Vektori kogus
Vektori kogus- füüsikaline suurus, mis on vektor (1. järgu tensor). Ühelt poolt vastandub see skalaarsuurustele (0-astme tensorid) ja teisest küljest tensorkogustele (rangelt võttes 2. või enama järgu tensorid). Seda saab vastandada ka teatud täiesti erineva matemaatilise iseloomuga objektidega.
Enamasti kasutatakse füüsikas mõistet vektor vektori tähistamiseks nn “füüsilises ruumis”, s.t. tavalises kolmemõõtmelises ruumis klassikalises füüsikas või neljamõõtmelises aegruumis sisse kaasaegne füüsika(V viimasel juhul vektori ja vektorsuuruse mõiste kattuvad 4-vektori ja 4-vektorilise suuruse mõistega).
Väljendi “vektorikogus” kasutamine on sellega praktiliselt ammendunud. Mis puutub mõiste "vektor" kasutamisse, siis vaatamata vaikimisi kalduvusele samale rakendusalale, suured hulgad juhtumid lähevad ikka väga palju kaugemale. Vaadake üksikasju allpool.
Terminite kasutamine vektor Ja vektori suurus füüsikas
Üldiselt langeb füüsikas vektori mõiste peaaegu täielikult kokku matemaatika omaga. Siiski on terminoloogilisi eripärasid, mis on seotud sellega, et in kaasaegne matemaatika see mõiste on mõnevõrra liiga abstraktne (seoses füüsika vajadustega).
Matemaatikas mõeldakse “vektori” hääldamisel pigem vektorit üldiselt, s.t. mistahes suvalise suvalise mõõtme ja olemusega suvalise abstraktse lineaarruumi vektor, mis, kui erilist pingutust ei tehta, võib tekitada isegi segadust (muidugi mitte niivõrd sisuliselt, kuivõrd kasutusmugavuse mõttes). Kui on vaja olla täpsem, tuleb matemaatilises stiilis rääkida kas üsna pikalt (“sellise ja sellise ruumi vektor”) või pidada silmas seda, mida selgelt kirjeldatud kontekst vihjab.
Füüsikas me peaaegu alati ei räägi matemaatilised objektid(omades üht või teist formaalsed omadused) üldiselt, vaid nende konkreetse ("füüsilise") seose kohta. Võttes arvesse neid spetsiifilisuse kaalutlusi ning lühiduse ja mugavuse kaalutlusi, võib mõista, et füüsika terminoloogiline praktika erineb oluliselt matemaatika omast. Siiski ei ole see viimasega ilmses vastuolus. Seda saab saavutada mõne lihtsa "nipiga". Esiteks hõlmavad need lepingut termini vaikimisi kasutamise kohta (kui kontekst pole konkreetselt määratletud). Seega ei tähenda füüsikas erinevalt matemaatikast sõna vektor ilma täiendava täpsustuseta tavaliselt mitte "mingi lineaarse ruumi vektorit üldiselt", vaid peamiselt vektorit, mis on seotud "tavalise füüsilise ruumiga" (kolmemõõtmeline ruum). klassikaline füüsika või relativistliku füüsika neljamõõtmeline aegruum). Ruumivektorite jaoks, mis ei ole otseselt ja otseselt seotud “füüsilise ruumi” või “aegruumiga”, kasutatakse erinimetusi (mõnikord ka sõna “vektor”, kuid täpsustusega). Kui teooriasse tuuakse mingi ruumi vektor, mis ei ole otseselt ja otseselt seotud "füüsilise ruumi" või "aegruumiga" (ja mida on raske kohe kuidagi kindlalt iseloomustada), kirjeldatakse seda sageli konkreetselt kui "abstraktset vektorit". ”.
Kõik, mis on öeldud suuremal määral, kui termin "vektor", viitab mõistele "vektori kogus". Vaikus eeldab sel juhul veelgi rangemalt seost "tavalise ruumi" või aegruumiga ja abstraktsete elementide kasutamist seoses vektorruumid pigem seda praktiliselt ei esine, selline rakendus tundub olevat kõige haruldasem erand (kui mitte üldse reservatsioon).
Füüsikas nimetatakse vektoreid kõige sagedamini ja vektori suurusi - peaaegu alati - kahe üksteisega sarnase klassi vektoriteks:
Vektorfüüsikaliste suuruste näited: kiirus, jõud, soojusvoog.
Vektorsuuruste teke
kui füüsiline" vektorkogused"on seotud ruumiga? Esiteks on silmatorkav see, et vektorkoguste mõõde (selle termini tavapärases tähenduses, mida on selgitatud eespool) langeb kokku sama "füüsilise" (ja " geomeetriline”) ruum, näiteks kolmemõõtmeline ruum ja vektor elektriväli kolmemõõtmeline. Intuitiivselt võib märgata ka seda, et mistahes vektorfüüsikalisel suurusel, olenemata sellest, milline ebamäärane seos sellel tavalise ruumilaiendiga on, on selles tavaruumis siiski väga kindel suund.
Selgub aga, et palju enamat on võimalik saavutada, kui kogu füüsika vektorkoguste kogum otseselt “taandada” kõige lihtsamateks “geomeetrilisteks” vektoriteks või õigemini isegi üheks vektoriks - elementaarnihke vektoriks, ja see oleks rohkem. õige öelda – tuletades need kõik sellest.
Sellel protseduuril on kaks erinevat (kuigi sisuliselt üksteist üksikasjalikult kordavat) teostust klassikalise füüsika kolmemõõtmelise juhtumi ja kaasaegsele füüsikale ühise neljamõõtmelise aegruumi formuleeringu jaoks.
Klassikaline 3D ümbris
Alustame tavapärasest kolmemõõtmelisest "geomeetrilisest" ruumist, milles me elame ja saame liikuda.
Võtame alg- ja võrdlusvektoriks lõpmatu väikese nihke vektori. On üsna ilmne, et see on tavaline "geomeetriline" vektor (täpselt nagu piiratud nihkevektor).
Pangem nüüd kohe tähele, et vektori korrutamine skalaariga annab alati uus vektor. Sama võib öelda vektorite summa ja erinevuse kohta. Selles peatükis me ei tee vahet polaar- ja aksiaalvektorite vahel, seega märgime, et mõlemad vektorprodukt kaks vektorit annab uue vektori.
