"Kufungua mabano" - Kitabu cha Hisabati, daraja la 6 (Vilenkin)
Maelezo mafupi:
Katika sehemu hii utajifunza jinsi ya kupanua mabano katika mifano. Ni ya nini? Yote kwa kitu sawa na hapo awali - ili iwe rahisi kwako na rahisi kuhesabu, kuruhusu makosa kidogo, na kwa hakika (ndoto ya mwalimu wako wa hesabu) ili kutatua kila kitu bila makosa.
Tayari unajua kwamba mabano yamewekwa katika nukuu ya hisabati ikiwa kuna mawili mfululizo ishara ya hisabati, ikiwa tunataka kuonyesha mchanganyiko wa nambari, kupanga upya kwao. Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa herufi zisizo za lazima. Kwa mfano: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Je, unakumbuka mali ya ugawaji ya kuzidisha kuhusiana na kuongeza? Hakika, katika mfano huo pia tuliondoa mabano ili kurahisisha mahesabu. Sifa iliyotajwa ya kuzidisha pia inaweza kutumika kwa maneno manne, matatu, matano au zaidi. Kwa mfano: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Umeona kuwa unapofungua mabano, nambari ndani yao hazibadilishi ishara ikiwa nambari iliyo mbele ya mabano ni chanya? Baada ya yote, kumi na tano ni nambari nzuri. Na ukitatua mfano huu: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Tulikuwa nayo kabla ya mabano nambari hasi minus kumi na tano, tulipofungua mabano, nambari zote zilianza kubadilisha ishara yao hadi nyingine - kinyume chake - kutoka plus hadi minus.
Kulingana na mifano hapo juu, sheria mbili za msingi za kufungua mabano zinaweza kusemwa:
1. Ikiwa una namba nzuri mbele ya mabano, basi baada ya kufungua mabano ishara zote za namba katika mabano hazibadilika, lakini kubaki sawa sawa na zilivyokuwa.
2. Ikiwa una nambari hasi mbele ya mabano, basi baada ya kufungua mabano ishara ya minus haijaandikwa tena, na ishara za namba zote kabisa katika mabano hubadilika ghafla kinyume chake.
Kwa mfano: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Hebu tuchanganye mifano yetu kidogo: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Uligundua kuwa wakati wa kufungua mabano ya pili, tulizidisha na 2, lakini ishara zilibaki sawa na zilivyokuwa. Hapa kuna mfano: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, katika mfano huu nambari mbili ni hasi, ni kabla ya mabano yanasimama na ishara ya minus, kwa hivyo wakati wa kuifungua, tulibadilisha ishara za nambari kuwa zile zilizo kinyume (tisa zilikuwa na plus, ikawa minus, nane ilikuwa na minus, ikawa plus).
Sasa tutaendelea na kufungua mabano katika misemo ambayo usemi katika mabano unazidishwa na nambari au usemi. Wacha tutengeneze sheria ya kufungua mabano iliyotanguliwa na ishara ya kuondoa: mabano pamoja na ishara ya minus yameachwa, na ishara za maneno yote kwenye mabano hubadilishwa na zile tofauti.
Aina moja ya mabadiliko ya usemi ni upanuzi wa mabano. Nambari, maneno halisi na maneno yenye vigezo yanaweza kutengenezwa kwa kutumia mabano, ambayo yanaweza kuonyesha utaratibu ambao vitendo vinafanywa, vyenye nambari hasi, nk. Hebu tuchukue kwamba katika maneno yaliyoelezwa hapo juu, badala ya nambari na vigezo, kunaweza kuwa na maneno yoyote.
Na wacha tuzingatie hoja moja zaidi kuhusu upekee wa kuandika suluhisho wakati wa kufungua mabano. Katika aya iliyotangulia, tulishughulikia kile kinachoitwa kufungua mabano. Kwa kufanya hivyo, kuna sheria za kufungua mabano, ambayo sasa tutapitia. Sheria hii inaamriwa na ukweli kwamba nambari chanya kawaida huandikwa bila mabano; katika kesi hii, mabano sio lazima. Usemi (−3.7)−(−2)+4+(−9) unaweza kuandikwa bila mabano kama −3.7+2+4−9.
Mwishowe, sehemu ya tatu ya sheria ni kwa sababu ya upekee wa kuandika nambari hasi upande wa kushoto katika usemi (ambao tulitaja katika sehemu ya mabano ya kuandika nambari hasi). Unaweza kukutana na usemi unaojumuisha nambari, ishara za kuondoa, na jozi kadhaa za mabano. Ukifungua mabano, ukisonga kutoka ndani kwenda nje, basi suluhisho litakuwa kama ifuatavyo: -(−((−(5)))))=−(−((−5))))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.
Jinsi ya kufungua mabano?
Hapa kuna maelezo: −(−2 x) ni +2 x, na kwa kuwa usemi huu huja kwanza, +2 x inaweza kuandikwa kama 2 x, -(x2)=−x2, +(-1/ x)=−1 /x na −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Sehemu ya kwanza ya sheria iliyoandikwa ya kufungua mabano inafuata moja kwa moja kutoka kwa sheria ya kuzidisha nambari hasi. Sehemu yake ya pili ni matokeo ya sheria ya kuzidisha nambari na ishara tofauti. Hebu tuendelee kwenye mifano ya kufungua mabano katika bidhaa na quotients ya namba mbili na ishara tofauti.
Ufunguzi wa mabano: sheria, mifano, ufumbuzi.
Sheria iliyo hapo juu inazingatia mlolongo mzima wa vitendo hivi na inaharakisha kwa kiasi kikubwa mchakato wa kufungua mabano. Sheria hiyo hiyo hukuruhusu kufungua mabano katika misemo ambayo ni bidhaa na misemo ya sehemu na ishara ya minus ambayo sio hesabu na tofauti.
Hebu tuangalie mifano ya matumizi ya sheria hii. Wacha tutoe sheria inayolingana. Hapo juu tayari tumekumbana na semi za fomu -(a) na -(-a), ambazo bila mabano zimeandikwa kama −a na a, mtawalia. Kwa mfano, -(3)=3, na. Hizi ni kesi maalum za sheria iliyotajwa. Sasa hebu tuangalie mifano ya kufungua mabano wakati yana hesabu au tofauti. Wacha tuonyeshe mifano ya kutumia sheria hii. Wacha tuonyeshe usemi (b1+b2) kama b, baada ya hapo tunatumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa usemi kutoka kwa aya iliyotangulia, tunayo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Kwa introduktionsutbildning, taarifa hii inaweza kupanuliwa kwa idadi kiholela ya masharti katika kila mabano. Inabakia kufungua mabano katika usemi unaosababishwa kwa kutumia sheria kutoka aya zilizopita, matokeo yake tunapata 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.
Sheria katika hisabati ni kufungua mabano ikiwa kuna (+) na (-) mbele ya mabano.
