Kuivas matemaatilises keeles on murdosa arv, mis esitatakse ühe osana. Murrud on inimelus laialt kasutusel: murdude abil märgime proportsioone kulinaarsetes retseptides, anname võistlustel kümnendkohti või arvutame nende abil allahindlusi kauplustes.
Murdude kujutamine
Ühe murdarvu kirjutamiseks on vähemalt kaks vormi: kümnendmurru kujul või hariliku murru kujul. Kümnendvormis näevad numbrid välja nagu 0,5; 0,25 või 1,375. Saame esitada mis tahes neist väärtustest tavalise murdena:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
Ja kui teisendame lihtsalt 0,5 ja 0,25 tavalisest murrust kümnendkohaks ja tagasi, siis arvu 1,375 puhul pole kõik ilmne. Kuidas kiiresti iga kümnendarvu murduks teisendada? On kolm lihtsat viisi.
Komast vabanemine
Lihtsaim algoritm hõlmab arvu korrutamist 10-ga, kuni koma lugejast kaob. See ümberkujundamine viiakse läbi kolmes etapis:
Samm 1: Alustuseks kirjutame kümnendarvu murdosana “arv/1”, st saame 0,5/1; 0,25/1 ja 1,375/1.
2. samm: Pärast seda korrutage uute murdude lugejat ja nimetajat, kuni lugejate hulgast kaob koma:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
3. samm: redutseerime saadud fraktsioonid seeditavasse vormi:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Arv 1,375 tuli kolm korda korrutada 10-ga, mis pole enam eriti mugav, kuid mida me peame tegema, kui peame teisendama arvu 0,000625? Sellises olukorras kasutame murdude teisendamiseks järgmist meetodit.
Komadest vabanemine veelgi lihtsam
Esimene meetod kirjeldab üksikasjalikult koma kümnendkoha "eemaldamise" algoritmi, kuid me saame seda protsessi lihtsustada. Jällegi järgime kolme sammu.
Samm 1: Loendame, mitu numbrit on pärast koma. Näiteks numbril 1,375 on kolm sellist numbrit ja numbril 0,000625 on kuus. Tähistame seda kogust tähega n.
2. samm: Nüüd peame lihtsalt esitama murde kujul C/10 n, kus C on murdarvu olulised numbrid (ilma nullideta, kui neid on) ja n on numbrite arv pärast koma. Nt:
- arvu 1,375 puhul C = 1375, n = 3, lõplik murd vastavalt valemile 1375/10 3 = 1375/1000;
- arvu 0,000625 puhul C = 625, n = 6, lõplik murd vastavalt valemile 625/10 6 = 625/1000000.
Põhimõtteliselt on 10n n nulliga 1, nii et te ei pea vaeva nägema kümne astmeni tõstmisega – lihtsalt 1 n nulliga. Pärast seda on soovitav nii nullirikast osa vähendada.
3. samm: Vähendame nullid ja saame lõpptulemuse:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625 / 1600 × 625 = 1/1600.
Murd 11/8 on vale murd, kuna selle lugeja on suurem kui nimetaja, mis tähendab, et saame eraldada kogu osa. Selles olukorras lahutame 11/8-st kogu osa 8/8-st ja saame ülejäänud osa 3/8, seetõttu näeb murdosa välja 1 ja 3/8.
Teisendamine kõrva järgi
Neile, kes oskavad kümnendkohti õigesti lugeda, on lihtsaim viis neid teisendada kuulmise järgi. Kui loete 0,025 mitte kui "null, null, kakskümmend viis", vaid kui "25 tuhandikku", siis pole teil probleeme kümnendkohtade murdudeks teisendamisega.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Seega võimaldab kümnendarvu õige lugemine selle kohe murduna üles kirjutada ja vajadusel vähendada.
Näited murdude kasutamisest igapäevaelus
Esmapilgul tavalisi murde igapäevaelus ega tööl praktiliselt ei kasutata ning raske on ette kujutada olukorda, kus väljaspool kooliülesandeid on vaja kümnendmurru tavamurruks teisendada. Vaatame paari näidet.
Töö
Niisiis, töötate kommipoes ja müüte halvaad kaalu järgi. Toote müümise hõlbustamiseks jagate halvaa kilogrammideks brikettideks, kuid vähesed ostjad on nõus ostma terve kilogrammi. Seetõttu peate maiuse iga kord tükkideks jagama. Ja kui järgmine ostja küsib sinult 0,4 kg halvaad, siis müüd talle vajaliku portsu probleemideta maha.
