleri
Öğrencilerin sıklıkla yaptıkları bir hata, formül (12) ve (13)'teki işaretleri karıştırmalarıdır. Sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu hatırlayan birçok kişi, bazı nedenlerden dolayı sinx fonksiyonunun integralinin cosx'e eşit olduğuna inanır. Bu doğru değil! Sinüs'ün integrali "eksi kosinüs"e eşittir, ancak cosx'in integrali "sadece sinüs"e eşittir:
∫ günah x d x = − çünkü x + C (12)
∫ çünkü x d x = günah x + C (13)
∫ 1 çünkü 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 günah 2 x d x = − c t g x + C (15)
Ters trigonometrik fonksiyonlara indirgenen integraller
Arktanjanta yol açan formül (16), doğal olarak a=1 için formül (17)'nin özel bir durumudur. Benzer şekilde (18), (19)'un özel bir durumudur.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Daha karmaşık integraller
Bu formülleri hatırlamanız da tavsiye edilir. Ayrıca oldukça sık kullanılırlar ve çıktıları oldukça sıkıcıdır.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |
x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Genel entegrasyon kuralları
1) İki fonksiyonun toplamının integrali, karşılık gelen integrallerin toplamına eşittir: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) İki fonksiyonun farkının integrali, karşılık gelen integrallerin farkına eşittir: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Sabit, integral işaretinden çıkarılabilir: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
(26) özelliğinin basitçe (25) ve (27) özelliklerinin bir birleşimi olduğunu görmek kolaydır.
4) Karmaşık bir fonksiyonun integrali, eğer iç fonksiyon doğrusal ise: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevidir. Lütfen unutmayın: Bu formül yalnızca iç fonksiyon Ax + B olduğunda çalışır.
Önemli: İki fonksiyonun çarpımının integrali ve bir kesirin integrali için evrensel bir formül yoktur:∫ f (x) g (x) d x = ?
∫ f (x) g (x) d x = ?
(30)
Şimdi temel integral tablosunu kullanalım. (3), (12), (8) ve (1) formüllerini uygulamamız gerekecek. Güç fonksiyonunu sinüs, üstel ve sabit 1'in integralini alalım. Sonuna isteğe bağlı bir C sabiti eklemeyi unutmayın:
3 x 3 3 − 2 çünkü x − 7 e x + 12 x + C
Temel dönüşümlerden sonra nihai cevabı alıyoruz:
X 3 − 2 çünkü x − 7 e x + 12 x + C
Türev alarak kendinizi test edin: Ortaya çıkan fonksiyonun türevini alın ve bunun orijinal integrale eşit olduğundan emin olun.
İntegrallerin özet tablosu
| ∫ Bir d x = Bir x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ günah x d x = − çünkü x + C |
| ∫ çünkü x d x = günah x + C |
| ∫ 1 çünkü 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 günah 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | |
| x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | |
| x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |
x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)
İntegral tablosunu (bölüm II) bu bağlantıdan indirin
Üniversitede okuyorsanız, yüksek matematik (matematiksel analiz, doğrusal cebir, olasılık teorisi, istatistik) konusunda zorluk yaşıyorsanız, nitelikli bir öğretmenin hizmetine ihtiyacınız varsa, yüksek matematik öğretmeninin sayfasına gidin. Sorunlarınızı birlikte çözeceğiz!
Ayrıca ilginizi çekebilir Tekrar merhaba arkadaşlar! Söz verdiğim gibi, bu dersle integrallerin şiirsel dünyasının sonsuz genişliklerini keşfetmeye ve çok çeşitli (bazen çok güzel) örnekleri çözmeye başlayacağız. :)
2) Belirsiz integralin doğrusallık özellikleri (toplam/farkın integrali ve bir sabitin çarpımı).
3) Türev tablosu ve türev alma kuralları.
Evet evet şaşırmayın! Türevleri sayma yeteneği olmadan entegrasyondan kesinlikle kazanılacak hiçbir şey yoktur. Katılıyorum, örneğin çarpmayı bilmeden bölmeyi öğrenmenin hiçbir anlamı yok. :) Ve çok yakında, gelişmiş türev alma becerileri olmadan, temel tabloların ötesine geçen tek bir integrali hesaplayamayacağınızı göreceksiniz.
4) Entegrasyon yöntemleri.
Bunlardan çok çok var. Belirli bir işlev sınıfı için - kendinize ait. Ancak tüm zengin çeşitlilikleri arasında üç temel öne çıkıyor:
– ,
– ,
– .
Her biri ayrı derslerde ele alınacaktır.
Ve şimdi nihayet uzun zamandır beklenen örnekleri çözmeye başlayalım. Bölümden bölüme atlamamak için beyefendi setinin tamamını bir kez daha kopyalayacağım, bu da sonraki çalışmalarımız için faydalı olacaktır. Tüm araçların elinizin altında olmasına izin verin.)
Her şeyden önce bu integral tablosu:
Ek olarak belirsiz integralin temel özelliklerine (doğrusallık özellikleri) ihtiyacımız olacak:
Peki, gerekli ekipman hazırlandı. Gitme zamanı! :)
Tablonun doğrudan uygulanması
Bu paragrafta en basit ve en zararsız örnekler ele alınacaktır. Buradaki algoritma son derece basittir:
1) Tabloya bakın ve gerekli formül(ler)i arayın;
2) Doğrusallık özelliklerini uygulayın (gerektiğinde);
3) Dönüşümü tablo formüllerini kullanarak gerçekleştiriyoruz ve sonuna bir sabit ekliyoruz İLE (unutmayın!) ;
4) Cevabı yazın.
O halde hadi gidelim.)
Örnek 1
Tablomuzda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak genel formda (ikinci grup) bir kuvvet fonksiyonunun integrali vardır. Bizim durumumuzda n=5. Böylece n'nin yerine beşi koyarız ve sonucu dikkatlice hesaplarız:
Hazır. :)
Elbette bu örnek tamamen ilkel. Tamamen tanışma amaçlı.) Ancak kuvvetleri entegre etme yeteneği, herhangi bir polinomun ve diğer güç yapılarının integrallerini hesaplamayı kolaylaştırır.
Örnek 2
İntegralin altında toplam bulunur. Oh iyi. Bu durum için doğrusallık özelliklerimiz var. :) İntegralimizi üç ayrı parçaya bölüyoruz, integrallerin işaretlerinden tüm sabitleri alıyoruz ve her birini tabloya göre sayıyoruz (grup 1-2):
Lütfen dikkat: sabit İLE tam olarak şu anda ortaya çıkıyor TÜM integral işaretleri kayboluyor! Tabii bundan sonra sürekli yanınızda taşımak zorunda kalıyorsunuz. Ne yapalım...
Elbette bu kadar detaylı anlatmaya genellikle gerek yok. Bu tamamen anlamak için yapılır. Konuyu anlamak için.)
Örneğin, çok yakında, fazla düşünmeden, canavarlara zihinsel olarak şöyle bir cevap vereceksiniz:
Polinomlar, integrallerdeki en özgür fonksiyonlardır.) Ve dağınıklıklarda, fizikte, malzemelerin gücünde ve diğer ciddi disiplinlerde, polinomları sürekli olarak entegre etmeniz gerekecektir. Buna alışın.)
Bir sonraki örnek biraz daha havalı olacak.
Örnek 3
Umarım herkes integrandımızın şu şekilde yazılabileceğini anlar:
İntegral fonksiyonu ayrıdır ve dx faktörü (diferansiyel simgesi)- ayrı ayrı.
Yorum: bu derste çarpan dx entegrasyon sürecinde Güle güle hiçbir şekilde katılmıyor ve şimdilik onu zihinsel olarak “unutuyoruz”. :) Sadece çalışıyoruz integral fonksiyonu. Ama onu unutmayalım. Çok yakında, kelimenin tam anlamıyla bir sonraki derste, bunu hatırlayacağız. Ve bu ikonun önemini ve gücünü tüm gücümüzle hissedeceğiz!)