Usemi huu ni zao la mambo matatu (2+4), 3 na (5+7·8). Utalazimika kufungua mabano kwa mlolongo. Sasa tunatumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa nambari, tunayo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Digrii ambazo misingi yake ni baadhi ya maneno yaliyoandikwa kwenye mabano, kwa kwa aina inaweza kuzingatiwa kama bidhaa ya mabano kadhaa.
Kwa mfano, hebu tubadilishe usemi (a+b+c)2. Kwanza, tunaiandika kama bidhaa ya mabano mawili (a+b+c)·(a+b+c), sasa tunazidisha mabano kwa mabano, tunapata a·a+ab+a·c+ ba+b· b+b·c+ca+cb+cc.
Wacha pia tuseme kwamba kuongeza hesabu na tofauti za nambari mbili ndani shahada ya asili Inashauriwa kutumia formula ya Newton ya binomial. Kwa mfano, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Sio rahisi kwanza kuchukua nafasi ya mgawanyiko na kuzidisha, na kisha utumie sheria inayolingana ya kufungua mabano kwenye bidhaa.
Inabakia kuelewa utaratibu wa kufungua mabano kwa kutumia mifano. Hebu tuchukue usemi (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Tunabadilisha matokeo haya kwa usemi asilia: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·· 7). Kilichobaki ni kumaliza kufungua mabano, matokeo yake tunayo −5+3·2:4+6·7. Hii ina maana kwamba wakati wa kusonga kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia, ufunguzi wa mabano ulitokea.
Kumbuka kwamba katika mifano yote mitatu tuliondoa tu mabano. Kwanza, ongeza 445 hadi 889. Hatua hii inaweza kufanywa kiakili, lakini si rahisi sana. Wacha tufungue mabano na tuone kwamba utaratibu uliobadilishwa utarahisisha mahesabu.
Jinsi ya kupanua mabano hadi digrii nyingine
Kuonyesha mfano na kanuni. Hebu tuangalie mfano:. Unaweza kupata thamani ya usemi kwa kuongeza 2 na 5, na kisha kuchukua nambari inayotokana na ishara tofauti. Sheria haibadilika ikiwa hakuna mbili, lakini maneno matatu au zaidi kwenye mabano. Maoni. Ishara zinabadilishwa tu mbele ya masharti. Ili kufungua mabano, kwa kesi hii tunahitaji kukumbuka mali ya ugawaji.
Kwa nambari moja kwenye mabano
Kosa lako haliko kwenye ishara, lakini katika utunzaji sahihi wa sehemu? Katika darasa la 6 tulijifunza kuhusu nambari chanya na hasi. Tutatatua vipi mifano na milinganyo?
Kiasi gani kwenye mabano? Unaweza kusema nini kuhusu maneno haya? Bila shaka, matokeo ya mifano ya kwanza na ya pili ni sawa, ambayo ina maana tunaweza kuweka ishara sawa kati yao: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Tulifanya nini na mabano?
Onyesho la slaidi 6 na sheria za kufungua mabano. Kwa hivyo, sheria za kufungua mabano zitatusaidia kutatua mifano na kurahisisha misemo. Ifuatayo, wanafunzi wanaulizwa kufanya kazi kwa jozi: wanahitaji kutumia mishale kuunganisha usemi ulio na mabano na usemi unaolingana bila mabano.
Slaidi ya 11 Mara moja katika Sunny City, Znayka na Dunno walibishana kuhusu ni nani kati yao aliyesuluhisha mlinganyo kwa usahihi. Ifuatayo, wanafunzi hutatua mlingano wenyewe kwa kutumia sheria za kufungua mabano. Kutatua hesabu" Malengo ya somo: elimu (kuimarisha maarifa juu ya mada: "Ufunguzi wa mabano.
Mada ya somo: “Kufungua mabano. Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza na kila neno kutoka kwa mabano ya pili na kisha kuongeza matokeo. Kwanza, mambo mawili ya kwanza yanachukuliwa, yamefungwa kwenye bracket moja zaidi, na ndani ya mabano haya mabano yanafunguliwa kulingana na moja ya sheria zilizojulikana tayari.
rawalan.freezeet.ru
Mabano ya ufunguzi: sheria na mifano (daraja la 7)
Kazi kuu ya mabano ni kubadili utaratibu wa vitendo wakati wa kuhesabu maadili maneno ya nambari . Kwa mfano, V kwa nambari\(5·3+7\) kuzidisha kutahesabiwa kwanza, na kisha kuongeza: \(5·3+7 =15+7=22\). Lakini katika usemi \(5·(3+7)\) nyongeza katika mabano itahesabiwa kwanza, na kisha tu kuzidisha: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Walakini, ikiwa tunashughulika nayo usemi wa algebra zenye kutofautiana- kwa mfano, kama hii: \(2(x-3)\) - basi haiwezekani kuhesabu thamani kwenye mabano, tofauti iko njiani. Kwa hiyo, katika kesi hii, mabano "yanafunguliwa" kwa kutumia sheria zinazofaa.
Sheria za kufungua mabano
Ikiwa kuna ishara zaidi mbele ya bracket, basi bracket imeondolewa tu, usemi ndani yake unabaki bila kubadilika. Kwa maneno mengine:
Hapa inahitajika kufafanua kuwa katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwenye usemi. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza mbili nambari chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki \(+7+3\), lakini kwa urahisi \(7+3\), licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi \(5+x)\) - ujue hilo kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa.
Mfano
. Fungua bracket na ulete masharti yanayofanana: \((x-11)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ikiwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, basi wakati mabano yameondolewa, kila mshiriki wa usemi ndani yake hubadilisha ishara kwenda kinyume:
Hapa ni muhimu kufafanua kwamba wakati a ilikuwa kwenye mabano, kulikuwa na ishara ya kuongeza (hawakuandika tu), na baada ya kuondoa bracket, hii pamoja na kubadilishwa kuwa minus.
Mfano
: Rahisisha usemi \(2x-(-7+x)\).
Suluhisho
: ndani ya mabano kuna maneno mawili: \(-7\) na \(x\), na kabla ya bracket kuna minus. Hii inamaanisha kuwa ishara zitabadilika - na saba sasa zitakuwa nyongeza, na x sasa itakuwa minus. Fungua bracket na tunawasilisha masharti sawa .
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ikiwa kuna sababu mbele ya mabano, basi kila mshiriki wa mabano huzidishwa nayo, ambayo ni:
Mfano.
Panua mabano \(5(3-x)\).
Suluhisho
: Katika mabano tuna \(3\) na \(-x\), na kabla ya bracket kuna tano. Hii ina maana kwamba kila mwanachama wa mabano huzidishwa na \(5\) - nakukumbusha kwamba Alama ya kuzidisha kati ya nambari na mabano haijaandikwa katika hisabati ili kupunguza ukubwa wa maingizo..
Mfano.
Panua mabano \(-2(-3x+5)\).
Suluhisho
: Kama katika mfano uliopita, \(-3x\) na \(5\) kwenye mabano yanazidishwa na \(-2\).
