Rööpkülikukujulises punkt asub küljel ,. Väljendage vektorit vektorite ja .
Probleemi lahendus
See õppetund näitab, kuidas kasutada teadaolevaid vektoreid rööpküliku külgede kujul, et väljendada suvalist lõiku algsete vektorite kompositsioonina. See ülesanne ei saaks lahendust, kui me ei teaks, millises vahekorras on rööpküliku üks külgi jagatud nõutavasse lõiku kuuluva punktiga. Edasised toimingud taanduvad antud vektorite alguse ja lõpu ning vektorite, milleks külg on jagatud, määramisele. Kõik see on vajalik märkide korrektseks kasutamiseks vektorite kombineerimisel. On ju vaja meeles pidada vektorite liitmise reegleid: vektorite summa annab kolmanda vektori, mille algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp teise lõpuga; ja vektorite lahutamise reegel: kahe vektori erinevus on kolmas vektor, mille algus langeb kokku teise vektori otstega ja lõpp esimese vektori lõpuga. Nende lihtsate reeglite põhjal saame vajaliku kombinatsiooni.
Samuti on teil iseseisvalt lahendatavad probleemid, millele näete vastuseid.
Vektori kontseptsioon
Enne vektorite ja nendega tehtavate toimingute tundmaõppimist olge valmis lahendama lihtsat ülesannet. On olemas teie ettevõtlikkuse vektor ja teie uuenduslike võimete vektor. Ettevõtluse vektor viib teid eesmärgini 1 ja uuenduslike võimete vektor viib teid eesmärgini 2. Mängureeglid on sellised, et te ei saa liikuda nende kahe vektori suundades korraga ja saavutada korraga kahte eesmärki. Vektorid interakteeruvad ehk matemaatilises keeles rääkides tehakse vektoritega mingi toiming. Selle toimingu tulemuseks on "Tulemuse" vektor, mis viib teid 3. eesmärgini.
Nüüd öelge mulle: millise toimingu vektorite "Ettevõtlikkus" ja "Uuenduslikud võimed" tulemus on vektor "Tulemus"? Kui te ei saa kohe aru, ärge heitke meelt. Selle õppetunni läbimisel saate sellele küsimusele vastata.
Nagu eespool juba nägime, pärineb vektor tingimata teatud punktist A sirgjoonel mingisse punkti B. Järelikult on igal vektoril mitte ainult arvväärtus - pikkus, vaid ka füüsiline ja geomeetriline väärtus - suund. Sellest tuleneb vektori esimene, kõige lihtsam definitsioon. Niisiis, vektor on punktist tulev suunatud segment A asja juurde B. See on tähistatud järgmiselt: .
Ja alustada erinevat tehted vektoritega , peame tutvuma veel ühe vektori definitsiooniga.
Vektor on punkti esitusviis, milleni on vaja jõuda mingist lähtepunktist. Näiteks kolmemõõtmeline vektor kirjutatakse tavaliselt kujul (x, y, z) . Väga lihtsalt öeldes tähendavad need numbrid, kui kaugele peate punkti jõudmiseks kõndima kolmes erinevas suunas.
Olgu vektor antud. Kus x = 3 (parem käsi osutab paremale), y = 1 (vasak käsi näitab ette) z = 5 (punkti all on trepp, mis viib üles). Neid andmeid kasutades leiate punkti, kõndides 3 meetrit parema käe näidatud suunas, seejärel 1 meeter vasaku käe näidatud suunas ja siis ootab teid redel ja 5 meetrit tõustes leiate lõpuks ennast lõpp-punktis.
Kõik muud terminid on ülaltoodud seletuse täpsustused, mis on vajalikud mitmesugusteks vektoritega tehtavateks operatsioonideks, st praktiliste probleemide lahendamiseks. Vaatame läbi need rangemad määratlused, keskendudes tüüpilistele vektoriprobleemidele.
Füüsilised näited vektorsuurused võivad olla ruumis liikuva materiaalse punkti nihkumine, selle punkti kiirus ja kiirendus, samuti sellele mõjuv jõud.
Geomeetriline vektor esitatud kahe- ja kolmemõõtmelises ruumis kujul suunaline segment. See on segment, millel on algus ja lõpp.
