Võnkumisteooria alused. Võnkusüsteemide klassifikatsioon

Kursusteooria võnkumisteooria üliõpilastele 4 FACI kursus

Distsipliin põhineb selliste teadusharude tulemustel nagu klassikaline üldalgebra, tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooria, teoreetiline mehaanika ja kompleksmuutuja funktsioonide teooria. Distsipliini õppimise eripäraks on aparaadi sagedane kasutamine matemaatiline analüüs ja muud sellega seotud matemaatilised distsipliinid, praktiline kasutamine olulisi näiteid alates ainevaldkond teoreetiline mehaanika, füüsika, elektrotehnika, akustika.

1. Liikumise kvalitatiivne analüüs ühe vabadusastmega konservatiivses süsteemis

• Faasitasandi meetod
• Võnkeperioodi sõltuvus amplituudist. Pehmed ja kõvad süsteemid

2. Duffing võrrand

• Duffingi võrrandi üldlahenduse avaldis elliptilistes funktsioonides

3. Kvasilineaarsed süsteemid

• Van der Pol muutujad
• Keskmistamise meetod

4. Lõõgastavad võnked

• Van der Poli võrrand
• Singulaarselt häiritud diferentsiaalvõrrandisüsteemid

5. Mittelineaarsete autonoomsete süsteemide dünaamika üldine vaadeühe vabadusastmega

• Dünaamilise süsteemi “kareduse” mõiste
• Dünaamiliste süsteemide hargnemised

6. Floquet' teooria elemendid

• Tavalised lahendused ja kordajad lineaarsed süsteemid perioodiliste koefitsientidega diferentsiaalvõrrandid
• Parameetriline resonants

7. Hilli võrrand

• Hilli-tüüpi võrrandi lahenduste käitumise analüüs Floquet' teooria rakendamise illustratsiooniks perioodiliste koefitsientidega lineaarsete Hamiltoni süsteemide puhul
• Mathieu võrrand as erijuhtum Hill tüüpi võrrandid. Ines-Strett diagramm

8. Sundvõnkumised süsteemis, millel on mittelineaarne taastav jõud

• Seos võnkumiste amplituudi ja süsteemile rakendatava liikumapaneva jõu suuruse vahel
• Sõidurežiimi muutmine liikuva jõu sageduse muutmisel. "Dünaamilise" hüstereesi mõiste

9. Adiabaatilised invariandid

• Tegevusnurga muutujad
• Adiabaatiliste invariantide konserveerimine all kvalitatiivne muutus liikumise olemus

10. Mitmemõõtmeliste dünaamiliste süsteemide dünaamika

• Ergoodsuse ja sissesegamise mõiste dünaamilised süsteemid
• Poincaré kaart

11. Lorentzi võrrandid. Kummaline ligitõmbaja

• Lorentzi võrrandid kui termokonvektsiooni mudel
• Lorentzi võrrandite lahendite bifurkatsioonid. Üleminek kaosesse
• Kummalise atraktori fraktalstruktuur

12. Ühemõõtmelised kuvarid. Feigenbaumi mitmekülgsus

• Ruutkaardistamine – lihtsaim mittelineaarne kaardistamine
• Kaardistuste perioodilised orbiidid. Perioodiliste orbiitide bifurkatsioonid

Kirjandus (peamine)

1. Moisejev N.N. Mittelineaarse mehaanika asümptootilised meetodid. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovitš M.I., Trubetskov D.I. Sissejuhatus võnkumiste ja lainete teooriasse. Ed. 2. Uurimiskeskus "Regulaarne ja kaootiline dünaamika", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asümptootilised meetodid mittelineaarsete võnkumiste teoorias. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Sissejuhatus mittelineaarsete võnkumiste teooriasse. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mihhailov A.S. Sissejuhatus sünergiasse. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kiritšenko N.A. Võnkumised, lained, struktuurid.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Kirjandus (täiendav)

7. Žuravlev V.F., Klimov D.M. Rakendatud meetodid võnketeoorias. Kirjastus "Teadus", 1988.

8. Stocker J. Mittelineaarsed võnked mehaanilistes ja elektrisüsteemides. – M.: Väliskirjandus, 1952.

9. Staržinski V.M., Mittelineaarsete võnkumiste rakenduslikud meetodid. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Mittelineaarsed võnked sisse füüsilised süsteemid. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Võnkumisteooria. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Võnkumiste mõiste. Vaatleme teatud süsteemi, s.o objektide kogumit, mis suhtlevad omavahel ja keskkonnaga teatud seaduse järgi. See võib olla nagu mehaaniline süsteem materiaalsed punktid, absoluutselt tahked ained, elastsed ja üldiselt deformeeruvad kehad jne, samuti elektrilised, bioloogilised ja segasüsteemid (näiteks elektromehaanilised). Olgu süsteemi olek igal ajahetkel kirjeldatud teatud parameetrite kogumiga. Teooria ülesanne on ennustada süsteemi arengut ajas, arvestades süsteemi algseisundit ja välist mõju sellele.

Võtame ühe süsteemi numbrilistest parameetritest, tähistades seda ja. See võib olla skalaarne suurus, vektori või tensori üks komponentidest jne. Vaatleme selle parameetri muutust teatud aja jooksul, näiteks kell See muutus võib olla monotoonne, mittemonotoonne, sisuliselt mittemonotoonne (joonis 1). ). Viimane juhtum pakub suurimat huvi.

Parameetri muutmise protsessi, mida iseloomustavad parameetri mitmekordsed vahelduvad suurenemised ja vähenemised ajas, nimetatakse võnkeprotsessiks või lihtsalt võnkudeks ja vastavat parameetrit võnkeväärtuseks.