Samuti annab uus vektor vektori diferentseerumise skalaari suhtes (kuna selline tuletis on vektorite erinevuse ja skalaari suhte piir). Seda võib edasi öelda kõigi kõrgema järgu tuletisinstrumentide kohta. Sama kehtib ka skalaaride (aeg, maht) kaudu integreerimise kohta.
Nüüd pange tähele, et raadiuse vektori põhjal r või elementaarsest nihkest d r, saame kergesti aru, et vektorid on sellised (kuna aeg on skalaar). kinemaatilised suurused, Kuidas
Kiirusest ja kiirendusest, korrutatuna skalaariga (massiga), saame
Kuna oleme nüüd huvitatud pseudovektoritest, märgime seda
- Lorentzi jõu valemit kasutades seotakse elektrivälja tugevus ja magnetinduktsiooni vektor jõu- ja kiirusvektoritega.
Seda protseduuri jätkates avastame, et kõik meile teadaolevad vektorsuurused on nüüd mitte ainult intuitiivselt, vaid ka formaalselt seotud algse ruumiga. Nimelt on kõik need teatud mõttes selle elemendid, sest väljendatakse sisuliselt teiste vektorite lineaarsete kombinatsioonidena (skalaarsete teguritega, võib-olla dimensiooniliste, kuid skalaarsete ja seetõttu formaalselt üsna seaduslike).
Kaasaegne neljamõõtmeline korpus
Sama protseduuri saab teha neljamõõtmelise liikumise põhjal. Selgub, et kõik 4-vektorilised suurused “tulevad” 4-nihkest, olles seega teatud mõttes samad aegruumi vektorid kui 4-nihe ise.
Vektorite tüübid seoses füüsikaga
- Polaarne ehk tõene vektor on tavaline vektor.
- Telgvektor (pseudovektor) ei ole tegelikult reaalne vektor, kuid formaalselt ei erine see viimasest peaaegu üldse, välja arvatud see, et koordinaatsüsteemi orientatsiooni muutumisel (näiteks koordinaatsüsteemi peegeldamisel) muutub see vastupidiseks. ). Näited pseudovektoritest: kõik suurused, mis on määratletud kahe polaarse vektori ristkorrutise kaudu.
- Jõudude jaoks on mitu erinevat ekvivalentsusklassi.
Märkmed
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "vektorikogus" teistes sõnaraamatutes:
vektori suurus- - [Ja.N.Luginski, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirov. Inglise-vene elektrotehnika ja energeetika sõnastik, Moskva, 1999] Elektrotehnika teemad, põhimõisted EN vektorkogus ... Tehniline tõlkija juhend
vektori suurus- vektorinis dydis statusas T ala automatika vastavusmenys: engl. vektori suurus vektoriaalne suurus vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektorkogus, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatikos terminų žodynas
vektori suurus- vektorinis dydis statusas T valdkond fizika vastavusmenys: engl. vektori suurus vektoriaalne suurus vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektorkogus, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas
Siinuse (koosinuse) seaduse järgi muutuvate suuruste ja nendevaheliste seoste graafiline kujutamine vektorite suunatud segmentide abil. Vektorskeeme kasutatakse laialdaselt elektrotehnikas, akustikas, optikas, vibratsiooniteoorias ja nii edasi.... ... Wikipedia
Päring "tugevus" suunab siia; vaata ka teisi tähendusi. Jõudimensioon LMT−2 SI ühikud ... Wikipedia
See artikkel või jaotis vajab ülevaatamist. Palun täiustage artiklit vastavalt artiklite kirjutamise reeglitele. Füüsiline... Vikipeedia
See on suurus, mis katse tulemusena omandab ühe paljudest väärtustest ja selle suuruse ühe või teise väärtuse ilmnemist ei saa enne selle mõõtmist täpselt ennustada. Ametlik matemaatiline määratlus järgmine: olgu see tõenäosuslik... ... Vikipeedia
Koordinaatide ja aja vektor- ja skalaarfunktsioonid, mis on karakteristikud elektromagnetväli. Vektor P. e. helistas vektorkogus A, rootor sülemile võrdne vektoriga Magnetvälja induktsioonis; rotA V. Skalaar P. e. helistas skalaarsuurus f,…… Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat
Pöörlemist iseloomustav väärtus. jõu mõju, kui see teleris toimib. keha. Seal on M. s. keskpunkti (punkti) suhtes ja peamise suhtes. Prl. keskpunkti O suhtes (joonis a) vektori suurus, arvuliselt võrdne tootega sunni moodul F sisse ...... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat
Vektorsuurus, mis iseloomustab punkti kiiruse muutumise kiirust selle arvväärtuse ja suuna poolest. Kell sirge liikumine punktid, kui selle kiirus υ suureneb (või väheneb) ühtlaselt, arvuliselt U. ajas: ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Vektori kogus (vektor) on füüsikaline suurus, millel on kaks tunnust – moodul ja suund ruumis.
Vektorsuuruste näited: kiirus (), jõud (), kiirendus () jne.
Geomeetriliselt kujutatakse vektorit sirgjoone suunatud lõiguna, mille pikkus skaalal on vektori absoluutväärtus.
Raadiuse vektor(tavaliselt tähistatakse või lihtsalt) - vektor, mis määrab punkti asukoha ruumis mõne eelnevalt fikseeritud punkti suhtes, mida nimetatakse alguspunktiks.
Sest suvaline punkt ruumis on raadiuse vektor vektor, mis läheb algpunktist sellesse punkti.
Raadiusvektori pikkus ehk selle moodul määrab kauguse, mille kaugusel punkt asub alguspunktist, ja nool näitab suunda sellesse ruumipunkti.
Tasapinnal on raadiusvektori nurk nurk, mille võrra raadiusvektorit pööratakse x-telje suhtes vastupäeva.
nimetatakse joont, mida mööda keha liigub liikumise trajektoor. Olenevalt trajektoori kujust võib kõik liikumised jagada sirgjoonelisteks ja kõverjoonelisteks.
Liikumise kirjeldus algab vastusega küsimusele: kuidas on keha asend ruumis teatud aja jooksul muutunud? Kuidas määratakse keha asukoha muutumine ruumis?
Liikumine- keha alg- ja lõppasendit ühendav suunatud segment (vektor).
Kiirus(sageli tähistatud , inglise keelest. kiirus või fr. vitesse) - liikumiskiirust ja liikumissuunda iseloomustav vektorfüüsikaline suurus materiaalne punkt ruumis valitud võrdlussüsteemi suhtes (näiteks nurkkiirus). Sama sõnaga saab viidata skalaarsuurusele või täpsemalt raadiusvektori tuletise moodulile.
Teadus kasutab ka kiirust laiemas mõttes, kui mõne suuruse (mitte tingimata raadiusvektori) muutumise kiirus sõltuvalt teisest (tavaliselt muutub ajas, aga ka ruumis või muus). Näiteks räägitakse temperatuuri muutumise kiirusest, kiirusest keemiline reaktsioon, rühma kiirus, ühenduse kiirus, nurkkiirus jne. Matemaatiliselt iseloomustatakse funktsiooni tuletis.
Kiirendus(tavaliselt tähistatud teoreetiline mehaanika), on kiiruse tuletis aja suhtes vektorsuurus, mis näitab, kui palju muutub punkti (keha) kiirusvektor selle liikumisel ajaühikus (st kiirendus ei võta arvesse mitte ainult kiiruse suuruse muutumist, vaid ka selle suund).
Näiteks Maale langev keha, kui õhutakistust võib tähelepanuta jätta, suurendab Maa lähedal oma kiirust iga sekundiga ligikaudu 9,8 m/s, see tähendab, et selle kiirendus on 9,8 m/s².
Mehaanika haru, mis uurib liikumist kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, selle registreerimist, samuti kiiruste ja kiirenduste registreerimist erinevaid süsteeme viidet nimetatakse kinemaatikaks.
Kiirenduse ühik on meetrit sekundis sekundis ( m/s 2, m/s 2), on olemas ka mittesüsteemne ühik Gal (Gal), mida kasutatakse gravimeetrias ja mis võrdub 1 cm/s 2.
Kiirenduse tuletis aja suhtes st. kogust, mis iseloomustab kiirenduse muutumise kiirust ajas, nimetatakse tõmbluseks.
Lihtsaim keha liikumine on selline, mille käigus kõik keha punktid liiguvad võrdselt, kirjeldades samu trajektoore. Seda liikumist nimetatakse progressiivne. Seda tüüpi liikumise saame kildu liigutades nii, et see jääb kogu aeg iseendaga paralleelseks. Edasiliikumise ajal võivad trajektoorid olla kas sirged (joon. 7, a) või kõverad (joon. 7, b) jooned.
Saab tõestada, et translatsioonilise liikumise ajal jääb iga kehasse tõmmatud sirgjoon iseendaga paralleelseks. See iseloomulik tunnus mugav kasutada, et vastata küsimusele, kas antud keha liikumine on translatiivne. Näiteks kui silinder veereb mööda tasapinda, ei jää telge lõikuvad sirgjooned iseendaga paralleelseks: veeremine ei ole translatsiooniline liikumine. Kui risttala ja ruut liiguvad mööda joonestuslauda, jääb iga nendesse tõmmatud sirgjoon iseendaga paralleelseks, mis tähendab, et nad liiguvad edasi (joonis 8). Õmblusmasina nõel, aurumasina või mootori silindris olev kolb liigub järk-järgult sisepõlemine, auto kere (aga mitte rattad!) sirgel teel sõites jne.
Teine lihtne liikumisviis on pöörlev liikumine keha või pöörlemine. Pöörleva liikumise ajal liiguvad kõik keha punktid ringidena, mille keskpunktid asuvad sirgel. Seda sirget nimetatakse pöörlemisteljeks (joonisel 9 sirgjoon 00"). Ringid asetsevad paralleelsetes tasapindades, mis on pöörlemisteljega risti. Pöördteljel asuvad keha punktid jäävad paigale. Pöörlemine ei translatsiooniline liikumine: kui telg pöörleb OO" . Näidatud trajektoorid jäävad paralleelseks ainult sirged, paralleelsed teljed pöörlemine.
Täiesti soliidne keha- mehaanika teine tugiobjekt koos materiaalse punktiga.
Määratlusi on mitu:
1. Absoluutselt jäik kere – mudelikontseptsioon klassikaline mehaanika, mis tähistab materiaalsete punktide kogumit, mille vahemaad säilivad selle keha sooritatavate liikumiste ajal. Teisisõnu, absoluutselt tahke keha mitte ainult ei muuda oma kuju, vaid säilitab ka massi jaotuse muutumatuna.
2. Absoluutselt jäik keha on mehaaniline süsteem, millel on ainult translatsiooni- ja pöörlemisvabadusaste. "Kõvadus" tähendab, et keha ei saa deformeeruda, st kehale ei saa üle kanda muud energiat peale translatsiooni- või kineetilise energia. pöörlev liikumine.
3. Absoluutselt tahke- keha (süsteem), mille ühegi punkti suhteline asend ei muutu, olenemata sellest, millistes protsessides see osaleb.
IN kolmemõõtmeline ruum ja ühenduste puudumisel on absoluutselt jäigal kehal 6 vabadusastet: kolm translatsioonilist ja kolm pöörlevat. Erandiks on kaheaatomiline molekul või klassikalise mehaanika keeles tahke varras, mille paksus on null. Sellisel süsteemil on ainult kaks pöörlemisvabadusastet.
Töö lõpp -
See teema kuulub jaotisesse:
Tõestamata ja ümberlükkamatut hüpoteesi nimetatakse avatud probleemiks.
Füüsika on matemaatikaga tihedalt seotud; matemaatika annab seadme, millega füüsikalised seadused saab täpselt sõnastada.. teooria kreeka mõtisklus.. standardmeetod teooriaid otse testides eksperimentaalne kontrollimine eksperiment on tõe kriteerium, kui sageli..
Kui vajate lisamaterjal sellel teemal või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:
Mida me teeme saadud materjaliga:
Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:
| Säuts |
Kõik selle jaotise teemad:
Relatiivsusteooria põhimõte mehaanikas
Inertsiaalsed referentssüsteemid ja relatiivsuspõhimõte. Galileo teisendused. Transformatsiooni invariandid. Absoluutne ja suhtelised kiirused ja kiirendus. Eritehnoloogia postulaadid
Materiaalse punkti pöörlev liikumine.
Materiaalse punkti pöörlev liikumine on materiaalse punkti liikumine ringis. Pöörlev liikumine – vaade mehaaniline liikumine. Kell
Lineaar- ja nurkkiiruse, lineaar- ja nurkkiirenduse vektorite seos.
Pöördliikumise mõõt: nurk φ, mille kaudu punkti raadiuse vektor pöörleb pöörlemistelje suhtes normaaltasandil. Ühtlane pöörlev liikumine
Kiirus ja kiirendus kõvera liikumise ajal.
Kurviline liikumine rohkem keeruline välimus liikumine kui sirgjooneline, sest isegi kui liikumine toimub tasapinnal, muutuvad kaks keha asendit iseloomustavat koordinaati. Kiirus ja
Kiirendus kõvera liikumise ajal.
Arvestades kõverjooneline liikumine keha, näeme, et selle kiirus on erinevad hetked erinev. Isegi juhul, kui kiiruse suurus ei muutu, on kiiruse suund siiski muutuv
Newtoni liikumisvõrrand
(1) kus jõud F üldjuhul
Massikese
inertsi keskpunkt, geomeetriline punkt, mille asend iseloomustab masside jaotumist kehas või mehaanilises süsteemis. Keskmassi koordinaadid määratakse valemitega
Massikeskme liikumisseadus.
Impulsi muutumise seadust kasutades saame massikeskme liikumisseaduse: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Süsteemi massikese liigub samamoodi nagu kaks
Galilei relatiivsusprintsiip
· Inertsiaalsüsteem referentssüsteem Galilei inertsiaalne referentssüsteem
Plastiline deformatsioon
Painutame terasplaati (näiteks rauasaagi) veidi ja laseme siis mõne aja pärast lahti. Näeme, et rauasaag taastab täielikult (vähemalt esmapilgul) oma kuju. Kui võtame
VÄLIS- JA SISEJÕUD
. Mehaanikas välised jõud antud materiaalsete punktide süsteemi suhtes (st selline materiaalsete punktide kogum, milles iga punkti liikumine sõltub kõigi telgede asenditest või liikumistest
Kineetiline energia
energiat mehaaniline süsteem, olenevalt selle punktide liikumiskiirusest. K. e. Materiaalse punkti T mõõdetakse poolega selle punkti massi m korrutisest selle kiiruse ruuduga
Kineetiline energia.
Kineetiline energia on liikuva keha energia. (Alates Kreeka sõna kinema – liikumine). Definitsiooni järgi millegi puhkeolekus olev kineetiline energia antud võrdlusraamistikus
Väärtus, mis võrdub poolega keha massi ja selle kiiruse ruudu korrutisest.
=J. Kineetiline energia on suhteline suurus, olenevalt CO valikust, sest keha kiirus sõltub CO valikust. See.
Võimu hetk
· Jõu hetk. Riis. Võimu hetk. Riis. Jõumoment, kogused
Pöörleva keha kineetiline energia
Kineetiline energia on aditiivne suurus. Seetõttu on suvaliselt liikuva keha kineetiline energia võrdne summaga kineetilised energiad kõik n materjali
Töö ja jõud jäiga keha pöörlemisel.
Töö ja jõud jäiga keha pöörlemisel. Leiame avaldise töö temp
Pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand
Võrrandi (5.8) kohaselt on Newtoni teine seadus pöörleva liikumise P jaoks
Kõik füüsikas ja eriti ühes selle mehaanika harus kohatavad suurused võib jagada kahte tüüpi:
a) skalaar, mis on määratud ühe reaalpositiivse või negatiivne arv. Selliste suuruste näideteks on aeg, temperatuur;
b) vektorid, mis on määratud sirge suunatud ruumilise lõiguga (või kolme skalaarsuurusega) ja millel on allpool toodud omadused.
Vektorsuuruste näideteks on jõud, kiirus, kiirendus.
Descartes'i koordinaatsüsteem
Suunatud segmentidest rääkides peaksite märkima objekti, mille suhtes see suund määratakse. Selliseks objektiks on võetud Descartes'i koordinaatsüsteem, mille komponentideks on teljed.
Telg on sirgjoon, millel on näidatud suund. Kolm vastastikku teljega risti, mis lõikuvad punktis O ja mida nimetatakse vastavalt, moodustavad ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi. Descartes'i süsteem koordinaadid võivad olla parempoolsed (joonis 1) või vasakpoolsed (joonis 2). Need süsteemid on üksteise peegelpildid ja neid ei saa ühegi liigutusega kombineerida.
Kõigis järgnevates esitusviisides kasutatakse paremakäelist koordinaatide süsteemi. Parempoolses koordinaatsüsteemis võetakse kõigi nurkade positiivne võrdlussuund vastupäeva.
See vastab suunale, milles x- ja y-teljed joonduvad, kui vaadata telje positiivsest suunast
Tasuta vektorid
Vektor, mida iseloomustab ainult pikkus ja suund sissepoole antud süsteem koordinaate nimetatakse vabaks. Tasuta vektor mida kujutab joonelõik antud pikkus ja suund, mille algus asub mis tahes ruumipunktis. Joonisel on vektorit kujutatud noolega (joonis 3).
Vektorid tähistatakse ühe rasvase tähega või kahe tähega, mis vastavad noole algusele ja lõpule ning nende kohal on kriips või
Vektori suurust nimetatakse selle mooduliks ja seda tähistatakse ühel järgmistest viisidest
Vektorite võrdsus
Kuna vektori peamised omadused on selle pikkus ja suund, nimetatakse vektoreid võrdseteks, kui nende suunad ja suurused langevad kokku. Konkreetsel juhul saab võrdseid vektoreid suunata mööda ühte sirget. Vektorite võrdsus, näiteks a ja b (joonis 4), kirjutatakse järgmiselt:
Kui vektorid (a ja b) on suuruselt võrdsed, kuid suunalt diametraalselt vastupidised (joonis 5), siis kirjutatakse see kujul:
Vektoreid, millel on samad või diametraalselt vastupidised suunad, nimetatakse kollineaarseteks.
Vektori korrutamine skalaariga
Vektori a ja skalaari K korrutist nimetatakse mooduliga vektoriks, mis on suunalt võrdne vektoriga a, kui K on positiivne, ja diametraalselt vastupidine, kui K on negatiivne.
Ühiku vektor
Vektor, mille moodul võrdne ühega ja suund langeb kokku antud vektoriga a, nimetatakse ühikvektoriks antud vektor või selle ortoom. Ort tähistatakse . Iga vektorit saab esitada selle ühikvektori kaudu kui
Ühikvektorid, mis asuvad piki koordinaattelgede positiivseid suundi, on tähistatud vastavalt (joonis 6).
Vektori lisamine
Vektorite lisamise reegel on postuleeritud (selle postulaadi põhjenduseks on tähelepanekud tõelised objektid vektori olemus). See postulaat on, et kaks vektorit
Need kantakse üle mingisse ruumipunkti nii, et nende päritolu langeb kokku (joon. 7). Nendele vektoritele ehitatud rööpküliku (joonis 7) suunatud diagonaali nimetatakse vektorite summaks, vektorite liitmist kirjutatakse kujul
ja seda nimetatakse rööpkülikureegli järgi liitmiseks.
Rakendada saab ka määratud vektorite lisamise reeglit järgmisel viisil: mis tahes ruumipunktis joonistatakse vektor edasi, vektor joonistatakse vektori lõpust (joonis 8). Vektor a, mille algus langeb kokku vektori algusega ja mille lõpp langeb kokku vektori lõpuga, on vektorite summa
Lõplik reegel Vektorite liitmine on mugav, kui on vaja lisada rohkem kui kaks vektorit. Tõepoolest, kui teil on vaja lisada mitu vektorit, siis kasutage täpsustatud reegel, peaksite konstrueerima polüliini, mille külgedeks on antud vektorid ja mis tahes vektori algus langeb kokku eelmise vektori lõpuga. Nende vektorite summaks on vektor, mille algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp kattub viimase vektori lõpuga (joonis 9). Kui antud vektorid moodustuvad suletud hulknurk, siis ütleme, et vektorite summa on null.
Vektorite summa koostamise reeglist järeldub, et nende summa ei sõltu liikmete võtmise järjekorrast või vektorite liitmine on kommutatiivne. Kahe vektori puhul saab viimase kirjutada järgmiselt:
Vektori lahutamine
Vektori lahutamise vektorist teostab järgmine reegel: konstrueeritakse vektor ja vektor - asetatakse selle otsast välja (joonis 10). Vektor a, mille algus langeb kokku algusega
vektor ja lõpp - vektori lõpuga on võrdne vektorite erinevusega ja Tehtud toimingu saab kirjutada kujul:
Vektori lagunemine komponentideks
Antud vektori lagundamine tähendab selle esitamist mitme vektori summana, mida nimetatakse selle komponentideks.
Vaatleme vektori a lagundamise probleemi, kui on määratud, et selle komponendid peavad olema suunatud piki kolme koordinaatteljed. Selleks konstrueerime rööptahuka, mille diagonaaliks on vektor a ja servad on paralleelsed koordinaattelgedega (joon. 11). Seejärel, nagu jooniselt ilmneb, annab selle rööptahuka servadel asuvate vektorite summa vektori a:
Vektori projektsioon teljele
Vektori projektsioon teljele on suunatud lõigu suurus, mis on piiratud teljega risti asetsevate tasanditega, mis läbivad vektori algust ja lõppu (joonis 12). Nende tasandite lõikepunkte teljega (A ja B) nimetatakse vastavalt vektori alguse ja lõpu projektsiooniks.
Vektori projektsioonil on plussmärk, kui selle suunad, lugedes vektori alguse projektsioonist kuni selle lõpu projektsioonini, langevad kokku telje suunaga. Kui need suunad ei lange kokku, on projektsioonil miinusmärk.
Vektori a projektsioonid koordinaattelgedel on vastavalt tähistatud
Vektori koordinaadid
Vektori a komponendid, mis paiknevad paralleelselt koordinaattelgedega vektori projektsioonide ja ühikvektorite kaudu, saab kirjutada kujul:
Seega:
kus nad määratlevad täielikult vektori ja neid nimetatakse selle koordinaatideks.
Tähistades nurkade kaudu, mida vektor a teeb koordinaattelgedega, saab vektori a projektsioonid telgedele kirjutada kujul:
Seega on vektori a mooduli jaoks avaldis:
Kuna vektori määratlus selle projektsioonide järgi on kordumatu, on kahel võrdsel vektoril võrdsed koordinaadid.
Vektorite liitmine nende koordinaatide kaudu
Nagu jooniselt fig. 13, vektorite summa projektsioon teljele on võrdne algebraline summa nende prognoosid. Seega vektori võrdsusest:
järgnevad kolm järgmist skalaarvõrdsust:
või koguvektori koordinaadid on võrdsed komponentvektorite koordinaatide algebralise summaga.
Kahe vektori punktkorrutis
Kahe vektori skalaarkorrutist tähistatakse a b ja see määratakse nende moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:
Kahe vektori punktkorrutist võib defineerida ka kui ühe vektori mooduli ja teise vektori projektsiooni esimese vektori suuna korrutist.
Skalaarkorrutise definitsioonist järeldub, et
st toimub kommutatiivne seadus.
Suhteliselt lisandumisega skalaarkorrutis omab jaotavat omadust:
mis tuleneb otseselt omadusest, et vektorite summa projektsioon on võrdne nende projektsioonide algebralise summaga.
Skalaarkorrutise vektorite projektsioonide kaudu saab kirjutada järgmiselt:
Kahe vektori ristkorrutis
Kahe vektori ristkorrutist tähistatakse axb-ga. See on vektor c, mille moodul võrdne tootega vektorite moodulid, mis korrutatakse nendevahelise nurga siinusega:
Vektor c on suunatud risti vektoritega a ja b määratletud tasapinnaga nii, et kui vaadata vektori c otsast, siis vektor a võimalikult kiireks joondamiseks vektoriga b, tuli esimene vektor pöörata positiivses suunas. suund (vastupäeva; joon. 14). Vektorit, mis on kahe vektori ristkorrutis, nimetatakse aksiaalvektoriks (või pseudovektoriks). Selle suund sõltub koordinaatsüsteemi valikust või nurkade positiivse suuna tingimusest. Suund näidatud vektor c vastab õigele Descartes'i koordinaattelgede süsteemile, mille valikus lepiti kokku varem.
Meid ümbritsevad paljud erinevad materiaalsed objektid. Materjal, sest neid saab katsuda, nuusutada, näha, kuulda ja palju muud saab teha. Mis need esemed on, mis nendega juhtub või juhtub, kui midagi ette võtate: viskate, painutage, paned ahju. Miks nendega midagi juhtub ja kuidas see täpselt juhtub? Seda kõike uurides Füüsika. Mängige mängu: soovige ruumis olevat eset, kirjeldage seda mõne sõnaga ja teie sõber peab ära arvama, mis see on. Toon välja kavandatava objekti omadused. Omadussõnad: valge, suur, raske, külm. Kas arvasite ära? See on külmkapp. Nimetatud omadused ei ole teaduslikud mõõtmised teie külmkapp. Külmkapis saab mõõta erinevaid asju. Kui see on pikk, siis on see suur. Kui see on värv, siis on see valge. Kui temperatuur, siis külm. Ja kui sellel on mass, siis selgub, et see on raske. Kujutage ette, et ühe külmikuga saab uurida erinevad küljed. Mass, pikkus, temperatuur – see on füüsikaline suurus.
Aga see on ainult üks väike omadus külmkapp, mis kohe pähe tuleb. Enne uue külmiku ostmist saate end kurssi viia mitmete füüsiliste kogustega, mis võimaldavad hinnata, kas see on parem või halvem ja miks see maksab rohkem. Kujutage ette, kui mitmekesine on kõik meie ümber. Ja kui mitmekesised on omadused.
Füüsikalise suuruse määramine
Kõiki füüsilisi suurusi tähistatakse tavaliselt tähtedega, tavaliselt kreeka tähestikuga. AGA! Ühel ja samal füüsikalisel suurusel võib olla mitu tähttähist (in mitmesugust kirjandust).
Ja vastupidi, sama täht võib tähistada erinevaid füüsikalisi suurusi. 
Hoolimata sellest, et te pole võib-olla sellist tähte kohanud, jääb füüsikalise suuruse tähendus ja selle osalus valemites samaks.
Vektor- ja skalaarsuurused
Füüsikas on kahte tüüpi füüsikalisi suurusi: vektor ja skalaar. Nende peamine erinevus seisneb selles vektori füüsikalistel suurustel on suund. Mida see tähendab, et füüsikalisel suurusel on suund? Näiteks nimetame kotis olevate kartulite arvu tavalised numbrid või skalaarid. Teine näide sellisest kogusest on temperatuur. Teistel füüsikas väga olulistel suurustel on suund, näiteks kiirus; me peame täpsustama mitte ainult keha liikumiskiirust, vaid ka liikumisteed. Hoogusel ja jõul on ka suund, nagu nihkelgi: kui keegi astub sammu, siis ei saa aru mitte ainult sellest, kui kaugele ta on astunud, vaid ka seda, kuhu ta kõnnib, ehk määrata tema liikumissuuna. Parem on meeles pidada vektorkoguseid.
Miks nad joonistavad tähtede kohale noole?
Joonistage nool ainult vektorfüüsikaliste suuruste tähtede kohale. Vastavalt sellele, kuidas nad matemaatikas tähistavad vektor! Nende liitmise ja lahutamise tehted füüsikalised kogused viiakse läbi vastavalt matemaatilised reeglid toimingud vektoritega. Väljend "kiirusmoodul" või " absoluutväärtus" tähendab täpselt "kiirusvektori moodulit", see tähendab numbriline väärtus kiirus ilma suunda arvesse võtmata – pluss- või miinusmärk.
Vektorsuuruste määramine
Peaasi, mida meeles pidada
1) Mis on vektorsuurus;
2) Mille poolest erineb skalaarsuurus vektorsuurusest;
3) Vektorfüüsikalised suurused;
4) Vektori koguse tähistus
Füüsika ja matemaatika ei saa hakkama ilma vektorkoguse mõisteta. Sa pead seda teadma ja ära tundma ning oskama sellega opereerida. Seda tuleks kindlasti õppida, et mitte segadusse sattuda ja rumalaid vigu teha.
Kuidas eristada skalaarsuurust vektorsuurusest?
Esimesel on alati ainult üks omadus. See on selle numbriline väärtus. Enamus skalaarsuurused võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Nende näited võivad olla elektrilaeng, töö või temperatuur. Kuid on skalaare, mis ei saa olla negatiivsed, näiteks pikkus ja mass.
Vektori kogus v.a numbriline väärtus, mida võetakse alati modulo, iseloomustab ka suund. Seetõttu saab seda kujutada graafiliselt, see tähendab noole kujul, mille pikkus on võrdne teatud suunas suunatud absoluutväärtusega.
Kirjutamisel tähistatakse iga vektori suurust noolemärgiga tähel. Kui me räägime arvväärtuse kohta, siis noolt ei kirjutata või võetakse see modulo.
Milliseid toiminguid tehakse kõige sagedamini vektoritega?
Esiteks võrdlus. Need võivad olla võrdsed või mitte. Esimesel juhul on nende moodulid samad. Kuid see pole ainus tingimus. Neil peab olema ka sama või vastassuunas. Esimesel juhul tuleks neile helistada võrdsed vektorid. Teises osutuvad nad vastupidiseks. Kui vähemalt üks määratud tingimustest ei ole täidetud, ei ole vektorid võrdsed.
Siis tuleb lisamine. Seda saab teha kahe reegli järgi: kolmnurk või rööpkülik. Esimene näeb ette, et kõigepealt tuleb maha jätta üks vektor, seejärel selle lõpust teine. Lisamise tulemus on see, mis tuleb tõmmata esimese algusest teise lõpuni.
Rööpkülikureeglit saab kasutada vektori suuruste liitmisel füüsikas. Erinevalt esimesest reeglist tuleks siin need ühest punktist edasi lükata. Seejärel koostage need rööpkülikuks. Toimingu tulemuseks tuleks lugeda samast punktist tõmmatud rööpküliku diagonaali.
