Harmooniliste funktsioonide mõiste.

Harmooniline funktsioon- tõeline funktsioon $U$, defineeritud ja kaks korda pidevalt diferentseeruv Eukleidilises ruumis $D$(või selle avatud alamhulk), mis vastab Laplace'i võrrandile:

$\backslash Delta\; U\; =\; 0.\backslash$

Kus $\backslash Delta=\backslash sum\_(i=1)^n\backslash frac(\backslash partial^2)(\backslash partial\; x\_i^2)$- Laplace'i operaator, st kõigi ristkülikukujuliste Descartes'i koordinaatide teise tuletise summa x i (n= hämar D- ruumi mõõde).

Näiteks harmooniline funktsioon on elektrostaatiline potentsiaal punktides, kus laeng puudub.

Omadused

Maksimaalne põhimõte

Funktsioon U, harmooniline piirkonnas $D$, saavutab maksimumi ja miinimumi ainult piiril $\backslash osaline\; D$. Seega ei saa harmoonilisel funktsioonil olla sisepunktis lokaalset ekstreemumipiirkonda, välja arvatud konstandi triviaalsel juhul $D$ funktsioonid. Funktsioon võib aga piiril olla määratlemata, seega on õigem öelda

Liouville'i teoreem

Harmooniline funktsioon on määratletud $\backslash Bbb(R)^n$ ja piiratud ülal või alla, konstantne.

Keskmise omadus

Kui funktsioon $u$ harmooniline mõnes pallis $B(x\_0)$ tsentreeritud punkti $x\_0$, siis selle väärtus punktis $x\_0$ võrdne selle keskmise väärtusega piki selle palli piiri või üle palli:

$u(x\_0)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash mu(\backslash partial\; B))\; \backslash int\backslash limits\_(\backslash partial\; B)\; u\; dS\; =\; \backslash frac(1)(\backslash mu\; (B))\; \backslash int\backslash limits\_(B)\; u\; dV$

Kus $\backslash mu\; (B)$- palli maht $B(x\_0)$ Ja $\backslash mu(\backslash partial\; B)$- selle piiri ala.

Ja vastupidi, iga pidev funktsioon, millel on kõigi teatud piirkonnas asuvate kuulide keskmine omadus, on selles piirkonnas harmooniline.

Diferentseeritavus

Funktsioon, mis on domeenis harmooniline, on selles lõpmatult diferentseeruv.

Harnacki ebavõrdsus

Kui funktsioon $U(M)=U(x\_1,...x\_k)$, harmooniline k-mõõtmelises kuulis $Q\_r$ raadius $R$ mingil hetkel keskpunktiga $M\_0$, on selles pallis mittenegatiivne, siis selle väärtuste puhul punktides $M$ vaadeldava palli sees kehtivad järgmised ebavõrdsused: $((R^(k-2))(\backslash frac(R-r)((R+r)^(k-1)))U(M\_0))\backslash le(U(M))\backslash le(R^(k)\; -2)\backslash frac(R+r)((R-r)^(k-1))U(M\_0))$, Kus

Harnacki teoreem

Lase $v\_n(z)$- positiivsed harmoonilised funktsioonid mõnes piirkonnas $D$. Kui rida $\backslash sum\_(1)^\backslash infty\; v\_(n)(z)$ koondub vähemalt ühes piirkonna punktis $D$, siis koondub see sees ühtlaselt $D$.

Vaata ka

Kirjutage ülevaade artiklist "Harmooniline funktsioon"

Märkmed

Kirjandus

• Vladimirov V. S., Žarinov V. V. Matemaatilise füüsika võrrandid. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X.