Inabakia kuzingatia hali ya mwisho.
Wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano, kila muhula wa mabano ya kwanza huzidishwa kwa kila muhula wa pili:
Mfano.
Panua mabano \((2-x)(3x-1)\).
Suluhisho
: Tuna bidhaa ya mabano na inaweza kupanuliwa mara moja kwa kutumia fomula iliyo hapo juu. Lakini ili si kuchanganyikiwa, hebu tufanye kila kitu hatua kwa hatua.
Hatua ya 1. Ondoa mabano ya kwanza na zidisha kila mwanachama kwa mabano ya pili:
Hatua ya 2. Panua bidhaa za mabano na kipengele kama ilivyoelezwa hapo juu:
- Mambo ya kwanza kwanza ...
Hatua ya 3. Sasa tunazidisha na kuwasilisha maneno sawa:
Sio lazima kuelezea mabadiliko yote kwa undani kama hii; unaweza kuzidisha mara moja. Lakini ikiwa unajifunza tu jinsi ya kufungua mabano, andika kwa undani, kutakuwa na nafasi ndogo ya kufanya makosa.
Kumbuka kwa sehemu nzima. Kwa kweli, huna haja ya kukumbuka sheria zote nne, unahitaji kukumbuka moja tu, hii: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata sheria \((a-b)=a-b\) . Na tukibadilisha minus moja, tunapata kanuni \(-(a-b)=-a+b\) . Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Mabano ndani ya mabano
Wakati mwingine katika mazoezi kuna matatizo na mabano yaliyowekwa ndani ya mabano mengine. Hapa kuna mfano wa kazi kama hiyo: kurahisisha usemi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ili kutatua kwa mafanikio kazi zinazofanana, unahitaji:
- kuelewa kwa uangalifu kiota cha mabano - ambayo iko ndani yake;
— fungua mabano kwa mfuatano, kuanzia, kwa mfano, na ile ya ndani kabisa.
Ni muhimu wakati wa kufungua moja ya mabano usiguse sehemu nyingine ya usemi, kuandika tena kama ilivyo.
Wacha tuangalie kazi iliyoandikwa hapo juu kama mfano.
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(7x+2(5-(3x+y))\).
Suluhisho:
Wacha tuanze kazi kwa kufungua bracket ya ndani (ile iliyo ndani). Kuipanua, tunashughulika tu na yale yanayohusiana nayo moja kwa moja - hii ni bracket yenyewe na minus mbele yake (iliyoangaziwa kwa kijani). Tunaandika upya kila kitu kingine (hakijaangaziwa) jinsi ilivyokuwa.
Kutatua matatizo ya hisabati mtandaoni
Kikokotoo cha mtandaoni.
Kurahisisha polynomial.
Kuzidisha polynomials.
Kwa kutumia hii programu ya hisabati unaweza kurahisisha polynomial.
Wakati programu inaendelea:
- huzidisha polynomials
- muhtasari wa monomia (hutoa zinazofanana)
- hufungua mabano
- inainua polynomial kwa nguvu
Programu ya kurahisisha polynomial haitoi tu jibu la shida, inatoa ufumbuzi wa kina kwa maelezo, i.e. huonyesha mchakato wa suluhisho ili uweze kuangalia ujuzi wako wa hisabati na/au aljebra.
Programu hii inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au aljebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo yako. ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri kidogo.
Nadharia kidogo.
Bidhaa ya monomial na polynomial. Dhana ya polynomial
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials mtazamo wa kawaida:
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Kwa hivyo, binomial ina digrii ya tatu, na trinomial ina ya pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa ishara kinyume.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya ugawaji kuzidisha kunaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polynomial, bidhaa ya monomial na polynomial. Kwa mfano:
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Na baadhi ya maneno katika mabadiliko ya algebra kuwa na kushughulika mara nyingi zaidi kuliko wengine. Labda maneno ya kawaida ni u, yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya miraba. Uligundua kuwa majina ya misemo haya yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, hii, bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. Walakini, mraba wa jumla ya a na b haifanyiki mara nyingi sana; kama sheria, badala ya herufi a na b, ina misemo tofauti, wakati mwingine ngumu kabisa.
Maneno yanaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida; kwa kweli, tayari umekutana na kazi kama hiyo wakati wa kuzidisha polynomia:
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
- mraba wa jumla sawa na jumla mraba na bidhaa mara mbili.
- mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya mraba bila bidhaa mbili.
- tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Vitabu (vitabu) Muhtasari wa Mitihani ya Jimbo la Umoja na vipimo vya OGE Michezo ya Mtandaoni, mafumbo Utendaji wa michoro kamusi ya orthografia Lugha ya Kirusi Kamusi ya misimu ya vijana Katalogi ya shule za Kirusi Katalogi ya taasisi za elimu ya sekondari ya Urusi Katalogi ya Vyuo Vikuu vya Urusi Orodha ya kazi Kutafuta GCD na LCM Kurahisisha polimanomia (kuzidisha polynomial) Kugawanya polynomial na polynomial na safu wima Kuhesabu. sehemu za nambari Kutatua matatizo yanayohusisha asilimia Nambari tata: Jumla, tofauti, bidhaa na sehemu ya Mfumo wa 2 milinganyo ya mstari na mbili vigezo Suluhisho mlinganyo wa quadratic Kupiga binomial na kuifanya quadratic trinomial Kutatua kukosekana kwa usawa Kutatua mifumo ya kukosekana kwa usawa Kupanga grafu kazi ya quadratic Kupanga grafu utendakazi wa mstari wa sehemu Kutatua hesabu na maendeleo ya kijiometri Kutatua trigonometric, kielelezo, milinganyo ya logarithmic Uhesabuji wa mipaka, derivative, tangent Integral, Suluhisho la Antiderivative pembetatu Mahesabu ya vitendo na vekta Mahesabu ya vitendo na mistari na ndege Eneo maumbo ya kijiometri Mzunguko wa maumbo ya kijiometri Kiasi miili ya kijiometri Sehemu ya uso ya mango ya kijiometri
Mjenzi wa Hali ya Trafiki
Hali ya hewa - habari - nyota
www.mathsolution.ru
Kupanua mabano
Tunaendelea kujifunza misingi ya algebra. Katika somo hili tutajifunza jinsi ya kupanua mabano katika misemo. Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Ili kufungua mabano, unahitaji kukariri sheria mbili tu. Kwa mazoezi ya kawaida, unaweza kufungua mabano na macho imefungwa, na sheria hizo ambazo zilihitajika kukariri zinaweza kusahauliwa kwa usalama.
Sheria ya kwanza ya kufungua mabano
Fikiria usemi ufuatao:
Thamani ya usemi huu ni 2 . Hebu tufungue mabano katika usemi huu. Kupanua mabano maana yake ni kuyaondoa bila kuathiri maana ya usemi. Hiyo ni, baada ya kuondokana na mabano, thamani ya kujieleza 8+(−9+3) bado inapaswa kuwa sawa na mbili.