Bu arada bakışlarımız integrand fonksiyonuna çevrildi
Bir güç fonksiyonuna pek benzemiyor ama olan bu. :) Köklerin ve güçlerin okul özelliklerini hatırlarsak, fonksiyonumuzu dönüştürmek oldukça mümkündür:
Ve x üzeri eksi üçte iki zaten tablo şeklinde bir fonksiyon! İkinci grup n=-2/3. Ve 1/2 sabiti bizim için bir engel değil. Bunu integral işaretinin ötesine alırız ve doğrudan formülü kullanarak hesaplarız:
Bu örnekte derecelerin temel özelliklerinden faydalandık. Ve bu, çoğu durumda integralin altında yalnız kökler veya kesirler olduğunda yapılmalıdır. Bu nedenle, güç yapılarını entegre ederken birkaç pratik ipucu:
Kesirleri negatif üslü kuvvetlerle değiştiririz;
Kökleri kesirli üslü kuvvetlerle değiştiriyoruz.
Ancak son yanıtta güçlerden kesirlere ve köklere geçiş bir zevk meselesidir. Şahsen ben geri dönüyorum; estetik açıdan daha hoş falan.
Ve lütfen tüm kesirleri dikkatlice sayın! İşaretleri ve neyin nereye gittiğini, payda ne olduğunu ve paydada ne olduğunu dikkatle izliyoruz.
Ne? Sıkıcı güç işlevlerinden zaten bıktınız mı? TAMAM! Boğayı boynuzlarından yakalayalım!
Örnek 4
Artık integralin altındaki her şeyi ortak bir paydada toplarsak, uzun süre bu örnek üzerinde takılıp kalabiliriz.) Ancak integrale daha yakından baktığımızda farkımızın iki tablo fonksiyonundan oluştuğunu görebiliriz. O halde saptırmayalım, bunun yerine integralimizi ikiye ayıralım:
Birinci integral sıradan bir kuvvet fonksiyonudur (2. grup, n = -1): 1/x = x-1 .
Bir kuvvet fonksiyonunun terstürevi için geleneksel formülümüz
Burada işe yaramıyor ama bizim için n = -1 değerli bir alternatif var - doğal logaritmalı bir formül. Bu:
Daha sonra bu formüle göre ilk kesir şu şekilde entegre edilecektir:
Ve ikinci kesir ayrıca bir tablo işlevi!Öğrendin mi? Evet! Bu yedinci"yüksek" logaritmalı formül:
Bu formüldeki "a" sabiti ikiye eşittir: a=2.
Önemli Not: Lütfen sabite dikkat edinİLE ara entegrasyon I ile hiçbir yerde Ben buna atfedmiyorum! Neden? Çünkü son cevaba gidecek bütün örnek. Bu kadarı yeterli.) Açıkça konuşursak, sabit her bir integralden sonra yazılmalıdır - ister ara ister son olsun: belirsiz integralin gerektirdiği budur...)
Örneğin, ilk entegrasyondan sonra şunu yazmam gerekirdi:
İkinci entegrasyondan sonra:
Ancak işin püf noktası, keyfi sabitlerin toplamı/farkının şu şekilde olmasıdır: ayrıca biraz sabit! Bizim durumumuzda, son cevap için ilk integralden ihtiyacımız var. çıkarma ikinci. O zaman yapabiliriz fark iki ara sabit:
C1-C2
Ve sabitlerdeki bu farkı değiştirme hakkına sahibiz bir sabit! Ve onu bildiğimiz “C” harfiyle yeniden adlandırın. Bunun gibi:
C1-C2 = C
Yani aynı sabiti atfediyoruz İLE nihai sonuca ulaşıyoruz ve cevabı alıyoruz:
Evet, evet, bunlar kesirler! Entegre edildiğinde çok katlı logaritmalar en yaygın şeydir. Biz de alışmaya başladık.)
Hatırlamak:
Birkaç terimin ara integrasyonu sırasında sabit İLE Her birinin ardından yazmanıza gerek yok. Tüm örneğin son cevabına bunu dahil etmek yeterlidir. En sonunda.
Bir sonraki örnek de kesirli örnektir. Isınmak için.)
Örnek 5
Tablonun elbette böyle bir işlevi yok. Ama var benzer işlev:
Bu en sonuncusu sekizinci formül. Arktanjant ile. :)
Bu:
Ve bizzat Tanrı bize integralimizi bu formüle göre ayarlamamızı emretti! Ancak bir sorun var: önceki tablo formülünde x 2 Katsayı yok ama elimizde dokuz var. Formülü henüz doğrudan kullanamıyoruz. Ancak bizim durumumuzda sorun tamamen çözülebilir. Önce bu dokuzu parantez dışına alalım, sonra da kesirimizin tamamen dışına çıkaralım.)
Ve yeni kesir zaten ihtiyacımız olan tablo fonksiyonudur, 8 numara! Burada ve 2 =4/9. Veya a=2/3.
Tüm. İntegral işaretinin 1/9'unu alıp sekizinci formülü kullanıyoruz:
Cevap bu. Bu örnekte, önünde bir katsayı var x 2, bilerek bu şekilde seçtim. Bu gibi durumlarda ne yapılması gerektiğini netleştirmek için. :) Eğer daha önce x 2 katsayı yoksa bu tür kesirler de zihinde bütünleşecektir.
Örneğin:
Burada bir 2 = 5 yani “a”nın kendisi “beşin kökü” olacaktır. Genel olarak anlıyorsunuz.)
Şimdi fonksiyonumuzu biraz değiştirelim: paydayı kökün altına yazacağız.) Şimdi bu integrali alacağız:
Örnek 6
Paydanın artık bir kökü var. Doğal olarak entegrasyon formülü de değişti evet.) Yine tabloya girip uygun olanı arıyoruz. 5. ve 6. grupların formüllerinde köklerimiz var. Ancak altıncı grupta sadece köklerde farklılık vardır. Ve elimizde bir miktar var. Yani üzerinde çalışıyoruz beşinci formül, "uzun" bir logaritmayla:
Sayı A beşimiz var. Formülü yerine koyun ve şunu elde edin:
Ve hepsi bu. Cevap bu. Evet, evet, bu kadar basit!)
Eğer şüpheler ortaya çıkarsa, sonucu her zaman ters farklılaşma yoluyla kontrol edebilirsiniz (ve yapmalısınız). Kontrol edelim mi? Peki ya bu bir çeşit berbatlıksa?
Farklılaştırıyoruz (modülü dikkate almıyoruz ve onu sıradan parantez olarak algılıyoruz):
Her şey adil. :)
Bu arada, kökün altındaki integralde işareti artıdan eksiye değiştirirseniz, integral formülü aynı kalacaktır. Kökün altındaki tabloda bulunması tesadüf değildir. artı/eksi. :)
Örneğin:
Önemli! Eksi durumunda açık Birinci kökün altındaki yer tam olarak olmalıdır x 2 ve üzerinde ikinci – sayı. Kökün altında bunun tersi geçerliyse, karşılık gelen tablo formülü daha dar olacaktır. bir diğer!
Örnek 7
Yine kökün altında eksi, ama x 2 Beşiyle yer değiştirdik. Benzer ama aynı şey değil... Bu durum için tablomuzun da bir formülü var.) Altıncı formül, henüz onunla çalışmadık:
Ama şimdi - dikkatlice. Önceki örnekte sayı olarak beşi kullandık A . Burada beşi sayı görevi görecek bir 2!
Bu nedenle formülü doğru bir şekilde uygulamak için beşin kökünü çıkarmayı unutmayın:
Ve şimdi örnek tek bir eylemle çözüldü. :)
Aynen böyle! Sadece kökün altındaki terimler değiştirildi ve entegrasyonun sonucu önemli ölçüde değişti! Logaritma ve arksinüs... O halde lütfen Bu iki formülü karıştırmayın!İntegral fonksiyonları çok benzer olmasına rağmen...
Bonus:
Tablo formülleri 7-8'de logaritma ve arktanjanttan önce katsayılar vardır 1/(2a) Ve 1/a sırasıyla. Ve endişe verici bir savaş durumunda, bu formülleri yazarken, çalışmalarıyla tecrübeli ineklerin bile kafası karışır, nerede basit? 1/a ve nerede 1/(2a). İşte hatırlamanız gereken basit bir numara.
7 numaralı formülde
İntegralin paydası şunları içerir: kareler farkı x 2 – a 2. Korkunç okul formülüne göre bu şu şekilde parçalanıyor: (x-a)(x+a). Açık ikiçarpan Anahtar kelime - iki. Ve bunlar iki integral alırken parantezler logaritmaya gider: eksi yukarı, artı - aşağı.) Ve logaritmanın önündeki katsayı da 1/( 2 A).
