MOSKVA HARIDUSOSAKOND

Riigieelarve spetsialist

haridusasutus Moskva linnad

« Polütehniline kolledž nr 47 V.G. Fedorov"

(GBPOU PT nr 47)

Metoodiline arendus

füüsikatund 1. kursuse õpilastele

sellel teemal: "Matemaatiline pendel.

Võnkuva liikumise dünaamika"

VKK füüsikaõpetaja

Moskva, 2016

Tunni metoodiline areng on koostatud vastavalt Föderaalse eripedagoogika ja eripedagoogika haridusstandardi nõuetele. Tunnistsenaarium rakendab aineõpetuse protsessis info- ja kommunikatsioonitehnoloogia elemente ning probleemipõhist tegevusmeetodit teadmiste kujundamiseks ja süstematiseerimiseks.

Tunni tüüp : kombineeritud.

Tunni eesmärk : universaalsete haridustoimingute kujundamine tegevusmeetodi tehnoloogias uute teadmiste avastamise tunnis.

Tunni eesmärgid:

1. Umbes hariv: edendada teadmisi selle kohta füüsilised alused mehaanilised vibratsioonid, moodustavad selliseid mõisteid nagu matemaatiline pendel, periood, võnkesagedus; katseliselt kehtestada matemaatiliste ja vedrupendlite võnkeseadusi; kaaluda pendli võnkumiste põhjuseid ja iseärasusi.

2. B indoktrineeritud: luua tingimused positiivseks motivatsiooniks haridustegevus, et teha kindlaks õpilaste teadmiste ja oskuste kvaliteet ja tase; arendada suhtlemisoskust mingil teemal avalikult esineda ja dialoogi pidada; vastu huvi säilitada teaduslikud teadmised ja ainele "Füüsika".

3. Arenguline: jätkuvalt arendada oskust analüüsida, süstematiseerida, üldistada teoreetilist akadeemilised teadmised ja katseliselt saadud andmed; edendada oskuste omandamist iseseisev töö suure teabehulgaga, oskus sõnastada hüpotees ja visandada selle lahendamise viise rühmaprojekti tegevuste käigus.

Seadmed ja materjalid : arvuti, multimeedia projektor, ekraan, esitlus tunni jaoks, videotund, laboritehnika õpilastele: statiiv, niitpendel, vedrupendel, erineva massiga raskused, erineva jäikusega vedrud, joonlauad, stopper, Jaotusmaterjal, õpik (põhi- ja eritasemed) füüsikas_klass 11 (autorid: G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, V.M. Charugin, toimetanud N.A. Parfentyeva, M. Prosveštšenie, 2015).

Tunni aeg: 90 minutit (paar).

Tunni struktuur

Isiklik:

hariduskoostöö planeerimine

Mängib laul "Tiivuline kiik". sissejuhatusõpetaja. Tunni moto: "Võimed on nagu lihased, need kasvavad koos treenimisega." (Nõukogude geoloog ja geograaf V.A. Obrutšev)

Õpilased tervitavad õpetajat, istuvad maha ja kuulavad õpetajat.

2. Motivatsioon õppetegevuseks

1) Korraldada õpilasele õppetegevuse nõuete ajakohastamine (“ vajalik»).

2) Korraldage õpilaste tegevusi, et luua temaatilised raamistikud (“ Saab»).

3) Luua tingimused, et õpilane kogeks edusituatsiooni ja sisemist vajadust õppetegevusse kaasamise järele (“ Tahad»).

Regulatiivne: tahtlik eneseregulatsioon.

Isiklik: tähendusloome tegevus.

1) Õpetaja soovitab leida seose laulu ja tunni teema vahel.

2) Tahvlil on ristsõna tunni teemat määrava mõiste äraarvamiseks.

3) Õpetaja kirjutab tahvlile tunni kuupäeva ja teema.

4) Õpetaja sõnastab tunni eesmärgi ja eesmärgid.

1) Õpilased leiavad seose kiige ja pendli liikumise vahel.

2) oletada märksõna ristsõna "võnkumine".

3) Kirjutage tunni kuupäev ja teema vihikusse.

3. Värskenda taustateadmine ja raskuste fikseerimine probleemõppes

1) Korraldage uuritud tegevusmeetodite ajakohastamine, mis on piisav uute teadmiste loomiseks.

2) Salvestage kõnes uuendatud tegevusmeetodid.

3) Salvestage uuendatud tegevusmeetodid märkides (standardites).

4) Korraldada ajakohastatud tegevusmeetodite üldistus.

5) Korraldage värskendamist vaimsed operatsioonid, piisav uute teadmiste loomiseks.

6) Motiveerige probleemõppe tegevusi ("vaja-saab-taha").

7) Korraldage oma (Grupp) rakendamine probleemne hariv tegevus.

8) Korraldada õpilaste individuaalsete raskuste fikseerimine katselise kasvatustegevuse sooritamisel või selle põhjendamisel.

Kognitiivne:

Üldharidus: oskus struktureerida teadmisi, kontrollida ja hinnata tegevuste protsessi ja tulemusi;

ajumäng: analüüs, süntees, võrdlusaluste valik.

Regulatiivne:

prognoosimine(proovitoimingu analüüsimisel enne selle sooritamist); kontroll, korrigeerimine(kontrollimisel iseseisev ülesanne)

1) Tahvli tabelis " TEADIS – ÕPPIN – TAHAN TEADA” täidab õpetaja esimene veerg

2) Demonstratsioon videotund (9:20) « Tasuta ja sunnitud võnkumised».

3) Tahvlil olevas tabelis “TEADIS - ÕPPINUD - TAHAN TEADA” täidab õpetaja teine ​​veergõpilaste vastuste tabelid.

1. Mis on mehaaniline vibratsioon.

2. Võnkusüsteemid ja pendel.

3. Vabad ja sunnitud vibratsioonid.

4. Võnkumiste olemasolu tingimused.

4) Tahvlil olevas tabelis “TEADIS - ÕPPINUD - MA TAHAN TEADA » täidab õpetaja kolmas veergõpilaste vastuste tabelid, kasutades:

slaid "Pendi kasutamine" tunni esitlusest;

video demonstratsioon "Soojuskompensatsiooni pendlid" avi. (2 minutit)

1) Õpilased pakuvad salvestamiseks teema kohta varem omandatud teadmisi.

2) Õpilased vaatavad videotundi.

3) Õpilased paarikaupa arutada ja pakkumine teemal omandatud teadmiste jäädvustamiseks.

4) Õpilased pakuvad oma antud teemal omandatud teadmisi jäädvustamiseks.

