See artikkel räägib sellest kümnendkohad. Siin mõistame murdarvude kümnendmurdu, tutvustame kümnendmurru mõistet ja toome näiteid kümnendmurdudest. Järgmisena räägime kümnendmurdude numbritest ja anname numbrite nimed. Pärast seda keskendume lõpmatutele kümnendmurdudele, räägime perioodilistest ja mitteperioodilistest murdudest. Järgmisena loetleme põhitehted kümnendmurdudega. Kokkuvõtteks määrame kümnendmurdude asukoha koordinaadikiirel.
Leheküljel navigeerimine.
Murdarvu kümnendmärk
Kümnendkohtade lugemine
Ütleme paar sõna kümnendmurdude lugemise reeglite kohta.
Kümnendmurrud, mis vastavad õigetele harilikele murdudele, loetakse samamoodi nagu neid tavalisi murde, esmalt lisatakse ainult “null täisarv”. Näiteks kümnendmurd 0,12 vastab tavalisele murrule 12/100 (loe "kaksteist sajandikku"), seetõttu loetakse 0,12 kui "null koma kaksteist sajandikku".
Segaarvudele vastavad kümnendmurrud loetakse täpselt samamoodi nagu need segaarvud. Näiteks kümnendmurd 56.002 vastab segaarvule, seega loetakse kümnendmurruks 56.002 "viiskümmend kuus koma kaks tuhandikku".
Kohad kümnendkohtades
Kümnendmurdude ja ka naturaalarvude kirjutamisel sõltub iga numbri tähendus selle asukohast. Tõepoolest, number 3 kümnendmurrus 0,3 tähendab kolme kümnendikku, kümnendmurrus 0,0003 - kolm kümmet tuhandikku ja kümnendmurrus 30 000,152 - kolme kümnendikku. Nii et saame rääkida kümnendkohad, samuti naturaalarvude numbrite kohta.
Numbrite nimetused kümnendmurrus kuni kümnendkohani kattuvad täielikult naturaalarvude numbrite nimedega. Ja kümnendkohtade nimed pärast koma on näha järgmisest tabelist.
Näiteks kümnendmurrus 37.051 on number 3 kümnendkohal, 7 ühikukohal, 0 kümnendikul, 5 sajandikkohal ja 1 tuhandendikul.
Kohad kümnendmurdudes erinevad ka tähtsuse poolest. Kui kümnendmurru kirjutamisel liigume numbrilt numbrile vasakult paremale, siis liigume alates pensionärid To juunioride auastmed. Näiteks sadade koht on vanem kui kümnendike koht ja miljonite koht on madalam kui sajandikkoht. Antud viimases kümnendmurrus saame rääkida suurematest ja väiksematest numbritest. Näiteks kümnendmurrus 604,9387 vanem (kõrgeim) koht on sadade koht ja juunior (madalaim)- kümnetuhandik number.
Kümnendmurdude puhul toimub laiendamine numbriteks. See sarnaneb naturaalarvude arvudeks laiendamisega. Näiteks 45,6072 laiendus kümnendkohtadesse on järgmine: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Ja liitmise omadused kümnendmurru jaotamisel numbriteks võimaldavad teil liikuda selle kümnendmurru muude esitusviiside juurde, näiteks 45,6072=45+0,6072 või 45,6072=40,6+5,007+0,0002 või 45,6072=724+5,072 0.6.
Kümnendkohtade lõpp
Siiani on juttu olnud vaid kümnendmurdudest, mille tähistuses on koma järel lõplik arv numbreid. Selliseid murde nimetatakse lõplikeks kümnendkohtadeks.
Definitsioon.
Kümnendkohtade lõpp- Need on kümnendmurrud, mille kirjed sisaldavad lõplikku arvu märke (numbreid).
Siin on mõned näited lõplikest kümnendmurdudest: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Siiski ei saa iga murdosa esitada viimase kümnendkohana. Näiteks murdu 5/13 ei saa asendada võrdse murruga ühe nimetajaga 10, 100, ..., mistõttu ei saa seda teisendada lõplikuks kümnendmurruks. Sellest räägime lähemalt teooria osas, teisendades tavamurrud kümnendkohtadeks.