Selget eraldavat piiri on võimatu kehtestada võnkeprotsessid mittevõnkuvast. Näiteks majandusteaduses on joonisel fig. 1b võib omistada võnkeprotsessidele. On võimalik sõnastada rohkem üldine määratlus võnkeprotsess: parameeter toimib edasi antud segment võnkeaeg parameetri suhtes (ja vastupidi), kui selle segmendi erinevus muudab märki mitu korda (joonis 1d). Näiteks võime rääkida ketta pöördenurga võnkuvast muutusest ühtlase pöörlemise suhtes konstandiga nurkkiirus

Kui süsteemi kõik või kõige olulisemad parameetrid on võnkuvad suurused, siis öeldakse, et süsteem kogeb võnkumisi. Süsteemi, mis on võimeline teatud tingimustel võnkuma, nimetatakse võnkesüsteemiks. Rangelt võttes sobib iga süsteem selle määratlusega, kuna iga süsteemi jaoks on võimalik valida selline mõju, mille korral see toimib. võnkuv liikumine. Seetõttu kasutavad nad tavaliselt rohkem kitsas määratlus: süsteemi nimetatakse võnkuvaks, kui see on võimeline võnkuma välismõjude puudumisel (ainult algselt kogunenud energia tõttu).

Võnkumisprotsesside koht teaduses ja tehnikas. Enamik looduses ja tehnoloogias vaadeldavatest protsessidest on võnkuvad. Võnkumisprotsessid hõlmavad väga erinevaid nähtusi: alates ajurütmidest ja südamelöökidest kuni tähtede, udukogude ja teiste vibratsioonini. kosmoseobjektid; aatomite või molekulide vibratsioonist tahkes kehas kuni kliimamuutusteni Maal, kõlava stringi vibratsioonist kuni maavärinateni. Kõik akustilised ja levimisnähtused elektromagnetlained, kaasnevad ka võnkeprotsessid.

Riis. I. Parameetri muutus: a - monotoonne; b - mittemonotoonne; c - sisuliselt mittemonotoonne; r - parameetrite suhteline muutus

IN see köide Arvesse võetakse peamiselt mehaanilisi süsteeme. Nendes süsteemides toimuvaid võnkeprotsesse nimetatakse mehaanilisteks võnkudeks. Tehnikas, eriti masinaehituses, kasutatakse laialdaselt ka terminit vibratsioon. See on peaaegu mõistete sünonüüm mehaanilised vibratsioonid või mehaanilise süsteemi vibratsioonid. Vibratsiooni mõistet kasutatakse kõige sagedamini seal, kus võnked on suhteliselt väikese amplituudiga ja mitte liiga madala sagedusega (näiteks kella pendli võnkumisest või võnkumisest rääkides võib vaevalt aktsepteerida terminit vibratsioon).

Vibratsioonide rakendusteooria ja vibratsioonitehnika. Vibratsiooni iseloomustavate suuruste mõõtmise meetodite ja vahendite kogumit nimetatakse vibromeetriaks. Meetodite ja vahendite kogum vähendamiseks kahjulikud mõjud Inimestel, seadmetel ja mehhanismidel avalduvat vibratsiooni nimetatakse vibratsioonikaitseks. Vibratsiooni sihipärasel kasutamisel põhinevat tehnoloogiliste võtete kogumit nimetatakse vibratsioonitöötluseks ja vibratsiooni kasutamist materjalide, toodete jms teisaldamiseks vibratsioonitranspordiks. Tagada objektide võime täita oma ülesandeid ja hoida parameetreid piirides kehtestatud standardid, ja ka vibratsioonitingimustes tugevuse säilitamiseks on vaja arvutusi vibratsioonikindluse ja vibratsioonitugevuse või üldisemas sõnastuses vibratsioonikindluse kohta. Vibratsioonitestimise eesmärk on uurida objektide vibratsioonitakistust, vibratsiooni tugevust ja efektiivsust vibratsioonitingimustes, samuti vibratsioonikaitse tõhususe uurimine; Vibratsioonidiagnostika ülesandeks on objekti seisundi uurimine operatiivse või kunstlikult ergastatud vibratsiooni analüüsi põhjal.

Areng moodne tehnoloogia seab inseneridele mitmesuguseid ülesandeid, mis on seotud erinevate konstruktsioonide arvutamise, kõikvõimalike masinate ja mehhanismide projekteerimise, tootmise ja käitamisega.

Iga mehaanilise süsteemi käitumise uurimine algab alati füüsilise mudeli valikust. Liikudes reaalsest süsteemist selle füüsilisele mudelile, lihtsustatakse tavaliselt süsteemi, jättes tähelepanuta tegurid, mis antud probleemi puhul ei ole olulised. Seega jäetakse keermele riputatud koormusest koosneva süsteemi uurimisel tähelepanuta koormuse suurus, keerme mass ja vastavus, keskkonna takistus, hõõrdumine vedrustuspunktis jne; see annab hästi tuntud füüsikalise mudeli – matemaatilise pendli.

Piirang füüsilised mudelid mängib uurimistöös olulist rolli võnkuvad nähtused mehaanilistes süsteemides.

Füüsikalised mudelid, mida kirjeldavad lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsed koefitsiendid Neid nimetatakse tavaliselt lineaarseteks.

Valik lineaarsed mudelid eriklassi kutsutakse mitmel põhjusel:

Kasutades lineaarseid mudeleid, lai valik nähtusi, mis esinevad erinevates mehaanilised süsteemid Oh;

Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite integreerimine konstantsete koefitsientidega on matemaatilisest seisukohast elementaarne ülesanne ja seetõttu püüab uurimisinsener võimaluse korral kirjeldada süsteemi käitumist lineaarse mudeli abil.