Ancak 8 numaralı formülde
Kesirin paydası şunları içerir: karelerin toplamı. Ancak kareler toplamı x 2 +a 2 daha basit faktörlere ayrıştırılamaz. Bu nedenle, ne derse desin, payda öyle kalacaktır. bir faktör. Arktanjantın önündeki katsayı da 1/a olacaktır.
Şimdi değişiklik olsun diye bazı trigonometriyi entegre edelim.)
Örnek 8
Örnek basit. O kadar basit ki insanlar masaya bile bakmadan hemen sevinçle cevabı yazıyorlar ve... işte geldik. :)
İşaretleri takip edelim! Sinüs/kosinüslerin integrali alınırken en sık yapılan hata budur. Türevlerle karıştırmayın!
Evet, (günah X)" = çünkü X Ve (çünkü X)’ = - günah X.
Ancak!
İnsanlar genellikle en azından türevleri hatırladıkları için, işaretlerde kafa karışıklığı yaratmamak için integralleri hatırlama tekniği çok basittir:
Sinüs/kosinüs integrali = eksi aynı sinüs/kosinüsün türevi.
Örneğin, okuldan sinüsün türevinin kosinüse eşit olduğunu biliyoruz:
(günah X)" = çünkü X.
Sonra için integral aynı sinüsten şu doğru olacaktır:
Hepsi bu.) Kosinüs için de aynı şey geçerli.
Şimdi örneğimizi düzeltelim:
İntegralin ön temel dönüşümleri
Bu noktaya kadar en basit örnekler vardı. Tablonun nasıl çalıştığını anlamak ve formül seçerken hata yapmamak için.)
Elbette bazı basit dönüşümler yaptık; faktörleri çıkarıp terimlere böldük. Ama cevap öyle ya da böyle hala yüzeyde duruyor.) Ancak... Eğer integrallerin hesaplanması sadece tablonun doğrudan uygulanmasıyla sınırlı olsaydı, o zaman etrafta bir sürü bedava şey olurdu ve hayat sıkıcı hale gelirdi.)
Şimdi daha somut örneklere bakalım. Hiçbir şeye doğrudan karar verilmemiş gibi görünen türden. Ancak sadece birkaç ilkokul formülünü veya dönüşümünü hatırlamakta fayda var ve cevaba giden yol basit ve net hale geliyor. :)
Trigonometri formüllerinin uygulanması
Trigonometri ile eğlenmeye devam edelim.
Örnek 9
Tabloda yakın bile olsa böyle bir fonksiyon yoktur. Ama içinde okul trigonometrisi öyle az bilinen bir kimlik var ki:
Şimdi bundan ihtiyacımız olan kare tanjantı ifade ediyoruz ve onu integralin altına yerleştiriyoruz:
Bu neden yapıldı? Ve sonra böyle bir dönüşümden sonra integralimiz iki tablo halinde indirgenecek ve akılda tutulacak!
Görmek:
Şimdi eylemlerimizi analiz edelim. İlk bakışta her şey her zamankinden daha basit görünüyor. Ama şunu düşünelim. Eğer bir görevle karşı karşıya kalsaydık farklılaştırmak aynı fonksiyonu kullansaydık Kesinlikle ne yapacağını tam olarak biliyordum - başvur formül karmaşık bir fonksiyonun türevi:
Hepsi bu. Basit ve sorunsuz teknoloji. Her zaman çalışır ve başarıya ulaşması garanti edilir.
Peki ya integral? Ancak burada trigonometriyi karıştırmamız, bir şekilde ortaya çıkmamıza ve integrali tablo halindeki bir formüle indirmemize yardımcı olacağını umarak bazı belirsiz formülleri kazmamız gerekiyordu. Ve bunun bize faydası olacağı da bir gerçek değil, kesinlikle bir gerçek değil... Bu yüzden entegrasyon, farklılaşmadan daha yaratıcı bir süreç. Sanat bile diyebilirim. :) Ve bu en zor örnek değil. Yoksa daha fazlası olacak!
Örnek 10
Neye ilham veriyor? İntegral tablosu hala güçsüz, evet. Ancak trigonometrik formüller hazinemize tekrar bakarsanız, çok ama çok yararlı bir bilgi bulabilirsiniz. çift açılı kosinüs formülü:
Bu formülü integral fonksiyonumuza uyguluyoruz. “Alfa” rolünde x/2 var.
Şunu elde ederiz:
Etkisi muhteşem, değil mi?
Bu iki örnek açıkça göstermektedir ki bir fonksiyonun önceden dönüştürülmesi entegrasyondan önce Bu tamamen kabul edilebilir ve bazen hayatı son derece kolaylaştırıyor! Ve entegrasyonda bu prosedür (integrandın dönüşümü), farklılaşmadan daha haklı bir büyüklük sırasıdır. Her şeyi daha sonra göreceksiniz.)
Birkaç tipik dönüşüme daha bakalım.
Kısaltılmış çarpma formülleri, parantez açma, benzerlerini getirme ve terim terim bölme yöntemi.
Her zamanki banal okul dönüşümleri. Ama bazen kurtaran yalnızca onlar olur, evet.)
Örnek 11
Eğer türevi hesaplıyor olsaydık sorun olmazdı: çarpımın türevinin formülü ve - devam edelim. Fakat standart formül integral eserden mevcut değildir. Ve buradan çıkmanın tek yolu tüm parantezleri açarak integralin altında bir polinom elde etmektir. Ve bir şekilde polinomun integralini alacağız.) Ancak parantezleri de akıllıca açacağız: kısaltılmış çarpma formülleri güçlü şeylerdir!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Şimdi sayıyoruz:
Ve hepsi bu.)
Örnek 12
Yine standart formül bir kesrin integrali mevcut değil. Ancak integralin paydası şunu içerir: yalnız x. Bu, durumu kökten değiştirir.) Payı paydaya terime bölelim, korkunç kesirimizi tablolaştırılmış güç fonksiyonlarının zararsız bir toplamına indirgeyelim:
Dereceleri entegre etme prosedürü hakkında özel olarak yorum yapmayacağım: artık küçük değiller.)
Güç fonksiyonlarının toplamını integralleyelim. İşarete göre.)
Hepsi bu kadar.) Bu arada, eğer payda X değilse, diyelim ki, x+1, bunun gibi:
Terimi terime ayırma hilesi bu kadar kolay işe yaramazdı. Bunun nedeni payda bir kökün ve paydada bir birimin bulunmasıdır. Kökten kurtulmam gerekecekti. Ancak bu tür integraller çok daha karmaşıktır. Onlar hakkında - diğer derslerde.
Görmek! İşlevi biraz değiştirmek yeterlidir; entegrasyonuna yönelik yaklaşım anında değişir. Bazen dramatik bir şekilde!) Açık bir standart şema yoktur. Her fonksiyonun kendi yaklaşımı vardır. Hatta bazen benzersizdir.)
Bazı durumlarda kesirlere dönüştürme işlemi daha da zordur.
Örnek 13
Ve burada, integrali bir tablo kümesine nasıl indirgeyebilirsiniz? Burada ifadeyi ekleyip çıkararak akıllıca kaçınabilirsiniz x 2 kesrin payı ve ardından terim terim bölümü. İntegrallerde çok akıllıca bir numara! Ana sınıfı izleyin! :)
Ve şimdi, orijinal kesri iki kesrin farkıyla değiştirirsek, integralimiz iki tablo halinde bölünür - bize zaten tanıdık olan güç fonksiyonu ve arktanjant (formül 8):
Peki ne söyleyebiliriz? Vay!
Paydaki terimleri toplama/çıkarma hilesi, rasyonel kesirlerin integralinde çok popülerdir. Çok! Not almanızı öneririm.
Örnek 14
Aynı teknoloji burada da geçerli. Paydadaki ifadeyi paydan çıkarmak için yalnızca bir tane eklemeniz/çıkarmanız gerekir:
Genel olarak konuşursak, rasyonel kesirler (pay ve paydada polinomlar bulunan) ayrı ve çok geniş bir konudur. Mesele şu ki, rasyonel kesirler evrensel bir entegrasyon yönteminin mümkün olduğu çok az sayıda fonksiyon sınıfından biridir. var. Basit kesirlere ayrıştırma yöntemi, . Ancak bu yöntem oldukça emek yoğundur ve genellikle ağır top olarak kullanılır. Ona birden fazla ders ayrılacak. Bu arada basit işlevlerde eğitim alıyoruz ve kendimizi geliştiriyoruz.
Bugünün dersini özetleyelim.
Bugün tablonun tam olarak nasıl kullanılacağını tüm nüanslarla birlikte ayrıntılı olarak inceledik, birçok örneği analiz ettik (en önemsiz olanları değil) ve integralleri tablo halindekilere indirmenin en basit yöntemlerini öğrendik. Ve bunu şimdi bu şekilde yapacağız Her zaman. İntegralin altında ne kadar korkunç bir fonksiyon olursa olsun, çok çeşitli dönüşümlerin yardımıyla er ya da geç integralimizin şu ya da bu şekilde bir dizi tablo haline getirilmesini sağlayacağız.
Bazı pratik ipuçları.
1) İntegral, payı kuvvetlerin toplamı (kökler) ve paydası olan bir kesir ise yalnız x gücü, sonra payın paydaya terim terim bölünmesini kullanırız. Kökleri c'nin kuvvetleriyle değiştirin kesirli göstergeler ve formül 1-2'ye göre çalışır.
2) Trigonometrik yapılarda öncelikle trigonometrinin temel formüllerini deneriz: çift/üçlü açı,
Çok şanslı olabilirsiniz. Ya da belki de değil...
3) Gerektiğinde (özellikle polinomlarda ve kesirlerde) kullanırız.kısaltılmış çarpma formülleri:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Kesirlerin polinomlarla integralini alırken, paydadaki ifadeyi/ifadeleri payda yapay olarak izole etmeye çalışırız. Çoğunlukla kesir basitleştirilir ve integral tablo halindekilerin bir kombinasyonuna indirgenir.
Peki arkadaşlar? Görüyorum ki integralleri sevmeye başlıyorsun. :) O zaman örnekleri kendimiz çözmede daha iyi hale geliriz.) Bugünün materyali onlarla başarılı bir şekilde başa çıkmak için oldukça yeterli.
Ne? Bilmiyor musun? Evet! Henüz bunu yapmadık.) Ancak bunları doğrudan buraya entegre etmeye gerek yok. Ve okul kursu size yardımcı olabilir!)
Cevaplar (karışıklık içinde):
Daha iyi sonuçlar için G.N Mathan'a dayanan bir problem koleksiyonu satın almanızı şiddetle tavsiye ederim. Berman. Harika şeyler!
Bugünlük elimde olan tek şey bu. İyi şanlar!
Karmaşık integraller
Bu makale belirsiz integraller konusunu sonlandırıyor ve oldukça karmaşık bulduğum integralleri içeriyor. Ders, sitede daha zor örneklerin incelenmesini istediklerini ifade eden ziyaretçilerin tekrarlanan talepleri üzerine oluşturuldu.
Bu metnin okuyucusunun iyi hazırlanmış olduğu ve temel entegrasyon tekniklerini nasıl uygulayacağını bildiği varsayılmaktadır. İntegrallere pek güvenmeyenler ve aptallar ilk derse bakmalıdırlar - Belirsiz integral. Çözüm örnekleri, konuya neredeyse sıfırdan hakim olabileceğiniz yer. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimde henüz karşılaşılmayan entegrasyon teknik ve yöntemlerine aşina olabilirler.
Hangi integraller dikkate alınacak?
Öncelikle çözümü için art arda kullandığımız köklü integralleri ele alacağız. değişken değiştirme Ve parçalara göre entegrasyon. Yani bir örnekte iki teknik aynı anda birleştirilmiştir. Ve daha da fazlası.
O zaman ilginç ve orijinal ile tanışacağız İntegrali kendine indirgeme yöntemi. Pek çok integral bu şekilde çözülür.
Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerde kasanın önünden geçen karmaşık kesirlerin integralleri olacak.
Dördüncü olarak trigonometrik fonksiyonlardan ek integraller analiz edilecektir. Özellikle zaman alıcı evrensel trigonometrik ikameyi önleyen yöntemler vardır.
(2) İntegral fonksiyonunda payı paydaya terime böleriz.
(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz. Hemen son integralde fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyun.
(4) Kalan integralleri alıyoruz. Logaritmada modül yerine parantez kullanabileceğinizi unutmayın, çünkü .
(5) Doğrudan değiştirmeden “te”yi ifade ederek ters değiştirme işlemi yaparız:
Mazoşist öğrenciler, az önce yaptığım gibi, cevabı ayırt edebilir ve orijinal integrand'ı elde edebilirler. Hayır, hayır, kontrolü doğru anlamda yaptım =)
Gördüğünüz gibi, çözüm sırasında ikiden fazla çözüm yöntemi kullanmak zorunda kaldık, bu tür integrallerle başa çıkmak için kendinize güvenen entegrasyon becerilerine ve oldukça fazla deneyime ihtiyacınız var.
Pratikte elbette karekök daha yaygındır; işte bunu kendiniz çözmeniz için üç örnek:
Örnek 2
Belirsiz integrali bulun
Örnek 3
Belirsiz integrali bulun
Örnek 4
Belirsiz integrali bulun
Bu örnekler aynı türde olduğundan makalenin sonundaki tam çözüm yalnızca Örnek 2 için olacaktır; Örnek 3-4 aynı cevaplara sahiptir. Kararların başında hangi ikamenin kullanılacağının açık olduğunu düşünüyorum. Neden aynı türden örnekleri seçtim? Genellikle rollerinde bulunurlar. Daha sık, belki de şöyle bir şey 
.
Ancak her zaman değil, arktanjant, sinüs, kosinüs, üstel ve diğer fonksiyonlar altında doğrusal bir fonksiyonun kökü olduğunda, aynı anda birkaç yöntemi kullanmanız gerekir. Bazı durumlarda "kolayca kurtulmak" mümkündür, yani değiştirmeden hemen sonra kolayca alınabilecek basit bir integral elde edilir. Yukarıda önerilen görevlerin en kolayı, değiştirme sonrasında nispeten basit bir integralin elde edildiği Örnek 4'tür.
İntegrali kendine indirgeyerek
Esprili ve güzel bir yöntem. Türün klasiklerine bir göz atalım:
Örnek 5
Belirsiz integrali bulun
Kökün altında ikinci dereceden bir binom vardır ve bu örneği entegre etmeye çalışmak çaydanlığa saatlerce baş ağrısı verebilir. Böyle bir integral parçalara ayrılarak kendisine indirgenir. Prensip olarak zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.
Söz konusu integrali Latin harfiyle gösterelim ve çözüme başlayalım: 
Parçalara göre integral alalım: 
(1) Dönem dönem bölünme için integrand fonksiyonunu hazırlayın.
(2) İntegral fonksiyon terimini terime bölüyoruz. Herkes için net olmayabilir, ancak daha ayrıntılı olarak anlatacağım:
(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.
(4) Son integrali alın ("uzun" logaritma).
Şimdi çözümün başlangıcına bakalım: 
Ve sonunda: 
Ne oldu? Yaptığımız manipülasyonlar sonucunda integral kendine indirgendi!
Başlangıç ve bitişi eşitleyelim: 
Burç değişikliği ile sol tarafa geçin: 
Ve ikisini sağ tarafa kaydırıyoruz. Sonuç olarak: 
Sabitin aslında daha önce eklenmesi gerekirdi ama sonunda ekledim. Buradaki titizliğin ne olduğunu okumanızı şiddetle tavsiye ederim:
Not:
Daha doğrusu çözümün son aşaması şöyle görünür:
Böylece:
Sabit ile yeniden tasarlanabilir. Neden yeniden tasarlanabilir? Çünkü hala kabul ediyor herhangi değerler ve bu anlamda sabitler arasında bir fark yoktur.
Sonuç olarak:
Sürekli yeniden açıklama içeren benzer bir numara yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler. Ve orada katı olacağım. Ve burada böyle bir özgürlüğe yalnızca gereksiz şeylerle kafanızı karıştırmamak ve dikkati tam olarak entegrasyon yönteminin kendisine odaklamak için izin veriyorum.
Örnek 6
Belirsiz integrali bulun
Bağımsız çözüm için başka bir tipik integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Önceki örnekteki cevapta bir fark olacak!
Karekökün altında bir kare trinomial varsa, o zaman çözüm her durumda analiz edilen iki örneğe iner.
Örneğin integrali düşünün 
. İlk önce yapmanız gereken tek şey tam bir kare seç:
.
Daha sonra, "herhangi bir sonuç olmadan" yapılan doğrusal bir değiştirme gerçekleştirilir:
, integralle sonuçlanır . Tanıdık bir şey, değil mi?