Lõpmatu kümnendkoha arv: perioodilised ja mitteperioodilised murrud
Kümnendmurru kirjutamisel pärast koma võite eeldada lõpmatu arvu numbrite võimalust. Sel juhul hakkame käsitlema nn lõpmatuid kümnendmurde.
Definitsioon.
Lõpmatu kümnendkoha arv- Need on kümnendmurrud, mis sisaldavad lõpmatu arvu numbreid.
On selge, et me ei saa täiskujul üles kirjutada lõpmatuid kümnendmurde, seega piirdume nende salvestamisel ainult teatud lõpliku arvu numbritega pärast koma ja paneme ellipsi, mis näitab lõputult jätkuvat numbrijada. Siin on mõned näited lõpmatutest kümnendmurdudest: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Kui vaadata tähelepanelikult kahte viimast lõpmatut kümnendmurdu, siis murrus 2.111111111... on selgelt näha lõputult korduv arv 1 ja murdes 69.74152152152... alates kolmandast kümnendkohast korduv arvude rühm. 1, 5 ja 2 on selgelt nähtavad. Selliseid lõpmatuid kümnendmurde nimetatakse perioodilisteks.
Definitsioon.
Perioodilised kümnendkohad(või lihtsalt perioodilised murrud) on lõputud kümnendmurrud, mille salvestamisel teatud kümnendkohast alustades korratakse lõputult mingit arvu või arvude rühma, mida nn. murdosa periood.
Näiteks perioodilise murru 2,111111111... periood on number 1 ja murdosa periood 69,74152152152... on numbrite rühm kujul 152.
Lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude jaoks kasutatakse spetsiaalset tähistusvormi. Lühiduse huvides leppisime kokku, et paneme perioodi ühe korra kirja, lisades selle sulgudesse. Näiteks perioodiline murd 2.111111111... kirjutatakse 2,(1) ja perioodiline murd 69.74152152152... kirjutatakse 69.74(152) .
Väärib märkimist, et sama perioodilise kümnendmurru jaoks saab määrata erinevaid perioode. Näiteks perioodilist kümnendmurdu 0,73333... võib lugeda murduks 0,7(3) perioodiga 3 ja ka murduks 0,7(33) perioodiga 33 ja nii edasi 0,7(333), 0,7 (3333), ... Võite vaadata ka perioodilist murru 0,73333 ... nii: 0,733 (3), või nii 0,73 (333) jne. Ebaselguste ja lahknevuste vältimiseks oleme siin nõus võtma kümnendmurru perioodiks kõigist võimalikest korduvate numbrite jadadest lühimat ja alustades kümnendkohani lähimast kohast. See tähendab, et kümnendmurru 0,73333... perioodi loetakse jadaks ühest numbrist 3 ja perioodilisus algab teisest kohast pärast koma, st 0,73333...=0,7(3). Teine näide: perioodilise murru 4,7412121212... periood on 12, perioodilisus algab kolmandast numbrist pärast koma, see tähendab 4,7412121212...=4,74(12).
Lõpmatud kümnendmurrud saadakse kümnendmurrudeks teisendamisel harilikud murrud, mille nimetajad sisaldavad muid algtegureid peale 2 ja 5.
Siinkohal tasub mainida perioodilisi murde perioodiga 9. Toome näiteid selliste murdude kohta: 6.43(9) , 27,(9) . Need murrud on teine tähistus perioodiliste murdude jaoks perioodiga 0 ja need asendatakse tavaliselt perioodiliste murdudega perioodiga 0. Selleks asendatakse periood 9 perioodiga 0 ja järgmise numbri väärtust suurendatakse ühe võrra. Näiteks vormi 7.24(9) perioodiga murd 9 asendatakse perioodilise murruga, mille periood on 0 vormil 7.25(0) või võrdne viimase kümnendmurruga 7.25. Teine näide: 4, (9) = 5, (0) = 5. Murru võrdsus perioodiga 9 ja sellele vastava murru võrdsus perioodiga 0 on hõlpsasti tuvastatav pärast nende kümnendmurdude asendamist võrdsete harilike murrudega.
Lõpetuseks vaatame lähemalt lõpmatuid kümnendmurde, mis ei sisalda lõputult korduvat numbrijada. Neid nimetatakse mitteperioodilisteks.
Definitsioon.
Ühekordsed kümnendkohad(või lihtsalt mitteperioodilised murrud) on lõpmatud kümnendmurrud, millel pole punkti.