0,4 = 4/10 = 2/5
Elu
Näiteks peate tegema 12% lahuse, et värvida mudel soovitud tooni. Selleks on vaja värvi ja lahustit segada, aga kuidas seda õigesti teha? 12% on kümnendmurd 0,12. Teisendage arv harilikuks murruks ja saate:
0,12 = 12/100 = 3/25
Fraktsioonide tundmine aitab teil koostisosi õigesti segada ja saada soovitud värvi.
Järeldus
Murrud kasutatakse tavaliselt igapäevaelus, nii et kui teil on sageli vaja kümnendkohti murdarvudeks teisendada, võiksite kasutada veebikalkulaatorit, mis saab tulemuse koheselt vähendatud murdena.
Oleme juba öelnud, et on olemas murded tavaline Ja kümnend. Siinkohal oleme murdude kohta veidi õppinud. Saime teada, et on tavalisi ja valesid murde. Samuti saime teada, et harilikke murde saab vähendada, liita, lahutada, korrutada ja jagada. Ja saime ka teada, et on olemas nn segaarvud, mis koosnevad täisarvust ja murdosast.
Me pole harilikke murde veel täielikult uurinud. On palju nüansse ja üksikasju, millest tuleks rääkida, kuid täna hakkame uurima kümnend murrud, kuna harilikke ja kümnendmurde tuleb sageli kombineerida. See tähendab, et ülesannete lahendamisel tuleb kasutada mõlemat tüüpi murde.
See õppetund võib tunduda keeruline ja segane. See on täiesti normaalne. Seda tüüpi õppetunnid nõuavad, et neid uuritaks ja neid ei tohi pealiskaudselt üle vaadata.
Tunni sisuKoguste väljendamine murdosa kujul
Mõnikord on mugav näidata midagi murdosa kujul. Näiteks kümnendik detsimeetrist kirjutatakse järgmiselt:
See väljend tähendab, et üks detsimeeter jagati kümneks osaks ja neist kümnest osast võeti üks osa:
Nagu jooniselt näha, on üks kümnendik detsimeetrist üks sentimeeter.
Mõelge järgmisele näitele. Näidake murdosa kujul 6 cm ja veel 3 mm sentimeetrites.
Niisiis, peate väljendama 6 cm ja 3 mm sentimeetrites, kuid murdosa kujul. Meil on juba tervelt 6 sentimeetrit:
aga 3 millimeetrit on veel jäänud. Kuidas näidata neid 3 millimeetrit ja sentimeetrites? Murrud tulevad appi. 3 millimeetrit on sentimeetri kolmas osa. Ja sentimeetri kolmas osa on kirjutatud cm
Murd tähendab, et üks sentimeeter jagati kümneks võrdseks osaks ja neist kümnest osast võeti kolm osa (kolm kümnest).
Selle tulemusel on meil kuus tervet sentimeetrit ja kolm kümnendikku sentimeetrit:
Sel juhul näitab 6 täissentimeetrite arvu ja murdosa sentimeetrite arvu. Seda murdosa loetakse kui "kuus koma kolm sentimeetrit".
Murrud, mille nimetajas on arvud 10, 100, 1000, võib kirjutada ilma nimetajata. Kõigepealt kirjutage kogu osa ja seejärel murdosa lugeja. Täisarvuline osa eraldatakse murdosa lugejast komaga.
Näiteks kirjutame selle ilma nimetajata. Selleks paneme esmalt kirja kogu osa. Täisarvuline osa on arv 6. Kõigepealt kirjutame üles selle arvu:
Kogu osa salvestatakse. Kohe pärast kogu osa kirjutamist paneme koma:
Ja nüüd kirjutame üles murdosa lugeja. Segaarvus on murdosa lugejaks arv 3. Komakoha järele kirjutame kolm:
Kutsutakse suvalist numbrit, mis on sellel kujul esitatud kümnend.
Seetõttu saate kümnendmurru abil näidata sentimeetrites 6 cm ja veel 3 mm:
6,3 cm
See näeb välja selline:
Tegelikult on kümnendkohad samad, mis tavalised murrud ja segaarvud. Selliste murdude eripära on see, et nende murdosa nimetaja sisaldab numbreid 10, 100, 1000 või 10000.
Nagu segaarvul, on ka kümnendmurul täisarvuline osa ja murdosa. Näiteks segaarvus on täisarvu osa 6 ja murdosa on .
Kümnendmurrus 6.3 on täisarvu osaks arv 6 ja murdosa on murdosa lugeja, st arv 3.
