Denklem sistemlerinin iki tür çözümünü analiz edelim:
1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.
karar vermek terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.
Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek #1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Bir denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y
2.İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor. x'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk noktada yerine y'yi yazalım. .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
X değişkenini yazdığımız ilk yere, y değişkenini ikinci sıraya yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)
Örnek #2:
Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.
Toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. X değişkeninden kurtulmak için ikinciyi birinci denklemden çıkarın. Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yok.
Final sınavına hazırlık aşamasında lise öğrencilerinin “Üstel Denklemler” konusundaki bilgilerini geliştirmeleri gerekmektedir. Geçmiş yılların deneyimi, bu tür görevlerin okul çocukları için bazı zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle lise öğrencilerinin, hazırlık düzeyleri ne olursa olsun, teoriye iyice hakim olmaları, formülleri hatırlamaları ve bu tür denklemleri çözme ilkesini anlamaları gerekir. Bu tür problemlerle baş etmeyi öğrenen mezunlar, matematikte Birleşik Devlet Sınavını geçerken yüksek puanlara güvenebilirler.
Shkolkovo ile sınav testine hazır olun!
Pek çok öğrenci, kapsadıkları materyalleri incelerken denklemleri çözmek için gereken formülleri bulma sorunuyla karşı karşıya kalıyor. Bir okul ders kitabı her zaman elinizin altında değildir ve internette bir konu hakkında gerekli bilgilerin seçilmesi uzun zaman alır.
Shkolkovo eğitim portalı öğrencileri bilgi tabanımızı kullanmaya davet ediyor. Final sınavına hazırlanmak için tamamen yeni bir yöntem uyguluyoruz. Web sitemizde çalışarak bilgi eksikliklerini tespit edebilecek ve en çok zorluğa neden olan görevlere dikkat edebileceksiniz.
Shkolkovo öğretmenleri, Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için gerekli tüm materyali en basit ve en erişilebilir biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.
Temel tanımlar ve formüller “Teorik Arka Plan” bölümünde sunulmaktadır.
Materyali daha iyi anlamak için ödevleri tamamlayarak pratik yapmanızı öneririz. Hesaplama algoritmasını anlamak için bu sayfada sunulan çözümlerle birlikte üstel denklem örneklerini dikkatlice inceleyin. Bundan sonra “Dizinler” bölümündeki görevleri gerçekleştirmeye devam edin. En kolay görevlerle başlayabilir veya doğrudan birkaç bilinmeyenli karmaşık üstel denklemleri çözmeye geçebilirsiniz. Web sitemizdeki egzersiz veritabanı sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.
Sizi zora sokan göstergeli örnekleri “Favoriler”e ekleyebilirsiniz. Bu şekilde onları hızlı bir şekilde bulabilir ve çözümü öğretmeninizle tartışabilirsiniz.
Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için her gün Shkolkovo portalında çalışın!
Dikkatinize sunduğumuz ücretsiz hesap makinesi, matematiksel hesaplamalar için zengin bir olasılıklar deposuna sahiptir. Çevrimiçi hesap makinesini çeşitli faaliyet alanlarında kullanmanıza olanak tanır: eğitici, profesyonel Ve reklam. Elbette çevrimiçi hesap makinesi kullanmak özellikle aşağıdaki kişiler arasında popülerdir: öğrenciler Ve okul çocukları, çeşitli hesaplamaları yapmalarını çok daha kolay hale getirir.
Hesap makinesi aynı zamanda bazı iş alanlarında ve farklı mesleklerden kişiler için de yararlı bir araç haline gelebilir. Elbette, işte veya işte hesap makinesi kullanma ihtiyacı öncelikle faaliyetin türüne göre belirlenir. İşletmeniz ve mesleğiniz sürekli hesaplamalar ve hesaplamalarla ilişkiliyse, o zaman bir elektronik hesap makinesi denemeye ve belirli bir görev için kullanışlılık derecesini değerlendirmeye değer.
Bu çevrimiçi hesap makinesi
- Aşağıdaki gibi tek satırda yazılan standart matematik fonksiyonlarını doğru şekilde gerçekleştirin: 12*3-(7/2) ve çevrimiçi bir hesap makinesinde çok büyük sayıları sayabildiğimizden daha büyük sayıları işleyebiliriz. Böyle bir sayıya doğru şekilde ne isim vereceğimizi bile bilmiyoruz. 34 karakter var ve bu kesinlikle sınır değil).