Põhimõisted ja määratlused

Süsteemi võnkumisi peetakse väikeseks, kui hälbeid ja kiirusi saab käsitleda esimest väiksuse järgu suurustena võrreldes süsteemi punktide iseloomulike suuruste ja kiirustega.

Mehaaniline süsteem suudab väikseid võnkeid sooritada ainult stabiilse tasakaaluasendi lähedal. Süsteemi tasakaal võib olla stabiilne, ebastabiilne ja ükskõikne (joon. 3. 8).

Riis. 3.8 Erinevad liigid tasakaal

Süsteemi tasakaaluasend on stabiilne, kui süsteem, mille tasakaalu rikub väga väike alghälve ja/või väike algkiirus, teeb selle asendi ümber liikumise.

Konservatiivsete süsteemide tasakaaluasendi stabiilsuse kriteerium holonoomiliste ja fikseeritud ühendused määratakse süsteemi potentsiaalse energia sõltuvuse tüübi järgi üldistatud koordinaatidest. Konservatiivse süsteemi jaoks c
vabadusastmete korral on tasakaaluvõrranditel kuju

, st.
, Kus
.

Tasakaaluvõrrandid ise ei võimalda hinnata tasakaaluasendi stabiilsuse või ebastabiilsuse olemust. Neist järeldub vaid, et tasakaaluasend vastab potentsiaalse energia äärmuslikule väärtusele.

Tasakaalupositsiooni stabiilsustingimus (piisav) määratakse Lagrange-Dirichlet' teoreemiga:

kui süsteemi tasakaaluasendis potentsiaalne energia on miinimum, siis on olukord stabiilne.

Mis tahes funktsiooni miinimumi tingimus on, et selle teine ​​tuletis on positiivne, kui esimene tuletis on võrdne nulliga. Sellepärast

.

Kui ka teine ​​tuletis on null, siis stabiilsuse hindamiseks on vaja arvutada järjestikused tuletised

,

ja kui esimene seda ei tee võrdne nulliga tuletis on ühtlase järjestusega ja positiivne, siis potentsiaalne energia juures
omab miinimumi ja seetõttu on see süsteemi tasakaaluasend stabiilne. Kui sellel tuletisel on paaritu järjekord, siis millal
ei ole maksimumi ega miinimumi. Hinnangu süsteemi tasakaaluseisundile asendis, kus sellel ei ole minimaalset potentsiaalset energiat, annab spetsiaalsetes teoreemides A. M. Ljapunov.

Vene Föderatsiooni haridusministeerium
Ukhta osariik Tehnikaülikool

VC. Khegai, D.N. Levitski,
TEMA. Kharin, A.S. Popov

Vibratsiooniteooria alused
mehaanilised süsteemid
Õpetus

Tunnistas haridus- ja metoodiline ühendusülikoolid
kõrgkoolis nafta- ja gaasihariduses
käsiraamatud nafta- ja gaasiülikoolide õppivatele üliõpilastele
eriala järgi 090800, 170200, 553600

UDK 534.01
X-35
Mehaaniliste süsteemide vibratsiooniteooria alused / V.K. Khegai,
D.N. Levitsky, O.N. Kharin, A.S. Popov. – Ukhta: USTU, 2002. – 108 lk.
ISBN 5-88179-285-8
Õpikus vaadeldakse mehaaniliste süsteemide võnketeooria põhialuseid, mis põhinevad üldkursus teoreetiline mehaanika. Erilist tähelepanu pühendatud Lagrange'i teise võrrandi rakendamisele
rida. Käsiraamat koosneb kuuest peatükist, millest igaüks on pühendatud teatud tüüpi võnkumisele. Üks peatükk on pühendatud liikumise stabiilsuse ja mehaaniliste süsteemide tasakaalu teooria alustele.
Sest parem areng teoreetiline materjal, juhendis, antud
suur hulk näiteid ja probleeme erinevatest tehnikavaldkondadest.
Õpik on mõeldud mehaanika erialade üliõpilastele, kes õpivad täies mahus teoreetilise mehaanika kursust,
võib olla kasulik ka teiste erialade üliõpilastele.
Arvustajad: Peterburi teoreetilise mehaanika osakond
Riiklik Metsandusakadeemia (osakonnajuhataja, tehnikateaduste doktor, professor Yu.A. Dobrynin); SeverNIPIGazi integreeritud puurimisosakonna juhataja, Ph.D., dotsent Yu.M. Geržberg.