4. Raskuse asukoha ja põhjuse väljaselgitamine

1) Korraldada lõpetatud toimingute taastamine.

2) Korraldage raskuse tekkimise koha (sammu, operatsiooni) salvestamine.

3) Korraldage oma tegevuste korrelatsioon kasutatavate standarditega (algoritm, kontseptsioon).

4) Korraldage tuvastamine ja salvestamine väliskõne raskuste põhjused - need spetsiifilised teadmised, võimed, oskused, mis puuduvad seda tüüpi esialgse probleemi lahendamiseks.

Kognitiivne: lavastamine ja formuleerimine haridusprobleem.

1) Õpetaja soovitab avada õpik Füüsika 11. klass, lk 58 lk 20 “Matemaatika pendel”.

slaid "Matemaatiline pendel".

Õpetaja küsib küsimusi:

1. Kuidas nimetatakse matemaatilist pendlit?

2. Millised jõud mõjuvad liikuvale pendlile?

3. Millist tööd need jõud teevad?

4. Kuhu see on suunatud?

tsentripetaalne kiirendus pendel?

5. Kuidas muutub keerme koormuse kiirus suurusjärgus ja suunas?

6. Millistel tingimustel pendel vabalt võngub?

2) Ekraanil demo esitlusest slaid "Võnkuva liikumise dünaamika" . Õpetaja selgitus.

1. Vedrul võnkuva keha liikumisvõrrand.

ma x = - kx;

a x = - (k/m) x X (1)

2. Keermel võnkuva keha liikumisvõrrand.

ma t = - mg x sina; a t = - g x sina;

a t = - ( g / L ) X X (2)

3. Tehke järeldus, kui korrutate (1) ja (2) arvuga m , siis resultantjõud kahel juhul…..(jätka vastust)

4. Kirjutage üles arvutamiseks kasutatavad valemid (Füüsika 11. klass, lk 64-65)

periood, sagedus, tsükliline sagedus.

Huygensi valem (kehtib ainult väikeste läbipaindenurkade korral).

1) Õpilased töötavad iseseisvalt õppematerjal, lugege, arutlege küsimuste vastused paaris ja vastake valjusti.

2) Õpilased kuulavad ja kirjutavad vihikusse võrrandeid.

3. Vastus: on otseselt võrdeline võnkuva keha nihkega tasakaaluasendist ja on suunatud sellele nihkele vastupidises suunas.

4. Õpilased kirjutavad vihikusse (töö õpikuga).

5. Projekti koostamine raskusest väljatulekuks

Raskustest väljumiseks korraldage projekti ehitamine:

1) Õpilased seada projekti eesmärk(eesmärk on alati kõrvaldada probleemi põhjus).

2) Õpilased selgitavad ja lepivad kokku projekti teema ja eesmärgi.

3) Õpilased määrata vahendid(algoritmid, mudelid, teatmeteosed jne).

4) Õpilased sõnastada samme mida tuleb projekti elluviimiseks teha.

Regulatiivne:

eesmärgi seadmine kui seadistus hariduslik ülesanne, planeerimine, prognoosimine

Kognitiivne:

Üldharidus: märk-sümboliline-modelleerimine; valik kõige rohkem tõhusaid viise probleemide lahendamine sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

1. Õpetaja jagab õpilaste rühma 6 alarühma viia läbi miniprojekte suuruste sõltuvuse uurimiseks võnkesüsteem.

2. Ohutusmeetmed:

Paigaldusega võivad töötada selle ehitust ja tööpõhimõtet tundvad isikud.

Seadme ümbermineku vältimiseks tuleb see asetada ainult horisontaalsele pinnale.

3. Kuva esitluse ekraanil alarühmade ülesannetega slaidid.

Rühm nr 1 “Võnkeperioodi sõltuvuse uurimine matemaatiline pendel amplituudist." Joonistage selle seose graafik.

Rühm nr 2 "Matemaatilise pendli võnkeperioodi sõltuvuse uurimine koormuse massist." Joonistage selle seose graafik.

Grupp nr 3 "Matemaatilise pendli võnkeperioodi keerme pikkusest sõltuvuse uurimine." Joonistage selle seose graafik.

Rühm nr 4 “Võnkeperioodi sõltuvuse uurimine vedru pendel amplituudist." Joonistage selle seose graafik.

Rühm nr 5 "Uuring vedrupendli võnkeperioodi sõltuvusest koormuse massist." Joonistage selle seose graafik.

Rühm nr 6 "Uuring vedrupendli võnkeperioodi sõltuvusest vedru jäikusest." Joonistage selle seose graafik.

Tehke ülesandeid rühmades plaani järgi:

- püstitada hüpotees;

- viia läbi eksperiment;

- salvestada saadud andmed;

- analüüsida tulemust;

- koostada võnkesüsteemi parameetrite sõltuvuse graafik;

- teha järeldus.

6. Valminud projekti elluviimine

1) Korraldada uue tegevusviisi fikseerimine vastavalt plaanile.

2) Korraldada kõnes uue tegevusviisi jäädvustamine.

3) Korraldada märkides uue tegevusviisi fikseerimine (standardi abil).

4) Korraldage raskuste ületamise arvestus.

5) Korraldage selgitamine üldine uued teadmised (oskus kasutada uut tegevusmeetodit kõigi ülesannete lahendamiseks seda tüüpi).

Kommunikatiivne:

haridusalase koostöö planeerimine eakaaslastega, proaktiivne koostöö teabe otsimisel ja kogumisel; partneri käitumise juhtimine; oskus oma mõtteid väljendada.

Kognitiivne:

Üldharidus:

teabeotsingu meetodite rakendamine, semantiline lugemine teaduslik tekst, oskus teadlikult ja vabatahtlikult ehitada kõne lausung.

ajumäng:

Ehitus loogikalülitus arutluskäik, analüüs, süntees. hüpoteeside püstitamine ja nende põhjendamine.

UUD probleemide seadmiseks ja lahendamiseks:

omalooming Otsinguprobleemide lahendamise viisid.

1) Õpetaja kontrollib ja korrigeerib uurimistöö kulgu rühmades.

2) Õpetaja, lähenedes igale rühmale, esitab küsimusi:

Milliseid füüsikalisi suurusi hoiate konstantsena?

Milliseid füüsikalisi suurusi te muudate?

Milliseid mõõta?

Milliseid ma peaksin arvutama?

T mm . = 2
;

T pr.m .= 2
.

Vastused:

Grupp nr 1: Periood m.m. ei sõltu amplituudist.

Grupp nr 2: Periood m.m. ei sõltu koorma massist.