Sheria ya kwanza ya kufungua mabano inaonekana kama kwa njia ifuatayo:
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Kwa hiyo, tunaona hilo katika usemi 8+(−9+3) Kuna ishara ya kuongeza mbele ya mabano. Nyongeza hii lazima iachwe pamoja na mabano. Kwa maneno mengine, mabano yatatoweka pamoja na nyongeza iliyosimama mbele yao. Na kile kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila mabadiliko:
8−9+3 . Usemi huu sawa 2 , kama usemi uliotangulia wenye mabano, ulikuwa sawa na 2 .
8+(−9+3) Na 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Mfano 2. Panua mabano katika kujieleza 3 + (−1 − 4)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa nyongeza hii imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitabaki bila kubadilika:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 2 + (−1)
KATIKA katika mfano huu kufungua mabano ikawa aina ya utendakazi wa kinyume wa kubadilisha kutoa na kuongeza. Ina maana gani?
Katika kujieleza 2−1 kutoa hutokea, lakini inaweza kubadilishwa na kuongeza. Kisha tunapata usemi 2+(−1) . Lakini ikiwa katika usemi 2+(−1) fungua mabano, unapata asili 2−1 .
Kwa hivyo, sheria ya kwanza ya kufungua mabano inaweza kutumika kurahisisha misemo baada ya mabadiliko kadhaa. Hiyo ni, ondoa mabano na uifanye rahisi zaidi.
Kwa mfano, hebu turahisishe usemi 2a+a−5b+b .
Ili kurahisisha usemi huu, maneno sawa yanaweza kutolewa. Hebu tukumbuke kwamba ili kupunguza maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients ya maneno sawa na kuzidisha matokeo kwa sehemu ya barua ya kawaida:
Nimepata usemi 3a+(−4b). Hebu tuondoe mabano katika usemi huu. Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya kwanza kufungua mabano, ambayo ni kwamba, tunaacha mabano pamoja na nyongeza inayokuja kabla ya mabano haya:
Hivyo kujieleza 2a+a−5b+b hurahisisha 3a−4b .
Baada ya kufungua mabano kadhaa, unaweza kukutana na wengine njiani. Tunatumia sheria sawa kwao kama zile za kwanza. Kwa mfano, wacha tupanue mabano katika usemi ufuatao:
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi hii, sheria ya kwanza ya kufungua mabano inatumika, ambayo ni, kuacha mabano pamoja na ishara ya pamoja inayotangulia mabano haya:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 6+(−3)+(−2)
Katika sehemu zote mbili ambapo kuna mabano, hutanguliwa na kuongeza. Hapa tena sheria ya kwanza ya kufungua mabano inatumika:
Wakati mwingine neno la kwanza kwenye mabano huandikwa bila ishara. Kwa mfano, katika usemi 1+(2+3−4) muhula wa kwanza kwenye mabano 2 imeandikwa bila ishara. Swali linatokea, ni ishara gani itaonekana mbele ya mbili baada ya mabano na pamoja na mbele ya mabano kuachwa? Jibu linaonyesha yenyewe - kutakuwa na pamoja mbele ya hizo mbili.
Kwa kweli, hata kuwa kwenye mabano kuna nyongeza mbele ya hizo mbili, lakini hatuoni kwa sababu haijaandikwa. Tayari tumesema kuwa nukuu kamili ya nambari chanya inaonekana kama +1, +2, +3. Lakini kulingana na jadi, pluses hazijaandikwa, ndiyo sababu tunaona nambari nzuri ambazo zinajulikana kwetu 1, 2, 3 .
Kwa hiyo, kupanua mabano katika usemi 1+(2+3−4) , kama kawaida, unahitaji kuacha mabano pamoja na ishara ya kuongeza mbele ya mabano haya, lakini andika neno la kwanza ambalo lilikuwa kwenye mabano na ishara ya kuongeza:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Mfano 4. Panua mabano katika kujieleza −5 + (2 − 3)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, ambayo ni, tunaacha mabano pamoja na nyongeza inayokuja kabla ya mabano haya. Lakini muhula wa kwanza, ambao tunaandika kwenye mabano na ishara ya kuongeza:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Mfano 5. Panua mabano katika kujieleza (−5)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, lakini haijaandikwa kwa sababu hapakuwa na nambari nyingine au misemo kabla yake. Kazi yetu ni kuondoa mabano kwa kutumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, yaani, kuacha mabano pamoja na hii plus (hata ikiwa haionekani)
Mfano 6. Panua mabano katika kujieleza 2a + (−6a + b)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa nyongeza hii imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila kubadilika:
2a + (−6a + b) = 2a -6a + b
Mfano 7. Panua mabano katika kujieleza 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Kuna sehemu mbili katika usemi huu ambapo unahitaji kupanua mabano. Katika sehemu zote mbili kuna plus kabla ya mabano, ambayo ina maana hii plus imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila kubadilika:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a -7b + 6c + 3a -2d
Sheria ya pili ya kufungua mabano
Sasa hebu tuangalie sheria ya pili ya kufungua mabano. Inatumika wakati kuna minus kabla ya mabano.
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake.
Kwa mfano, hebu tupanue mabano katika usemi ufuatao
Tunaona kwamba kuna minus kabla ya mabano. Hii ina maana kwamba unahitaji kutumia kanuni ya pili ya upanuzi, yaani, kuacha mabano pamoja na ishara ya minus mbele ya mabano haya. Katika kesi hii, maneno ambayo yalikuwa kwenye mabano yatabadilisha ishara yao kuwa kinyume:
Tulipata usemi bila mabano 5+2+3 . Usemi huu ni sawa na 10, kama vile usemi wa awali wenye mabano ulikuwa sawa na 10.
Kwa hivyo, kati ya maneno 5−(−2−3) Na 5+2+3 unaweza kuweka ishara sawa, kwani ni sawa na thamani sawa:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Mfano 2. Panua mabano katika kujieleza 6 − (−2 − 5)
Kuna minus kabla ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya pili ya kufungua mabano, ambayo ni, tunaacha mabano pamoja na minus inayokuja kabla ya mabano haya. Katika kesi hii, tunaandika maneno ambayo yalikuwa kwenye mabano na ishara tofauti:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya pili ya kufungua mabano:
Mfano 4. Panua mabano katika kujieleza −(−3 + 4)
Mfano 5. Panua mabano katika kujieleza −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi ya kwanza, unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, na linapokuja suala la kujieleza +(−9−2) unahitaji kutumia sheria ya kwanza:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Mfano 6. Panua mabano katika kujieleza −(−a -1)
Mfano 7. Panua mabano katika kujieleza −(4a + 3)
Mfano 8. Panua mabano katika kujieleza a − (4b + 3) + 15
Mfano 9. Panua mabano katika kujieleza 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi ya kwanza, unahitaji kutumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, na linapokuja suala la kujieleza −(3c+5) unahitaji kutumia sheria ya pili:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Mfano 10. Panua mabano katika kujieleza −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Kuna maeneo matatu ambapo unahitaji kufungua mabano. Kwanza unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, kisha ya kwanza, na ya pili tena:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Utaratibu wa kufungua mabano
Sheria za kufungua mabano ambazo tumechunguza sasa zinatokana na sheria ya ugawaji ya kuzidisha:
Kwa kweli kufungua mabano piga utaratibu wakati kizidishi cha kawaida kuzidishwa kwa kila neno kwenye mabano. Kama matokeo ya kuzidisha huku, mabano hupotea. Kwa mfano, tupanue mabano katika usemi 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Kwa hivyo, ikiwa unahitaji kuzidisha nambari kwa usemi kwenye mabano (au kuzidisha usemi kwenye mabano kwa nambari), unahitaji kusema. tufungue mabano.