© Ukhta Riiklik Tehnikaülikool, 2002
©Khegai V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Sisukord
Eessõna................................................................ ...................................................... .............................. 4
I peatükk. Lühike teave analüütilisest mehaanikast................................................ .... 5
1.1 Süsteemi potentsiaalne energia................................................ .............................................. 5
1.2. Süsteemi kineetiline energia.................................................. ...................................... 6
1.3. Dissipatiivne funktsioon................................................ ................................................... 8
1.4. Langrange'i võrrand................................................ ................................................... 9
1.5. Näited teist tüüpi Langrange'i võrrandite koostamiseks................................................... 11
II peatükk. Konservatiivsete süsteemide liikumise stabiilsus ja tasakaal......... 20
2.1. Sissejuhatus ................................................... ...................................................... .............................. 20
2.2. Ljapunovi funktsioonid. Sylvesteri kriteerium................................................. ............... 21
2.3. Häiritud liikumise võrrand.................................................. ..................................... 23
2.4. Ljapunovi teoreem liikumise stabiilsuse kohta................................................ .......... 26
2.5. Lagrange'i teoreem tasakaalu stabiilsuse kohta
konservatiivne süsteem................................................ ................................................... ......... 29
2.6. Konservatiivse süsteemi tasakaalu stabiilsus ühega
vabadusastmed................................................ ...................................................... ............... ........ kolmkümmend
2.7. Näiteid konservatiivse süsteemi tasakaalu stabiilsusest................................................... 31
III peatükk. Ühe vabadusastmega süsteemi vabavõnkumised................................................. 39
3.1. Konservatiivse süsteemi vabavõnkumised
ühe vabadusastmega................................................ ............................................................ ................. 39
3.2. Ühe vabadusastmega süsteemi vabad vibratsioonid kohalolekul
vastupanujõud, võrdeline kiirusega......................................................... 42
3.3. Ühe vabadusastmega süsteemi vabavõnkumiste näiteid................................................ 46
IV peatükk. Ühe vabadusastmega süsteemi sundvõnkumised........... 59
4.1. Ühe vabadusastmega süsteemi sundvõnkumised
perioodilise häiriva jõu korral................................................ ...................................... 59
4.2. Resonantsi nähtus.................................................. ................................................... ......... .... 63
4.3. Peksmise fenomen .............................................. ..................................................... ........... ........ 66
4.4. Dünaamiline koefitsient................................................ ................................................... 68
4.5. Näited peal sunnitud võnkumised süsteemid
ühe vabadusastmega................................................ ............................................................ .............. 70
V peatükk. Kahe vabadusastmega süsteemi vabavõnked.................................. 78
5.1. Kahega süsteemi vabavõnkumiste diferentsiaalvõrrandid
vabadusastmed ja nende ühine otsus........................................................................ 78
5.2. Omad vormid.................................................................................................. 80
5.3. Kahe vabadusastmega süsteemi vabavõnkumise näited................................. 81
VI peatükk. Kahe vabadusastmega süsteemi sundvõnkumised........ 93
6.1. Süsteemi sundvõnkumiste diferentsiaalvõrrandid ja nende
ühine otsus................................................ ................................................... ...................... 93
6.2. Dünaamiline vibratsioonisummutus ................................................... .............................................. 95
6.3. Näiteid kahe vabadusastmega süsteemi sundvõngetest..... 98
Bibliograafia ................................................... ............................................................ ....... 107

4
Eessõna
Peal moodne lava arengut Keskkool Probleemsed ja uurimisvormid koolitust.
Dünaamilised protsessid masinates ja mehhanismides on määrava tähtsusega nii arvutuste tegemiseks uute konstruktsioonide projekteerimisetapis kui ka tehnoloogiliste režiimide määramisel töö ajal. Raske on nimetada tehnoloogiavaldkonda, kus seda ei oleks
mehaaniliste süsteemide elastsete vibratsioonide ning tasakaalu ja liikumise stabiilsuse uurimise aktuaalsed probleemid. Nad esindavad erilist
tähtsus masinaehituses, transpordis ja teistes tehnoloogiavaldkondades töötavatele mehaanikainseneridele.
Käsiraamatus käsitletakse mõnda üksikud küsimused teooriast
mehaaniliste süsteemide vibratsioon ja stabiilsus. Teoreetiline teave
näidetega selgitatud.
Selle peamine eesmärk metoodiline käsiraamat− link
probleemidega teoreetilise ja analüütilise mehaanika rakendusala
eriosakonnad, mis koolitavad mehaanikainsenere.

5
I peatükk. LÜHITEAVE ANALÜÜTILISEST
MEHAANIKA
I.I. Süsteemi potentsiaalne energia
S vabadusastmega süsteemi potentsiaalne energia, olemine
asendienergia, sõltub ainult üldistatud koordinaatidest

P = P (q1, q2,....., qs) ,
kus q j

(j = 1, 2,K, s) – süsteemi üldistatud koordinaadid.

Arvestades süsteemi väikseid kõrvalekaldeid stabiilsest asendist
tasakaalu korral võib üldistatud koordinaate qj pidada esimest väiksusjärgu suurusteks. Eeldusel, et süsteemi tasakaaluasend
vastab üldistatud koordinaatide alguspunktile, laiendame potentsiaalse energia P väljendust Maclaurini seeriasse astmetes qj

∂П
1 S S ∂2 P
P = P (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j = 1
i = 1 j = 1
j
i
j
S

Pidades meeles, et potentsiaalne energia määratakse täpselt
kuni mingi aditiivse konstandini võib potentsiaalse energia tasakaaluasendis võtta võrdseks nulliga
P (0) = 0.

Konservatiivsete jõudude korral määratakse üldistatud jõud valemiga

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K, s).

Sellest ajast, mil jõudude süsteem on tasakaalus

(j = 1, 2, K , s) ,

Siis on konservatiivse jõudude süsteemi tasakaalutingimustel vorm

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2, K , s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j = 1 ⎜ ∂q
⎝j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

Seega
s

6
Siis saab kuju võrdsus (1.2.) kuni teise väiksuse järguni

1 S S ⎛ ∂ 2 P
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Tähistame

⎛ ∂2 p
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Kus cij on üldistatud jäikuskoefitsiendid.
Potentsiaalse energia lõplik avaldis on

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i = 1 j = 1

(1.9.) põhjal on selge, et süsteemi potentsiaalne energia on homogeenne ruutfunktsioonüldistatud koordinaadid.
1.2. Süsteemi kineetiline energia
N materiaalsest punktist koosneva süsteemi kineetiline energia on
võrdne

1 n
T = ∑mk vk2,
2 k = 1

Kus mk ja vк on süsteemi k-nda punkti mass ja kiirus.
Liikudes üldistatud koordinaatidele, peame seda meeles
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1 , q2 ,..., qs)