Grupp nr 3: Periood m.m. sõltub otseselt proportsionaalselt ruutmeetriga. niidi pikkuse juur. T ~

Grupp nr 4: Periood pr.m. ei sõltu amplituudist.

Grupp nr 5: Periood pr.m. sõltub otseselt proportsionaalselt ruutmeetriga. koormuse massi juur. T~

Grupp nr 6: Periood pr.m. sõltub pöördvõrdeliselt ruutmeetrist. vedru jäikuse juur. T~

7. Esmane konsolideerumine väliskõnes

Korraldage õpilaste tegevusmeetodi omaksvõtt seda tüüpi probleemide lahendamisel oma hääldusega väliskõnes:

Eesmine;

- paarides või rühmades.

Kommunikatiivne:

partneri(te) käitumise juhtimine;

Oskus oma mõtteid väljendada.

1) Esitluses ekraanil slaididel saadud katseandmete kontrollimine referentsvastusega.

2) Kas matemaatilise pendli võnke periood ja sagedus muutub, kui see viiakse Kuule, kus kiirendus vabalangus 6 korda vähem kui Maal? Kui see muutub, siis kuidas? Seletama.

1) Õpilased parandavad vihikusse märkmeid ja graafikuid.

2) Periood mm. suurendama, sest periood on pöördvõrdeline g , A sagedus väheneb, sest sagedus on otseselt võrdeline g .

8.Iseseisev töö enesetestiga vastavalt standardile

1) Korraldada eneseteostusõpilased tüüpilised ülesanded peal uus viis tegevused.

2) Korraldada töö korrelatsioon enesetesti standardiga.

3) Korraldada töö verbaalne võrdlemine enesetesti standardiga(astmelise kontrolli korraldamine).

4) Iseseisva töö tulemuste põhjal korraldada tegevuste kajastamist uue tegevusmeetodi kasutamise kohta.

Regulatiivne:

kontroll tegevusmeetodi ja selle tulemuse võrdlemise näol etteantud standardiga; õppe kvaliteedi ja taseme hindamine; parandus.

1) Kvalitatiivsed küsimused teemal (vt esitlusslaidid).

2) Lahendus arvutusprobleemid (vaata esitluse slaide) - omapäi:

Esimene tase- tutvumine (varem õpitu tunnustamine);

Piisav tase- reproduktiivne (mudeli järgi teostamine);

Kõrge tase-produktiivne ( sõltumatu otsus probleemülesanne).

3) Esitlusslaidid ekraanil, et ülesandeid valjusti kontrollida.

1) Vasta valjult suuliselt.

2) Õpilased valivad ise ülesande taseme ja sooritavad selle iseseisvalt.

9. Teadmussüsteemi kaasamine ja kordamine

1) Korraldada ülesannete tüüpide kindlaksmääramine, kus tegevusmeetodit kasutatakse.

2) Korraldage kordamine hariv sisu vajalik tähendusliku järjepidevuse tagamiseks.

Regulatiivne:

prognoosimine

Esitlusslaidid ekraanil koos toetav kontuurõppetund. Õpetaja kordab õpitud materjali. Parandab vigu õpilaste vastustes. Eesmärk on õpilastel lahendada raskused, mis tekivad õppetegevuses järgmistes tundides.

Slaidi "Pane ennast proovile"

Õpilased kuulavad kordamise ajal küsimusi ja vastavad lühidalt. Saadud tulemusi kokku võttes sõnastavad õpilased iseseisvalt järeldused:

- m.m. periood sõltub keerme pikkusest ja raskuskiirendusest ega sõltu koormuse massi võnkumiste amplituudist;

- pr.m. periood sõltub koormuse massist ja vedru jäikusest ning ei sõltu võnkumiste amplituudist.

10. Õppetegevuse refleksioon

1) Korraldada uue sisu fikseerimine tunnis õpitud.

2) Korraldada õppetegevuse reflektiivne analüüsõpilastele teadaolevate nõuete täitmise seisukohalt.

3) Korraldada õpilaste hinnang enda tegevusele tunnis.

4) Korraldada tunnis lahendamata raskuste parandamine suundadena edaspidiseks õppetegevuseks.

5) Korraldada kodutööde salvestamine ja arutamine.

Kognitiivne:

üldhariduslik: oskus teadmisi struktureerida, tegevuste protsessi ja tulemuste hindamine.

Kommunikatiivne:

oskus oma mõtteid väljendada.

Regulatiivne:

tahtlik eneseregulatsioon, hindamine - juba õpitu esiletõstmine ja teadvustamine, mis vajab veel õppimist, prognoosimine.

1) Analüüs ja praktiline kasutamine omandatud teadmisi.

Kus seda kasutatakse? see sõltuvus?

(vt slaidi "See on huvitav")

Refleksioon korraldatakse tunni lõpus mudeli abil"Kella nägu" - õpilastel palutakse joonistada sellesse sektorisse nool(Sihverplaadi 4 sektorit – “Saan hästi aru, oskan teistele seletada”, “Saan aru, aga probleemide lahendamine tekitab raskusi”, “Kõik pole selge, probleemide lahendamine tekitab raskusi”, “Ma ei saanud peaaegu mitte millestki aru”) , mis nende arvates vastab kõige enam nende teadmiste tasemele uue materjali kohta.(Seda meetodit saab kasutada märkmiku paberil.)

3) Õpetaja võtab kokku sihverplaadi 1-2 sektori täitumise suure protsendi!

4) Tunni hinded.

5) Kodutööde salvestamine ja arutamine.

D/Z: Füüsika 11. klass, lk 53-66, lõigud 18-22, küsimused.

1. harjutus: Mõõtke oma pulssi 30 sekundi pärast. Määrake oma südamelöökide periood ja sagedus.

2. ülesanne : Tehke olemasolevatest materjalidest matemaatiline pendel ja määrake selle periood ja võnkesagedus.

Vastus: Esimese kella kujundus põhines matemaatilise pendli tegevusel. Nende kellade liikumist reguleeris vedrustuse keerme pikkus. Matemaatilise pendli abil on gravitatsioonikiirenduse mõõtmine väga lihtne. G väärtus varieerub sõltuvalt struktuurist maakoor, teatud mineraalide olemasolust selles, seetõttu kasutavad geoloogid maardlate uurimisel endiselt seadet, mis põhineb matemaatilise pendli võnkeperioodi sõltuvusel g väärtusest.. Tõestamiseks kasutati pendlit igapäevane rotatsioon Maa.

Õpilased panevad kirja D/Z.

11. Õppetunni kokkuvõtte tegemine

Pühenduma positiivne kalduvus omandada uusi teadmisi.