Lakini sheria ya ugawaji ya kuzidisha inahusiana vipi na sheria za kufungua mabano ambazo tulichunguza hapo awali?
Ukweli ni kwamba kabla ya mabano yoyote kuna jambo la kawaida. Katika mfano 3×(4+5) jambo la kawaida ni 3 . Na katika mfano a(b+c) sababu ya kawaida ni kutofautiana a.
Ikiwa hakuna nambari au vigezo kabla ya mabano, basi jambo la kawaida ni 1 au −1 , kulingana na ishara gani iko mbele ya mabano. Ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi jambo la kawaida ni 1 . Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi jambo la kawaida ni −1 .
Kwa mfano, hebu tupanue mabano katika usemi −(3b−1). Kuna ishara ya minus mbele ya mabano, kwa hivyo unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, ambayo ni, kuacha mabano pamoja na ishara ya minus mbele ya mabano. Na andika usemi ambao ulikuwa kwenye mabano na ishara tofauti:
Tulipanua mabano kwa kutumia sheria ya kupanua mabano. Lakini mabano haya haya yanaweza kufunguliwa kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Ili kufanya hivyo, kwanza andika kabla ya mabano sababu ya kawaida 1, ambayo haikuandikwa:
Alama ya kutoa ambayo hapo awali ilisimama mbele ya mabano inarejelea kitengo hiki. Sasa unaweza kufungua mabano kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Kwa kusudi hili sababu ya kawaida −1 unahitaji kuzidisha kwa kila neno katika mabano na kuongeza matokeo.
Kwa urahisi, tunabadilisha tofauti katika mabano na kiasi:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (-1) × (-1) = −3b + 1
Kama katika mara ya mwisho tulipata usemi −3b+1. Kila mtu atakubali kwamba wakati huu muda mwingi ulitumika kutatua mfano rahisi kama huu. Kwa hivyo, ni busara kutumia sheria zilizotengenezwa tayari za kufungua mabano, ambayo tulijadili katika somo hili:
Lakini hainaumiza kujua jinsi sheria hizi zinavyofanya kazi.
Katika somo hili tulijifunza jambo moja zaidi mabadiliko ya kufanana. Pamoja na kufungua mabano, kuweka jumla nje ya mabano na kuleta masharti sawa, unaweza kupanua kidogo aina mbalimbali za matatizo ya kutatuliwa. Kwa mfano:
Hapa unahitaji kufanya vitendo viwili - kwanza kufungua mabano, na kisha kuleta masharti sawa. Kwa hivyo, kwa utaratibu:
1) Fungua mabano:
2) Tunawasilisha maneno sawa:
Katika usemi unaosababisha −10b+(−1) unaweza kupanua mabano:
Mfano 2. Fungua mabano na uongeze maneno sawa katika usemi ufuatao:
1) Wacha tufungue mabano:
2) Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana. Wakati huu, ili kuokoa muda na nafasi, hatutaandika jinsi coefficients inavyozidishwa na sehemu ya barua ya kawaida.
Mfano 3. Rahisisha usemi 8m+3m na kupata thamani yake m=−4
1) Kwanza, wacha turahisishe usemi. Ili kurahisisha usemi 8m+3m, unaweza kuchukua sababu ya kawaida ndani yake m nje ya mabano:
2) Tafuta thamani ya usemi m(8+3) katika m=−4. Ili kufanya hivyo, katika usemi m(8+3) badala ya kutofautiana m badilisha nambari −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (-4) × 3 = −32 + (-12) = -44
Kupanua mabano ni aina ya mabadiliko ya usemi. Katika sehemu hii tutaelezea sheria za kufungua mabano, na pia angalia mifano ya kawaida ya matatizo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kufungua mabano ni nini?
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa maneno ya nambari, halisi na tofauti. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi kwa kufanana sawa na usemi bila mabano. Kwa mfano, badilisha usemi 2 · (3 + 4) na usemi wa fomu 2 3 + 2 4 bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Ufafanuzi 1
Kupanua mabano hurejelea mbinu za kuondoa mabano na kwa kawaida huzingatiwa kuhusiana na misemo ambayo inaweza kuwa na:
- ishara "+" au "-" kabla ya mabano yenye hesabu au tofauti;
- bidhaa ya nambari, barua au barua kadhaa na jumla au tofauti, ambayo huwekwa kwenye mabano.
Hivi ndivyo tunavyotumiwa kuzingatia mchakato wa kufungua mabano katika kozi mtaala wa shule. Walakini, hakuna anayetuzuia kutazama hatua hii kwa upana zaidi. Tunaweza kuita mabano yanayofungua mpito kutoka kwa usemi ulio na nambari hasi kwenye mabano hadi usemi ambao hauna mabano. Kwa mfano, tunaweza kutoka 5 + (− 3) − (− 7) hadi 5 - 3 + 7. Kwa kweli, hii pia ni ufunguzi wa mabano.
Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kuchukua nafasi ya bidhaa ya maneno katika mabano ya fomu (a + b) · (c + d) na jumla a · c + a · d + b · c + b · d. Mbinu hii pia haipingani na maana ya kufungua mabano.
Hapa kuna mfano mwingine. Tunaweza kudhani kuwa misemo yoyote inaweza kutumika badala ya nambari na viambishi katika misemo. Kwa mfano, usemi x 2 · 1 a - x + dhambi (b) utalingana na usemi usio na mabano ya fomu x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · dhambi (b).
Hoja moja zaidi inastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa maamuzi ya kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi 3 − (5 − 7) tunapata usemi 3 − 5 + 7 . Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3 − (5 − 7) = 3 - 5 + 7.
Kufanya vitendo kwa maneno magumu kunaweza kuhitaji kurekodi matokeo ya kati. Kisha suluhisho litakuwa na fomu ya mlolongo wa usawa. Kwa mfano, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 au 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Sheria za kufungua mabano, mifano
Hebu tuanze kuangalia sheria za kufungua mabano.
Kwa nambari moja kwenye mabano
Nambari hasi kwenye mabano mara nyingi hupatikana katika misemo. Kwa mfano, (− 4) na 3 + (− 4) . Nambari chanya kwenye mabano pia zina nafasi.