Kui vektori suurus lahutatakse teisest, siis joonistatakse need uuesti ühest punktist. Ainult tulemuseks on vektor, mis kattub teise lõpust esimese lõpuni joonistatuga.
Milliseid vektoreid füüsikas uuritakse?
Neid on sama palju kui skalaari. Võite lihtsalt meeles pidada, millised vektorkogused füüsikas eksisteerivad. Või teada märke, mille järgi neid saab arvutada. Neile, kes eelistavad esimest võimalust, on see tabel kasulik. See esitab peamised vektori füüsikalised suurused.
Nüüd natuke lähemalt mõnest sellisest kogusest.
Esimene suurus on kiirus
Alustada tasub vektorkoguste näidetega. See on tingitud asjaolust, et see on esimeste seas, mida uuritakse.
Kiirus on määratletud kui keha ruumis liikumise tunnus. See määrab numbrilise väärtuse ja suuna. Seetõttu on kiirus vektorsuurus. Lisaks on tavaks jagada see tüüpideks. Esimene on lineaarne kiirus. See võetakse kasutusele sirgjoonelise kaalumisel ühtlane liikumine. Samal ajal selgub ta võrdne suhtega keha läbitud vahemaa liikumise hetkeni.
Sama valemit saab kasutada siis, kui ebaühtlane liikumine. Ainult siis on see keskmine. Veelgi enam, ajavahemik, mis tuleb valida, peab olema võimalikult lühike. Kuna ajavahemik kipub nulli, on kiiruse väärtus juba hetkeline.
Kui arvestada suvalist liikumist, on kiirus alati vektorsuurus. Lõppude lõpuks tuleb see lagundada komponentideks, mis on suunatud piki iga koordinaatjooni suunavat vektorit. Lisaks on see defineeritud kui aja suhtes võetud raadiusvektori tuletis.
Teine suurus on tugevus
See määrab teiste kehade või väljade poolt kehale avaldatava löögi intensiivsuse mõõdu. Kuna jõud on vektorsuurus, on sellel tingimata oma suurus ja suund. Kuna see mõjub kehale, on oluline ka punkt, kuhu jõud rakendatakse. Et saada visuaalne esitus jõuvektorite kohta saate vaadata järgmist tabelit.
Veel üks vektorsuurus on resultantjõud. Seda määratletakse kui kõigi kehale mõjuvate jõudude summat mehaanilised jõud. Selle määramiseks on vaja läbi viia liitmine vastavalt kolmnurga reegli põhimõttele. Peate lihtsalt vektorid ükshaaval eelmise lõpust maha panema. Tulemuseks on see, mis ühendab esimese alguse viimase lõpuga.
Kolmas suurus on nihe
Liikumise ajal kirjeldab keha teatud joont. Seda nimetatakse trajektooriks. See rida võib olla täiesti erinev. Selgub, et tema pole tähtsam välimus, ning liikumise algus- ja lõpp-punktid. Neid ühendab segment, mida nimetatakse tõlkeks. See on ka vektorsuurus. Pealegi on see alati suunatud liikumise algusest punktini, kus liikumine peatati. See on tavaks tähistada Ladina täht r.
Siin võib tekkida järgmine küsimus: "Kas tee on vektorsuurus?" IN üldine juhtum see väide ei vasta tõele. Tee pikkusega võrdne trajektooril ja sellel puudub kindel suund. Erandiks on olukord, kus vaadeldakse sirgjoonelist liikumist ühes suunas. Siis langeb nihkevektori suurus väärtuselt kokku teekonnaga ja nende suund osutub samaks. Seetõttu, kui arvestada liikumist mööda sirgjoont ilma liikumissuunda muutmata, võib tee lisada vektorkoguste näidetesse.
Neljas suurus on kiirendus
See on kiiruse muutumise kiiruse tunnus. Pealegi võib kiirendus olla nii positiivne kui ka negatiivne tähendus. Sirgel liikudes on see suunatud suurema kiiruse poole. Kui liikumine toimub mööda kõverjooneline trajektoor, siis selle kiirendusvektor jaotatakse kaheks komponendiks, millest üks on suunatud piki raadiust kõveruskeskme poole.
Keskmine ja hetkeväärtus kiirendus. Esimest tuleks arvutada kui kiiruse muutuse suhet teatud aja jooksul sellesse aega. Kui vaadeldav ajavahemik kipub olema null, siis räägime hetkekiirendusest.
Viies väärtus - impulss
Teisel viisil nimetatakse seda ka liikumise kvantiteediks. Impulss on vektorsuurus, kuna see on otseselt seotud kehale rakendatava kiiruse ja jõuga. Mõlemal on suund ja nad annavad selle impulsile.
Definitsiooni järgi on viimane võrdne kehamassi ja kiiruse korrutisega. Keha impulsi mõistet kasutades saame Newtoni üldtuntud seaduse kirjutada erinevalt. Selgub, et impulsi muutus võrdub jõu ja ajaperioodi korrutisega.
Füüsikas oluline roll kehtib impulsi jäävuse seadus, mis ütleb, et suletud kehade süsteemis on selle koguimpulss konstantne.
Oleme väga lühidalt loetlenud, milliseid suurusi (vektorit) füüsika kursusel uuritakse.
Ebaelastse löögi probleem
Seisund. Rööbastel on statsionaarne platvorm. Sellele läheneb vanker kiirusega 4 m/s. Platvormi ja auto massid on vastavalt 10 ja 40 tonni. Auto põrkab vastu platvormi ja toimub automaatne haake. Pärast kokkupõrget on vaja arvutada "autoplatvormi" süsteemi kiirus.
Lahendus. Esiteks peate sisestama järgmised tähised: auto kiirus enne kokkupõrget on v1, auto kiirus platvormiga pärast haakimist on v, auto mass on m1, platvormi mass on m2. Vastavalt ülesande tingimustele on vaja välja selgitada kiiruse v väärtus.
Lahenduse reeglid sarnased ülesanded nõuavad süsteemi skemaatilise kujutamist enne ja pärast interaktsiooni. OX telg on mõistlik suunata mööda rööpaid selles suunas, kuhu auto liigub.
Nendel tingimustel võib autosüsteemi lugeda suletuks. Selle määrab asjaolu, et väliseid jõude saab tähelepanuta jätta. Gravitatsioon ja toetusreaktsioon on tasakaalus ning rööbaste hõõrdumist ei võeta arvesse.