Mõnikord on mitteperioodiliste murdude vorm sarnane perioodiliste murdude omaga, näiteks 8.02002000200002... on mitteperioodiline murd. Sellistel juhtudel peaksite erinevuse märkamiseks olema eriti ettevaatlik.
Pange tähele, et mitteperioodilised murrud ei teisenda tavalisteks murdudeks, mis tähistavad irratsionaalarvu.
Tehted kümnendkohtadega
Üks kümnendmurdudega tehteid on võrdlemine, samuti on määratletud neli põhilist aritmeetilist funktsiooni tehted kümnendkohtadega: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Vaatleme iga kümnendmurdudega toimingut eraldi.
Kümnendkohtade võrdlus põhiliselt põhinevad võrreldavatele kümnendmurdudele vastavate tavaliste murdude võrdlemisel. Kümnendmurdude teisendamine harilikeks murdudeks on aga üsna töömahukas protsess ja lõpmatuid mitteperioodilisi murde ei saa esitada hariliku murruna, mistõttu on mugav kasutada kümnendmurdude kohapõhist võrdlust. Kümnendmurdude kohapõhine võrdlemine on sarnane naturaalarvude võrdlemisega. Täpsema teabe saamiseks soovitame artiklit uurida: kümnendmurdude võrdlus, reeglid, näited, lahendused.
Liigume edasi järgmise sammu juurde - kümnendkohtade korrutamine. Lõplike kümnendmurdude korrutamine toimub sarnaselt kümnendmurdude lahutamisega, reeglid, näited, naturaalarvude veeruga korrutamise lahendused. Perioodiliste murdude puhul saab korrutamise taandada harilike murdude korrutamiseks. Omakorda taandatakse lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude korrutamine pärast nende ümardamist lõplike kümnendmurdude korrutamiseks. Soovitame artiklis oleva materjali edasiseks uurimiseks: kümnendmurdude korrutamine, reeglid, näited, lahendused.
Koordinaadikiire kümnendkohad
Punktide ja kümnendkohtade vahel on üks-ühele vastavus.
Mõelgem välja, kuidas konstrueeritakse koordinaatkiire punkte, mis vastavad antud kümnendmurrule.
Lõplikud kümnendmurrud ja lõpmatud perioodilised kümnendmurrud saame asendada võrdsete harilike murrudega ning seejärel konstrueerida koordinaatkiire vastavad harilikud murrud. Näiteks kümnendmurd 1,4 vastab harilikule murrule 14/10, nii et punkt koordinaadiga 1,4 eemaldatakse lähtepunktist positiivses suunas 14 lõigu võrra, mis on võrdne kümnendikuga ühiklõigust.
Kümnendmurrud saab märkida koordinaatkiirele, alustades etteantud kümnendmurru jagamisest numbriteks. Näiteks tuleb ehitada punkt koordinaadiga 16.3007, kuna 16.3007=16+0.3+0.0007, siis jõuame sellesse punkti, asetades järjestikku koordinaatide alguspunktist 16 ühikulist segmenti, 3 lõiku, mille pikkus on võrdne kümnendikuga. ühikut ja 7 segmenti, mille pikkus võrdub kümnetuhandikuga ühiku segmendist.
See koordinaatkiire kümnendarvude konstrueerimise meetod võimaldab teil jõuda lõpmatule kümnendmurrule vastavale punktile nii lähedale kui soovite.
Mõnikord on võimalik täpselt joonistada punkt, mis vastab lõpmatule kümnendmurrule. Näiteks, 
, siis see lõpmatu kümnendmurd 1,41421... vastab koordinaatkiire punktile, mis on koordinaatide alguspunktist 1 ühikulise küljega ruudu diagonaali pikkuse kaugusel.
Koordinaadikiire antud punktile vastava kümnendmurru saamise pöördprotsess on nn. segmendi kümnendmõõtmine. Mõelgem välja, kuidas seda tehakse.
Olgu meie ülesandeks jõuda lähtepunktist koordinaatjoonel antud punkti (või läheneda sellele lõpmatult, kui me sinna ei jõua). Segmendi kümnendmõõtmise abil saame järjestikku eraldada lähtepunktist suvalise arvu ühiku segmente, seejärel segmente, mille pikkus on võrdne kümnendiku ühikuga, seejärel segmendid, mille pikkus on võrdne sajandiku ühikuga jne. Registreerides iga kõrvale pandud pikkusega segmentide arvu, saame koordinaatkiire antud punktile vastava kümnendmurru.
