Peamised trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid on: võrrandite taandamine kõige lihtsamateks (kasutades trigonomeetrilisi valemeid), uute muutujate sisseviimine ja faktooring. Vaatame nende kasutamist näidetega. Pöörake tähelepanu trigonomeetriliste võrrandite lahenduste kirjutamise vormingule.
Trigonomeetriliste võrrandite eduka lahendamise vajalik tingimus on trigonomeetriliste valemite tundmine (6. töö 13. teema).
Näited.
1. Kõige lihtsamateks taandatud võrrandid.
1) Lahenda võrrand
Lahendus:
Vastus:
2) Leidke võrrandi juured
(sinx + cosx) 2 = 1 – segmenti kuuluv sinxcosx.
Lahendus:
Vastus:
2. Ruutarvuks taandavad võrrandid.
1) Lahendage võrrand 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Lahendus: Kasutades valemit sin 2 x = 1 – cos 2 x saame
Vastus:
2) Lahendage võrrand cos 2x = 1 + 4 cosx.
Lahendus: Kasutades valemit cos 2x = 2 cos 2 x – 1, saame
Vastus:
3) Lahendage võrrand tgx – 2ctgx + 1 = 0
Lahendus:
Vastus:
3. Homogeensed võrrandid
1) Lahendage võrrand 2sinx – 3cosx = 0
Lahendus: Olgu cosx = 0, siis 2sinx = 0 ja sinx = 0 – vastuolu sellega, et sin 2 x + cos 2 x = 1. See tähendab, et cosx ≠ 0 ja võrrandi saame jagada cosx-ga. Saame
Vastus:
2) Lahendage võrrand 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Lahendus:
Kasutame valemeid 1 = sin 2 x + cos 2 x ja sin 2x = 2 sinxcosx, saame
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Olgu cosx = 0, siis sin 2 x = 0 ja sinx = 0 – vastuolu sellega, et sin 2 x + cos 2 x = 1.
See tähendab, et cosx ≠ 0 ja saame võrrandi jagada cos 2 x-ga .
Saame
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Tähistame tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .
Vastus: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Vormi võrrandid a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Lahenda võrrand.
Lahendus:
Vastus:
5. Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid.
1) Lahendage võrrand sin2x – sinx = 0.
Võrrandi juur f (X) = φ ( X) saab olla ainult number 0. Kontrollime seda:
cos 0 = 0 + 1 – võrdsus on tõene.
Arv 0 on selle võrrandi ainus juur.
Vastus: 0.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid.Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist: võrrandi teisendus et see oleks kõige lihtsam tüüp (vt eespool) ja lahendustulemuseks kõige lihtsam trigonomeetriline võrrand. Neid on seitse trigonomeetriliste võrrandite lahendamise põhimeetodid.
1. Algebraline meetod.
(muutuv asendus- ja asendusmeetod).
2. Faktoriseerimine.
Näide 1. Lahendage võrrand: patt x+cos x = 1 .
Lahendus. Liigutame kõik võrrandi liikmed vasakule:
Patt x+cos x – 1 = 0 ,
Teisendame ja faktoriseerime avaldise sisse
Võrrandi vasak pool:
Näide 2. Lahendage võrrand: cos 2 x+ patt x cos x = 1.
Lahendus: cos 2 x+ patt x cos x– patt 2 x- cos 2 x = 0 ,
Patt x cos x– patt 2 x = 0 ,
Patt x· (cos x– patt x ) = 0 ,
Näide 3. Lahendage võrrand: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.
Lahendus: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,
2 kuni 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,
Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,
Cos 4 x · 2 patt 3 x patt x = 0 ,
1). cos 4 x= 0, 2). patt 3 x= 0, 3). patt x = 0 ,
3. Vähendamine kuni homogeenne võrrand.Võrrand helistas homogeenne alates seoses patt Ja cos , Kui kõik see suhtega sama astme liikmed patt Ja cos sama nurk. Homogeense võrrandi lahendamiseks peate: A) liigutage kõik selle liikmed vasakule küljele; b) jäta kõik levinud tegurid sulgudest välja; V) võrdsusta kõik tegurid ja sulud nulliga; G) nulliga võrdsed sulud annavad väiksema astme homogeenne võrrand, mis tuleks jagada cos(või patt) vanemas astmes; d) lahendage saadud algebraline võrrandtan . patt 2 x+ 4 patt x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Lahendus: 3sin 2 x+ 4 patt x cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Patt 2 x+ 4 patt x cos x+ 3 kuni 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 päevitust x + 3 = 0 , siit y 2 + 4y +3 = 0 , Selle võrrandi juured on:y 1 = - 1, y 2 = - 3, seega 1) päevitus x= –1, 2) päevitus x = –3, |
4. Üleminek poolnurgale.