Kus r k on süsteemi k-nda punkti raadiuse vektor.
−

Kasutame identiteeti vk2 = v k ⋅ v k ja asendame kiirusvektori
−

V k selle väärtus
_

∂rk
∂q1

∂rk
∂q2

∂rk
∂qs

Siis saab kineetilise energia avaldis (1.10) kuju

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS -1,S q S -1 q S) , (1,13)
2

⎛ _
∂rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k = 1
⎝
n

⎛ _
∂rk
Ass = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k = 1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k = 1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

Kuna −1,s = ∑ mk
k = 1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Laiendades kõiki neid koefitsiente Maclaurini seerias üldistatud koordinaatide astmetes, saame

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

Indeks 0 vastab tasakaaluasendis olevate funktsioonide väärtustele. Kuna arvestatakse süsteemi väikseid kõrvalekaldeid positsioonist
tasakaal, siis võrdsuses (1.14) piirdume ainult esimeste konstantsete liikmetega

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Siis saab kineetilise energia avaldis (1.13) kuju
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1,15)
2⎝
⎠

Või üldiselt

1 S
T = ∑
2 i=1

Konstandid aij on üldistatud inertsi koefitsiendid.
(1.16) põhjal on selge, et süsteemi T kineetiline energia on homogeenne
üldistatud kiiruste ruutfunktsioon.

8
1.3. Dissipatiivne funktsioon
IN tegelikud tingimused süsteemi vabavõnkumised summutatakse, seega
kuidas vastupanujõud selle punktides toimivad. Vastupanujõudude olemasolul hajub mehaaniline energia.
−

Oletame, et mõjuvad takistusjõud R k (k = 1, 2,..., n).
süsteemi punktidele, võrdeliselt nende kiirusega
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Kus µ k on proportsionaalsuskoefitsient.
Holonoomilise süsteemi üldistatud takistusjõud määratakse valemitega
n

Q j R = ∑ Rk
k = 1

∂rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k = 1
n

(j = 1, 2,..., s) .

Sest
_

∂rk
∂rk
∂rk
q1 +
q 2 + ... +
qS
∂q1
∂q2
∂qS

∂rk
.
∂q j

Pidades silmas (1.18), kirjutame üldistatud takistusjõud (1.17) ümber kujule
n

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2,..., s) .

Tutvustame dissipatiivset funktsiooni, mis on defineeritud valemiga
n

Seejärel määratakse üldistatud takistusjõud valemitega

(j = 1, 2,..., s) .

Dissipatiivset funktsiooni saab analoogselt süsteemi kineetilise energiaga esitada homogeense ruutfunktsioonina
üldistatud kiirused

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i = 1 j = 1

Kus вij on üldistatud hajumise koefitsiendid.
1.4. Teist tüüpi Lagrange'i võrrand
S vabadusastmega holonoomilise süsteemi asukoht määratakse s üldistatud koordinaatidega qj (j = 1, 2,..., s) .
Teist tüüpi Lagrange'i võrrandite tuletamiseks kasutame üldist
dünaamika võrrand
S

Q иj)δ q j = 0,

kus Qj on j-ndale üldistatud koordinaadile vastavate aktiivjõudude üldistatud jõud;
Q uj – j-ndale üldistatud koordinaadile vastav inertsijõudude üldistatud jõud;
δ q j – j-nda üldistatud koordinaadi juurdekasv.
Pidades meeles, et kõik δ q j (j = 1, 2,..., s) on üksteisest sõltumatud,
võrdus (1.23) kehtib ainult juhul, kui δ q j iga koefitsient on eraldi võrdne nulliga, st.

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
või

(j = 1, 2,..., s) .

Avaldame Q uj süsteemi kineetilise energiaga.
Üldistatud jõu määratluse järgi on meil

Q иj = ∑ Φ k
k = 1

∂rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1, 2, K , s) ,

D vk
kus Φ k = − mk a k = − mk
– inertsjõud süsteemi punktis.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
∂rk
∂rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs
dt
∂q1
∂q2
∂qs
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Asendades väärtused (1,27) ja (1,28) võrdsusega (1,26), leiame
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

Võrdsust (1.29) arvesse võttes kirjutame avaldise (1.25) vormis ümber

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
Ja
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k = 1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k = 1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k = 1
⎠
n

11
Siin võetakse arvesse, et tuletiste summa on võrdne summa tuletisega,
n m v2
ja ∑ k k = T on süsteemi kineetiline energia.
k = 1
2
Võrdseid (1,24) silmas pidades leiame lõpuks

⎛
d⎜∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2, K, s).

Võrrandeid (1.30) nimetatakse teist tüüpi Lagrange'i võrranditeks.
Nende võrrandite arv on võrdne vabadusastmete arvuga.
Kui süsteemi punktidele mõjuvatel jõududel on potentsiaal, siis
üldistatud jõudude puhul kehtib valem

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K , s) ,

Kus P on süsteemi potentsiaalne energia.
Seega Lagrange'i võrrandi konservatiivse süsteemi jaoks

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUSMINISTEERIUM

KABARDINO-BALKARIA RIIK

ÜLIÜLIK on oma nime saanud. Kh. M. BERBEKOVA

VÕNKETEOORIA ALUSED

TEOORIA ALUSED, KODUTÖÖDE ÜLESANDED,

LAHENDUSTE NÄITED

Ülikooli mehaanika erialade üliõpilastele

Naltšik 2003

Arvustajad:

– füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, professor, Venemaa Teaduste Akadeemia rakendusmatemaatika ja automatiseerimise uurimisinstituudi direktor, autasustatud. Vene Föderatsiooni teadlane, AMANi akadeemik.

Füüsikaliste ja matemaatikateaduste doktor, professor, Kabardi-Balkari Riikliku Põllumajandusakadeemia rakendusmatemaatika osakonna juhataja.