Juhtub ka seda, et harilikud murrud, mille nimetajas on arvud 10, 100, 1000 on antud ilma täisarvuta. Näiteks murdosa on antud ilma täisosata. Sellise murdarvu kümnendkohana kirjutamiseks kirjutage esmalt 0, seejärel pange koma ja kirjutage murru lugeja. Murd ilma nimetajata kirjutatakse järgmiselt:
Loeb nagu "null punkt viis".
Segaarvude teisendamine kümnendkohtadeks
Kui kirjutame segaarvud ilma nimetajata, teisendame need seega kümnendmurdudeks. Murdude kümnendkohtadeks teisendamisel peate teadma mõnda asja, millest me nüüd räägime.
Pärast kogu osa üleskirjutamist on vaja lugeda murdosa nimetaja nullide arv, kuna murdosa nullide arv ja kümnendmurrus pärast koma olevate numbrite arv peab olema sama. Mida see tähendab? Kaaluge järgmist näidet:
Esiteks
Ja murdosa lugeja võiks kohe kirja panna ja kümnendmurd ongi valmis, aga kindlasti tuleb murdosa nimetaja nullide arv kokku lugeda.
Niisiis loendame nullide arvu segaarvu murdosas. Murdosa nimetaja on üks null. See tähendab, et kümnendmurrus on pärast koma üks koht ja see number on segaarvu murdosa lugeja, see tähendab arvu 2
Seega, kui teisendada kümnendmurruks, saab segaarvust 3,2.
See kümnendmurd kõlab järgmiselt:
"Kolm koma kaks"
“Kümnendikud”, sest arv 10 on segaarvu murdosas.
Näide 2. Segaarvu teisendamine kümnendkohaks.
Kirjutage kogu osa üles ja pange koma:
Ja murdosa lugeja võiks kohe kirja panna ja saada kümnendmurruks 5,3, aga reegel ütleb, et pärast koma peaks olema sama palju numbreid, kui segaarvu murdosa nimetajas on nulle. Ja me näeme, et murdosa nimetajal on kaks nulli. See tähendab, et meie kümnendmurrus peab pärast koma olema kaks numbrit, mitte üks.
Sellistel juhtudel tuleb murdosa lugejat veidi muuta: lisage lugeja ette null, st numbri 3 ette.
Nüüd saate selle segaarvu teisendada kümnendmurruks. Kirjutage kogu osa üles ja pange koma:
Ja kirjutage üles murdosa lugeja:
Kümnendmurd 5.03 loetakse järgmiselt:
"Viis koma kolm"
“Sajad”, kuna segaarvu murdosa nimetaja sisaldab arvu 100.
Näide 3. Segaarvu teisendamine kümnendkohaks.
Eelnevatest näidetest saime teada, et segaarvu edukaks teisendamiseks kümnendkohaks peab numbrite arv murru lugejas ja nullide arv murdosa nimetajas olema sama.
Enne segaarvu kümnendmurruks teisendamist tuleb selle murdosa veidi muuta, nimelt veendumaks, et numbrite arv murdosa lugejas ja nullide arv murdosa nimetajas on sama.
Kõigepealt vaatame murdosa nimetaja nullide arvu. Näeme, et seal on kolm nulli:
Meie ülesanne on korraldada murdosa lugejas kolm numbrit. Meil on juba üks number - see on number 2. Jääb lisada veel kaks numbrit. Need on kaks nulli. Lisage need enne numbrit 2. Selle tulemusel on nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv sama:
Nüüd saate hakata seda segaarvu kümnendmurruks teisendama. Kõigepealt kirjutame kogu osa üles ja paneme koma:
ja kirjutage kohe üles murdosa lugeja
3,002
Näeme, et numbrite arv pärast koma ja nullide arv segaarvu murdosa nimetajas on samad.
Kümnendmurd 3,002 loetakse järgmiselt:
"Kolm koma kaks tuhandikku"
"Tuhanded", kuna segaarvu murdosa nimetaja sisaldab arvu 1000.
Murdude teisendamine kümnendkohtadeks
Harilikke murde, mille nimetaja on 10, 100, 1000 või 10 000, saab samuti teisendada kümnendkohtadeks. Kuna harilikul murdel pole täisarvu, siis kirjuta esmalt 0, seejärel pane koma ja kirjuta üles murdosa lugeja.
Ka siin peab nullide arv nimetajas ja numbrite arv lugejas olema sama. Seetõttu peaksite olema ettevaatlik.
Näide 1.