Vaatame seda meetodit näitena:
NÄIDE Lahenda võrrand: 3 patt x- 5 hind x = 7.
Lahendus: 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =
7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 sin² ( x/ 2) – 6 pattu ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan²( x/ 2) – 3 päevitust ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Abinurga sissetoomine.
Vaatleme vormi võrrandit:
a patt x + b cos x = c ,
Kus a, b, c– koefitsiendid;x- teadmata.
Nüüd on võrrandi koefitsientidel siinuse ja koosinuse omadused, nimelt: igaühe moodul (absoluutväärtus). millest mitte rohkem kui 1, ja nende ruutude summa on 1. Siis saame tähistada neid vastavalt Kuidas cos ja sin (siin - nn abinurk), Javõtke meie võrrand
Teema:"Meetodid trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks."
Tunni eesmärgid:
hariv:
Arendada oskusi eristada trigonomeetriliste võrrandite tüüpe;
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetoditest arusaamise süvendamine;
hariv:
Kognitiivse huvi kasvatamine haridusprotsessi vastu;
Antud ülesande analüüsivõime kujunemine;
arendamine:
Arendada oskust olukorda analüüsida ja seejärel valida sellest kõige ratsionaalsem väljapääs.
Varustus: plakat põhiliste trigonomeetriliste valemitega, arvuti, projektor, ekraan.
Alustame õppetundi, korrates mis tahes võrrandi lahendamise põhitehnikat: taandada see standardvormile. Teisenduste kaudu taandatakse lineaarvõrrandid kujule ax = b, ruutvõrrandid vormiks kirves 2 +bx +c = 0. Trigonomeetriliste võrrandite puhul on vaja need taandada lihtsaimaks, kujul: sinx = a, cosx = a, tgx = a, mis on kergesti lahendatav.
Esiteks peate selleks muidugi kasutama plakatil esitatud põhilisi trigonomeetrilisi valemeid: liitmisvalemeid, topeltnurga valemeid, võrrandi kordsuse vähendamist. Me juba teame, kuidas selliseid võrrandeid lahendada. Kordame mõnda neist:
Samas on võrrandeid, mille lahendamine eeldab mõne eritehnika tundmist.
Meie tunni teemaks on nende tehnikate käsitlemine ja trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite süstematiseerimine.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid.
1. Teisendamine ruutvõrrandiks mõne trigonomeetrilise funktsiooni suhtes, millele järgneb muutuja muutus.
Vaatame kõiki loetletud meetodeid näidetega, kuid peatume üksikasjalikumalt kahel viimasel, kuna kahte esimest oleme võrrandite lahendamisel juba kasutanud.
1. Teisendamine ruutvõrrandiks mõne trigonomeetrilise funktsiooni suhtes.
2. Võrrandite lahendamine faktoriseerimise meetodil.
3. Homogeensete võrrandite lahendamine.
Esimese ja teise astme homogeensed võrrandid on võrrandid järgmisel kujul:
vastavalt (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Homogeensete võrrandite lahendamisel jagage võrrandiliikme mõlemad pooled võrrandi (1) jaoks cosx-iga ja (2) võrrandiga cos 2 x-ga. Selline jaotus on võimalik, kuna sinx ja cosx ei ole samal ajal võrdsed nulliga – need muutuvad nulliks erinevates punktides. Vaatleme näiteid esimese ja teise astme homogeensete võrrandite lahendamisest.
Meenutagem seda võrrandit: kui kaalume järgmist meetodit – abiargumendi sisseviimist, lahendame selle teistmoodi.
4. Abiargumendi sissejuhatus.
Vaatleme võrrandit, mis on juba eelmise meetodiga lahendatud:
Nagu näete, saadakse sama tulemus.
Vaatame teist näidet:
Vaadeldavates näidetes oli üldiselt selge, mida oli vaja algsesse võrrandisse jagada, et lisada abiargument. Kuid võib juhtuda, et pole selge, millist jagajat valida. Selleks on spetsiaalne tehnika, mida me nüüd üldiselt käsitleme. Olgu võrrand antud.