1) Funktsiooni domeen ja funktsioonide vahemik.
Funktsiooni domeen on kõigi kehtivate kehtivate argumentide väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud. Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y, mille funktsioon aktsepteerib.
Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.
2) Funktsiooni nullid.
Funktsioon null on argumendi väärtus, mille juures funktsiooni väärtus võrdub nulliga.
3) Funktsiooni konstantse märgi intervallid.
Funktsiooni konstantse märgi intervallid on argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.
4) Funktsiooni monotoonsus.
Kasvav funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.
Vähenev funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.
5) Paaris (paaritu) funktsioon.
Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.
Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.
6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.
Funktsiooni nimetatakse piirituks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist numbrit pole, on funktsioon piiramatu.
7) Funktsiooni perioodilisus.
Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et mis tahes funktsiooni definitsioonipiirkonna x korral kehtib järgmine: f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).
19. Põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud. Funktsioonide rakendamine majanduses.
Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused ja graafikud
1. Lineaarne funktsioon.
Lineaarne funktsioon nimetatakse funktsiooniks kujul , kus x on muutuja, a ja b on reaalarvud.
Number A mida nimetatakse sirge kaldeks, on see võrdne selle sirge kaldenurga puutujaga x-telje positiivse suuna suhtes. Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. See on määratletud kahe punktiga.
Lineaarse funktsiooni omadused
1. Definitsioonipiirkond – kõigi reaalarvude hulk: D(y)=R
2. Väärtuste hulk on kõigi reaalarvude hulk: E(y)=R
3. Funktsioon võtab nullväärtuse, kui või.
4. Funktsioon suureneb (väheneb) kogu määratluspiirkonna ulatuses.
5. Lineaarfunktsioon on pidev kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, diferentseeruv ja .
2. Ruutfunktsioon.
Vormi funktsiooni, kus x on muutuja, koefitsiendid a, b, c on reaalarvud, nimetatakse ruutkeskne
Astumusfunktsiooni kaalumise hõlbustamiseks käsitleme nelja erinevat juhtumit: loomuliku astendajaga astmefunktsiooni, täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni ja irratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni.
Naturaalastendajaga võimsusfunktsioon
Kõigepealt tutvustame loomuliku astendajaga kraadi mõistet.
Definitsioon 1
Naturaalse astendajaga $n$ reaalarvu $a$ võimsus on arv, mis võrdub $n$ tegurite korrutisega, millest igaüks on võrdne arvuga $a$.
1. pilt.
$a$ on kraadi alus.
$n$ on eksponent.
Vaatleme nüüd loomuliku astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.
2. definitsioon
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ nimetatakse naturaalastendajaga astmefunktsiooniks.
Täiendava mugavuse huvides käsitleme eraldi astmefunktsiooni paarisastmega $f\left(x\right)=x^(2n)$ ja paaritu astendajaga astmefunktsiooni $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.
Naturaalse paarisastendajaga astmefunktsiooni omadused
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- funktsioon on paaris.
Väärtuspiirkond -- $\
Funktsioon väheneb kui $x\in (-\infty ,0)$ ja suureneb kui $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $
Funktsioon on kumer kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Käitumine domeeni otstes:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Graafik (joonis 2).
Joonis 2. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n)$ graafik
Naturaalse paaritu astendajaga astmefunktsiooni omadused
Määratluspiirkond on kõik reaalarvud.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funktsioon on paaritu.
$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Vahemik on kõik reaalarvud.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ jaoks.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funktsioon on $x\in (-\infty ,0)$ jaoks nõgus ja $x\in (0,+\infty)$ jaoks kumer.
Graafik (joonis 3).
Joonis 3. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ graafik
Täisarvu astendajaga võimsusfunktsioon
Kõigepealt tutvustame täisarvulise astendajaga kraadi mõistet.
3. määratlus
Täisarvulise eksponendiga $n$ reaalarvu $a$ võimsus määratakse järgmise valemiga:
Joonis 4.
Vaatleme nüüd täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.
4. määratlus
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nimetatakse täisarvulise astendajaga astmefunktsiooniks.