Wacha tutengeneze sheria ya kufungua mabano yaliyo na nambari moja chanya. Wacha tuchukue kuwa a ni nambari yoyote chanya. Kisha tunaweza kubadilisha (a) na a, + (a) na + a, - (a) na - a. Ikiwa badala ya tunachukua nambari maalum, basi kulingana na sheria: nambari (5) itaandikwa kama 5 , usemi 3 + (5) bila mabano utachukua fomu 3 + 5 , kwani + (5) inabadilishwa na + 5 , na usemi 3 + (− 5) ni sawa na usemi huo 3 − 5 , kwa sababu + (− 5) inabadilishwa na − 5 .
Nambari chanya kawaida huandikwa bila kutumia mabano, kwani mabano sio lazima katika kesi hii.
Sasa fikiria sheria ya kufungua mabano ambayo yana nambari moja hasi. + (− a) tunabadilisha na − a, − (− a) inabadilishwa na + a. Ikiwa usemi unaanza na nambari hasi (−a), ambayo imeandikwa katika mabano, basi mabano yameachwa na badala yake (−a) mabaki − a.
Hapa kuna baadhi ya mifano: (− 5) inaweza kuandikwa kama − 5, (− 3) + 0, 5 inakuwa − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) inakuwa 4 − 3 , na - (- 4) - (- 3) baada ya kufungua mabano huchukua fomu 4 + 3, kwa kuwa - (- 4) na - (- 3) inabadilishwa na + 4 na + 3 .
Ieleweke kwamba usemi 3 · (− 5) hauwezi kuandikwa kama 3 · − 5. Kuhusu hilo tutazungumza katika aya zifuatazo.
Wacha tuone ni kanuni gani za kufungua mabano zinategemea.
Kulingana na sheria, tofauti a -b ni sawa na a + (− b) . Kulingana na mali ya vitendo na nambari, tunaweza kuunda mlolongo wa usawa (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a ambayo itakuwa ya haki. Mlolongo huu wa usawa, kwa mujibu wa maana ya kutoa, unathibitisha kwamba usemi a + (− b) ndio tofauti. a-b.
Kulingana na mali nambari zinazopingana na kanuni za kutoa nambari hasi, tunaweza kusema kuwa - (- a) = a, a - (− b) = a + b.
Kuna misemo ambayo imeundwa na nambari, ishara za minus na jozi kadhaa za mabano. Kutumia sheria zilizo hapo juu hukuruhusu kuondoa mabano kwa mpangilio, kusonga kutoka kwa mabano ya ndani hadi ya nje au ndani. mwelekeo wa nyuma. Mfano wa usemi kama huo utakuwa − (− ((−))))) . Wacha tufungue mabano, tukihama kutoka ndani kwenda nje: − (− ((− (5))))) = − (− ((− 5)))) = − (- (− 5))) = − (5) = - 5 . Mfano huu unaweza pia kuchambuliwa kwa mwelekeo tofauti: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Chini ya a na b inaweza kueleweka sio tu kama nambari, lakini pia kama usemi wa nambari au herufi zisizo na alama "+" mbele ambazo si hesabu au tofauti. Katika visa hivi vyote, unaweza kutumia sheria kwa njia ile ile kama tulivyotumia kwa nambari moja kwenye mabano.
Kwa mfano, baada ya kufungua mabano usemi − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) itachukua fomu 2 · x − x 2 - 1 x - 2 · x · y 2: z. Tulifanyaje? Tunajua kwamba − (− 2 x) ni + 2 x, na kwa kuwa usemi huu huja kwanza, basi + 2 x inaweza kuandikwa kama 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x na − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Katika bidhaa za nambari mbili
Wacha tuanze na sheria ya kufungua mabano katika bidhaa ya nambari mbili.
Hebu tujifanye hivyo a na b ni nambari mbili chanya. Katika kesi hii, bidhaa ya nambari mbili hasi − a na − b ya umbo (- a) · (− b) tunaweza kubadilisha na (a · b) , na bidhaa za nambari mbili zenye ishara tofauti za fomu (- a) · b na a · (- b) inaweza kubadilishwa na (− a b). Kuzidisha minus kwa minus kunatoa jumlisha, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus kunatoa minus.
Usahihi wa sehemu ya kwanza ya sheria iliyoandikwa inathibitishwa na sheria ya kuzidisha nambari hasi. Ili kudhibitisha sehemu ya pili ya sheria, tunaweza kutumia sheria za kuzidisha nambari na ishara tofauti.
Hebu tuangalie mifano michache.
Mfano 1
Hebu fikiria algorithm ya kufungua mabano katika bidhaa ya namba mbili hasi - 4 3 5 na - 2, ya fomu (- 2) · - 4 3 5. Ili kufanya hivyo, badilisha usemi asilia na 2 · 4 3 5 . Hebu tufungue mabano na tupate 2 · 4 3 5 .
Na ikiwa tutachukua mgawo wa nambari hasi (- 4) : (- 2), basi kiingilio baada ya kufungua mabano kitaonekana kama 4: 2.
Badala ya nambari hasi − a na - b inaweza kuwa maneno yoyote yenye ishara ya kutoa mbele ambayo si hesabu au tofauti. Kwa mfano, hizi zinaweza kuwa bidhaa, quotients, sehemu, nguvu, mizizi, logarithms, kazi za trigonometric Nakadhalika.
Hebu tufungue mabano katika usemi - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Kulingana na sheria, tunaweza kufanya mabadiliko yafuatayo: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Kujieleza (− 3) 2 inaweza kugeuzwa kuwa usemi (- 3 2) . Baada ya hayo, unaweza kupanua mabano: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Kugawanya nambari zilizo na ishara tofauti kunaweza pia kuhitaji upanuzi wa awali wa mabano: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 na 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Sheria inaweza kutumika kufanya kuzidisha na mgawanyiko wa maneno na ishara tofauti. Hebu tutoe mifano miwili.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
dhambi (x) (- x 2) = (- dhambi (x) x 2) = - dhambi (x) x 2
Katika bidhaa za nambari tatu au zaidi
Hebu tuendelee kwenye bidhaa na quotients zilizomo kiasi kikubwa nambari. Ili kupanua mabano itafanya kazi hapa kanuni inayofuata. Ikiwa kuna idadi sawa ya nambari hasi, unaweza kuacha mabano na kuchukua nafasi ya nambari na wapinzani wao. Baada ya hayo, unahitaji kuambatanisha usemi unaosababisha katika mabano mapya. Ikiwa kuna nambari isiyo ya kawaida ya nambari hasi, ondoa mabano na ubadilishe nambari na vinyume vyake. Baada ya hayo, usemi unaosababishwa lazima uweke kwenye mabano mapya na ishara ya minus lazima iwekwe mbele yake.
Mfano 2
Kwa mfano, chukua usemi 5 · (− 3) · (− 2) , ambao ni zao la nambari tatu. Kuna nambari mbili hasi, kwa hivyo tunaweza kuandika usemi kama (5 · 3 · 2) na hatimaye kufungua mabano, kupata usemi 5 · 3 · 2.