Impulsi jäävuse seaduse kohaselt on nende vektori summa enne auto ja platvormi vastasmõju võrdne haakeseadise kogusummaga pärast kokkupõrget. Algul platvorm ei liikunud, nii et selle hoog oli võrdne nulliga. Ainult auto liikus, selle hoog on m1 ja v1 korrutis.
Kuna löök oli mitteelastne ehk auto ühendus platvormiga ja seejärel hakkasid nad ühes suunas veerema, siis süsteemi impulss suunda ei muutnud. Kuid selle tähendus on muutunud. Nimelt auto massi ja platvormi ja soovitud kiiruse summa korrutis.
Võite kirjutada järgmise võrdsuse: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. See kehtib impulsivektorite projekteerimisel valitud teljele. Sellest on lihtne tuletada võrdsust, mis on vajalik nõutava kiiruse arvutamiseks: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Reeglite kohaselt tuleks massi väärtused teisendada tonnidest kilogrammidesse. Seetõttu tuleb neid valemis asendades esmalt teadaolevad kogused korrutada tuhandega. Lihtsad arvutused andke arv 0,75 m/s.
Vastus. Auto kiirus koos platvormiga on 0,75 m/s.
Probleem keha osadeks jagamisega
Seisund. Lendava granaadi kiirus on 20 m/s. See laguneb kaheks osaks. Esimese kaal on 1,8 kg. See jätkab liikumist suunas, kus granaat lendas kiirusega 50 m/s. Teise fragmendi mass on 1,2 kg. Mis on selle kiirus?
Lahendus. Kildude massid olgu tähistatud tähtedega m1 ja m2. Nende kiirused on vastavalt v1 ja v2. alguskiirus granaadid - v. Probleem nõuab v2 väärtuse arvutamist.
Selleks, et suurem kild jätkaks liikumist kogu granaadiga samas suunas, peab teine sisse lendama tagakülg. Kui valida telje suunaks see, mis oli algimpulsi juures, siis peale pausi lendab suur kild mööda telge ja väike vastu telge.
Selles probleemis on lubatud kasutada impulsi jäävuse seadust, kuna granaat plahvatab koheselt. Seetõttu, hoolimata tõsiasjast, et gravitatsioon mõjub granaadile ja selle osadele, ei ole tal aega tegutseda ja impulsi vektori suunda oma absoluutväärtusega muuta.
Impulsi vektorsuuruste summa pärast granaadi plahvatust on võrdne sellega, mis oli enne seda. Kui kirjutada üles OX-teljele projektsioonis oleva keha impulsi jäävuse seadus, näeb see välja järgmine: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Sellest on lihtne väljendada vajalikku kiirust. See määratakse järgmise valemiga: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Pärast asendamist arvväärtusi ja arvutused annavad tulemuseks 25 m/s.
Vastus. Väikese killu kiirus on 25 m/s.
Probleem nurga all pildistamisel
Seisund. Relv on paigaldatud platvormile massiga M. See tulistab mürsku massiga m. See lendab horisondi suhtes nurga α all välja kiirusega v (antud maapinna suhtes). Pärast lasku peate teadma platvormi kiirust.
Lahendus. Selles ülesandes saate kasutada impulsi jäävuse seadust projektsioonis OX-teljele. Kuid ainult juhul, kui väliste resultantjõudude projektsioon on võrdne nulliga.
OX-telje suuna jaoks peate valima külje, kus mürsk lendab, ja paralleelselt horisontaaljoon. Sel juhul on gravitatsioonijõudude projektsioonid ja toe reaktsioon OX-le võrdsed nulliga.
Probleem lahendatakse aastal üldine vaade, kuna selle kohta pole konkreetseid andmeid teadaolevad kogused. Vastus on valem.
Süsteemi hoog enne lasku oli null, kuna platvorm ja mürsk olid paigal. Olgu soovitud platvormi kiirus tähistatud ladina tähega u. Seejärel määratakse selle hoog pärast lasku massi ja kiiruse projektsiooni korrutisena. Kuna platvorm veereb tagasi (vastu OX-telje suunda), on impulsi väärtusel miinusmärk.
Mürsu impulss on selle massi ja kiiruse projektsiooni OX-telje korrutis. Kuna kiirus on suunatud horisondi suhtes nurga all, on selle projektsioon võrdne kiirusega, mis on korrutatud nurga koosinusega. Sõnasõnalise võrdsuse korral näeb see välja järgmine: 0 = - Mu + mv * cos α. Sellest saadakse lihtsate teisenduste abil vastuse valem: u = (mv * cos α) / M.
Vastus. Platvormi kiirus määratakse valemiga u = (mv * cos α) / M.
Jõeületusprobleem
Seisund. Jõe laius kogu pikkuses on sama ja võrdne l-ga, kaldad on paralleelsed. Teada on veevoolu kiirus jões v1 ja paadi enda kiirus v2. 1). Ületamisel on paadi vöör suunatud rangelt vastaskalda poole. Kui kaugele seda allavoolu kantakse? 2). Millise nurga α alla tuleks paadi vöör suunata, et see ulatuks vastaspank rangelt risti lähtepunktiga? Kui kaua kulub selliseks ületamiseks t?
Lahendus. 1). Paadi kogukiirus on kahe suuruse vektorsumma. Esimene neist on jõe vool, mis on suunatud piki kallast. Teine on paadi enda kiirus kaldaga risti. Joonisel on kaks sarnane kolmnurgaga. Esimese moodustavad jõe laius ja vahemaa, mille üle paat triivib. Teine on kiirusvektorite järgi.
Nendest tuleneb järgmine kirje: s / l = v1 / v2. Pärast teisendamist saadakse soovitud väärtuse valem: s = l * (v1 / v2).
2). Ülesande selles versioonis on kogukiiruse vektor kallastega risti. See on võrdne vektori summa v1 ja v2. Nurga siinus, mille võrra omakiiruse vektor peab hälbima, on võrdne moodulite v1 ja v2 suhtega. Reisiaja arvutamiseks peate jagama jõe laiuse arvutatud täiskiirusega. Viimase väärtus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil.
v = √(v22 – v12), siis t = l / (√(v22 – v12)).
Vastus. 1). s = l* (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).