Tulipokuwa tukisoma aljebra, tulikutana na dhana za polynomia (kwa mfano ($y-x$,$\2x^2-2x$, n.k.) na sehemu ya aljebra (kwa mfano $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, n.k.) Kufanana kwa dhana hizi ni kwamba sehemu zote mbili za polynomia na aljebra zina viambajengo na thamani za nambari. , na hesabu inafanywa vitendo: kujumlisha, kutoa, kuzidisha, kufafanua tofauti kati ya dhana hizi ni kwamba katika mgawanyiko wa polynomials kwa kutofautiana haufanyiki, lakini katika mgawanyiko wa sehemu za algebra kwa kutofautiana.
Polinomia na sehemu za aljebra huitwa semi za aljebra za kimantiki katika hisabati. Lakini polima ni usemi mzima wa kimantiki, na sehemu za aljebra ni semi za kimantiki za sehemu.
Inawezekana kupata usemi mzima wa algebraic kutoka kwa usemi wa kimantiki kwa kutumia mabadiliko ya utambulisho, ambayo katika kesi hii itakuwa mali kuu ya sehemu - kupunguzwa kwa sehemu. Wacha tuangalie hii kwa vitendo:
Mfano 1
Badilisha:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Suluhisho: Equation hii ya busara ya sehemu inaweza kubadilishwa kwa kutumia mali ya msingi ya kupunguzwa kwa sehemu, i.e. kugawanya nambari na denominator kwa nambari sawa au usemi zaidi ya $0$.
Sehemu hii haiwezi kupunguzwa mara moja;
Wacha tubadilishe usemi katika nambari ya sehemu, kwa hili tunatumia fomula ya mraba wa tofauti: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Sehemu inaonekana kama
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2)))^2)( x-2)=\frac(\kushoto(x-2\kulia)(x-2))(x-2)\]
Sasa tunaona kwamba nambari na dhehebu zina jambo la kawaida - hii ni usemi $x-2$, ambayo tutapunguza sehemu.
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2)))^2)( x-2)=\frac(\kushoto(x-2\kulia)(x-2))(x-2)=x-2\]
Baada ya kupunguzwa, tuligundua kuwa usemi asili wa kimantiki wa sehemu $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ukawa $x-2$ ya aina nyingi, i.e. mantiki nzima.
Sasa hebu tuzingatie ukweli kwamba misemo $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ na $x-2\ $ inaweza kuchukuliwa kuwa sawa si kwa maadili yote ya kutofautisha, kwa sababu ili usemi wa kimantiki wa sehemu uweze kuwepo na kuweza kupunguza kwa polinomia $x-2$, kipunguzo cha sehemu lazima kiwe sawa na $0$ (pamoja na kipengele ambacho tunapunguza. Katika hili mfano, dhehebu na sababu ni sawa, lakini Hii haifanyiki kila wakati).
Thamani za kutofautisha ambazo sehemu ya aljebra itakuwepo huitwa maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha.
Wacha tuweke sharti kwenye dhehebu la sehemu: $x-2≠0$, kisha $x≠2$.
Hii inamaanisha kuwa maneno $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ na $x-2$ yanafanana kwa thamani zote za kigezo isipokuwa $2$.
Ufafanuzi 1
Sawa sawa misemo ni zile ambazo ni sawa kwa maadili yote halali ya kutofautisha.
Ubadilishaji sawa ni uingizwaji wowote wa usemi wa asili na sawa sawa Mabadiliko kama hayo yanajumuisha vitendo: kujumlisha, kutoa, kuzidisha, kuweka kipengele cha kawaida kutoka kwa mabano, kuleta sehemu za aljebra kwa dhehebu moja, kupunguza sehemu za aljebra, kuleta sawa. masharti, nk. Inahitajika kuzingatia kwamba mabadiliko kadhaa, kama vile kupunguza, kupunguzwa kwa maneno sawa, yanaweza kubadilisha maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha.
Mbinu zinazotumika kuthibitisha utambulisho
Leta upande wa kushoto wa kitambulisho kulia au kinyume chake kwa kutumia mabadiliko ya utambulisho
Punguza pande zote mbili kwa usemi sawa kwa kutumia mabadiliko yanayofanana
Hamisha misemo katika sehemu moja ya usemi hadi nyingine na uthibitishe kuwa tofauti inayotokana ni sawa na $0$
Ni ipi kati ya mbinu zilizo hapo juu za kutumia kuthibitisha utambulisho fulani inategemea utambulisho asilia.
Mfano 2
Thibitisha utambulisho $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Suluhisho: Ili kuthibitisha utambulisho huu, tunatumia njia ya kwanza ya hapo juu, yaani, tutabadilisha upande wa kushoto wa utambulisho mpaka ni sawa na haki.