Katika bidhaa (− 2, 5) · (− 3) : (- 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) nambari tano ni hasi. kwa hiyo (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) = (- 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Baada ya kufungua mabano, tunapata −2.5 3:2 4:1.25:1.
Sheria hapo juu inaweza kuhesabiwa haki kama ifuatavyo. Kwanza, tunaweza kuandika upya misemo kama bidhaa, na kuzibadilisha na kuzidisha kwa nambari ya kubadilishana mgawanyiko. Tunawakilisha kila nambari hasi kama bidhaa ya nambari inayozidisha na - 1 au - 1 inabadilishwa na (− 1) a.
Kwa kutumia sifa ya kubadilisha ya kuzidisha, tunabadilisha vipengele na kuhamisha vipengele vyote sawa na − 1 , hadi mwanzo wa usemi. Bidhaa ya nambari sawa kutoa moja ni sawa na 1, na bidhaa ya nambari isiyo ya kawaida ni sawa na − 1 , ambayo huturuhusu kutumia ishara ya kutoa.
Ikiwa hatukutumia sheria, basi mlolongo wa vitendo kufungua mabano katika usemi - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ingeonekana kama hii:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Sheria iliyo hapo juu inaweza kutumika wakati wa kufungua mabano katika semi zinazowakilisha bidhaa na nukuu zenye ishara ya kutoa ambayo si hesabu au tofauti. Hebu tuchukue kwa mfano usemi
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Inaweza kupunguzwa hadi usemi bila mabano x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Kupanua mabano yanayotanguliwa na ishara +
Fikiria sheria inayoweza kutumika kupanua mabano ambayo hutanguliwa na ishara ya kuongeza, na "yaliyomo" ya mabano hayo hayazidishiwi au kugawanywa na nambari au usemi wowote.
Kwa mujibu wa sheria, mabano, pamoja na ishara mbele yao, huachwa, wakati ishara za maneno yote kwenye mabano zimehifadhiwa. Ikiwa hakuna ishara kabla ya muda wa kwanza katika mabano, basi unahitaji kuweka ishara ya kuongeza.
Mfano 3
Kwa mfano, tunatoa usemi (12 − 3 , 5) − 7 . Kwa kuacha mabano, tunaweka alama za maneno kwenye mabano na kuweka alama ya kujumlisha mbele ya muhula wa kwanza. Ingizo litaonekana kama (12 -3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. Katika mfano uliotolewa, si lazima kuweka ishara mbele ya muda wa kwanza, kwani + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Mfano 4
Hebu tuangalie mfano mwingine. Wacha tuchukue usemi x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x na tufanye vitendo nayo x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Hapa kuna mfano mwingine wa kupanua mabano:
Mfano 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Je, mabano hutanguliwa na alama ya minus hupanuliwa vipi?
Hebu tuzingatie hali ambapo kuna ishara ya kuondoa mbele ya mabano, na ambayo haijazidishwa (au kugawanywa) na nambari yoyote au usemi. Kwa mujibu wa sheria ya kufungua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-", mabano yenye ishara "-" yameachwa, na ishara za maneno yote ndani ya mabano yanabadilishwa.
Mfano 6
Mfano:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Vielezi vilivyo na vigezo vinaweza kubadilishwa kwa kutumia kanuni sawa:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
tunapata x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2.
Kufungua mabano wakati wa kuzidisha nambari kwa mabano, misemo kwa mabano
Hapa tutaangalia hali ambapo unahitaji kupanua mabano ambayo yanazidishwa au kugawanywa na nambari fulani au usemi. Miundo ya umbo (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) au b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Wapi a 1 , a 2 , … , a n na b ni baadhi ya nambari au misemo.
Mfano 7
Kwa mfano, tupanue mabano katika usemi (3 − 7) 2. Kwa mujibu wa sheria, tunaweza kutekeleza mabadiliko yafuatayo: (3 - 7) · 2 = (3 · 2 - 7 · 2) . Tunapata 3 · 2 - 7 · 2 .
Kufungua mabano katika usemi 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, tunapata 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Kuzidisha mabano kwa mabano
Fikiria bidhaa za mabano mawili ya fomu (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Hii itatusaidia kupata sheria ya kufungua mabano wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano.
Ili kutatua mfano uliopewa, tunaashiria usemi (b 1 + b 2) kama b. Hii itaturuhusu kutumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa usemi. Tunapata (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Kwa kufanya uingizwaji wa kinyume b kwa (b 1 + b 2), tena tumia kanuni ya kuzidisha usemi kwa mabano: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Shukrani kwa idadi ya mbinu rahisi, tunaweza kufikia jumla ya bidhaa za kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza kwa kila neno kutoka kwa mabano ya pili. Sheria inaweza kupanuliwa kwa idadi yoyote ya masharti ndani ya mabano.
Wacha tuunda sheria za kuzidisha mabano kwa mabano: kuzidisha hesabu mbili pamoja, unahitaji kuzidisha kila masharti ya jumla ya kwanza kwa kila masharti ya jumla ya pili na kuongeza matokeo.
Formula itaonekana kama hii:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . m b n
Hebu tupanue mabano katika usemi (1 + x) · (x 2 + x + 6) Ni bidhaa ya hesabu mbili. Hebu tuandike suluhisho: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Inafaa kutaja kando kesi hizo ambapo kuna ishara ya minus kwenye mabano pamoja na ishara zaidi. Kwa mfano, chukua usemi (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Kwanza, wacha tuwasilishe misemo kwenye mabano kama hesabu: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Sasa tunaweza kutumia kanuni: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 ·) x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Hebu tufungue mabano: 1 · 3 · x · y - 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 · 2 · x · y 3 · 3 · x · y .
Kupanua mabano katika bidhaa za mabano mengi na misemo
Ikiwa kuna maneno matatu au zaidi katika mabano katika usemi, mabano lazima yafunguliwe kwa kufuatana. Unahitaji kuanza mabadiliko kwa kuweka mambo mawili ya kwanza kwenye mabano. Ndani ya mabano haya tunaweza kufanya mabadiliko kulingana na sheria zilizojadiliwa hapo juu. Kwa mfano, mabano katika usemi (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Usemi huo una mambo matatu kwa wakati mmoja (2 + 4) , 3 na (5 + 7 8) . Tutafungua mabano kwa mlolongo. Wacha tuambatanishe mambo mawili ya kwanza kwenye mabano mengine, ambayo tutafanya nyekundu kwa uwazi: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Kwa mujibu wa sheria ya kuzidisha mabano kwa nambari, tunaweza kufanya vitendo vifuatavyo: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Kuzidisha mabano kwa mabano: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Bracket kwa aina
Digrii, misingi ambayo ni baadhi ya misemo iliyoandikwa kwenye mabano, yenye vielelezo asilia inaweza kuzingatiwa kama bidhaa ya mabano kadhaa. Aidha, kwa mujibu wa sheria kutoka kwa aya mbili zilizopita, zinaweza kuandikwa bila mabano haya.