Kui A- vektori algus ja B- selle lõpp, siis tähistatakse vektorit sümboliga või ühe väikese tähega . Joonisel on vektori lõpp näidatud noolega (joonis 1)
Pikkus(või moodul) on geomeetrilise vektori lõigu pikkus, mis seda genereerib
Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne , kui neid saab kombineerida (suundade kokkulangemisel) paralleelülekande teel, s.t. kui need on paralleelsed, suunatud samas suunas ja on võrdse pikkusega.
Füüsikas peetakse seda sageli kinnitatud vektorid, määratud kasutuskoha, pikkuse ja suuna järgi. Kui vektori rakenduspunkt ei oma tähtsust, saab selle oma pikkuse ja suuna säilitades üle kanda ükskõik millisesse ruumipunkti. Sel juhul nimetatakse vektorit tasuta. Oleme nõus ainult kaaluma vabad vektorid.
Lineaartehted geomeetrilistel vektoritel
Vektori korrutamine arvuga
Vektori korrutis numbri kohta on vektor, mis saadakse vektorist venitades (at ) või kokku surudes (at ) teguri võrra ja vektori suund jääb samaks, kui , ja muutub vastupidiseks, kui . (Joonis 2)
Definitsioonist järeldub, et vektorid ja = asuvad alati ühel või paralleelsel sirgel. Selliseid vektoreid nimetatakse kollineaarne. (Võime ka öelda, et need vektorid on paralleelsed, kuid vektoralgebras on kombeks öelda "kollineaarne".) Tõsi on ka vastupidi: kui vektorid on kollineaarsed, siis on nad seotud seosega.
Järelikult väljendab võrdsus (1) kahe vektori kollineaarsuse tingimust.
Vektorite liitmine ja lahutamine
Vektorite lisamisel peate seda teadma summa vektoriteks ja seda nimetatakse vektoriks, mille algus langeb kokku vektori algusega ja lõpp - vektori lõpuga, eeldusel, et vektori algus on kinnitatud vektori lõppu. (Joonis 3)
Seda määratlust saab jaotada mis tahes piiratud arvu vektorite peale. Las need antakse ruumis n vabad vektorid. Mitme vektori liitmisel võetakse nende summaks sulgev vektor, mille algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp viimase vektori lõpuga. See tähendab, kui kinnitate vektori alguse vektori lõppu ja vektori algust vektori lõppu jne. ja lõpuks vektori lõpuni - vektori alguseni, siis on nende vektorite summa sulgevektor 
, mille algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp - viimase vektori lõpuga. (Joonis 4)
Termineid nimetatakse vektori komponentideks ja sõnastatud reeglit nimetatakse hulknurga reegel. See hulknurk ei pruugi olla tasane.
Kui vektorit korrutada arvuga -1, saadakse vastupidine vektor. Vektoritel ja on sama pikkus ja vastassuunad. Nende summa annab nullvektor, mille pikkus on null. Nullvektori suund ei ole määratletud.
Vektoralgebras ei ole vaja lahutamistehet eraldi käsitleda: vektori lahutamine vektorist tähendab vastupidise vektori lisamist vektorile, s.t. 
Näide 1. Lihtsusta väljendit:
.
,
ehk vektoreid saab liita ja arvudega korrutada samamoodi nagu polünoome (eelkõige ka avaldiste lihtsustamise ülesanded). Tavaliselt tekib vajadus lineaarselt sarnaseid avaldisi vektoritega lihtsustada enne vektorite korrutiste arvutamist.
Näide 2. Vektorid ja toimivad rööpküliku ABCD diagonaalidena (joonis 4a). Väljendage läbi ja vektorid , , ja , mis on selle rööpküliku küljed.
Lahendus. Rööpküliku diagonaalide lõikepunkt poolitab iga diagonaali. Ülesandes nõutavate vektorite pikkused leiame kas pooltena nende vektorite summadest, mis moodustavad kolmnurga vajalike vektorite vahel, või poolena erinevustest (olenevalt diagonaaliks oleva vektori suunast) või nagu viimasel juhul pool miinusmärgiga võetud summast. Tulemuseks on ülesande avalduses nõutavad vektorid:
On põhjust arvata, et olete nüüd õigesti vastanud selle õppetunni alguses esitatud küsimusele vektorite "Ettevõtlikkus" ja "Uuenduslikud võimed" kohta. Õige vastus: nende vektoritega tehakse liitmisoperatsioon.
Lahendage vektorülesanded ise ja seejärel vaadake lahendusi
Kuidas leida vektorite summa pikkust?
Sellel probleemil on eriline koht vektoritega tehtavates operatsioonides, kuna see hõlmab trigonomeetriliste omaduste kasutamist. Oletame, et puutute kokku järgmise ülesandega:
Vektori pikkused on antud 
ja nende vektorite summa pikkus. Leidke nende vektorite vahe pikkus.
Lahendused sellele ja teistele sarnastele probleemidele ning selgitused nende lahendamiseks on õppetunnis " Vektorite liitmine: vektorite summa ja koosinusteoreemi pikkus ".
Ja selliste probleemide lahendusi saate kontrollida aadressil Interneti-kalkulaator "Kolmnurga tundmatu külg (vektori liitmine ja koosinusteoreem)" .
Kus on vektorite korrutised?
Vektor-vektori korrutised ei ole lineaarsed tehted ja neid käsitletakse eraldi. Ja meil on õppetunnid "Vektorite skalaarkorrutis" ja "Vektorite vektor- ja segakorrutis".
Vektori projektsioon teljele
Vektori projektsioon teljele on võrdne projitseeritud vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega:
Nagu teada, punkti projektsioon A sirgel (tasapinnal) on sellest punktist sirgele (tasapinnale) langetatud risti alus.
Laskma olla suvaline vektor (joon. 5) ja olla selle päritolu projektsioonid (punktid A) ja lõpp (punktid B) telje kohta l. (Punkti projektsiooni konstrueerimiseks A) tõmmake punkti läbiv sirgjoon A sirgjoonega risti olev tasapind. Sirge ja tasapinna ristumiskoht määrab vajaliku projektsiooni.
Vektorkomponent l-teljel nimetatakse sellist sellel teljel asuvat vektorit, mille algus langeb kokku alguse projektsiooniga ja lõpp vektori lõpu projektsiooniga.
Vektori projektsioon teljele l helistatud number
,
võrdne komponendi vektori pikkusega sellel teljel plussmärgiga, kui komponentide suund langeb kokku telje suunaga l, ja miinusmärgiga, kui need suunad on vastupidised.
Vektori projektsioonide põhiomadused teljele:
1. Võrdsete vektorite projektsioonid samale teljele on üksteisega võrdsed.
2. Kui vektorit korrutada arvuga, korrutatakse selle projektsioon sama arvuga.
3. Vektorite summa projektsioon mis tahes teljele on võrdne vektorite summade projektsioonide summaga samale teljele.
4. Vektori projektsioon teljele võrdub projitseeritud vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega:
.
Lahendus. Projekteerime vektorid teljele l nagu on määratletud ülaltoodud teoreetilises taustas. Jooniselt 5a on ilmne, et vektorite summa projektsioon on võrdne vektorite projektsioonide summaga. Arvutame järgmised prognoosid:
Leiame vektorite summa lõpliku projektsiooni:
Vektori ja ristkülikukujulise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi vaheline seos ruumis
Tutvumine ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis toimus vastavas tunnis, on soovitatav see avada uues aknas.
Järjestatud koordinaattelgede süsteemis 0xyz telg Ox helistas x-telg, telg 0a – y-telg, ja telg 0z – telg kohaldada.
Suvalise punktiga M ruumi ühendamise vektor
helistas raadiuse vektor punktid M ja projitseerida see igale koordinaatteljele. Tähistame vastavate projektsioonide suurusi:
Numbrid x, y, z kutsutakse punkti M koordinaadid, vastavalt abstsiss, ordinaat Ja kohaldada, ja need on kirjutatud arvude järjestatud punktina: M(x;y;z)(joonis 6).
Nimetatakse ühikpikkusega vektorit, mille suund langeb kokku telje suunaga ühikvektor(või ortom) teljed. Tähistagem poolt
Vastavalt sellele koordinaattelgede ühikvektorid Ox, Oy, Oz
Teoreem. Iga vektori saab laiendada koordinaattelgede ühikvektoriteks:
(2)
Võrdsust (2) nimetatakse vektori laienemiseks piki koordinaattelge. Selle laienduse koefitsiendid on vektori projektsioonid koordinaattelgedele. Seega on vektori laienduskoefitsiendid (2) piki koordinaattelgesid vektori koordinaatideks.
Pärast ruumis teatud koordinaatsüsteemi valimist määravad vektor ja selle koordinaatide kolmik üksteist üheselt, nii et vektori saab kirjutada kujul
Vektori esitused kujul (2) ja (3) on identsed.