Hebu tuzingatie upande wa kushoto wa kitambulisho: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - inawakilisha tofauti ya polima mbili. Katika kesi hii, polynomial ya kwanza ni mraba wa jumla ya maneno matatu Ili mraba wa jumla ya maneno kadhaa, tunatumia fomula:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuzidisha nambari kwa nambari nyingi Kumbuka kwamba kufanya hivi tunahitaji kuzidisha sababu ya kawaida nyuma ya mabano kwa kila neno la polynomial kwenye mabano.
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Sasa wacha turudi kwenye polynomial asili, itachukua fomu:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Tafadhali kumbuka kuwa kabla ya bracket kuna ishara "-", ambayo ina maana kwamba wakati mabano yanafunguliwa, ishara zote zilizokuwa kwenye mabano hubadilika kinyume chake.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Hebu tuwasilishe sheria na masharti sawa, kisha tupate kwamba monomia $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ na $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ kughairi nyingine, i.e. jumla yao ni $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Hii ina maana kwamba kwa njia ya mageuzi sawa tumepata usemi sawa katika upande wa kushoto wa utambulisho asili.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Kumbuka kuwa usemi unaotokana unaonyesha kuwa utambulisho asilia ni kweli.
Tafadhali kumbuka kuwa katika utambulisho asili thamani zote za kutofautisha zinaruhusiwa, ambayo ina maana kwamba tulithibitisha utambulisho kwa kutumia mabadiliko ya utambulisho, na ni kweli kwa thamani zote zinazowezekana za kutofautisha.
Baada ya kupata wazo la vitambulisho, ni jambo la busara kuendelea kuzoeana. Katika nakala hii tutajibu swali la maneno ambayo ni sawa, na pia tutatumia mifano kuelewa ni misemo gani iliyo sawa na ambayo sio.
Urambazaji wa ukurasa.
Ni maneno gani yanayofanana sawa?
Ufafanuzi wa misemo sawa sawa hutolewa sambamba na ufafanuzi wa utambulisho. Hii hutokea katika darasa la 7 la algebra. Katika kitabu cha algebra kwa daraja la 7 na mwandishi Yu.
Ufafanuzi.
- hizi ni misemo ambayo maadili yake ni sawa kwa maadili yoyote ya vigezo vilivyojumuishwa ndani yao. Maneno ya nambari ambayo yana maadili yanayofanana pia huitwa sawa sawa.
Ufafanuzi huu unatumika hadi daraja la 8 na ni halali kwa maneno yote, kwa kuwa zina mantiki kwa maadili yoyote ya vigeu vilivyojumuishwa ndani yao. Na katika daraja la 8, ufafanuzi wa maneno sawa sawa hufafanuliwa. Wacha tueleze hii inaunganishwa na nini.
Katika daraja la 8, masomo ya aina zingine za misemo huanza, ambayo, tofauti na misemo nzima, inaweza kuwa na maana kwa maadili fulani ya anuwai. Hii inalazimisha ufafanuzi wa maadili halali na batili ya kutofautisha, pamoja na anuwai ya thamani zinazoruhusiwa za thamani inayokubalika kutofautiana, na kama matokeo - kufafanua ufafanuzi wa misemo sawa sawa.
Ufafanuzi.
Maneno mawili ambayo maadili yake ni sawa kwa maadili yote yanayoruhusiwa ya vigezo vilivyojumuishwa ndani yao huitwa. maneno sawa sawa. Semi mbili za nambari zilizo na maadili sawa pia huitwa sawa sawa.
Katika ufafanuzi huu wa misemo sawa, inafaa kufafanua maana ya kifungu "kwa maadili yote yanayoruhusiwa ya anuwai iliyojumuishwa ndani yao." Inamaanisha maadili yote kama haya ya anuwai ambayo misemo sawa sawa ina maana kwa wakati mmoja. Tutaeleza wazo hili katika aya inayofuata kwa kuangalia mifano.
Ufafanuzi wa misemo sawa katika kitabu cha maandishi cha A. G. Mordkovich hutolewa tofauti kidogo:
Ufafanuzi.
Vielezi sawa sawa- haya ni maneno kwenye pande za kushoto na kulia za utambulisho.
Maana ya hili na fasili zilizotangulia zinapatana.
Mifano ya maneno sawa sawa
Ufafanuzi ulioletwa katika aya iliyotangulia huturuhusu kutoa mifano ya maneno sawa sawa.