Harmoonilise funktsiooni iseloomustav väljavõte

"Fr... fr..." vürst Nikolai Andreich turtsatas.
- Prints teeb oma õpilase... poja nimel sulle ettepaneku. Kas soovite olla prints Anatoli Kuragini naine või mitte? Sa ütled jah või ei! - hüüdis ta, - ja siis jätan endale õiguse oma arvamus välja öelda. Jah, minu arvamus ja ainult minu arvamus,” lisas prints Nikolai Andreitš, pöördudes prints Vassili poole ja vastates tema palvetavale ilmele. - Jah või ei?
– Minu soov, mon pere, ei ole sind mitte kunagi maha jätta, mitte kunagi lahutada oma elu sinu omast. "Ma ei taha abielluda," ütles ta otsustavalt, vaadates oma kaunite silmadega prints Vassili ja oma isa.
- Jama, jama! Jama, jama, jama! - karjus prints Nikolai Andreitš kulmu kortsutades, võttis tütre käest kinni, kummardas ta enda poole ega suudlenud teda, vaid ainult painutades oma otsaesise otsaesisele, puudutas teda ja pigistas käest, mida ta hoidis, nii palju, et naine võpatas ja karjus.
Prints Vassili tõusis püsti.
– Ma chere, je vous dirai, que c"est un moment que je n"oublrai jamais, jamais; mais, ma bonne, est ce que vous ne nous donnerez pas un peu d"esperance de toucher ce coeur si bon, si genereux. Dites, que peut etre... L"avenir est si grand. Dites: peut etre. [Kallis, ma ütlen teile, et ma ei unusta seda hetke kunagi, kuid, mu kallim, andke meile vähemalt väike lootus puudutada seda südant, mis on nii lahke ja helde. Ütle: võib-olla... Tulevik on nii suurepärane. Ütle: võib-olla.]
- Prints, see, mida ma ütlesin, on kõik, mis on mu südames. Tänan teid au eest, kuid minust ei saa kunagi teie poja naine.
- Noh, see on läbi, mu kallis. Väga hea meel teid näha, väga hea meel teid näha. Tule enda juurde, printsess, tule,” ütles vana prints. "Mul on väga-väga hea meel teid näha," kordas ta prints Vassili kallistades.
"Minu kutsumus on teistsugune," mõtles printsess Marya endamisi, minu kutsumus on olla õnnelik teise õnnega, armastuse ja eneseohverduse õnnega. Ja ükskõik, mis see mulle ka ei maksaks, teen vaese Ame'i õnnelikuks. Ta armastab teda nii kirglikult. Ta kahetseb nii kirglikult. Ma teen kõik, et temaga abielu korraldada. Kui ta pole rikas, annan talle raha, küsin isalt, küsin Andreilt. Ma olen nii õnnelik, kui temast saab tema naine. Ta on nii õnnetu, võõras, üksik, abita! Ja issand, kui kirglikult ta armastab, kui suudaks end niimoodi unustada. Võib-olla oleksin sama teinud!...” arvas printsess Marya.

Pikka aega polnud Rostovidel Nikoluškast uudiseid; Alles südatalvel anti krahvile kiri, mille aadressil ta tundis ära oma poja käe. Kirja kätte saanud, jooksis krahv hirmunult ja kiirustades, püüdes mitte märgata, kikivarvul oma kabinetti, lukustas end ja asus lugema. Anna Mihhailovna, saades kirja saamisest teada (kuna ta teadis kõike, mis majas toimub), astus vaikselt krahvi tuppa ja leidis ta, kiri käes, koos nuttes ja naerdes. Vaatamata oma asjade paranemisele elas Anna Mihhailovna edasi Rostovite juures.

Seos analüütiliste funktsioonidega. Analüütilised funktsioonid on tihedalt seotud kahe muutuja harmooniliste funktsioonidega, st kahemõõtmelise Laplace'i võrrandi lahenditega

Tõepoolest, eristades esimest analüüsitingimustest

Leiame, et funktsioon u, analüütilise funktsiooni reaalosa, on harmooniline funktsioon. Samamoodi tõestatakse, et analüütilise funktsiooni imaginaarne osa on harmooniline funktsioon.

on D-s analüütiline. Tõepoolest, võrrandi (1) alusel

lihtsalt ühendatud domeenis on mõne funktsiooni v täpne diferentsiaal, mis on soovitud. Seega leitakse konjugeeritud harmoonilised funktsioonid lihtsa integreerimisega.

Analüütiliste funktsioonide omadustest saab tuletada harmooniliste funktsioonide vastavad omadused (soovi korral võib teha vastupidist). Seega võime kinnitada, et iga harmooniline funktsioon on lõpmatult diferentseeritav. Eelmise lõigu valemist (19) reaalosade eraldamisel saame harmooniliste funktsioonide keskväärtuste teoreemi:

kuulub harmoonia valdkonda ja.

See teoreem on harmooniliste funktsioonide teooria üks põhitõdesid. Eelkõige sellest saadakse oluline ekstreemumi põhimõte: funktsioon, mis ei ole konstantne ja harmooniline domeenis D, ei saa D sees saavutada ei maksimumi ega miinimumi.

peaks saavutama maksimumi

kõikjal D-s.

Loomulik probleem tekib domeeni funktsiooni harmoonilise rekonstrueerimisel selle piirväärtuste põhjal. See probleem on harmooniliste funktsioonide teoorias ja selle rakendustes põhiline ning seda nimetatakse Dirichlet' probleemiks. See on sõnastatud järgmiselt:

Ülaltoodud arutluskäik näitab, et Dirichlet' probleemil ei saa olla kahte erinevat lahendust, st see tõestab selle ülesande lahenduse unikaalsust. Peenem ja raskemini tõestatav fakt on Dirichlet’ probleemi lahenduse olemasolu. Paljude kõige lihtsamate valdkondade puhul saab aga lahenduse olemasolu tõestada otsese konstruktsiooniga.

rakendage Cauchy integraali valemit:

ja seetõttu kasutame teoreemi

Nüüd lahutame selle võrdsuse eelmisest, olles selle eelnevalt välja arvutanud

1 meil on

me saame

nüüd on reaalne kordaja. Eraldades viimases valemis reaalosad, saame nn Poissoni integraali

defineerib etteantud piirväärtustega ringis funktsiooni u(z) harmooniline.