Koordinaatides vektorite kollineaarsuse tingimus
Nagu me juba märkisime, nimetatakse vektoreid kollineaarseteks, kui need on seotud suhtega
Olgu vektorid antud 
. Need vektorid on kollineaarsed, kui vektorite koordinaadid on seosega seotud
,
see tähendab, et vektorite koordinaadid on võrdelised.
Näide 6. Vektorid on antud 
. Kas need vektorid on kollineaarsed?
Lahendus. Uurime nende vektorite koordinaatide vahelist seost:
.
Vektorite koordinaadid on võrdelised, seetõttu on vektorid kollineaarsed ehk paralleelsed.
Vektori pikkuse ja suuna koosinused
Koordinaatide telgede vastastikuse perpendikulaarsuse tõttu vektori pikkus
võrdne vektoritele ehitatud ristkülikukujulise rööptahuka diagonaali pikkusega
ja seda väljendab võrdsus
(4)
Vektor on täielikult määratletud kahe punkti (algus ja lõpp) määramisega, seega saab vektori koordinaate väljendada nende punktide koordinaatidena.
Olgu antud koordinaatsüsteemis vektori alguspunkt punktis
ja lõpp on punktis
Võrdsusest
Järgib seda
või koordinaatide kujul
Seega vektori koordinaadid on võrdsed vektori lõpu ja alguse samade koordinaatide erinevustega . Valem (4) võtab sel juhul kuju
Määratakse vektori suund suunakoosinused . Need on nurkade koosinused, mille vektor moodustab telgedega Ox, Oy Ja Oz. Tähistame need nurgad vastavalt α , β Ja γ . Seejärel saab valemite abil leida nende nurkade koosinused
Vektori suunakoosinused on ka selle vektori vektori koordinaadid ja seega vektori vektor
.
Arvestades, et ühikvektori pikkus võrdub ühe ühikuga, st
,
saame suunakoosinuste jaoks järgmise võrdsuse:
Näide 7. Leia vektori pikkus x = (3; 0; 4).
Lahendus. Vektori pikkus on
Näide 8. Antud punktid:
Uurige, kas nendele punktidele konstrueeritud kolmnurk on võrdhaarne.
Lahendus. Kasutades vektori pikkuse valemit (6), leiame külgede pikkused ja teeme kindlaks, kas nende hulgas on kaks võrdset:
Leitud on kaks võrdset külge, mistõttu ei ole vaja otsida kolmanda külje pikkust ja antud kolmnurk on võrdhaarne.
Näide 9. Leia vektori pikkus ja selle suunakoosinused, kui 
.
Lahendus. Vektori koordinaadid on antud:
.
Vektori pikkus võrdub vektori koordinaatide ruutude summa ruutjuurega:
.
Suunakoosinuste leidmine:
Lahendage vektoriülesanne ise ja seejärel vaadake lahendust
Tehted koordinaatide kujul antud vektoritega
Olgu kaks vektorit ja antud, mis on määratletud nende projektsioonidega:
Näidakem tegevusi nendel vektoritel.
Lõpuks sain selle ulatusliku ja kauaoodatud teema kätte. analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast... Kindlasti meenub teile nüüd kooli geomeetriakursus, kus on palju teoreeme, nende tõestusi, jooniseid jne. Mis seal salata, olulise osa õpilaste jaoks armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks klišeelist matemaatilist fraasi: "graafiline lahendusmeetod" ja "analüütiline lahendusmeetod". Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute ja jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist peamiselt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite hoolikast rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa me seda teha ilma joonisteta ja pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks neid tsiteerida.
Äsja avatud geomeetria tundide kursus ei pretendeeri teoreetilisele täielikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajaotise osas põhjalikumat abi, soovitan järgmist üsna ligipääsetavat kirjandust:
1) Asi, millega pole naljalt tuttav mitu põlvkonda: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on läbinud juba 20 (!) kordustrükki, mis muidugi pole piir.
2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on keskkooli kirjandus, vajate esimene köide. Harva ettetulevad ülesanded võivad mu silmist kaduda ja õpetusest on hindamatu abi.
Mõlemat raamatut saab Internetist tasuta alla laadida. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla näited kõrgemast matemaatikast.
Tööriistade hulgas pakun taas välja enda arendamise - tarkvarapakett analüütilises geomeetrias, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.
Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajatele)
Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Soovitan edasi lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, ja ka Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne - selles osas segmendi jagamine - ei ole samuti üleliigne. Ülaltoodud teabe põhjal saate meisterdada tasapinna sirge võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetriaülesandeid. Kasulikud on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirge võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal, muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.
Vektori kontseptsioon. Tasuta vektor
Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:
Sel juhul on lõigu algus punkt, lõigu lõpp punkt. Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui liigutate noole segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba olemas täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav samastada füüsilise keha liikumisega: tuleb nõustuda, instituudi ustest sisenemine või instituudi ustest väljumine on täiesti erinevad asjad.
Tasapinna või ruumi üksikuid punkte on mugav käsitleda nn nullvektor. Sellise vektori puhul langevad lõpp ja algus kokku.
!!! Märge: Siin ja edasi võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et nad asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.
Nimetused: Paljud märkasid kohe pulka, mille tähises ei olnud noolt, ja ütlesid, et üleval on ka nool! Tõsi, võite selle kirjutada noolega: , kuid see on ka võimalik kirje, mida ma edaspidi kasutan. Miks? Ilmselt tekkis see harjumus praktilistel põhjustel, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga erineva suurusega ja karvasteks. Õppekirjanduses ei vaevuta nad mõnikord üldse kiilkirjaga, vaid toovad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.
See oli stilistika ja nüüd vektorite kirjutamise viiside kohta:
1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega: 
ja nii edasi. Sel juhul esimene täht Tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine täht tähistab vektori lõpp-punkti.
2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega.
Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiline.
Vektori pikkust näitab moodulmärk: ,
Vektori pikkuse leidmist (või kordame seda, olenevalt kellest) õpime veidi hiljem.
See oli põhiteave vektorite kohta, mis oli tuttav kõigile koolilastele. Analüütilises geomeetrias on nn vaba vektor.
Lihtsamalt öeldes - vektorit saab joonistada mis tahes punktist:
Oleme harjunud selliseid vektoreid nimetama võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtmatemaatilisest vaatenurgast on need SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saate selle või teise "kooli" vektori "kinnitada" MIS TAHES vajaliku tasapinna või ruumi punkti. See on väga lahe funktsioon! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga suunatud segmenti - seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilaste ütlus: Iga õppejõud annab vektori peale. Lõppude lõpuks pole see lihtsalt vaimukas riim, kõik on peaaegu õige - sinna saab lisada ka suunatud segmendi. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, sageli kannatavad õpilased ise =)
Niisiis, vaba vektor- See trobikond identsed suunatud segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks..." viitab spetsiifiline antud hulgast võetud suunatud lõik, mis on seotud tasapinna või ruumi kindla punktiga.
Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja rakenduspunkt loeb. Tõepoolest, sama jõu otsene löök nina või otsaesisele, millest piisab minu lolli eeskuju väljatöötamiseks, toob kaasa erinevaid tagajärgi. Kuid, vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).
Toimingud vektoritega. Vektorite kollineaarsus
Kooli geomeetria kursus hõlmab mitmeid toiminguid ja reegleid vektoritega: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektori erinevusreegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Alustuseks kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.
Kolmnurga reegli abil vektorite lisamise reegel
Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja : 
Peate leidma nende vektorite summa. Kuna kõiki vektoreid peetakse vabaks, jätame vektori kõrvale lõpp vektor: 
Vektorite summa on vektor. Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav lisada sellele füüsiline tähendus: lasta mõnel kehal liikuda mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit . Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mille algus on lähtepunktis ja lõpp saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha liikuda väga kaldu mööda siksakit või võib-olla autopiloodil - piki saadud summavektorit.
Muide, kui vektor lükatakse edasi alanud vektor, siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.
Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nende suhtes kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".
Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaasrežissöör. Kui nooled näitavad eri suundades, siis vektorid on vastassuunas.
Nimetused: vektorite kollineaarsus kirjutatakse tavalise paralleelsuse tähisega: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on vastassuunalised).
Töö nullist erinev vektor arvul on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .
Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildi abil lihtsam mõista: 
Vaatame seda üksikasjalikumalt:
1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.
2) Pikkus. Kui kordaja sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus pool vektori pikkusest. Kui kordaja moodul on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.
3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teise kaudu, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Seega: kui me korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaali suhtes) vektor.