- Hariç teğet, kosinüs, sinüs ve diğer standart işlevler - hesap makinesi hesaplama işlemlerini destekler arktanjant, arkkotanjant ve diğerleri.
- Arsenal'de mevcut logaritmalar, faktöriyeller ve diğer ilginç özellikler
- Bu çevrimiçi hesap makinesi Grafiklerin nasıl oluşturulacağını biliyor!!!
Hizmet, grafikleri çizmek için özel bir düğme (grafik gri renkte çizilir) veya bu işlevin harf temsilini (Çizim) kullanır. Çevrimiçi hesap makinesinde bir grafik oluşturmak için işlevi yazmanız yeterlidir: arsa(tan(x))x=-360..360.
Teğet için en basit grafiği aldık ve virgülden sonra X değişkeninin -360'tan 360'a kadar olan aralığını belirttik.
Herhangi bir sayıda değişkenle kesinlikle herhangi bir işlevi oluşturabilirsiniz, örneğin şu: arsa(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) veya aklınıza gelebilecek daha da karmaşık. X değişkeninin davranışına dikkat edin; başlangıç ve bitiş arasındaki aralık iki noktayla gösterilir.
Bu çevrimiçi hesap makinesinin tek olumsuz yanı (buna dezavantaj demek zor olsa da), küreler ve diğer üç boyutlu şekiller oluşturamamasıdır - yalnızca bir düzlem.
Matematik Hesap Makinesi nasıl kullanılır?
1. Ekran (hesap makinesi ekranı), girilen ifadeyi ve hesaplamasının sonucunu, kağıda yazarken sıradan sembollerle görüntüler. Bu alan yalnızca mevcut işlemi görüntülemek içindir. Giriş satırına matematiksel bir ifade yazdığınızda giriş ekranda görünür.
2. İfade giriş alanı, hesaplanması gereken ifadeyi kaydetmeye yöneliktir. Burada, bilgisayar programlarında kullanılan matematiksel sembollerin, kağıt üzerinde genellikle kullandığımız sembollerle her zaman aynı olmadığını belirtmek gerekir. Hesap makinesinin her işlevine ilişkin genel bakışta, belirli bir işlemin doğru tanımını ve hesap makinesindeki hesaplama örneklerini bulacaksınız. Aşağıdaki sayfada hesap makinesindeki tüm olası işlemlerin bir listesi ve bunların doğru yazılışları da bulunmaktadır.
3. Araç Çubuğu - bunlar, ilgili işlemi gösteren matematiksel sembollerin manuel girişinin yerini alan hesap makinesi düğmeleridir. Bazı hesap makinesi düğmeleri (ek işlevler, birim dönüştürücü, matris ve denklem çözme, grafikler), belirli bir hesaplama için verilerin girildiği yeni alanlarla görev çubuğunu destekler. "Geçmiş" alanı, matematiksel ifadelerin yazılmasına ilişkin örneklerin yanı sıra en son altı girişinizi içerir.
Ek işlevleri çağırmak, miktarları dönüştürmek, matrisleri ve denklemleri çözmek ve grafikleri çizmek için düğmelere bastığınızda, hesap makinesi panelinin tamamının ekranın bir kısmını kaplayacak şekilde yukarı hareket ettiğini lütfen unutmayın. Tam boyutlu ekranı görmek için gerekli alanları doldurun ve "I" tuşuna (resimde kırmızıyla vurgulanmıştır) basın.
4. Sayısal tuş takımı sayıları ve aritmetik sembolleri içerir. "C" düğmesi, ifade giriş alanındaki girişin tamamını siler. Karakterleri tek tek silmek için giriş satırının sağındaki oku kullanmanız gerekir.
Her zaman bir ifadenin sonundaki parantezleri kapatmaya çalışın. Çoğu işlem için bu kritik değildir; çevrimiçi hesap makinesi her şeyi doğru şekilde hesaplayacaktır. Ancak bazı durumlarda hatalar meydana gelebilir. Örneğin, kesirli bir kuvvete yükseltirken kapatılmamış parantezler, üsdeki kesrin paydasının tabanın paydasına girmesine neden olacaktır. Kapanış braketi ekranda soluk gri renkte gösterilir ve kayıt tamamlandığında kapatılmalıdır.