Teisendades Cauchy valemit (4), mis on sarnane kirjeldatuga, saab ka Schwarzi integraali, mis taastab funktsiooni f(z) analüütiline ühikkettal selle reaalosa piirväärtustest:

seda probleemi saab ilmselt lahendada kuni kujuteldava konstandini.

tähistavad vastavalt f reaalosa väärtusi riba alumisel ja ülemisel piiril.

on harmooniline A-s. Teoreem on tõestatud otsese arvutusega, mille järgi Laplace'i operaator

Eelkõige säilib harmoonilisus konformsete kaardistuste korral, mis on üks-ühele analüütilised teisendused.

Seos harmooniliste funktsioonide teooria ja konformsete vastenduste teooria vahel avaldub ka vastavate piirväärtusprobleemide vahelises seoses. Konformse kaardistamise teooria peamine piirväärtusprobleem on järgmine Riemanni probleem:

Ühe nendest piirkondadest teise konformse kaardistamise rakendamine.

Jääb üle pöörduda tagasi muutuja r juurde ja kasutada harmoonilisuse säilitamist konformse kaardistuse korral; saame soovitud lahenduse:

mida te otsite

kaardistus f võtab w = 0 ringi keskpunkti (joonis 19).

Selles peab funktsioonil f olema null ja pealegi esimest järku, sest kõrgemat järku nullide läheduses ei ole analüütiline funktsioon üks-ühele (sel on seal astme iseloom). Seetõttu peab funktsiooni f naabruses z0 olema vormi Taylori laiend

Aga siis selle logaritm

funktsioon on D-s analüütiline, mis tähendab selle reaalosa, st funktsiooni

peab olema D-s harmooniline.

Nüüd pole keeruline mõista teostatud konstruktsioonide eesmärki: lõppude lõpuks, kui f kaardistab D ühikukettale, siis peab see D piiril olema võrdne 1-ga, mis tähendab, et konformset kaardistamist veel teadmata ise, me teame funktsiooni (9) piirväärtusi, need on võrdsed

ja need on määratud piirkonna piiri geomeetrilise kuju ja valitud punktiga z0 (joonis 19). Soovitud konformse kaardistuse leidmiseks on seetõttu vaja teha järgmised toimingud: 1) kasutades teadaolevaid piirväärtusi (1СН, konstrueerida harmooniline D-s

funktsioon u(z) (Dirichleti ülesanne), 2) leida funktsioon v(z) harmooniliselt konjugeeritud u-ga (integratsioon). Nüüd teame funktsiooni

kus valemi abil leitakse vajalik vastendus

Tahaksin juhtida tähelepanu mõnele konstrueeritud lahendusega seotud nüansile. Konstruktsioonist on selge, et funktsioon f on D-s analüütiline ja D piiril on selle moodul võrdne 1-ga. Siiski tuleb veel tõestada, et see funktsioon on D üks-ühele vastendamine üksuse ketas. Seda saab teha otsese (kuid mitte mingil juhul lihtsa) kontrollimise teel. Kui oleme kindlad, et meie ülesanne on lahendatav (st me teame, kuidas tõestada teoreemi konformse vastenduse D olemasolu kohta ringile), siis pole selline kontroll vajalik – ülaltoodud põhjendus näitab, et kui vajalik vaste on olemas , siis saab seda kindlasti taastada valemi (üksteist) abil.

on soovitud konformne kaardistamine.

Vaatleme funktsiooni U, mis on pinnaga (S) piiratud domeenis (D) harmooniline. Eeldades, et U on pidev koos teist järku tuletistega kuni (S) ja rakendades sellele funktsioonile U ja harmoonilisele funktsioonile Greeni valemit (6), saame tulemusel

st meil on harmoonilise funktsiooni esimene omadus: harmoonilise funktsiooni normaaltuletise integraal üle piirkonna pinna on võrdne nulliga.

Kui rakendame harmoonilisele funktsioonile U valemit (9), siis saame tänu

See annab meile harmoonilise funktsiooni teise omaduse: harmoonilise funktsiooni väärtust piirkonna mis tahes punktis väljendatakse selle funktsiooni väärtuste ja selle normaalse tuletise kaudu piirkonna pinnal valemiga (13).

Pange tähele, et integraalid valemites (12) ja (13) ei sisalda funktsiooni teist järku tuletisi ja nende valemite rakendatavuse jaoks piisab eeldamisest, et harmooniline funktsioon on pidev koos esimest järku tuletistega kuni (S). Selle kontrollimiseks piisab, kui pind (S) kergelt kokku suruda, kokkusurutud piirkonna (D) jaoks kirjutada valemid (12) ja (13), milles on pidevus ja teist järku tuletised kuni pinnani, ning seejärel minge piirini, laiendades (D ) kuni (D). Kokkusurumist saab teha näiteks nii, et sisenormaali (S) igasse selle punkti kantakse sama väike segment pikkusega 8. Nende lõikude otsad moodustavad uue (kokkusurutud) pinna. Sel juhul peab pind (S) olema selline, et kirjeldatud teisendus kõigi piisavalt väikeste 8 puhul viib pinnani, mis ei ristu ise ja on jupikaupa sile. Seda küsimust käsitletakse üksikasjalikult IV köites.