Veya ikinci dereceden binomlu bu örnek:
Tam bir kare seçin:
Ve doğrusal değiştirmeden sonra, daha önce tartışılan algoritma kullanılarak çözülen integrali elde ederiz.
Bir integralin kendisine nasıl indirgeneceğine ilişkin iki tipik örneğe daha bakalım:
– üstel sayının sinüsle çarpımının integrali;
– üstel sayının kosinüs ile çarpımının integrali.
Parçalara göre listelenen integrallerde iki kez integral almanız gerekecektir:
Örnek 7
Belirsiz integrali bulun
İntegral üstel sayının sinüsle çarpımıdır.
Parçalara göre iki kez integral alıyoruz ve integrali kendisine indirgeyiyoruz: 
Parçalara göre çift integrasyon sonucunda integral kendine indirgenmiştir. Çözümün başlangıcını ve sonunu eşitliyoruz:
İşaret değişikliği ile sola kaydırıp integralimizi ifade ediyoruz: 
Hazır. Aynı zamanda sağ tarafı da taramanız tavsiye edilir, yani. Üssü parantezlerden çıkarın ve sinüs ve kosinüsü parantez içine "güzel" bir sırayla yerleştirin.
Şimdi örneğin başlangıcına, daha doğrusu parçalara göre entegrasyona geri dönelim: 
Üssü olarak belirledik. Şu soru ortaya çıkıyor: Her zaman ile gösterilmesi gereken üs mü? Mutlaka değil. Aslında, ele alınan integralde temelde önemli değil, ne demek istiyoruz, diğer tarafa da gidebilirdik: 
Bu neden mümkün? Üstel kendisine dönüştüğü için (hem türev alma hem de integral alma sırasında), sinüs ve kosinüs karşılıklı olarak birbirine dönüşür (yine hem türev alma hem de integral alma sırasında).
Yani trigonometrik bir fonksiyonu da gösterebiliriz. Ancak ele alınan örnekte kesirler ortaya çıkacağından bu daha az rasyoneldir. Dilerseniz bu örneği ikinci yöntemle çözmeyi deneyebilirsiniz; cevapların eşleşmesi gerekir.
Örnek 8
Belirsiz integrali bulun
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Karar vermeden önce, bu durumda üstel fonksiyon olarak mı yoksa trigonometrik fonksiyon olarak mı belirtilmenin daha avantajlı olduğunu düşünün. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Ve elbette, bu dersteki cevapların çoğunun farklılaştırma yoluyla kontrol edilmesinin oldukça kolay olduğunu unutmayın!
Ele alınan örnekler en karmaşık örnekler değildi. Pratikte, sabitin hem üste hem de trigonometrik fonksiyonun argümanında olduğu durumlarda integraller daha yaygındır, örneğin: . Birçok insanın böyle bir integral konusunda kafası karışacaktır ve benim de çoğu zaman kafam karışır. Gerçek şu ki, çözümde kesirlerin ortaya çıkma olasılığı yüksektir ve dikkatsizlik nedeniyle bir şeyi kaybetmek çok kolaydır. Ayrıca işaretlerde hata olasılığı yüksektir; üssün eksi işaretine sahip olduğunu ve bunun da ek zorluk yarattığını unutmayın.
Son aşamada sonuç genellikle şöyle olur:
Çözümün sonunda bile son derece dikkatli olmalı ve kesirleri doğru anlamalısınız: 
Karmaşık Kesirlerin İntegrallenmesi
Dersin ekvatoruna yavaş yavaş yaklaşıyoruz ve kesirlerin integrallerini düşünmeye başlıyoruz. Tekrar ediyorum, hepsi çok karmaşık değil; sadece şu ya da bu nedenle diğer makalelerdeki örnekler biraz "konu dışı"ydı.
Kökler temasına devam ediliyor
Örnek 9
Belirsiz integrali bulun
Kökün altındaki paydada ikinci dereceden bir üç terimli artı kökün dışında "X" şeklinde bir "ek" vardır. Bu türden bir integral, standart bir ikame kullanılarak çözülebilir.
Biz karar veriyoruz: 
Buradaki değişim basittir: 
Değişimden sonraki hayata bakalım: 
(1) Yer değiştirmeden sonra kök altındaki terimleri ortak bir paydaya indiririz.
(2) Onu kökün altından çıkarıyoruz.
(3) Pay ve payda azaltılır. Aynı zamanda kök altında terimleri uygun bir sıraya göre yeniden düzenledim. Biraz tecrübeyle, yorumlanan eylemleri sözlü olarak gerçekleştirerek (1), (2) adımları atlanabilir.
(4) Sonuçta ortaya çıkan integral, dersten hatırladığınız gibi Bazı Kesirlerin İntegrali, karar veriliyor tam kare çıkarma yöntemi. Tam bir kare seçin.
(5) İntegral yoluyla sıradan bir "uzun" logaritma elde ederiz.
(6) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz. Başlangıçta ise, sonra geri: .
(7) Son eylem, sonucu düzeltmeyi amaçlamaktadır: kök altında terimleri tekrar ortak bir paydaya getiriyoruz ve kökün altından çıkarıyoruz.
Örnek 10
Belirsiz integrali bulun 
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Burada tek "X"e bir sabit eklenir ve değiştirme neredeyse aynıdır: 
Ek olarak yapmanız gereken tek şey, gerçekleştirilen değiştirme işlemindeki "x" i ifade etmektir: 
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Bazen böyle bir integralin kökü altında ikinci dereceden bir binom olabilir, bu çözüm yöntemini değiştirmez, hatta daha basit olacaktır. Farkı hissedin:
Örnek 11
Belirsiz integrali bulun
Örnek 12
Belirsiz integrali bulun
Dersin sonunda kısa çözümler ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak aynı olduğuna dikkat edilmelidir. binom integraliÇözüm yöntemi sınıfta tartışılan İrrasyonel fonksiyonların integralleri.
2. dereceden ayrıştırılamaz bir polinomun üssüne integrali
(paydadaki polinom)
Daha nadir görülen bir integral türü, ancak yine de pratik örneklerde karşımıza çıkıyor.
Örnek 13
Belirsiz integrali bulun
Ama şanslı sayı 13 ile olan örneğe dönelim (dürüst olmak gerekirse doğru tahmin etmedim). Bu integral aynı zamanda nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız oldukça sinir bozucu olabilecek integrallerden biridir.
Çözüm yapay bir dönüşümle başlar: 
Sanırım herkes payın payda terimine göre nasıl bölüneceğini zaten anlıyor.
Ortaya çıkan integral parçalar halinde alınır: 
( – doğal sayı) formunun bir integrali için türetiyoruz tekrarlayan azaltma formülü:
, Nerede 
– daha düşük bir derecenin integrali.
Çözülmüş integral için bu formülün geçerliliğini doğrulayalım.
Bu durumda: , , formülü kullanırız: 
Gördüğünüz gibi cevaplar aynı.
Örnek 14
Belirsiz integrali bulun
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek çözüm yukarıdaki formülü arka arkaya iki kez kullanır.
Derecenin altında ise bölünmez kare trinomial, daha sonra çözüm, mükemmel kareyi izole ederek bir binoma indirgenir, örneğin:
Payda ek bir polinom varsa ne olur? Bu durumda belirsiz katsayılar yöntemi kullanılır ve integral kesirlerin toplamına genişletilir. Ama benim uygulamamda böyle bir örnek var hiç tanışmadım, bu yüzden makalede bu vakayı kaçırdım Kesirli-rasyonel fonksiyonların integralleri, şimdi bunu atlayacağım. Hala böyle bir integralle karşılaşırsanız, ders kitabına bakın - orada her şey basit. Karşılaşma olasılığı sıfıra düşen materyali (basit olanları bile) dahil etmenin uygun olduğunu düşünmüyorum.
Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu
Çoğu örnek için "karmaşık" sıfatı yine büyük ölçüde koşulludur. Yüksek kuvvetlerdeki teğetler ve kotanjantlarla başlayalım. Kullanılan çözme yöntemleri açısından bakıldığında, teğet ve kotanjant hemen hemen aynı şeydir, bu nedenle teğet hakkında daha fazla konuşacağım ve integrali çözmek için gösterilen yöntemin kotanjant için de geçerli olduğunu ima edeceğim.
Yukarıdaki derste inceledik evrensel trigonometrik ikame Trigonometrik fonksiyonların belirli türdeki integrallerini çözmek için. Evrensel trigonometrik ikamenin dezavantajı, kullanımının çoğu zaman zor hesaplamalara sahip hantal integrallerle sonuçlanmasıdır. Ve bazı durumlarda evrensel trigonometrik ikameden kaçınılabilir!