Kui aste on suurem kui null, siis jõuame naturaalastendajaga astmefunktsiooni juhtumini. Oleme seda juba eespool arutanud. $n=0$ korral saame lineaarfunktsiooni $y=1$. Selle kaalumise jätame lugeja hooleks. Jääb üle arvestada negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadusi
Negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadused
Määratluse domeen on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Kui astendaja on paaris, on funktsioon paaris, kui paaritu, siis on funktsioon paaritu.
$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Ulatus:
Kui astendaja on paaris, siis $(0,+\infty)$; kui see on paaritu, siis $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Paaritu astendaja puhul väheneb funktsioon väärtusega $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Kui astendaja on paaris, väheneb funktsioon $x\in (0,+\infty)$. ja suureneb kui $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ kogu määratluspiirkonna ulatuses
Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik Näidismaterjal Tund-loeng Funktsiooni mõiste. Funktsiooni omadused. Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik. Hinne 10 Kõik õigused kaitstud. Autoriõigus koos autoriõigusega
Tunni käik: kordamine. Funktsioon. Funktsioonide omadused. Uue materjali õppimine. 1. Võimsusfunktsiooni definitsioon. Võimsusfunktsiooni definitsioon. 2. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud.. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud. Õpitud materjali koondamine. Sõnaline loendamine. Sõnaline loendamine. Tunni kokkuvõte. Kodutöö.Kodutöö.
Funktsiooni definitsioonipiirkond ja väärtuste valdkond Kõik sõltumatu muutuja väärtused moodustavad funktsiooni x y=f(x) definitsioonipiirkonna. Funktsiooni määratluspiirkond Funktsiooni väärtuste valdkond Kõik väärtused, mille sõltuv muutuja moodustab funktsiooni Funktsioon väärtuste domeeni. Funktsiooni omadused
Funktsiooni graafik Olgu antud funktsioon, kus xY y x,75 3 0,6 4 0,5 Funktsiooni graafik on kõigi koordinaattasandi punktide hulk, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega, ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega. Funktsioon. Funktsiooni omadused
Y x Funktsiooni 4 definitsioonipiirkond ja väärtuste vahemik y=f(x) Funktsiooni määratluspiirkond: Funktsiooni väärtuste valdkond: Funktsioon. Funktsiooni omadused
Paarisfunktsioon y x y=f(x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline operatsioonivõimendi telje suhtes Funktsiooni y=f(x) kutsutakse välja ka siis, kui f(-x) = f(x) mis tahes x funktsiooni Funktsioon definitsioonipiirkonnast. Funktsiooni omadused
Paaritu funktsioon y x y=f(x) Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline lähtepunkti O(0;0) suhtes. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks, kui f(-x) = -f(x) mis tahes x jaoks piirkonna funktsiooni definitsioonidest Funktsioon. Funktsiooni omadused
Astumusfunktsiooni definitsioon Funktsiooni, kus p on antud reaalarv, nimetatakse astmefunktsiooniks. p y=x p P=x y 0 Tunni edenemine
Astumusfunktsioon x y 1. Kuju, kus n on naturaalarv, astmefunktsioonide definitsioonipiirkond ja väärtuste vahemik on kõik reaalarvud. 2. Need funktsioonid on veidrad. Nende graafik on päritolu suhtes sümmeetriline. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud
Ratsionaalse positiivse astendajaga astmefunktsioonid. Määratluspiirkonnaks on kõik positiivsed arvud ja arv 0. Sellise astendajaga funktsioonide väärtuste vahemik on samuti kõik positiivsed arvud ja arv 0. Need funktsioonid ei ole paaris ega paaritud . y x Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud
Ratsionaalse negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioon. Selliste funktsioonide määratluspiirkond ja väärtuste vahemik on kõik positiivsed arvud. Funktsioonid pole paaris ega paaritud. Sellised funktsioonid vähenevad kogu nende määratluspiirkonnas. y x Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud Tunni käik
Tund ja ettekanne teemal: "Toitefunktsioonid. Omadused. Graafikud"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 11. klassile
Interaktiivne käsiraamat 9.–11. klassile "Trigonomeetria"
Interaktiivne käsiraamat 10.–11. klassile "Logaritmid"
Võimsusfunktsioonid, määratluspiirkond.