Kogu osa on puudu, nii et kõigepealt kirjutame 0 ja paneme koma:
Nüüd vaatame nimetaja nullide arvu. Näeme, et on üks null. Ja lugejal on üks number. See tähendab, et saate kümnendmurdu ohutult jätkata, kirjutades pärast koma arvu 5
Saadud kümnendmurrus 0,5 on numbrite arv pärast koma ja nullide arv murdosa nimetajas sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.
Kümnendmurd 0,5 loetakse järgmiselt:
"Null punkt viis"
Näide 2. Teisenda murdosa kümnendkohaks.
Terve osa on puudu. Kõigepealt kirjutame 0 ja paneme koma:
Nüüd vaatame nimetaja nullide arvu. Näeme, et seal on kaks nulli. Ja lugejas on ainult üks number. Et numbrite ja nullide arv oleks sama, lisage lugejasse numbri 2 ette üks null. Seejärel võtab murd kuju . Nüüd on nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv sama. Nii et võite jätkata kümnendmurdu:
Saadud kümnendmurrus 0,02 on numbrite arv pärast koma ja nullide arv murdosa nimetajas sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.
Kümnendmurd 0,02 loetakse järgmiselt:
"Null punkt kaks."
Näide 3. Teisenda murdosa kümnendkohaks.
Kirjutage 0 ja pange koma:
Nüüd loeme nullide arvu murdosa nimetajas. Näeme, et nulli on viis ja lugejas on ainult üks number. Selleks, et nimetaja nullide arv ja lugejas olevate numbrite arv oleksid samad, peate enne numbrit 5 lisama lugejasse neli nulli:
Nüüd on nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv sama. Seega võime jätkata kümnendmurruga. Kirjuta koma järel oleva murru lugeja
Saadud kümnendmurrus 0,00005 on numbrite arv pärast koma ja nullide arv murdosa nimetajas sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.
Kümnendmurd 0,00005 loetakse järgmiselt:
"Null koma viissada tuhandikku."
Sobimatute murdude teisendamine kümnendkohtadeks
Vale murd on murd, mille lugeja on nimetajast suurem. On valesid murde, mille nimetaja sisaldab numbreid 10, 100, 1000 või 10000. Selliseid murde saab teisendada kümnendkohtadeks. Kuid enne kümnendmurruks teisendamist tuleb sellised murrud eraldada kogu osaks.
Näide 1.
Murd on vale murd. Sellise murru kümnendmurruks teisendamiseks peate esmalt valima selle terve osa. Tuletagem meelde, kuidas eraldada kogu valede murdude osa. Kui olete unustanud, soovitame teil selle juurde tagasi pöörduda ja seda uurida.
Niisiis, tõstkem esile kogu osa vales murdes. Tuletage meelde, et murd tähendab jagamist - antud juhul arvu 112 jagamist arvuga 10
Vaatame seda pilti ja paneme kokku uue seganumbri, nagu laste ehituskomplekt. Arv 11 on täisarvuline osa, number 2 on murdosa lugeja ja number 10 on murdosa nimetaja.
Saime segase numbri. Teisendame selle kümnendmurruks. Ja me juba teame, kuidas selliseid numbreid kümnendmurdudeks teisendada. Kõigepealt kirjutage kogu osa üles ja pange koma:
Nüüd loeme nullide arvu murdosa nimetajas. Näeme, et on üks null. Ja murdosa lugejal on üks number. See tähendab, et nullide arv murdosa nimetajas ja numbrite arv murdosa lugejas on samad. See annab meile võimaluse kohe pärast koma üles kirjutada murdosa lugeja:
Saadud kümnendmurrus 11.2 on kümnendkoha järel olevate numbrite arv ja murdosa nimetaja nullide arv sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.
See tähendab, et kümnendkohaks teisendatuna muutub vale murd 11,2.
Kümnendmurd 11.2 loetakse järgmiselt:
"Üksteist punkti kaks."
Näide 2. Teisenda vale murd kümnendkohaks.
See on vale murd, kuna lugeja on nimetajast suurem. Kuid selle saab teisendada kümnendmurruks, kuna nimetaja sisaldab arvu 100.
Kõigepealt valime selle murru kogu osa. Selleks jagage 450 nurgaga 100-ga:
Kogume uue seganumbri - saame . Ja me juba teame, kuidas seganumbreid kümnendmurdudeks teisendada.
Kirjutage kogu osa üles ja pange koma:
Nüüd loeme nullide arvu murdosa nimetajas ja numbrite arvu murdosa lugejas. Näeme, et nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv on samad. See annab meile võimaluse kohe pärast koma üles kirjutada murdosa lugeja:
Saadud kümnendmurrus 4,50 on pärast koma olevate numbrite arv ja murdosa nimetaja nullide arv sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.