Başka bir kanonik örneği ele alalım: Birin integralinin sinüse bölümü:
Örnek 17
Belirsiz integrali bulun
Burada evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilir ve cevaba ulaşabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlarla birlikte eksiksiz bir çözüm sunacağım:
(1) Çift açının sinüsü için trigonometrik formülü kullanırız.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: Paydayı bölüp ile çarpıyoruz.
(3) Paydadaki iyi bilinen formülü kullanarak kesri teğete dönüştürürüz.
(4) Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz.
(5) İntegrali alın.
Kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:
Örnek 18
Belirsiz integrali bulun
Not: İlk adım indirgeme formülünü kullanmak olmalıdır. 
ve önceki örneğe benzer eylemleri dikkatlice gerçekleştirin.
Örnek 19
Belirsiz integrali bulun
Aslında bu çok basit bir örnek.
Dersin sonunda çözümleri ve cevapları tamamlayın.
Artık kimsenin integrallerle sorunu olmayacağını düşünüyorum: 
vesaire.
Yöntemin fikri nedir? Buradaki fikir, yalnızca teğetleri ve teğet türevini integral halinde düzenlemek için dönüşümleri ve trigonometrik formülleri kullanmaktır. Yani, değiştirmekten bahsediyoruz: 
. Örnek 17-19'da aslında bu değiştirmeyi kullandık, ancak integraller o kadar basitti ki eşdeğer bir işlemle - fonksiyonu diferansiyel işaretin altına alarak - başardık.
Daha önce de belirttiğim gibi benzer bir mantık kotanjant için de yapılabilir.
Yukarıdaki değişikliğin uygulanması için resmi bir önkoşul da vardır:
Kosinüs ve sinüsün kuvvetlerinin toplamı negatif bir tamsayı ÇİFT sayıdır, Örneğin:
integral için – negatif bir tamsayı ÇİFT sayı.
! Not : eğer integral YALNIZCA bir sinüs veya YALNIZCA bir kosinüs içeriyorsa, o zaman integral aynı zamanda negatif tek derece olarak da alınır (en basit durumlar Örnekler No. 17, 18'dedir).
Bu kurala dayanarak birkaç daha anlamlı göreve bakalım:
Örnek 20
Belirsiz integrali bulun
Sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin toplamı: 2 – 6 = –4, negatif bir tamsayı ÇİFT sayıdır; bu, integralin teğetlere ve türevine indirgenebileceği anlamına gelir: 
(1) Paydayı dönüştürelim.
(2) İyi bilinen formülü kullanarak şunu elde ederiz:
(3) Paydayı dönüştürelim.
(4) Formülü kullanıyoruz 
.
(5) Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz.
(6) Değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirme işlemini gerçekleştiremeyebilir, ancak yine de teğeti bir harfle değiştirmek daha iyidir - kafanın karışma riski daha azdır.
Örnek 21
Belirsiz integrali bulun
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.
Orada bekleyin, şampiyonluk turları başlamak üzere =)
Çoğu zaman integrand bir "karmaşık nokta" içerir:
Örnek 22
Belirsiz integrali bulun 
Bu integral başlangıçta bir teğet içerir ve bu da hemen zaten tanıdık bir düşünceye yol açar:
Her şey yukarıda tartışıldığı için yapay dönüşümü en başta ve geri kalan adımları yorumsuz bırakacağım.
Kendi çözümünüz için birkaç yaratıcı örnek:
Örnek 23
Belirsiz integrali bulun 
Örnek 24
Belirsiz integrali bulun 
Evet, elbette, sinüs ve kosinüsün güçlerini düşürebilir ve evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilirsiniz, ancak teğetler aracılığıyla gerçekleştirilirse çözüm çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar
Sin x ve cos x'in güç fonksiyonlarının çarpımının integralinin diferansiyel bir binomun integraline indirgenebileceği gösterilmiştir. Üslerin tamsayı değerleri için, bu tür integraller parçalar halinde veya indirgeme formülleri kullanılarak kolayca hesaplanır. İndirgeme formüllerinin türetilmesi verilmiştir. Böyle bir integralin hesaplanmasına ilişkin bir örnek verilmiştir.
İçerikAyrıca bakınız:
Belirsiz integral tablosu
Diferansiyel binomun integraline indirgeme
Formun integrallerini ele alalım:
Bu tür integraller, t = ikamelerinden birinin diferansiyel binomunun integraline indirgenir. günah x veya t = çünkü x.
Bunu yerine koyma işlemini yaparak gösterelim.
t = günah x.
Daha sonra
dt = (sin x)' dx = çünkü x dx;
çünkü 2 x = 1 - günah 2 x = 1 - t 2;
Eğer m ve n rasyonel sayılar ise diferansiyel binom entegrasyon yöntemleri kullanılmalıdır.
m ve n tamsayılarıyla entegrasyon
Daha sonra, m ve n'nin tamsayı olduğu durumu düşünün (mutlaka pozitif olması gerekmez). Bu durumda integral, rasyonel bir fonksiyondur. günah x Ve çünkü x.
Ancak belirli özellikler dikkate alındığında parçalar halinde entegrasyonla kolayca elde edilen indirgeme formüllerinin kullanılması daha kolaydır.
Azaltma formülleri
İntegral için indirgeme formülleri
şu forma sahip:
;
;
;
.
Parçalar halinde entegre edilerek kolayca elde edildikleri için ezberlemeye gerek yoktur.
Azaltma formüllerinin kanıtı
Parçalara göre integral alalım.
m + n ile çarptığımızda ilk formülü elde ederiz:
Benzer şekilde ikinci formülü de elde ederiz.
Parçalara göre integral alalım.
m + n ile çarptığımızda ikinci formülü elde ederiz:
Üçüncü formül.
Parçalara göre integral alalım.
n ile çarpma + 1
üçüncü formülü elde ederiz:
Benzer şekilde dördüncü formül için de.
Parçalara göre integral alalım.
m ile çarpma + 1
dördüncü formülü elde ederiz:
Örnek
İntegrali hesaplayalım:
Hadi dönüştürelim:
İşte m = 10, n = - 4.
İndirgeme formülünü uyguluyoruz:
m'de = 10, n = - 4:
m'de = 8, n = - 2:
İndirgeme formülünü uyguluyoruz:
m'de = 6, n = - 0:
m'de = 4, n = - 0:
m'de = 2, n = - 0:
Kalan integrali hesaplıyoruz:
Ara sonuçları tek bir formülde topluyoruz.
Kullanılan literatür:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.
Bu sayfada şunları bulacaksınız:
1. Aslında antiderivatifler tablosu PDF formatında indirilebilir ve yazdırılabilir;
2. Bu tablonun nasıl kullanılacağına ilişkin video;
3. Çeşitli ders kitaplarından ve testlerden antiderivatifin hesaplanmasına ilişkin bir dizi örnek.
Videonun kendisinde, fonksiyonların ters türevlerini hesaplamanız gereken, genellikle oldukça karmaşık olan ancak en önemlisi bunların kuvvet fonksiyonları olmadığı birçok problemi analiz edeceğiz. Yukarıda önerilen tabloda özetlenen tüm fonksiyonlar, türevler gibi ezbere bilinmelidir. Onlar olmadan, integrallerin daha fazla incelenmesi ve bunların pratik problemlerin çözümünde uygulanması imkansızdır.
Bugün ilkelleri incelemeye devam ediyoruz ve biraz daha karmaşık bir konuya geçiyoruz. Geçen sefer sadece kuvvet fonksiyonlarının ve biraz daha karmaşık yapıların ters türevlerine baktıysak, bugün trigonometriye ve çok daha fazlasına bakacağız.
Geçen derste söylediğim gibi, türevlerden farklı olarak antitürevler hiçbir zaman standart kurallar kullanılarak "doğrudan" çözülmez. Üstelik kötü haber şu ki, türevden farklı olarak antitürev hiç dikkate alınmayabilir. Tamamen rastgele bir fonksiyon yazıp türevini bulmaya çalışırsak, o zaman çok yüksek olasılıkla başarılı oluruz, ancak bu durumda antiderivatif neredeyse hiçbir zaman hesaplanmayacaktır. Ancak iyi haber de var: Temel fonksiyonlar adı verilen oldukça geniş bir fonksiyon sınıfı var ve bunların antitürevlerinin hesaplanması çok kolay. Ve her türlü testte, bağımsız testlerde ve sınavlarda verilen diğer tüm daha karmaşık yapılar, aslında toplama, çıkarma ve diğer basit eylemler yoluyla bu temel işlevlerden oluşur. Bu tür işlevlerin prototipleri uzun süredir hesaplanıyor ve özel tablolar halinde derleniyor. Bugün üzerinde çalışacağımız işlevler ve tablolar bunlardır.