Rakendame valemit (13) piirkonna erijuhule, nimelt sfäärile, mille keskpunkt on ja raadius R, eeldades muidugi, et

funktsioon U on selles sfääris harmooniline ja on esimest järku tuletistega pidev kuni selle pinnani (21)

Sel juhul kattub välisnormaali suund kera raadiuse suunaga, seega saame

ja valem (13) annab

Kuid sfääri pinnal on suurusel konstantne väärtus R, seega

või (12) alusel lõpuks saame

See valem väljendab harmoonilise funktsiooni kolmandat omadust: sfääri keskpunktis oleva harmoonilise funktsiooni väärtus on võrdne selle funktsiooni aritmeetilise keskmise väärtusega sfääri pinnal, st võrdne väärtuste integraaliga. funktsioonist sfääri pinnal, jagatud selle pinna pindalaga.

Sellest omadusest tuleneb peaaegu ilmselgelt järgmine harmoonilise funktsiooni neljas omadus:

Funktsioon, mis on piirkonnas harmooniline ja pidev kuni piirkonna piirini, saavutab maksimaalse ja minimaalse väärtuse ainult piirkonna piiril, välja arvatud juhul, kui see funktsioon on konstantne. Toome selle väite üksikasjaliku tõestuse. Laske sellel saavutada oma suurim väärtus piirkonna mõnes sisemises punktis, kus on harmooniline funktsioon. Ehitame valemile (14) kuuluva keskpunkti ja raadiusega sfääri ning asendame integrandfunktsiooni U selle suurima väärtusega sfääril.

pealegi esineb võrdusmärk ainult juhul, kui sfääril olev U on konstant, mis on võrdne . Kuna eeldusel ja on suurim väärtus, võime kinnitada, et võrdusmärk kehtib ja seetõttu

Võrdne konstandiga mis tahes sfääri sees ja pinnal, mille keskpunkt kuulub D-le. Näitame, et sellest järeldub, et konstant on olemas kogu alal

Olgu N suvaline punkt, mis asub D sees. Peame näitama, et me ühendame punktiga N lõpliku pikkusega joonega, näiteks katkendjoonega, mis asub sees ja olgu d lühim kaugus piirkonna D piirist S (d on positiivne arv). Ülaltoodu põhjal on see võrdne konstandiga kuulis, mille keskpunkt ja raadius on d. Olgu nimetatud kuuli pinnaga sirge viimane lõikepunkt, kui me arvestame punktist Meil ​​on ja vastavalt ülaltoodule on võrdne konstandiga kuulis, mille keskpunkt ja raadius on d. Olgu viimane l-i lõikepunkt selle kuuli pinnaga. Nagu ülalpool, on funktsioon võrdne konstandiga kuulis, mille keskpunkt ja raadius on d jne. Konstrueerides lõpuliku arvu selliseid kuule, oleme veendunud, et just seda pidime tõestama. Samuti saab näidata, et D sees ei saa olla ei maksimume ega miinimume. Kasutades harmooniliste funktsioonide tõestatud omadust, on väga lihtne näidata, et Dirichlet' siseprobleemil, mida me siin mainisime, saab olla ainult üks lahendus. Tõepoolest, kui eeldada, et D sees on kaks funktsiooni, mis on harmoonilised ja võtavad selle piirkonna pinnal S samad piirväärtused, siis see erinevus rahuldab ka Laplace'i võrrandit D sees, st see on harmooniline. funktsioon ja selle piirväärtused pinnal 5 on kõikjal nulliga võrdsed. Siit, arvestades ülaltoodut, järeldub kohe, et see kaob identselt kogu piirkonnas, sest vastasel juhul peaks see saavutama positiivse maksimumväärtuse või negatiivse miinimumväärtuse sees, mis on võimatu. Seega peavad Dirichlet' ülesande kaks lahendust kattuma kogu domeenis D. Välise Dirichlet' ülesande ainulaadsus on tõestatud täpselt samal viisil, võttes arvesse, et tingimuse järgi peab harmooniline funktsioon lõpmatult kauges punktis kaduma. .

Täiesti sarnased omadused saadakse tasandi harmooniliste funktsioonide puhul. Sel juhul on meil valemi (13) asemel valem

ja keskmise väärtuse teoreemi väljendatakse järgmiselt

kus on ring keskpunkti ja raadiusega R. Välise Dirichlet' ülesande jaoks lõpmatult kauges punktis ei pea kaduma, nagu kolmemõõtmelisel juhul, vaid ainult mingi lõpliku piiri olemasolu ja selle ainulaadsus Dirichleti probleem tuleb tõestada teisiti kui eelmisel juhul. Esitame selle tõestuse IV köites, kus käsitleme Dirichlet’ ja Neumanni probleeme lähemalt.