Näiteks ülaltoodud joonisel punkti M jõudmiseks tuleb kõrvale jätta 1 ühikuline segment ja 4 segmenti, mille pikkus on võrdne kümnendikuga ühikust. Seega vastab punkt M kümnendmurrule 1.4.
On selge, et koordinaatkiire punktid, kuhu kümnendmõõtmise käigus ei pääse, vastavad lõpmatutele kümnendmurdudele.
Bibliograafia.
- Matemaatika: õpik 5. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matemaatika. 6. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [N. Ja Vilenkin ja teised]. - 22. väljaanne, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Nagu teada, sisaldab ratsionaalarvude hulk (Q) täisarvude hulka (Z), mis omakorda sisaldab naturaalarvude hulka (N). Ratsionaalarvud sisaldavad lisaks täisarvudele ka murde.
Miks siis peetakse kogu ratsionaalarvude komplekti mõnikord lõpmatuteks perioodilisteks kümnendmurdudeks? Tõepoolest, lisaks murdudele sisaldavad need ka täisarve, aga ka mitteperioodilisi murde.
Fakt on see, et kõiki täisarve, nagu ka mis tahes murdu, saab esitada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. See tähendab, et kõigi ratsionaalsete arvude jaoks saate kasutada sama salvestusmeetodit.
Kuidas esitatakse lõpmatu perioodiline kümnend? Selles pannakse sulgudesse korduv arvude rühm pärast koma. Näiteks 1,56(12) on murd, milles korratakse numbrite rühma 12, st murru väärtus on 1,561212121212... ja nii lõputult. Korduvat arvude rühma nimetatakse perioodiks.
Sel kujul saame aga esitada mis tahes arvu, kui arvestada selle perioodiks arvu 0, mis samuti kordub lõputult. Näiteks arv 2 on sama, mis 2,00000... Seetõttu saab selle kirjutada lõpmatu perioodilise murdena, st 2,(0).
Sama saab teha mis tahes lõpliku murdosaga. Näiteks:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Kuid praktikas ei kasutata lõpliku murdosa teisendamist lõpmatuks perioodiliseks. Seetõttu eraldavad nad lõplikke murde ja lõpmatuid perioodilisi murde. Seega on õigem öelda, et ratsionaalarvud hõlmavad
- kõik täisarvud
- viimased fraktsioonid,
- lõpmatud perioodilised murrud.
Samal ajal pidage lihtsalt meeles, et täisarvud ja lõplikud murded on teoreetiliselt esitatavad lõpmatute perioodiliste murdude kujul.
Teisest küljest on lõplike ja lõpmatute murdude mõisted rakendatavad kümnendmurdudele. Kui rääkida murdudest, siis nii lõplikke kui ka lõpmatuid kümnendkohti saab üheselt esitada murdudena. See tähendab, et harilike murdude seisukohalt on perioodilised ja lõplikud murded samad. Lisaks saab täisarve esitada ka murdosana, kujutades ette, et jagame arvu 1-ga.
Kuidas esitada kümnendmurdu lõpmatut perioodilist murdu hariliku murruna? Kõige sagedamini kasutatav algoritm on midagi sellist:
- Vähendage murdosa nii, et pärast koma oleks ainult punkt.
- Korrutage lõpmatu perioodiline murd 10 või 100-ga või ... nii, et koma liiguks ühe punkti võrra paremale (st üks punkt satub kogu osasse).
- Võrdsustage algne murd (a) muutujaga x ja murdosa (b), mis saadakse, korrutades arvuga N ja Nx.
- Lahutage Nx-st x. B-st lahutan a. See tähendab, et nad moodustavad võrrandi Nx – x = b – a.
- Võrrandi lahendamisel on tulemuseks harilik murd.
Näide lõpmatu perioodilise kümnendmurru teisendamiseks tavaliseks murruks:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =
Pidage meeles, kuidas ma ütlesin esimeses kümnendkoha õppetunnis, et on arvulisi murde, mida ei saa kümnendkohtadena esitada (vt õppetundi „Komakohad”)? Samuti õppisime, kuidas arvutada murdude nimetajaid, et näha, kas peale 2 ja 5 on muid numbreid.