Anahtar | Sembol | Operasyon |
---|---|---|
pi | pi | Sabit pi |
e | e | Euler numarası |
% | % | Yüzde |
() | () | Parantezleri Aç/Kapat |
, | , | Virgül |
günah | günah(?) | Açının sinüsü |
çünkü | çünkü(?) | Kosinüs |
bronzluk | ten rengi(y) | Teğet |
Sinh | sinh() | Hiperbolik sinüs |
para | cosh() | Hiperbolik kosinüs |
bronzluk | tanh() | Hiperbolik tanjant |
günah -1 | asin() | Ters sinüs |
çünkü -1 | acos() | Ters kosinüs |
ten rengi -1 | atan() | Ters teğet |
sinh -1 | asinh() | Ters hiperbolik sinüs |
para -1 | acosh() | Ters hiperbolik kosinüs |
tan -1 | atanh() | Ters hiperbolik tanjant |
x 2 | ^2 | Kare alma |
x 3 | ^3 | Küp |
xy | ^ | Üs alma |
10x | 10^() | 10 tabanına göre üs alma |
eski | deneyim() | Euler sayısının üssü |
vx | kare(x) | Karekök |
3 vx | sqrt3(x) | 3. kök |
yvx | kare(x,y) | Kök çıkarma |
günlük 2 x | log2(x) | İkili logaritma |
kayıt | günlük(x) | Ondalık logaritma |
içinde | ln(x) | Doğal logaritma |
log y x | log(x,y) | Logaritma |
I/II | Küçült/Ek işlevleri çağır | |
Birim | Birim dönüştürücü | |
Matris | Matrisler | |
Çözmek | Denklemler ve denklem sistemleri | |
Grafik oluşturma | ||
Ek işlevler (II tuşuyla arama) | ||
mod | mod | Kalanlı bölme |
! | ! | Faktöriyel |
i/j | i/j | Sanal birim |
Tekrar | Tekrar() | Gerçek kısmın tamamını izole etmek |
Ben | Ben() | Gerçek kısım hariç |
|x| | abs() | Sayı modülü |
Argüman | arg() | İşlev argümanı |
nCr | ncr() | Binom katsayısı |
gcd | gcd() | GCD |
lcm | lcm() | NOC |
toplam | toplam() | Tüm kararların toplam değeri |
gerçek | çarpanlara ayırma() | Asal çarpanlara ayırma |
fark | fark() | Farklılaşma |
Derece | Dereceler | |
Rad | Radyan |
Denklemler
Denklemler nasıl çözülür?
Bu bölümde en temel denklemleri hatırlayacağız (veya kimi seçtiğinize bağlı olarak inceleyeceğiz). Peki denklem nedir? İnsan açısından bu, eşittir işaretinin ve bilinmeyenin olduğu bir tür matematiksel ifadedir. Genellikle harfle gösterilir "X". Denklemi çöz- bu, değiştirildiğinde x'in değerlerini bulmaktır. orijinal ifadesi bize doğru kimliği verecektir. Kimlik kavramının, matematik bilgisinin hiçbir yükü altında olmayan bir insan için bile şüphe götürmez bir ifade olduğunu hatırlatayım. 2=2, 0=0, ab=ab vb. gibi. Peki denklemler nasıl çözülür? Hadi çözelim.
Her türden denklem var (Şaşırdım, değil mi?). Ancak bunların sonsuz çeşitliliği yalnızca dört türe ayrılabilir.
4. Diğer herkes.)
Geri kalan her şey, elbette, en önemlisi, evet...) Buna kübik, üstel, logaritmik, trigonometrik ve diğer her türlü şey dahildir. Onlarla uygun bölümlerde yakın işbirliği içinde çalışacağız.
Hemen söyleyeyim, bazen ilk üç türden denklemler o kadar berbat olur ki, onları tanıyamazsınız bile... Hiçbir şey. Onları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.
Peki neden bu dört türe ihtiyacımız var? Ve sonra ne doğrusal denklemler bir şekilde çözüldü kare diğerleri, kesirli rasyoneller - üçüncü, A dinlenmek Hiç cesaret edemiyorlar! Hiç karar veremedikleri için değil, matematik konusunda yanılmışım.) Sadece kendilerine ait özel teknikleri ve yöntemleri var.
Ama herhangi biri için (tekrar ediyorum - için herhangi!) denklemler, çözüm için güvenilir ve hatasız bir temel sağlar. Her yerde ve her zaman çalışır. Bu temel - Kulağa korkutucu geliyor ama çok basit. Ve çok (Çok!)önemli.
Aslında denklemin çözümü tam da bu dönüşümlerden oluşuyor. %99 Sorunun cevabı: " Denklemler nasıl çözülür?" tam olarak bu dönüşümlerde yatıyor. İpucu açık mı?)
Denklemlerin özdeş dönüşümleri.