Fikiria mchakato wa kubadilisha usemi (a + b + c) 2 . Inaweza kuandikwa kama bidhaa ya mabano mawili (a + b + c) · (a + b + c). Hebu tuzidishe mabano kwa mabano na tupate a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Hebu tuangalie mfano mwingine:
Mfano 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Kugawanya mabano kwa nambari na mabano kwa mabano
Kugawanya mabano kwa nambari kunahitaji masharti yote yaliyoambatanishwa kwenye mabano yagawanywe kwa nambari. Kwa mfano, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Mgawanyiko unaweza kwanza kubadilishwa na kuzidisha, baada ya hapo unaweza kutumia sheria inayofaa kwa kufungua mabano kwenye bidhaa. Sheria hiyo hiyo inatumika wakati wa kugawanya mabano kwa mabano.
Kwa mfano, tunahitaji kufungua mabano katika usemi (x + 2) : 2 3 . Ili kufanya hivyo, kwanza badilisha mgawanyiko kwa kuzidisha kwa nambari ya kubadilishana (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Zidisha mabano kwa nambari (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Hapa kuna mfano mwingine wa mgawanyiko kwa mabano:
Mfano 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Wacha tubadilishe mgawanyiko na kuzidisha: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Wacha tufanye kuzidisha: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Agizo la kufungua mabano
Sasa hebu fikiria utaratibu wa matumizi ya sheria zilizojadiliwa hapo juu kwa maneno ya jumla, i.e. kwa maneno ambayo yana jumla na tofauti, bidhaa zilizo na quotients, mabano kwa kiwango cha asili.
Utaratibu:
- hatua ya kwanza ni kuinua mabano kwa nguvu ya asili;
- katika hatua ya pili, ufunguzi wa mabano katika kazi na quotients hufanyika;
- Hatua ya mwisho ni kufungua mabano katika hesabu na tofauti.
Hebu tuchunguze mpangilio wa vitendo kwa kutumia mfano wa usemi (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Wacha tubadilishe kutoka kwa misemo 3 · (− 2) : (− 4) na 6 · (− 7) , ambayo inapaswa kuchukua fomu. ( 32:4 ) na (− 6 · 7) . Tunapobadilisha matokeo yaliyopatikana kwa usemi wa asili, tunapata: (- 5) + 3 · (- 2) : (- 4) - 6 · (- 7) = (- 5) + (3 · 2: 4) - (− 6 · 7) . Fungua mabano: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Wakati wa kushughulika na misemo ambayo ina mabano ndani ya mabano, ni rahisi kufanya mabadiliko kwa kufanya kazi kutoka ndani kwenda nje.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Sehemu hiyo ya mlinganyo ni usemi ulio kwenye mabano. Ili kufungua mabano, angalia ishara mbele ya mabano. Ikiwa kuna ishara ya kuongeza, kufungua mabano katika usemi hautabadilisha chochote: ondoa mabano tu. Ikiwa kuna ishara ya minus, wakati wa kufungua mabano, lazima ubadilishe ishara zote ambazo zilikuwa kwenye mabano kwa zile zilizo kinyume. Kwa mfano, -(2x-3)=-2x+3.
Kuzidisha mabano mawili.
Ikiwa equation ina bidhaa ya mabano mawili, panua mabano kulingana na kanuni ya kawaida. Kila neno katika mabano ya kwanza linazidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili. Nambari zinazotokana zimefupishwa. Katika kesi hii, bidhaa ya "pluses" mbili au "minuses" mbili hutoa neno "plus" ishara, na ikiwa sababu zina. ishara tofauti, kisha inapokea ishara ya kutoa.
Hebu tuzingatie.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Kwa kufungua mabano, wakati mwingine kuinua usemi kwa . Njia za squaring na cubed lazima zijulikane kwa moyo na kukumbukwa.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Fomula za kuunda usemi mkubwa zaidi ya tatu zinaweza kufanywa kwa kutumia pembetatu ya Pascal.
Vyanzo:
- fomula ya upanuzi wa mabano
Imefungwa kwenye mabano shughuli za hisabati inaweza kuwa na vigezo na misemo viwango tofauti matatizo. Ili kuzidisha misemo kama hii, itabidi utafute suluhisho ndani mtazamo wa jumla, kufungua mabano na kurahisisha matokeo. Ikiwa mabano yana utendakazi bila vigeu, tu na maadili ya nambari, basi si lazima kufungua mabano, kwa kuwa ikiwa una kompyuta, mtumiaji wake ana upatikanaji wa rasilimali muhimu sana za kompyuta - ni rahisi kutumia kuliko kurahisisha kujieleza.
Maagizo
Zidisha kwa kufuatana kila moja (au minuend with ) iliyomo kwenye mabano moja na yaliyomo kwenye mabano mengine yote ikiwa unataka kupata matokeo kwa njia ya jumla. Kwa mfano, acha usemi asilia uandikwe kama ifuatavyo: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Kisha kuzidisha kwa mtiririko (yaani, kufungua mabano) kutatoa matokeo yafuatayo: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Rahisisha matokeo kwa kufupisha misemo. Kwa mfano, usemi uliopatikana katika hatua ya awali unaweza kurahisishwa kama ifuatavyo: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Tumia kikokotoo ikiwa unahitaji kuzidisha x sawa na 4.75, yaani (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Ili kuhesabu thamani hii, nenda kwenye tovuti ya injini ya utafutaji ya Google au Nigma na uweke usemi katika sehemu ya hoja katika umbo lake asili (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google itaonyesha 82.265625 mara moja, bila kubofya kitufe, lakini Nigma anahitaji kutuma data kwa seva kwa kubofya kitufe.
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Kwa mfano, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdoti 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 \)
inaweza kurahisishwa.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials ya fomu ya kawaida:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Kwa hivyo, binomial \(12a^2b - 7b\) ina shahada ya tatu, na trinomial \(2b^2 -7b + 6\) ina pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara tofauti.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya usambazaji ya kuzidisha, unaweza kubadilisha (kurahisisha) bidhaa ya monomial na polynomial kuwa polynomial. Kwa mfano:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdoti (-5ab) + 9a^2b \cdoti (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Lazima ushughulike na misemo fulani katika mabadiliko ya aljebra mara nyingi zaidi kuliko zingine. Labda maneno ya kawaida zaidi ni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) na \(a^2 - b^2 \), yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya mraba. Umegundua kuwa majina ya misemo hii yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, \(a + b)^2 \) bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. . Walakini, mraba wa jumla ya a na b haifanyiki mara nyingi sana; kama sheria, badala ya herufi a na b, ina misemo tofauti, wakati mwingine ngumu kabisa.
Maneno \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) yanaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida; kwa kweli, tayari umekutana na kazi hii wakati wa kuzidisha polynomia:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - mraba wa jumla ni sawa na jumla ya miraba na bidhaa mbili.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya miraba bila bidhaa iliyoongezwa mara mbili.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.