4) Vektorid on ühiselt suunatud. Vektorid ja on ka kaasrežissöör. Iga esimese rühma vektor on teise rühma mis tahes vektori suhtes vastupidises suunas.
Millised vektorid on võrdsed?
Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samas suunas ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuunalisus tähendab vektorite kollineaarsust. Määratlus oleks ebatäpne (ülearune), kui ütleksime: "Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on kollineaarsed, kaassuunalised ja on sama pikkusega."
Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid samad vektorid, nagu oli kirjeldatud eelmises lõigus.
Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis
Esimene punkt on arvestada vektoreid tasapinnal. Kujutame Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatide süsteemi ja joonistame selle koordinaatide alguspunktist vallaline vektorid ja:
Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame sõnu vastavalt kollineaarsus Ja ortogonaalsus.
Määramine: Vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise perpendikulaarsuse sümboliga, näiteks: .
Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. See, mis on alus, on minu arvates paljudele intuitiivselt selge, täpsemat teavet leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi - see on omamoodi alus, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.
Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: “orto” - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna “normaliseeritud” ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.
Määramine: sulgudes kirjutatakse tavaliselt alus, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatudümber paigutama.
Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt: 
, Kus - numbrid mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Ja väljend ise 
helistas vektori laguneminealusel .
Serveeritud õhtusöök:
Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori baasiks lammutamisel kasutatakse äsja käsitletuid:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .
Nüüd joonistage vektor vaimselt tasandi mis tahes teisest punktist. On üsna ilmne, et tema lagunemine "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus - vektor kannab kõike endaga kaasas. See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas on see, et baas(vaba) vektoreid endid ei pea joonistama alguspunktist, ühe saab joonistada näiteks all vasakule ja teise üleval paremale ja midagi ei muutu! Tõsi, te ei pea seda tegema, kuna õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "krediiti".
Vektorid illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on põhivektoriga kaassuunaline, vektor on suunatud baasvektorile vastupidises suunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga; saate selle täpselt kirjutada järgmiselt:
Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).
Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Seega on vektorite “de” ja “e” laiendused kergesti kirjutatavad summana: , 
. Järgige joonist, et näha, kui selgelt töötab nendes olukordades vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi.
Vormi vaadeldav lagunemine 
mida mõnikord nimetatakse vektordekompositsiooniks ort süsteemis(st ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:
Või võrdusmärgiga:
Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja
See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme tähistusvõimalust.
Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber korraldada. Rangelt esikohal paneme kirja ühikvektorile vastava koordinaadi, rangelt teisel kohal paneme kirja ühikvektorile vastava koordinaadi. Tõepoolest, ja on kaks erinevat vektorit.
Leidsime lennuki koordinaadid. Vaatame nüüd vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on peaaegu kõik sama! See lisab veel ühe koordinaadi. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teha, seega piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides jätan lähtekoha kõrvale: 
Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalsel alusel: 
, kus on selle aluse vektori (arvu) koordinaadid.
Näide pildilt: 
. Vaatame, kuidas vektorireeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (vaarika nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab algsest lähtepunktist (vektori algusest) ja lõpeb lõpp-punktis (vektori lõpus).
Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad; proovige vektor mõnest teisest punktist mõttes kõrvale jätta ja saate aru, et selle lagunemine "jääb sellega".
Sarnane lame korpusega, lisaks kirjutamine 
laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .
Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, asetatakse nende asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt 
) – kirjutame ;
vektor (täpsemalt) – kirjuta üles;
vektor (täpsemalt 
) – kirjutame .
Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:
Võib-olla on see kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Termineid ja definitsioone võib olla palju, seega soovitan teekannudel see teave uuesti läbi lugeda ja sellest aru saada. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks omandamiseks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid hakatakse tulevikus sageli kasutama. Märgin, et saidil olevatest materjalidest ei piisa geomeetria teoreetilise testi või kollokviumi läbimiseks, kuna krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (ja ilma tõenditeta) - teadusliku esitusstiili kahjuks, kuid see on pluss teie arusaamisele teema. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks kummardage professor Atanasyani ees.
Ja liigume edasi praktilise osa juurde:
Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides
Väga soovitatav on õppida lahendama ülesandeid, mida käsitletakse täielikult automaatselt, ja valemeid meelde jätta, te ei pea seda isegi meelega meeles pidama, nad jätavad selle ise meelde =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. . Särgi ülemisi nööpe pole vaja kinnitada, paljud asjad on sulle kooliajast tuttavad.
Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid... näete ise.
Kuidas leida vektorit kahest punktist?
Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid: 
Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:
See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.
Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.
Näide 1
Arvestades kaks punkti lennuk ja . Otsige vektori koordinaadid
Lahendus: vastavalt sobivale valemile:
Teise võimalusena võib kasutada järgmist kirjet:
Esteetid otsustavad selle:
Isiklikult olen salvestuse esimese versiooniga harjunud.
Vastus:
Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist konstrueerida (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et selgitada mannekeenide jaoks mõnda punkti, ei ole ma laisk: 
Peate kindlasti aru saama erinevus punktikoordinaatide ja vektorkoordinaatide vahel:
Punktide koordinaadid– need on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik oskavad 5.-6.klassist punkte koordinaattasandile joonistada. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.
Vektori koordinaadid– see on antud juhul selle laiendamine alusel. Iga vektor on vaba, nii et soovi või vajaduse korral saame selle hõlpsalt mõnest teisest tasapinna punktist eemale nihutada. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei pea üldse telgi ega ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ehitama, vaid on vaja ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.
Punktide koordinaatide ja vektorite koordinaatide kirjed näivad olevat sarnased: , ja koordinaatide tähendus absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.
Daamid ja härrad, täidame oma käed:
Näide 2
a) Punkte ja antakse. Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse 
Ja . Leia vektorid ja .
c) Punkte ja antakse. Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid 
.
Võib-olla sellest piisab. Need on näited teie enda otsustamiseks, proovige neid mitte unarusse jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid pole vaja teha. Lahendused ja vastused tunni lõpus.
Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku viga “kaks pluss kaks võrdub null”. Vabandan kohe, kui kuskil vea tegin =)
Kuidas leida lõigu pikkust?
Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.
Kui on antud kaks tasandi punkti ja , siis saab segmendi pikkuse arvutada valemiga
Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab segmendi pikkuse arvutada valemi abil
Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem
Näide 3
Lahendus: vastavalt sobivale valemile:
Vastus: 
Selguse huvides teen joonise 
Joonelõik – see ei ole vektor, ja loomulikult ei saa te seda kuhugi liigutada. Lisaks, kui joonistate mõõtkavas: 1 ühik. = 1 cm (kaks märkmiku lahtrit), siis saab saadud vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes vahetult lõigu pikkust.
Jah, lahendus on lühike, kuid selles on veel paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:
Esiteks paneme vastusesse mõõtme: "ühikud". Seisundis pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu oleks matemaatiliselt õige lahendus üldine sõnastus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".
Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult vaadeldava ülesande jaoks:
pööra tähelepanu oluline tehnika – kordaja eemaldamine juure alt. Arvutuste tulemusena saame tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri eemaldamist juure alt (kui võimalik). Täpsemalt näeb protsess välja selline: 
. Vastuse jätmine niisama poleks muidugi viga – aga kindlasti oleks see puudujääk ja kaalukas argument õpetaja näägutamiseks.
Siin on muud levinud juhtumid: 
Sageli toodab juur üsna suure arvu, näiteks . Mida sellistel juhtudel teha? Kalkulaatori abil kontrollime, kas arv jagub 4-ga: . Jah, see oli täielikult jagatud, nii: 
. Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Seega: 
. Arvu viimane number on paaritu, seega kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt ei toimi. Proovime jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.
Järeldus: kui juure alla saame arvu, mida ei saa tervikuna välja võtta, siis proovime teguri juure alt eemaldada - kalkulaatori abil kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 jne.
Erinevate probleemide lahendamisel puututakse sageli kokku juurtega, püüdke alati juure alt välja tuua tegurid, et vältida madalama hinde saamist ja tarbetuid probleeme oma lahenduste viimistlemisel õpetaja kommentaaride põhjal.
Kordame ka juurte ruudustamist ja muid võimeid: 
Üldvormis astmetega opereerimise reeglid leiab koolialgebraõpikust, aga arvan, et toodud näidete põhjal on kõik või peaaegu kõik juba selge.
Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:
Näide 4
Punkte ja antakse. Leidke lõigu pikkus.
Lahendus ja vastus on tunni lõpus.
Kuidas leida vektori pikkust?
Kui on antud tasapinnaline vektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.
Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga 
.