Niisiis: ma valetasin. Ja täna õpime, kuidas teisendada absoluutselt mis tahes arvuline murd kümnendkohaks. Samal ajal tutvume terve hulga murdude klassiga, millel on lõpmatu oluline osa.
Perioodiline kümnendkoht on mis tahes kümnend, mis:
- Märkimisväärne osa koosneb lõpmatust arvust numbritest;
- Teatud ajavahemike järel korratakse olulises osas olevaid numbreid.
Korduvate numbrite komplekti, mis moodustavad olulise osa, nimetatakse murdosa perioodiliseks osaks ja numbrite arvu selles komplektis nimetatakse murdosa perioodiks. Märkimisväärse osa ülejäänud segmenti, mida ei korrata, nimetatakse mitteperioodiliseks osaks.
Kuna määratlusi on palju, tasub mõnda neist murdudest üksikasjalikult kaaluda:
See murdosa esineb kõige sagedamini probleemides. Mitteperioodiline osa: 0; perioodiline osa: 3; perioodi pikkus: 1.
Mitteperioodiline osa: 0,58; perioodiline osa: 3; perioodi pikkus: jälle 1.
Mitteperioodiline osa: 1; perioodiline osa: 54; perioodi pikkus: 2.
Mitteperioodiline osa: 0; perioodiline osa: 641025; perioodi pikkus: 6. Mugavuse huvides eraldatakse korduvad osad üksteisest tühikuga – antud lahenduse puhul pole see vajalik.
Mitteperioodiline osa: 3066; perioodiline osa: 6; perioodi pikkus: 1.
Nagu näete, põhineb perioodilise murru määratlus kontseptsioonil oluline osa arvust. Seetõttu, kui olete unustanud, mis see on, soovitan seda korrata - vaadake õppetundi "".
Üleminek perioodilisele kümnendmurrule
Vaatleme vormi a /b tavalist murdu. Jaotame selle nimetaja algteguriteks. On kaks võimalust.
- Laiendus sisaldab ainult tegureid 2 ja 5. Need murrud on kergesti teisendatavad kümnendkohtadeks – vt õppetundi “Komakohad”. Me ei ole sellistest inimestest huvitatud;
- Laienduses on midagi muud peale 2 ja 5. Sel juhul ei saa murdu esitada kümnendkohana, kuid selle saab teisendada perioodiliseks kümnendkohaks.
Perioodilise kümnendmurru määratlemiseks peate leidma selle perioodilised ja mitteperioodilised osad. Kuidas? Teisendage murd valeks murruks ja jagage lugeja nurga abil nimetajaga.
Juhtub järgmine:
- Kõigepealt läheb lahku terve osa, kui see on olemas;
- Pärast koma võib olla mitu numbrit;
- Mõne aja pärast hakkavad numbrid käima korda.
See on kõik! Pärast koma korduvaid numbreid tähistatakse perioodilise osaga ja ees olevaid mitteperioodilise osaga.
Ülesanne. Teisendage tavalised murrud perioodilisteks kümnendkohtadeks:
Kõik murrud ilma täisarvuta, seega jagame lugeja lihtsalt nimetajaga nurgaga:
Nagu näete, korratakse jääke. Kirjutame murdosa “õigele” kujule: 1,733 ... = 1,7(3).
Tulemuseks on murdosa: 0,5833 ... = 0,58(3).
Kirjutame selle tavakujul: 4.0909 ... = 4,(09).
Saame murdarvu: 0,4141 ... = 0.(41).
Üleminek perioodiliselt kümnendmurrult harilikule murdarvule
Vaatleme perioodilist kümnendmurdu X = abc (a 1 b 1 c 1). See tuleb teisendada klassikaliseks "kahekorruseliseks". Selleks järgige nelja lihtsat sammu:
- Leia murdosa periood, s.o. loe, mitu numbrit on perioodilises osas. Olgu selleks arv k;
- Leia avaldise X · 10 k väärtus. See võrdub koma täispunkti nihutamisega paremale – vt õppetundi "Komakohtade korrutamine ja jagamine";
- Saadud arvust tuleb lahutada algne avaldis. Sel juhul perioodiline osa “põletatakse” ja jääb alles harilik murd;
- Leidke saadud võrrandist X. Teisendame kõik kümnendmurrud tavalisteks murdudeks.