Pangem nüüd tähele, et iga konstant on harmooniline funktsioon, mis rahuldab piirtingimust

millest on selge, et kui Neumanni ülesande lahendusele lisada suvaline konstant, siis on saadud summa ka Neumanni ülesande lahendus samade piirväärtustega, st Neumanni ülesande lahendus määratakse üles suvalise konstantse liikmeni. Valemist (12) järeldub ka, et sisemise Neumanni ülesande piirtingimusse kuuluv funktsioon ei saa olla meelevaldne, vaid peab tingimust täitma

Kokkuvõtteks märgime ka, et valem (13) kehtib ka juhul, kui lõpmatus piirkonnas on harmooniline funktsioon, mille moodustab väljaspool pinda S paiknev ruumiosa. Sel juhul tuleb teha vaid eeldus väiksuse järgu kohta lõpmatuses, st punktist M lõpmatul kaugusel. Piisab (ja vajalik) eeldada, et lõpmatu kauguse korral tekivad võrratused

Funktsiooni a(t) nimetatakse harmooniliseks, kui see varieerub vastavalt sinusoidaalsele või koosinusseadusele:

a(t) = A m Cos(ωt + φ) = A m sin(ωt + ψ).

Siin nimetatakse argumenti υ(t) = ωt + ψ faasiks. Väärtust ψ = φ + π/2, mis on võrdne faasi väärtusega t = 0 juures, nimetatakse algfaasiks. Funktsiooni suurim väärtus on amplituud A m, väikseim väärtus (–A m).

Harmoonilise funktsiooni faas suureneb aja jooksul lineaarselt. Selle muutumise kiirust ω nimetatakse nurksageduseks ja seda mõõdetakse
rad/s. Harmooniline funktsioon on perioodilise funktsiooni lihtsaim tüüp. Väärtust f, funktsiooni T perioodi pöördväärtust, nimetatakse lineaarsageduseks ja seda mõõdetakse hertsides, mida tähistatakse Hz.

Ahela püsiseisund on selline, kus pinge ja voolu muutumise seadus ei muutu kogu uuritava perioodi jooksul.

ajavahe. Vastasel korral on režiim üleminekuperiood.

Vaatleme väljakujunenud protsesse.

Joonistame harmoonilise funktsiooni:

1. Valige skaala. Piki abstsisstellge on faas ωt funktsiooni 2π perioodi määramiseks. Y-telg on amprites (kui see on voolu funktsioon) või voltides (kui see on pinge funktsioon). Jätame kõrvale funktsiooni A m amplituudi (joonis 2.2):

3. Nihutage konstrueeritud funktsiooni piki abstsisstellge algfaasi ψ väärtuse võrra. Kui ψ > 0, siis nihutame seda vasakule, see tähendab, et funktsioon a(ωt) nihutab alguspunkti piki abstsissi ψ võrra. Kui ψ< 0, то сдвигаем вправо, то есть

funktsioon a(ωt) jääb algpunktist maha summa ψ võrra.

Näiteks koos , saame (joonis 2.4):

Näide 9. Joonistage praeguse funktsiooni i(t) = 2 Sin(ωt + ) A graafik.

1. Valige skaala piki ordinaattelge (joonis 2.5).

2. Koostage funktsioon i´(t) = 2 Sin(ωt +0) A (joonis 2.6).

3. Nihutage konstrueeritud funktsiooni piki x-telge vasakule, kuna

Ψ = > 0 (joonis 2.7):

3. Nihutame konstrueeritud funktsiooni piki x-telge paremale, kuna

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Harmooniliste voolude keskmised ja efektiivsed väärtused ja

Pinge

Perioodilise funktsiooni i(t), u(t) keskmine väärtus perioodil T määratakse avaldise abil:

Keskmine väärtus ei sõltu ajast t 0 .

Harmoonilise funktsiooni perioodi keskmine väärtus (mis on vool ja pinge (emf)) on null.

Perioodilise funktsiooni i(t) efektiivne väärtus u(t) on selle funktsiooni keskmine ruutväärtus ajavahemikus T:

.

Füüsikalises tähenduses on perioodilise voolu efektiivne väärtus perioodi kohta alalisvool, mis läbides konstantset takistust eraldab antud vooluga sama palju soojust.

Harmoonilise funktsiooni i(t) , u(t) efektiivväärtus I, U, E, in

Kordades vähem kui amplituud

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Seega

Näide 11. Voolu i(t) = 5Sin(ωt + ). Määrake keskmine, efektiivne ja
selle amplituudi väärtus.

I CP keskmine väärtus = 0, kuna i(t) on harmooniline funktsioon. Amplituudi väärtus I m = 5 A ja efektiivne väärtus ) - 1 = 0,707 5 = 3,535 A.

Tehted kompleksarvudega

Matemaatikas ja elektrotehnikas kasutatakse laialdaselt imaginaarset ühikut, mis on kompleksarvude aluseks.

Üldiselt tähistatakse keerukaid suurusi, välja arvatud vool ja pinge, sümboli ja selle all oleva paksu joonega: A. Kompleksarvudel on viis esitusviisi.

Algebraline

A= a + jb; a = Re [ A]; b = im[ A] .

siin a ja b on vastavalt arvu tegelikud ja imaginaarsed komponendid A .

Soovituslik

A= A e j ψ ,

kus A = − arvumoodul A, − arvu argument A.

Polaarne

Trigonomeetriline

A= АCosψ + jАSinψ,

kus ACosψ = ​​a; ASinψ = b.

geomeetriline – arv vektorina komplekstasandil (joon. 2.11).

Kahte kompleksarvu nimetatakse konjugaadiks, kui nende tegelikud komponendid langevad kokku ja nende imaginaarsed komponendid erinevad ainult märkide poolest Arvu konjugaat A tähistatakse kompleksarvu. Kui A= a + jb, siis = a – jb.

Kompleksarvude liitmist ja lahutamist saab teha algebralistes ja geomeetrilistes vormides, kuid arvutustes - ainult algebralises vormis:

A 1 + A 2 = (a 1 + jb 1) ± (a 2 + jb 2) = (a 1 ± a 2) + j (b 1 ± b 2)

Korrutamist ja jagamist on kõige parem teha eksponentsiaalsel kujul.

A 1 · A 2 = A 1 · A 2 · = A 1 · A 2 ·,

=

Näide 12. Antud A 1 = 2 + j3; A 2 = 5 – j10. Määrake summa ja vahe
numbrid A 1 ja A 2 .

A 1 + A 2 = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

A 1 – A 2 = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Näide 13. Antud A 1 = 10 e j 30°; A 2 = 20 e –j6 0° . Määratlege toode
ja arvude jagatis A 1 ja A 2 .

 3 = A 1 · A 2 = 10 е j 30° 20 е –j6 0° = 200 е –j3 0° .

 4 = A 1 = 10e j 30º (20e –j6 0°) –1 = 0,5e j 90º = 0,5j.

Väga sageli on arvutustes vaja lülituda kompleksarvu eksponentsiaalselt vormilt algebralisele kujule või vastupidi. Pakutakse välja üleminekualgoritmid.

Algoritmüleminek eksponentsiaalsest A·e jψ vormist algebralisele a + jb.

1. Määrake Cosψ.

2. Määrake А·Cosψ = ​​​​а (lähtestamine).

3. Defineeri Sin ψ.

4. Määrake А·Sin ψ = b.

Algoritmüleminek algebralisest a + jb vormist eksponentsiaalsele A·e jψ.

1. Defineeri – arvutatud argument ψ.

2. Tõeline argument ψ määratakse ψ CALC abil sõltuvalt skeemist (joonis 2.12):

3. Määrake Sin ψ CALC.

4. Defineeri .

Näide 14. Tõlgi A= 10· algebralises vormis.

A= 10·; .

10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Tõlgi A=3 + j6 eksponentsiaalsel kujul.

; ψ RASCH = arctan 2 = 63°; A = 6,7;

A= 6,7e j63° .

2.4. Harmoonilise funktsiooni kujutamine komplekssel funktsioonil
lennuk

Harmooniliste signaalide mõjul olevate lineaarahelate voolude ja pingete püsiseisundi väärtused saab põhimõtteliselt leida nendele protsessidele vastavate diferentsiaalvõrrandite koostamise ja lahendamisega. See on aga üsna raske tee.

19. sajandi lõpus pakkusid Ameerika insenerid A. Kennelly ja I. Steinmetz välja lihtsama viisi, mis põhines aja harmooniliste funktsioonide esitamisel kompleksarvude kujul, st algsete funktsioonide ülekandmisel. ajapiirkond sageduspiirkonnaks.

Tutvustame voolu harmooniliste funktsioonide (pinge, emf) komplekssete amplituudiväärtuste mõistet. Selleks esitame kõik need funktsioonid komplekstasandil vektorina, mille pikkus on võrdne amplituudiga A m. Samal ajal pöörleb see ringikujulise sagedusega ω vastupäeva (joonis 2.13).

+1

Kui peatate vektori suvalisel ajal t, määratakse selle projektsioon a(t) kujuteldavale teljele:

а(t) = А m·Sin (ωt + ψ) .

Kui t = 0 a(0) = A m ·Sinψ.

Seega harmooniline funktsioon а(t) = А m · Sin (ωt + ψ) vastab kompleksarvule A m = A m e jψ.

Sarnaselt harmooniliste mõjudega

i(t) = I m Sin (ωt + ψ i), u(t) = U m Sin (ωt + ψ u) ja e(t) = E m Sin (ωt + ψ e) voolu väärtus või harmooniline funktsioon on kompleksarv, mille moodul on võrdne voolu või pinge efektiivse väärtusega ja argument on võrdne harmoonilise funktsiooni algfaasiga. = 10 ()‾ 1 = 7,07 V.

Kehtib ka pöördteisendus.

Voolu kompleksne efektiivne väärtus on teada = 0,2e j 70° A sagedusel ω = 100 rad/s. Leidke voolu harmooniline funktsioon.

i(t) = I m Sin (ωt+ψ i) = I Sin (ωt+ψ i) = 0,2 Sin (100t+70°) =

HARMOONILINE FUNKTSIOON

- funktsioon pidev oma teise tuletisega domeenis G ja rahulolu sisse Laplace'i G võrrand=0. G. f. tekivad elektrostaatika, gravitatsiooniteooria, kokkusurumatu vedeliku hüdrodünaamika, elastsuse teooria jne probleemide lahendamisel. G. f. on näiteks jõudude potentsiaalid punktides väljaspool nende välja allikaid, kokkusurumatu vedeliku kiiruste potentsiaal. Lihtsaim näide G. f. teenib sihtasutust. punktallika potentsiaali kirjeldava Laplace'i võrrandi lahendus. Kõik G. f. võib esitada lihtsa ja topeltkihi potentsiaalide summana, mida väljendatakse G. f. väärtuste kaudu. Ja ja selle tavaline tuletis: kui r- kaugus mis tahes punktist P0 sees G muutuvasse punkti P piiri peal S, siis kolmemõõtmelise puhul

G. f. kehtib ekstreemumi printsiip: funktsioon, mis on sisemiselt harmooniline G ja pidev suletud piirkonnas G+S, saavutab maksimaalse ja minimaalse väärtuse alles S, välja arvatud juhul, kui see funktsioon on konstantne. See põhimõte võimaldab meil kindlaks teha füüsika üldised omadused arvutusi kasutamata. Näiteks elektrostaatikas tuleneb sellest Earnshaw teoreem. Mugav meetod geomeetriliste funktsioonide ülesannete lahendamiseks. tasandil on antud kompleksmuutuja funktsioonide teooriaga z=x+iy. Kui w=u+iv - analüütiline funktsioon z-st kuni G, See u(x, y) Ja v(x, y) on G. f. V G. Seetõttu mitmuses probleeme saab lahendada domeeni konformse kaardistamise abil G teatud standardalasse (ring, pooltasapind). Piirtingimused G. f. määrata vastavad piirväärtusülesanded, millest levinum on esimene piirväärtusülesanne või Dirichleti probleem, kui piiril S G. f. võtab antud väärtused, ja teine ​​piirväärtusülesanne või Neumanni probleem, kui igas punktis S on antud funktsiooni G. normaaltuletis.

Lita.: Smirnov V.I., Kõrgema matemaatika kursus, 2. kd, 21. väljaanne, M., 1974; Sobolev S.L., Matemaatilise füüsika võrrandid, 4. väljaanne, M., 1966.

• - perekonna väikseim harmooniline majorant - kõigi superharmoonikute perekonna alumine ümbris. majorant vk, subharmoonikute perekond...

  Matemaatiline entsüklopeedia

• - termin, mida mõnikord kasutatakse hulga võimsuse tähistamiseks Eukleidilises ruumis, mis saadakse klassikalise potentsiaaliteooria meetodil, kasutades Newtoni potentsiaali at või logaritmilist potentsiaali...

  Matemaatiline entsüklopeedia

• - proportsioon, vt. liikmed on võrdsed ja viimane liige on esimese ja keskmise vahe: a:b = b:. Nimetatakse arvu a lagunemist kaheks liikmeks b ja a-b. harmooniline jagunemine või kuldne suhe...
• - mitu funktsiooni muutujad, pidevad teatud piirkonnas koos selle teist järku osatuletistega ja rahuldavad selles piirkonnas Laplace'i diferentsiaalvõrrandit...

  Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

• - kvantsüsteemi peamine füüsikaline omadus, dünaamiliste muutujate funktsioon, mis kirjeldab täielikult süsteemi olekut...

  Kaasaegse loodusteaduse algus

• - jada kujul 1/a, 1/b, 1/c..., kus a, b, c jne. on ARITMEETILINE PROGRESSION. Lihtsaim näide on arvude jada, mis on positiivsete täisarvude pöördarvud: 1,1/2, 1/3, 1/4,.....

  Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik

• - sün. mõiste paralleelne voltimine...

  Geoloogiline entsüklopeedia

• - Kahe arvu A.-harmooniline keskmine saadakse järgmiselt. Olgu antud arvud a ja h ning h1 = 2ah/...

  Brockhausi ja Euphroni entsüklopeediline sõnaraamat

• - proportsioon, mille keskmised liikmed on võrdsed ja viimane liige on esimese ja keskmise vahe: a: b = b: ...

  Suur Nõukogude entsüklopeedia

• - HARMONILINE proportsioon - proportsioon, mille keskmised liikmed on võrdsed ja viimane liige on esimese ja keskmise vahe: a: b = b:...
• - HARMONILINE funktsioon - mitme muutuja funktsioon, mis on pidev teatud piirkonnas koos selle 2. järku osatuletistega ja rahuldab selles piirkonnas Laplace'i diferentsiaalvõrrandit...

  Suur entsüklopeediline sõnastik

• -Keele eesmärk on olla vahend inimestevaheliste kontaktide loomiseks...
• - Keele kasutamine konkreetses suhtlussfääris koos teise keelega, kuna see ei suuda seda sfääri iseseisvalt täielikult teenindada...