Ancak her zaman olduğu gibi bir tekrarla başlayacağız: antitürevin ne olduğunu, neden sonsuz sayıda olduğunu ve genel görünümlerini nasıl belirleyeceğimizi hatırlayalım. Bunu yapmak için iki basit problem seçtim.
Kolay örnekleri çözme
Örnek #1
$\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ve genel olarak $\text() )\!\!\pi\'nin varlığına hemen dikkat edelim. !\!\ text( )$ bize hemen fonksiyonun gerekli antiderivatifinin trigonometri ile ilgili olduğunu ima ediyor. Ve gerçekten de tabloya bakarsak $\frac(1)(1+((x)^(2))$ ifadesinin $\text(arctg)x$'dan başka bir şey olmadığını görürüz. O halde bunu yazalım:
Bulmak için aşağıdakileri yazmanız gerekir:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Örnek No.2
Burada ayrıca trigonometrik fonksiyonlardan da bahsediyoruz. Tabloya baktığımızda aslında şöyle oluyor:
Tüm antiderivatifler kümesi arasında belirtilen noktadan geçeni bulmamız gerekiyor:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Son olarak şunu yazalım:
Bu kadar basit. Tek sorun, basit fonksiyonların ters türevlerini hesaplamak için bir ters türev tablosu öğrenmeniz gerektiğidir. Ancak türev tablosunu sizler için inceledikten sonra bunun bir sorun olmayacağını düşünüyorum.
Üstel fonksiyon içeren problemleri çözme
Başlangıç olarak aşağıdaki formülleri yazalım:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[(((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Tüm bunların pratikte nasıl çalıştığını görelim.
Örnek #1
Parantezlerin içeriğine bakarsak, antiderivatifler tablosunda $((e)^(x))$'nin kare içinde olması için böyle bir ifadenin olmadığını fark edeceğiz, dolayısıyla bu karenin genişletilmesi gerekiyor. Bunu yapmak için kısaltılmış çarpma formüllerini kullanıyoruz:
Her terimin terstürevini bulalım:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \sağ))^(x))))(\ln ((e)^(-2))))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Şimdi tüm terimleri tek bir ifadede toplayalım ve genel terstürevi elde edelim:
Örnek No.2
Bu sefer derece daha büyük olduğundan kısaltılmış çarpma formülü oldukça karmaşık olacaktır. O halde parantezleri açalım:
Şimdi formülümüzün terstürevini bu yapıdan almaya çalışalım:
Gördüğünüz gibi üstel fonksiyonun antitürevlerinde karmaşık veya doğaüstü hiçbir şey yoktur. Hepsi tablolar aracılığıyla hesaplanır, ancak dikkatli öğrenciler muhtemelen $((e)^(2x))$ ters türevinin $((e)^(x))$'ye $((a)'dan çok daha yakın olduğunu fark edeceklerdir. )^(x ))$. Öyleyse, belki $((e)^(x))$ terstürevini bilerek $((e)^(2x))$'yi bulmamıza izin veren daha özel bir kural olabilir mi? Evet böyle bir kural var. Üstelik antiderivatifler tablosuyla çalışmanın ayrılmaz bir parçasıdır. Şimdi bunu, az önce örnek olarak çalıştığımız ifadelerin aynısını kullanarak analiz edeceğiz.
Antitürev tablosuyla çalışma kuralları
Fonksiyonumuzu tekrar yazalım:
Önceki durumda, çözmek için aşağıdaki formülü kullandık:
\[(((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatöradı(lna))\]
Ama şimdi bunu biraz farklı yapalım: $((e)^(x))\to ((e)^(x))$'ın hangi temelde olduğunu hatırlayalım. Daha önce de söylediğim gibi, $((e)^(x))$ türevi $((e)^(x))$'dan başka bir şey olmadığından, bunun antitürevi aynı $((e) ^'ye eşit olacaktır. (x))$. Ancak sorun şu ki elimizde $((e)^(2x))$ ve $((e)^(-2x))$ var. Şimdi $((e)^(2x))$ denkleminin türevini bulmaya çalışalım:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Yapımımızı tekrar yazalım:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Bu, $((e)^(2x))$ terstürevini bulduğumuzda aşağıdakileri elde ettiğimiz anlamına gelir:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Gördüğünüz gibi, öncekiyle aynı sonucu elde ettik ancak $((a)^(x))$'ı bulmak için formülü kullanmadık. Şimdi bu aptalca görünebilir: Standart bir formül varken neden hesaplamaları karmaşıklaştıralım ki? Ancak biraz daha karmaşık ifadelerde bu tekniğin çok etkili olduğunu göreceksiniz. Ters türevleri bulmak için türevleri kullanma.
Isınma olarak $((e)^(2x))$ ifadesinin terstürevini benzer şekilde bulalım:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Hesaplarken yapımız şu şekilde yazılacaktır:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x))))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Tam olarak aynı sonucu aldık, ancak farklı bir yol izledik. Artık bize biraz daha karmaşık görünen bu yol, gelecekte daha karmaşık antitürevlerin hesaplanmasında ve tabloların kullanılmasında daha etkili olacak.
Dikkat etmek! Bu çok önemli bir noktadır: Türevler gibi antitürevler de birçok farklı şekilde sayılabilir. Ancak tüm hesaplamalar ve hesaplamalar eşitse cevap aynı olacaktır. Bunu az önce $((e)^(-2x))$ örneğinde gördük - bir yandan bu antiderivatifi "doğrudan" tanımı kullanarak ve dönüşümleri kullanarak hesapladık, diğer yandan, $ ((e)^(-2x))$ öğesinin $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ olarak temsil edilebileceğini hatırladık ve ancak o zaman kullandık $( (a)^(x))$ fonksiyonunun terstürevi. Ancak tüm dönüşümlerden sonra sonuç beklendiği gibi aynıydı.
Artık tüm bunları anladığımıza göre daha önemli bir şeye geçmenin zamanı geldi. Şimdi iki basit yapıyı analiz edeceğiz, ancak bunları çözerken kullanılacak teknik, tablodaki komşu antitürevler arasında basitçe "koşmaktan" daha güçlü ve kullanışlı bir araçtır.
Problem çözme: bir fonksiyonun ters türevini bulma
Örnek #1
Paylardaki miktarı üç ayrı kesre ayıralım:
Bu oldukça doğal ve anlaşılır bir geçiştir - çoğu öğrencinin bununla ilgili sorunları yoktur. İfademizi şu şekilde yeniden yazalım:
Şimdi bu formülü hatırlayalım:
Bizim durumumuzda aşağıdakileri elde edeceğiz:
Tüm bu üç katlı kesirlerden kurtulmak için aşağıdakileri yapmanızı öneririm:
Örnek No.2
Önceki kesirden farklı olarak payda bir çarpım değil toplamdır. Bu durumda, kesirimizi artık birkaç basit kesirin toplamına bölemeyiz, ancak bir şekilde payın paydayla yaklaşık olarak aynı ifadeyi içerdiğinden emin olmaya çalışmalıyız. Bu durumda bunu yapmak oldukça basittir:
Matematik dilinde “sıfır eklemek” olarak adlandırılan bu gösterim, kesri tekrar iki parçaya bölmemizi sağlayacaktır:
Şimdi aradığımız şeyi bulalım:
Bütün hesaplamalar bu kadar. Önceki probleme göre görünürdeki daha büyük karmaşıklığa rağmen, hesaplama miktarının daha da küçük olduğu ortaya çıktı.
Çözümün nüansları
Tablosal antiderivatiflerle çalışmanın asıl zorluğu da burada yatıyor, bu özellikle ikinci görevde fark ediliyor. Gerçek şu ki, tablo aracılığıyla kolayca hesaplanabilen bazı unsurları seçmek için tam olarak ne aradığımızı bilmemiz gerekiyor ve antitürevlerin tüm hesaplaması bu unsurların araştırılmasından oluşuyor.