Poisid, viimases tunnis õppisime, kuidas töötada arvudega ratsionaalsete astendajatega. Selles õppetükis vaatleme astmefunktsioone ja piirdume juhtumiga, kus astendaja on ratsionaalne.Vaatleme funktsioone kujul: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Vaatleme esmalt funktsioone, mille eksponent $\frac(m)(n)>1$.
Olgu meile antud konkreetne funktsioon $y=x^2*5$.
Vastavalt definitsioonile, mille me andsime viimases õppetükis: kui $x≥0$, siis on meie funktsiooni määratluspiirkond kiir $(x)$. Kujutame skemaatiliselt meie funktsiooni graafikut.
Funktsiooni $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 omadused 2. See ei ole paaris ega paaritu.
3. Suureneb $$ võrra,
b) $(2,10)$,
c) kiirel $$.
Lahendus.
Poisid, kas mäletate, kuidas 10. klassis leidsime segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse?
See on õige, me kasutasime tuletist. Lahendame oma näite ja kordame algoritmi väikseima ja suurima väärtuse leidmiseks.
1. Leia antud funktsiooni tuletis:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Tuletis eksisteerib kogu algfunktsiooni definitsioonipiirkonna ulatuses, siis kriitilisi punkte pole. Leiame statsionaarsed punktid:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
64 $ x ^ 3 = x ^ 6 $.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ja $x_2=\sqrt(64)=4$.
Antud segment sisaldab ainult ühte lahendust $x_2=4$.
Koostame oma funktsiooni väärtuste tabeli segmendi otstes ja äärmuspunktis:
Vastus: $y_(nimi)=-862.65$ at $x=9$; $y_(max.)=38,4$ at $x=4$.
Näide. Lahendage võrrand: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Lahendus. Funktsiooni $y=x^(\frac(4)(3))$ graafik suureneb ja funktsiooni $y=24-x$ graafik väheneb. Poisid, teie ja mina teame: kui üks funktsioon suureneb ja teine väheneb, ristuvad need ainult ühes punktis, see tähendab, et meil on ainult üks lahendus.
Märge:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
See tähendab, et $x=8$ saime õige võrrandi $16=16$, see on meie võrrandi lahendus.
Vastus: $x=8$.
Näide.
Joonistage funktsioon: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Lahendus.
Meie funktsiooni graafik saadakse funktsiooni $y=x^(\frac(3)(4))$ graafikult, nihutades seda 3 ühikut paremale ja 2 ühikut üles. 
Näide. Kirjutage võrrand sirge $y=x^(-\frac(4)(5))$ puutuja kohta punktis $x=1$.
Lahendus. Puutuja võrrand määratakse meile tuntud valemiga:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Meie puhul $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Leiame tuletise:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Arvutame:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Leiame puutuja võrrandi:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Vastus: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Iseseisvalt lahendatavad probleemid
1. Leidke segmendis funktsiooni $y=x^\frac(4)(3)$ suurim ja väikseim väärtus:a) $$.
b) $(4.50)$.
c) kiirel $$.
3. Lahendage võrrand: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Koostage funktsiooni graafik: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Loo võrrand sirge $y=x^(-\frac(3)(7))$ puutuja jaoks punktis $x=1$.
Annab eksponentsiaalfunktsiooni viiteandmeid – põhiomadused, graafikud ja valemid. Käsitletakse järgmisi teemasid: definitsioonipiirkond, väärtuste hulk, monotoonsus, pöördfunktsioon, tuletis, integraal, astmeridade laiendamine ja esitamine kompleksarvude abil.
Definitsioon
Eksponentfunktsioon on n arvu korrutis, mis võrdub a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
reaalarvude hulka x:
y (x) = ax.
Siin a on fikseeritud reaalarv, mida nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooni alusel.
Nimetatakse ka eksponentsiaalfunktsiooni alusega a eksponent alusele a.
Üldistamine toimub järgmiselt.
Loodusliku x = jaoks 1, 2, 3,...
, on eksponentsiaalfunktsioon x teguri korrutis:
.