Wacha tuanze na maneno ya nambari sawa. Maneno ya nambari 1+2 na 2+1 ni sawa, kwani yanalingana na maadili sawa 3 na 3. Maneno 5 na 30:6 pia ni sawa sawa, kama vile misemo (2 2) 3 na 2 6 (thamani za misemo ya mwisho ni sawa kwa mujibu wa ). Lakini misemo ya nambari 3+2 na 3−2 sio sawa, kwani inalingana na maadili 5 na 1, mtawaliwa, na sio sawa.
Sasa hebu tutoe mifano ya maneno sawa sawa na vigezo. Hizi ndizo misemo a+b na b+a. Kwa kweli, kwa maadili yoyote ya anuwai a na b, misemo iliyoandikwa huchukua maadili sawa (kama ifuatavyo kutoka kwa nambari). Kwa mfano, na a=1 na b=2 tuna a+b=1+2=3 na b+a=2+1=3 . Kwa thamani zingine zozote za viambishi a na b, tutapata pia thamani sawa za misemo hii. Semi 0·x·y·z na 0 pia ni sawa sawa kwa thamani zozote za vigeuzo x, y na z. Lakini misemo 2 x na 3 x sio sawa, kwani, kwa mfano, wakati x=1 maadili yao sio sawa. Hakika, kwa x=1, usemi 2 x ni sawa na 2 x 1=2, na usemi 3 x ni sawa na 3 x 1=3.
Wakati safu za thamani zinazokubalika za vigeu katika misemo zinapatana, kama, kwa mfano, katika misemo a+1 na 1+a, au a·b·0 na 0, au na, na thamani za misemo hii. ni sawa kwa maadili yote ya anuwai kutoka kwa maeneo haya, basi hapa kila kitu kiko wazi - misemo hii ni sawa kwa maadili yote yanayoruhusiwa ya anuwai iliyojumuishwa ndani yao. Kwa hivyo a+1≡1+a kwa yoyote a, semi a·b·0 na 0 ni sawa sawa kwa thamani zozote za viambajengo a na b, na misemo na ni sawa sawa kwa zote x za ; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 17. - M.: Elimu, 2008. - 240 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Wacha tuangalie usawa mbili:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Usawa huu utashikilia kwa maadili yoyote ya tofauti a. Aina mbalimbali za thamani zinazokubalika kwa usawa huo zitakuwa seti nzima ya nambari halisi.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Ukosefu huu wa usawa utakuwa wa kweli kwa thamani zote za tofauti a, isipokuwa kwa sawa na sifuri. Aina mbalimbali za thamani zinazokubalika za ukosefu huu wa usawa zitakuwa seti nzima ya nambari halisi isipokuwa sifuri.
Kwa kila moja ya usawa huu inaweza kubishaniwa kuwa itakuwa kweli kwa maadili yoyote yanayokubalika ya anuwai a. Usawa kama huo katika hisabati huitwa vitambulisho.
Dhana ya utambulisho
Utambulisho ni usawa ambao ni kweli kwa thamani zozote zinazokubalika za vigeu. Ukibadilisha thamani zozote halali katika usawa huu badala ya vigeu, unapaswa kupata usawa sahihi wa nambari.
Ni vyema kutambua kwamba usawa wa kweli wa nambari pia ni vitambulisho. Vitambulisho, kwa mfano, vitakuwa mali ya vitendo kwenye nambari.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Ikiwa misemo miwili ya vigezo vyovyote vinavyokubalika ni sawa, basi misemo kama hiyo huitwa sawa sawa. Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya misemo sawa sawa:
1. (a 2) 4 na a 8;
2. a*b*(-a^2*b) na -a 3 *b 2;
3. ((x 3 *x 8)/x) na x 10.
Tunaweza kubadilisha usemi mmoja kila wakati na usemi mwingine wowote sawa na wa kwanza. Uingizwaji kama huo utakuwa mabadiliko ya kitambulisho.
Mifano ya utambulisho
Mfano 1: ni usawa ufuatao unafanana:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Sio maneno yote yaliyowasilishwa hapo juu yatakuwa vitambulisho. Kati ya usawa huu, ni 1, 2 na 3 tu ya usawa ni utambulisho. Haijalishi ni nambari gani tunabadilisha ndani yao, badala ya vigeu a na b bado tutapata usawa sahihi wa nambari.
Lakini 4 usawa sio kitambulisho tena. Kwa sababu usawa huu hautadumu kwa thamani zote halali. Kwa mfano, na maadili = 5 na b = 2, matokeo yafuatayo yatapatikana:
Usawa huu sio kweli, kwani nambari 3 sio sawa na nambari -3.