Ülesanne. Teisendage arv tavaliseks valemurruks:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Töötame esimese murruga: X = 9, (6) = 9,666 ...
Sulgudes on ainult üks number, seega on punkt k = 1. Järgmiseks korrutame selle murdarvuga 10 k = 10 1 = 10. Saame:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Lahutage algne murd ja lahendage võrrand:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Vaatame nüüd teist murdu. Seega X = 32, (39) = 32,393939...
Periood k = 2, seega korrutage kõik 10-ga k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Lahutage algne murd uuesti ja lahendage võrrand:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Liigume edasi kolmanda murru juurde: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagramm on sama, seega annan lihtsalt arvutused:
Periood k = 1 ⇒ korrutage kõik 10-ga k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
Lõpuks viimane murd: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Jällegi, mugavuse huvides eraldatakse perioodilised osad üksteisest tühikutega. Meil on:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Et kui nad tunnevad seeriateooriat, siis ilma selleta ei saa kasutusele võtta metamaatilisi mõisteid. Pealegi usuvad need inimesed, et igaüks, kes seda laialdaselt ei kasuta, on asjatundmatu. Jätkem nende inimeste seisukohad nende südametunnistusele. Mõistame paremini, mis on lõpmatu perioodiline murd ja kuidas meie, harimatud inimesed, kes ei tunne piire, peaksime sellega toime tulema.
Jagame 237 5-ga. Ei, kalkulaatorit pole vaja käivitada. Pidagem parem keskkooli (või isegi põhikooli) meeles ja jagame selle lihtsalt veergu:
Noh, kas sa mäletasid? Siis saate asja kallale asuda.
Mõistel "murd" on matemaatikas kaks tähendust:
- Mittetäisarv.
- Mittetäisarvuline vorm.
- Lihtne (või vertikaalne) murde, näiteks 1/2 või 237/5.
- Kümnendmurrud, näiteks 0,5 või 47,4.
Matemaatikas on üldiselt kümnendloendamist alati aktsepteeritud ja seetõttu on kümnendmurrud mugavamad kui lihtmurrud, see tähendab kümnendnimetajaga murd (Vladimir Dal. Elava suurvene keele seletav sõnaraamat. “Kümme”) .Ja kui nii, siis tahan teha iga vertikaalmurru kümnendkohaks (“horisontaalne”). Ja selleks peate lihtsalt lugeja jagama nimetajaga. Võtame näiteks murdosa 1/3 ja proovime sellest koma teha.
Isegi täiesti harimatu inimene märkab: ükskõik kui kaua see aega ei võta, see ei eraldu: kolmikud ilmuvad lõpmatuseni. Paneme siis kirja: 0,33... Peame silmas "arvu, mis saadakse, kui jagate 1 3-ga" või lühidalt "üks kolmandik". Kolmandik on loomulikult murd selle sõna esimeses tähenduses ning “1/3” ja “0,33...” on murded selle sõna teises tähenduses, st. sisenemisvormid arv, mis asub arvureal nullist sellisel kaugusel, et kui kolm korda kõrvale panna, saad ühe.
Nüüd proovime jagada 5 6-ga:
Paneme selle uuesti kirja: 0,833... Peame silmas "arvu, mille saate, kui jagate 5 6-ga" või lühidalt "viis kuuendikku". Siin tekib aga segadus: kas see tähendab 0,83333 (ja siis korduvad kolmikud) või 0,833833 (ja siis korratakse 833). Seetõttu ei sobi meile ellipsiga märkimine: pole selge, kust algab korduv osa (seda nimetatakse "punktiks"). Seetõttu paneme perioodi sulgudesse järgmiselt: 0,(3); 0,8 (3).
0, (3) pole lihtne võrdubüks kolmandik, see on Seal on kolmandiku, sest me leiutasime selle tähise spetsiaalselt selle arvu esitamiseks kümnendmurruna.
Seda kirjet nimetatakse lõpmatu perioodiline murd või lihtsalt perioodiline murd.
Kui me jagame ühe arvu teisega, siis kui me ei saa lõplikku murdu, saame lõpmatu perioodilise murru, see tähendab, et ühel päeval hakkavad arvujadad kindlasti korduma. Miks see nii on, saab aru puhtalt spekulatiivselt, vaadates hoolikalt veergude jagamise algoritmi:
Linnukestega tähistatud kohtades ei saa alati erinevaid arvupaare (sest põhimõtteliselt on selliseid paare lõplikult palju). Ja niipea, kui sinna ilmub selline paar, mis oli juba olemas, on ka erinevus sama - ja siis hakkab kogu protsess end korduma. Seda pole vaja kontrollida, sest on üsna ilmne, et samade toimingute kordamisel on tulemused samad.
Nüüd, kui me hästi aru saame olemus perioodiline murd, proovime korrutada kolmandiku kolmega. Jah, muidugi saate ühe, kuid kirjutame selle murdarvu kümnendkoha kujul ja korrutame selle veerus (ebaselgust ellipsi tõttu siin ei teki, kuna kõik arvud pärast koma on samad):
Ja jälle märkame, et pärast koma ilmuvad kogu aeg üheksad, üheksad ja üheksad. See tähendab, et kasutades pöördsulgude tähistust, saame 0,(9). Kuna me teame, et kolmandiku ja kolme korrutis on üks, siis 0.(9) on selline uhke viis ühe kirjutamiseks. Seda salvestusvormi pole aga kohane kasutada, kuna ühikut saab suurepäraselt kirjutada ilma punkti kasutamata, näiteks järgmiselt: 1.
Nagu näete, on 0,(9) üks neist juhtudest, kus täisarv kirjutatakse murdosa kujul, näiteks 3/3 või 7,0. See tähendab, et 0, (9) on murdosa ainult selle sõna teises tähenduses, kuid mitte esimeses tähenduses.
Niisiis, ilma piiranguteta ja seeriateta mõtlesime välja, mis on 0.(9) ja kuidas sellega toime tulla.
Kuid pidagem siiski meeles, et tegelikult oleme targad ja analüüsitud. Tõepoolest, seda on raske eitada:
Kuid võib-olla ei vaidle keegi selle vastu, et:
See kõik on muidugi tõsi. Tõepoolest, 0, (9) on nii taandatud jada summa kui ka näidatud nurga topeltsiinus ja Euleri arvu naturaallogaritm.
Kuid ei üks, teine ega kolmas pole definitsioon.
Öelda, et 0,(9) on lõpmatu rea 9/(10 n) summa, kui n on võrdne ühega, on sama, mis öelda, et siinus on lõpmatu Taylori jada summa:
See täiesti õigus, ja see on arvutusmatemaatika jaoks kõige olulisem fakt, kuid see pole definitsioon ja mis kõige tähtsam, see ei vii inimest mõistmisele lähemale. sisuliselt sinus Teatud nurga siinuse olemus seisneb selles, et see lihtsalt kõike nurga vastas oleva jala suhe hüpotenuusiga.
Niisiis, perioodiline murd on lihtsalt kõike kümnendmurd, mis saadakse siis, kui veeruga jagamisel sama numbrikomplekt kordub. Analüüsist pole siin jälgegi.
Ja siit tekibki küsimus: kust see tuleb? üleüldse kas võtsime arvu 0,(9)? Mida jagame milleks veeruga, et seda saada? Tõepoolest, selliseid numbreid pole, mille veergu jagamisel tekiks lõputult üheksa. Aga meil õnnestus see arv saada, korrutades 0,(3) 3-ga veeruga? Mitte päris. Numbrite ülekandmise õigeks arvessevõtmiseks peate ju korrutama paremalt vasakule ja me tegime seda vasakult paremale, kasutades kavalalt ära asjaolu, et ülekandeid nagunii kuskil ei toimu. Seetõttu sõltub 0,(9) kirjutamise seaduslikkus sellest, kas tunnistame sellise veeruga korrutamise seaduslikkust või mitte.
Seetõttu võime üldiselt öelda, et märge 0,(9) on vale – ja teatud määral õige olla. Kuna aga tähistus a ,(b ) on aktsepteeritud, on lihtsalt inetu sellest loobuda, kui b = 9; Parem on otsustada, mida selline kirje tähendab. Seega, kui me üldiselt aktsepteerime tähistust 0,(9), siis see tähistus tähendab loomulikult numbrit üks.
Jääb üle vaid lisada, et kui kasutaksime näiteks kolmendarvusüsteemi, siis ühe (1 3) veeru kolmega (10 3) jagades saaksime 0,1 3 (loe “null koma üks kolmandik”), ja jagades üks kahega, oleks 0, (1) 3.