See tähendab, et vale murd on kümnendkohaks teisendatuna 4,50.
Kui ülesandeid lahendades on kümnendmurru lõpus nullid, võib need kõrvale jätta. Jätame oma vastuses ka nulli maha. Siis saame 4,5
See on üks huvitavamaid asju kümnendkohtade juures. See seisneb selles, et murdosa lõpus olevad nullid ei anna sellele murdarvule mingit kaalu. Teisisõnu, kümnendkohad 4,50 ja 4,5 on võrdsed. Paneme nende vahele võrdusmärgi:
4,50 = 4,5
Tekib küsimus: miks see nii juhtub? 4,50 ja 4,5 näevad ju välja nagu erinevad murded. Kogu saladus peitub murdude põhiomaduses, mida me varem uurisime. Proovime tõestada, miks kümnendmurrud 4,50 ja 4,5 on võrdsed, kuid pärast järgmise teema uurimist, mida nimetatakse "kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks".
Kümnendarvu teisendamine segaarvuks
Iga kümnendmurru saab teisendada tagasi segaarvuks. Selleks piisab kümnendmurdude lugemise oskusest. Näiteks teisendame 6.3 segaarvuks. 6,3 on kuus koma kolm. Kõigepealt kirjutame üles kuus täisarvu:
ja kolme kümnendiku kõrval:
Näide 2. Teisenda kümnendarvu 3,002 segaarvuks
3,002 on kolm tervet ja kaks tuhandikku. Kõigepealt kirjutame üles kolm täisarvu
ja selle kõrvale kirjutame kaks tuhandikku:
Näide 3. Teisenda kümnendarvu 4,50 segaarvuks
4.50 on neli koma viiskümmend. Kirjutage üles neli täisarvu
ja järgmised viiskümmend sajandikku:
Muide, meenutagem viimast näidet eelmisest teemast. Ütlesime, et kümnendkohad 4,50 ja 4,5 on võrdsed. Ütlesime ka, et nulli võib ära visata. Proovime tõestada, et kümnendkohad 4,50 ja 4,5 on võrdsed. Selleks teisendame mõlemad kümnendmurrud segaarvudeks.
Segaarvuks teisendamisel saab kümnendarvust 4,50 ja kümnendarvust 4,5
Meil on kaks seganumbrit ja . Teisendame need segaarvud valedeks murdudeks:
Nüüd on meil kaks murdu ja . On aeg meeles pidada murru põhiomadust, mis ütleb, et kui korrutada (või jagada) murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga, siis murdu väärtus ei muutu.
Jagame esimese murru 10-ga
Saime ja see on teine murd. See tähendab, et mõlemad on üksteisega võrdsed ja võrdsed sama väärtusega:
Proovige kalkulaatoriga jagada kõigepealt 450 100-ga ja seejärel 45 10-ga. See saab olema naljakas asi.
Kümnendmurru teisendamine murruks
Iga kümnendmurru saab teisendada tagasi murdeks. Selleks piisab jällegi kümnendmurdude lugemise oskusest. Näiteks teisendame 0,3 harilikuks murruks. 0,3 on null, punkt kolm. Kõigepealt kirjutame üles null täisarvu:
ja kolme kümnendiku kõrval 0. Nulli traditsiooniliselt üles ei kirjutata, seega ei saa lõplikuks vastuseks 0, vaid lihtsalt .
Näide 2. Teisenda kümnendmurd 0,02 murruks.