Mada"Uthibitisho wa utambulisho» Daraja la 7 (KRO)
Kitabu cha kiada Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Malengo ya Somo
Kielimu:
kuanzisha na kuunganisha dhana za "maneno sawa sawa", "kitambulisho", "mabadiliko sawa";
kuzingatia njia za kuthibitisha utambulisho, kukuza maendeleo ya ujuzi kuthibitisha utambulisho;
kuangalia uigaji wa wanafunzi wa nyenzo zilizofunikwa, kukuza uwezo wa kutumia kile wamejifunza kutambua mambo mapya.
Maendeleo:
Kuendeleza hotuba ya kihisabati yenye uwezo wa wanafunzi (kuboresha na kutatiza msamiati unapotumia maneno maalum ya hisabati),
kuendeleza kufikiri,
Kielimu: kukuza bidii, usahihi, na kurekodi sahihi kwa suluhisho la mazoezi.
Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya
Wakati wa madarasa
1 . Wakati wa kuandaa.
Kuangalia kazi ya nyumbani.
Maswali ya kazi ya nyumbani.
Uchambuzi wa suluhisho kwenye bodi.
Hisabati inahitajika
Haiwezekani bila yeye
Tunafundisha, tunafundisha, marafiki,
Tunakumbuka nini asubuhi?
2 . Hebu tufanye joto-up.
Matokeo ya nyongeza. (Jumla)
Je! unajua nambari ngapi? (Kumi)
Sehemu ya mia ya nambari. (Asilimia)
Matokeo ya mgawanyiko? (Privat)
Nambari ndogo zaidi ya asili? (1)
Inawezekana kupata sifuri wakati wa kugawanya nambari za asili? (Hapana)
Taja nambari kamili hasi. (-1)
Nambari gani haiwezi kugawanywa na? (0)
Matokeo ya kuzidisha? (Kazi)
Matokeo ya kutoa. (Tofauti)
Mali ya ubadilishaji ya nyongeza. (Jumla haibadiliki kwa kupanga upya maeneo ya masharti)
Sifa ya kubadilisha ya kuzidisha. (Bidhaa haibadiliki kutoka kwa kupanga upya maeneo ya sababu)
Kusoma mada mpya (ufafanuzi na kuandika kwenye daftari)
Wacha tupate thamani ya misemo ya x=5 na y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Tulipata matokeo sawa. Kutoka kwa mali ya usambazaji inafuata kwamba kwa ujumla, kwa maadili yoyote ya vigezo, maadili ya maneno 3 (x+y) na 3x+3y ni sawa.
Hebu sasa tuzingatie misemo 2x+y na 2xy. Wakati x=1 na y=2 wanachukua maadili sawa:
Walakini, unaweza kutaja maadili ya x na y hivi kwamba maadili ya misemo haya si sawa. Kwa mfano, ikiwa x=3, y=4, basi
Ufafanuzi: Semi mbili ambazo thamani zake ni sawa kwa maadili yoyote ya vigeu huitwa sawa sawa.
Semi 3(x+y) na 3x+3y ni sawa, lakini semi 2x+y na 2xy si sawa sawa.
Usawa wa 3(x+y) na 3x+3y ni kweli kwa thamani zozote za x na y. Usawa kama huo huitwa utambulisho.
Ufafanuzi: Usawa ambao ni kweli kwa maadili yoyote ya vigezo huitwa kitambulisho.
Usawa wa kweli wa nambari pia huzingatiwa vitambulisho. Tayari tumekutana na vitambulisho. Utambulisho ni usawa unaoelezea sifa za kimsingi za shughuli kwenye nambari (Wanafunzi wanatoa maoni juu ya kila mali, wakitamka).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Toa mifano mingine ya utambulisho
Ufafanuzi: Kubadilisha usemi mmoja na usemi mwingine unaofanana kunaitwa badiliko linalofanana au badiliko la usemi.
Mabadiliko sawa ya misemo na vigezo hufanywa kulingana na mali ya shughuli kwenye nambari.
Mabadiliko sawa ya misemo hutumiwa sana katika kuhesabu maadili ya misemo na kutatua shida zingine. Tayari umelazimika kufanya mabadiliko yanayofanana, kwa mfano, kuleta maneno sawa, kufungua mabano.
5 . No. 691, No. 692 (pamoja na kutamka sheria za kufungua mabano, kuzidisha nambari hasi na chanya)
Vitambulisho vya kuchagua suluhisho la busara:(kazi ya mbele)
6 . Kwa muhtasari wa somo.
Mwalimu anauliza maswali, na wanafunzi hujibu kwa hiari yao.
Ni maneno gani mawili yanayosemwa kuwa sawa? Toa mifano.
Ni aina gani ya usawa inaitwa utambulisho? Toa mfano.
Je, unajua mabadiliko gani ya utambulisho?
7. Kazi ya nyumbani. Jifunze ufafanuzi, Toa mifano ya maneno yanayofanana (angalau 5), yaandike kwenye daftari lako