İÇİNDE herhangi bir denklem Bilinmeyeni bulmak için orijinal örneği dönüştürüp basitleştirmeniz gerekir. Ve böylece görünüm değiştiğinde Denklemin özü değişmedi. Bu tür dönüşümlere denir birebir aynı veya eşdeğeri.
Bu dönüşümlerin geçerli olduğunu unutmayın özellikle denklemlere. Matematikte de kimlik dönüşümleri var ifadeler. Bu başka bir konudur.
Şimdi hepsini, hepsini, temellerini tekrarlayacağız Denklemlerin özdeş dönüşümleri.
Temel çünkü uygulanabilirler herhangi denklemler - doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, trigonometrik, üstel, logaritmik vb. vesaire.
İlk kimlik dönüşümü: herhangi bir denklemin her iki tarafına da ekleyebilir (çıkarabilirsiniz) herhangi(ancak bir ve aynı!) sayı veya ifade (bilinmeyen bir ifade dahil!). Bu denklemin özünü değiştirmez.
Bu arada sürekli bu dönüşümü kullandınız, bazı terimleri denklemin bir kısmından diğerine işaret değiştirerek aktardığınızı düşündünüz. Tip:
Durum tanıdıktır, ikisini sağa kaydırırız ve şunu elde ederiz:
Aslında sen götürüldü Denklemin her iki tarafından da iki çıkıyor. Sonuç aynı:
x+2 - 2 = 3 - 2
Terimlerin işaret değiştirerek sola ve sağa taşınması, ilk kimlik dönüşümünün kısaltılmış bir versiyonudur. Peki neden bu kadar derin bilgiye ihtiyacımız var? – sen sor. Denklemlerde hiçbir şey yok. Tanrı aşkına, katlan. Tabelayı değiştirmeyi unutmayın. Ancak eşitsizliklerde aktarım alışkanlığı çıkmaza yol açabilir...
İkinci kimlik dönüşümü: Denklemin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir) sıfır olmayan sayı veya ifade. Burada zaten anlaşılır bir sınırlama ortaya çıkıyor: sıfırla çarpmak aptalca ve bölmek tamamen imkansız. Bu, harika bir şeyi çözdüğünüzde kullandığınız dönüşümdür.
Apaçık X= 2. Nasıl buldunuz? Seçimle mi? Yoksa yeni mi aklına geldi? Seçmemek ve içgörüyü beklememek için, sadece olduğunuzu anlamalısınız. denklemin her iki tarafını da böldüm 5'e kadar. Sol tarafı (5x) bölerken, beş azaltılarak saf X elde edildi. Bu tam olarak ihtiyacımız olan şeydi. Ve (10)'un sağ tarafını beşe böldüğümüzde sonuç elbette iki olur.
İşte bu.
Komik ama bu iki (sadece iki!) özdeş dönüşüm çözümün temelini oluşturuyor matematiğin tüm denklemleri. Vay! Ne ve nasıl örneklerine bakmak mantıklı, değil mi?)
Denklemlerin özdeş dönüşümlerine örnekler. Ana sorunlar.
Şununla başlayalım: Birinci kimlik dönüşümü. Soldan sağa aktarın.
Gençler için bir örnek.)
Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:
3-2x=5-3x
Büyüyü hatırlayalım: "X'lerle - sola, X'ler olmadan - sağa!" Bu büyü, ilk kimlik dönüşümünü kullanma talimatıdır.) Sağda X'li hangi ifade var? 3x? Cevap yanlış! Sağımızda - 3x! Eksiüç x! Bu nedenle sola doğru hareket edildiğinde işaret artıya dönüşecektir. Ortaya çıkacak:
3-2x+3x=5
Yani X'ler bir yığın halinde toplandı. Hadi rakamlara geçelim. Solda üç var. Hangi işaretle? "Hiçbiri ile" cevabı kabul edilmez!) Üçün önünde aslında hiçbir şey çizilmez. Bu da şu anlama gelir: Üçten önce artı. Böylece matematikçiler kabul etti. Hiçbir şey yazılı değil, yani artı. Bu nedenle üçlü sağ tarafa aktarılacaktır bir eksi ile.Şunu elde ederiz:
-2x+3x=5-3
Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. Solda - benzerlerini getirin, sağda - sayın. Cevap hemen geliyor:
Bu örnekte tek bir kimlik dönüşümü yeterliydi. İkinciye gerek yoktu. Peki, tamam.)
Daha büyük çocuklar için bir örnek.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.