  Keeleterminite sõnastik T.V. Varss

• - matemaatikas on kolm arvu, millel on omadus, et nende kahe suhe on võrdne nende ja kolmanda arvu erinevuste suhtega; nt kui A: B = A - C: B - C; siis A, B ja C moodustavad harmoonilise. proportsioonid...

  Vene keele võõrsõnade sõnastik

• - Erinevate keelte samaaegne toimimine samas valdkonnas või alamväljas...

  Keeleterminite sõnastik T.V. Varss

• - Keele kasutamine adressaadi intellektuaalseks, emotsionaalseks või tahtlikuks mõjutamiseks...

  Keeleterminite sõnastik T.V. Varss

"HARMOONILINE FUNKTSIOON" raamatutes

HARMOONILINE FILTRATSIOON

autor Aleksandrov Juri

HARMOONILINE FILTRATSIOON

Raamatust Psühhofüsioloogia alused autor Aleksandrov Juri

HARMOONILINE FILTER Harmooniline filtreerimine põhineb algse signaali spektrite töötlemisel, mis on arvutatud näiteks kiire Fourier' teisenduse (FFT) abil. Fourier spekter on signaal sin ja cos funktsioonide komplekti kujul, mis millal

Harmooniline organisatsioon

Raamatust Must muusika, valge vabadus autor Barban Efim Semjonovitš

Harmooniline organisatsioon Jazz ei ole loonud oma harmoonilist keelt. Bluesi skaala pole midagi muud kui Euroopa tempereeritud skaala veidi muudetud versioon. Selle põhjal tekkinud afroameerika režiim (täpsemalt tonaalsus) oli põhimõtteliselt

Maiade harmooniliste arvude süsteem

Raamatust Factor Maya [Mittetehnoloogiline tee] autor Argüelles Jose

Maiade harmooniliste numbrite süsteem Maiade arvusüsteem põhineb eksponentsiaalsel kahendarvulisel arvudel, mille alus on 20. Kogu jada on kirjutatud ainult kolme sümboliga: punkt, mis tähendab ühte;

Funktsioon

Raamatust Lemmikud: Muusikasotsioloogia autor Adorno Theodor W

Funktsioon

Autori raamatust

Funktsioon (lat. functio – täitmine, vahendustasu) – kohustus, tegevusala. "Funktsioon on eksistents, mida me tegevuses ette kujutame" (J. Goethe, viidanud E. Nikitin. Function. - Philosophical Encyclopedia, vol. 5. M., 1970, lk. 418.) Funktsioon ilmneb subjektis (objektis) , element) ainult

Funktsioon

Raamatust Entsüklopeediline sõnaraamat (T-F) autor Brockhaus F.A.

Funktsioon Funktsioon (mat.). – Öeldule tuleks lisada veel mõned kommentaarid. Oletame, et y on sõltumatu muutuja x funktsioon. Võib juhtuda, et see funktsioon pole määratletud kõigi x väärtuste jaoks, vaid ainult mõne jaoks. Näiteks Ф.у = 1. 2. 3:.. (x – 1).x on defineeritud ainult täisarvude jaoks

Harmooniline proportsioon

Autori raamatust Great Soviet Encyclopedia (GA). TSB

FUNKTSIOON

Raamatust Uusim filosoofiline sõnaraamat autor Gritsanov Aleksander Aleksejevitš

SUM funktsioon

Raamatust Database Processing in Visual Basic®.NET autor McManus Geoffrey P

SUMMA funktsioon Teie võime tulemuste kokkuvõtet teha ei piirdu pelgalt kirjete loendamisega. Funktsiooni SUM abil saate luua kõigi numbriväljade tagastatud kirjete kogutulemused. Näiteks selleks, et luua päring, mis genereerib kogusummad

uni() funktsioon

Raamatust Ilukirjandusraamatute kujundaja 3.2. Kiirjuhend autor Izekbis

uni() funktsioon

Ilukirjandusraamatute kujundaja lühijuhendist autor autor teadmata

funktsioon uni() Märgi otsimist/asendamist selle Unicode-numbri järgi saab teha ka funktsiooni uni() abil Funktsiooni uni() näide: Boouni(107,32)Disainer leiab sõna Book

Funktsioon mitte

Raamatust XSLT Technology autor Valikov Aleksei Nikolajevitš

summa funktsioon

Raamatust XSLT Technology autor Valikov Aleksei Nikolajevitš

Osa 1. Juhtimise täielik funktsioon rahvahulga "elitarismis" ja tõelises demokraatias 1.1. Täielik juhtimisfunktsioon ja selle rakendamise primitiivne praktika ühiskonnaelus

Raamatust “Praegusest hetkest” nr 7(79), 2008.a. autor NSVL siseennustaja

Osa 1. Juhtimise täielik funktsioon rahvahulga "elitarismis" ja tõelises demokraatias 1.1. Täielik juhtimisfunktsioon ja selle rakendamise primitiivne praktika ühiskonnaelus Üsna üldises juhtimisteoorias (DOTU) on mõiste "täielik juhtimisfunktsioon". Täielik funktsioon