Kulterbajevi võnketeooria. Põhiteooria, koduülesanded, lahendusnäited.

Õpik kõrgkoolide koolitusvaldkondades õppivatele üliõpilastele sertifitseeritud spetsialistid 657800 - Disain ja tehnoloogiline tugi masinaehitustööstused, 655800 Toidutehnika. – Naltšik: nime saanud KBSU kirjastus. , 20ndad.

Raamat toob välja lineaarsete mehaaniliste süsteemide võnketeooria põhialused ning pakub ka koduseid ülesandeid koos näidetega nende lahendustest. Teooria sisu ja ülesanded on suunatud mehaanikaerialade üliõpilastele.

Arvesse võetakse nii diskreetseid kui ka hajutatud süsteeme. Kodutööde sobimatute valikute arv võimaldab neid kasutada suure hulga õpilaste jaoks.

Väljaanne võib olla kasulik ka õpetajatele, magistrantidele ning erinevate teadus- ja tehnoloogiavaldkondade spetsialistidele, kes on huvitatud võnketeooria rakendustest.

© Kabardi-Balkari Riiklik Ülikool neid.

Eessõna

Raamat põhineb kursusel lugenud autor Kabardino-Balkari Riikliku Ülikooli inseneri- ja tehnoloogiateaduskonnas mehaaniliste erialade üliõpilastele.

Kaasaegse tehnoloogia mehhanismid ja struktuurid töötavad sageli keerulistes dünaamilistes koormustingimustes, mistõttu pidevat huvi võnketeooria vastu toetavad praktilised vajadused. Võnkumisteoorial ja selle rakendustel on ulatuslik bibliograafia, sealhulgas arvestatav hulk õpikuid ja õppevahendeid. Mõned neist on toodud käesoleva käsiraamatu lõpus olevas bibliograafias. Peaaegu kogu olemasolev õppekirjandus on mõeldud seda kursust õppivatele lugejatele suur maht ja spetsialiseerunud valdkondadele inseneritegevus, ühel või teisel viisil, mis on oluliselt seotud struktuuride dünaamikaga. Vahepeal tunnevad kõik mehaanikainsenerid praegu vajadust omandada vibratsiooniteooria üsna tõsisel tasemel. Katse selliseid nõudeid rahuldada viib väikese suurusega ülikoolide lisamiseni paljude ülikoolide haridusprogrammidesse. erikursused. See õpik on loodud just selliste soovide rahuldamiseks ning sisaldab teooria põhitõdesid, koduseid ülesandeid ja näiteid nende lahendamiseks. See õigustab õpiku piiratud mahtu, sisuvalikut ja pealkirja: "Võnketeooria alused". Õpikus on tõepoolest välja toodud vaid distsipliini põhiküsimused ja meetodid. Huviline lugeja saab kasutada tuntud teadusmonograafiaid ja õppevahendid lõpus antud see väljaanne, Sest süvaõpe teooria ja selle paljud rakendused.

Raamat on mõeldud lugejale, kes on koolitatud tavaliste kõrgkoolikursuste raames. kõrgem matemaatika, teoreetiline mehaanika ja materjalide tugevus.

Sellise kursuse õppimisel võtavad olulise osa kodutööd kursuste, kontrolltööde, arvutamise ja kujundamise, arvutus- ja graafiliste tööde ning muude üsna palju aega nõudvate tööde näol. Olemasolevad probleemiraamatud ja probleemide lahendamise abivahendid pole selleks otstarbeks mõeldud. Lisaks on selgelt soovitatav ühendada teooria ja kodutöö ühes väljaandes, kombineerituna üldine sisu, temaatiline fookus ja üksteist täiendavad.

Kodutööde tegemisel ja täitmisel seisab õpilane silmitsi paljude küsimustega, mis on distsipliini teoreetilises osas välja ütlemata või ebapiisavalt lahti seletatud; tal on raskusi probleemi lahendamise edenemise kirjeldamisega, tehtud otsuste põhjendamise, struktureerimise ja märkmete kirjutamisega.

Ka õpetajatel on raskusi, kuid korralduslikku laadi. Nad peavad sageli üle vaatama kodutööde mahtu, sisu ja ülesehitust, koostama arvukalt tööülesannete versioone, tagama massiliselt mittevastavate ülesannete õigeaegse toimetamise, viima läbi arvukalt konsultatsioone, selgitusi jne.

See käsiraamat on muu hulgas mõeldud selleks, et vähendada ja kõrvaldada loetletud laadi raskusi ja raskusi massihariduse tingimustes. See sisaldab kahte ülesannet, mis hõlmavad kursuse kõige olulisemaid ja põhiküsimusi:

1. Ühe vabadusastmega süsteemide võnkumised.

2. Kahe vabadusastmega süsteemide võnkumised.

Need ülesanded võivad oma mahult ja sisult muutuda arvutus- ja disainitööks täiskoormusega üliõpilastele, osalise tööajaga vormid koolitused või testid õpilastele kirjavahetuse vorm koolitust.

Lugejate mugavuse huvides kasutatakse raamatus iga lõigu sees valemite (võrrandite) ja jooniste autonoomset nummerdamist, kasutades tavalist kümnendnumber sulgudes. Praeguses lõikes viide tehakse lihtsalt sellise numbri märkimisega. Kui on vaja viidata eelmiste lõikude valemile, märkige lõigu number ja seejärel punktiga eraldatuna valemi enda number. Nii näiteks vastab märge (3.2.4) valemile (4) käesoleva peatüki punktis 3.2. Eelmiste peatükkide valemile viidatakse samamoodi, kuid esikohal on märgitud peatüki number ja punkt.