Poisid, õppige füüsikat ja proovige oma teadmisi elus rakendada. Soovin teile edu!

www . krono . info / elulugu / imena . html - teadlaste elulood;

V.F. Dmitrijeva FÜÜSIKA elukutsete ja erialade jaoks tehniline profiil, M., "Akadeemia", 2010;

Glazunov A.T., Kabardin O.F., Malinin A.N., toimetanud A.A. Pinsky FÜÜSIKA_õpik 11. klassile koos süvaõpe füüsikud, M., "Valgustus", 2008;

L.E. Gendenshtein, Yu.I.Dick FÜÜSIKA_õpik 11. klassile algtase, M., "Ilexa", 2008;

G.Ya. Mjakišev, B. B. Bukhovtsev, V. M. Charugin _FÜÜSIKA_õpik 11. klassi põhi- ja profiili tase, M., "Valgustus", 2015.

LOENG nr 8

Mehaanika

Võnkumised

Võnkuv liikumine. Võnkulise liikumise kinemaatilised ja dünaamilised omadused. Matemaatiline, füüsikaline ja vedrupendel.

Me elame maailmas, kus võnkeprotsessid on meie maailma lahutamatu osa ja neid leidub kõikjal.

Võnkumisprotsess ehk võnkumine on protsess, mida iseloomustab erinev korratavus.

Kui võnkuv suurus kordab oma väärtusi võrdsete ajavahemike järel, nimetatakse selliseid võnkumisi perioodilisteks ja neid ajavahemikke nimetatakse võnkeperioodiks.

Sõltuvalt sellest, füüsiline olemus nähtusi eristatakse vibratsiooni järgi: mehaaniline, elektromehaaniline, elektromagnetiline jne.

Võnkumised on looduses ja tehnikas laialt levinud. Mõnede mehaanika harude aluseks on võnkeprotsessid. Selles loengukursuses räägime ainult mehaanilistest vibratsioonidest.

Olenevalt võnkesüsteemile avalduva löögi iseloomust eristatakse võnkumisi: 1. Vabad või loomulikud, 2. Sundvõnked, 3. Isevõnked, 4. Parameetrilised võnked.

Vaba vibratsioon on vibratsioon, mis tekib ilma välismõjuta ja on põhjustatud esialgsest "tõukest".

Sundvõnkumised tekivad perioodilise välisjõu mõjul

Isevõnkumised toimuvad ka välisjõu mõjul, kuid jõu mõju momendi süsteemile määrab võnkesüsteem ise.

Parameetriliste võnkumiste korral toimub välismõjude mõjul süsteemi parameetrite perioodiline muutus, mis põhjustab seda tüüpi võnkumisi.

Lihtsaim vorm on harmoonilised vibratsioonid

Harmoonilised võnked on vibratsioonid, mis tekivad vastavalt seaduselepatt võicos . Harmooniliste võnkumiste näiteks on matemaatilise pendli võnkumine

Nimetatakse võnkuva suuruse maksimaalset hälvet võnkeprotsessi ajal võnkumiste amplituud(A) . Aega, mis kulub ühe täieliku võnkumise sooritamiseks, nimetatakse võnkeperiood(T) . Võnkeperioodi pöördväärtust nimetatakse vibratsiooni sagedus(). Tihti nimetatakse vibratsioone, mis on korrutatud 2-ga tsükliline sagedus(). Seega kirjeldatakse harmoonilisi vibratsioone avaldisega

Siin ( t+  0 ) võnkefaas ja  0 - algfaas

Lihtsamad mehaanilised võnkesüsteemid on nn matemaatilised, vedru- ja füüsikalised pendlid. Vaatame neid pendleid üksikasjalikumalt

8.1. Matemaatika pendel

Matemaatiline pendel on võnkesüsteem, mis koosneb massiivsest punktkehast, mis ripub raskusväljas pikendamatul kaaluta niidil.

Alumises punktis on pendli potentsiaalne energia minimaalne. Painutame pendli nurga  võrra. Massiivse punktkeha raskuskese tõuseb kõrgusele  h ja samal ajal suureneb pendli potentsiaalne energia summa võrra mg h. Lisaks mõjutab läbipaindunud asendis koormust raskusjõud ja keerme pinge. Nende jõudude toimejooned ei lange kokku ja koormusele mõjub resultantjõud, mis kipub selle tasakaaluasendisse tagasi viima. Kui koormust ei hoita, hakkab see selle jõu mõjul liikuma algsesse tasakaaluasendisse, selle kineetiline energia suureneb kiiruse suurenemise tõttu, samas kui potentsiaalne energia väheneb. Tasakaalupunkti saavutamisel tekkiv jõud kehale enam ei mõju (selles punktis raskusjõud kompenseeritakse keerme tõmbejõuga). Keha potentsiaalne energia on sel hetkel minimaalne ja kineetilisel energial on vastupidi maksimaalne väärtus. Inertsist liikuv keha läbib tasakaaluasendi ja hakkab sellest eemalduma, mis toob kaasa (pinge- ja gravitatsioonijõust) resultantjõu tekkimise, mis on suunatud keha liikumise vastu. , pidurdades seda. Samal ajal hakkab vähenema koormuse kineetiline energia ja selle potentsiaalne energia. See protsess jätkub seni, kuni kineetilise energia varud on täielikult ammendatud ja muudetud potentsiaalseks energiaks. Sel juhul saavutab koormuse kõrvalekalle tasakaaluasendist maksimaalse väärtuse ja protsess kordub. Kui süsteemis puudub hõõrdumine, võngub koormus lõputult.

Seega on võnkuvate mehaaniliste süsteemide tunnuseks asjaolu, et tasakaaluasendist kõrvalekaldumisel tekib süsteemis taastav jõud, mis kipub süsteemi tagasi tasakaaluasendisse viima. Sel juhul tekivad vibratsioonid, millega kaasneb perioodiline üleminek süsteemi potentsiaalse energia selle kineetiliseks energiaks ja vastupidi.

Arvutame välja võnkeprotsessi. jõumoment M pendlil tegutsemine on ilmselgelt võrdne - mglsin Miinusmärk peegeldab asjaolu, et jõumoment kipub koormuse tasakaaluasendisse tagasi viima. Teisest küljest vastavalt pöörleva liikumise põhiseadusele M=ID 2  / dt 2 . Seega saavutame võrdsuse

B
Vaatleme ainult väikeseid pendli kõrvalekalde nurki tasakaaluasendist. Siis patt ≈  . Ja meie võrdsus avaldub järgmiselt:

D
Matemaatilise pendli puhul on see tõsi I= ml 2 . Asendades selle võrdsuse saadud avaldisega, saame võrrandi, mis kirjeldab matemaatilise pendli võnkeprotsessi:

See diferentsiaalvõrrand kirjeldab võnkeprotsessi. Selle võrrandi lahendus on harmoonilised funktsioonid patt( t+  0 ) või cos ( t+  0 ) Tõepoolest, asendame võrrandiga mis tahes neist funktsioonidest ja saame:  2 = g/ l. Seega, kui see tingimus on täidetud, siis funktsioonid patt( t+  0 ) või cos( t+  0 ) keerata diferentsiaalvõrrand võnkumised identiteediks.