0,02 on null punkt kaks. Me ei kirjuta nulli, seega kirjutame kohe kaks sajandikku
Näide 3. Teisendage 0,00005 murdarvuks
0,00005 on null punkt viis. Me ei kirjuta nulli, seega kirjutame kohe viissada tuhandikku
Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue VKontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta märguandeid saama
Murru teisendamine kümnendkohaks
Oletame, et tahame teisendada murdarvu 11/4 kümnendkohaks. Lihtsaim viis seda teha on järgmine:
|
2∙2∙5∙5 |
See meil õnnestus, sest antud juhul koosneb nimetaja dekomponeerimine algteguriteks ainult kahest. Täiendasime seda laiendust veel kahe viiega, kasutasime ära asjaolu, et 10 = 2∙5, ja saime kümnendmurru. Selline protseduur on ilmselgelt võimalik siis ja ainult siis, kui nimetaja dekomponeerimine algteguriteks ei sisalda midagi peale kahe ja viite. Kui nimetaja laiendis esineb mõni muu algarv, ei saa sellist murdarvu kümnendkohaks teisendada. Sellegipoolest proovime seda teha, kuid ainult erineval viisil, millega tutvume sama murru 11/4 näitel. Jagame 11 nurga abil 4-ga:
Vastuse real saime kogu osa (2) ja meil on ka ülejäänud osa (3). Varem lõpetasime siin jagamise, aga nüüd teame, et saame dividendist (11) paremale lisada koma ja mitu nulli, mida nüüd mõttes ka teeme. Pärast koma tuleb kümnendik koht. Selle numbri dividendi juures olev null lisatakse saadud jäägile (3):
Nüüd saab jagamine jätkuda, nagu poleks midagi juhtunud. Peate lihtsalt meeles pidama, et vastusereal tuleb kogu osa järele koma panna:
Nüüd lisame jäägile (2) nulli, mis on dividendi sajandiku kohal, ja lõpetame jagamise:
Selle tulemusena saame, nagu varem,
Proovime nüüd täpselt samamoodi välja arvutada, millega on võrdne murd 27/11:
Vastuse reale saime numbri 2.45 ja ülejäänud reale numbri 5. Aga me oleme sellise jäägiga juba varem kokku puutunud. Seetõttu võime kohe öelda, et kui jätkame jagamist “nurgaga”, siis on vastusereal järgmine number 4, siis tuleb number 5, siis jälle 4 ja uuesti 5 jne, lõpmatuseni. :
27 / 11 = 2,454545454545...
Saime nö perioodiline kümnendmurd punktiga 45. Selliste murdude puhul kasutatakse kompaktsemat tähistust, kus punkt kirjutatakse ainult üks kord, kuid see on sulgudes:
2,454545454545... = 2,(45).
Üldiselt võib öelda, et kui jagame ühe naturaalarvu teisega “nurgaga”, kirjutades vastuse kümnendmurru kujul, siis on võimalik ainult kaks tulemust: (1) kas varem või hiljem saame ülejäänud reale nulli. , (2) või tuleb sinna selline jääk, millega oleme juba varem kokku puutunud (võimalike jääkide hulk on piiratud, kuna kõik need on ilmselt jagajast väiksemad). Esimesel juhul on jagamise tulemuseks lõplik kümnendmurd, teisel juhul perioodiline.
Teisenda perioodiline kümnendmurruks
Olgu meile antud positiivne perioodiline kümnendmurd null täisarvuga, näiteks:
a = 0,2(45).
Kuidas ma saan selle murdosa tagasi harilikuks murdeks teisendada?
Korrutame selle 10-ga k, Kus k on numbrite arv kümnendkoha ja perioodi algust tähistava algussulu vahel. Sel juhul k= 1 ja 10 k = 10:
a∙ 10 k = 2,(45).
Korrutage tulemus 10-ga n, Kus n- perioodi "pikkus", see tähendab sulgudes olevate numbrite arv. Sel juhul n= 2 ja 10 n = 100:
a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).
Nüüd arvutame erinevuse
a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Kuna minuendi ja alajaotuse murdosad on samad, siis on erinevuse murdosa võrdne nulliga ja saame lihtsa võrrandi a:
a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.
See võrrand lahendatakse järgmiste teisenduste abil:
a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Me meelega ei vii arvutusi veel lõpule, et oleks selgelt näha, kuidas selle tulemuse saab kohe kirja panna, jättes vahele vahepealsed argumendid. Minuend lugejas (245) on arvu murdosa
a = 0,2(45)
kui kustutate tema kirjes olevad sulud. Lugeja (2) alamjaotus on arvu mitteperioodiline osa A, mis asub koma ja avasulu vahel. Nimetaja (10) esimene tegur on ühik, millele on määratud nii palju nulle, kui palju on mitteperioodilises osas numbreid ( k). Nimetaja (99) teine tegur on sama palju üheksat kui on numbrit perioodis ( n).
Nüüd saab meie arvutused lõpule viia:
Siin sisaldab lugeja perioodi ja nimetaja sama palju üheksat, kui on perioodis numbreid. Pärast 9 võrra vähendamist on saadud murdosa võrdne
Samamoodi,
Näib, et kümnendmurru teisendamine tavaliseks murruks on elementaarne teema, kuid paljud õpilased ei saa sellest aru! Seetõttu vaatleme täna üksikasjalikult mitut algoritmi korraga, mille abil saate aru mis tahes murdudest vaid sekundiga.