Raamat on katse rahuldada vajadusi kutsekoolitus teatud suundade õpilased. Autor on teadlik, et see ilmselt ei ole vaba puudustest, ja võtab seetõttu tänuga vastu lugejate võimalikku kriitikat ja kommentaare järgmiste väljaannete täiustamiseks.

Raamat võib olla kasulik ka spetsialistidele, kes on huvitatud võnketeooria rakendustest erinevaid valdkondi füüsika, tehnoloogia, ehitus ja muud teadmis- ja tootmistegevuse valdkonnad.

PeatükkI

SISSEJUHATUS

1. Vibratsiooniteooria aine

Teatud süsteem liigub ruumis nii, et selle olekut igal ajahetkel t kirjeldatakse teatud parameetrite kogumiga: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height="23 src =">.gif" width="48" height="24"> ja välismõjud. Ja siis on ülesanne ennustada edasine areng süsteemid ajas: (joon. 1).

Olgu üks süsteemi muutuvatest karakteristikutest , . Võib olla erinev iseloomulikud sordid selle muutused ajas: monotoonne (joon. 2), mittemonotoonne (joonis 3), oluliselt mittemonotoonne (joonis 4).

Parameetri muutmise protsessi, mida iseloomustab parameetri mitmekordne suurenemine ja vähenemine aja jooksul, nimetatakse võnkeprotsess või lihtsalt kõikumised. Võnked on laialt levinud looduses, tehnikas ja inimtegevus: aju rütmid, pendli võnkumised, südamelöögid, tähtede võnked, aatomite ja molekulide vibratsioonid, voolutugevuse kõikumised elektriahel, õhutemperatuuri kõikumised, toiduainete hinnakõikumised, heli vibratsioon, muusikariista keelpillide vibratsioon.

Õppeaine see kursus on mehaanilised vibratsioonid, st vibratsioonid mehaanilistes süsteemides.

2. Klassifikatsioon võnkesüsteemid

Lase u(X, t) – süsteemi olekuvektor, f(X, t) – väljastpoolt süsteemi mõjutavate mõjude vektor keskkond(Joonis 1). Süsteemi dünaamikat kirjeldab operaatorvõrrand

L u(X, t) = f(X, t), (1)

kus operaator L on antud võnkevõrranditega ja lisatingimused(piir, algus). Sellises võrrandis võivad u ja f olla ka skalaarsuurused.

Enamik lihtne klassifikatsioon võnkesüsteeme saab toota vastavalt nendele vabadusastmete arv. Vabadusastmete arv on sõltumatute arvparameetrite arv, mis määravad üheselt süsteemi konfiguratsiooni igal ajahetkel t. Selle omaduse põhjal võib võnkesüsteemid liigitada ühte kolmest klassist:

1)Ühe vabadusastmega süsteemid.

2)Süsteemid koos lõplik arv vabadusastmed. Neid nimetatakse sageli ka diskreetsed süsteemid.

3)Lõpmatu arvu vabadusastmetega süsteemid (pidevad, hajutatud süsteemid).

Joonisel fig. 2 pakub iga klassi kohta mitmeid illustreerivaid näiteid. Iga skeemi puhul on vabadusastmete arv näidatud ringidega. Peal viimane skeem hajutatud süsteem on esitatud elastse deformeeritava tala kujul. Selle konfiguratsiooni kirjeldamiseks on vaja funktsiooni u(x, t), s.t. lõpmatu hulk u väärtused.

Igal võnkesüsteemide klassil on oma matemaatiline mudel. Näiteks ühe vabadusastmega süsteemi kirjeldatakse teist järku tavalise diferentsiaalvõrrandiga, lõpliku arvu vabadusastmetega süsteeme - tavaliste diferentsiaalvõrrandite süsteemiga, hajutatud süsteeme - diferentsiaalvõrrandid osatuletistes.

Sõltuvalt operaatori L tüübist mudelis (1) jagunevad võnkesüsteemid lineaarne ja mittelineaarne. Arvestatakse süsteemiga lineaarne, kui sellele vastav operaator on lineaarne, st rahuldab tingimust

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
Kehtib lineaarsete süsteemide jaoks superpositsiooni põhimõte(vägede tegevuse sõltumatuse põhimõte). Selle olemus näitel (joonis..gif" width="36" height="24 src="> on järgmine..gif" width="39" height="24 src=">..gif" laius=" 88" height="24">.

Statsionaarsed ja mittestatsionaarsed süsteemid. U statsionaarsed süsteemid vaadeldaval ajaperioodil omadused aja jooksul ei muutu. IN muidu süsteemi nimetatakse mittestatsionaarne. Järgmised kaks joonist näitavad selgelt selliste süsteemide võnkumisi. Joonisel fig. Joonisel 4 on kujutatud võnkumisi statsionaarses süsteemis püsivas olekus, joonis fig. 5 - võnkumised mittestatsionaarses süsteemis.

Statsionaarsetes süsteemides toimuvaid protsesse kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid ajas konstantsete koefitsientidega, mittestatsionaarsetes süsteemides - muutuvate koefitsientidega.

Autonoomsed ja mitteautonoomsed süsteemid. IN autonoomsed süsteemid puuduvad välismõjud. Neis esinevad võnkeprotsessid võivad toimuda ainult tänu sisemised allikad energia või süsteemile antud energia tõttu algushetk aega. Operaatori võrrandis (1) siis parempoolne ei sõltu ajast, s.t. f(x, t) = f(x). Ülejäänud süsteemid on mitteautonoomne.

Konservatiivsed ja mittekonservatiivsed süsteemid. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55"> Vaba vibratsioon. Vaba vibratsioon teostatakse muutuva välismõju puudumisel, ilma väljastpoolt tuleva energia sissevooluta. Sellised võnked võivad esineda ainult autonoomsetes süsteemides (joon. 1).