KOHTA
Siin väljendatakse harmoonilise pendli tsüklilist sagedust ja võnkeperioodi järgmiselt:

Võnkumiste amplituud leitakse alates esialgsed tingimusedülesandeid.

Nagu näeme, ei sõltu matemaatilise pendli võnkesagedus ja periood koormuse massist ning sõltub ainult vabalangemise kiirendusest ja vedrustuskeere pikkusest, mis võimaldab pendlit kasutada lihtne, kuid väga täpne seade vabalangemise kiirenduse määramiseks.

Teist tüüpi pendlid on mis tahes füüsiline keha, mis ripub mõnes kehapunktis ja millel on võime sooritada võnkuvaid liigutusi.

8.2. Füüsiline pendel

IN Võtame suvalise keha, torkame selle mingil hetkel läbi teljega, mis ei lange kokku selle massikeskmega, mille ümber keha saab vabalt pöörlema ​​hakata. Riputame keha sellele teljele ja kaldume tasakaaluasendist teatud nurga võrra kõrvale  .

T
kui inertsmomendiga kehal I telje suhtes KOHTA tekib hetkeks naasmine tasakaaluasendisse M = - mglsin ja kõikumised füüsiline pendel nagu matemaatilist, kirjeldatakse neid diferentsiaalvõrrandiga:

Kuna erinevate füüsikaliste pendlite puhul väljendub inertsimoment erinevalt, siis me ei kirjelda seda nii nagu matemaatilise pendli puhul. Sellel võrrandil on ka võnkevõrrandi kuju, mille lahenduseks on harmoonilisi võnkumisi kirjeldavad funktsioonid. Sel juhul tsükliline sagedus ( ) , võnkeperiood (T) on määratletud järgmiselt:

Näeme, et füüsikalise pendli puhul sõltub võnkeperiood pendli keha geomeetriast, mitte selle massist, nagu matemaatilise pendli puhul. Tõepoolest, inertsmomendi avaldis hõlmab pendli massi esimese astmeni. Inertsimoment võnkeperioodi avaldises on lugejas, pendli mass aga nimetajas ja ka esimeses astmes. Seega tühistab lugeja mass koos nimetaja massiga.

Füüsilisel pendlil on veel üks omadus: vähendatud pikkus.

Füüsikalise pendli vähendatud pikkus on matemaatilise pendli pikkus, mille periood langeb kokku füüsikalise pendli perioodiga.

See määratlus muudab antud pikkuse jaoks avaldise määratlemise lihtsaks.

Neid väljendeid võrreldes saame

Kui vedrustuspunktist läbi füüsilise pendli massikeskpunkti tõmmatud joonele joonistame (alustades riputuspunktist) füüsilise pendli vähendatud pikkuse, siis selle lõigu lõpus on punkt, millel on tähelepanuväärne vara. Kui füüsiline pendel riputatakse sellest punktist, siis on selle võnkeperiood sama, mis pendli riputamisel eelmises riputuspunktis. Neid punkte nimetatakse füüsilise pendli pöördekeskusteks.

Vaatleme veel üht lihtsat võnkesüsteemi, mis teostab harmoonilisi võnkumisi

8.3. Vedrupendel

P Kujutagem ette, et jäikusteguriga vedru lõpus k lisatud mass m.

Kui liigutame koormust piki x-telge vedru venitades, siis mõjub koormusele tasakaaluasendisse naasev jõud F tagasi = - kx. Kui koormus vabastatakse, põhjustab see jõud kiirenduse d 2 x / dt 2 . Newtoni teise seaduse kohaselt saame:

md 2 x / dt 2 = - kx sellest võrrandist saame vedru koormuse võnkumise võrrandi selle lõplikul kujul: d 2 x / dt 2 + (k/ m) x = 0

E
siis on võnkevõrrandil sama kuju kui võnkevõrranditel juba vaadeldud juhtudel, mis tähendab, et selle võrrandi lahenduseks on samad harmoonilised funktsioonid. Võnkumiste sagedus ja periood on vastavalt võrdsed

Pealegi ei mõjuta gravitatsioon kuidagi vedrupendli võnkumisi. Kuna antud juhul on tegemist pidevalt toimiva teguriga, mis toimib kogu aeg ühes suunas ja millel pole taastava jõuga mingit pistmist.

Seega, nagu me näeme võnkeprotsessi mehaanilises võnkesüsteemis, iseloomustab seda eelkõige olemasolu süsteemis jõu taastamine mõjuvad süsteemile ja võnkumisi endid iseloomustavad: võnkumiste amplituud, nende periood, võnkesagedus ja faas.

GOU DOD "OTSING"

jah

Dünaamika

Laboritöö nr 9.7

VIBRATSIOONILISE LIIKUMISE DÜNAAMIKA

Juhised

mõõtmisi ja uuringuid teha.

Aruande vorm

Täidetakse lihtsa pliiatsiga.

Nii korralik ja loetav kui võimalik.

Olen töö ära teinud

“……” …………….20..….g.

Kontrollis tööd

.....................................................

Hinne

...............%

“……” …………….20..….g.

Stavropol 2011

Töö eesmärk:

Süvendada oma arusaamist harmooniliste vibratsioonide teooriast. Valda eksperimentaalsete vaatluste metoodikat ja testida summutamata harmooniliste võnkumiste seaduspärasusi matemaatilise ja füüsikalise pendli näitel.

Varustus:stend erinevate pendlite võnke jälgimiseks, stopper, joonlaud.

1. Teoreetiline osa

Mehaanilised vibratsioonid – see on liikumisviis, kui keha koordinaate, kiirusi ja kiirendusi korratakse mitu korda.

Tasuta mõjul tekkivad vibratsioonid sisemised jõud telefonisüsteemid Kui süsteemi tasakaaluasendist eemaldamisel tekib tasakaaluasendi poole suunatud ja nihkega võrdeline jõud, siis sellises süsteemis tekib jõud harmoonilised vibratsioonid. Siin toimuvad koordinaadid, kiirused ja kiirendused vastavalt koosinusseadusele (siinus)

x=Acos(w0 t+a0 ); v=–v0sin(w0 t+a0 ); a=a0 Acos(w0 t+a0 ) (1)

Kus A- amplituud,w0 - tsükliline sagedus,a0 – võnkumiste algfaas. Tsükliline sagedus on seotud võnkeperioodiga T

(2)

Vaba vibratsioon on harmooniline ainult siis, kui hõõrdumine puudub või on tühine.

font-size:16.0pt"> Kehade süsteeme, milles esinevad vabad vibratsioonid, nimetatakse sageli pendlid.

Füüsiline pendel nimetatakse jäigaks kehaks, mis gravitatsiooni mõjul võngub ümber fikseeritud telje KOHTA, mis ei läbi massikeskust KOOS keha (joon. 1).

Kui pendel liigutatakse tasakaaluasendist teatud nurga allaj, komponent Fn gravitatsiooni mg tasakaalustatud reaktsioonijõuga N teljed KOHTA ja komponent F tkipub pendlit oma tasakaaluasendisse tagasi viima. Kõik jõud rakendatakse keha massikeskmele.

Kus

Ft =–mgsinj (3)

Miinusmärk tähendab, et nurknihej ja jõu taastamine F t on vastassuunas. Pendli piisavalt väikese paindenurga korral ( 5-6 ° ) patt j » j (j radiaanides ) Ja F t » - mgj, st taastav jõud on võrdeline läbipainde nurgaga ja on suunatud tasakaaluasendisse, mis on harmooniliste võnkumiste saamiseks vajalik.

Pendel sooritab võnkeprotsessis oma telje suhtes pöörlevat liikumist KOHTA, mida kirjeldab pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand

M = Je , ( 4)

Kus M- jõu hetk F ttelje suhtes KOHTA, J– pendli inertsimoment sama telje suhtes, ε – nurkkiirendus pendel.

Jõu hetk sisse F ttelje suhtes KOHTA võrdne:

M=Ft× l = - mgj× l, (5)

Kus l– jõu õlgFt– lühim vahemaa vedrustuspunkti ja pendli massikeskme vahel.

Diferentsiaalkujul koostatud võrranditest (4) ja (5) saadakse lahendus kujul

j = jm× cos(w0 t+j0 ) , (6)

Kus . (7)

Sellest lahendusest järeldub, et väikeste vibratsiooni amplituudide korral (j<5-6 ° ) füüsiline pendel sooritab harmoonilisi võnkumisi võnke nurkamplituudigajm, tsükliline sagedus ja periood T

fondi suurus: 16,0 pt; font-weight:normal"> . (8)

Valemi (8) analüüs võimaldab sõnastada järgmised füüsikalise pendli võnkemustrid (väikese amplituudiga ja hõõrdejõudude puudumisel):

· Füüsikalise pendli võnkeperiood väikestel nihetel ei sõltu võnkumiste amplituudist.

· Füüsikalise pendli võnkeperiood sõltub pendli inertsmomendist pöörlemistelje (pöörlemistelje) suhtes.

· Füüsikalise pendli võnkeperiood sõltub pendli massikeskme asukohast vedrustuspunkti suhtes.

Lihtsaim füüsiline pendel on massiivne rippuv raskus, mis asub gravitatsiooniväljas. Kui vedrustus on pikendamatu, siis mõõtmedkoormus on vedrustuse pikkusega võrreldes tühine ja keerme mass on tühine võrreldes koormuse massiga, siis võib koormust käsitleda kui materiaalset punkti, mis asub konstantsel kaugusel l ripppunktist KOHTA. Sellist idealiseeritud pendli mudelit nimetatakse matemaatiline pendel(Joonis 2).

Sellise pendli võnkumised toimuvad harmoonilise seaduse (6) järgi. Alates materiaalse punkti inertsmomendist punkti läbiva telje suhtes KOHTA, on võrdne J = ml2, siis on matemaatilise pendli võnkeperiood võrdne

. (9)

Valemi (9) analüüs võimaldab sõnastada järgmised matemaatilise pendli võnkemustrid (väikese amplituudiga ja hõõrdejõudude puudumisel):

· Matemaatilise pendli võnkeperiood ei sõltu pendli massist (mida kontrolliti eelmise seeria laboritööde käigus).

· Matemaatilise pendli võnkeperiood väikeste võnkenurkade korral ei sõltu võnkumiste amplituudist (mida ka varem kontrolliti).

· Matemaatilise pendli võnkeperiood on võrdeline selle pikkuse ruutjuurega.

2. eksperimentaalne osa

Zülesanne 1.Füüsikalise pendli võnkumiste uurimine

Sihtmärk.Kontrollige füüsikalise pendli võnkeperioodi sõltuvuse (8) õigsust selle omadustest. Selleks on vaja koostada vastavad eksperimentaalgraafikud.

Selles töös kasutatav füüsiline pendel on sirge homogeenne varras. Varda raskuskeskme, st selle keskkoha kaugust vedrustuspunktini saab muuta. Varda inertsimoment pöördetelje suhtes (pööre) font-size:16.0pt;font-weight:normal">font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (10)

Kus d- varda pikkus, l– kaugus raskuskeskmest (varda keskpunktist) pöördeteljeni.

Sõltuvuste graafik T=f(l) kujutab endast kõverat keeruline kuju. Edasiseks töötlemiseks tuleb see lineariseerida. Selleks teisendame valemi (10) vormiks

fondi suurus: 16,0 pt; font-weight:normal"> (11)

Sellest näeme, et kui me joonistame sõltuvuse (T2l) = f(l2), siis peaksite saama sirge joone y=kx+b, mille nurgakoefitsient on võrdne https://pandia.ru/text/79/432/images/image012_32.gif" width="95" height="53 src=">.

1. Tugevdage vedrustust hädaolukord. Mõõtke vahemaa l raskuskeskmest telje poole

2. Mõõtke võnkeperiood T pendel. Selleks peate selle väikese nurga all kõrvale kalduma ja aega mõõtma 10-15 täielik kõhklus.

4. Distantsi järjepidev vähendamine l , mõõta pendli võnkeperioode kõigis nendes positsioonides.

5. Koostada tuleks kaks graafikut. Esimene sõltuvusgraafik T=f(l) näitab füüsilise pendli võnkeperioodi keerulist mittelineaarset sõltuvust kaugusest pöördeteljest. Teine graafik on sama sõltuvuse lineariseerimine. Kui teise graafiku punktid asuvad sirgel väikese hajumisega (mis on seletatav mõõtmisvigadega), siis võime järeldada, et üldine valem(8) ja in sel juhul, valemid (10) füüsikalise pendli võnkeperioodiks.

6. Saadud sõltuvusgraafiku kasutamine(T2l) = f(l2), Määrake raskuskiirendus ja katses kasutatud varda pikkus. Selleks peate esmalt määrama sirge nurga koefitsiendi ja segmendi suuruse b lõigatud vertikaalteljest sirgjoonega (joonis 3). Siis

(12)

Varda pikkuse arvutamisel kasutada katseliselt saadud raskuskiirenduse väärtust.

Väljundis võrrelge saadud väärtusi g Ja d nende tegelike väärtustega.

Aruanne

Tabel 1

Ei.	l, m		t, c	T, c	l2, m2	T2l, c2 × m

T , Koos

l, m

Sõltuvuste graafik T = f(l).

l2 , m2

T2l s2m

Sõltuvuste graafik T2l =f(l2)

Katse tulemused: ……………………………………………………….

Järeldused: …………………………………………………………………………….

……..………………………………………………………………………………..

………… s2 / m b = ………… s2 × m

fondi suurus: 16,0 pt; joone kõrgus: 150%"> ……… m/s2………m

Järeldus: ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Ülesanne 2. Õppimine matemaatilise pendli võnkumised

1. Riputage pliikuul niidi külge, mis kõige paremini matkib materiaalset punkti. Muutke vedrustuse pikkust ligikaudu sammuga 10 cm et saada 5-6 katsepunkti. Iga katse võnkumiste arv ei ole väiksem kui. Pendli kõrvalekalde nurk tasakaaluasendist ei tohiks ületada 5-6°.

2. Sõltuvus Т=f(l) mittelineaarne. Seetõttu mugavuse huvides eksperimentaalne kontrollimine see sõltuvus tuleks lineariseerida. Selleks joonistage võnkeperioodi ruudu sõltuvus pendli pikkusest Т2=f(l). Kui katsepunktid asuvad sirgel väikese hajumisega (mis on seletatav mõõtmisvigadega), siis võime järeldada, et valem (9) on täidetud. Kui hajuvus on suur, tuleks kogu mõõtmiste seeriat korrata.

3. Saadud graafiku abil määrake raskuskiirendus. Kõigepealt peate saama eksperimentaalse joone täpse võrrandi: y=kx+ b. Selleks kasutage meetodit vähimruudud(LSM) (tabel 3) ja määrake sirge kalle k. Saadud väärtuse põhjal kalle, arvutage raskuskiirendus.

k=DT2/Dl = 4lk2 /g, kus g = 4 lk2 /k. (13)

Aruanne

Esialgne kõrvalekallej = ................

tabel 2

Ei.	l, m	N	t, c	T, c	T2 , c2

l, m

T 2 , с2

font-size:16.0pt">SõltuvusgraafikT2 = f( l)

OLS-i tabel 3

Nimetused: l = x, T2 =y

Ei.		(xi- )	(xi- )2		(Ji- )	(Ji- )2	(xi- )(jaa- )
	=	S=	S=	=	S=	S=	........................................................................................................................ Järeldus:…………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Gravitatsioonikiirenduse arvutamine ja selle mõõtmisvead fondi suurus: 16,0 pt; font-style:normal">……… m/s2; △ g =………. m/s2 g = ……… ± ……… m/s2, d = …… % Järeldus:………………………………………………………………………… ….. ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Lisaülesanded 1. Sõltuvuste graafikT2 = f( l) kolmandas ülesandes suure tõenäosusega nullist läbi ei lähe. Kuidas seda seletada? 2. Miks pendlite harmooniliste võnkumiste saamiseks on vaja nõuet täitaj < 5-6 ° ? Vastused VIBRATSIOONILISE LIIKUMISE DÜNAAMIKA. Tingimused, seadused, suhted (tea Totabeliseis) 1. Mis on kõikumised? harmoonilised vibratsioonid? perioodilised protsessid? 2. Andke võnke amplituudi, perioodi, sageduse, faasi, tsüklilise sageduse määratlused. 3. Tuletage harmooniliselt võnkuva punkti kiiruse ja kiirenduse valemid aja funktsioonina. 4. Mis määrab harmooniliste mehaaniliste vibratsioonide amplituudi ja algfaasi? 5. Tuletage ja kommenteerige valemeid kineetiliste, potentsiaalsete ja koguenergia harmoonilised vibratsioonid. 6. Kuidas saame võrrelda kehade masse, mõõtes vibratsiooni sagedusi, kui need kehad on vedru külge riputatud? 7. Tuletage vedru, füüsikalise ja matemaatilise pendli võnkeperioodide valemid. 8. Kui suur on füüsilise pendli vähendatud pikkus? Selle graafiku koostamisel ei pea vertikaaltelg nullist alustama. Parem on valida skaala nii vertikaalne telg algusega minimaalne väärtus pendli võnkeperiood.

Liikumisi, millel on erinev kordusaste, nimetatakse kõikumised .

Kui väärtused füüsikalised kogused, liikumise ajal muutuvaid, korratakse võrdsete ajavahemike järel, siis sellist liikumist nimetatakse perioodiline . Olenevalt füüsilisest iseloomust võnkeprotsess eristada mehaanilist ja elektromagnetilised vibratsioonid. Ergastusmeetodi järgi jagunevad vibratsioonid: tasuta(oma), mis esineb süsteemis, mis esitatakse pärast mõningast esialgset kokkupõrget tasakaaluasendi lähedal; sunnitud– esinevad perioodilise välismõju all.

Piltidel A-e on esitatud nihke sõltuvuse graafikud x ajast t(lühidalt, nihkegraafikud) teatud tüüpi vibratsioonide jaoks:

a) sinusoidsed (harmoonilised) võnkumised,

b) ruutvõnkumised,

c) saehamba vibratsioon,

d) võnkumiste näide kompleksne tüüp,

d) summutatud võnkumised,

e) võnkumiste suurenemine.

Esinemise tingimused vabad vibratsioonid: a) keha tasakaaluasendist eemaldamisel peab süsteemis tekkima jõud, mis kipub seda tasakaaluasendisse tagasi viima; b) hõõrdejõud süsteemis peavad olema piisavalt väikesed.

A amplituudA - võnkepunkti maksimaalse kõrvalekalde moodul tasakaaluasendist .

Punkti võnkumisi, mis tekivad püsiva amplituudiga, nimetatakse summutamata , ja järk-järgult väheneva amplituudiga võnkumised – hääbuv .

Aega, mille jooksul toimub täielik võnkumine, nimetatakse periood(T).

Sagedus perioodilised võnkumised Ajaühikus sooritatud täielike võnkumiste arvu nimetatakse:

Vibratsiooni sageduse ühik on herts (Hz). Herts on võnkumiste sagedus, mille periood on 1 s: 1 Hz = 1 s –1.

Tsükliline või ringsagedus Perioodilised võnkumised on 2p s jooksul sooritatud täielike võnkumiste arv:

. =rad/s.

Harmooniline- need on kirjeldatud vibratsioonid perioodiline seadus:

või (1)

kus on perioodiliselt muutuv suurus (nihe, kiirus, jõud jne), A- amplituud.

Nimetatakse süsteemi, mille liikumisseaduse kuju on (1). harmooniline ostsillaator . Nimetatakse siinuse või koosinuse argumenti võnkefaas. Võnkumise faas määrab nihke ajahetkel t. Esialgne faas määrab keha nihke ajal, mil ajalugemine algab.

Kaaluge nihet x võnkuv keha oma tasakaaluasendi suhtes. Harmoonilise vibratsiooni võrrand:

.

Aja esimene tuletis annab keha liikumiskiiruse avaldise:

Kiirus jõuab omani maksimaalne väärtus hetkel, mil =1 on vastavalt kiiruse amplituud. Punkti nihe sel hetkel on vara null = 0.

Kiirendus muutub ka ajaga vastavalt harmoonilisele seadusele:

kus on maksimaalne kiirenduse väärtus. Miinusmärk tähendab, et kiirendus on suunatud nihkele vastupidises suunas, see tähendab, et kiirendus ja nihe muutuvad antifaasis. On näha, et kiirus saavutab maksimaalse väärtuse siis, kui võnkepunkt ületab tasakaaluasendi. Sel hetkel on nihe ja kiirendus null.

Selleks, et keha saaks sooritada harmoonilist võnkuvat liikumist, peab sellele mõjuma jõud, mis on alati suunatud tasakaaluasendi poole ja mille suurus on otseselt võrdeline nihkega sellest asendist. Nimetatakse jõude, mis on suunatud tasakaaluasendisse tagasi pöördumas .

Vaatleme ühe vabadusastmega süsteemis toimuvaid vabavõnkumisi. Las kehal on mass T paigaldatud vedrule, mille elastsus k. Hõõrdejõudude puudumisel mõjub tasakaaluasendist eemaldatud kehale elastne vedrujõud. . Seejärel on meil vastavalt teisele dünaamika seadusele:

Kui tutvustame tähistust , saab võrrandi ümber kirjutada kujul järgmine vorm:

See on ühe vabadusastmega vabade vibratsioonide diferentsiaalvõrrand. Selle lahendus on vormi funktsioon või . Suurus on tsükliline sagedus Vedrupendli võnkeperiood on:

. (3).

Matemaatiline pendel - see on mudel, milles kogu mass on koondatud materiaalsesse punkti, mis võngub kaaluta ja deformeerumatul niidil. Kui materiaalne punkt kaldub tasakaaluasendist kõrvale väikese nurga a võrra, nii et tingimus on täidetud, mõjub kehale taastav jõud. Miinusmärk näitab, et jõud on suunatud nihkele vastupidises suunas. Sest , siis on jõud võrdne . Jõud on võrdeline nihkega, seega selle jõu mõjul materiaalne punkt hakkab teostama harmoonilisi võnkumisi. Tähistame , kus , meil on: või . Siit ka matemaatilise pendli võnkeperiood: .

Füüsiline pendel Iga keha, mis võngub ümber telje, mis ei läbi raskuskeset, võib teenida. Vibratsioonitelje ja raskuskeskme vaheline kaugus A. Sel juhul kirjutatakse üles liikumisvõrrand või nurga φ väikeste väärtuste korral: . Selle tulemusena on meil harmooniliste võnkumiste võrrand sageduse ja perioodiga . Viimases võrdsuses võeti kasutusele füüsilise pendli vähendatud pikkus, et muuta füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite valemid identsed.

IN laboriuuringud kasutatakse sageli torsioonpendel, mis võimaldab mõõta inertsimomenti tahked ained Koos kõrge täpsus. Selliste võnkumiste puhul on moment võrdeline pöördenurgaga φ üsna laias vahemikus.

Matemaatiline pendel on tavalise pendli mudel. Matemaatiline pendel on materiaalne punkt, mis ripub pika kaaluta ja venimatu niidi külge.

Tõstame palli tasakaaluasendist välja ja vabastame selle. Pallile mõjuvad kaks jõudu: gravitatsioon ja niidi pinge. Kui pendel liigub, mõjub sellele ikkagi õhuhõõrdejõud. Kuid me peame seda väga väikeseks.

Jaotame gravitatsioonijõu kaheks komponendiks: piki keerme suunatud jõud ja kuuli trajektoori puutujaga risti suunatud jõud.

Need kaks jõudu annavad kokku gravitatsioonijõu. Keerme elastsusjõud ja gravitatsioonikomponent Fn annavad kuulile tsentripetaalse kiirenduse. Nende jõudude töö on null ja seetõttu muudavad need ainult kiirusvektori suunda. Igal ajahetkel suunatakse see tangentsiaalselt ringikaarele.

Gravitatsioonikomponendi Fτ mõjul liigub pall piki ringkaare suurusjärgus suureneva kiirusega. Selle jõu väärtus muutub alati suurusjärgus, tasakaaluasendit läbides on see võrdne nulliga.

Võnkulise liikumise dünaamika

Elastsusjõu mõjul võnkuva keha liikumisvõrrand.

Liikumise üldvõrrand:

Süsteemis esinevad võnked elastsusjõu mõjul, mis Hooke'i seaduse kohaselt on otseselt võrdeline koormuse nihkega

Siis saab palli liikumisvõrrand järgmise kuju:

Jagades selle võrrandi m-ga, saame järgmise valemi:

Ja kuna mass ja elastsuse koefitsient on konstantsed suurused, jääb ka suhe (-k/m) konstantseks. Oleme saanud võrrandi, mis kirjeldab keha vibratsioone elastsusjõu mõjul.

Keha kiirenduse projektsioon on otseselt võrdeline selle koordinaadiga, mis on võetud vastupidise märgiga.

Matemaatilise pendli liikumisvõrrand

Matemaatilise pendli liikumisvõrrandit kirjeldatakse järgmise valemiga:

Sellel võrrandil on sama kuju kui massi liikumise võrrandil vedrul. Järelikult toimuvad pendli võnkumised ja kuuli liikumised vedrul ühtemoodi.

Kuuli nihkumine vedrul ja pendli keha nihkumine tasakaaluasendist muutuvad ajas samade seaduste järgi.