Nii et murdarvu perioodilisus ei ole mingi murdarvu objektiivne tunnus, vaid lihtsalt ühe või teise arvusüsteemi kasutamise kõrvalmõju.
Asjaolu, et paljud ruutjuured on irratsionaalsed arvud, ei vähenda nende olulisust eriti, arvu $\sqrt2$ kasutatakse väga sageli erinevates inseneri- ja teadusarvutustes. Seda arvu saab arvutada igal konkreetsel juhul vajaliku täpsusega. Saate selle numbri määrata nii paljude kümnendkohtadeni, kui teil kannatust jätkub.
Näiteks arvu $\sqrt2$ saab määrata kuue kümnendkoha täpsusega: $\sqrt2=1,414214$. See väärtus ei erine kuigi palju tegelikust väärtusest, kuna $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. See vastus erineb 2-st vaevalt rohkem kui ühe miljondiku võrra. Seetõttu peetakse $\sqrt2$ väärtust, mis võrdub $1,414214 $, üsna vastuvõetavaks enamiku praktiliste probleemide lahendamiseks. Juhtudel, kus on vaja suuremat täpsust, ei ole keeruline saada pärast koma nii palju olulisi numbreid, kui sel juhul vaja on.
Kui aga ilmutad haruldast kangekaelsust ja püüad välja tõmmata Ruutjuur alates numbrist $\sqrt2$ kuni täpse tulemuse saavutamiseni ei lõpeta sa kunagi oma tööd. See on lõputu protsess. Olenemata sellest, kui palju koma sa saad, jääb alati paar kohta juurde.
See asjaolu võib teid üllatada sama palju kui $\frac13$ muutmine lõpmatuks kümnendkohaks $0,333333333…$ ja nii edasi lõputult või $\frac17$ muutmine $0,142857142857142857…$ ja nii edasi lõputult. Esmapilgul võib tunduda, et need lõpmatud ja irratsionaalsed ruutjuured on sama järgu nähtused, kuid see pole sugugi nii. Lõppude lõpuks on nendel lõpmatutel murdudel murdosa ekvivalent, samas kui $\sqrt2$-l pole sellist ekvivalenti. Miks täpselt? Fakt on see, et $\frac13$ ja $\frac17$ kümnendekvivalent, aga ka lõpmatu hulk muid murde, on perioodilised lõpmatud murrud.
Samal ajal on $\sqrt2$ kümnendkoha ekvivalent mitteperioodiline murd. See väide kehtib ka iga irratsionaalse arvu kohta.
Probleem on selles, et iga kümnend, mis on 2 ruutjuure ligikaudne väärtus mitteperioodiline murd. Olenemata sellest, kui kaugele me oma arvutustes ka ei lähe, on iga saadud murd mitteperioodiline.
Kujutage ette murdosa, kus pärast koma on tohutul hulgal mitteperioodilisi numbreid. Kui järsku pärast miljonilist numbrit kordub kogu kümnendkohtade jada, tähendab see kümnend- perioodiline ja sellele on ekvivalent täisarvude suhte kujul. Kui suurel hulgal (miljardeid või miljoneid) mitteperioodiliste kümnendkohtadega murdosas on mingil hetkel lõputu korduvate numbrite jada, näiteks $...55555555555...$, tähendab see ühtlasi, et see murd on perioodiline ja on ekvivalent täisarvude arvude suhte kujul.
Kui aga nende kümnendekvivalendid on täiesti mitteperioodilised ega saa muutuda perioodiliseks.
Muidugi võite esitada järgmise küsimuse: "Kes saab teada ja kindlalt öelda, mis juhtub murdosaga, näiteks pärast triljoni märki? Kes saab garanteerida, et murdosa ei muutu perioodiliseks? On olemas viise, kuidas veenvalt tõestada, et irratsionaalsed arvud on mitteperioodilised, kuid sellised tõendid nõuavad keerulist matemaatikat. Aga kui äkki selgus, et irratsionaalne arv muutub perioodiline murd, tähendaks see matemaatikateaduste aluste täielikku kokkuvarisemist. Ja tegelikult on see vaevalt võimalik. Teil pole lihtne seda sõrmenukkidel küljelt küljele visata, siin on keeruline matemaatiline teooria.