Başka bir deyişle, sadece antitürev tablosunu ezberlemek yeterli değildir - henüz var olmayan bir şeyi görebilmeniz gerekir, aynı zamanda bu sorunun yazarının ve derleyicisinin ne anlama geldiğini de görebilmeniz gerekir. Bu nedenle birçok matematikçi, öğretmen ve profesör sürekli şunu tartışıyor: "Ters türev veya integral almak nedir - bu sadece bir araç mı yoksa gerçek bir sanat mı?" Aslında benim kişisel görüşüme göre entegrasyon bir sanat değildir; bunda yüce bir şey yoktur, sadece pratiktir ve daha fazla pratiktir. Ve pratik yapmak için üç ciddi örneği daha çözelim.
Uygulamalı entegrasyon konusunda eğitim veriyoruz
Görev No.1
Aşağıdaki formülleri yazalım:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Aşağıdakileri yazalım:
Sorun No. 2
Bunu şu şekilde yeniden yazalım:
Toplam antiderivatif şuna eşit olacaktır:
Sorun No. 3
Bu problemin zorluğu, yukarıdaki önceki fonksiyonlardan farklı olarak hiçbir $x$ değişkeninin bulunmamasıdır; En azından aşağıdakine benzer bir şey elde etmek için ne ekleyeceğimiz veya çıkaracağımızı anlamıyoruz. Ancak aslında bu ifadenin önceki ifadelerden daha basit olduğu düşünülmektedir çünkü bu fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir:
Şimdi şunu sorabilirsiniz: Bu işlevler neden eşit? Kontrol edelim:
Tekrar yazalım:
İfademizi biraz değiştirelim:
Ve tüm bunları öğrencilerime anlattığımda neredeyse her zaman aynı sorun ortaya çıkıyor: ilk fonksiyonda her şey az çok net, ikincisinde de şans ya da pratikle bunu çözebilirsiniz, ama ne tür bir alternatif bilinç kullanıyorsunuz? Üçüncü örneği çözmek için sahip olmamız gerekiyor mu? Aslında korkmayın. Son antiderivatifi hesaplarken kullandığımız tekniğe “bir fonksiyonun en basitine ayrıştırılması” denir ve bu çok ciddi bir tekniktir ve buna ayrı bir video dersi ayrılacaktır.
Bu arada, az önce incelediğimiz konuya, yani üstel fonksiyonlara dönmeyi ve sorunları içerikleriyle biraz karmaşıklaştırmayı öneriyorum.
Ters türevli üstel fonksiyonları çözmek için daha karmaşık problemler
Görev No.1
Şunu not edelim:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Bu ifadenin ters türevini bulmak için standart formülü kullanmanız yeterlidir - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Bizim durumumuzda ters türev şu şekilde olacaktır:
Tabii az önce çözdüğümüz tasarımla karşılaştırıldığında bu daha basit görünüyor.
Sorun No. 2
Yine, bu fonksiyonun kolaylıkla iki ayrı terime, iki ayrı kesire bölünebileceğini görmek kolaydır. Tekrar yazalım:
Yukarıda açıklanan formülü kullanarak bu terimlerin her birinin ters türevini bulmaya devam ediyoruz:
Üstel fonksiyonların güç fonksiyonlarıyla karşılaştırıldığında daha karmaşık olmasına rağmen, hesaplamaların ve hesaplamaların genel hacminin çok daha basit olduğu ortaya çıktı.
Tabii ki, bilgili öğrenciler için, az önce tartıştığımız şeyler (özellikle daha önce analiz ettiğimiz şeyler ışığında) temel ifadeler gibi görünebilir. Ancak bugünkü video dersi için bu iki problemi seçerken kendime başka bir karmaşık ve karmaşık teknik anlatma hedefi koymadım - size göstermek istediğim tek şey, orijinal fonksiyonları dönüştürmek için standart cebir tekniklerini kullanmaktan korkmamanız gerektiğidir. .
"Gizli" bir teknik kullanmak
Sonuç olarak, bir yandan bugün esas olarak tartıştığımızın ötesine geçen, diğer yandan ise öncelikle hiç de karmaşık olmayan başka bir ilginç tekniğe bakmak istiyorum. Yeni başlayan öğrenciler bile bu konuda ustalaşabilirler ve ikincisi, her türlü testte ve bağımsız çalışmada oldukça sık bulunur, yani. Antitürev tablosu bilgisine ek olarak bunun bilgisi de çok faydalı olacaktır.
Görev No.1
Açıkçası, güç fonksiyonuna çok benzer bir şeye sahibiz. Bu durumda ne yapmalıyız? Bir düşünelim: $x-5$, $x$'dan çok da farklı değil - sadece $-5$ eklediler. Bunu şu şekilde yazalım:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
$((\left(x-5 \right))^(5))$'ın türevini bulmaya çalışalım:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Bundan şu sonuç çıkıyor:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5))))(5) \ sağ))^(\prime ))\]
Tabloda böyle bir değer yok, dolayısıyla bu formülü bir kuvvet fonksiyonu için standart terstürev formülünü kullanarak kendimiz türettik. Cevabı şu şekilde yazalım:
Sorun No. 2
İlk çözüme bakan birçok öğrenci her şeyin çok basit olduğunu düşünebilir: kuvvet fonksiyonundaki $x$'ı doğrusal bir ifadeyle değiştirin, her şey yerli yerine oturacaktır. Ne yazık ki her şey o kadar basit değil ve şimdi bunu göreceğiz.
İlk ifadeye benzetilerek aşağıdakileri yazıyoruz:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Türevimize dönersek şunu yazabiliriz:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\sol(4-3x \sağ))^(9))=((\left(\frac(((\sol(4-3x \sağ))^(10))))(-30) \sağ))^(\prime ))\]
Bu hemen şunu takip eder:
Çözümün nüansları
Lütfen unutmayın: Geçen sefer esasen hiçbir şey değişmediyse, ikinci durumda $-10$ yerine $-30$ belirdi. $-10$ ile $-30$ arasındaki fark nedir? Açıkçası, $-3$ faktörüyle. Soru: Nereden geldi? Yakından bakarsanız, bunun karmaşık bir fonksiyonun türevinin hesaplanması sonucunda alındığını görebilirsiniz - $x$'da bulunan katsayı aşağıdaki antiderivatifte görünmektedir. Bu, başlangıçta bugünkü video dersinde hiç tartışmayı planlamadığım çok önemli bir kuraldır, ancak o olmasaydı, tablo halinde antitürevlerin sunumu eksik olurdu.
O halde tekrar yapalım. Ana güç fonksiyonumuz olsun:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)\]
Şimdi $x$ yerine $kx+b$ ifadesini koyalım. O zaman ne olacak? Aşağıdakileri bulmamız gerekiyor:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))))(\left(n+ 1) \sağ)\cdot k)\]
Bunu neye dayanarak iddia ediyoruz? Çok basit. Yukarıda yazılan yapının türevini bulalım:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Bu, başlangıçta var olan ifadenin aynısıdır. Dolayısıyla bu formül de doğrudur ve antiderivatifler tablosunu desteklemek için kullanılabilir veya tablonun tamamını ezberlemek daha iyidir.
“Gizli: teknik”ten sonuçlar:
- Az önce baktığımız her iki fonksiyon da aslında dereceleri genişleterek tabloda belirtilen antitürevlere indirgenebilir, ancak dördüncü dereceyle aşağı yukarı bir şekilde başa çıkabilirsek o zaman dokuzuncu dereceyi dikkate bile almam. ortaya çıkarmaya cesaret etti.
- Eğer dereceleri genişletirsek, öyle bir hesaplama hacmiyle karşılaşırız ki, basit bir görev bize uygunsuz derecede fazla zaman kazandırır.
- Bu nedenle doğrusal ifadeler içeren bu tür problemlerin “baştan sona” çözülmesine gerek yoktur. Tablodakinden yalnızca içindeki $kx+b$ ifadesinin varlığıyla farklı olan bir antiderivatifle karşılaştığınızda, hemen yukarıda yazılan formülü hatırlayın, onu tablonuzun antiderivatifine koyun ve her şey çok daha iyi sonuçlanacaktır. daha hızlı ve daha kolay.
Doğal olarak, bu tekniğin karmaşıklığı ve ciddiyeti nedeniyle, gelecekteki video derslerimizde bu konuya birçok kez döneceğiz, ancak bugünlük bu kadar. Umarım bu ders antiderivatifleri ve integrali anlamak isteyen öğrencilere gerçekten yardımcı olur.