Sunnitud vibratsioonid. Sellised kõikumised toimuvad mitteautonoomsetes süsteemides ja nende allikateks on muutlikud välismõjud (joonis 2).

Parameetrilised võnkumised. Võnkesüsteemi parameetrid võivad aja jooksul muutuda ja sellest võib saada võnkumiste allikas. Selliseid võnkumisi nimetatakse parameetriline.Ülemine vedrustuspunkt füüsiline pendel(Joonis..gif" width="28" height="23 src=">, mis põhjustab põiki parameetrilisi vibratsioone (joonis 5).

Isevõnkumised(iseergastatud võnkumised). Selliste võnkumiste allikad on mittevõnkuva iseloomuga ja allikad ise kuuluvad võnkesüsteemi. Joonisel fig. Joonisel 6 on kujutatud liikuval lindil asetseval vedrul asetsevat massi. Sellele mõjuvad kaks jõudu: hõõrdejõud ja vedru elastne tõmbejõud ning need muutuvad ajas. Esimene sõltub rihma kiiruste ja massi erinevusest, teine ​​vedru deformatsiooni suurusest ja märgist, mistõttu mass on kas vasakule või paremale suunatud resultantjõu mõjul. ja võngub.

Teises näites (joonis 7) liigub vedru vasak ots paremale koos püsikiirus v, mille tulemusena liigutab vedru koormust mööda paigalseisvat pinda. Tekib eelmise juhtumi puhul kirjeldatuga sarnane olukord ja koormus hakkab võnkuma.

4. Perioodiliste võnkeprotsesside kinemaatika

Olgu protsessi iseloomustamiseks üks skalaarmuutuja, milleks on näiteks nihe. Siis - kiirus, - kiirendus..gif" width="11 height=17" height="17"> tingimus on täidetud

,

siis nimetatakse võnkumisi perioodiline(Joonis 1). Sel juhul kutsutakse sellistest numbritest väikseimat võnkeperiood. Võnkeperioodi mõõtühik on enamasti teine, tähistatud s või sek. Teisi mõõtühikuid kasutatakse minutites, tundides jne. Teine, samuti oluline perioodilise võnkeprotsessi tunnus on võnkesagedus

kvantifitseerides täistsüklid võnkumisi 1 ajaühiku kohta (näiteks sekundis). Seda sagedust mõõdetakse hertsides (Hz), seega tähendab see 5 täielikku võnketsüklit ühes sekundis. Võnkumisteooria matemaatilistes arvutustes osutub see mugavamaks nurksagedus

,

mõõdetuna https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

Lihtsaim perioodiline võnkumine, kuid konstruktsiooni jaoks äärmiselt oluline teoreetiline alus võnketeooria on harmoonilised (sinusoidsed) võnked, mis muutuvad vastavalt seadusele

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – amplituud, - võnkefaas, - algfaas..gif" width="196" height="24">,

ja siis kiirendus

(1) asemel kasutatakse sageli alternatiivset tähistust

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Kirjeldusi (1) ja (2) saab esitada ka kujul

Valemite (1), (2), (3) konstantide vahel on kergesti tõestatavad seosed.

Keeruliste muutujate funktsioonide teooria meetodite ja kontseptsioonide kasutamine lihtsustab oluliselt võnkumiste kirjeldamist. Keskne asukoht sel juhul kulub Euleri valem

.

Siin https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

Valemid (1) ja (2) sisalduvad punktis (4). Näiteks siinusvõnkumisi (1) saab kujutada kujuteldava komponendina (4)

ja (2) - reaalkomponendi kujul

Polüharmoonilised võnked. Kahe summa harmoonilised vibratsioonid samade sagedustega on sama sagedusega harmooniline võnkumine

Terminid võivad olla erineva sagedusega

Siis on summa (5). perioodiline funktsioon punktiga Ainult siis, kui , , kus ja on täisarvud ja taandamatu murdosa, ratsionaalarv. Üldiselt, kui kahel või enamal harmoonilisel võnkel on sagedused, mille suhtarvud on vormis ratsionaalsed murded, siis on nende summad perioodilised, kuid mitte harmoonilised võnkumised. Selliseid võnkumisi nimetatakse polüharmoonilised.

Kui perioodilised võnkumised mitte harmoonilised, on sageli siiski kasulik esitada neid harmooniliste võnkumiste summana kasutades Fourier seeria

Siin https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> on harmooniline arv, mis iseloomustab hälbete keskmist väärtust, https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – esimene põhiharmooniline (https://pandia.ru/text/78/502/ images/image080_11. gif" width="207" height="24"> vormid sagedusspekter kõhklust.

Märge. Teoreetiline põhjendus Võimalus esitada võnkeprotsessi funktsiooni Fourier' jadaga on perioodilise funktsiooni Dirichlet' teoreem:

Kui funktsioon on antud segmendile ja on tükihaaval pidev, tükikaupa monotoonne ja sellega piiratud, siis selle Fourier' jada koondub lõigu kõikides punktides https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " width= "28" height="23 src="> – summa trigonomeetrilised seeriad Fourier funktsioon f(t), siis selle funktsiooni kõigis pidevuse punktides

ja kõigis katkestuste punktides

.

Pealegi,

.

On ilmne, et reaalsed võnkeprotsessid vastavad Dirichlet' teoreemi tingimustele.

Sagedusspektris vastab iga sagedus amplituudile Ak ja algfaasile https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33">, .

Need moodustuvad amplituudi spekter https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">. Visuaalne esitus umbes amplituudi spekter annab riisi 2.

Sagedusspektri ja Fourier koefitsientide määramist nimetatakse spektraalanalüüs . Fourier' seeriate teooriast on teada järgmised valemid: