Lineaarne sõltuvus Ja lineaarne iseseisvus vektorid.
Vektorite alused. Afiinne koordinaatsüsteem

Auditooriumis on käru šokolaadiga ja iga tänane külastaja saab endale magusapaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel hõlmab kahte osa korraga. kõrgem matemaatika, ja vaatame, kuidas nad ühes ümbrises läbi saavad. Tehke paus, sööge Twixi! ...kurat, milline jama. Kuigi, okei, ma ei löö, peaks lõpuks õppimisse suhtuma positiivselt.

Vektorite lineaarne sõltuvus, lineaarvektori sõltumatus, vektorite alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid eelkõige algebraline tähendus. "Vektori" mõiste vaatenurgast Lineaaralgebra- see ei ole alati "tavaline" vektor, mida saame tasapinnal või ruumis kujutada. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteos käisin: – temperatuur ja Atmosfääri rõhk vastavalt. Näide on omaduste seisukohalt muidugi vale vektorruum, kuid sellest hoolimata ei keela keegi neid parameetreid vektorina vormistada. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on aru saada definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarsõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, alus jne) kehtivad algebralisest vaatepunktist kõikidele vektoritele, kuid tuuakse geomeetrilised näited. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja selge. Ülesannetest kaugemale analüütiline geomeetria vaatame mõnda tüüpilised ülesanded algebra Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid Ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapinnaline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelge oma lennukile arvuti laud(lihtsalt laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes sulle meeldib). Ülesanne koosneb järgmistest toimingutest:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivne, et aluse loomiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli objektidele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppu. Pealegi sinu oma. Palun asetage vasak nimetissõrm lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht väike sõrm parem käsi laua servale samamoodi - nii, et see on suunatud monitori ekraanile. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida me saame vektorite kohta öelda? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarne väljendatakse üksteise kaudu:
, hästi või vastupidi: , kus mõni arv erineb nullist.

Pilti sellest tegevusest näete klassis. Mannekeenide vektorid, kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi risti üksi suund ning tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarselt" tähistavad asjaolu, et in matemaatilised võrrandid, avaldised ei sisalda ruute, kuupe, muid astmeid, logaritme, siinusi jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks mis tahes nurk peale 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarne Mitte sõltuvad siis ja ainult siis, kui need ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega “viltuks”. Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatakse vastavalt alustele:
, kus on reaalarvud. Numbritele helistatakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Samuti öeldakse, et vektoresitatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealusel või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võime öelda, et vektor on lagundatud piki tasandi ortonormaalset alust, või võime öelda, et see on esitatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: Lennuki alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paariks, , kus ükskõik milline tasapinnaline vektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni oluline punkt on asjaolu, et vektorid on võetud V kindlas järjekorras . Alused – need on kaks täiesti erinevat alust! Nagu öeldakse, ei saa te vasaku käe väikest sõrme parema käe väikese sõrme asemel asendada.

Oleme aluse välja mõelnud, kuid sellest ei piisa koordinaatide ruudustiku seadmisest ja igale arvutilaua elemendile koordinaatide määramisest. Miks sellest ei piisa? Vektorid on vabad ja liiguvad läbi kogu tasapinna. Niisiis, kuidas määrata koordinaadid neile väikestele määrdunud kohtadele, mis on jäänud metsikust nädalavahetusest järele? Lähtepunkti on vaja. Ja selline maamärk on kõigile tuttav punkt – koordinaatide päritolu. Saame aru koordinaatide süsteemist:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui nad räägivad ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need koordinaatide päritolu, koordinaatteljed ja mõõtkava piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada "ristkülikukujuline koordinaatsüsteem" ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest tundub, et ristkülikukujuline süsteem koordinaate saab täielikult määrata ortonormaalse aluse kaudu. Ja see on peaaegu tõsi. Sõnastus kõlab järgmisel viisil:

päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline tasapinnaline koordinaatsüsteem . See tähendab, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Sellepärast näete joonist, mille ma ülal andsin - sisse geomeetrilised probleemid Sageli (kuid mitte alati) joonistatakse nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad aru, et kasutada punkti (päritolu) ja ortonormaalset alust MIS TAHES PUNKTI lennukis ja mistahes VEKTOR lennukis koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada."

Kas nad on kohustatud koordinaatvektorid olla isoleeritud? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Mõelge punktile ja kahele ortogonaalne vektor suvaline nullist erinev pikkus:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunktid vektoritega on määratletud koordinaatide ruudustikuga ja igal tasapinna punktil, igal vektoril on oma koordinaadid etteantud alusel. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid V üldine juhtum on erineva pikkusega peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühtsusega, siis saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märge : ortogonaalses aluses, samuti allpool tasapinna ja ruumi afiinsetes alustes arvestatakse ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik piki x-telge sisaldab 4 cm ja üks ühik piki ordinaattelge sisaldab 2 cm. Sellest teabest piisab, et vajaduse korral "mittestandardsed" koordinaadid "meie tavalisteks sentimeetriteks" teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele tegelikult juba vastatud on, kas baasvektorite vaheline nurk peab olema võrdne 90 kraadiga? Ei! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu, Ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt afiintasandi koordinaatide süsteem :

Mõnikord nimetatakse sellist koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Näidetena on joonisel näidatud punktid ja vektorid:

Nagu aru saate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav; vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida arutasime tunni teises osas, selles ei tööta Mannekeenide vektorid, palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis. Kuid kehtivad vektorite lisamise ja vektori arvuga korrutamise reeglid, segmendi jagamise valemid selles seoses, aga ka mõned muud tüüpi probleemid, mida peagi kaalume.

Ja järeldus on, et kõige mugavam afiinse koordinaatsüsteemi erijuhtum on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Sellepärast pead sa teda kõige sagedamini nägema, mu kallis. ...Kõik siin elus on aga suhteline - on palju olukordi, kus kaldus nurk (või mõni muu nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Ja humanoididele võivad sellised süsteemid meeldida =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik selle õppetunni ülesanded kehtivad nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on kättesaadav isegi koolilapsele.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit olid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed Põhimõtteliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval üksikasjalik kirjeldus.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Lahendus:
a) Uurime, kas vektorite jaoks on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Ma räägin teile kindlasti selle reegli rakendamise "lobavast" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Mõte on kohe proportsioon välja mõelda ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Suhe võib olla ka vastupidine; see on samaväärne variant:

Enesetesti jaoks saate kasutada tõsiasja, et kollineaarsed vektorid väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt. IN sel juhul on võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida elementaarsete vektoritega tehtavate toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et teisest võrrandist järeldub, et mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Teeme vektorite vastavatest koordinaatidest proportsiooni :
, mis tähendab, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt ei lükka arvustajad seda võimalust tagasi, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on võrdsed nulliga. Nagu nii: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (tõepoolest, te ei saa nulliga jagada). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline eeskuju Sest sõltumatu otsus:

Näide 2

Millise parameetri väärtuse juures on vektorid kas need on kollineaarsed?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need viienda punktina:

Kahe tasapinnalise vektori jaoks on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant, võrdne nulliga .

Ma tõesti, väga loodan seda Sel hetkel sa juba mõistad kõiki termineid ja väiteid, mida kohtad.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni rakendamiseks peate loomulikult suutma seda teha leidma determinante.

Otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude ja sirgete paralleelsust. Vaatleme paari probleemi konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist luua, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Meenutagem rööpküliku määratlust:
Parallelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja.

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor ("kooli stiil" - võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on otsus vormistada selgelt, kokkuleppega. Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: Vastasküljed nelinurgad on paarikaupa paralleelsed, mis tähendab, et see on definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel figuure hea ja erinev:

Näide 4

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui lihtsalt meeles pidada, kuidas see välja näeb.

See on ülesanne, mille peate ise lahendama. Täielik lahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Selleks, et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid võrdelised.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

A) ;
b)
V)

Lahendus:
a) Kontrollime, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsustegur:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

“Lihtsustatud” vormistatakse proportsiooni kontrollimisega. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

On olemas meetod ruumivektorite kollineaarsuse kontrollimiseks kolmandat järku determinandi abil, seda meetodit artiklis käsitletud Vektorite vektorkorrutis.

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise sektsiooni:

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus kolmemõõtmelises ruumis.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud mustrid, mida me lennukis uurisime, kehtivad ruumi jaoks. Püüdsin teooriamärkmeid minimeerida, sest lõviosa info on juba läbi näritud. Sissejuhatav osa soovitan siiski hoolega läbi lugeda, sest ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutilaua tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei pääse me kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu kulub aluse loomiseks kolm ruumilised vektorid. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame end sõrmedel. Palun tõstke oma käsi üles ja sirutage see laiali erinevad küljed pöial, indeks ja keskmine sõrm . Need on vektorid, nad näevad eri suundades, neil on erinevad pikkused ja on erinevad nurgad omavahel. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, seda pole vaja õpetajatele demonstreerida, ükskõik kui kõvasti sõrmi keerata, aga definitsioonidest pole pääsu =)

Järgmiseks küsime oluline küsimus, kas mis tahes kolm vektorit moodustavad aluse kolmemõõtmeline ruum ? Vajutage kolm sõrme tugevalt arvutilaua ülaosale. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samas tasapinnas ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtme - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja on täiesti ilmne, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et samatasandilised vektorid ei pea asuma samal tasapinnal, nad võivad olla ka sees paralleelsed tasapinnad(ära tee seda sõrmedega, ainult Salvador Dali tõmbas sel teel maha =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne, kui on tasapind, millega nad on paralleelsed. Loogiline on siia lisada, et kui sellist tasandit ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm koplanaarne vektor alati lineaarselt sõltuv, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutame taas ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid ei ole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise jaotise materjalide põhjal).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud st need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, ja mis tahes ruumivektorit ainus viis laguneb antud alusel, kus on selle aluse vektori koordinaadid

Tuletan teile meelde, et võime ka öelda, et vektor on esitatud kujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste tutvustatakse täpselt samamoodi nagu tasapinna puhul: üks punkt ja mis tahes kolm lineaarset sõltumatud vektorid:

päritolu, Ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

kindlasti, koordinaatide võrk“kaldus” ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta mõned valemid, mida ma juba mainisin, ruumi afiinses koordinaatsüsteemis.

Nagu kõik arvavad, on afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

Punkt ruumis nimega päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem . Tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Sest kolm vektorit space järgmised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Ma arvan, et vastupidised väited on arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust/sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilisi ülesandeid on väljendunud algebralise iseloomuga. On aeg riputada geomeetriapulk ja näppida lineaaralgebra pesapallikurikat:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin teie tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus seetõttu ei muutu - vt determinantide omadusi). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või võivad neist vähe aru saada, soovitan ühte oma vanimat õppetundi: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Lahendus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi (determinant kuvatakse esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Saage tuttavaks ja loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Lahendus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt peate lahendama võrrandi determinandiga. Hüppame nullidele alla nagu tuulelohed jerboadele - kõige parem on avada determinant teisel real ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsama lineaarvõrrandini:

Vastus: kell

Siin on lihtne kontrollida; selleks peate asendama saadud väärtuse algse determinandiga ja veenduma, et , avage see uuesti.

Kokkuvõtteks vaatame veel üht tüüpiline ülesanne, mis on olemuselt algebralisem ja kuulub traditsiooniliselt lineaaralgebra käigus. See on nii tavaline, et väärib oma teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida sellel alusel 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad aluse kolmemõõtmelises ruumis ja leidke selles baasis vektori koordinaadid.

Lahendus: Esiteks käsitleme tingimust. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis see alus on, meid ei huvita. Oled sa huvitatud? järgmine asi: kolm vektorit võivad moodustada uue aluse. Ja esimene etapp langeb täielikult kokku näite 6 lahendusega; on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid Tingimata Kirjuta üles veergudeks determinant, mitte stringides. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.

Alus(vanakreeka βασις, alus) - vektorite kogum vektorruumis, nii et mis tahes vektorit selles ruumis saab üheselt esitada selle hulga vektorite lineaarse kombinatsioonina - baasvektorid

Alus ruumis Rn on mis tahes süsteem n-lineaarselt sõltumatud vektorid. Iga vektorit R n-st, mis ei sisaldu baasis, võib esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina, st. aluse peale laiali.
Laskma olema ruumi R n ja . Siis on arvud λ 1, λ 2, …, λ n nii, et .
Laienduskoefitsiente λ 1, λ 2, ..., λ n nimetatakse vektori koordinaatideks aluses B. Kui alus on antud, siis määratakse vektori koefitsiendid üheselt.

Kommenteeri. Igas n-mõõtmeline vektorruum, saate valida lõpmatu arvu erinevaid aluseid. Erinevates alustes on sama vektor erinevad koordinaadid, kuid valitud alusel ainsad. Näide. Laiendage vektorit selle alusele.
Lahendus. . Asendame kõigi vektorite koordinaadid ja teeme nendega toiminguid:

Võrdstades koordinaadid, saame võrrandisüsteemi:

Lahendame selle: .
Seega saame lagunemise: .
Aluses on vektoril koordinaadid .

Töö lõpp -

See teema kuulub jaotisesse:

Vektori kontseptsioon. Lineaartehted vektoritega

Vektor on suunatud segment, millel on teatud pikkus, st teatud pikkusega segment, millel on üks piirpunkt.Vektori pikkust nimetatakse selle mooduliks ja seda tähistatakse sümboli vektori mooduliga. Vektor on nimetatakse nulliks; seda tähistatakse siis, kui selle algus ja lõpp langevad kokku; nullvektoril pole kindlat vektorit.

Kui vajate lisamaterjal sellel teemal või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma lehele salvestada sotsiaalvõrgustikes:

Ruumi alus nad nimetavad sellist vektorite süsteemi, milles kõik teised ruumis olevad vektorid võivad olla kujutatud baasis sisalduvate vektorite lineaarse kombinatsioonina.
Praktikas rakendatakse seda kõike üsna lihtsalt. Alust kontrollitakse reeglina tasapinnal või ruumis ning selleks tuleb leida vektori koordinaatidest koosneva teist, kolmandat järku maatriksi determinant. Allpool on skemaatiliselt kirjutatud tingimused, mille korral vektorid moodustavad aluse

To laiendada vektor b baasvektoriteks
e,e...,e[n] on vaja leida koefitsiendid x, ..., x[n], mille vektorite lineaarne kombinatsioon e,e...,e[n] on võrdne vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Selle jaoks vektori võrrand tuleks teisendada süsteemi lineaarvõrrandid ja leida lahendusi. Seda on ka üsna lihtne rakendada.
Nimetatakse leitud koefitsiendid x, ..., x[n] vektori b koordinaadid baasis e,e...,e[n].
Liigume edasi teema praktilise poole juurde.

Vektori lagundamine baasvektoriteks

Ülesanne 1. Kontrollige, kas vektorid a1, a2 moodustavad tasapinnal aluse

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lahendus: Koostame vektorite koordinaatidest determinandi ja arvutame selle

Determinant ei ole null, järelikult vektorid on lineaarselt sõltumatud, mis tähendab, et nad moodustavad aluse.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Lahendus: Arvutame vektoritest koosneva determinandi

Determinant on võrdne 13-ga (ei võrdu nulliga) - sellest järeldub, et vektorid a1, a2 on tasandi aluseks.

---=================---

Vaatame tüüpilisi näiteid MAUP programmist erialal "Kõrgmatemaatika".

2. ülesanne. Näidake, et vektorid a1, a2, a3 moodustavad kolmemõõtmelise vektorruumi aluse ja laiendage vektorit b vastavalt sellele alusele (lineaarse süsteemi lahendamisel algebralised võrrandid kasutada Crameri meetodit).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lahendus: kõigepealt vaatleme vektorite süsteemi a1, a2, a3 ja kontrollige maatriksi A determinanti

ehitatud nullist erinevale vektoritele. Maatriks sisaldab ühte nullelementi, seega on sobivam arvutada determinant ajakavana esimeses veerus või kolmandas reas.

Arvutuste tulemusena leidsime, et determinant erineb seega nullist vektorid a1, a2, a3 on lineaarselt sõltumatud.
Definitsiooni järgi moodustavad vektorid R3 aluse. Kirjutame üles vektori b ajakava, mille alusel

Vektorid on võrdsed, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed.
Seetõttu saame vektorvõrrandist lineaarsete võrrandite süsteemi

Lahendame SLAE Crameri meetod. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vormile

Peamine määraja SLAE on alati võrdne baasvektoritest koosneva determinandiga

Seetõttu praktikas seda kaks korda ei arvestata. Abideterminantide leidmiseks paneme peadeterminandi iga veeru asemele vabade terminite veeru. Determinandid arvutatakse kolmnurga reegli abil



Asendame leitud determinandid Crameri valemiga



Seega on vektori b laiendus aluse suhtes kujul b=-4a1+3a2-a3. Vektori b koordinaadid baasis a1, a2, a3 on (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lahendus: kontrollime vektorite baasi - koostame vektorite koordinaatidest determinandi ja arvutame selle

Seetõttu ei ole determinant võrdne nulliga vektorid moodustavad ruumis aluse. Jääb üle leida vektori b ajakava sellel alusel. Selleks kirjutame vektori võrrandi

ja teisendada lineaarvõrrandisüsteemiks

Paneme selle kirja maatriksvõrrand

Järgmisena leiame Crameri valemite jaoks abideterminandid



Rakendame Crameri valemeid



Seega on antud vektoril b ajakava läbi kahe baasvektori b=-2a1+5a3 ja selle koordinaadid baasis on võrdsed b(-2,0, 5).

Vektorarvutuses ja selle rakendustes suur tähtsus omab dekomponeerimisülesannet, mis seisneb antud vektori esitamises mitme vektori summana, mida nimetatakse antud antud vektori komponentideks

vektor. See probleem, millel on üldiselt lõpmatu arv lahendusi, saab täielikult määratletud, kui täpsustada komponentvektorite mõnda elementi.

2. Näited lagunemisest.

Vaatleme mitmeid väga levinud lagunemise juhtumeid.

1. Jagage antud vektor c kaheks komponentvektoriks, millest üks, näiteks a, on antud suuruse ja suuna poolest.

Probleem taandub kahe vektori erinevuse kindlaksmääramisele. Tõepoolest, kui vektorid on vektori c komponendid, siis peab võrdus olema täidetud

Siit määratakse teise komponendi vektor

2. Lagundada antud vektor c kaheks komponendiks, millest üks peab asuma antud lennuk ja teine ​​peab asetsema etteantud sirgel a.

Komponentvektorite määramiseks nihutame vektorit c nii, et selle algus langeks kokku antud sirge ja tasapinna lõikepunktiga (punkt O - vt joon. 18). Vektori c lõpust (punkt C) tõmbame sirge punktini

lõikumine tasapinnaga (B on lõikepunkt) ja seejärel punktist C tõmbame paralleelse sirge

Vektorid ja on soovitud, st loomulikult on näidatud laienemine võimalik, kui sirge a ja tasapind ei ole paralleelsed.

3. Antud on kolm tasapinnalist vektorit a, b ja c ning vektorid ei ole kollineaarsed. Vektor c on vaja lagundada vektoriteks

Toome kõik kolm antud vektorit ühte punkti O. Siis paiknevad nad oma kaplanaarsuse tõttu samal tasapinnal. Peal antud vektor kuidas diagonaalil konstrueerime rööpküliku, mille küljed on paralleelsed vektorite toimejoontega (joon. 19). See konstruktsioon on alati võimalik (kui vektorid pole kollineaarsed) ja kordumatu. Jooniselt fig. 19 on selge, et