Lisaks on sellel omadused (1,5-8) (), mis tulenevad arvude korrutamise reeglitest. Täisarvude null- ja negatiivsete väärtuste korral määratakse eksponentsiaalne funktsioon valemite (1.9-10) abil. Murdväärtuste x = m/n ratsionaalarvude korral määratakse see valemiga (1.11). Reaalse jaoks on eksponentsiaalne funktsioon määratletud kui jada piir:
,
kus on suvaline ratsionaalarvude jada, mis läheneb x-le: .
Selle definitsiooniga on eksponentsiaalfunktsioon defineeritud kõigi jaoks ja vastab omadustele (1,5–8), nagu loomuliku x puhul.
Eksponentfunktsiooni definitsiooni ja selle omaduste tõestuse range matemaatiline sõnastus on toodud leheküljel “Eksponentfunktsiooni omaduste definitsioon ja tõestus”.
Eksponentfunktsiooni omadused
Eksponentfunktsioonil y = a x on reaalarvude hulgal järgmised omadused:
(1.1)
määratletud ja pidev, kõigile ;
(1.2)
jaoks ≠ 1
sellel on palju tähendusi;
(1.3)
rangelt suureneb , rangelt väheneb juures ,
on konstantne juures ;
(1.4)
kell ;
kell ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Muud kasulikud valemid.
.
Valem erineva eksponendibaasiga eksponentsiaalfunktsiooniks teisendamiseks:
Kui b = e, saame eksponentsiaalfunktsiooni avaldise eksponentsiaali kaudu:
Privaatsed väärtused
, , , , .
Joonisel on eksponentsiaalfunktsiooni graafikud
y (x) = ax
nelja väärtuse jaoks kraadialused: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
ja a = 1/8
. On näha, et > jaoks 1
eksponentsiaalfunktsioon suureneb monotoonselt. Mida suurem on astme a alus, seda tugevam on kasv. Kell 0
< a < 1
eksponentsiaalfunktsioon väheneb monotoonselt. Mida väiksem on eksponent a, seda tugevam on vähenemine.
Tõusev, laskuv
Eksponentfunktsioon on rangelt monotoonne ja seetõttu pole sellel äärmusi. Selle peamised omadused on toodud tabelis.
| y = a x , a > 1 | y = kirves, 0 < a < 1 | |
| Domeen | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotoonne | monotoonselt suureneb | monotoonselt väheneb |
| Nullid, y = 0 | Ei | Ei |
| Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Pöördfunktsioon
Alusega a eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus on aluse a logaritm.
Kui siis
.
Kui siis
.
Eksponentfunktsiooni diferentseerimine
Eksponentfunktsiooni eristamiseks tuleb selle alus taandada arvuni e, rakendada tuletise tabelit ja kompleksfunktsiooni eristamise reeglit.
Selleks tuleb kasutada logaritmide omadust
ja tuletiste tabelist saadud valem:
.
Olgu antud eksponentsiaalne funktsioon:
.
Toome selle baasi e:
Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit. Selleks sisestage muutuja
Siis
Tuletiste tabelist saame (asenda muutuja x z-ga):
.
Kuna on konstant, on z tuletis x suhtes võrdne
.
Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
.
Eksponentfunktsiooni tuletis
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>
Näide eksponentsiaalfunktsiooni eristamisest
Leia funktsiooni tuletis
y = 35x
Lahendus
Avaldame eksponentsiaalfunktsiooni baasi arvu e kaudu.
3 = e ln 3
Siis
.
Sisestage muutuja
.
Siis
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.
Kuna 5ln 3 on konstant, siis z tuletis x suhtes on võrdne:
.
Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile on meil:
.
Vastus
Integraalne
Kompleksarve kasutavad avaldised
Mõelge kompleksarvu funktsioonile z:
f (z) = a z
kus z = x + iy; i 2 = - 1
.
Avaldame komplekskonstanti a mooduli r ja argumendi φ kaudu:
a = r e i φ
Siis
.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Üldiselt
φ = φ 0 + 2 πn,
kus n on täisarv. Seetõttu funktsioon f (z) pole ka selge. Sageli peetakse silmas selle peamist tähtsust
.
Sarja laiendus
.
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.