Lubage mul teile meelde tuletada, et sama murru kirjutamiseks on vähemalt kaks vormi: harilik ja kümnend. Kümnendmurrud on kõikvõimalikud konstruktsioonid kujul 0,75; 1,33; ja isegi −7,41. Siin on näited tavalistest murdudest, mis väljendavad samu numbreid:
Nüüd mõtleme välja: kuidas liikuda kümnendmärgistuselt tavalisele tähistusele? Ja mis kõige tähtsam: kuidas seda võimalikult kiiresti teha?
Põhialgoritm
Tegelikult on vähemalt kaks algoritmi. Ja me vaatame nüüd mõlemat. Alustame esimesest – kõige lihtsamast ja arusaadavamast.
Kümnendarvu teisendamiseks murdarvuks peate järgima kolme sammu:
Oluline märkus negatiivsete arvude kohta. Kui algses näites on kümnendmurru ees miinusmärk, siis väljundis peaks hariliku murru ees olema ka miinusmärk. Siin on veel mõned näited:
Näiteid üleminekust murdude kümnendmärkimiselt tavalisele Tahaksin pöörata erilist tähelepanu viimasele näitele. Nagu näete, sisaldab murd 0,0025 pärast koma palju nulle. Selle tõttu tuleb lugeja ja nimetaja koguni neli korda korrutada 10. Kas sel juhul on võimalik algoritmi kuidagi lihtsustada?
Muidugi sa suudad. Ja nüüd vaatame alternatiivset algoritmi - seda on veidi keerulisem mõista, kuid pärast väikest harjutamist töötab see palju kiiremini kui tavaline.
Kiirem viis
Sellel algoritmil on samuti 3 sammu. Kümnendarvust murdosa saamiseks tehke järgmist.
- Loendage, mitu numbrit on pärast koma. Näiteks murdarvul 1,75 on kaks sellist numbrit ja 0,0025-l neli. Tähistame seda kogust tähega $n$.
- Kirjutage algne arv ümber murduna kujul $\frac(a)(((10)^(n)))$, kus $a$ on kõik algse murru numbrid (ilma "alguse" nullideta vasakule, kui see on olemas) ja $n$ on sama arv numbreid pärast koma, mille arvutasime esimeses etapis. Teisisõnu, peate jagama algse murru numbrid ühega, millele järgneb $n$ null.
- Võimalusel vähendage saadud fraktsiooni.
See on kõik! Esmapilgul on see skeem keerulisem kui eelmine. Kuid tegelikult on see nii lihtsam kui ka kiirem. Otsustage ise:
Nagu näete, on murdarvus 0,64 pärast koma kaks numbrit - 6 ja 4. Seega $n=2$. Kui eemaldame vasakult koma ja nullid (antud juhul vaid ühe nulli), saame arvu 64. Liigume edasi teise sammu juurde: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Seetõttu on nimetaja täpselt sada. No siis jääb üle ainult lugejat ja nimetajat vähendada. :)
Veel üks näide:
Siin on kõik veidi keerulisem. Esiteks on pärast koma juba 3 numbrit, st. $n=3$, seega tuleb jagada $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Teiseks, kui eemaldada koma kümnendmärgistusest, saame järgmise: 0,004 → 0004. Pidage meeles, et vasakult nullid tuleb eemaldada, nii et tegelikult on meil arv 4. Siis on kõik lihtne: jagage, vähendage ja saage vastus.
Lõpuks viimane näide:
Selle murdosa eripära on terve osa olemasolu. Seetõttu on meie väljundiks vale murdosa 47/25. Muidugi võite proovida jagada 47 jäägiga 25-ga ja seega kogu osa uuesti eraldada. Aga miks teha oma elu keeruliseks, kui seda saab teha ümberkujundamise etapis? Noh, mõtleme välja.
Mida teha kogu osaga
Tegelikult on kõik väga lihtne: kui tahame saada õiget murdu, siis peame teisenduse käigus sellest kogu osa eemaldama ja siis, kui saame tulemuse, lisame selle uuesti paremale enne murrujoont. .
Näiteks kaaluge sama numbrit: 1,88. Hindame ühega (terve osa) ja vaatame murdosa 0,88. Seda saab hõlpsasti teisendada:
Seejärel meenutame "kadunud" üksust ja lisame selle esiküljele:
\[\frac(22)(25)\kuni 1\frac(22)(25)\]
See on kõik! Vastus osutus samaks, mis eelmisel korral terve osa välja valides. Paar näidet veel:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\kuni 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\kuni 13\frac(4)(5). \\\end(joonda)\]
See on matemaatika ilu: olenemata sellest, mis suunas sa lähed, kui kõik arvutused on õigesti tehtud, on vastus alati sama. :)
Kokkuvõtteks tahaksin kaaluda veel ühte tehnikat, mis aitab paljusid.
Teisendused "kõrva järgi"
Mõelgem, mis on koma isegi. Täpsemalt, kuidas me seda loeme. Näiteks arv 0,64 – me loeme seda "null koma 64 sajandikku", eks? Noh, või lihtsalt "64 sajandikku". Võtmesõnaks on siinkohal “sajandikud”, st. number 100.
Aga 0,004? See on "null koma 4 tuhandikku" või lihtsalt "neli tuhandikku". Nii või teisiti on märksõnaks “tuhanded”, s.t. 1000.
Mis on siis suur asi? Ja tõsiasi on see, et just need numbrid "hüppavad" lõpuks nimetajates algoritmi teises etapis. Need. 0,004 on "neli tuhandikku" või "4 jagatud 1000-ga":
Proovige ise harjutada – see on väga lihtne. Peaasi on algset murdu õigesti lugeda. Näiteks 2,5 on "2 tervet, 5 kümnendikku", nii et
Ja mingi 1,125 on "1 tervik, 125 tuhandikku", nii et
Viimases näites vaidleb keegi muidugi vastu, et igale õpilasele ei ole ilmne, et 1000 jagub 125-ga. Kuid siin tuleb meeles pidada, et 1000 = 10 3 ja 10 = 2 ∙ 5, seega
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(joonda)\]
Seega saab iga kümne astme lagundada ainult teguriteks 2 ja 5 - just neid tegureid tuleb lugejast otsida, et lõpuks kõik väheneks.
Sellega õppetund lõpeb. Liigume edasi keerukama pöördoperatsiooni juurde - vt "
Murd on arv, mis koosneb ühest või mitmest ühikust. Matemaatikas on kolme tüüpi murde: tava-, sega- ja kümnendmurrud.
Harilikud murded
Tavaline murd on kirjutatud suhtena, milles lugeja kajastab arvust võetud osade arvu ja nimetaja näitab, mitmeks osaks ühik jaguneb. Kui lugeja on nimetajast väiksem, on meil korralik murd, näiteks: ½, 3/5, 8/9.
Kui lugeja on nimetajaga võrdne või sellest suurem, siis on tegemist valemurruga. Näiteks: 5/5, 9/4, 5/2 Lugeja jagamisel võib saada lõpliku arvu. Näiteks 40/8 = 5. Seetõttu võib iga täisarvu kirjutada tavalise valemurruna või selliste murdude jaana. Vaatleme sama arvu kirjeid mitme erineva kujul.
- Segafraktsioonid
Üldiselt võib segafraktsiooni esitada järgmise valemiga: 
Seega kirjutatakse segamurd täisarvuks ja tavaliseks omamurruks ning sellise tähise all mõistetakse terviku ja selle murdosa summat.
- Kümnendkohad
Kümnend on eritüüpi murd, milles nimetajat saab esitada astmena 10. On lõpmatuid ja lõplikke kümnendkohti. Seda tüüpi murdude kirjutamisel märgitakse esmalt kogu osa, seejärel märgitakse murdosa läbi eraldaja (punkt või koma).
Murdosa tähistus määratakse alati selle mõõtme järgi. Kümnendmärk näeb välja selline: 
Erinevat tüüpi murdude vahelise teisendamise reeglid
- Segamurru teisendamine harilikuks murruks
Segamurru saab teisendada ainult valeks murdeks. Tõlkimiseks on vaja viia kogu osa murdosaga samasse nimetajasse. Üldiselt näeb see välja selline: 
Vaatame selle reegli kasutamist konkreetsete näidete abil:
- Hariliku murru teisendamine segamurruks
Vale murdosa saab lihtsa jagamise teel teisendada segamurruks, mille tulemuseks on terve osa ja jääk (murdosa).
Näiteks teisendame murdosa 439/31 segatuks: 
- Murdude teisendamine
Mõnel juhul on murdosa kümnendkohaks teisendamine üsna lihtne. Sel juhul rakendatakse murdosa põhiomadust: lugeja ja nimetaja korrutatakse sama arvuga, et viia jagaja astmeni 10.
Näiteks:
Mõnel juhul peate võib-olla leidma jagatise nurkadega jagamise või kalkulaatori abil. Ja mõnda murdu ei saa taandada viimase kümnendkohani. Näiteks murdosa 1/3 jagamisel ei anna kunagi lõpptulemust.